周期性对称性+幂函数图像与性质

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函数对称性与周期性关系

函数 对称性与周期性关系 【知识梳理】 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。 如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性： 我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即 点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 （2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，

函数的对称性与周期性

函数的对称性与周期性 一、相关结论 1．关于x 轴、y 轴、原点、x y =对称 2．周期性（内同） ① 若)()(x f T x f =+(0≠T )，则)(x f 为周期函数，T 为一个周期。 ② 若)()(b x f a x f +=+(b a ≠)，则)(x f 为周期函数，||a b -为一个周期。 ③ 若)()(x f a x f -=+(0≠a )，则)(x f 为周期函数，a 2为一个周期。 ④ 若) (1 )(x f a x f =+(0≠a )，则)(x f 为周期函数，a 2为一个周期。 3．自对称性（内反） ①若)()(x b f x a f -=+，则)(x f 的图像关于直线2 b a x += 对称；特别地，若)()(x a f x a f -=+，则)(x f 的图像关于直线a x =对称；0=a 为偶函数。 ②若)()(x b f x a f --=+，则)(x f 的图像关于点)0,2 ( b a +对称；特别地，若)()(x a f x a f --=+，则)(x f 的图像关于点)0,(a 对称；0=a 为奇函数。 ③若c x b f x a f =-++)()(，则)(x f 的图像关于点)2 ,2(c b a +对称。 4．互对称性 ①函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=的图像关于直线2a b x -=对称； ②函数)(x a f y +=与函数)(x b f y --=的图像关于点)0,2 (a b -对称； ③函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图像关于直线0=x 对称。 5． 对称性与周期性的关系 ①若)(x f 的图像有两条对称轴a x =和b x =(b a ≠)，则)(x f 为周期函数， ||2a b -为一个周期。 ②若)(x f 的图像有两个对称中心)0,(a 和)0,(b (b a ≠)，则)(x f 为周期函数， ||2a b -为一个周期。 若)(x f 的图像有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b (b a ≠)，则)(x f 为周期函 数，||4a b -为一个周期。

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指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 （一）指数与指数函数 1 ．根式 （ 1 ）根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果 x n a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根 n 1且 n N 当 n 为奇数时 ,正数的 n 次方根是一个正数 , 负数的 n 次 n a 零的 n 次方根是零 方根是一个负数 当 n 为偶数时 , 正数的 n 次方根有两个 , 它们互为相反 n a ( a 0) 负数没有偶次方根 数 （ 2 ）．两个重要公式 a n 为奇数 ① n a n a( a 0) ； | a | 0) n 为偶数 a(a ② (n a ) n a （注意 a 必须使 n a 有意义）。 2 ．有理数指数幂 （ 1 ）幂的有关概念 m n a m (a ①正数的正分数指数幂 : a n 0, m 、 n N ,且 n 1) ; m 1 1 ②正数的负分数指数幂 : a n 0, m 、 n N , 且 n 1) m (a a n n a m ③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 . 注： 分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （ 2 ）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、 s ∈ Q); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、 s ∈ Q); ③(ab) r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);.

3．指数函数的图象与性质 y=a x a>100 时， y>1; (2) 当 x>0 时， 01 (3) 在（ - ，+ ）上是增函（3）在（ - ，+ ）上是减函数 数 注：如图所示，是指数函数（ 1 ） y=a x, （ 2） y=b x,（ 3 ） ,y=c x（ 4 ）,y=d x的图象，如何确定底数 a,b,c,d 与 1 之间的大小关系？ 提示：在图中作直线x=1 ，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即 c1 >d 1 >1>a 1 >b 1 , ∴ c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。 （二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1 ）对数的定义 如果 a x N (a 0且 a 1) ，那么数 x 叫做以 a 为底，N的对数，记作 x log a N，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 （2 ）几种常见对数 对数形式特点记法 一般对数底数为 a a 0,且a 1 log a N 常用对数底数为 10 lg N 自然对数底数为 e ln N

