01
01 质点运动学
班号 学号 姓名 成绩
一、选择题
（在下列各题中，均给出了4个~5个答案，其中有的只有1个是正确答案，有的则有几个是正确答案，请把正确答案的英文字母序号填在题后的括号内）
1．在下列关于质点速度的表述中，不可能出现的情况是：
A ．一质点具有恒定的速率，但却有变化的速度；
B ．一质点向前的加速度减少了，其前进速度也随之减少；
C ．一质点加速度值恒定，而其速度方向不断改变；
D ．一质点具有零速度，同时具有不为零的加速度。 （ B ）
[知识点] 速度v 与加速度a 的关系。
[分析与解答] 速度v 和加速度a 是矢量，其大小或方向中任一项的改变即表示速度或加速度在变化，且当速度与加速度间的方向呈锐角时，质点速率增加，呈钝角时速率减少。
因为质点作匀速运动时速率不变，但速度方向时时在变化，因此，A 有可能出现，
抛体运动（或匀速圆周运动）就是加速度值（大小）恒定，但速度方向不断改变的情形，故C 也有可能出现。
竖直上抛运动在最高点就是速度为零，但加速度不为零的情形，故D 也有可能出现。
向前的加速度减少了，但仍为正值，此时仍然与速度同方向，故速度仍在增大，而不可能减少，故选B 。
2． 在下列关于加速度的表述中，正确的是：
A ．质点沿x 轴运动，若加速度a < 0，则质点必作减速运动；
B ．质点作圆周运动时，加速度方向总是指向圆心；
C ．在曲线运动中，质点的加速度必定不为零；
D ．质点作曲线运动时，加速度方向总是指向曲线凹的一侧；
E ．若质点的加速度为恒失量，则其运动轨迹必为直线；
F ．质点作抛物运动时，其法向加速度n a 和切向加速度τa 是不断变化的，因此，加速度
22τn a a a +=也是变化的。 （ C 、D ）
图1-2
[知识点] 加速度a 及运动性质判据
[分析与解答] 因为判断作直线运动的质点作加速还是减速运动的判据是看a 和v 的方向关系，即a ，v 同向为加速运动，a ，v 反向则作减速运动，而不是只看a 的正负。当a<0 时，若v<0，则质点是作反方向加速运动，故A 错误。
平抛斜抛运动都是曲线运动，但其加速度却是恒矢量（大小、方向均不变），故E 也错误。 作抛体运动时，虽然n a 和τa 是变化的，但合加速度a 却是常数，等于g ，故D 也不成立。 在曲线运动中必向加速度ρ
2
v =
n a ，故总加速度一定不为零，所以，C 是正确的。
质点作匀速圆周运动时，加速度a 的方向指向圆心，但作变速圆周运动时，由于τa 的存在，加速度a 的方向如图1-1(a)所示，故B 错误。
质点作曲线运动时，由于速度的方向是变化的，则加速度的方向总是指向曲线凹的一侧，如图1-1(b)所示，故D 是正确。
3. 如图1-2所示，质点作匀速圆周运动，其半径为R ，从A 点出发，经半个圆周而达到B 点。则在下列表达式中，不正确的是：
A ．速度增量0=?v ，速率增量0=?v ；
B ．速度增量j v 2-=?v ，速率增量0=?v ；
C ．位移大小
R 2=?r ，路程R s π=；
D ．位移i r R 2-=?，路程R s π=。 （ A ） [知识点] r ?与v ?的分量表达方法，v ?与v ?、r ?与s 的计算
[分析与解答] 依题意，质点i r R A =，i r R B =，j v v A =，j v B v -=，则从A 点运动到B 点时，速度的增量
02Δ≠-=--=-=j j j v v v B v v v A ，而速率增量
0B =-=-=?v v v v v A ；
位移i i i r r r R R R A B 2-=--=-=?，位移的大小R 2=?r ，路程R s π=，故A 不正确。
A
图1-3(a)
图1-3(b)
4． 一质点在xOy 平面内作曲线运动，r 为位置矢量，s 为路程。在下列关于质点速率的表达式中，正确的是：
A ．t r d d =v ；
B ．t
d d r =v ； C ．t s
d d =v ；
D ．2
2)d d ()d d (t
y t x +=v ； E ． t d d r =v 。 （B 、C 、D ）
[知识点] 速率与径向速率 [分析与解答] t d d r v =
，它的大小t d d r 等于瞬时速率v ；且v t
t ==d d d d r r
，而t s v d d =为瞬时速率的定义式；t x
v x d d =
，t
y v y d d =是二维运动速度沿x ，y 轴的两个分量，且有
2
22
2
d d d d y x v v t y t x +=??
?
??+??? ?? 即为瞬时速度的大小，它等于瞬时速率。
而
t r
d d 是径向速率，是速度在r 方向的分量，它只反映了r 的大小变化，t
r t d d d d =r 。
5．如图1-3(a)所示，物块A 与B 分别置于高度差为h 的水平面上，借一跨过滑轮的细绳连接，若A 以恒定速度0v 运动，则B 在水平面上的运动为：
A ．匀速运动，且0v v =；
B ．加速运动，且o v v >；
C ．加速运动，且o v v <；
D ．减速运动。 （ B ）
[知识点] 加速、减速判据，第Ⅰ类问题 [分析与解答]
选坐标原点O 在滑轮处，x 轴水平向右，y 轴竖直向下，如图1-3(b)所示。任意时刻物块B 的位矢为 j i r h x +=
设物块B 的速度为v i i j i x t x t h t x t r v ==+==
d d d d d d d d v （00d d ==y t
h v ,） 任意时刻物块B 到原点的距离x 都满足 22h r x -=
t
r
h r r h r t t x x d d d d d d 2222-=
-==
v 按题意t r d d 0-
=v 是物块A 的速率，因为绳长r 随时间在缩短，故
0d d r 则有 02 2022v v v x h x h r r x +-=--= i 022v x h x +-=v 物块B 的速度方向沿x 轴负向。物块B 的速率为 00 2 20cos v v v v >= += =θ h x x v 物块B 的加速度为 i t t x d d d d v == v a 32202222 002 2d d ) (d d d d x h t x h x x h x h x t t a x x v v v v -= +=+-== i i a 32 20x h a x v -== 物块B 的加速度方向沿x 轴负向。v 与a 方向相同，物块B 作变加速直线运动。 6．已知质点的运动方程为：θθcos cos 2 Bt At x +=，θθsin sin 2 Bt At y +=，式中θ 、、B A 均为恒量，且0>A ，0>B ，则质点的运动为： A ．圆周运动； B ．抛体运动； C ．椭圆运动； D ．匀加速直线运动； E ．匀减速直线运动。 （ D ） [知识点] 轨道方程，加速、减速判据，第Ⅰ类问题 [分析与解答] 质点的运动方程为 ???+=+=θ θθ θcos sin cos cos 2 2Bt At y Bt At x 由此可知 θtan =x y ， 即 ()x y θtan = 由于=θ恒量，所以上述轨道方程为直线方程。 又 ()()?? ?+=+=θθ sin cos Bt A v Bt A v y x 22 ???====恒量恒量 θθsin cos B a B a y x 22 由于0>A ，0>B ，显然v 与a 同号，故质点作匀加速直线运动。 7．一质点沿x 轴运动，其运动方程为3 2 24t t x -=（SI ），当质点再次返回原点时，其速度和 加速度分别为： A ．8m/s ，16m/s 2； B ．-8m/s ，16m/s 2； C ．-8m/s ，-16m/s 2； D ．8m/s ，-16m/s 2。 （ C ） [知识点] 第Ⅰ类问题的数值计算 [分析与解答] 速度 268d d t t t x v -== 加速度 t t v a 128d d -== 当质点再次返回原点时，有 0243 2 =-=t t x 得 0=t （舍去）和s 2=t 则此时的速度和加速度分别为 m/s 8682 2 -=-=x x v m/s 161282 -=-=x a 8．已知质点的运动方程为2 21210t t x -+-=（SI ），则在前5s 内质点作： A ．减速运动，路程为36m ； B ．加速运动，位移为10m ； C ．前3s 作减速运动，后2s 作加速运动，路程为26m ； D ．变速运动，位移的大小和路程均为10m 。 （ C ） [知识点] 第Ⅰ类问题，转向点条件，加速、减速判据，路程与位移。 [分析与解答] 速度 t t x v 412d d -== 加速度 0m /s 12d d >== t v a 质点直线运动的转向点时刻应满足 0412=-=t v 则得 s 3=t 当0 ≤ t ＜ 3s 时，v > 0，且a > 0，质点加速运动。 此段路程为() ()m 181032312102121=--?-?+-=-=x x s 当3 s< t ≤ 5s 时，v ＜ 0，且a > 0，质点减速运动。 此段路程为232x x s -= )3231210()5251210(22?-?+--?-?+-=m 8= 则质点的总路程为 m 2621=+=s s s 9．一质点沿半径R = 1m 的圆轨道作圆周运动，其角位置与时间的关系为12 1 2+=t θ（SI ） ，则质点在s 1=t 时，其速度和加速度的大小分别为： A ．1m/s ，1m/s 2； B ．1m/s ，2m/s 2； C ．1m/s ， 2m/s 2； D ．2m/s ，2m/s 2。 （ C ） [知识点] 角量与线量关系。 [分析与解答] 角速度 t t ==d d θω 角加速度 2r a d /s 1d d == t ωβ 速度的大小t t R =?==1ωv 线向加速度22 21 t t R v a n === 切向加速度2m/s 1d d == t v a 总加速度 1422+=+= τt a a a n 则当t =1s 时，质点的速度和加速度的大小为 m/s 1=v 2114=+=a 10．A 、B 两船都以2m/s 的速率匀速行驶，且A 船沿x 轴正向运动，B 船沿y 轴正向运动。则B 船相对于A 船的速度（以m/s 为单位）为 A ．j i 22+； B ．j i 22+-； C ．j i 22--； D ．j i 22-。 （ B ） [知识点] 运动相对性，伽利略速度变换式。 [分析与解答] 取地面为静止参考系S 系，A 船为运动参考系S ’系，B 船为运动物体。 则绝对速度为 u = 2j 牵连速度 v = 2i 而B 船相对于A 船的相对速度为 i j v u u 22-=-=' 即 j i u 22+-=' 二、填空题 1．一质点沿x 轴方向运动，其运动方程为326910t t t x -+-=（SI ） ，则： 质点前2s 的位移为r ?= i 2- m ； 质点速度的表达式为=v i )3129(3t t -+- m/s ； 质点沿x 轴的最大速度值为max v = 3 m/s 。 [知识点] 第Ⅰ类问题，位移的计算。 [分析与解答] 已知运动方程为 3 2 6910t t t x -+-= s 0=t 的位矢 m 10i r 0= s 2=t 的位矢 () m 8226291032i i r 2=-?+?-= 则前2s 的位移 m 2i r r r 02-=-=? 质点的速度 () m/s 3129d d 2i i v t t t x -+-== 质点的加速度的大小 t t v a 612d d -== 当 0612d d =-=t t v 时，质点具有最大速度，即t =2s 时，最大速度值为 m/s 3232129312922=?-?+-=-+-=t t v max 2．一质点在xOy 平面内运动，其运动方程为t x 2=，2 219t y -=（SI ）。则 质点的轨迹方程为 =y 2 192x - ； s 2=t 时的位矢为 =r j i 114+ m ； s t 2=时的速度为 =v j i 82- m/s ； 前2s 内的平均速度为 =v j i 42- m/s 。 [知识点] 轨迹方程与运动方程，二维第Ⅰ类问题，矢量表达式。 [分析与解答] 已知质点的运动方程为 t x 2= (1) 2219t y -= (2) 由式（1）得2 x t = ，代入式（2）即可得 质点的轨迹方程 2 192 x y -= 质点的位矢为 () j i r 22192t t -+= 当t=2s 时，质点的位矢为 () j i r 2221922?-+?=()m 114j i += 质点的速度为 j i r t t 42d d -==v 当t=2s 时，质点的速度为 ()m /s 82242j i j i v -=?-= 质点在前2s 内的平均速度为 2 2r r r v -=??= t ()( )?? ????-?-+?=j j i 1922192221 2 ()m/s 42j i -= 3．一质点沿x 轴正方向运动，其速度为2 38t +=v m/s ，当s 8=t 时，质点位于原点左侧52m 处，则其运动方程为=x 62883 -+t t m ； 且可知当0=t 时，原点的初始位置为=0x -628 m ，初速度为0v = 8 m/s 。 [知识点] 第Ⅱ类问题，初始条件。 [分析与解答] 一维质点运动 238d d t t x v +== （1） 分离变量 ( ) t t x d 38d 2 += 积分，且注意s 8=t 时，m 52-=x ，即 ()?? += -t x t x 82 52 38d 则 3 3 888852-?-+=+t t x 即运动方程为 62883 -+=t t x （2） 将0=t 代入式（2），则质点的初始位置为 m 6280-=x 将0=t 代入式（1），则质点的初速度为 m/s 80=v y 图1-4(a) 图1-5(b) 图1-4(b) 图1-5(a) 4．在质点曲线运动中，切向加速度τa 是反映质点运动速度 大小 变化的物理量；而法向加速度n a 是反映质点运动速度 方向 变化的物理量。 一质点在xOy 平面内作抛物运动，如图1-4(a)所示，若不计空气阻力，试在图上标出P 、Q 两点的切向加速度τa 和法向加速度n a 。 [知识点] 切向、法向加速度。 [分析与解答] 不计空气阻力，质点作抛体运动时，只受到竖直向下的重力作用，即加速度始终向下且大小为重力加速度g ，因此最高点P 只有法向加速度g a n =，在Q 点既有切向加速度τa ，又有法向加速度n a ，方向如图1-4（b ）所示。 5．如图1-5(a)所示，一炮弹作抛体运动，在轨道的P 点处，其速率为v ，且v 与水平面的夹角 为θ，则该时刻质点的=t d d v θsin g - ；P 点处的曲率半径=ρ θc o s 2 g v 。 [知识点] 自然坐标系， τa 、n a 。 [分析与解答] 如图1-5(b)所示，抛体运动的加速度就是重力加速度g ，它的切向分量为 gsin θd d -== t a v τ，式中负号表示切向加速度τa 的方向与速度v 方向相反。 法向加速度 ρ 2 g c o s θv = =n a 则由此知P 点处的曲率半径为 θ ρcos 2 g v = 2 1-1 6．一质点沿x 轴作直线运动，其v ～ t 曲线如图1-6所示。如果0=t 时，质点位于坐标原点， 则s 54.=t 时，质点的位置为=x m ，质点所行的路程为=s 12 61 m ，质点的加速度为=a 2 m/s 2。 [知识点] 图线运用，第Ⅱ类问题. [分析与解答] 在v －t 图上，曲线任一点的斜率表明是加速度，即 t a d d tan θv == 在v －t 图中曲线所包围的面积表示的是质点运动的路程s ，处于第Ⅰ象限的为+s ，处于第Ⅳ象 限的为－s （即沿相反方向运动的路程）。 依图示可得 ()00t t a v v -+= 在2s ≤t ＜3s 内， 23m/s 32 32 1-=---= a ，m/s 230=v 则速度 ()83232+-=--=t t v 质点的转向点 083=+-=t v s 3 8= t 则从0～ 3 8 s 内质点的路程为 m 31122 3811=??? ? ??+==ABCD s s 已知当0=t 时，00=x ，而 m 3 1101= -=x x s D 从 3 8 s ～4.5s 内，质点的路程为 m 12 1721 382912=??? ??????? ??-+==DEFG s s 由于 38s ～4.5s 内，质点作反方向运动，则 m 12 17 2= -=G D x x s 则t = 4.5s 时，质点的位置为 m 49 12173111217=-=-=D G x x 此时质点的路程为 m 13 61121731121=+=+=s s s 由图求斜率得此时的加速度为 m/s 25 01 == .a h v 图1-7(a) 图1-7(b) 7．一汽车沿x 轴正向行驶，其加速度与位置的关系为x a +=1（SI ），已知汽车初始时刻在 0=x 处的速度为v 0 = 1m/s 。则汽车在任一位置的速度为=v 1+x m/s ，任一时刻的位置为=x 1-t e m 。 [知识点] 第Ⅱ类问题， t x x v t v d d d d d d =变量代换。 [分析与解答] 由一维运动加速度定义有 x v v t x x v t v a d d d d d d d d === ⑴ 又由题意知 x a +=1 ⑵ 由式⑴和式⑵得 x x v v +=1d d 分离变量，积分并注意初始条件，则有 ()x x v v x v d 1d 0 1 ??+= 222 12121x x v +=- 即 1222 ++=x x v 得 1+=x v （舍去负值） 而由速度定义有 1d d +== x t x v 则分离变量，积分并注意初始条件，则 ? ?=+x t t x x 0d 1 d 得 t x =+)1ln( 则任一时刻的位置为 1-=t e x 8．如图1-7(a)所示，一辆货车的驾驶室后壁高度为h ，车厢长为l ，竖直下落的雨点速度为u ，要使车厢中的货物不致淋雨，则车的速度v 的大小必须满足的条件是 h ul ≥ v 。 [知识点] 运动相对性，速度叠加。 [分析与解答] 如图1-7(a)所示，取地面为静止参考系，货车为运动参考系，雨点为运动物体，则绝对速度为u ，方向竖直向下，牵连速度为v ，方向水平向右，则雨点对货车的相对速度为 v u v -=' 在图1-7(b)的速度三角形中，有 v u = θtan 当θ 角小于车厢上的相应角度θ'（如图所示）时，即 l h =θ'≤θtan tan 亦即 l h v u ≤ 即当h ul v ≥车厢上的货物不致淋雨。 9．一小孩在车站站台上以初速度0v 竖直向上抛出一小球，站台上的观测者S 测得小球的运动方程为0=x ，202 1 gt t v y -=（SI ） 。此时，一列车以m/s 5=u 的速度沿x 轴正方向驶过站台，则列车上的观测者S '（旅客）测得小球的运动方程为 ='x t 5- （SI ），='y 2 02 1gt t v - （SI ） 轨迹方程为 50 52 0x g x v y '- '-=' （SI ） 。 [知识点] 运动描述的相对性，伽利略变换式。 [分析与解答] 取站台上的观测者S 为静止参考系，列车上的观测者S '为运动参考系，小球为运动物体，S '系对S 系的速度为u ，则由伽利略时空变换关系为 ?? ? ??==-=t t y y ut x x ''' ⑴ 且考虑x = 0，m/s 5=u ，2 0g 2 1t t v y - =，则S '系测得小球运动方程为 ?? ?? ?-=-=20g 215t v y t x '' ⑵ 由式⑵消去时间t ，得轨迹方程为 50 g 52 0x x v y '--='' 10．一质点从静止出发，作半径为R = 3.0m 的圆周运动，其切向加速度的大小始终为 2m/s 3=τa 。当质点的总加速度a 与半径成450角时，质点所经过的时间为=t 1 s ；在上述时间 内，质点所经过的路程为=s 1.5 m ，角位移为=?θ 0.5 rad 。 [知识点] 角量的第Ⅱ类问题，圆周运动中的τa 和a n 角量与线量的关系 [分析与解答] 已知m/s 03.τ=a ，当?=45θ有 32 ===R a a v τn 则得此时 m/s 3=v ⑴ 而 3d d == t a v τ 由题意知 0=t ，00=v ，则 t v 3= ⑵ 由式(1)和式(2)得 s 1=t 又由 t a t s τ==d d v 则 22 1 t a s x = 在一秒内的路程为 m 51132 1 .=??=s 角位移为 rad 503 51θ..===?R s 三、计算与证明题 1．一雨滴从高空云层由静止竖直下落，其加速度随速度的变化关系为v n m a -=（SI ），式中m 、n 为常数。试求雨滴的下落速度v 与时间t 的函数关系，并讨论雨滴的运动情况。（假设雨滴在下落过程中质量不变。） [分析与解答] 选雨滴的下落方向为y 轴正方向，雨滴起点为坐标原点。 按题意t = 0时，0000==v ,y 。 由 v v n m t a -== d d 分离变量并积分得 ??? =---=-v t t n m n m n n m 000 d )d(1d v v v v v )1(nt e n m --= v 结果表明，雨滴速度随时间按指数规律增长，雨滴作加速运动。 当∞→t 时，n m = v = 常量，表明雨滴将以该极限速度作匀速运动。 2．一质点以半径m 6=R 作圆周运动，其在自然坐标系中运动方程为： 22 1 ct bt s +=（SI ） 式中，s m 02.=b ，2s m 01.=c 。试求质点切向加速度与法向加速度大小相等之前，其所 经历的时间。 [分析与解答] 由题设方程可知，质点圆周运动的速率为 ct b t s +== d d v 则其切向加速度的大小为 c t a τ== d d v 则其法向加速度的大小为 R t c b R a n 2 222+==v 按题意有n τa a =，即 c R t c b =+2 22 代入s m 02.=b ，2s m 01.=c ，m 6=R ，得 s 2=t 3．一小球沿x 轴作直线运动，其x ～t ，v ～t ，a ～t 曲线分别如图1-8（a ）（b ）（c ）所示。试求： （1）小球的运动方程； （2）分析小球在0～3s 内的运动情况； （3）3s 内的位移和路程。 [分析与解答]（1）由a ～t 曲线可知，a = -8m/s 2，表明小球做匀变速直线运动，其标准方程为： 2 002 1at t x x + +=v （SI ） 又由v ～t 和x ～t 曲线可知，当0=t 时，m 100=x ，s m 80=v 。 所以，小球的运动方程为： 24810t t x -+=（SI ） （2）在0=t 时，m 100=x ，m 80=v ，2s m 8-=a 。此时，质点开始沿x 轴正方向匀 减速运动； 在s 1=t 时，质点到达x 轴正方向最远处，即m x 14=，但此时01=v ，2m 8-=a ， 141210860-2 4 2 (a) 128 40-4-8 -12 -16 -4 -8 图1-8 图1-9 表明此时刻质点瞬间静止，处于换向点； 在1~3s 内，速度0 8-=a ，表明质点沿x 轴反方向作匀加速直线运动。 在s 3=t 时，质点到达m 2-=x 处。 （3）由x ～t 曲线上可以看出，在0~3s 内的位移为： m 1210203-=--=-=?x x x 路程为：m 20122)1014()(1301=--+-=-+ -=x x x x s 4．已知某行星的运动方程为j i r t B t A ωωsin cos +=（SI ） ，式中A 、B 、ω均为正的常数，且B A >，i 、j 分别为x 、y 轴的单位矢量。 （1）试证：该行星的运动轨迹为椭圆； （2）试求行星的加速度a ； （3）试说明：行星途径第二象限任一点M 时（如图1-9所示），是加速还是减速运动？ [分析与解答] （1）由题设可知，该行星运动方程的分量式为： t A x ωcos =， t B y ωsin = 消去t 得 122 22=+B y A x 表明行星是以2A 为长轴，2B 为短轴作椭圆轨道运动。 （2）因为 t A t x a x ωωcos d d 2 22 -== x 图1-10 t B t y a y ωωsin d d 222-== 则 j i a y x a a += j i t B t A ωωωωsin cos 22--= r 2ω-= 即a 与r 反向，表明a 恒指向椭圆中心。 （3）因为 t d d r = v j i ωt B ωt A cos sin ωω+-= j i a ωt B ωt A sin cos 22ωω--=r 2ω-= 而 v ?a ?--=)sin cos (22j i ωt B ωt A ωω)cos sin (j i ωt B ωt A ωω+- )(cos sin 223B A ωt ωt -=ω 由题意知，此时行星在通过图中在第二象限的M 点，有 0sin >ωt ，0cos <ωt ，且B A >，0>ω 则 0 a 与v 夹角为钝角，表明在M 点切向加速度τa 的方向与速度v 的方向相反。所以，质点在通过M 点时速率会减小。 四、简答题 1．质点在xOy 平面内运动，r 为位置矢量。试说明 r ?≠?r ，并画出简图。 [答]：r ?是位量矢量的模，它反映了r 的大小、方向两个因素的变化。而r ?=r ?称为径向增量，它只反映r 的大小变化，如图1-10所示。 2．一个作平面运动的质点，其切向加速度τa 和法向加速度n a 均不为零，试讨论在下列条件下质点的运动情况： （1）加速度=a 恒矢量； （2）加速度a 随时间变化。 [答]：（1）τa 、n a 不为零，表明质点速度的大小、方向均变化，但加速度a 是恒矢量，表明质点作抛体运动。 （2）若a 随时间变化，则质点作一般曲线运动。若其曲率半径ρ等于常量，则质点作变速圆周运动。 