共点力平衡专题
【典型例题】
题型一：三力平衡
例1、如图所示，在倾角为α的斜面上，放一质量为m 的小球，小球被竖直的木板挡住，不计摩擦，则球对挡板的压力是( ) A ．mgcos α B ．mgtan α C.mg/cos α D ．mg
解法一：(正交分解法)：对小球受力分析如图甲所示，小球静止，
处于平衡状态，沿水平和竖直方向建立坐标系，将FN2正交分解，列平衡方程为F N1＝F N2sin α mg ＝F N2cos α
可得：球对挡板的压力F N1′＝F N1＝mgtan α，所以B 正确． 解法二：(力的合成法)：如图乙所示，小球处于平衡状态，合力为零．F N1与F N2的合力一定与mg 平衡，即等大反向．解三角形可得：F N1＝mgtan α，所以，球对挡板的压力F N1′＝F N1＝mgtan α.
解法三：(效果分解法)：小球所受的重力产生垂直板方向挤压竖直板的效果和垂直斜面方向挤压斜面的效果，将重力G 按效果分解为如上图
丙中所示的两分力G 1和G 2，解三角形可得：F N1＝G 1＝mgtan α，所以，球对挡板的压力F N1′＝F N1＝mgtan α.所以B 正确．
解法四：(三角形法则)：如右图所示，小球处于平衡状态，合力为零，所受三个力经平移首尾顺次相接，一定能构成封闭三角形．由三角形解得：F N1＝mgtan α，故挡板受压力F N1′＝F N1＝mgtan α.所以B 正确． 题型二：动态平衡问题
例2、如图所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A ，
A 的左端紧靠竖直墙，A 与竖直墙之间放一光滑圆球
B ，整个装置处于静止状态。设墙壁对B 的压力为F1，A 对B 的压力为F2，则若把A 向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则F1、F2的变化情况分别是（ ）
A ．F1减小
B ．F1增大
C ．F2增大
D ．F2减小
方法一 解析法：以球B 为研究对象，受力分析如图甲所示，根据
合成法，可得出F1＝Gtan θ，F2＝Gcos θ，当A 向右移动少许后，θ减小，则F1减小，F2减小。故选项A 、D 正确。
方法二 图解法：先根据平衡条件和平行四边形定则画出如图乙所示的矢量三角形，在θ角减小的过程中，从图中可直观地看出，F1、F2都会减小。故选项A 、D 正确。
【拓展延伸】在【典例2】中若把A 向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则地面对A 的摩擦力变化情况是（ ） A ．减小 B ．增大C ．不变 D ．先变小后变大
方法一 隔离法：隔离A 为研究对象，地面对A 的摩擦力F f ＝F 2sin θ，当F 2和θ减小时，摩擦力减小，故选项A 正确。
方法二 整体法：选A 、B 整体为研究对象，A 、B 整体受到总重力、地面的支持力、墙壁的压力和地面的摩擦力，所以摩擦力F f ＝F 1，当把A 向右移动少许后，随着F 1的减小，摩擦力也减小。故选项A 正确。
[相似三角形法]
例3、如图所示，小圆环A 吊着一个质量为m2的物块并套在另一个竖
2
sin
22
sin 22112αα==
m m R g
m R g m 解得：
直放置的大圆环上，有一细线一端拴在小圆环A上，另一端跨过固定在大圆环最高点B的一个小滑轮后吊着一个质量为m1的物块。如果小圆环A、滑轮、绳子的大小和质量以及相互之间的摩擦都可以忽略不计，绳子又不可伸长，若平衡时弦AB所对的圆心角为α，则两物块的质量比m1∶m2应为。
解析：对小圆环A受力分析，如图所示，F
T2与F
N
的合力与F
T1
平衡，由矢量三角
形与几何三角形AOB相似，可知：
例4、如图所示，在固定好的水平和竖直的框架上，A、B两点连
接着一根绕过光滑的轻小滑轮的不可伸长的细绳，重物悬挂于滑
轮下，处于静止状态。若按照以下的方式缓慢移动细绳的端点，
则下列判断正确的是（）
A．只将绳的左端移向A′点，拉力变小B．只将绳的左端移向A′点，拉力不变C．只将绳的右端移向B′点，拉力变小D．只将绳的右端移向B′点，拉力不变解析设滑轮两侧绳子与竖直方向的夹角为α，绳子的长度为L，B点到墙壁的距
离为s，根据几何知识和对称性，得：sin α＝s
L
①
以滑轮为研究对象，设绳子拉力大小为F，根据平衡条件得：
2F cos α＝mg，得F＝
mg
2cos α
②
当只将绳的左端移向A′点，s和L均不变，则由①②式得知，F不变，故A错误，B正确；当只将绳的右端移向B′点，s增加，而L不变，则由①式得知，α增大，cos α减小，则由②式得知，F增大，故C、D错误。
题型三、共点力平衡中的临界与极值问题例5、如图所示，不计重力的细绳AB 与竖直墙夹角为060，轻杆BC 与竖直墙夹角为030，杆可绕C 自由转动，若细绳承受的最大拉力为200 N ，轻杆能承受的最大压力为
300 N 。则在B 点最多能挂多重的物体？ 【解析】B 点受力分析如图所示。 将G F 分别分解为A B F 与BC F 方向的1G F 与2G F
12sin 30,cos30
G G G G F F F F ==23cos302
BC G G F F F G ===
11
sin 302
AB G G F F F G ===
所以：若BC F =300 N ，G =2003N 1003AB F =N ＜200 N ，满足要求。
若BC F =200 N ，G =400 N BC F = 2003N ＞300 N ，不满足要求 故最多挂346.4 N 的重物。 针对训练： 题型一：三力平衡
【练1】（多选）如图4所示，电灯的重力G ＝10 N ，AO 绳与顶板间的夹角为45°，
BO 绳水平，AO 绳的拉力为F A ，BO 绳的拉力为F B ，则（注意：要求按效果分解和正交分解两种方法求解）（ ）
A ．F A ＝10 2 N
B ．F A ＝10 N
C ．F B ＝10 2 N
D ．F B ＝10 N 效果分解法
正交分解法
【练2】如图所示，一条不可伸长的轻质细绳一端跨过光滑钉子b悬挂一质量为
m1的重物，另一端与另一轻质细绳相连于c点，ac＝l
2
，c点悬挂质量为m2的重物，平衡时ac正好水平，此时质量为m1的重物上表面正好与ac在同一水平线
上且到b点的距离为l，到a点的距离为5
4
l，则两重物的质量的比值
m1
m2
为（可用不同方法求解）（）
A.5
2
B．2 C.
5
4
D.
3
5
解法一合成法：解法二分解法：
解法三正交分解法：
题型二：动态平衡问题
【练2】[解析法或图解法]如图9所示，一光滑小球静置在光滑半球面上，被竖直放置的光滑挡板挡住。现水平向右缓慢地移动挡板，则在小球运动的过程中（该过程小球未脱离球面且球面始终静止），挡板对小球的推力F、半球面对小球的支持力F N的变化情况是（）
A．F增大，F N减小B．F增大，F N增大
C．F减小，F N减小D．F减小，F N增大
解析法
图解法
【练3】[图解法]如图所示，斜面顶端固定有半径为R的轻质滑轮，用不可伸长的轻质细绳将半径为r的球沿斜面缓慢拉升。不计各处摩擦，且R＞r。设绳对球的拉力为F，斜面对球的支持力为N，则关于F和N的变化情况，下列说确的是（）