函数的周期性与对称性

第5炼 函数的对称性与周期性 一、基础知识 （一）函数的对称性 1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称 2、轴对称的等价描述： （1）()()f a x f a x -=+?()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数） （2）()()()f a x f b x f x -=+?关于2 a b x +=轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2 a b x +=为所给对称轴即可。例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ?=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便 （3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。 ① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分： 若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+????：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+???? ② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。

指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结

(一）指数与指数函数 1.根式 （1）根式的概念 （２)．两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ; ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n m n a a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n m n a a m n N n a a - *= = >∈>、且 ③０的正分数指数幂等于０，0的负分数指数幂没有意义． 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2)有理数指数幂的性质 ①a r ａｓ =a r+ｓ （ａ＞0,r 、ｓ∈Ｑ）; ②（a r )s ＝a rs (a>0,r 、s ∈Q ）; ③(ａb)r =a r ｂs (a>０,b>0,r ∈Q );. 3.指数函数的图象与性质 y ＝ａ ｘ a>1 0

图象 定义域R 值域(０，+∞) 性质(１)过定点（0，1) （2)当ｘ＞0时，y>1; x<０时，00时，０d1＞1>a1>b1,∴ｃ>d>１>a>ｂ。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。 （二)对数与对数函数 1、对数的概念 (1)对数的定义 如果(01) x a N a a =>≠ 且，那么数x叫做以a为底，N的对数,记作log N a x=，其中a叫做对数的底数,N叫做真数。 (2 对数形式特点记法 一般对数 底数为a0,1 a a >≠ 且log N a 常用对数底数为1０ lg N 自然对数底数为e ln N 2 (1)对数的性质(0,1 a a >≠ 且）：①1 log0 a =，②log1 a a =,③log N a a N =,④log N a a N =。（2）对数的重要公式：

函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全 .分解

函数对称性、周期性和奇偶性规律 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性：对于函数 )(x f y =，如果存在一个不为零的常数 T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周 期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性： 我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==， 即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 （2）函数 )(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，即) (11x f y =，通过 b x f x a f 2)()2(=+-可知， b x f x a f 2)()2(11=+-，所以 1 112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点 )2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。得 证。 若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2 ,2( c b a + 对称 （3）函数 )(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值，都有两个 y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于b y =对称。但在曲线c(x,y)=0，则 有可能会出现关于 b y =对称，比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。 4、 周期性： （1）函数 )(x f y =满足如下关系系，则T x f 2)(的周期为 A 、 )()(x f T x f -=+ B 、) (1 )()(1)(x f T x f x f T x f - =+= +或 C 、 )(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或) (1) (1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立）

最新幂函数的性质、常考题型及对应练习

幂函数 分数指数幂 正分数指数幂的意义是：m n m n a a =（0a >，m 、n N ∈，且1n >） 负分数指数幂的意义是：m n n m a a - = （0a >，m 、n N ∈，且1n >） 一、幂函数的定义 一般地，形如 y x α =（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数.如 112 3 4 ,,y x y x y x -===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 二、幂函数的图像 幂函数n y x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握n y x =，当11 2,1,,,323 n =±±± 的图像和性质，列表如下． 从中可以归纳出以下结论： ① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限． ② 11 ,,1,2,332a =时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数． ③ 1 ,1,22 a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数． ④ 任何两个幂函数最多有三个公共点．

三、幂函数基本性质 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 规律总结 1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论； 2．对于幂函数y ＝αx ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型． 四、幂函数的应用 题型一.幂函数的判断 例1．在函数22031 ,3,,y y x y x x y x x ===-=中，幂函数的个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 练1．下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ）

(完整版)常见函数对称性和周期性

（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称） 若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。 推论1：)()(x a f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论2、)2()(x a f x f -= ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论3、)2()(x a f x f +=- ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 （二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称 2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数 3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称 4、互为反函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称 推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称 推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称 推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称

