福州一中2020—2021学年第一学期第一学段模块考试
高一数学学科
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.命题“存在0R x ∈，0
2
0x ≤”的否定是（ ）
A.对任意的x R ∈，20x ≤
B.对任意的x R ∈，20x >
C.不存在0R x ∈，0
2
0x > D.存在0R x ∈，20x ≥
2.幂函数的图象过点12,4?? ??
?
，则它的单调增区间是（ ） A.(,0)-∞
B.(0,)+∞
C.[0,)+∞
D.(,)-∞+∞
3.若集合{
}
2
120A x x x =--≤，101x B x x ?+?
=
，{} C x x A x B =∈?且，则集合C =（ ） A.[3,1)(1,4]--? B.[3,1](1,4]--? C.[3,1)[1,4]--?
D.[3,1][1,4]--?
4.若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ） A.
a b
d c
> B.
a b d c
< C.
a b c d
> D.
a b c d
< 5.设0.60.6a =， 1.50.6b =，0.61.5c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A.a b c <<
B.a c b <<
C.b a c <<
D.b c a <<
6.设函数||
()2x f x =，则下列结论正确的是（ ）
A.(1)(2)(f f f -<<
B.((1)(2)f f f <-<
C.(2)((1)f f f <<-
D.(1)((2)f f f -<<
7.若221x
y
+=，则x y +的取值范围是（ ） A.[0,2] B.[2,0]-
C.[2,)-+∞
D.(,2]-∞-
8.已知()1
()121(0)x a f x x x -??=-->
???
，则“1a =”是“()0f x ≤恒成立”的（ ） A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9.设{
}
2
8150A x x x =-+=，{}
10B x ax =-=，若A B B =，则实数a 的值可以为（ ）
A.
15
B.0
C.3
D.
13
10.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（ ）
A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少
C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D.某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 11.函数2()x
f x x a
=
+的图象可能是（ ） A. B.
C. D.
12.已知a ，b ，c R ∈，若222
1a b c ++=，且(1)(1)(1)a b c abc ---=，则下列结论正确的是（ ）
A.1a b c ++=
B.1ab bc ca ++<
C.c 的最大值为1
D.a 的最小值为-1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
113
2
081()274e π-
????
-++ ? ?????
=________. 14.函数()f x 的定义域为[0,8]，则函数
(2)
4
f x x -的定义域是________. 15.已知21(31)4,1,
()1,12
x a x a x f x a x --+≤??
=?+>??满足对于任意实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a
的取值范围是________.
16.若函数224,,
()22,,
x
x x x a f x x a ?-+≤=?+>?（0a >，且1a ≠）的值域为[3,)+∞，则实数a 的取值范围是________.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分）
已知集合{}
02A x x =≤≤，{}
32B x a x a =≤≤-. （1）若()U C A B R ?=，求a 的取值范围； （2）若A
B B ≠，求a 的取值范围.
18.（本题满分12分）
已知函数1()max ,22x f x x ??=--????，(),1,
()1,1,f x x g x x x x ≤??=?+>??
（1）填写表格后描点，并画出()y g x =的图象；
（2）写出()g x 的最小值，以及不等式()20g x ->的解集. 19.（本题满分12分） 已知2
()21
x f x a =-
+为奇函数. （1）求证：()f x 为增函数； （2）求()f x 的值域. 20.（本题满分12分）
已知定义在R 上的函数()f x 对任意x ，y R ∈都有等式()()() 1f x y f x f y +=+-成立，且当0x >时，有()1f x >.
（1）求证：函数()f x 在R 上单调递增；
（2）若()34f =，且当0x >时，()()
9233x x f f m m ++-?>恒成立，求实数m 的取值范围. 21.（本题满分12分）
某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当S 中()%0100x x <<的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为
30,030
()1800
290,30100x f x x x x <≤??
=?+-<
（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；
（2）求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义. 22.（本题满分12分）
已知函数2
()(0)f x ax bx c a =++≠满足()01f =，对于任意x R ∈，()f x x ≥-，且
1122f x f x ????
+=- ? ?????
. （1）求函数()f x 解析式；
（2）讨论方程()|1|(0)f x mx m =->在区间(0,1)上的根个数.
参考答案：
2020级福州一中高一数学期中考试参考答案
1-8：BADB CDDC
9.ABD 10.BD 11.BCD 12.ABC
12.【解答】由(1)(1)(1)a b c abc ---=，得1abc ab bc ca a b c abc ---+++-=
1ab bc ca a b c ∴++=++-
设a b c x ++=，则1ab bc ca x ++=-.
2222()2()1a b c a b c ab bc ca ++=++-++=，
22(1)1x x ∴--=，解得1x =，即1a b c ++=，0ab bc ca ++=. ()0ab a b c ∴++=，即()(1)0ab a b a b ++--=.
220a b ab a b ∴++--=，即22(1)0
b a b a a +-+-=.
由a ，b R ∈知，()()
2
2
140a a a ?=---≥.
∴23210a a --≤，解得113a -
≤≤.因此13
a ≥-. 又当1=3a -时，代入前面解得，2
3
b c ==.符合题设要求.
∴a 的最小值为1
3
-.
13.2 14.[0,4) 15.11,43??
