基于亚正定阵的Volterra系统稳定性的若干新判据

基于亚正定阵的Volterra 系统稳定性

的若干新判据

\

刘

锋1 葛照强2

(1.江苏技术师范学院基础学科部 江苏常州

213001;2.西安交通大学理学院 陕西西安

710049)

摘

要:将亚正定阵引入到VOlterra 系统 获得了判定该系统在正的平衡态全局稳定~扇形稳定及关联稳定的另一些新方法.从应用情况看 本文方法是有效的而且更为实用.

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键

词:亚正定阵;VOlterra 系统;全局稳定性;扇形稳定性;关联稳定性

中图分类号:0151.21;0175.13;029文献标识码:A 文章编号:1008-5513(2006)02-0198-061

引言

VOlterra 系统是一个描述具有n 个物种(包括动物~植物和作为营养的微生物等)的生态系统 其模型为[1-2]

d z /dt = z (1z

n

j=1

c

zj

j )(z =1 2 n)(1)

关于该系统在正的平衡位置的稳定性历来是人们关注的重要问题 若干文献对此进行过较为深入的研究.如文[1-6]等 这些文献基本上都是基于M 矩阵及负定矩阵建立了判定

VOlterra 系统在正的平衡态稳定的若干新方法.本文将亚正定阵引入到VOlterra 系统 建立了判定该系统在正的平衡态全局稳定性~扇形稳定性及关联稳定的另一些新方法.从应用情况看 本文方法是有效的而且更为实用.

为此 先给出亚正(负)定阵的定义及一些符号说明

定义[7]

设A 为n 阶矩阵 若对V o ;x R n 恒有f =x T Ax >0(<0) 则称A 为亚正

定阵(亚负定阵)(A 不一定是对称矩阵).

容易证明 A 为亚正定阵(亚负定阵)的充要条件是A A T 为对称正(负)定阵.一些记号:

2006年6月第22卷第2期

纯粹数学与应用数学Pure and Applied Mathematics

]un.2006VOl.22NO.2

\收稿日期:2004-12-13.

基金项目:江苏省教育厅自然科学研究计划项目(03K]D 110088)资助.作者简介:刘锋(1965-) 副教授 研究方向:亚正定阵理论 广义系统.

I = z\z E N : z =0} J = J\J E N :

J >0}

R n

+0= x\x E R n :z 0 1 z n}

R n 1= x\x E R n :z 0 z E I C N :J >0 J E J =N /I}

x =col(:1 :2 - :n )

2

主要定理及证明

设x

=col(:

1

: 2

- : n

)是系统(1)的一个正的平衡态:z (1z +

Z n

J=1

a

zJ

:J )=0的解.

定理1设系统(1)有正的平衡态x =x

>0 若矩阵A =(a zJ )n>n 为亚负定阵 则系统(1)

的正的平衡态x =x >0在R n +0

内是全局稳定的.证明

对于系统(1) 令y z =lH(:z /: z )(z =1 2 - n) 易知变换y z =lH(:z /:

z )是从

R n

+0-R n 的一个拓扑变换 在此变换下(1)式变为

dy z /dt =

Z n

J=1

a

zJ

: J

(e y z

-1)=Z n

J=1

a

zJ

f J (y J )(2)

其中f J (y J )=:

J (e

y z -1).显然系统(1)的平衡态x =x >0的稳定性等价于(2)式的平凡解y =0的稳定性.

作LyapuHov 函数V(y)=

Z n

z=1

y z 0

f z (y z )dy z =

Z n

z=1

: z

(e

y z

-y z -1) 则有

dV(y)/dt\

(2)

=

Z n

z=1Z n

J=1

a

zJ

f z (y z )f J (y J )

=(f 1(y 1) f 2(y 2) - f n (y n ))A(f 1(y 1) f 2(y 2) - f n (y n ))

T

由于A 为亚负定阵 所以当f(y)=col(f 1(y 1) f 2(y 2) - f n (y n ))v 0时 dV(y)/dt\(2)

<0.故系统(2)的平凡解在R n 内全局稳定 从而系统(1)的平衡态x =x >0在R n

+0内全局

稳定.