幂函数的图像与性质

【知识结构】 1．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂 :0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂 : 1 0,,1)m n m n a a m n N n a -*==>∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q );②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 例2 （1）计算：25 .021 21325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷?÷+---； （2）化简：533233232332 3134)2(248a a a a a b a a ab b b a a ???-÷++-- 变式：（2007执信A ）化简下列各式（其中各字母均为正数）: （1） ;)(653 12121 132b a b a b a ????--（2）.)4()3(6521332121231----?÷-??b a b a b a (3) 1 00.256371.5()86-?-+

（三）幂函数 1、幂函数的定义 形如y=x α（a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数 注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。 例1.下列函数中不是幂函数的是（ ） A ．y x = B ．3y x = C ．2y x = D ．1y x -= 例2.已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数； （3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 变式 已知幂函数2 223(1)m m y m m x --=--，当(0)x ∈+，∞时为减函数，则幂函数y =_______． 2.幂函数的图像 幂函数y ＝x α的图象由于α的值不同而不同． α的正负：α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升； α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立；

函数的对称性与周期性例题、习题(供参考)

函数的对称性与周期性 【知识梳理】 1. 周期的概念：设函数(),y f x x D =∈，如果存在非零常数T ，使得对任意x D ∈都有 ，则函数()y f x =为周期函数，T 为()y f x =的一个周期； 2. 周期函数的其它形式 ()()f x a f x b +=+? ；()()f x a f x +=-? ；()()1f x a f x +=? ； ()()1f x a f x +=-? ；)(1)(1)(x f x f a x f +-=+? ，)(1)(1)(x f x f a x f -+=+? )()()2(x f a x f a x f -+=+? 1 )(1)(+-=+x f a x f ? ， 3. 函数图像的对称性 1）.若()()f x f x =-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 2）.若()()0f x f x +-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 3）若()()f a x f a x +=-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 4）若()()2f x f a x =-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 5）若()()2f a x f a x b ++-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 6）若()()22f x f a x b +-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 4. 常见函数的对称性 1）函数()()0ax b f x c cx d +=≠+的图像关于点 对称； 2）函数()()0f x ax b a =-≠的图像关于直线 对称； 3）函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像关于直线 对称； 【例题选讲】 题型一 根据解析式判断函数图像的对称性 1. 函数()2331 x f x x +=-的图像关于 对称； 2. 函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x -=，则()f x 的图像关于 对称； 3. 函数()23f x x =-的图像关于 对称； 4. 函数()3sin 23f x x π??=- ?? ?的图像关于直线 对称；关于点 对称； 题型二 平移变换后，函数图像的对称性 1.已知函数()y f x =是偶函数，()2f x -在[]0,2递减，则( ) 2.已知()2y f x =-是偶函数，则()y f x =的图像关于 对称； 3.已知()y f x =是奇函数，则()12y f x =+-的图像关于 对称； 题型三 函数图像的对称性求函数解析式

(完整版)函数的周期性与对称性总结

一:有关周期性的讨论 在已知条件()()f a x f b x +=-或 ()()f x a f x b +=-中， (1) 等式两端的两自变量部分相加得常数，如()()a x b x a b ++-=+，说明f x ()的图像具有对称性，其对称轴为2 b a x +=。 (2)等式两端的两自变量部分相减得常数，如()()x a x b a b +--=+，说明 f （x ）的图像具有周期性，其周期T=a +b 。 设a 为非零常数,若对于)(x f 定义域内的任意x 恒有下列条件之一成立 周期性规律 对称性规律 (1))()(a x f a x f +=- a T 2=? (1))()(x a f x a f -=+ a x =? (2))()(a x f x f += a T =? (2))()(x b f x a f -=+ 2 b a x += ? (3))()(x f a x f -=+ a T 2=? (3) )()(x b f x a f +=- 2b a x +=? (4))(1)(x f a x f =+ a T 2=? (4) )()(x b f x a f --=+ 中心点)0,2 (b a +? (5))(1)(x f a x f - =+ a T 2=? (5) )()(x a f x a f --=+ 为对称中心点)0,(a ? (6)1 )(1)()(-+=+x f x f a x f a T 2=? (7) 1()()1() f x f x a f x -+=+ a T 2=? (8) 1()()1()f x f x a f x -+=- + a T 4=? (9) ) (1)(1)(x f x f a x f -+=+ a T 4=? (10) )()()(a x f a x f x f ++-=, 0>a a T 6=?

