差分方程模型的理论和方法
1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。
差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。
2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。
3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。在后面我们所举的实际例子中，这方面的内容应当重点体会。
差分方程模型作为一种重要的数学模型，对它的应用也应当遵从一般的数学建模的理论与方法原则。同时注意与其它数学模型方法结合起来使用，因为一方面建立差分方程模型所用的数量、等式关系的建立都需要其他的数学分析方式来进行；另一方面，由差分方程获得的结果有可以进一步进行优化分析、满意度分析、分类分析、相关分析等等。
第一节 差分
一、 基本概念
1、差分算子
设数列{}n x ，定义差分算子n n n x x x -=??+1:为n x 在n 处的向
前差分。
而1--=?n n n x x x 为n x 在n 处的向后差分。
以后我们都是指向前差分。
可见n x ?是n 的函数。从而可以进一步定义n x ?的差分：
n n x x 2)(?=??
称之为在n 处的二阶差分，它反映的是的增量的增量。 类似可定义在n 处的k 阶差分为：
))((1n k n k x x -??=?
2、差分算子 、不变算子、平移算子
记n n n n x Ix x Ex ==+,1，称E 为平移算子，I 为不变算子 。
则有：n n n n x I E Ix Ex x )(-=-=?
I E -=?∴
由上述关系可得：
i n k
i i k i k n i
k i i k i k n k n k x C x E C x I E x +=-=-∑∑-=-=-=?00)1()1()( （1） 这表明n x 在n 处的k 阶差分由n x 在k n n n ++....1,，处的取值所线性决定。
反之，
由 n n n x x x -=?+1 得 n n n x x x ?+=+1：
n n n n x x x x +-=?++1222，得：n n n n x x x x 2122?++-=++,
这个关系表明：第n+2项可以用前两项以及相邻三项增量的增量来表现和计算。即一个数列的任意一项都可以用其前面的k 项和包括这项在内的k+1 项增量的增量的增量……..第k 层增量所构成。
……..
,)1(1
0k n i n k i i k i k n k
x x C x ++-=-+-=?∑得： n k i n k i i k i k k n x x C x ?+--=+-=-+∑1
0)1( （2）
可以看出：
k n x +可以由n k n n x x x ??,...,,的线性组合表示出来
3、差分方程
由n x 以及它的差分所构成的方程
),...,,,(1n k n n n k x x x n f x -??=? （3）
称之为k 阶差分方程。
由（1）式可知（3）式可化为
),...,,,(11-+++=k n n n k n x x x n F x （4）
故（4）也称为k 阶差分方程（反映的是未知数列n x 任意一项
与其前，前面k 项之间的关系）。
由（1）和（2）可知，（3）和（4）是等价的。
我们经常用的差分方程的形式是（4）式。
4、差分方程的解与有关概念
（1） 如果n x 使k 阶差分方程（4）对所有的n 成立，则称n x 为
方程（4）的解。
（2） 如果-=x x n （-x 为常数）是（4）的解，即
),...,,(---=x x n F x
则称-
=x x n 为（4）的平衡解或叫平衡点。平衡解可能 不
只一个。平衡解的基本意义是：设n x 是（4）的解，考虑
n x 的变化性态，其中之一是极限状况，如果x x n n =∞
→lim ，则方程（4）两边取极限（x 就存在在这里面），应当有
),...,,(---=x x n F x （3） 如果（4）的解n x 使得-
-x x n 既不是最终正的，也不是最终
负的，则称n x 为关于平衡点-x 是振动解。
（4） 如果令：--=x x y n n ，则方程（4）会变成
),...,,(1-++=k n n k n y y n G y （5）
则 0=y 成为（5）的平衡点。
（5） 如果（5）的所有解是关于0=y 振动的，则称k 阶差分方
程 （5）是振动方程。如果（5）的所有解是关于0=y 非
振动的，则称k 阶差分方程（5）是非振动方程。
（6） 如果（5）有解n y ，使得对任意大的y N 有 0>≥n N n y
Sup y
则称n y 为正则解。（即不会从某项后全为零）
（7） 如果方程（4）的解n x 使得-
∞→=x x Lim n n ，则称n x 为稳定解。
5、差分算子的若干性质
（1）n n n n y x y x ?+?=+?βαβα)(.)(
（2）)
(1)(1n n n n n n n n
y x x y y y y x ?-?=?+
（3）n n n n n n y x x y y x ?+?=?+1)(
（4）∑∑==+++?+
-=?b
a
k k k a b a k a b b k k y x y x y x x y 111 （5）∑=?=+?==n
i i i
n n n
n x C x I x E x 0
000)(
第二节 差分方程常用解法与性质分析
1、常系数线性差分方程的解
方程)(...110n b x a x a x a n k k n k n =+++-++ （ 8）
其中k a a a ,...,,10为常数，称方程（8）为常系数线性方程。
又称方程0...110=+++-++n k k n k n x a x a x a （9）
为方程（8）对应的齐次方程。
如果（9）有形如n
n x λ=的解，带入方程中可得：
0 (11)
10=++++--k k k k a a a a λλλ （10）
称方程（10）为方程（8）、（9）的特征方程。
显然，如果能求出（10）的根，则可以得到（9）的解。
基本结果如下：
（1） 若（10）有k 个不同的实根，则（9）有通解：
n k k n n n c c c x λλλ+++=...2211，
（2） 若（10）有m 重根λ，则通解中有构成项：
n m m n c n c c λ)...(121----+++
（3）若（10）有一对单复根 βαλi ±=，令：?ρλi e ±=，
αβ?βαρarctan
,22=+=，则（9）的通解中有构成项： n c n c n n ?ρ?ρsin cos 21--+
（4） 若有m 重复根：βαλi ±=，φρλi e ±=，则（9）的通项中有构成
项：
n n c n c c n n c n c c n m m m m n m m ?ρ?ρsin )...(cos )...(1221121--
-++---+++++++
综上所述，由于方程（10）恰有k 个根，从而构成方程
（9）的通解中必有k 个独立的任意常数。通解可记为：-
n x 如果能得到方程（8）的一个特解：*n x ，则（8）必有通解：
