第2章《二次函数》好题集（04）：2.4 二次函数y=ax2+bx+c的
图象和性质
选择题
61．（2009春?沭阳县月考）在函数y=x，y=，y=x2﹣1，y=（x﹣1）2中，其图象是轴对
称图形且对称轴是坐标轴的共有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
填空题
62．（2008?山西）二次函数y=x2+2x﹣3的图象的对称轴是直线．
63．（2000?广西）抛物线y=（x+3）2+1的对称轴是直线．
2
则它的开口方向，对称轴为．
65．（2013秋?永定县校级月考）当m=时，抛物线y=mx2+2（m+2）x+m+3的对称轴是y轴；当m=时，图象与y轴交点的纵坐标是1；当m=时，函数的最小值是﹣2．
66．（2008秋?射阳县校级月考）抛物线y=﹣x2﹣2x的顶点坐标为．67．（1999?福州）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象大致如图，那么直线y=bx+c不经过第
象限．
68．（2011秋?惠山区校级期末）如图，抛物线y=ax2+c的顶点为B，O为坐标原点，四边形ABCO为正方形，则ac=．
69．如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c的图象，试确定下列各式的符号：
a0，b0，c0；a+b+c0，a﹣b+c
0．
70．（2009?廊坊模拟）抛物线y=2x2+ax+b的顶点坐标为C（2，﹣6），则ab=．71．（2010?鸡西二模）某二次函数y=ax2+（a+c）x+c必过定点．72．（2011?连云港校级模拟）已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代
数式m2﹣m﹣2009的值为．
73．（2009?嘉定区一模）函数y=﹣x2+2x+3的图象与y轴的公共点坐标是．74．（2012?松山区校级模拟）经过点A（﹣4，5）的抛物线y=﹣x2+bx+5与y轴交于点B．点M在抛物线的对称轴上，点N在抛物线上，且以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形．则点N的坐标为．
75．（2009?鄂州）把抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y=x2﹣3x+5，则a+b+c=．
76．（2015秋?济南校级月考）抛物线y=﹣（x﹣L）（x﹣3﹣k）+L与抛物线y=（x﹣3）2+4关于原点对称，则L+k=．
77．（2009秋?天长市期末）将函数y=x2+x的图象向右平移a（a＞0）个单位，得到函数y=x2﹣3x+2的图象，则a的值为．
78．（2009秋?杭州校级月考）与抛物线y=﹣2x2关于x轴对称的抛物线解析式为．79．（2010?江津区）已知：在面积为7的梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=4，P为边AD上不与A、D重合的一动点，Q是边BC上的任意一点，连接AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F，则△PEF面积最大值是．
80．（2007?庆阳）试求f（x）=2x2﹣8x+7的极值为．
81．二次函数y=x2﹣2x+m的最小值为5时，m=．
82．（2000?内蒙古）若抛物线y=﹣x2+4x+k的最大值为3，则k=．
83．已知函数①y=x2+1，②y=﹣2x2+x．函数（填序号）有最小值，当x=
时，该函数的最小值是．
84．二次函数y=﹣x2+2x+3，当x=时，y有最值为．85．（2012?中山市校级一模）函数s=2t﹣t2，当t=时有最大值，最大值
是．
86．函数y=x﹣2﹣3x2有最值为．
87．（2009?乐清市校级自主招生）函数y=﹣+的最大值为．
88．已知反比例函数y=的图象经过点P（2，2），函数y=ax+b的图象与直线y=﹣x平行，并且经过反比例函数图象上一点Q（1，m）．则函数y=ax2+bx+有最值，
这个值是．
89．（2012?和平区模拟）在二次函数y=ax2+bx+c中，若b2=ac，且当x=0时，y=﹣4，则y 有最值，且该值为．
90．（2014?武汉模拟）现有A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6）．用小明掷A立方体朝上的数字为x，小明掷B立方体朝上的数字为y来确定点P（x，y），则小明各掷一次所确定的点P落在已知抛物线y=x2﹣4x+5上的概率是．
第2章《二次函数》好题集（04）：2.4 二次函数y=ax2+bx+c