第1章 质点运动学 一、基本要求 1．理解描述质点运动的位矢、位移、速度、加速度等物理量意义； 2．熟练掌握质点运动学的两类问题：即用求导法由已知的运动学方程求速度和加速度，并会由已知的质点运动学方程求解位矢、位移、平均速度、平均加速度、轨迹方程；用积分法由已知的质点的速度或加速度求质点的运动学方程； 3．理解自然坐标系，理解圆周运动中角量和线量的关系，会计算质点做曲线运动的角速度、角加速度、切向加速度、法向加速度和总加速度； 4．了解质点的相对运动问题。 二、基本内容 （一）本章重点和难点： 重点：掌握质点运动方程的物理意义及利用数学运算求解位矢、位移、速度、加速度、轨迹方程等。 难点：将矢量运算方法及微积分法应用于运动学解题。（提示：矢量可以有黑体或箭头两种表示形式，教材中一般用黑体形式表示，学生平时作业及考试请用箭头形式表示） （二）知识网络结构图： ? ?? ?? ? ?? ?? ? ??? ??? ?????? ?? ??相对运动 总加速度法向加速度切向加速度角加速度角速度曲线运动轨迹方程参数方程位矢方程质点运动方程运动方程形式平均加速度加速度平均速度速度位移 位矢基本物理量,,,,:)(,, （三）容易混淆的概念： 1.瞬时速度和平均速度 瞬时速度（简称速度），对应于某时刻的速度，是质点位置矢量随时间的变化率，用求导法；平均速度是质点的位移除以时间，对应的是某个时间段内的速度平均值，不用求导法。 2. 瞬时加速度和平均加速度 瞬时加速度（简称加速度），对应于某时刻的加速度，是质点速度矢量随时间的变化率，用求导法；平均加速度是质点的速度增量除以时间，对应的是某个时间段内加速度的平均值，不用求导法。 3.质点运动方程、参数方程和轨迹方程 质点运动方程（即位矢方程），是质点位置矢量对时间的函数；参数方程是质点运动方程的分量式；而轨迹方程则是从参数方程中消去t 得到的，反映质点运动的轨迹特点。 4．绝对速度、相对速度和牵连速度 绝对速度是质点相对于静止参照系的速度；相对速度是质点相对于运动参照系的速度；牵连速度是运动参照系相对于静止参照系的速度。 （四）主要内容： 1．质点的位矢、位移、运动方程 （1）质点运动方程（)(t r ）：k t z j t y i t x t r )()()()(++=（描述质点运动的空间位置与时间的关系式） （2）位矢（r ）：k z j y i x r ++= 第一章 质点运动学 一 选择题 1． 下列说法中，正确的是 （ ） A. 一物体若具有恒定的速率，则没有变化的速度 B. 一物体具有恒定的速度，但仍有变化的速率 C. 一物体具有恒定的加速度，则其速度不可能为零 D. 一物体具有沿x 轴正方向的加速度，其速度有可能沿x 轴的负方向 解：答案是D 。 2. 某质点作直线运动的运动方程为x =3t -5t 3 + 6 (SI)，则该质点作 （ ） A. 匀加速直线运动，加速度沿x 轴正方向 B. 匀加速直线运动，加速度沿x 轴负方向 C. 变加速直线运动，加速度沿x 轴正方向 D. 变加速直线运动，加速度沿x 轴负方向 解：答案是D 3. 如图示，路灯距地面高为H ，行人身高为h ，若人以匀速v 背向路灯行走，则人头影子移动的速度u 为（ ） A. v H h H - B. v h H H - C. v H h D. v h H 解：答案是B 。 设人头影子到灯杆的距离为x ，则 H h x s x =-，s h H H x -=， v h H H t s h H H t x u -=-== d d d d 所以答案是B 。 4. 一质点的运动方程为j i r )()(t y t x +=，其中t 1时刻的位矢为j i r )()(111t y t x +=。问质点在t 1时刻的速率是 （ ） A. d d 1t r B. d d 1t r C. 1 d d t t t =r D. 1 22)d d ()d d ( t t t y t x =+ 解 根据速率的概念，它等于速度矢量的模。 本题答案为D 。 5. 一物体从某一确定高度以v 0的初速度水平抛出，已知它落地时的速度为v t ，那么它的运动时间是 （ ） A. g 0 v v -t B. g 20v v -t C. g 2 02v v -t D. g 22 02v v -t 解：答案是C 。 灯 s 选择题3图 第1章质点运动学习题解答 1-1 如图所示，质点自A 点沿曲线运动到B 点，A 点和B 点的矢径分别为A r 和B r 。 试在图中标出位移r 和路程s ，同时对||r 和r 的意义及它们与矢径的关系 进行说明。 解：r 和s 如图所示。 ||r 是矢径增量的模||A B r r ，即位移的大 小；r 是矢径模的增量A B A B r r r r |||| ， 即矢径长度的变化量。 1-2 一质点沿y 轴作直线运动，其运动方程为32245t t y （SI ）。求在计时开始的头3s 内质点的位移、平均速度、平均加速度和所通过的路程。 解：32245t t y ，2624t v ，t a 12 )(18)0()3(m y y y )/(63 s m y v )/(183 )0()3(2s m v v a s t 2 时，0 v ，质点作反向运动 )(46|)2()3(|)0()2(m y y y y s 1-3 一质点沿x 轴作直线运动，图示为其t v 曲线图。设0 t 时，m 5 x 。试根据t v 图画 出：(1)质点的t a 曲线图；(2)质点的t x 曲线 图。 解： )106( 5.775)62( 5.215)20( 2020t t t t t t v （1）dt dv a ，可求得： )106( 5.775)62( 5.215)20( 2020t t t t t t v 质点的t a 曲线图如右图所示 （2）dt dx v ， t x vdt dx 00， 可求得： 20 t 时， t x dt t dx 05)2020(， 520102 t t x 62 t 时， t x dt t dt t dx 2205)5.215()2020(， 30154 52 t t x 106 t 时， t x dt t dt t dt t dx 662205)5.775()5.215()2020(， 210754 152 t t x )106( 210754 15)62( 30154 5)20( 52010222t t t t t t t t t x 质点的t x 曲线图如右图所示。 1-4 如图所示，路灯距地面的高度为H ，在与路灯水平距离为s 处，有一气球 01 01 质点运动学 班号467641725 学号 姓名 成绩 一、选择题 （在下列各题中，均给出了4个~6个答案，其中有的只有1个是正确答案，有的则有几个是正确答案，请把正确答案的英文字母序号填在题后的括号内） 1．在下列关于质点运动的表述中，不可能出现的情况是 A ．一质点具有恒定的速率，但却有变化的速度； B ．一质点向前的加速度减少了，其前进速度也随之减少； C ．一质点加速度值恒定，而其速度方向不断改变； D ．一质点具有零速度，同时具有不为零的加速度。 （ B ） [知识点] 速度v 与加速度a 的关系。 [分析与解答] 速度v 和加速度a 是矢量，其大小或方向中任一项的改变即表示速度或加速度在变化，且当速度与加速度间的方向呈锐角时，质点速率增加，呈钝角时速率减少。 因为质点作匀速运动时速率不变，但速度方向时时在变化，因此，A 有可能出现， 抛体运动（或匀速圆周运动）就是加速度值（大小）恒定，但速度方向不断改变的情形，故C 也有可能出现。 竖直上抛运动在最高点就是速度为零，但加速度不为零的情形，故D 也有可能出现。 向前的加速度减少了，但仍为正值，此时仍然与速度同方向，故速度仍在增大，而不可能减少，故选B 。 2． 在下列关于加速度的表述中，正确的是： A ．质点沿x 轴运动，若加速度a < 0，则质点必作减速运动； B ．质点作圆周运动时，加速度方向总是指向圆心； C ．在曲线运动中，质点的加速度必定不为零； D ．质点作曲线运动时，加速度方向总是指向曲线凹的一侧； E ．若质点的加速度为恒失量，则其运动轨迹必为直线； F ．质点作抛物运动时，其法向加速度n a 和切向加速度τa 是不断变化的，因此，加速度 22τn a a a +=也是变化的。 （ C 、D ） 第1章 质点运动学 一、选择题 1. 一物体在位置1的矢径是 r 1, 速度是 v 1． 经?t 秒后到达位置2，其矢径是 r 2, 速度 是 v 2．则在?t 时间内的平均速度是 [ ] (A) )(2112v v - (B) )(2112v v + (C) t r r ?-1 2 (D) t r r ?+12 2. 一物体在位置1的速度是 v 1, 加速度是 a 1．