=n x -n x +*n x （11）
（8） 的特解可通过待定系数法来确定。
例如：如果)(),()(n p n p b n b m m n =为n 的多项式，则当b 不是特征根时，可设成形如)(n q b m n 形式的特解，其中)(n q m 为m 次多项式；如果b 是r 重根时，可设特解：r n n b )(n q m ，将其代入（8）中确定出系数即可。
例1 设差分方程1,0,0231012===++++x x x x x n n n ，求n x
解：特征方程为0232=++λλ，有根：2,121-=-=λλ
故：n n n c c x )2()1(21-+-=为方程的解。
由条件1,010==x x 得：n n n x )2()1(---=
2、二阶线性差分方程组
设=)(n z )(n y x n ，)(d
c b a A =，形成向量方程组 )()1(n Az n z =+ （12）
则 )1()1(z A n z n =+ （13）
（13）即为（12）的解。
为了具体求出解（13），需要求出n A ，这可以用高等代数的方法计算。常用的方法有：
（1）如果A 为正规矩阵，则A 必可相似于对角矩阵，对角线上的元素就是A 的特征值，相似变换矩阵由A 的特征向量构成：)1()()1(,,111z p p n z p p A p p A n n n Λ=+∴Λ=Λ=---。
（2）将A 分解成ηξξη,,/,=A 为列
A A n n n .)(.......).(1//.//-===ηξηξηξηξηξ
从而，)1(.)()1()1(1/Az z A n z n n -==+ηξ
（3） 或者将A 相似于约旦标准形的形式，通过讨论A 的特征值的性态，找
出n A 的内在构造规律，进而分析解)(n z 的变化规律，获得它的
基本性质。
3、关于差分方程稳定性的几个结果
（1）k 阶常系数线性差分方程（8）的解稳定的充分必要条件是它对应的特征方程（10）所有的 特征根k i i ...2,1,=λ满足1
（2）一阶非线性差分方程
)(1n n x f x =+ （14）
（14）的平衡点-x 由方程)(-
-=x f x 决定，
将)(n x f 在点-x 处展开为泰勒形式：
)())(()(/---+-=x f x x x f x f n n （15） 故有：1)(/<-x f 时，（14）的解-
x 是稳定的， 1)(/>-x f 时，方程（14）的平衡点-
x 是不稳定的。
第三节 差分方程建模举例
差分方程建模方法的思想与与一般数学建模的思想是一致的，也需要经历 背景分析、确定目标、预想结果、引入必要的数值表示（变量、常量、函数、积分、导数、差分、取最等）概念和记号、几何形式（事物形状、过程轨迹、坐标系统
等），也就是说要把事物的性态、结构、过程、成分等用数学概念、原理、方法来表现、分析、求解。当然，由于差分方程的特殊性，首先应当把系统或过程进行特别分解，形成表现整
个系统的各个部分的离散取值形式，或形成变化运动过程的时间或距离的分化而得到离散变量。然后通过内在的机理分析，找出变量所能满足的平衡关系、增量或减量关系及规律，从而得到差分方程。另外，有时有可能 通过多个离散变量的关系得到我们关心的变量的关系，这实际上建立的是离散向量方程，它有着非常重要的意义。有时还需要找出决定变量的初始条件。有时还需要将问题适当分成几个子部分，分别求解。
模型1 种群生态学中的虫口模型：
在种群生态学中，考虑像蚕、蝉这种类型的昆虫数目的变化 ，他的变化规律是：每年夏季这种昆虫成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子。建立数学模型来表现虫子数目的变化规律。
模型假设与模型建立：假设第n 年的虫口数目为n P ，每年
一个成虫平均产卵c 个（这个假设有点粗糙，应当考虑更具体的产卵分布状况），则有：n n cP P =+1，这是一种简单模型；
如果进一步分析，由于成虫之间会有争斗以及传染病、天敌等的威胁，第n+1年的成虫数会减少，如果考虑减少的主要原因是虫子之间的两两争斗，由于虫子配对数为
)1(21-n n p p 22
1n p ≈，故减少数应当与它成正比，从而有： 21n n n bP cP P -=+
这个模型可化成：)1(1n n n x x x -=+λ，这是一阶非线性差分方程。这个模型的解的稳定性可以用相应一阶差分方程的判断方法，即（14）式来获得。
如果还考虑其它的影响成虫孵卵及成活的因素的定量关系，这个模型在此基础上仍可进一步改进，更加符合实际情形。这种关系一方面可以通过机理分析，确定减少量与影响因素的定量关系，另一方面也可以用统计的方法来线性估计影响程度。或者还可以用影响曲线的方法来直观表现影响的比例关系、周期关系、增量关系等等。
模型2 具周期性的运动过程的差分方程模型
建立差分方程描述振动台上的乒乓球垂直运动的方程，即把运动过程中的某些离散变化取值的变量的变化规律表现出来。
假设：乒乓球与振动台之间的振动恢复系数为1,≤αα
振动台台面的上下位移是t ~sin ωβ-，乒乓球初始时刻在离台面垂直距离为H 处为自由落体运动H <<β。 又假设j t 为第j 次碰
撞时刻，第 j 次碰撞前的速度为)(j t u -，碰撞后的速度为)(j t v 。假设)()(1j j t v t u =+。振动台台面的运动速度为
t t dt d t ~~cos )sin ()(ωβωβω-=-=；又记g v v t ~~
2,ωωφ==，则有：g t v t t j j j )
(211++=-，∴g v t t j
j j ~1~2)(ωω=-+，
∴j j j v =-+φφ1 （3.1）
另外，由碰撞规律分析可知：
))(()(1111+++++-=-j j j j t u t v ωαω
该式经简化处理后可得：
)cos(1j j j j v v v +-=+φγα （3.2） 由（1）和（2）式联立可得二阶差分非线性方程组
j j j v =-+φφ1
)cos(1j j j j v v v +-=+φγα
模型3 蛛网模型
（1） 经济背景与问题：在自 由市场经济中，有些商品的生产、销
售呈现明显的周期性。农业产品往往如此，在工业生产中，许多商品的生产销售是有周期性的，表现在：商品的投资、销售价格、产量、销售量在一定时期内是稳定的，因而整个某个较长的时期内这些经济数据表现为离散变量的形式。在这些因素中，我们更关心的是商品的销售价格与生产产量这两个指标，它们是整个经营过程中的核心因素，要想搞好经营，取得良好的经济效益，就必须把握好这两个因素的规
律，作好计划。试分析市场经济中经营者根据市场经济的规律，如何建立数学模型来表现和分析市场趋势的。
（2） 模型假设与模型建立
将市场演变模式划分为若干段，用自然数n 来表示；
设第n 个时段商品的数量为n x ，价格为n y ，n=1,2….;
由于价格与产量紧密相关，因此可以用一个确定的关系来表现：即设有 )(n n x f y = （3. 3）
这就是需求函数，f 是单调减少的对应关系;
又假设下一期的产量1+n x 是决策者根据这期的价格决定
的，即：设)(1n n y h x =+，h 是单调增加的对应关系，
从而，有关系：)(1+=n n x g y （3.4）
g 也是单调增加的对应关系.