的图象和性质
参考答案与试题解析
选择题
61．（2009春?沭阳县月考）在函数y=x，y=，y=x2﹣1，y=（x﹣1）2中，其图象是轴对
称图形且对称轴是坐标轴的共有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】利用轴对称图形的概念，掌握各种函数的图象特点即可解答．
【解答】解：①y=x是轴对称图形，对称轴是这条直线的任意一条垂线；
②y=是轴对称图形，坐标轴是y=±x；
③y=x2﹣1是轴对称图形，对称轴是y轴；
④y=（x﹣1）2是轴对称图形，对称轴是直线x=1．
故选D．
【点评】解决本题的关键是准确掌握各种函数的图象特点．注意本题对称轴是坐标轴．
填空题
62．（2008?山西）二次函数y=x2+2x﹣3的图象的对称轴是直线x=﹣1．
【分析】直接利用对称轴公式可求得对称轴．
【解答】解：对称轴是直线x==﹣1，即x=﹣1．
【点评】根据二次函数的对称轴方程为x=﹣，得x=﹣=﹣1．
主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．
63．（2000?广西）抛物线y=（x+3）2+1的对称轴是直线x=﹣3．
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，根据顶点式的特点，直接写出对称轴．
【解答】解：∵y=（x+3）2+1是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，对称轴是直线x=﹣3．
【点评】将解析式化为顶点式y=a（x﹣h）2+k，得顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．
2
则它的开口方向向下，对称轴为x=2.5．
【分析】首先找出纵坐标相等的两个点，可根据这两个点的横坐标判断出抛物线的对称轴；然后根据抛物线左右两边函数的增减性判断出抛物线的开口方向．
【解答】解：由抛物线过（2，6）、（3，6）两点知：
抛物线的对称轴为x=2.5；
在对称轴左侧，y随x的增大而增大，故抛物线的开口方向向下．
【点评】主要考查了函数的单调性及对称性．
65．（2013秋?永定县校级月考）当m=﹣2时，抛物线y=mx2+2（m+2）x+m+3的对称轴是y轴；当m=﹣2时，图象与y轴交点的纵坐标是1；当m=4时，函数的最小值是﹣2．
【分析】①由于对称轴是y轴即对称轴是x=0，把系数代入公式x=得即可求出m；
②求函数与y轴的交点时，令x=0，得到y=m+3=1，由此可以求出m；
③当m＞0时函数有最小值，且最小值是：=﹣2由此可以求出m．【解答】解：①∵抛物线y=mx2+2（m+2）x+m+3的对称轴是y轴
∴x=﹣=0
解得：m=﹣2
当m=﹣2时，抛物线y=mx2+2（m+2）x+m+3的对称轴是y轴
②令x=0，得到y=m+3=1
∴m=﹣2
∴当m=﹣2时，图象与y轴交点的纵坐标是1
③∵函数的最小值
而最小值是：=﹣2
解得m=4
当m=4时，函数的最小值是﹣2．
【点评】本题考查的是二次函数的增减性及顶点坐标、对称轴的解答方法．
66．（2008秋?射阳县校级月考）抛物线y=﹣x2﹣2x的顶点坐标为（﹣1，1）．
【分析】已知抛物线解析式为一般式，可以利用顶点坐标公式求顶点坐标，也可以用配方法求解．
【解答】解：解法1：利用公式法
y=ax2+bx+c的顶点坐标公式为（，），代入数值求得顶点坐标为（﹣1，1）．
解法2：利用配方法
y=﹣x2﹣2x=﹣（x2+2x+1）+1=﹣（x+1）2+1，故顶点的坐标是（﹣1，1）．
【点评】求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．
67．（1999?福州）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象大致如图，那么直线y=bx+c不经过第三象限．
【分析】根据抛物线的开口向上可得：a＞0，根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：a，b 异号，所以b＜0．根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0．所以直线y=bx+c不经过第三象限．
【解答】解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴右边，
∴a，b异号，即b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在正半轴，
∴c＞0，