定理2

设系统(1)有正的平衡态x =x >0 若存在一个亚负定阵G(g zJ ) 使得a zz g zz

a zJ g zJ (z v J z J =1 2 - n) 则系统(1)的平衡态x =x >0在R n

+0内全局稳定.

证明对于系统(2) 作V(y)=

Z n

z=1

: z

(e

y z

-y z -1) 因为当f(y)v 0时

dV(y)/dt\

(2)

=Z n

z=1Z n

J=1a

zJ

f z (y z )f J (y J )

Z n

J=1

g

JJ

f 2J

(y J )+Z n

z=1Z n

J=1

zv J

g

zJ

f z (y z )-f J (y J )=(f 1(y 1) f 2(y 2) - f n (y n ))G(f 1(y 1) f 2(y 2) - f n (y n ))T

<0

故系统(2)的平凡解在R n 内全局稳定 从而系统(1)的平衡态x =x >0在R n +0

内全局稳定.注1

定理2告诉我们 在判定系统(1)的平衡态x =x >0在R n +0

内的全局稳定性时 9

91第2期

刘锋等

基于亚正定阵的Volterra 系统稳定性的若干新判据

若矩阵A =(a 1j )n>n 不是亚负定阵 但只要存在一个亚负定阵G(g 1j ) 使得a 11 g 11 a 1j g 1j (1

9j 1 j =1 2 ~ n) 则系统(1)的平衡态x =x >O 在R n

+O 内也是全局稳定的.

定理3设系统(1)有正的平衡态x =x >O 且

(1)a 11

(2)

存在常数 (j)1

(19j 1 j =1 2 ~ n) 使得Z n

j=1j91

(j)1

1 且

2 (j)

1a 11a 1j +a j1a 1j +a j1

2 (1)

j

a jj

>O

(19j 1 j =1 2 ~ n) 则系统(1)的平衡态x =x >O 在R n

+O 内全局稳定.

证明因为

2 (j)

1a 11a 1j +a j1a 1j +a j1

2 (1)

j

a jj >O 所以存在O

2 (j)

1a 11+E a 1j +a j1

a 1j +a j1

2 (1)j a jj +E

>O

2(A +A T )

2

(2)

1a 11+E a 12+a 21O ~O a 12+a 21

2 (1)

2a 22+E

O ~O O O O ~O E E

E

E

T L

T J

O O

O

~O +2 (n)

1a 11+E

O ~O a 1n +a n1O O ~O O O O ~O

O E E

E E T L T

J O

O

~O

O +

O

O

O ~O O

2 (B )

2a 22+E a 2B +a B 2~O O a 2B +a B 2

2 (2)

B a B B +E

~O E E E E

T L T J O

O

O

~O +O

O ~O O 2 (n)2

a 22+E

~a 2n +a n2

O O

~O E E E

O

a 2n +a n2~

2 (2)

n a nn T L T J +E

+O

~O O

E E E O ~O

O O ~ 2 (n)

n 1a n 1 n 1+E a n 1 n +a n n 1O

~

a n 1 n +a n n 1

2 (n 1)

n

a nn T L T J

+E

((n 1)E (n 1)E ~ (n 1)E)

这不等式右边除了最后一项 ((n 1)E (n 1)E ~ (n 1)E)为负定外 其它各项(当O n 是亚负定阵 由定理1知 系统(1)的平衡态x =x >O 在R n +O

内全局稳定.定理4

对于系统(1)的可行平衡态x =x

O 若11+

Z n

j=1

a

1j

I j O(1E I) 且A 亚负

定 则x =x

O 是全局扇形稳定的.

证明

设I 1=O(1E I) I

j 9

O(j E N /I).对于系统(1) 作变换y 1=I 1(1E I) y j =O

O 2纯粹数学与应用数学

第22卷

ln(I j /I %j )(j E N /I) 则系统(1)变为

dy z /dt =y z (1z -E jE I c zj y j -E jE N/I

c zj I %j e y j

) z E I

dy j /dt =1j -E ZE I

c jZ y Z -E ZE N/I

c jZ I %

z e y Z )=E ZE I

c jZ y Z -E ZE N/I

c

jZ

I %Z (e

y Z

<

-1) j E N /I (3)

对于系统(3)作在R n I 内的LyapunOv 函数V(y)=E zE I

y

z

-

E jE N/I

I

%

j (e y

j -y j -1) 则有

dV(y)/dt\

(3)