经?t 秒后到达位置2，其速度是 v 2, 加速度是 a 2．则在?t 时间内的平均加速度是 [ ] (A) )(1 12v v -?t (B) )(112v v +?t (C) )(2112a a - (D) )(2 112a a + 3. 关于加速度的物理意义, 下列说法正确的是 [ ] (A) 加速度是描述物体运动快慢的物理量 (B) 加速度是描述物体位移变化率的物理量 (C) 加速度是描述物体速度变化的物理量 (D) 加速度是描述物体速度变化率的物理量 4．运动方程表示质点的运动规律, 运动方程的特点是 [ ] (A) 绝对的, 与参考系的选择无关 (B) 只适用于惯性系 (C) 坐标系选定后, 方程的形式是唯一的 (D) 参考系改变, 方程的形式不一定改变 5. 竖直上抛的物体, 在t 1秒末时到达某一高度, t 2秒末再次通过该处，则该处的高度是 [ ] (A) 212 1t gt (B) )(2121t t g + (C) 2 21)(2 1t t g + (D) )(2 112t t g - 6. 一质点作曲线运动, 任一时刻的矢径为 r , 速度为 v , 则在?t 时间内 [ ] (A) v v ?=? (B) 平均速度为??r t (C) r r ?=? (D) 平均速度为 t r ?? 7. 一质点作抛体运动, 忽略空气阻力, 在运动过程中, 该质点的 t d d v 和t d d v 的变化情 T 1-1-1图 T 1-1-2图 质点运动学 1.一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为（其中a、ｂ为常量）,则该质点作 ( ) Ａ.匀速直线运动． B.变速直线运动. C.抛物线运动． Ｄ.一般曲线运动． 答案:Ｂ 2对于沿曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种是正确的： ( ） Ａ.切向加速度必不为零． B．法向加速度必不为零（拐点处除外)． C．由于速度沿切线方向，法向分速度必为零,因此法向加速度必为零. Ｄ．若物体作匀速率运动,其总加速度必为零． E.若物体的加速度为恒矢量,它一定作匀变速率运动． 答案：B 3.一个质点在做匀速率圆周运动时（） Ａ.切向加速度改变,法向加速度也改变. B.切向加速度不变,法向加速度改变． Ｃ.切向加速度不变，法向加速度也不变. D.切向加速度改变，法向加速度不变． 答案:B ４.｛ 一质点沿ｘ方向运动，其加速度随时间变化关系为 a=3+2t(ＳＩ), 如果初始时质点的速度v 0为5 m/s,则当t为3s时，质点的速度 ｖ=_＿_________＿_____. ｝ 答案:2３m/ｓ 5.{ 一辆作匀加速直线运动的汽车,在6s内通过相隔60 m远的两点,已知汽车经过第二点时的速率为１5m/s,则(1)汽车通过第一点时的速率v１=_＿__＿____＿＿___＿___＿; (2）汽车的加速度a=__＿_＿___＿__＿___＿__＿_____＿＿_. } 答案:5.00 m／s|１.６7 ｍ/ｓ２ 6.{ 一质点作半径为０．1 m的圆周运动,其角位置的运动学方程为: （SI) 则其切向加速度为=_＿_＿_____＿___________． } 答案:０.１ｍ/s2 7.｛ 试说明质点作何种运动时，将出现下述各种情况： （１);__＿___＿___＿_____＿＿＿＿___＿________＿_ (２）,a n=0；＿____＿_＿__________＿_______________ aｔ、a n分别表示切向加速度和法向加速度。 } 答案:变速率曲线运动|变速率直线运动 第一章 质点运动学 一. 选择题: ［C ］1、[基础训练1]如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动．设该人以匀速率0v 收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的运动是 (A) 匀加速运动． (B) 匀减速运动． (C) 变加速运动． (D) 变减速运动．(E) 匀速直线运动． 【提示】如图建坐标系，设船离岸边x 米， 222l h x =+，22dl dx l x dt dt =， 22dx l dl x h dl dt x dt x dt +==，0dl v dt =-， 可见，加速度与速度同向，且加速度随时间变化。 ［B ］2、[基础训练2]一质点沿x 轴作直线运动， 其v -t 曲线如图所示，如t =0时，质点位于坐标原点，则t =4.5 s 时，质点在x 轴上的位置为 (A) 5m ． (B) 2m ． (C) 0． (D) -2 m ． (E)-5 m. 【提示】 4.50 s x vdt = ?，质点在x 轴上的位置即为这段时间内v-t 曲线下的面积的代数和： ［B ］3、（自测提高3）质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，每T 秒转一圈．在2T 时间间隔中，其平均速度大小与平均速率大小分别为 (A) 2πR /T , 2πR/T ．(B) 0 , 2πR /T (C) 0 , 0． (D) 2πR /T , 0. 【提示】平均速度大小：0r v t ?= =?平均速率：2s R v t T ?==?π （注意定义式及符号的规范） ［C ］4、[自测提高6]某物体的运动规律为t k t 2 d /d v v -=，式中的k 为大于零的常量．当 0=t 时，初速为v 0，则速度v 与时间t 的函数关系是 (A) 0221v v +=kt , (B) 02 2 1v v +-=kt , (C)02121v v +=kt , (D) 0 21 21v v +-=kt 【提示】t k t 2 d /d v v -=，分离变量并积分，020 v t v dv ktdt v =-??，得021 21v v +=kt . x o x l h 第一章 质点运动学 1–1 描写质点运动状态的物理量是 。 解：加速度是描写质点状态变化的物理量，速度是描写质点运动状态的物理量，故填“速度”。 1–2 任意时刻a t =0的运动是 运动；任意时刻a n =0的运动是 运动；任意时刻a =0的运动是 运动；任意时刻a t =0，a n =常量的运动是 运动。 解：匀速率；直线；匀速直线；匀速圆周。 1–3 一人骑摩托车跳越一条大沟，他能以与水平成30°角，其值为30m/s 的初速从一边起跳，刚好到达另一边，则可知此沟的宽度为 （)m/s 102=g 。 解：此沟的宽度为 m 345m 10 60sin 302sin 220=??==g R θv 1–4 一质点在xoy 平面运动，运动方程为t x 2=，229t y -=，位移的单位为m ，试写出s t 1=时质点的位置矢量__________；s t 2=时该质点的瞬时速度为__________，此时的瞬时加速度为__________。 解：将s t 1=代入t x 2=，229t y -=得 2=x m ，7=y m s t 1=故时质点的位置矢量为 j i r 72+=（m ） 由质点的运动方程为t x 2=，229t y -=得质点在任意时刻的速度为 m/s 2d d ==t x x v ，m/s 4d d t t x y -==v s t 2=时该质点的瞬时速度为 j i 82-=v （m/s ） 质点在任意时刻的加速度为 0d d ==t a x x v ，2m/s 4d d -==t a y y v s t 2=时该质点的瞬时加速度为j 4-m/s 2 。 质点运动学1 一、选择题 1、 分别以r 、s 、υ 和a 表示质点运动的位矢、路程、速度和加速度，下列表述 中正确的是 A 、r r ?=? B 、υ==dt ds dt r d C 、dt d a υ= D 、υ=dt dr [ B ] 2、 一质点沿Y 轴运动，其运动学方程为324t t y -=， 0=t 时质点位于坐标原 点，当质点返回原点时，其速度和加速度分别为 A 、116-?s m ，216-?s m B 、116-?-s m ，216-?s m C 、116-?-s m ，216-?-s m D 、116-?s m ，216-?-s m [ C ] 3、已知质点的运动方程为：θθcos cos 2Bt At x +=，θθsin sin 2Bt At y +=，式中 θ、、B A 均为恒量，且0>A ，0>B ，则质点的运动为： A ．一般曲线运动； B ．圆周运动； C ．椭圆运动； D ．直线运动； （ D ） [分析] 质点的运动方程为 2 2 c o s c o s s i n s i n x A t B t y A t B t θθθθ?