函数的周期性与对称性

函数的周期性与对称性 1、函数的周期性 若a 是非零常数，若对于函数y ＝f(x)定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数y ＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。 ①f(x＋a)＝f(x －a) ②f(x＋a)＝－f(x) ③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x) 2、函数的对称性与周期性 性质5 若函数y ＝f(x)同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b| 性质6、若函数y ＝f(x)同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b| 性质7、若函数y ＝f(x)既关于点（a ，0）中心对称，又关于直线x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝4|a －b| 3.函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称） 若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。 1、)()(x b f x a f -=+ ?)(x f y =图象关于直线2 2)()(b a x b x a x += -++= 对称 推论1：)()(x a f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论2、)2()(x a f x f -= ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论3、)2()(x a f x f +=- ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 2、c x b f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),2 ( c b a +对称 推论1、 b x a f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 例题分析： 1．设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则 )5.47(f 等于 ( ) （A ）0.5 （B ）5.0- （C ）1.5 （D ）5.1- 2、（山东）已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为（ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 3．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，(1)2,(1)(6),f f x f x =+=+求(10).f 4．函数)(x f 对于任意实数x 满足条件1 (2)() f x f x += ，若(1)5f =-，则[(5)]f f =___

幂函数的性质与图像教案

【课题】 幂函数的性质与图像 【执教者】：关雅南（上海师范大学附属外国语中学） 【教学目标】：知识和技能：理解幂函数的概念，掌握幂函数的性质与图像并能 简单应用。 过程和方法：通过研究性质培养学生分析归纳的思维能力，体会 从特殊到一般的研究问题的数学方法和数形结合 的数学思想。 情感、态度和价值观：培养学生积极探究、合作交流的学习品质，激发学 生的学习兴趣和探究热情。 【教学重点】：幂函数的性质与图像 【教学难点】：幂函数性质与图像特征的归纳 【教学过程】： 一． 创设情境，引入新知 回顾初中阶段所学的正比例函数如y=x,反比例函数如y=x 1即y=1-x ，二次函数如y=2x ，另外正方体的体积y 关于边长x 的函数解析式为y=3x ,正方形的边长y 关于面积x 的函数关系式为y=x 即y=21x ，分析这些函数有什么共同特征？ 解析式右边为幂的形式，底数为自变量，系数为1. 这些函数可统一写成y=k x 的形式，引出幂函数的定义。 二． 幂函数定义 一般地，函数y=k x （k 为常数，k ∈Q ）叫做幂函数（power function ） 概念巩固：判断下列函数是否为幂函数？ （1） y=x 3.0 （2）y=21 _x （3）y=3x +x (4) y=23x 三． 研究特殊的幂函数的性质与图像的方法 例题：研究函数y=21 _x 的定义域、奇偶性和单调性，并且作出它的图像。

（师生共同探究此幂函数性质，课件演示利用描点法作出的函数图像，并 观察此幂函数性质在图像上的体现）。 自主探究： 研究函数y=32x 的定义域、奇偶性、单调性和最大值或最小值。 （在课堂练习单上独立完成，投影演示，师生共同评价） 四． 合作探究一般的幂函数性质与图像特征 1.教师演示：在同一直角坐标系分别演示幂函数y=21_x 、 y=2 x 和y=31_x 的图像，认真观察图像，体会其中蕴含的函数性质。 2.小组讨论： 归纳幂函数（k 0）的性质和图像特征 （1） 在第一象限单调性如何？ （2） 有无公共点? （3） 图像与坐标轴的位置关系？ （4） 图像的象限分布有何特点？特点由什么确定？ 3.类比探究：在同一直角坐标系分别演示幂函数y=21x 、 y=32x 和y=31x 的图 像，幂函数y=23x 、 y=2x 和y=3x 的图像，类比探究当0 k 1 和k 1时幂函数性质 五． 课堂巩固、简单应用 练习：比较下列两组数的大小 ①253_________251.3 ② (-0.96) 31__________ (-0.95)31_ 六． 课堂小结 今天的学习内容和方法有哪些？你有哪些收获？ 七． 布置作业：课本81页：习题4.1 写一篇题为《幂函数研究方法初探》的数学小论文