=

E zE I y z

(1

z

-

E jE I c

zj

y j -

E jE N/I c

zj

I %j e y

j

)-

E jE N/I

I

%

j

(e y

j -1)(E ZE I

c jZ y Z -E ZE N/I

c

jZ

I %j (e

y

Z

-1))=E zE I

I z

(1

z

-

E n

Z=1c zZ I Z

)-E

jE N/I

(I j -I %j

)(1j -E n

Z=1

c

jZ

I Z )

=E zE I

(I z

-I %

z

)(E n

Z=1(c zZ (I Z -I %z

))-

E jE N/I

(I j -I %j

)E n

Z=1

c jZ (I Z -I %z

)-E zE I

I z (1z -E n

Z=1

c zZ I %z )

{

E zE I

(I

z -I %z )(E n

Z=1

(c zZ (I Z -I %

z ))-E

jE N/I

(I j -I %j )E n

Z=1

c jZ (I Z -I %z )

=(x -x %

)T

A(x -x %

)

S O 时)

故系统(1)的可行平衡态x =x % O 是全局扇形稳定的.

定理5对于受外界环境影响且结构发生扰动的VOlterra 系统

dI z /dt =I z [1z (S)-

E n

j=1

e

zj

(S)c zj I j ](z =1 2 ~ n)(4)

其中1z (S) e zj (S)为参数S 的函数 e jz (S)=1 -1{e zj (S){1(z S j z j =1 2 ~ n).

假设它有正的平衡态x %(S)=COl(I %1(S) I %2(S) ~ I %

n (S))=-(e zj (S)c zj )-1n>n *1(S) 及

1z (S) e zj (S)允许有偶然的冲击变化 且1z (S) e zj (S)是t 的缓变函数c zj O(z S j) 在这样的外界环境和结构摄动类型下 如果系统的平衡态保持是可行的 且A =(c zj )n>n 为亚负定阵 则系统(4)的可行平衡态是关联全局稳定的.

证明

作V(x)=

E n

z=1(I

z

-I %z -I %z ln(I z /I %z )) 则当x -x

%

S O 时dV(x)/dt\(4)

=E n

z=1E n

j=1e

zj

(S)c zj (I z -I %z )(I j -I %j )

{

E n

z=1

c zz

(I

z

-I %

z

)2

-E n

z=1E n

j=1

c

zj

I z -I %z *I j -I %

j =(I 1-I %1 ~ I n -I %n )A(I 1-I %1 ~ I n -I %

n )

T

3

应用举例

例1

考虑三维系统

1

O 2第2期

刘锋等

基于亚正定阵的VOlterra 系统稳定性的若干新判据

纯粹数学与应用数学第卷

易知它的平衡态为此题用文[ 7 9 ]中的方法是不易判定的而且有些方法失效但用本文方法是十分方便的

因为所以6易知是对称

负定所以为亚负定阵由定理知系统的平衡态在内是全局稳定的例考虑三维系统

8 6

6

易知它的平衡态为此题同样用文[ 7 9 ]中的方法是行不通的因为构造不出满足文献中方法的M矩阵G g

或负定矩阵而用本文定理的方法只需直接从

zj

矩阵出发判定其亚负定性即可过程同上例这里从略

对于不满足定理条件的Volterra系统可考虑用定理定理进行判定限于篇幅不再举例

注亚正定阵亚负定阵也可应用到Gilpin Ayala系统及一般非线性生态系统的稳定性判定参见文[9 ]

参考文献

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[7]屠伯埙亚正定阵理论 I[J] 数学学报99 , 6 7

[8]黄琳稳定性理论[M] 北京,北京大学出版社98

[9]刘锋亚正定阵在Gilpin Ayala系统稳定性中的应用数学的实践与认识8 , 6

[ ]Liu f eng Ge Zhaogiang Some new criterions for stability of general non linear ecosystems base on subpositive efinite matrix[J] International Journal of Intelligent Information Management Systems an echnologies ,7

Some new criterions f or stability of Volterra systems

on subpositiVe def inite matrices

LIU Feng 1,GE ZhaO -giang

2

(1.Department Of BaSic COurSeS .JiangSu TeacherS UniverSity Of TechnOlOgy ,ChangZhOu

