课题：探究原函数与导函数的关系
首师大附中数学组王建华
设计思路
这节课是在学完导数和积分之后，学生从大量的实例中对原函数和导函数的关系有了一定的认识的基础上展开教学的。由于这部分内容课本上没有，但数学内部的联系规律和对称美又会使学生既觉得有挑战性又充满探究的兴趣。备这个课的过程中我虽然参考了大量已有的资料，但需要做更深入地思考这些命题间的联系，以什么方式展开更利于学生拾级而上，最终登上高峰体会一览众山小的乐趣和成就感。教师实际上是在引导学生进行一次理论的探险，大胆地猜，小心地证，谨慎地修改条件，步步逼近真理。最终学生能否记住这些结论并不重要，重要的是研究相互关联的事物的一般思路和方法。对优秀生或热爱数学的学生来说会有更多的收获。
整个教学流程
1.从经验观察发现，猜想得命题p,q. 这两个命题为真命题，证明它们的方法用复合函数求导，比较容易上手。
2.学生自然会想到这个命题的逆命题是否成立，尝试证明。证明的思路也要逆向思考。发现由于导数确定后原函数不能唯一确定，有上下平移的可能，这样关于y 轴对称的性质能够保持，但关于原点对称的性质就不能保证了。
3.函数的平移不改变函数图象的对称性，因此将奇函数的性质拓展为关于中心对称，将偶函数的性质拓展为关于直线x = a对称，研究前面的四个命题还是否成立。研究方法可以类比迁移前面的方法。能成立的严格证明，不能成立的举出反例，并尝试通过改变条件使之成为真命题。
4.已有成果的应用：利用二次函数的对称性性质研究三次函数的对称性。
教学目标
在这个探究过程中
1.加强学生对导函数与原函数相生相伴的关系的理解；
2.增强学生对函数对称性的理解和抽象概括表达能力；
3 体验研究事物的角度，一个新定理是怎样诞生的，怎样才是全面地认识了一个事物。
4.培养学生的思辨能力，分析法解决问题的能力，举反例的能力等等。
教学重点
以原函数与导函数的对称性的联系为载体让学生体验观察发现、概括猜想、辨别真伪的过程。教学难点
灵活运用所学知识探索未知领域。
新课引入前面解题时我们常根据导函数的符号示意图画出原函数的单调性示意图，你能根据原
函数的图像画出导函数的示意图吗？
一．探究由原函数的奇偶性能否推出导函数的奇偶性。
问题1 已知函数y = f (x)的图像，请尝试画出其导函数的图像示意图。
y=f '(x) = 3x2
y=f'(x)=x
导函数的实质是原函数的瞬时变化率，导函数的正负反应了原函数的单调性，导函数的大小反应了原函数增减的快慢。从图像的整体性质上看，你还有什么发现？猜想p : 可导的奇函数的导函数是偶函数，
猜想q: 可导的偶函数的导函数是奇函数。
问题 2 你能根据图象上解释一下你的猜想吗？奇函数关于原点中心对称，它的曲线在原点两侧等距离处升降速度相同，即切线斜率相等；偶函数关于y 轴对称，它的曲线在y 轴两侧等距离处升降速度绝对值相等，即切线斜率互为相反数。
问题3 尝试证明你的猜想
P: 已知y= f (x)是可导的奇函数，求证y = f '(x)时偶函数
分析1：欲证y= f '(x)时偶函数，只需证f '(-x) = f '(x)
若将f '(-x)理解将f '(x)中的x替换为-x 得到的函数，可以用导数定义证明。
证明：当y = f (x )是奇函数时,对定义域中的任意x 都有
所以y = f '(x )时偶函数
分析 2.用复合函数求导
证明：当 y = f (x )是奇函数时，对定义域中的任意x 都有 f (-x ) = -f (x )
两边对x 求导得[f (-x )]'=[-f (x )]'，即 f '(-x )
(-1)=-f '(x )
得f '(-x )=f '(x )，所以y = f '(x )时偶函数 命题 q 同理可证.