函数的周期性和对称性(解析版)

专题二：函数的周期性和对称性 【高考地位】 函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质。在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称），并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性，以及它们之间的联系。因此，我们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法。 【方法点评】 一、函数的周期性求法 使用情景：几类特殊函数类型 解题模板：第一步 合理利用已知函数关系并进行适当地变形； 第二步 准确求出函数的周期性； 第三步 运用函数的周期性求解实际问题. 例1 (1) 函数)(x f 对于任意实数x 满足条件) (1 )2(x f x f = +，若5)1(-=f ，则=))5((f f （ ） A ．5- B ．5 C ．51 D ．5 1- 【答案】D 考点：函数的周期性． (2) 已知()x f 在R 上是奇函数，且满足()()x f x f -=+5，当()5,0∈x 时，()x x x f -=2 ，则()=2016f （ ） A 、-12 B 、-16 C 、-20 D 、0 【答案】A 试题分析：因为()()5f x f x +=-，所以()()()105f x f x f x +=-+=，()f x 的周期为10，因此 ()()()()20164416412f f f =-=-=--=-，故选A ． 考点：1、函数的奇偶性；2、函数的解析式及单调性． 【点评】(1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．(2)求函数周期的方法 【变式演练1】已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(3)()f x f x -=，则(2019)f =（ ） A ．3- B ．0 C ．1 D ．3 【答案】B

函数对称性与周期性几个重要结论赏析

函数对称性与周期性几个重要结论赏析 对称性和周期性是函数的两个重要性质，下面总结这两个性质的几个重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。 一、 几个重要的结论 （一）函数图象本身的对称性（自身对称） 1、函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（T 为常数）的充要条件是)(x f y =的图象关于直线T x =对称。 2、函数)(x f y =满足)2()(x T f x f -=（T 为常数）的充要条件是)(x f y =的图象关于直线T x =对称。 3、函数)(x f y =满足)()(x b f x a f -=+的充要条件是)(x f y =图象关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++=对称。 4、如果函数 )(x f y =满足)()(11x T f x T f -=+且)()(22x T f x T f -=+，（1T 和2T 是不相等的常数），则)(x f y =是以为)(212T T -为周期的周期函数。 5、如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以4T 为周期的周期性函数。 6、如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以2T 为周期的周期性函数。 （二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、曲线 )(x f y =与)(x f y -=关于X 轴对称。 2、曲线)(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称。 3、曲线)(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。 4、曲线0),(=y x f 关于直线b x =对称曲线为0)2,(=-y b x f 。 5、曲线0),(=y x f 关于直线0=++c y x 对称曲线为0),(=----c x c y f 。 6、曲线0),(=y x f 关于直线0=+-c y x 对称曲线为0),(=+-c x c y f 。 7、曲线0),(=y x f 关于点),(b a P 对称曲线为0)2,2(=--y b x a f 。 二、试试看，练练笔 1、定义在实数集上的奇函数 )(x f 恒满足)1()1(x f x f -=+，且)0,1(-∈x 时, 512)(+=x x f ,则=)20(log 2f ________。 2、已知函数)(x f y =满足0)2()(=-+x f x f ，则)(x f y =图象关于__________对称。 3、函数)1(-=x f y 与函数)1(x f y -=的图象关于关于__________对称。 4、设函数)(x f y =的定义域为R ，且满足)1()1(x f x f -=-，则)(x f y =的图象关于__________ 对称。 5、设函数)(x f y =的定义域为R ，且满足)1()1(x f x f -=+，则)1(+=x f y 的图象关于__________对称。)(x f y =图象关于__________对称。 6、设)(x f y =的定义域为R ，且对任意R x ∈，有)2()21(x f x f =-，则)2(x f y =图象关于__________对称，)(x f y =关于__________对称。 7、已知函数)(x f y =对一切实数x 满足)4()2(x f x f +=-，且方程0)(=x f 有5个实根，则这5个实根之和为（ ） A 、5 B 、10 C 、15 D 、18 8、设函数 )(x f y =的定义域为R ，则下列命题中，①若)(x f y =是偶函数，则)2(+=x f y 图象