因此可以建立差分方程：)]([1n n x f h x =+ （3.5）
)]([1n n y h f y =+ （3.6） 这就是两个差分方程。属一阶非线性差分方程。
（3） 模型的几何表现与分析。
为了表现出两个变量n x 和n y 的变化过程，我们可以借助已有的
函数f 和g ,通过对应关系的几何表现把点列),(n n y x ，和),(1n n y x +在坐标系中描绘出来，进而分析它们的变化规律、趋势、找稳定点等等。其中)(,(),(),(,(),(111+++==n n n n n n n n x g x y x x f x y x
将点列.).........,(),,(),,(),,(344
333122111y x p y x p y x p y x p 连接起来，就会形成象蛛网一样的折线，这个图形被称作为蛛网模型。可以设想，这种形式可作为差分方程分析与求解的重要手段，它的主要数学技术是：图形的描绘，曲线上点列的描绘（设法由前一个点的一个坐标分量来算出下一个点的一个坐标分量，并确认它在哪条曲线上，就可以画出这个点；有时或者可由前两个点决定下一个点的一个坐标分量），也就是通过直观、几何形式，把我们关心的变量的所有可能取值表示出来。这里采用的方法是，引入两条曲线，因为在曲线示有关系的变量是既方便又有意义的。
y
易见：如果点列.).........,(),,(),,(),,(344333122111y x p y x p y x p y x p 最后收敛于点0p ，则,0x x n →0y y n →，并且0p 就是两条曲线的交点，从而
稳定的。这也表明，市场在长期运行之后会保持一种稳定的状态，说明市场处于饱和状态。要想进一步发展就必须打破这种平衡，在决策机制和方法上有所改进。
几何上的进一步分析表明，如果曲线),(x f y =和)(x g y =在交点0p 处切线的斜率的绝对值记为：g f k k ,，则
当g f k k <时，0p 是稳定的；
当 g f k k > 时，0p 是不稳定的。
(4) 模型的差分方程分析
设点),(000y x p 满足：)(),(0000y h x x f y ==，
在0p 点附近取函数)(),(x h x f 的一阶近似：
)8.3.........(....................,.........0),()
7.3...(..............................,.........0),(00100>-+=>--=+ββααy y x x x x y y n n n n
合并两式可得：)9.3.........(,.........2,1,)1(01=++-=+n x x x n n αβαβ 这是关于n x 的一阶线性差分方程。当然它是原来方程的近似模
型。作为数学模型，本来就是客观实际问题的近似模拟，现在为了处理方便，适当取用其近似形式是合理的。
其中，α-为f 在0p 点处的切线斜率；β1
为g(x)在0p 点处切线的斜率。
方程（3.9）递推可得：
)10.3...(....................])(1[)(011x x x n n n αβαβ--+-=+ 所以，0p 点稳定的充要条件是：,1<αβ即：βα1
<
这个结论与蛛网模型的分析结果是一致的。
（4） 模型推广
如果决策时考虑到1+n x 与1,+n n y y 都有关系，则可假设 )11.3.....(..............................) (2)
(
11+++=n n n y y g x 这时数学模型为：)(n n x f y = ).2
(11+++=n n n y y g x 对此模型仍用线性近似关系可得：首先求出平衡点，即解方程 )(00x f y =
)().2(
0000y g y y g x =+= 则有： )
2(2)2(2)(01010101y y y x x y y y y g x n n n n n n -+=-∴-++
=++-+β
β 再结合（3.7）可得： )2)()((200100001y x x y x x y x x n n n ---+--=--+ααβ
0111)1(2x x x x n n n αβαβαβ+=++∴--+
即： )12.3.........(....................)1(2012x x x x n n n αβαβαβ+=++++ 特征方程为： 022=++αβαβλλ
特征根为：48)(22,1αβ
αβαβλ--+
-=
所以：8>αβ时，24
2-<-<αβλ，此时解不稳定。 8<αβ时，22,1αβ
λ=，则2<αβ时，12,1<λ
从而解是稳定的。
这个条件比原来的模型解的稳定性条件放宽了。说明决策水 平提高了。
进一步来看，对这个模型还可以进行进一步的分析：考虑下一年的产量时，还可以近三年的价格来决定，例如：设
)3
(211--+++=n n n n y y y h x ，；另外还可以考虑引入投资额n z ，并建立有关的离散方程关系。
模型4 人口的控制与预测模型
背景分析：人口数量的发展变化规律及特性可以用偏微分方程的理论形式来表现和模拟。但在实际应用中不是很方便，需要建立离散化的模型，以便于分析、应用。人口数量的变化取决于诸多因素，比如：女性生育率、死亡率、性别比、人口基数等。试建立离散数学模型来表现人口数量的变化规律。
模型假设：以年为时间单位记录人口数量，年龄取周岁。
（1） 设这个地区最大年龄为m 岁
（2） 第t 年为i 岁的人数为,......2,1,0;....2,1),(==t m i t x i ，
这个数量指标是整个问题分析、表现的目标和载体，我们的目的就是找出这些变量的变化规律、内在的普遍联系。
（3） 设第t 年为i 岁的人口平均死亡率为)(t d i ，即这一年中i 岁人口中死亡数与基数之比：)
()1()()(1t x t x t x t d i i i i +-=+ 即： ,...2,1,0;1,...,2,),())(1()1(1=-=-=++t m i i t x t d t x i i i
（4） 设第t 年i 岁女性的生育率：即每位女性平均生育婴儿 数为
)(t b i ，],[21i i 为生育区间。)(t k i 为第t 年i 岁人口的女性比
（占全部i 岁人口数）
由此可知：第t 年出生的人数为：
∑==2
1)()()()(i i i i i i t x t k t b t f
（5） 记第t 年婴儿的死亡率为)(00t d ，则)())(1()(000t f t d t x -=
（6） 设)()()()
()(21
t t b t b t b t h i i i i i
i i β==∑=，它表示i 岁女性总生育率， 则)()()(t h t t b i i β=，如果假设t 年后女性出生率保持不变，则 )(...)()()(2111t b t b t b t i i i +++=+β
)(...)1()(1212
11i i t b t b t b i i i -+++++=+
可见，)(t β表示每位妇女一生中平均生育的婴儿数，称之为总和生育率。它反映了人口变化的基本因素。
模型建立：根据上面的假设 ∑∑∑====--=--=--=-=+2
12
121)()()()
()()()())(1))((1()
()()())(1))((1()
())(1))((1()
())(1()1(/
000000000001i i i i i i i i i i i i i i i i i t x t b t t x t k t h t t d t d t x t k t b t d t d t f t d t d t x t d t x ββ
)())(1()1(122t x t d t x -=+
………………………………..
)())(1()1(11t x t d t x m m m ---=+
为了全面系统地反映一个时期内人口数量的状况，
令 /21)](),...,(),([)(t x t x t x t x m =
n
m m t d t d t d t A ?-????????????????---=0)(1...00.......................00...0)(1000...00)(100...000)(121
n
m i i t b t b t B i i ?????????????????=0...0...0000...0 (000)
0...0...0000...0...0000)...()...(00)( 则此向量)(t x 满足方程：
)()()()()()1(t x t B t t x t A t x β+=+
即：)13.3....(....................).........
())()()(()1(t x t B t t A t x β+=+ 这是一阶差分方程
其中)(t β是可控变量，)(t x 是状态变量，并且关于)(t β和)(t x 都是线性的，故称其为双线性方程。
模型分析：
在稳定的社会环境下，死亡率 、生育模式、女性比例、婴儿存活率是可以假设为不变的，故B t B A t A ==)(,)(为常数矩阵。从而，
)14.3......(..............................).........
()).(()1(t x B t A t x β+=+
只要总生育率)(t β确定下来，则人口的变化规律就可以确定下来。为了更全面地反映人口的有关信息，下面再引入一些重要的指标：
（1） 人口总数：∑==m
i i t x t N 0)()(
（2） 人口平均年龄：∑==m i i t x i t N t R 0
)(.)(1)( （3） 平均寿命：∑∑==-=m j j
i i t d t S 00)](exp[)(，这里假定从第t 年分析，如
果以后每年的死亡率是不变的，即：...)1()(1=+=+t d t d i i
则∑=j
i i t d 0)(表示 t 年出生的人活到第j+1年期间的死亡率，这
也表明其寿命为j 岁，j=1,2…m.而∑=-j
i i t d 0))(exp(表示寿命。
通过求出)(t x 的变化规律，就可以对上面引入的3个指标进行更具体的分析，从而对人口的分布状况、变化趋势、总体特征等有科学的认识和把握。具体求解分析这里不再进行。
模型5 线性时间离散弥漫网络模型
引言：一个国家在一定时间段内的财富依赖于许多因素，不同国家的相互交流是重要的方面。建立数学模型，表现国家财富的变化与国家间财富的流动之间的关系。
模型假设：设有n 个国家，用)(t i u 表示在时期{,...}2,1,0∈t 的财富。假设只考虑这些国家之间仅仅两两国家之间有交流关系。并且假设财富流动的系数是γ。
模型的建立：国家间的财富关系应当满足
)()()(1)()(1)(2)(1)1(1t t n t t t t u u u u u u -+-=-+γγ
)()()
(2)(3)(2)(1)(2)1(2t t t t t t u u u u u u -+-=-+γγ
…………..
)()()(1)()(1)(2)(1)1(1t n t n t n t n t n t n u u u u u u ----+--+-=-γγ
)()()()(1)()(1)()1(t n t n t n t t n t n u u u u u u -+-=--+γγ
用矩阵形式表示：
令/)()(2)(1)(),......,,(t n t t t u u u u =表示时期t 各个国家的财富状态；
令?
?
?
?
?
??
???????????????????----------=210.0001121..00001.2.....................00..121000..012110..0012.n A
则有：)10.3......(..............................)()
()1(t n t u A I u γ-=+
记n n A I A γ-=~ ，则 )11.3....(..........)