思考：看来已知原函数的奇偶性，我们可以确定导函数的奇偶性，那么已知导函数的奇偶性 能否推知原函数的奇偶性呢？命题 p 和 q 的逆命题是否成立呢？
二．探究由导函数的奇偶性能否推出原函数的奇偶性。
问题4 p 和q 的逆命题是否成立？
p 的逆命题：若 y = f '(x ) 是偶函数，则 y = f (x )奇函数 此命题不正确，可举出反例：如y = f '(x ) = x 是奇函数，而原函数y = f (x ) = 1 x 2 + c 当 c 不为 0 时，原函数不是偶函数。
这是什么原因造成的呢？因为原函数定了，导函数是唯一确定的，而同一个导函数的原 函数有无穷多个。一个函数向上或向下平移后导函数是不变的，直观理解是切线的斜率不变。 而函数上下平移就不能保证图象关于原点中心对称了。
q 的逆命题：若 y = f '(x ) 是奇函数，则 y = f (x )偶函数
证明：y = f '(x )是奇函数时
[f (x )-f (-x )]'= f '(x )-f '(-x )(-1)=f '(x )+f '(-x )=0
能否推出 f (x )- f (-x )=0？
只能推出 f (x )- f (-x ) = c ，思考c 是确定的值吗？能求吗？
问题转化为导函数是 0，原函数是什么？可以举出分段的常数函数 ，为使此命题成立，我 们加强一下条件，将命题改为“对于在 R 上连续可导的函数，若y = f '(x )是奇函数，则
y = f (x )偶函数”。
f '(-x ) =lim f (-x +
x )-f (-x ) x →0 x lim -f (x -x x )+f (x )
x →0 x =lim x →0 f (x )- f (x -x ) x
此时y= f (x)在x = 0处有定义，则f (0) - f (-0) = c = 0 ，此时可得f(x)=f(-x)，原函数是偶函数。
三．探究由原函数的对称性能否推出导函数的对称性
对于连续的可导函数，原函数的奇偶性可以推出导函数的奇偶性，而逆命题中当导函数为奇函数时，原函数是偶函数，但当导函数为偶函数时，原函数不一定是奇函数，那么此时原函数虽然不是奇函数了，它是不是也有什么性质呢？它的图像应该是中心对称的。能否将刚才的结论推广一下？
问题5 奇函数图象特征是关于原点中心对称，偶函数图象特征是关于y轴对称，能否将上述命题推广一下？
P的推广命题r：若可导函数y = f(x)关于(a,b)对称，则它的导函数关于直线x=a对称。
证明：y = f (x)关于(a,b)对称，则f (x)+ f (2a-x)=2b，
f '(x)+ f '(2a-x)(-1) =0
即f '(x)=f '(2a - x) ，所以其导函数关于直线x = a对称。
q的推广命题s：若可导函数y = f (x)关于x = a对称，则它的导函数关于(a,b)对称
证明：y = f (x)关于x=a对称，则f (x)=f (2a-x)，
f'(x)= f '(2a - x)(-1)
即f '(x) = - f '(2a- x)
所以其导函数关于(a,0)对称导函数的对称中心在x轴上. 修改命题s .
若可导函数y = f(x)关于x=a对称，则它的导函数关于(a,0)对称
令f '(x)=-f '(2a-x)中x=a可得f '(a) =0，能否从图像中找到解释？
四．探究由导函数的对称性能否推出原函数的对称性
问题6 思考：命题r，s逆命题是否成立？
命题r的逆命题：对于在R上可导的函数y = f(x)，若它的导函数关于直线x=a对称，则原函数
关于(a,b)对称
证明：y = f '(x)关于直线x= a对称，则f '(a+ x) = f '(a - x)
而[f(a+x)+ f(a-x)]'= f '(a+x)-f '(a-x)=0
得f (a + x ) + f (a - x) = c
当x =0时可得c =2f (a) ，所以f (a+x)+ f (a-x) =2f (a)，
即函数y= f (x)关于(a, f (a))对称。对称中心在函数图像上。
命题s的逆命题：(课上只写出命题，判断验证留作课后思考题)
对于在R 上连续可导的函数y = f (x) ，若它的导函数关于(a,b)对称，则原函数关于直线
x= a对称
证明：y = f '(x)关于直线(a, f '(a))对称，则f '(a+ x)+ f '(a - x) = 2b
而[f(a+x)- f (a-x)]'= f '(a+x)+ f '(a-x)=2b
得f (a + x) - f ( a - x) = 2bx + c
当b0时，此命题不成立。
当b=0时，由x=0时可得c=0，所以f(a+x)- f(a-x)=0，
即函数y= f(x)关于x=a对称。
命题r的逆命题需要修正，若对于在R 上连续可导的函数y = f (x) ，若它的导函数关于
(a,0)对称，则原函数关于直线x = a对称
五．原函数与导函数对称性联系的应用
1.我们知道二次函数都是有对称轴的，而二次函数又是三次函数的导函数，你能由此得出三次函数具有什么性质？
分析：由命题s的逆命题知三次函数必有对称中心。对称中心的横坐标与导函数的对称轴的横坐标相同。
求任意三次多项式函数y =ax3+bx2+cx+d的对称中心。
解：y'=ax3+bx2+cx+d = 3ax2+ 2bx + c，其对称轴是x = - b，将此值代入解析式可3a 得
对称中心纵坐标。即函数
y=ax3+bx2+cx+d的对称中
心为(- b , f(- b )).
3a3a
2.若f (x) =a sin(x+)+b sin(x-)(ab0)是偶函数，则a,b的关系是
解：由其导函数是奇函数，且在0处有定义，可得f '(0) = 0 ，得a + b = 0 ，代回检验。
小结：整体结构：
证明上述命题的思路：
1. 由原函数研究导函数用符合函数求导；
2. 由导函数研究原函数从要证的式子出发寻找原函数的性质。
课后思考研究：
判断s 逆是否正确，如果正确尝试证明，若不正确举出反例。
教学反思：学生对这样的课很感兴趣，一方面可以在探索的过程中加深对导数概念的理解，另一方面可以感受到数学内部的严谨性和对称美。命题的产生来自经验，命题的证明需要用复合函数的导数这一工具沟通原函数和导函数的对应关系，开始学生觉得有点吃力，需要教师加以启发引导。但证过两个命题后，学生对后面的命题证明就有了可以类比迁移的样板，证明的思路就更清晰了。最后讲的两个应用问题学生感觉这节课推出的命题是有用武之地的。这节课的主旨不在于记住这些命题，而在于体验研究问题的一般方法。研究导函数的目的是实现转化，将复杂的问题转化为较简单的问题，如用研究导函数的符号来研究原函数的单调性，用导函数的零点研究原函数的极值，用导函数的奇偶性研究原函数的对称性等。