∴直线y=bx+c不经过第三象限．
【点评】考查根据二次函数的图象确定二次函数的字母系数的取值范围．同时考查了一次函数图象与系数的关系．
68．（2011秋?惠山区校级期末）如图，抛物线y=ax2+c的顶点为B，O为坐标原点，四边形ABCO为正方形，则ac=﹣2．
【分析】抛物线y=ax2+c的顶点B点坐标为（0，c），由四边形ABCO是正方形，则C点坐
标为标为（﹣，），代入抛物线即可解答．
【解答】解：∵抛物线y=ax2+c的顶点B点坐标为（0，c），四边形ABCO是正方形，
∴∠COB=90°，CO=BC，
∴△COB是等腰直角三角形，
∴C点横纵坐标绝对值相等，且等于BO长度一半，
∴C点坐标为（﹣，），
将点C代入抛物线方程中得ac=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题将几何图形与抛物线结合了起来，同学们要找出线段之间的关系，进而求得问题的答案．
69．如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c的图象，试确定下列各式的符号：
a＜0，b＞0，c＞0；a+b+c＞0，a﹣b+c＜0．
【分析】（1）由图象开口向下可以确定a的符号；
（2）由与y轴的交点在y轴的正半轴上可以确定c的符号；
（3）由对称轴为x=＞0，又a＜0可以确定以b的符号；
（4）把x=1代入解析式，得a+b+c＞0，从而确定其符号；
（5）把x=﹣1代入解析式，得a﹣b+c＜0，从而确定其符号．
【解答】解：（1）图象开口向下，a＜0；
（2）与y轴的交点在y轴的正半轴上，c＞0，
（3）对称轴为x=＞0，
又a＜0；所以b＞0；
（4）把x=1代入解析式，得a+b+c＞0；
（5）把x=﹣1代入解析式，得a﹣b+c＜0．
故填空答案：a＜0，b＞0，c＞0；a+b+c＞0，a﹣b+c＜0．
【点评】考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．
70．（2009?廊坊模拟）抛物线y=2x2+ax+b的顶点坐标为C（2，﹣6），则ab=﹣16．【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c的顶点式可以求出ab的值．
【解答】解：二次函数y=ax2+bx+c的顶点为（﹣，），
∵抛物线y=2x2+ax+b的顶点坐标为C（2，﹣6），
∴﹣=2，=﹣6；
∴a=﹣8，b=2，
∴ab=﹣8×2=﹣16．
【点评】此题考查了二次函数的顶点坐标，解题的关键是找准各系数．
71．（2010?鸡西二模）某二次函数y=ax2+（a+c）x+c必过定点（﹣1，0）．
【分析】把函数式因式分解，观察x、y的取值中，与a、c无关的值，可求x、y的对应值，确定定点坐标．
【解答】解：y=ax2+（a+c）x+c=（ax+c）（x+1），
由此可得当x=﹣1时，y=0，且与a、c取值无关．
故二次函数所过定点为（﹣1，0）．
【点评】本题考查二次函数图象过定点问题，解决此类问题：首先根据题意，化简函数式，提出未知的常数，化简后再根据具体情况判断．
72．（2011?连云港校级模拟）已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m﹣2009的值为﹣2008．
【分析】把点（m，0）代入抛物线可得，m2﹣m﹣1=0，即m2﹣m=1，直接代入求值即可．【解答】解：m2﹣m﹣2009=1﹣2009=﹣2008．
【点评】主要考查了二次函数图象与x轴的交点坐标特点：x轴上的点的纵坐标为0．求此类问题可令函数的y=0，列出关于m的等式，利用整体代入思想代入所求代数式即可．
73．（2009?嘉定区一模）函数y=﹣x2+2x+3的图象与y轴的公共点坐标是（0，3）．【分析】令x=0，可直接求出抛物线与y轴的交点坐标．
【解答】解：∵抛物线与y轴交点的横坐标为0，即x=0，
∴此时x=0，y=3，
∴函数y=﹣x2+2x+3的图象与y轴的公共点坐标是（0，3）．
【点评】主要考查了二次函数图象与y轴的交点坐标特点．
74．（2012?松山区校级模拟）经过点A（﹣4，5）的抛物线y=﹣x2+bx+5与y轴交于点B．点M在抛物线的对称轴上，点N在抛物线上，且以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形．则点N的坐标为（2，﹣7），（﹣6，﹣7），（﹣2，9）．
【分析】将点A（﹣4，5）代入抛物线y=﹣x2+bx+5，先求出抛物线的解析式，从而求出y 轴交点B的坐标，抛物线的对称轴，再根据平行线的性质求出点N的坐标．
【解答】解：∵点A（﹣4，5）在抛物线y=﹣x2+bx+5上，