=+?=+? 由此可知 θt a n =x y ， 即 ()x y θt a n = 由于=θ恒量，所以上述轨道方程为直线方程。 又 ()()???+=+=θθs i n c o s Bt A v Bt A v y x 22 ???====恒量恒量 θθsin cos B a B a y x 22 由于0>A ，0>B ，显然v 与a 同号，故质点作匀加速直线运动。 4、质点在平面内运动，位矢为)(t r ，若保持0=dt dr ，则质点的运动是 A 、匀速直线运动 B 、 变速直线运动 C 、圆周运动 D 、匀速曲线运动 [ C ] 04 刚体力学基础 一、选择题 1、一个具有单位质量的质点在力场j t i t t F )612()43(2-+-=中运动，其中t 是时间。设该质点在t =0时位于原点，且速度为零。 (1) t =2时该质点所受的对原点的力矩是 [ ] (5分) (A) 0； (B) k 16-； (C) k 24-； (D) k 40-。 (2) t =2时该质点对原点的角动量是 [ ] (5分) (A) 0； (B) k 16-； (C) k 24-； (D) k 40-。 2、如图A 、B 为两个相同的定滑轮，A 滑轮挂一质量为M 的物体，B 滑轮受拉力F ，而且F=Mg ，设A 、B 两滑轮的角加速度分别为βA 和βB ，不计滑轮轴的摩擦，这两个滑轮角加速度大小比较是： (A) βA ＞βB (B) βA ＜βB (C) βA =βB (D) 不能确定 [ ] 3、一静止的均匀细棒，长为L ，质量M ，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑轴O 在水平面内转动，一质量为m ，速率为v 的子弹在水平面内恰与棒垂直的方向射入棒的自由端，设击穿棒后子弹的速度减为2/v ，则此时棒的角速度为 (A) ML m v (B) ML m 23v (C) ML m 35v (D) ML m 47v [ ] 4、如图，均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到垂直位置的过程中，下列说法哪一种是正确的？ （A ）角速度从小到大，角加速度从大到小 （B ）角速度从小到大，角加速度从小到大 （C ）角速度从大到小，角加速度从大到小 （D ）角速度从大到小，角加速度从小到大 [ ] A B 第1章质点运动学（复习指南) 一、基本要求 掌握参考系、坐标系、质点、运动方程与轨迹方程得概念，合理选择运动参考系并建立直角坐标系,理解将运动对象视为质点得条件、 掌握位矢、位移、速度、加速度得概念;能借助直角坐标系计算质点在平面内运动时得位移、平均速度、速度与加速度、会计算相关物理量得大小与方向、 二、基本内容 １.位置矢量(位矢） 位置矢量表示质点任意时刻在空间得位置,用从坐标原点向质点所在点所引得一条有向线段，用表示．得端点表示任意时刻质点得空间位置.同时表示任意时刻质点离坐标原点得距离及质点位置相对坐标轴得方位.位矢就是描述质点运动状态得物理量之一.对应注意: (１）瞬时性:质点运动时，其位矢就是随时间变化得,即.此式即矢量形式得质点运动方程. (2)相对性:用描述质点位置时，对同一质点在同一时刻得位置,在不同坐标系中可以就是不相同得．它表示了得相对性,也反映了运动描述得相对性. (3）矢量性:为矢量，它有大小，有方向,服从几何加法.在平面直角坐标系系中 位矢与x轴夹角正切值 ? 质点做平面运动得运动方程分量式:,． 平面运动轨迹方程就是将运动方程中得时间参数消去,只含有坐标得运动方程、 ２.位移 得大小?. 注意区分:(1)与,前者表示质点位置变化,就是矢量，同时反映位置变化得大小与方位.后者就是标量,反映从质点位置到坐标原点得距离得变化．(2)与,表示时间内质点通过得路程,就是标量.只有当质点沿直线某一方向前进时两者大小相同，或时,. 3．速度 定义，在直角坐标系中 得方向:在直线运动中,表示沿坐标轴正向运动,表示沿坐标轴负向运动． 在曲线运动中,沿曲线上各点切线,指向质点前进得一方. 学科：物理 教学内容：第一章高三物理复习质点运动学 一、考纲要求 1.位移、路程、速度、速率、加速度、平均速度、瞬时速度的概念；质点模型 2.匀速直线运动和匀变速直线运动的速度公式和位移公式；速度图像和位移图像 3.运动的合成和分解 4.曲线运动中质点的速度方向 5.抛体运动(竖直上抛运动和平抛运动)的规律 6.简谐运动，简谐运动的振幅、周期和频率；简谐运动图像 7.弹簧振子和单摆模型，单摆的周期公式；简谐运动的条件，用单摆测重力加速度g 8.波动；横波和纵波；横波的图像；波长、频率和波速之间的关系。 f a= at 2 →?? ???==220121at S t v S 三、知识点、能力点提示 1.通过对速度v ，速度改变量Δv 和加速度a=Δv/Δt 的理解，弄清它们的区别 2.理解速度、速率和平均速度，明确它们的区别 3.掌握匀变速直线运动的基本规律，并能熟练地推导出几个有用的推论，即 ?????-=→+=→??→????+=+=20 202002)(2121v vt aS v v v at t v S at v v t t 导出 4.由以上基本规律和推论，熟练证明以下重要的结论，并能运用这些结论灵活解答具体问题 ： (1)做匀变速直线运动的物体，在任意两个连续相等时间内的位移之差为恒量，即 ΔS=S n -S n-1=aT 2=恒量 (2)做匀变速直线运动的物体，在一段时间内的平均速度，等于这段时间中间时刻的瞬时速 度，即 v 21=v = 2 1(v o +v t ) (3)关于初速度等于零的匀加速直线运动(T 为等分时间间隔)，有以下特点： ▲1T 末、2T 末、3T 末……瞬时速度之比 v 1∶v 2∶v 3∶……∶v n =1∶2∶3∶……∶n ▲1T 内、2T 内、3T 内……位移之比 S 1∶S 2∶S 3……:S n =12∶22∶32∶……∶n 2 ▲第一个T 内、第二个T 内、第三个T 内……位移之比 第一章 质点运动学 一、选择题 ［ D ］1、[基础训练3] 一运动质点在某瞬时位于矢径()y x r , 的端点处，其速度大小为 (A) t r d d (B) t r d d (C) t r d d (D) 2 2d d d d ?? ? ??+??? ??t y t x 【答】2 2 , dx dy dx dy v i j v dt dt dt dt ???? =+∴=+ ? ????? ［ C ］2、[基础训练6] 一飞机相对空气的 速度大小为 200 km/h ，风速为56 km/h ，方向从 西向东。地面雷达站测得飞机速度大小为 192 km/h ，则飞机飞行方向是 (A) 南偏西16.3°；(B) 北偏东16.3°； (C) 向正南或向正北； (D) 西偏北16.3°； (E) 东偏南16.3°． 【答】根据三个速率的数值关系，以及伽利略速度变换式=+v v v →→→机地机空气空气地，可以画出三个速度之间的矢量关系，如图所示。 =200km/h, 56/, =192km/h km h v v v →→→=机空气空气地机地，根据余弦定理， 222200=56192256192cos θ+-??，解得：cos =0θ，所以=2 π θ± . ［ C ］3、[自测提高1]如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动．设该人以匀速率0v 收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的运动是 (A) 匀加速运动． (B) 匀减速运动． (C) 变加速运动． (D) 变减速运动． (E) 匀速直线运动． 【答】如图建坐标系，设船离岸边x 米， 222l h x =+，22dl dx l x dt dt =， 22dx l dl x h dl dt x dt x dt +==，0dl v dt =-， 2 2 0x dx h x v v dt x +==- v →机地v →空气地v →机空气 v →空气地 v →机空气 v →机地 θθ v x o x l h 大学物理-质点运动学 (答案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第一章 力和运动 （质点运动学） 一. 选择题: ［ B ］1、一质点沿x 轴作直线运动，其v t 曲线如图所示，如t =0时，质点位于坐标原点，则t =4.5 s 时，质点在x 轴上的位置为 (A) 5m ． (B) 2m ． (C) 0． (D) -2 m ． (E) -5 m. (1 2.5)22(21)122()x m =+?