指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结

（一）指数与指数函数 1．根式 （1）根式的概念 （2）．两个重要公式 ① ? ? ? ? ? ? ? ? < - ≥ = = )0 ( )0 ( | | a a a a a a a n n； ②a a n n= ) (（注意a必须使n a有意义）。 2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1) m n m n a a a m n N n * =>∈> 、且; ②正数的负分数指数幂: 1 0,,1) m n m n m n a a m n N n a a - * ==>∈> 、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s=a r+s(a>0,r、s∈Q); ②(a r)s=a rs(a>0,r、s∈Q); ③(ab)r=a r b s(a>0,b>0,r∈Q);. 3．指数函数的图象与性质 y=a x a>1 0

图象 定义域R 值域（0，+∞） 性质（1）过定点（0，1） （2）当x>0时，y>1; x<0时,00时，01 (3)在（-∞，+∞）上是增函数（3）在（-∞，+∞）上是减函数 注：如图所示，是指数函数（1）y=a x,（2）y=b x,（3）,y=c x（4）,y=d x的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？ 提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。 （二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义 如果(01) x a N a a =>≠ 且，那么数x叫做以a为底，N的对数，记作log N a x=，其中a 叫做对数的底数，N叫做真数。 （2）几种常见对数 对数形式特点记法 一般对数 底数为a0,1 a a >≠ 且log N a 常用对数底数为10 lg N 自然对数底数为e ln N 2 （1）对数的性质（0,1 a a >≠ 且）：①1 log0 a =，②log1 a a =，③log N a a N =，④log N a a N =。（2）对数的重要公式：

幂函数的图象及性质

课件6幕函数图象及性质 课件编号：AB I -2-3-1. 课件名称：幕函数图象及性质? 课件运行环境：几何画板4.0以上版本. 课件主要功能：配合教科书“ 2.3幕函数”的教学.利用几何画板绘制函数图象的功能，绘制出幕函数的图象，再利用幕函数的图象研究函数的性质. 课件制作过程： （1）新建画板窗口.单击【Graph］（图表）菜单中的【Define Coordinate System!（建立直角坐标系），建立直角坐标系.选中原点，按Ctrl + K，给原点加注标签A,并用【文本］工具把标签改为O. （2）单击【Graph］菜单的【Plot New Function］（绘制函数图象），弹出“New Function”函数式编辑器，编辑函数f （x）= x，单击【OK］后画出函数f （x） 1 , , _ 2 3 —_ 1 =x的图象.同法编辑函数g （x）= x，h （x）= x，q（x）=x2和函数r（x）二一的 x 图象.选中函数图象，单击【Display］（显示）菜单中的【Line Width］（线型）中的【Thick］（粗线）.把上述图象设置成粗线，单击【Display］（显示）菜单中的【Color］（颜色）的选择各种不同的颜色给每一个函数图象着色，如图1. 图1 （3）再选中直线f （x） = x，单击【Edit］（编辑）菜单，选择【Action