0(~)(u A u t
n t =
模型计算与分析：
计算可知n A 的特征值为；,1,sin 42)(n k n k k ≤≤=π
λ
~n A 的特征值为 n k k π
γγλ2)(sin 4`11-=-
对应的特征向量为 n k v v v k
n k k ≤≤=1......),......,(/)
()(1)(
其中 )2sin 2(cos 1)(n km n km n v k m π
π
+=
为讨论方便起见，引入如下记号： /)()()1,...,1,1(1
,0n v n n ==λ
,)1,...1,1(1
,/)0()()0(n v n ==λλ
则有：n 为偶数时：
,
4.........0)2()2()12()12()()()()0(==<<=<<=<<==-+--n
n n
n
n
k n k n λλλλλλλλ
n 为奇数时： 4......0)21
()21()()()()0(<=<<=<<==+--n n k n k n λλλλλλ
记：k V 为由)()(,k n k v v -张成的子空间，
则：∑-=><=1
)()0()()0(,n k k k v u v u
∑∑∑∑=∈-=-=><-=><-=><==]2[0)0()(1)
()0()()()(~)0(10)
()0(~)(,)1(,)1(,n k V t k n o
k k k t k k t
n n k k t
n t k
u v u v v A u v u A u ωω
ωγλγλ 由此式进一步分析可以获得：当∞→t 时，)(t n u 的渐进变化状态规律
(略)。
模型 6 金融问题的差分方程模型
1、 设现有一笔p 万元的商业贷款，如果贷款期是n 年，年利率是
1r ，今采用月还款的方式逐月偿还，建立数学模型计算每月的还款数是多少？
模型分析：在整个还款过程中，每月还款数是固定的，而待
还款数是变化的，找出这个变量的变化规律是解决问题的关
键。
模型假设：设贷款后第 k 个月后的欠款数是k A 元，月还款为
m 元，月贷款利息为12
1r r =。 模型建立：关于离散变量k A ，考虑差分关系有：
m A rA A k k k +=++1，
即：m A r A k k -+=+)1(1 （3.15）
这里已知有：0,100000240==A A
模型求解：令1--=k k k A A B ，则111)1()1(--+=+=k k k r B r B B
k k B B B A A ++++=∴ (210)
])1(...)1(1[110-++++++=k r r B A ,...2,1,0],1)1[()1(0=-+-+=k r r
m r A k k
这就是差分方程（3.15）的解。把已知数据r A ,0代
入012=n A 中，可以求出月还款额m 。例如：
2,0052125.0,100000===n r A 时，可以求出：356.444=m 元。
模型的进一步拓广分析：拓广分析包括条件的改变、目标的改变、某些特殊结果等。如果令A A k =，则r m A =
，并且 当r m A =0时，总有r
m A k =，即表明：每月只还上了利息。只有当r
m A <0时，欠款余额逐步减少，并最终还上贷款。
2、 养老保险模型
问题：养老保险是保险中的一种重要险种，保险公司将提供不同的保险方案供以选择，分析保险品种的实际投资价值。也就是说，分析如果已知所交保费和保险收入，按年或按月计算实际的利率是多少？也就是说，保险公司需要用你的保费实际获得至少多少利润才能保证兑现你的保险收益？
模型举例分析：假设每月交费200元至60岁开始领取养老金，男子若25岁起投保，届时养老金每月2282元；如35岁起保，届时月养老金1056元；试求出保险公司为了兑现保险责任，每月至少应有多少投资收益率？这也就是投保人的实际收益率。
模型假设：这应当是一个过程分析模型问题。过程的结果在条件一定时是确定的。整个过程可以按月进行划分，因为交费是按月进行的。假设投保人到第k 月止所交保费及收益的累计总额为k F ，每月收益率为r ，用q p 、分别表示60岁之前和之后每月交费数和领取数，N 表示停交保险费的月份，M 表示停领养老金的月份。
模型建立：在整个过程中，离散变量k F 的变化规律满足：
???=-+=-=++=++M
N k q r F F N k p r F F k k k k ,...,,)1(1,...,1,0,)1(11， 在这里k F 实际上表示从保险人开始交纳保险费以后，保险
人帐户上的资金数值，我们关心的是，在第M 个月时，M F 能
否为非负数？如果为正，则表明保险公司获得收益；如为负数，则表明保险公司出现亏损。当为零时，表明保险公司最后一无所有，表明所有的收益全归保险人，把它作为保险人的实际收益。从这个分析来看，引入变量k F ，很好地刻画了整个过
程中资金的变化关系，特别是引入收益率r ，虽然它不是我们所求的保险人的收益率，但是从问题系统环境中来看，必然要
考虑引入另一对象：保险公司的经营效益，以此作为整个过程中各种量变化的表现基础。
模型计算：以25岁起保为例。假设男性平均寿命为75岁，则有 600,420;2282,20====M N q p ，初始值为00=F ，我们可以得到：M N k r r
q r F F N k r r p r F F N k N k N k k k k ,...,1],1)1[()1(`,..,2,1,0],1)1[()1(0+=-+-+==-++
+=-- 在上面两式中，分别取,N k =和M k =并利用0=M F 可以求出： 0)1)(1()1(=+++-+-p q r p q r N M M 利用数学软件或利用牛顿法通过变成求出方程的跟为：
00485.0=r
同样方法可以求出：35岁和45岁起保所获得的月利率分别为
00413.0,00461
.0==r r
练习题：
1、金融公司支付基金的流动模型：某金融机构设立一笔总额为S /540 万的基金，分开放置位于A 城和B 城的两个公司，基金在平时可
以使用，但每周末结算时必须确保总额仍为S
/540 万。经过一段时间运行，每过一周，A 城公司有10%的基金流动到B 城公司，而B 城公司
则有12%的基金流动到 A 城公司。开始时，A 城公司基金额为S
/260万，B 城公司为S
/280万。试建立差分方程模型分析：两公司的基金数额变化趋势如何？进一步要求，如果金融专家认为每个公司的支付基
金不能少于S
/220万，那么是否需要在什么时间将基金做专门调动来避免这种情况？
2、某保险公司推出与养老结合的人寿保险计划，其中介绍的例子为：如果40岁的男性投保人每年交保险费1540元，交费期20岁至60岁，则在他生存期间，45岁时（投保满5年）可获返还补贴4000元，50岁时（投保满10年）可获返还补贴5000元，其后每隔5年可获增幅为1000元的返还补贴。另外，在投保人去世或残废时，其受益人可获保险金20000元 。试建立差分方程模型分析：若该投保人的寿命为76岁，其交保险费所获得的实际年利率是多少？而寿命若为74岁时，实际年利率又是多少？
3、Leslie 种群年龄结构的差分方程模型
已知一种昆虫每两周产卵一次，六周以后死亡（给除了变化过程的基本规律）。孵化后的幼虫2周后成熟，平均产卵100个，四周龄的成虫平均产卵150个。假设每个卵发育成2周龄成虫的概率为
0.09，（称为成活率），2周龄成虫发育成4周龄成虫的概率为0.2。
（1） 假设开始时，0~2，2~4，4~6周龄的昆虫数目相同，计算2
周、4周、6周后各种周龄的昆虫数目；
（2） 讨论这种昆虫各种周龄的昆虫数目的演变趋势：各周龄的
昆虫比例是否有一个稳定值？昆虫是无限地增长还是趋于灭亡？
（3） 假设使用了除虫剂，已知使用了除虫剂后各周龄的成活率
减半，问这种除虫剂是否有效？
4、按年龄分组的种群增长一般模型及灵敏性分析
对在问题3中的模型做进一步的拓广。对于某种群建立数学模型分析其数量变化规律，。这里分析的对象是特定的种群，变化过程可以按相等间隔的时段末来记录。为了精确表现种群的变化，自然需要将种群进行分类，不妨按与时间段长度相同的年龄进行分组。为了简化模型，对每一时段的种群取相同的最大年龄，这里相当于认为很大年龄的那部分视作为相同年龄，在下一个时段全部消失。考虑每一时段中不同年龄组种群数量构成的向量、不同年龄组的繁殖率i b 和存活率i s ，（1）建立差分方程分析种群的变化规律；（2）进行种群数量的
稳定性分析，即时间充分长以后种群年龄结构及数量变化；（3）对i b 和i s 关于种群的增减进行灵敏性分析（提示：考虑由i b 和i s 所构作的新参数11121......-+++=n n s s b s b b R ，解释这个参数的实际意义，并利用它进
行灵敏性分析 ）
补充知识：矩阵P= ?????????