213001,China ;

2.COllege Of Science ,XianJiaOtOng UniverSity ,Xian

710049,China D

Abstract :SubpOSitive definite matrix WaS leaded intO VOlterra SyStemS ,and SOme neW criteri-OnS fOr VOlterra SyStemS On Overall SituatiOn Stability ,SectOr Stability and cOnnectiOn Stabili-ty Were acguired .AccOrding tO the applicatiOn ,theSe methOdS are valid and mOre practical .Key words :SubpOSitive definite matricS ,vOlterra SyStemS ,Overall SituatiOn Stability ,SectOr Stability

2000MSC :34K 15,34K 25(上接第158页D

[4]Xia YuSen ,Wang ShOuyang ,Deng XiaOtie .AcOmprOmiSe SOlutiOn tO mutual fundS pOrtfOliO SelectiOn With tranSactiOn cOStS [J ].EurOpean JOurnal Of operatiOnal reSearch ,2001,134:564-581.

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irOShi KOnnO ,AnniSta Wi j ayanaya k e .P OrtfOliO OptimiZatiOn prOblem under cOncave tranSactiOn cOStS and minimal tranSactiOn unit cOnStraintS [J ].M ath P rOgram ,Ser B ,2001,89:233-250.

[6]王春峰,杨建林,赵欣.具有典型交易成本的投资组合管理模型及其求解[J ].系统工程理论与实践,

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蒋殿春.现代金融理论[M ].上海:上海人民出版社,2001.

T h e ef f icient f rontier and optimal strate g ies of t h e mutual f unds

YAo ai -xiang 1,YI Jian -xin 2,M A @ing -hua

1

(1.Faculty Of InfOrmatiOn Science and TechnOlOgy ,GuangdOng UniverSity Of

FOreign StudieS ,GuangZhOu

510006,China ;

2.SchOOl Of M athematical ScienceS ,SOuth China N Ormal UniverSity ,GuangZhOu

516031,China D

Abstract :The paper examineS the efficient frOntier Of the mutual fundS and riS k

-free aSSetS With nOnlinear tranSactiOn cOStS in a mean -variance mOdel ,M eanWhile ,We diScuSS the Opti-mal pOrtfOliO and the Optimum inveStment Strategy under the general utility functiOnS .Key words :mutual fundS ,efficient frOntier ,tranSactiOn cOStS ,pOrtfOliO 2000MSC :90A 09,91B 64

3

02第2期

刘锋等

基于亚正定阵的VOlterra 系统稳定性的若干新判据

基于亚正定阵的Volterra系统稳定性的若干新判据

作者：刘锋， 葛照强， LIU Feng， GE Zhao-qiang

作者单位：刘锋,LIU Feng(江苏技术师范学院基础学科部,江苏,常州,213001)， 葛照强,GE Zhao-qiang(西安交通大学理学院,陕西,西安,710049)

刊名：

纯粹数学与应用数学

英文刊名：PURE AND APPLIED MATHEMATICS

年，卷(期)：2006,22(2)

被引用次数：1次

参考文献(10条)

1.李继彬;陈兰荪生命与数学 1986

2.程远纪控制系统无穷扇形绝对稳定性 1990(03)

3.Liao Xiaoxin Stability of general ecological systems and neural networks systems 1996

4.Goh B S Sector stability of a complex ecosystem model[外文期刊] 1978

5.Macacthur R H Species packing and competitive equilibrium for among species[外文期刊] 1970(01)

6.Liu Feng;Ge Zhaoqiang Some new criterions for stability of general non-linear ecosystems based on subpositive definite matrix 2005(01)

7.刘锋亚正定阵在Gilpin-Ayala系统稳定性中的应用[期刊论文]-数学的实践与认识 2005(08)

8.黄琳稳定性理论 1982

9.屠伯埙亚正定阵理论(Ⅰ) 1990(04)

10.张炳根具一步以上的食物链的生态系统的稳定性 1983(02)

引证文献(1条)

1.王晓红.江明辉.张婷非自治变时滞Cohen-Grossberg网络的Lagrange稳定性和全局指数吸引集[期刊论文]-纯粹数学与应用数学 2010(2)

本文链接：https://www.doczj.com/doc/429306381.html,/Periodical_ccsxyyysx200602012.aspx