∴5=﹣（﹣4）2﹣4b+5，解得b=﹣4．
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣4x+5=﹣（x+2）2+9，
∴抛物线的对称轴为x=﹣2，
∵抛物线y=﹣x2+bx+5与y轴交于点B，
∴点B的坐标为（0，5）．
∵以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形．
而点A与点B的距离是4，
∴点N的横坐标可为2或﹣6，或点N的纵坐标可为9，
∴点N的坐标为（2，﹣7）或（﹣6，﹣7）或（﹣2，9）．
【点评】本题难度较大，考查了待定系数法求抛物线的解析式，函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，坐标系的对称及平行四边形的性质．
75．（2009?鄂州）把抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y=x2﹣3x+5，则a+b+c=11．
【分析】因为抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到图象的解析式是y=x2﹣3x+5，所以y=x2﹣3x+5向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，可得抛物线y=ax2+bx+c的图象，先由y=x2﹣3x+5的平移求出y=ax2+bx+c的解析式，再求a+b+c=11．
【解答】解：∵y=x2﹣3x+5=（x﹣）2+，当y=x2﹣3x+5向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，可得抛物线y=ax2+bx+c的图象，
∴y=（x﹣+3）2++2=x2+3x+7；
∴a+b+c=11．
【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
76．（2015秋?济南校级月考）抛物线y=﹣（x﹣L）（x﹣3﹣k）+L与抛物线y=（x﹣3）2+4关于原点对称，则L+k=﹣9．
【分析】利用函数的性质．
【解答】解：整理抛物线y=﹣（x﹣L）（x﹣3﹣k）+L，得：y=﹣x2+（3+k+L）x﹣2L﹣Lk；整理抛物线y=（x﹣3）2+4得y=x2﹣6x+13．
∵两抛物线关于原点对称，
∴y=（x﹣3）2+4关于原点对称的函数的解析式是Ly=﹣（x+3）2﹣4，即y=﹣x2﹣6x﹣13．∴3+k+L=﹣6
那么k+L=﹣9．
故答案是：﹣9．
【点评】解决本题的关键是理解两个函数中x，y都互为相反数，代入后让相应的系数相等．
77．（2009秋?天长市期末）将函数y=x2+x的图象向右平移a（a＞0）个单位，得到函数y=x2﹣3x+2的图象，则a的值为2．
【分析】求得原抛物线的顶点的横坐标及新抛物线的顶点的横坐标，a=新抛物线顶点的横坐标﹣原抛物线顶点的横坐标．
【解答】解：y=x2+x=（x+）2﹣，∴顶点的横坐标为：﹣；
y=x2﹣3x+2=（x﹣）2﹣，∴顶点的横坐标为：；
∴a=﹣（﹣）=2．
【点评】抛物线的平移，看顶点的平移即可；左右平移，只改变顶点的横坐标，左减右加．
78．（2009秋?杭州校级月考）与抛物线y=﹣2x2关于x轴对称的抛物线解析式为y=2x2．【分析】因为所求的抛物线与y=﹣2x2关于x轴对称，所以该抛物线的开口方向应向上，顶点在坐标原点．即可求得解析式为y=2x2．
【解答】解：∵抛物线y=﹣2x2的开口向下，且顶点在坐标原点，
∴与其关于x轴对称的抛物线的开口应向上，
且顶点仍在坐标原点，形状，大小都一样，
∴解析式为y=2x2．
【点评】解答本题关键是抓住所求抛物线与原抛物线关于x轴对称特点，即可求解．
79．（2010?江津区）已知：在面积为7的梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=4，P为边AD上不与A、D重合的一动点，Q是边BC上的任意一点，连接AQ、DQ，过P作PE∥
DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F，则△PEF面积最大值是．
【分析】设PD=x，S△PEF=y．根据平行线的性质、全等三角形的判定及相似三角形的判定，证明△PEF≌△QFE、△AEP∽△AQD、△PDF∽△ADQ，相似三角形的面积比是相似比的平方，再由三角形AQD与梯形ABCD的面积公式求得梯形的高，代入S△PEF=（S△AQD﹣S△DPF﹣S△APE）÷2，得出关于x的二次函数方程，根据顶点坐标公式，求得则△PEF面积最大值．