???????????--0000000000000110
1210n n n P P P F F F F F
，其中 1,...,,0,0;,...,1,0,0-=>=≥n i i P n j F i j 称矩阵P 为Leslie 矩阵。
基本概念：设矩阵的特征值为n λλλ,...,,10，将它们的模按从大到小的顺序排列（不妨设为）：n λλλ≥≥≥...10，则称0λ为矩阵的主特征值，如果10λλ>，则称0λ为严格主特征值。
Leslie 矩阵P 的几个基本性质：
（1） 特征多项式为：
)...(...)()()(110221011001n n N n n n F P P P F P P F p F p ---+-----=λλλλλ
它有唯一一个正的单特征值0λ（重数为1），且为主特征值。
（2） 如果λ为L 矩阵P 的一个非零特征值，则 T n n P P P P P P )...,...,,,1(1102100λ
λλαλ-= 为与λ对应的一个特征向量。 （3） 若L 矩阵第一行有两个相临元素非零，则它的唯一正特征根
0λ为严格主特征值。
（4） 若m k k k ,...,,21是L 矩阵中第一列中非零元素所处的列数，且
m k k k ,...,,21互素，则0λ为严格主特征值。
考研数学三（常微分方程与差分方程）-试卷4 (总分：58.00，做题时间：90分钟) 一、选择题(总题数：3，分数：6.00) 1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数： 2.00） __________________________________________________________________________________________ 解析： 2.设函数y 1 (x)，y 2 (x)，y 3 (x)线性无关，而且都是非齐次线性方程(6．2)的解，C 1，C 2为任意常数，则该非齐次方程的通解是 （分数：2.00） A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3． B.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(C 1 +C 2 )y 3． C.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(1-C 1 -C 2 )y 3． D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1-C 1 -C 2 )y 3．√ 解析：解析：对于选项(D)来说，其表达式可改写为 y 3 +C 1 (y 1 -y 3 )+C 2 (y 2 -y 3 )，而且y 3是非齐次方程(6．2)的一个特解，y 1 -y 3与y 2 -y 3是(6．4)的两个线性无关的解，由通解的结构可知它就是(6．2)的通解．故应选(D)． 3.已知sin 2 x，cos 2 x是方程y""+P(x)y"+Q(x)y=0的解，C 1，C 2为任意常数，则该方程的通解不是（分数：2.00） A.C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x． B.C 1 +C 2 cos2x． C.C 1 sin 2 2x+C 2 tan 2 x．√ D.C 1 +C 2 cos 2 x． 解析：解析：容易验证sin 2 x与cos 2 x是线性无关的两个函数，从而依题设sin 2 x，cos 2 x为该方程的两个线性无关的解，故C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x为方程的通解．而(B)，(D)中的解析式均可由C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x恒等变换得到，因此，由排除法，仅C 1 sin 2 2x+C 2 tan 2 x不能构成该方程的通解．事实上，sin 2 2x，tan 2 x都未必是方程的解，故选(C)． 二、填空题(总题数：1，分数：2.00) 4.当y＞0时的通解是y= 1． （分数：2.00） 填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]） 解析：解析：将原方程改写成，然后令y=ux，则y"=u+xu"．代入后将会发现该变形计算量较大．于 是可转换思维方式，将原方程改写成分离变量，然后积分得 三、解答题(总题数：25，分数：50.00) 5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 解析： 6.求微分方程x(y 2 -1)dx+y(x 2 -1)dy=0的通解． （分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：用(x 2 -1)(y 2 -1)除方程的两端，则原方程化为由此可见这是一个变量可
*5.8 三元一次方程组 学习目标 1.了解三元一次方程组的概念. 2.会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组． 3.掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元的思路． 知识详解 1．三元一次方程及三元一次方程组 （1）三元一次方程：含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程． （2）三元一次方程组： ①定义：含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫三元一次方程组． a．构成三元一次方程组中的每一个方程都必须是一次方程； b．三元一次方程组中的每个方程不一定都含有三个未知数，但方程组中一定要有三个未知数． 2．三元一次方程组的解 （1）三元一次方程的解：使三元一次方程左右两边相等的三个未知数的值，叫做三元一次方程的解． 和二元一次方程一样，一个三元一次方程也有无数个解． （2）三元一次方程组的解：组成三元一次方程组的三个方程的公共解，叫做三元一次方程组的解．它也是三个数． （3）检验方法：同二元一次方程和二元一次方程组的检验方法一样，代入检验，左、右两边相等即是方程的解． 检验三元一次方程组的解：三元一次方程组的解是三个数，将这三个数代入每一个方程检验，只有这些数满足方程组中的每一个方程，这些数才是这个方程组的解． 3.三元一次方程组的解法 （1）解法思想：解三元一次方程组的基本思路是消元，其方法有代入消元法和加减消元法两种，通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程．（2）步骤： ①观察方程组中每个方程的特点，确定消去的未知数； ②利用加减消元法或代入消元法，消去一个未知数，得到二元一次方程组； ③解二元一次方程组，求出两个未知数的值； ④将所得的两个未知数的值代入原三元一次方程组中的某个方程，求出第三个未知数的值； ⑤写出三元一次方程组的解． （3）注意点： ①三元一次方程组的解法多种多样，只要逐步消元，解出每一个未知数即可；
2017年考研数学三真题及解析 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1 ．若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续，则 （A ）12ab = （B ）1 2 ab =-（C ）0ab =（D ）2ab = 【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x x f x ax ax a +++→→→-=== ，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足11 22 b ab a =?=．所以应该选（A ） 2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（ ） （A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,) 【详解】 2(3)32z y x y xy y xy y x ?=---=--?，232z x x xy y ?=--?， 解方程组2 2320320z y xy y x z x x xy y ??=--=??????=--=???，得四个驻点．对每个驻点验证2 AC B -，发现只有在点11(,)处满足 230AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ） 3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则 （A ） (1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <- 【详解】设2 ()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2 ()f x 是单调增加函数．也就得到 () ()2 2 (1)(1)(1)(1)f f f f >-?>-，所以应该选（C ） 4． 若级数 21 1sin ln(1)n k n n ∞ =??--??? ?∑收敛，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2- 【详解】iv n →∞时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n ???????? --=---+=++ ? ? ? ? ????? ???? 显然当且仅当(1)0k +=，也就是1k =-时， 级数的一般项是关于1 n 的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C ）．
上海交通大学致远学院 《常微分方程和偏微分方程的数值解法》教学大纲 一、课程基本信息 课程名称（中文）：常微分方程和偏微分方程的数值解法 课程名称（英文）：Numerical Methods for Ordinary and Partial Differential Equations 课程代码：MA300 学分 / 学时：4学分 / 68学时 适用专业：致远学院与数学系相关专业 先修课程：偏微分方程，数值分析 后续课程：相关课程 开课单位：理学院数学系计算与运筹教研室 Office hours: 每周二19：00—21：00，地点：数学楼1204 二、课程性质和任务 本课程是致远学院和数学系应用数学和计算数学方向的一门重要专业基础课程，其主要任务是通过数学建模、算法设计、理论分析和上机实算“四位一体”的教学方法，使学生掌握常微分方程与偏微分方程数值解的基本方法、基本原理和基本理论，进一步提升同学们利用计算机解决实际问题的能力。在常微分方程部分，将着重介绍常微分方程初值问题的单步法，含各类Euler方法和Runge-Kutta方法，以及线性多步法。将简介常微分方程组和高阶常微分方程的数值方法。在偏微分方程部分，将系统介绍求解椭圆、双曲、抛物型方程的差分方法的构造方法和理论分析技巧，对于椭圆型方程的边值问题将介绍相应变分原理与有限元方法。将在课堂上实时演示讲授的核心算法的计算效果，以强调其直观效果与应用性。本课程重视实践环节建设，学生要做一定数量的大作业。 三、教学内容和基本要求 第一部分：常微分方程数值解法 1 引论 1.1回顾：一阶常微分方程初值问题及解的存在唯一性定理
