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正方形的性质及判定
知识归纳
1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．正方形的性质
正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质：
①边的性质：对边平行，四条边都相等．
②角的性质：四个角都是直角．
③对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角．
④对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．
平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）3．正方形的判定
判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形．
判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．
4．重点：知晓正方形的性质和正方形的判定方法。
难点：正方形知识的灵活应用
例题讲解
一、正方形的性质
正
方
形
菱形矩形
平行四边形
例1：如图，已知正方形ABCD的面积为256，点F在CD上，点E在CB的延长线上，且20
AE AF AF
⊥=
，，则BE的长为
F
E
D
C
B
A
变式1：如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若1
AG=，2
BF=，90
GEF
∠=?，则GF的长为．
变式2：将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点
12
...
n
A A A
，，，分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为
A5
A4
A3
A2
A1
例2：如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点，求证：AE CE
=．
E
D
C
B
A
变式1：如图，P 为正方形ABCD 对角线上一点，PE BC ⊥于E ，PF CD ⊥于F .求证：
AP EF =.
F E
P
D
C
B A
例3：如图，已知P 是正方形ABCD 内的一点，且ABP ?为等边三角形，那么DCP ∠=
P
D
C
B
A
变式1：如图，已知E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，AE 、AF 分别与对角线BD 相交于M 、N ，若50EAF ∠=?， 则CME CNF ∠+∠= ．
变式2：如图，四边形ABCD 为正方形，以AB 为边向正方形外作正方形ABE ，CE 与BD 相交于点F ，则AFD ∠=
N
M
F
E
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
例4：如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接,BE DG ，求证：
BE DG =.
G
C F
E
D
B
A
变式1：如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上的一点，F 为BC 延长线上的一点，
CE CF =，30FDC ∠=?，求BEF ∠的度数.
B
D
C
A
E
F
变式2：已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE CG =，连接BG 并延长交DE 于F ．
（1）求证：BCG DCE ??≌；
（2）将DCE △绕点D 顺时针旋转90?得到DAE '?，判断四边形E BGD '是什么特殊
四边形？并说明理由．
例5：若正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，3BE =，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正方形的一边于点F ，且BF AE =，则BM 的长为 ．
变式1：如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，HA EB FC GD ===，连接EG 、FH ，交点为O ．
⑴ 如图2，连接EF FG GH HE ，，，，试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论；
⑵ 将正方形ABCD 沿线段EG 、HF 剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个
四边形．若正方形ABCD 的边长为3cm ，1cm HA EB FC GD ====，则图3中阴影部分的面积为_________2cm ．
图3
图1
图2
H D G C F
E
B
A
O
H G F
E D C B
A
变式2：如图，正方形ABCD 对角线相交于点O ，点P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，
A
B
C
D
E
F E '
G
AQ DP ⊥，求证：
（1）OP OQ =；（2）OP OQ ⊥. B
O D C
A Q
P
例6：如图，正方形ABCD 中，E F ，是AB BC ，边上两点，且EF AE FC DG EF =+⊥，于
G ，求证：DG DA =
G F
E
C
D
B
A
变式1：如图，点M N ，分别在正方形ABCD 的边BC CD ，上，已知MCN ?的周长等于正方形ABCD 周长的一半，求MAN ∠的度数
N
M
D
C
B
A
变式2：如图，设EF ∥正方形ABCD 的对角线AC ，在DA 延长线上取一点G ，使
AG AD =，EG 与DF 交于H ，求证：AH =正方形的边长．
H
E
G
C
D
F
B
A
例7：把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如图）．试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．
G
C
H
F E
D
B
A
变式1：如图所示，在直角梯形ABCD中，AD BC
∥，90
ADC
∠=?，l是AD的垂直平分线，交AD于点M，以腰AB为边作正方形ABFE，作EP l⊥于点P，求证22
EP AD CD
+=.
l
P
M F E
D C
B
A
二、正方形的判定
例1：四边形ABCD 的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形EFGH ，求证：
⑴四边形EFGH 对角互补；
⑵若四边形ABCD 为平行四边形，则四边形EFGH 为矩形． ⑶四边形ABCD 为长方形，则四边形EFGH 为正方形．
H
E
F
G D
C
B
A
变式1：如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE ?是等边三角形．
⑴ 求证：四边形ABCD 是菱形；
⑵ 若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．
O
E
D
C
B
A
变式2：已知：如图，在ABC ?中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为点D ，AN 是ABC ?外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ．
⑴ 求证：四边形ADCE 为矩形；
⑵ 当ABC ?满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．
M E
N
C
D
B
A
例2：如图，ABCD 是边长为1的正方形，EFGH 是内接于ABCD 的正方形，
AE a AF b ==，，若2
3
EFGH S =，则b a -=
H G
F
E
D
C
B
A
例3：如图，若在平行四边形ABCD 各边上向平行四边形的外侧作正方形，求证：以四个正方形中心为顶点组成一个正方形．
P
R
Q S N
M
F
E
D
C
B
A
附加题：
1. 如图，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为27cm 和211cm ，则
CDE ?的面积为
G
F
E
D
C
B A
2. 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，求证：AM AD =．
M
F
E
D
C
B
A
3. 如图，正方形ABCD 中，O 是对角线AC BD ，的交点，过点O 作OE OF ⊥，分别交
AB CD ，于E F ，，若43AE CF ==，，则EF =
O
F
E D
C
B
A
4. 如图所示，ABCD 是正方形，E 为BF 上的一点，四边形AEFC 恰好是一个菱形，则
EAB ∠=______.
A
B
C
D
E
F
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