【解答】解：设PD=x，S△PEF=y，S△AQD=z，梯形ABCD的高为h，
∵AD=3，BC=4，梯形ABCD面积为7，
∴
解得
∵PE∥DQ，
∴∠PEF=∠QFE，∠EPF=∠PFD，
又∵PF∥AQ，
∴∠PFD=∠EQF，
∴∠EPF=∠EQF，
∵EF=FE，
∴△PEF≌△QFE（AAS），
∵PE∥DQ，
∴△AEP∽△AQD，
同理，△DPF∽△DAQ，
∴=，=（）2，
∵S△AQD=3，∴S△DPF=x2，
S△APE=（3﹣x）2，
∴S△PEF=（S△AQD﹣S△DPF﹣S△APE）÷2，
∴y=[3﹣x2﹣（3﹣x）2]×=﹣x2+x，
∵y最大值==，即y最大值=．
∴△PEF面积最大值是．
【点评】本题综合考查了二次函数的最值、三角形的面积、梯形的面积以及相似三角形的判定与性质．
80．（2007?庆阳）试求f（x）=2x2﹣8x+7的极值为﹣1．
【分析】本题考查二次函数最大（小）值的求法．
【解答】解：∵f（x）=2x2﹣8x+7可化为f（x）=2（x﹣2）2﹣1，
∴x=2时，最小值为﹣1，
则f（x）的最小值为﹣1．
故答案为：﹣1
【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
81．二次函数y=x2﹣2x+m的最小值为5时，m=6．
【分析】直接用公式法求此二次函数的最值即可解答．
【解答】解：由二次函数y=x2﹣2x+m的最小值为5可知，==5，解得m=6．【点评】此题比较简单，直接套用求函数最值的公式即可，即y最值=．
82．（2000?内蒙古）若抛物线y=﹣x2+4x+k的最大值为3，则k=﹣1．
【分析】本题考查二次函数最大（小）值的求法，利用公式法直接解答．
【解答】解：∵抛物线y=﹣x2+4x+k的最大值为3，
∴=3，
∴k=﹣1．
【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
83．已知函数①y=x2+1，②y=﹣2x2+x．函数①（填序号）有最小值，当x=0时，该函数的最小值是1．
【分析】本题考查二次函数最小（大）值的求法．
【解答】解：①y=x2+1中a=1＞0，有最小值，其顶点坐标为（0，1），当x=0时，该函数的最小值是1．
②y=﹣2x2+x中a=﹣2＜0，有最大值．
【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
84．二次函数y=﹣x2+2x+3，当x=1时，y有最大值为4．
【分析】根据公式法先求出函数的顶点坐标，再根据其二次项系数判断出最值的大小即可．【解答】解：∵二次函数y=﹣x2+2x+3的顶点坐标为x=﹣=﹣=1，
y===4，
又∵a=﹣1＜0，
∴当x=1时，y有最大值为4．
【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
85．（2012?中山市校级一模）函数s=2t﹣t2，当t=1时有最大值，最大值是1．
【分析】先根据其二次项系数判断出其最值情况，再用配方法将其化为顶点式的形式即可求解．
【解答】解：原式可化为s=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，
故当t=1时有最大值，最大值是1．
【点评】本题考查的是二次项系数与函数最值的关系及用配方法求二次函数的最值问题．
86．函数y=x﹣2﹣3x2有最大值为﹣．
【分析】先根据二次项系数判断出函数最值的情况，再直接用公式法法即可求解．
【解答】解：∵函数y=x﹣2﹣3x2中，a=﹣3＜0，
∴有最大值为==﹣，
函数y=x﹣2﹣3x2有最大值为﹣．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系及二次函数最值的求法，即公式法与配方法．
87．（2009?乐清市校级自主招生）函数y=﹣+的最大值为．
【分析】将看作自变量，令=v，原函数转化为关于的二次函数，再求二次函数的最大值即可．
【解答】解：设=v，则原式可化为
y=﹣v2+3v
=﹣（v2﹣3v）
=﹣（v﹣）2+．
可得其最大值为．
【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法：第一种可由图象直接得出；第二种是配方法；第三种是公式法，此题渗透换元法．
88．已知反比例函数y=的图象经过点P（2，2），函数y=ax+b的图象与直线y=﹣x平行，
并且经过反比例函数图象上一点Q（1，m）．则函数y=ax2+bx+有最大值，这个
值是1．
【分析】根据待定系数法求出k的值，再根据函数y=ax+b的图象与直线y=﹣x平行，求出a的值，根据Q（1，m）在反比例函数图象上，求出m的值．