[考研类试卷]考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷17 一、选择题 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1 方程y(4)一2y"'一3y"=e-3x一2e-x+x的特解形式是(其中a，b，c，d为常数) ( ) （A）axe-3x+bxe-x+cx3 （B）ae-3x+bxe-x+cx+d （C）ae-3x+bxe-x+cx3+dx2 （D）axe-3x+be-x+cx3+dx 2 设线性无关的函数y1(x)，y2(x)，y3(x)均是方程y"+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该方程的通解是 ( ) （A）C1y1+C2y2+y3 （B）C1y1+C2y2一(C1+C2)y3 （C）C1y1+C2y2一(1一C1一C2)y3 （D）C1y1+C2y2+(1一C1一C2)y3 3 函数(其中C是任意常数)对微分方程而言 ( ) （A）是通解 （B）是特解 （C）是解，但既非通解也非特解 （D）不是解
4 微分方程y"一6y’+8y=e x+e2x的一个特解应具有的形式为(其中a，b为常数)( ) （A）ae x+be2x （B）ae x+bxe2x （C）axe x+be2x （D）axe x+bxe2x 5 微分方程y"+2y’+2y=e-x sin x的特解形式为(其中A，B为常数) ( ) （A）e-x(Acos x+Bsin x) （B）e-x(Acos x+Bx sin x) （C）xe-x(Acosx+Bsinx) （D）e-x(Axcosx+Bsinx) 6 微分方程的通解是(其中C为任意常数) ( ) 7 微分方程y"一4y’+4y=x2+8e2x的一个特解应具有形式(其中a，b，c，d为常数) ( ) （A）ax2+bx+ce2x （B）ax2+bx+c+dx2e2x （C）ax2+bx+cxe2x （D）ax2+(bx2+cx)e2x
本材料是关于线性常差分方程基本知识的笔记，参考了两个文献： 1、《差分方程》【日】福田武雄著穆鸿基译上海科学技术出版社1962年9月第一版 2、《常差分方程》王联、王慕秋著新疆大学出版社1991年2月第一版
目录 第一节差分 第二节和分 第三节对步长及定义域的约定 第四节阶乘多项式与差分 第五节Bernoulli多项式与差分 第六节几个公式,例题 第七节n阶线性常差分方程的解的结构 第八节 Lagrange变易常数法 第九节解n阶常系数齐次线性方程的特征根方法 第十节常系数对称型线性方程的解 第十一节几种特殊常系数非齐次线性方程的解法
第一节 差分 定义1.1：设函数()x f 的定义域是D ，R D ?，R x ∈?，0≠?x ，D x ∈?有D x x ∈?+，定义算子?为 ()()()x f x x f x f -?+=? 称x ?是x 的变化步长，()x f ?是()x f 在x 处的步长为x ?的一阶差分、阶差、有限差；D x ∈，函数()x f ?称为D 上的差分函数，简称差分；算子?是步长为x ?的差分算子。定义为 ()()x x f x f ?+=E 称()x f E 是()x f 在x 处的步长为x ?的一阶位移；称函数()x f E 是D 上的位移函数，简称位移；算子E 是步长为x ?的位移算子。定义算子I 为 ()()x f x f =I 称算子I 为恒等算子。称函数 ()x x f ??是D 上的差商函数，简称差商。 约定算子?与算子E 的步长相等。 注1.1： 大写希腊字母?、E 、I 的小写形式是δ、ε、ι，其英文单词形式是delta /`delt ?/ 、epsilon /ep`sail ?n/ 、 iota /ai`?ut ?/ 。 若D x ∈?，有D x x ∈?+，则N n ∈?，有D x n x ∈?+。 定理1.1：算子?、E 、I 有以下关系： ①()()()()()x f x f x f x f I -E =I -E =?，即I -E =?。 ②()()()()()x f x f x f x f I +?=I +?=E ，即I +?=E 。 ③()()()()x f x f E ?=?E ，即?E =E?。 定理1.2：算子?、E 是线性算子。对R b a ∈,，函数()x f 与()x g ，有以下等式 ()()()()()x g b x f a x bg x af ?+?=+? ()()()()()x g b x f a x bg x af E +E =+E 定义1.2：设N n ∈，作递推定义 ()()()x f x f x f =I =?0，()()() x f x f n n ??=?+1
三元一次方程组练习题 知识点1 三元一次方程组的概念 1. 下列方程组中，是三元一次方程组的是( ) A. 123a b b c =??=??-=? B. 213x y y z z c +=??+=??+=? C. 437521424x y x y x y -=??-=??-=? D. 357xy z x yz xy y +=??+=??+=? 知识点2 三元一次方程组的解法 2.解方程组3423126x y z x y z x y z -+=??+-=??++=? ①②③时，第一次消去未知数的最佳方法是 A.加减法消去x ，①-③×3与②-③ B.加减法消去y ，①+③与①×3+② C.加减法消去z ，①+②与③+② D.代入法消去,,x y z 中的任何一个 3.已知212223x y y z x z +=??+=??+=? ，则x y z ++的值为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.方程组42132x z x y y z -=??-=??+=? 经消元后得到的一个关于,x y 的二元一次方程组为 . 5.三元一次方程组1223x y y z x z -=??+=??-=? ①②③的解是 . 6.已知430x y z +-=，且4520x y z -+=，217x z =，则::x y z 为( ) A. 1:2: 3 B.1:3:2 C. 2: 1:3 D.3:1:2 7.在代数式2 ax bx c ++中，当1,1,2x =-时，代数式的值依次是0,8,9--，当10x =时，这个代数式的值是 . 8.纸箱里有红黄绿三种颜色的球，红球与黄球的个数比为1:2，黄球与绿球的个数比为3:4,纸箱内共有68个球，则黄球有个 . 9.解下列方程组:
利用有限差分法分析电磁场边界问题 在一个电磁系统中，电场和磁场的计算对于完成该系统的有效设计师极端重要的。例如，在系统中，用一种绝缘材料是导体相互隔离是，就要保证电场强度低于绝缘介质的击穿强度。在磁力开关中，所要求的磁场强弱，应能产生足够大的力来驱动开关。在发射系统中进行天线的有效设计时，关于天线周围介质中电磁场分布的知识显然有实质性的意义。 为了分析电磁场，我们可以从问题所涉及的数学公式入手。依据电磁系统的特性，拉普拉斯方程和泊松方程只能适合于描述静态和准静态（低频）运行条件下的情况。但是，在高频应用中，则必须在时域或频域中求解波动方程，以做到准确地预测电场和磁场，在任何情况下，满足边界条件的一个或多个偏微分方程的解，因此，计算电池系统内部和周围的电场和磁场都是必要的。 对电磁场理论而言，计算电磁场可以为其研究提供进行复杂的数值及解析运算的方法，手段和计算结果；而电磁场理论则为计算电磁场问题提供了电磁规律，数学方程，进而验证计算结果。常用的计算电磁场边值问题的方法主要有两大类，其每一类又包含若干种方法，第一类是解析法；第二类是数值法。对于那些具有最简单的边界条件和几何形状规则的（如矩形、圆形等）问题，可用分离变量法和镜像法求电磁场边值问题的解析解（精确解），但是在许多实际问题中往往由于边界条件过于复杂而无法求得解析解。在这种情况下，一般借助于数值法求解电磁场的数值解。 有限差分法，微分方程和积分微分方程数值解的方法。基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网络来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。 差分运算的基本概念： 有限差分法是指用差分来近似取代微分，从而将微分方程离散成为差分方程组。于是求解边值问题即转换成为求解矩阵方程[5]。 对单元函数 ()x f而言，取变量x的一个增量x?=h，则函数()x f的增量可以表示为 ()x f? = ()h x f+-()x f 称为函数()x f 的差分或一阶差分。函数增量还经常表示为 ()x f? = ? ? ? ? ? + 2 h x f - ? ? ? ? ? - 2 h x f
第二章计算流体力学的基本知识 流体流动现象大量存在于自然界及多种工程领域中，所有这些工程都受质量守恒、动量守恒和能量守恒等基本物理定律的支配。这章将首先介绍流体动力学的发展和流体力学中几个重要守恒定律及其数学表达式，最后介绍几种常用的商业软件。 2.1计算流体力学简介 2.1.1计算流体力学的发展 流体力学的基本方程组非常复杂，在考虑粘性作用时更是如此，如果不靠计算机，就只能对比较简单的情形或简化后的欧拉方程或N-S方程进行计算。20 世纪30～40 年代，对于复杂而又特别重要的流体力学问题，曾组织过人力用几个月甚至几年的时间做数值计算，比如圆锥做超声速飞行时周围的无粘流场就从1943 年一直算到1947 年。 数学的发展，计算机的不断进步，以及流体力学各种计算方法的发明，使许多原来无法用理论分析求解的复杂流体力学问题有了求得数值解的可能性，这又促进了流体力学计算方法的发展，并形成了"计算流体力学" 。 从20 世纪60 年代起，在飞行器和其他涉及流体运动的课题中，经常采用电子计算机做数值模拟，这可以和物理实验相辅相成。数值模拟和实验模拟相互配合，使科学技术的研究和工程设计的速度加快，并节省开支。数值计算方法最近发展很快，其重要性与日俱增。 自然界存在着大量复杂的流动现象，随着人类认识的深入，人们开始利用流动规律来改造自然界。最典型的例子是人类利用空气对运动中的机翼产生升力的机理发明了飞机。航空技术的发展强烈推动了流体力学的迅速发展。 流体运动的规律由一组控制方程描述。计算机没有发明前，流体力学家们在对方程经过大量简化后能够得到一些线形问题解读解。但实际的流动问题大都是复杂的强非线形问题，无法求得精确的解读解。计算机的出现以及计算技术的迅速发展使人们直接求解控制方程组的梦想逐步得到实现，从而催生了计算流体力