????
16.[1,)+∞ 17.解：（1）
{}02A x x =≤≤，{}0 2U C A x x x ∴=<>或，
若()U C A B R ?=，
则320322a a a a -≥??
≤??-≥?
，即0a ≤ ∴实数a 的取值范围是(,0]-∞. （2）若A
B B =，则B A ?.当B =?时，则32a a -<得1a >
当B =?时，1a ≤，∴当B A ?，则0322
a a ≥??
-≤?，得1,12a ??
∈????
综上故a 的取值花围为1,2a ??∈+∞????
.
18.解：（1）由题意1,12()2,111
,1
x x x g x x x x x ?--<-??
=-≤
，，，
图像如下：
（2）当1x =-时，min 1()2
g x =； 解集：5,(1,)2??
-∞-
+∞ ???
. 19.解：（1）∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，即22
2121
x x
a a --
=-+++ 整理得(2)2221212
x x x x
a a a a
-+-?+-=++ 则22a a
a a
-=-??
=-?，解得1a =.
2
()121
x f x ∴=-
+. ()f x 的定义域为R ，设12,x x R ∈，且12x x <，
()()()()()
121
212
1222222
21211212x x x x x x f x f x a a ?--=--+=++++ 12x x <，12220x x ∴-<，()()
1212120x x ++>，()()120f x f x ∴-<
即()()12f x f x <，所以()f x 为增函数.
（2）2()121x f x =-
+，211x
+>，10121x
∴<<+ 22021x ∴-<-<+，2
11121
x ∴-<-<+，即11()1f x -<<
故当()f x 为奇函数时，其值域为(1,1)-. 另解：2
()121
x
f x =-+. 由2121
x
y =-
+，得(1)21x
y y -=--， 当1y =时，得02=-，矛盾，所以1y ≠； 故有1
21
x
y y --=
-. 当x R ∈时，20x >，所以
1
01
y y -->-，解得11y -<<. 故当()f x 为奇函数时，其值域为(1,1)-.
20.解：（1）任取12,x x R ∈，且12x x <，则210x x ->，()211f x x ∴->，
()()()212110f x f x f x x -=-->，()()21f x f x ∴>.故函数()f x 在R 上单调递增.
（2）(3)(1)(2)1(1)1(1)(1)13(1)2f f f f f f f =+-=-++-=-，(1)2f ∴=， 原不等式等价于()()
92312x x f f m m ++-?->，
即()
()9231x x f m m f ++-?>，故9231x x m m ++-?>恒成立，
即0x >时，()3191x
x
m -<+，9131
x x m +<-.
设31x
t -=，则0t >，且291(1)12
2231x x
t t t t
+++==++≥-，当且仅当t =时等号成立。
∴0x >时，91
31
x x +-的最小值为2+，(,2m ∴<-∞+.
21.【详解】（1）由题意知，当30100x <<时，
1800
()29040f x x x
=+
->， 即2659000x x -+>，
解得20x <或45x >，
(45,100)x ∴∈，时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；
（2）当030x <≤时，
()30%40(1%)4010
x g x x x =?+-=-
当30100x <<时，
218013()290%40(1%)585010x g x x x x x x ??
=+-?+-=-+ ???；
240,030,10
()1358,30100.5010
x x g x x x x ?-<≤??∴=??-+<
当032.5x <<时，()g x 单调递减； 当32.5100x <<时，()g x 单调递增；
说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的； 有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的； 当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少. 22.解：（1）由(0)1f =，得1c =，由1122f x f x ????
+=-
? ?????
可知122b a -=，所以a b =- 又对于任意x R ∈，()f x x ≥-，即2
(1)10ax b x +++≥都成立，所以
0a >，22(1)4(1)0a a a ?=+-=-≤，1a ∴=，1b =-
所以2
()1f x x x =-+.
（2）2
21(1)2,()1(1),x m x x m
g x x m x x m ?-++≥??=??+-
，
①当01m <<时，此时11m <
，1(0,1),m ?
??-∞ ??
?
考虑2
()(1)g x x m x =+-，其对称轴为12m x -=
，此时1110122m m
-<<<<，
所以函数()g x 在10,
2m -?? ???上为减函数，在1,12m -??
???
上为增函数， 且(0)0g =，102m g -??
<
???
，(1)0g m =>，所以函数()0g x =在(0,1)上有一个根
②当1m =时，2222,1
(),1
x x x g x x x ?-+≥=?
③当1m >时，此时1
01m
<<， 若1x m
≥
，2
()(1)2g x x m x =-++，其对称轴为12m x +=，
此时
1112m m +<<
，所以函数()g x 在1,1m ??
???
上为减函数； 若1x m
<
，2
()(1)g x x m x =+-其对称轴为12m x -=
此时
1102m m -<<，所以函数()g x 在10,m ??
???
上为增函数 且()00g =，()12g m =-，
i.若20m -≥，即12m <≤时，函数()0g x =在(0,1)上没有根； ii.若20m -<，即2m >时，函数()0g x =在(0,1)上有一个根. 综上得，当01m <<或2m >时，函数()0g x =在(0,1)上有一个根； 当12m ≤≤时，函数()0g x =在(0,1)上没有根.