【解答】解：根据反比例函数y=的图象经过点P（2，2），
得k=2×2=4；
根据函数y=ax+b的图象与直线y=﹣x平行，得到a=﹣1；
根据经过反比例函数图象上一点Q（1，m），
首先得到m=4，再进一步得到b=5，则二次函数的解析式是y=﹣x2+5x﹣．
根据顶点公式求得它的顶点坐标是（，1），
因为a＜0，
所以它有最大值是1．
【点评】此题要能够根据点在图象上求得待定系数的值；若两条直线平行，则k值相等．能够根据二次函数的a的符号判断它的最值情况，运用公式法求得二次函数的顶点坐标，从而确定其最值．
89．（2012?和平区模拟）在二次函数y=ax2+bx+c中，若b2=ac，且当x=0时，y=﹣4，则y 有最大值，且该值为﹣3．
【分析】先根据题意判断出a的正负，再直接套用公式求其最值即可．
【解答】解：∵在二次函数y=ax2+bx+c中
当x=0时，y=﹣4，则c=﹣4
∵b2=ac＞0，c=﹣4＜0，
∴a＜0，y有最大值
且该值为== c （1）
把c=﹣4代入（1）得：==c=×（﹣4）=﹣3．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与其系数的关系及二次函数的最值问题，比较简单．
90．（2014?武汉模拟）现有A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6）．用小明掷A立方体朝上的数字为x，小明掷B立方体朝上的数字为y来确定点P（x，y），则小明各掷一次所确定的点P落在已知抛物线y=x2﹣4x+5上的概率是
．
【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：两个立方体上都有6个数字，那么共有6×6=36种情况，
可在抛物线上的有（1，2），（2，1），（3，2），（4，5）共4种情况，
那么点P落在已知抛物线y=x2﹣4x+5上的概率是．
【点评】此题考查抛物线上点的坐标特征和概率的计算公式．
参与本试卷答题和审题的老师有：HJJ；lanchong；王岑；蓝月梦；Linaliu；zhangCF；疯跑的蜗牛；MMCH；Liuzhx；zhjh；zcx；weibo；CJX；py168；HLing；hbxglhl；nhx600；ZJX；心若在（排名不分先后）
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2016年9月5日
二次函数检测卷 时间：120分钟满分：150分 班级：__________姓名：__________得分：__________ 一、选择题(本题共12小题，每小题3分，共36分) 1．下列各式中，y是x的二次函数的是（） A．y＝1 x2B．y＝2x＋1 C．y＝x 2＋x－2 D．y2＝x2＋3x 2．抛物线y＝2x2＋1的顶点坐标是（） A．(2，1) B．(0，1) C．(1，0) D．(1，2) 3．二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则a＋b＋1的值是（）A．－3 B．－1 C．2 D．3 4．抛物线y＝x2－2x－3与x轴的交点个数是（） A．0个B．1个C．2个D．3个 5．下列函数中，当x>0时，y随x值的增大而先增大后减小的是（） A．y＝x2＋1 B．y＝x2－1 C．y＝(x＋1)2D．y＝－(x－1)2 6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表： x …－2－10123… y …50－3－4－30… 二次函数图象的对称轴是（） A．直线x＝1 B．y轴C．直线x＝1 2D．直线x＝－ 1 2 7．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于(－2，0)和(4，0)两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（） A．x＜－2 B．－2＜x＜4 C．x＞0 D．x＞4 8．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax＋b的图象大致是（）