........................优质文档.......................... 代数部分 第三章：方程和方程组 基础知识点： 一、方程有关概念 1、方程：含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。 3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。 4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。 二、一元方程 1、一元一次方程 （1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x 是未知数，a、b 是已知数，a≠0） （2）一玩一次方程的最简形式：ax=b（其中x 是未知数，a、b 是已知数，a≠0） （3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。 （4）一元一次方程有唯一的一个解。 2、一元二次方程 （1）一元二次方程的一般形式：02 =++c bx ax （其中x 是未知数，a、b、c 是已知数，a≠0） （2）一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 （3）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法。 （4）一元二次方程的根的判别式：ac b 42-=?当Δ＞0时?方程有两个不相等的实数根； 当Δ=0时?方程有两个相等的实数根； 当Δ<0时?方程没有实数根，无解； 当Δ≥0时?方程有两个实数根 （5）一元二次方程根与系数的关系： 若21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax 的两个根，那么：a b x x -=+21，a c x x =?21（6）以两个数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：0 )(21212=++-x x x x x x 三、分式方程 （1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 （2）分式方程的解法： 一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。 特殊方法：换元法。 （3）检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就
三元一次方程提高 一．填空题（共1小题） 1．已知，，．则a=_________，b=_________c=_________． 二．解答题（共8小题） 2．解方程组： 3．解方程组：． 4．已知：4x﹣3y﹣6z=0，x+2y﹣7z=0（xyz≠0），求的值． 5．解方程组． 6．（2012?包头）某商场用36000元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利6000元．其中甲种商品每件进价120元，售价138元；乙种商品每件进价100元，售价120元． （1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？ （2）商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品，购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的2倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于8160元，乙种商品最低售价为每件多少元？
7．（2011?贵阳）童星玩具厂工人的工作时间为：每月22天，每天8小时．工资待遇为：按件计酬，多劳多得，每月另加福利工资500元，按月结算．该厂生产A、B两种产品，工人每生产一件A种产品可得报酬1.50元，每生产一件B种产品可得报酬2.80元．该厂工人可以选择A、B两种产品中的一种或两种进行生产．工人小李生产1件A产品和1件B产品需35分钟；生产3件A产品和2件B产品需85分钟． （1）小李生产1件A产品需要_________分钟，生产1件B产品需要_________分钟． （2）求小李每月的工资收入范围． 8．（2010?宜宾）为了拉动内需，全国各地汽车购置税补贴活动在2009年正式开始．某经销商在政策出台前一个月共售出某品牌汽车的手动型和自动型共960台，政策出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共1228台，其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长30%和25%． （1）在政策出台前一个月，销售的手动型和自动型汽车分别为多少台？ （2）若手动型汽车每台价格为8万元，自动型汽车每台价格为9万元．根据汽车补贴政策，政府按每台汽车价格的5%给购买汽车的用户补贴，问政策出台后的第一个月，政府对这1228台汽车用户共补贴了多少万元？ 9．（2010?娄底）近年来，政府大力投资改善学校的办学条件，并切实加强对学生的安全管理和安全教育．某中学新建了一栋教学大楼，进出这栋教学大楼共有2道正门和2道侧门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生；当同时开启一道正门和两道侧门时，3分钟内可以通过840名学生． （1）求平均每分钟一道正门和一道侧门分别可以通过多少名学生？ （2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定：在紧急情况下，全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离．假设这栋教学大楼的教室里最大有1500名学生，试问建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由．
2017年考研数学三真题 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1 ．若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续，则 （A ）12ab = （B ）1 2 ab =-（C ）0ab =（D ）2ab = 【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x x f x ax ax a +++→→→-=== ，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足11 22 b ab a =?=．所以应该选（A ） 2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（ ） （A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,) 【详解】 2(3)32z y x y xy y xy y x ?=---=--?，232z x x xy y ?=--?， 2222222,2,32z z z z y x x x y x y y x ????=-=-==-?????? 解方程组2 2320320z y xy y x z x x xy y ??=--=??????=--=???，得四个驻点．对每个驻点验证2 AC B -，发现只有在点11(,)处满足 230AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ） 3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则 （A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <- 【详解】设2 ()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2 ()f x 是单调增加函数．也就得到 () ()2 2 (1)(1)(1)(1)f f f f >-?>-，所以应该选（C ） 4． 若级数 21 1sin ln(1)n k n n ∞ =??--??? ?∑收敛，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2-
《二元一次方程组》 一、知识点总结 1、二元一次方程： 含有两个未知数（x 和y ），并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程， 它的一般形式是(0,0)ax by c a b +=≠≠. 2、二元一次方程的解：一般地，能够使二元一次方程的左右两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【二元一次方程有无数组解】 3、二元一次方程组：含有两个未知数（x 和y ），并且含有未知数的项的次数都是1，将这样的两个或几个一次方程合起来组成的方程组叫做二元一次方程组. 4、二元一次方程组的解：二元一次方程组中的几个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.【二元一次方程组解的情况：①无解，例如：1 6x y x y +=?? +=?，1226x y x y +=??+=?；②有且只有一组解，例如：122x y x y +=??+=?；③有无数组解，例如：1 222x y x y +=?? +=?】 5、二元一次方程组的解法：代入消元法和加减消元法。 6、三元一次方程组及其解法：方程组中一共含有三个未知数，含未知数的项的次数都是1，并且方程组中一共有两个或两个以上的方程，这样的方程组叫做三元一次方程组。解三元一次方程组的关键也是“消元”：三元→二元→一元 7、列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步： （1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，； （2）设：找出能够表示题意两个相等关系；并用字母表示其中的两个未知数 （3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组； （4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值； （5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案. 二、典型例题分析 例1、若方程 2132 57m n x y --+=是关于x y 、的二元一次方程，求m 、n 的值. 例2、将方程102(3)3(2)y x --=-变形，用含有x 的代数式表示y . 例3、方程310x y +=在正整数范围内有哪几组解 例4、若23 x y =?? =?是方程组2315x m nx my -=??-=-?的解，求m n 、的值. 例5、已知(1)(1)1n m m x n y ++-=是关于x y 、的二元一次方程，求m n 的值.