÷-+?÷=提示： ［ C ］2、如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动．设该人以匀速率0v 收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的运动是 (A) 匀加速运动． (B) 匀减速运动． (C) 变加速运动． (D) 变减速运动． (E) 匀速直线运动． 提示：如图建坐标系，设船离岸边x 米， 222l h x =+ 22dl dx l x dt dt = 22dx l dl x h dl dt x dt x dt +== 0dl v dt =- 22 0dx h x v i v i dt x +==- 2203v h dv dv dx a i dt dx dt x ==?=- ［ D ］3、一运动质点在某瞬时位于矢径()y x r , 的端点处, 其速度大小为 (A) t r d d (B) t r d d (C) t r d d (D) 22d d d d ?? ? ??+??? ??t y t x 1 4.54 32.52 -1 12t (s) v (m/s) v x o 第一章 力和运动 （质点运动学） 一. 选择题: ［ B ］1、一质点沿x 轴作直线运动，其v t 曲线如图所示，如t =0时，质点位于坐标原点，则t = s 时， 质点在x 轴上的位置为 (A) 5m ． (B) 2m ． (C) 0． (D) 2 m ． (E) 5 m. (1 2.5)22(21)122()x m =+?÷-+?÷=提示： ［ C ］2、如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖 中的船向岸边运动．设该人以匀速率0v 收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的运动是 (A) 匀加速运动． (B) 匀减速运动． (C) 变加速运动． (D) 变减速运动． (E) 匀速直线运动． 提示：如图建坐标系，设船离岸边 x 米， 222l h x =+ 22dl dx l x dt dt = 22 dx l dl x h dl dt x dt x dt +== 0dl v dt =- 220dx h x v i v i dt x +==-r r r 2203v h dv dv dx a i dt dx dt x ==?=-r r r r ［ D ］3、一运动质点在某瞬时位于矢径()y x r ,? 的端点处, 其速度大小为 1 4.5432.52-112 t (s) v (m/s) v ? x o (A) t r d d (B) t r d d ? (C) t r d d ? (D) 2 2 d d d d ?? ? ??+??? ??t y t x 提示：22 , dx dy dx dy v i j v dt dt dt dt ??????=+ ∴=+ ? ? ???????r r v ［ B ］4、质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，每T 秒转一圈．在2T 时间间隔中，其平均速度大小与平均速率大小分别为 (A) 2R /T , 2R/T ． (B) 0 , 2R /T (C) 0 , 0． (D) 2R /T , 0. 提示：平均速度大小：0r v t ?==?v r 平均速率：2s R v t T ?= =?π ［ B ］5、在相对地面静止的坐标系内，A 、B 二船都以2 m/s 速率匀速行驶，A 船沿x 轴正向，B 船沿y 轴正向．今在A 船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系(x 、y 方向单位矢用i ?、j ? 表示)，那么在A 船上的坐标系中，B 船的速度（以m/s 为单位）为 (A) 2i ?＋2j ?． (B) 2i ?＋2j ?． (C) －2i ?－2j ?． (D) 2i ?－2j ? ． 提示：2(2)B A B A v v v j i →→→=+=+-r r r r r 地地 ［ D ］6、某人骑自行车以速率v 向西行驶，今有风以相同速率从北偏东30o 方向 吹来，人感到风从哪个方向吹来 (A)北偏东30 (B)北偏西60 (C) 北偏东60 (D) 北偏西30 提示：根据v r 风对人=v r 风对地+v r 地对人，三者的关系如图所示：这是个等边三角形，∴人感到风从北偏西300方向吹来。 二. 填空题 v r 风对人 v r 地对人 v r 风对地 《大学物理AI 》作业 运动的描述 班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______ 一、选择题 1．一质点沿x 轴作直线运动，其v ~ t 曲线如图所示。若t ＝0时质点位于坐标原点，则t ＝ s 时，质点在x 轴上的位置为 [ ] (A) 0 (B) 5 m (C) 2 m (D) －2 m (E) －5 m 解：因质点沿x 轴作直线运动，速度t x v d d = ， ??==?2 1 2 1 d d t t x x t v x x 所以在v ~ t 图中，曲线所包围的面积在数值上等于对应时间间隔内质点位移的大小。横轴以上面积为正，表示位移为正；横轴以下面积为负，表示位移为负。由上分析可得t ＝ s 时, 位移 ()()()m 21212 125.2121 =?+-?+= =?x x 选C 2．如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动。设该人以匀速率0v 收绳，绳不伸长、 湖水静止，则小船的运动是 [ ] (A) 匀加速运动 (B) 匀减速运动 (C) 变加速运动 (D) 变减速运动 (E) 匀速直线运动 解：以水面和湖岸交点为坐标原点建立坐标系如图所示，且设定滑轮到湖面高度为h ，则 小船在任一位置绳长为 22x h l += 题意匀速率收绳有 022d d d d v t x x h x t l =+-= 故小船在任一位置速率为 x x h v t x 220d d +-= 小船在任一位置加速度为 32 220222d d x x h v t x a +-==，因加速度随小船位置变化，且与速度方向相同，故小船作变加速运动。 选C 3．一运动质点在某瞬时位于矢径()y x r ,? 的端点处，其速度大小为 [ ] (A) t r d d (B) t r d d ? (C) t r d d ? (D) 2 2d d d d ?? ? ??+??? ??t y t x ) - 大学物理练习题一 一、选择题 1. 一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为j bt i at r 2 2 （其中a 、b 为常量），则该质点作 （A ）匀速直线运动； （B ）变速直线运动； （C ）抛物线运动； （D ）一般曲线运动. [ B ] 解：由2 at x ，2 bt y 可得x a b y 。即质点作直线 运动。 j bt i at dt r d v 22 是变量，故为变速直线运动。 2. 一质点在平面上作一般曲线运动，其瞬时速度为v ，瞬时速率为v ，某一段时间 内的平均速度为v ,平均速率为v ，它们之间的关系必定有 （A ）v v ，v v . （B ）v v ， v v . （C ）v v ，v v . （D ）v v ，v v . [ D ] 解：定义式dt r d v ， dt ds v ; t r v ，t s v ； 因为 ds r d || ， s |r | （单向直线运动除外）， 所以 v v v v , 3. 质点作半径为R 的变速圆周运动时的加速度大小为 （v 表示任一时刻质点的速 率） （A ）dt dv . (B)R v 2 . (C) dt dv +R v 2 . (D)2 1 2 22 R v dt dv . [ D ] 4. 某物体的运动规律为2kv dt dv ，式中的k 为大于零的常数.当t=0时，初 速为v 0，则速度v 与时间t 的函数关系是 （A ）v=kt+v 0. （B ）v=-kt+v 0. （C ）011v kt v . （D ）0 1 1v kt v . 了 [ C ] 解：由2 kv dt dv 得 kdt v dv 2， t v v dt k v dv 020，kt v v v 0 1， kt v v 011，011v kt v 5. 某人骑自行车以速率v 向正东方行驶，遇到由北向南刮的风（设风速大小也为v ），则他感到风是从 [ A ] （A ）东北方向吹来。 （B ）东南方向吹来。 （C ）西北方向吹来。 （D ）西南方向吹来。 解：人地风地地人风地风人＝v v v v v ， 人地风人风地v v v 质点运动学学习材料 一、选择题 1．质点沿轨道AB 作曲线运动，速率逐渐减小，图中哪一种情况正确地表示了质点在C 处的加速度? ( ) (A ) (B ) (C ) (D ) 【提示：由于质点作曲线运动，所以，加速度的方向指向曲线的内侧，又速率逐渐减小，所以加速度的切向分量与运动方向相反】 2． 一质点沿x 轴运动的规律是542 +-=t t x （SI 制）。则前三秒内它的 ( ) (A )位移和路程都是3m ； (B )位移和路程都是-3m ； (C )位移是-3m ，路程是3m ； (D )位移是-3m ，路程是5m 。 【提示：将t =3代入公式，得到的是t=3时的位置，位移为t =3时的位置减去t =0时的位置；显然运动规律是一个抛物线方程，可利用求导找出极值点： 24d x t dt =-，当t =2时，速度0d x dt υ==，所以前两秒退了4米，后一秒进了1米，路程为5米】 3．一质点的运动方程是cos sin r R t i R t j ωω=+v v v ，R 、ω为正常数。从t ＝ωπ/到t =ω π/2时间内 (1)该质点的位移是 ( ) (A ) -2R i ?； (B ) 2R i ? ； (C ) -2j ?； (D ) 0。 (2)该质点经过的路程是 ( ) (A ) 2R ； (B ) R π； (C ) 0； (D ) R πω。 【提示：轨道方程是一个圆周方程（由运动方程平方相加可得圆方程），t ＝π/ω到t ＝2π/ω时间内质点沿圆周跑了半圈，位移为直径，路程半周长】 4． 一细直杆AB ，竖直靠在墙壁上，B 端沿水平方向以速度υv 滑离墙壁，则当细杆运动到图示位置时，细杆中点C 的速度 ( ) (A )大小为 2υ ，方向与B 端运动方向相同； (B )大小为2υ ，方向与A 端运动方向相同； (C )大小为2υ ， 方向沿杆身方向； (D )大小为2cos υ θ ，方向与水平方向成 θ 角。 运动量 1-1质点在xOy 平面内的运动方程为 x =3t ，y =2t 2+3。求：（1）t =2s 时质点的位矢、速度和加速度；（2）从 t =1s 到t =2s 这段时间内，质点位移的大小和方向；（3）1~0s 和2~1s 两时间段，质点的平均速度；（4）写出轨道方程。 解：(1) j t i t r )32(32 ，j t i t r v 43d d ，j t r a 4d d 22 s 2 t 时，j i r 116 ，j i v 83 ，j a 4 (2) j i j i j i r r r 63)53()116(12 ，456322 r ， 与x 轴正向的夹角 4.633 6arctan (3) j i j j i t r r v 2313)53(1011 ，j i j i t r r v 631632122 (4) 3x t ，39233222 x x y 1-2一质点在xOy 平面内运动，初始时刻位于x =1m ，y =2m 处，它的速度为v ｘ=10t ， v ｙ= t ２ 。试求2秒时 质点的位置矢量和加速度矢量。 解：t t x v x 10d d ， t x t t x 01d 10d ，152 t x 。2d d t t y v y ， t y t t y 022d d ，2313 t y j t i t r )231()15(32 ， j t i t v 210 ， j t i t v a 210d d s 2 t 时， j i r 3 1421 ， j i a 410 1-3一质点具有恒定加速度j i a 46 ，在t =0时，其速度为零，位置矢量i r 100 ，求（1）任意时刻 质点的速度和位置矢量；（2）质点的轨道方程。 解：质点作匀加速运动 (1) j t i t t a v v 460 ， j t i t t j i i t a t v r r 2222002)310()46(2 11021 (2) 22t y ，2 2y t ，2310y x ，)10(32 x y 1-4路灯距地面高度为H ，行人身高为h ，若人以匀速V 背向路灯行走，人头顶影子的移动速度v 为多少？ 解：设x 轴方向水平向左，影子到灯杆距离为x ，人到灯杆距离为x x x x H h ，x h H H x ，V h H H t x h H H t x v d d d d 直线运动 1-5一质点沿x 轴运动，其加速度a 与位置坐标x 的关系为a =3+6x 2，若质点在原点处的速度为零，试求其 在任意位置处的速度。 解：2 63d d d d d d d d x x v v t x x v t v a ， x v x x v v 020d )63(d ，32232 1x x v ，346x x v 图1-4 第1章 质点运动学习题解答 1-1 如图所示，质点自A 点沿曲线运动到B 点，A 点和B 点的矢径分别为A r 和B r 。试在图中标出位移r ?和路程s ?，同时对||r ?和r ?的意义及它们与矢径的关系进行说明。 解：r ?和s ?如图所示。 ||r ?是矢径增量的模||A B r r -，即位移的大小；r ?是矢径 模的增量A B A B r r r r -=-|||| ，即矢径长度的变化量。 1-2 一质点沿y 轴作直线运动，其运动方程为 32245t t y -+=（SI ）。求在计时开始的头3s 内质点的位移、平均速度、平均加速度和所通过 的路程。 解：32245t t y -+=，2624t v -=，t a 12-= )(18)0()3(m y y y =-=? )/(63 s m y v =?= )/(183 )0()3(2s m v v a -=-= s t 2=时，0=v ，质点作反向运动 )(46|)2()3(|)0()2(m y y y y s =-+-=? 1-3 一质点沿x 轴作直线运动，图示为其t v -曲线图。设0=t 时，m 5=x 。试根据t v -图画出：(1)质点的t a -曲线图；(2)质点的t x -曲线图。 解：?? ? ??≤≤-≤≤+≤≤+-=)106( 5.775)62( 5.215)20( 2020t t t t t t v （1）dt dv a = ，可求得： ?? ? ??≤≤-≤≤+≤≤+-=)106( 5.775)62( 5.215)20( 2020t t t t t t v 质点的t a -曲线图如右图所示 （2）dt dx v = ，??=t x vdt dx 00 ， 大学物理（2-1）课后作业1 质点运动学 一、选择题 1、如图所示，质点作匀速圆周运动，其半径为R ，从A 点出发，经半个圆 周而达到B 点．则在下列表达式中，错误的是 （A ）位移大小2r R ?=v ，路程R s π=． （B ）位移2r Ri ?=-v v ，路程R s π=． （C ）速度增量0v ?=v ，速率增量0v ?=． （D ）速度增量2v vj ?=-v v ，速率增量0v ?=． 2、一只昆虫沿螺旋线自外向内运动，如图所示，已知它走过的弧长与时间t 的 一次方成正比，则该昆虫加速度的大小将［ ］ （A ）越来越大 （B ）越来越小 （C ）不变 （D ）不能判断 3、如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑 轮拉湖中的船向岸边运动．设该人以匀速率0v 收绳，绳不能伸长、湖水 静止，则小船的运动是 （A ）匀加速运动． （B ）匀减速运动．（C ）变加速运动． （D ）变减速运动． （E ）匀速直线运动． 4、一质点沿x 轴作直线运动，加速度t a 2=，s 2=t 时质点静止于坐标原点左边2m 处，则质点的运动方程为 （A ）22232t t x -+=． （B ）3143 t x -=． （C ）383t x -=． （D ）310433t x t =-+． 5、在相对地面静止的坐标系内，A 、B 二船都以2 m/s 速率匀速行驶，A 船沿x 轴正向，B 船沿y 轴正向．今在A 船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系（x 、y 方向单位矢用i ?、j ?表示），那么在 A 船上的坐标系中， B 船的速度（以m/s 为单位）为 （A ） 2i ?＋2j ?． （B ）－2i ?＋2j ?． （C ）－2i ?－2j ?． （D ） 2i ?－2j ? ．1质点运动学
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