Buttons］ （操作类按钮），单击【Hide/Show］（隐藏/显示），此时屏幕上出现【Hide Function Plot］（隐藏对象）按钮，选择【文本工具】，双击【Hide Function Plot】按钮， 出现对话框，将其中的【Label］（标签）改为“ f （x）= x”，再单击【确定】?此时，单击“f （x）二x”按钮就会隐藏或显示直线f （x）二x ?用同样的方法制作 1 【Hide Function Plot】按钮g （x）= x2，h（x）=x3，q（x）=x2和r（x）二-，如图 x 2. （4）单击【File】（文件）菜单的【Document Options】（文档选项）对话框，将【Page Namd （页面名称）改为“画图象”，单击【0K】. （5）单击【File】（文件）菜单的【Document Options】（文档选项）对话框， 单击【Add Page］（增加页），单击【Blank Pagd （空白页），将页面名称改为“ g 2” （X）= x ? （6）单击【Graph】菜单的【Plot New Function】（绘制函数图象），弹出 “New Function”函数式编辑器，在对话框内依次单击x，A，2，单击【OK】后画出函

抽象函数的对称性与周期性

抽象函数的对称性与周期性 一、 抽象函数的对称性 定理1. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (b －x)，则函数y=f (x) 的图象 关于直线x= 2a b +对称。 推论1. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (a －x) （或f (2a －x)= f (x) ),则函数y=f (x) 的图像关于直线x= a 对称。 推论2. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (a －x)， 又若方程f (x)=0有n 个根，则此n 个根的和为na 。 定理2. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)+f (b －x)=c ，（a,b,c 为常数），则 函数y=f (x) 的图象关于点( ,)22a b c + 对称。 推论1.若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)+f (a －x)=0，（a 为常数），则函数 y=f (x) 的图象关于点（a ，0）对称。 定理3.若函数y=f (x) 定义域为R ，则函数y=f (a+x) 与y=f (b －x)两函数的图象关于直线x=2b a -对称。 定理4.若函数y=f (x) 定义域为R ，则函数y=f (a+x) 与y=c －f (b －x)两函数的图象关于点 (,)22b a c -对称。 性质1：对函数y=f(x),若f(a+x)= －f(b －x)成立，则y=f(x)的图象关于点（ 2b a +,0）对称。 性质2：函数y=f(x －a)与函数y=f(a －x)的图象关于直线x=a 对称。 性质3：函数y=f(a+x)与函数y=f(a －x)的图象关于直线x=0对称。 性质4：函数y=f(a+x)与函数y=－f(b －x)图象关于点（ 2a b -,0）对称。 二、抽象函数的周期性 定理5.若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件f (x ＋a)=f (x －b)，则y=f (x) 是以T=a ＋b 为 周期的周期函数。 定理6.若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件f (x ＋a)= －f (x －b)，则y=f (x) 是以T=2（a ＋b ）为周期的周期函数。 定理7.若函数y=f (x)的图象关于直线 x=a 与 x=b （a ≠b)对称，则y=f (x) 是以T=2(b －a) 为周期的周期函数。 定理8.若函数y=f (x)的图象关于点（a,0)与点(b,0) , (a ≠b)对称，则y=f (x) 是以T=2(b －a) 为周期的周期函数。 定理9.若函数y=f (x)的图象关于直线 x=a 与 点(b,0),(a ≠b)对称，则y=f (x) 是以 T=4(b －a)为周期的周期函数。 性质1：若函数f(x)满足f(a －x)=f(a ＋x)及f(b －x)=f(b ＋x) (a ≠b,ab ≠0),则函数f(x)有周期2(a －b)； 性质2：若函数f(x)满足f(a －x)= － f(a ＋x)及f(b －x)=－ f(b ＋x)，(a ≠b,ab ≠0),则函数有周 期2(a －b). 特别：若函数f(x)满足f(a －x)=f(a ＋x) （a ≠0）且f(x)是偶函数，则函数f(x)有周期2a. 性质3：若函数f(x)满足f(a －x)=f(a ＋x)及f(b －x)= － f(b ＋x) (a ≠b,ab ≠0)，则函数有周期 4(a －b). 特别：若函数f(x)满足f(a －x)=f(a ＋x) （a ≠0）且f(x)是奇函数，则函数f(x)有周期4a 。