第8章 常微分方程边值问题的数值解法 引 言 第7章介绍了求解常微分方程初值问题的常用的数值方法；本章将介绍常微分方程的边值问题的数值方法。 只含边界条件(boundary-value condition)作为定解条件的常微分方程求解问题称为常微分方程的边值问题(boundary-value problem). 为简明起见，我们以二阶边值问题为 则边值问题(8.1.1)有唯一解。 推论 若线性边值问题 ()()()()()(),, (),()y x p x y x q x y x f x a x b y a y b αβ'''=++≤≤?? ==? (8.1.2) 满足 (1) (),()p x q x 和()f x 在[,]a b 上连续； (2) 在[,]a b 上, ()0q x >, 则边值问题(8.1.1)有唯一解。 求边值问题的近似解，有三类基本方法： (1) 差分法(difference method)，也就是用差商代替微分方程及边界条件中的导数，最终化为代数方程求解； (2) 有限元法(finite element method)；
(3) 把边值问题转化为初值问题，然后用求初值问题的方法求解。 差分法 8.2.1 一类特殊类型二阶线性常微分方程的边值问题的差分法 设二阶线性常微分方程的边值问题为 (8.2.1)(8.2.2) ()()()(),,(),(), y x q x y x f x a x b y a y b αβ''-=<
2018年考研数学三真题及答案 一、 选择题 1.下列函数中,在 0x =处不可导的是() ().sin A f x x x = ( ).B f x x =().?C f x cos x = ( ).D f x = 答案:() D 解析:方法一: ()()() 00sin 0lim lim lim sin 0,x x x x x x f x f x x x x A →→→-===可导 ()()( )0000lim lim 0,x x x x f x f x x B →→→-===可导 ()()() 2 0001cos 102lim lim lim 0,x x x x x f x f x x C x →→→- --===可导 ()()( ) 0001 02lim lim x x x x f f x x D x →→→- -==不存在,不可导 应选()D . 方法二: 因为()(1)0f f x == ()( )0001 02lim lim x x x x f x f x x →→→- -==不存在
()f x ∴在0x =处不可导,选()D 对()():?A f x xsinx =在 0x =处可导 对()( )3 2 :~?B f x x x =在 0x =处可导 对()():x x C f cos =在 0x =处可导. 2.设函数()f x 在[0,1]上二阶可导,且()1 00,f x dx =?则 ()()1'0,02A f x f ?? << ??? 当时 ()()1''0,02B f x f ?? << ???当时 ()()1'0,02C f x f ?? >< ??? 当时 ()()1''0,02D f x f ?? >< ??? 当时 答案()D 【解析】 将函数 ()f x 在 1 2 处展开可得 ()()()()()2 2 2 1 1 10 00''1111', 22222''1111111''', 22222222f f x f f x x f f x dx f f x x dx f f x dx ξξξ????? ???=+-+- ? ??? ?????? ???? ?????? ?????? ?=+-+-=+-?? ? ??? ? ? ?????? ?????????? ? ? ??故当''()0f x >时,()1 011.0.22f x dx f f ?? ??>< ? ??? ???从而有 选()D 。 3.设( ) (2 2 2 222 22 11,,11x x x M dx N dx K dx x e π π π π ππ---++===++???,则 A .? .M N K >> B ..M K N >> C..K M N >> D..K N M >>
三元一次方程组的解法及技巧解析初中阶段是我们一生中学习的“黄金时期”。不光愉快的过新学期，也要面对一件重要的事情那就是学习。优立方数学为大家提供了三元一次方程组的解法知识点，希望对大家有所帮助。 1.三元一次方程的概念 三元一次方程就是含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.如x+y-z=1,2a-3b+c=0等都是三元一次方程. 2.三元一次方程组的概念 一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 例如， 等都是三元一次方程组. 三元一次方程组的一般形式是： 3.三元一次方程组的解法 (1)解三元一次方程组的基本思想 解二元一次方程组的基本思想是消元，即把二元一次方程转化为一元一次方程求解，由此可以联想解三元一次方程组的基本思想也是消元，一般地，应利用代入法或加减法消去一
个未知数，从而变三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数. (2)怎样解三元一次方程组? 解三元一次方程组例题 解方程组 法一：代入法 分析：仿照前面学过的代入法，将(2)变形后代入(1)、(3)中消元，再求解. 解：由(2)，得x=y+1.(4) 将(4)分别代入(1)、(3)得解这个方程组，得 把y=9代入(4)，得x=10. 因此，方程组的解是 法二：加减法 解：(3)-(1)，得x-2y=-8(4) 由(2)，(4)组成方程组
解这个方程组，得把x=10，y=9代入(1)中，得z=7. 因此，方程组的解是 法三：技巧法 分析：发现(1)+(2)所得的方程中x与z的系数与方程(3)中x与z的系数分别对应相等，因此可由(1)+(2)-(3)直接得到关于y的一元一次方程，求出y值后再代回，即可得到关于x、y的二元一次方程组 解：由(1)+(2)-(3)，得y=9. 把y=9代入(2)，得x=10. 把x=10，y=9代入(1)，得z=7. 因此，方程组的解是 注意： (1)解答完本题后，应提醒同学们不要忘记检验，但检验过程一般不写出. (2)从上述问题的一题多解，使我们体会到，灵活运用代入法或加减法消元，将有助于我们迅速准确
差分方程模型的理论和方法 1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。 2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。 3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。在后面我们所举的实际例子中，这方面的内容应当重点体会。
三元一次方程组（基础）知识讲解 【学习目标】 1．理解三元一次方程(或组)的含义； 2．会解简单的三元一次方程组； 3. 会列三元一次方程组解决有关实际问题. 【要点梳理】 要点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念 1.三元一次方程的定义 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程． 要点诠释： (1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次． (2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零． 2．三元一次方程组的定义 一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 要点诠释： (1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可． （2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解． 要点二、三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的一般步骤 (1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； (2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； (3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； (4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； (5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 要点诠释： （1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是： （2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法．要点三、三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤 1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； 2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；