9．某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可卖出20件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价2元，每天可多卖出1件．在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x 元，每天售出服装的利润为y 元，则y 与x 的函数关系式为（ ） A ．y ＝－12x 2＋10x ＋1200(0＜x ＜60) B ．y ＝－1 2x 2－10x ＋1200(0＜x ＜60) C ．y ＝－12x 2＋10x ＋1250(0＜x ＜60) D ．y ＝－1 2 x 2－10x ＋1250(x ≤60) 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝12x 2经过平移得到抛物线y ＝1 2x 2－2x ，其 对称轴与两段抛物线弧所围成的阴影部分的面积为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 第10题图 第12题图 11．抛物线y ＝－x 2＋6x －9的顶点为A ，与y 轴的交点为B ，如果在抛物线上取点C ，在x 轴上取点D ，使得四边形ABCD 为平行四边形，那么点D 的坐标是（ ） A ．(－6，0) B ．(6，0) C ．(－9，0) D ．(9，0) 12．如图是抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A (1，3)，与x 轴的一个交点为B (4，0)，直线y 2＝mx ＋n (m ≠0)与抛物线交于A ，B 两点，下列结论：①2a ＋b ＝0；②abc ＞0；③方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是(－1，0)；⑤当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1，其中正确的是（ ） A ．①②③ B ．①③④ C ．①③⑤ D ．②④⑤ 二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分) 13．当a ＝ 时，函数y ＝(a －1)xa 2＋1＋x －3是二次函数． 14．把二次函数y ＝x 2－12x 化为形如y ＝a (x －h )2＋k 的形式为 . 15．已知A (4，y 1)，B (－4，y 2)是抛物线y ＝(x ＋3)2－2的图象上两点，则y 1 y 2. 16．若抛物线y ＝x 2－2x ＋3不动，将平面直角坐标系xOy 先沿水平方向向右平移1个
二次函数综合题训练题型集合 1、如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线m x y+ =与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴y上. （1）求m的值及这个二次函数的关系式； （2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间 的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说 明理由. 2、如图2，已知二次函数24 y ax x c =-+的图像经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离 E B A C P 图1 O x y D x y O 3 －9 －1 －1 A B 图2
P B A C O x y Q 图3 3、如图3，已知抛物线c x b x a y ++=2经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)三点，连结AB ，过点B 作BC ∥x 轴交该抛物线于点C. （1） 求这条抛物线的函数关系式. （2） 两个动点P 、Q 分别从O 、A 两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P 沿着线段0A 向A 点运动，点Q 沿着折线A →B →C 的路线向C 点运动. 设这两个动点运动的时间为t （秒) (0＜t ＜4)，△PQA 的面积记为S. ① 求S 与t 的函数关系式； ② 当t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA 的形状； ③ 是否存在这样的t 值，使得△PQA 是直角三角形?若存在，请直接写出此时P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由. 7、（07海南中考）如图7，直线43 4 +- =x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B . （1）求该二次函数的关系式； （2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积； （3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒 2 3 个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C → A 的路线运动， 当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时，ODE ?的面积为S . ①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由； ②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； ③设0S 是②中函数S 的最大值，那么0S = . C A M y B O x C A M y B O x C A M y B O x
第二章二次函数单元测试 一、选择题 (本大题共7 小题，共 28 分 ) 1．已知抛物线y＝ ax2＋ bx＋ c 的开口向下，顶点坐标为 (2，－ 3)，那么该抛物线有 () A．最小值－ 3 B．最大值－ 3 C．最小值 2 D ．最大值 2 2．已知二次函数y＝ ax2＋ bx＋ c 的 x 与 y 的部分对应值如下表： x －1 0 1 2 3 y 5 1 － 1 － 1 1 则该二次函数图象的对称轴为( ) 5 3 A ． y 轴B．直线 x＝2 C．直线 x＝2 D．直线 x＝2 3．若二次函数 y＝ (m－ 1)x2－ mx－ m2＋1 的图象过原点，则 m 的值为 () A．±1 B． 0 C． 1 D．－1 图 8－Z－1 c 4．一次函数 y＝ ax＋ b 和反比例函数y＝x在同一平面直角坐标系中的图象如图8－ Z－ 1 所示，则二次函数y＝ax2＋ bx＋ c 的图象大致为 () 图 8－Z－2 为 5．国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为 18 元，降价后的价格为y 元，则 y 与 x 之间的函数关系式为() x，该药品原价A ． y＝ 36(1－ x) B． y＝ 36(1＋ x) C．y＝ 18(1 － x)2 D． y＝ 18(1＋ x2)
图 8－Z －3 6．如图 8－ Z － 3 是二次函数 y ＝ax 2＋ bx ＋ c 图象的一部分 ，图象过点 (－ 3，0)，对称轴 ① b 2 ＞ 4ac ；② 2a ＋ b ＝0；③ a ＋ b ＋ c>0；④若点 B － 5 为直线 x ＝－ 1，给出四个结论： 2， y 1 ， C － 1 ，y 2 为函数图象上的两点 ，则 y 1＜ y 2.其中正确的是 ( ) 2 A ．②④ B ．①④ C ．①③ D ．②③ 图 8－Z －4 7．如图 8－ Z －4， Rt △ OAB 的顶点 A(－ 2，4)在抛物线 y ＝ax 2 上，将 Rt △OAB 绕点 O 顺时针旋转 90°， 得到 △OCD ，边 CD 与该抛物线交于点 P ，则点 P 的坐标为 ( ) A ．( 2， 2) B ．(2，2) C ．( 2，2) D ．(2， 2) 二、填空题 (本大题共 5 小题，共 25 分 ) 8． 函数 y ＝ (x － 2)(3－ x)取得最大值时 ， x ＝ ________． 9． 将抛物线 y ＝ 2(x － 1)2＋ 2 向左平移 3 个单位 ，再向下平移 4 个单位长度 ，那么得到 的抛物线的表达式为 ____________ ． 10．如图 8－ Z － 5，某公路隧道横截面为抛物线 ，其最大高度为 8 m ，以隧道底部宽 AB 所在直线为 x 轴，以 AB 垂直平分线为 y 轴建立如图 2－ Z － 7 所示的平面直角坐标系 ，若抛 物线的表达式为 y ＝－ 1 2 2 x ＋ b ，则隧道底部宽 AB 为 ________m.
2019版中考数学专题复习第二章函数第6课时二次函数的 图像和性质练习 一、选择题 1．抛物线y ＝－3x 2 －x ＋4与坐标轴的交点的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2．[xx·宿迁]将抛物线y ＝x 2 向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是( ) A ．y ＝(x ＋2)2 ＋1 B ．y ＝(x ＋2)2 －1 C ．y ＝(x －2)2 ＋1 D ．y ＝(x －2)2 －1 3．二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c(a≠0)的图象如图K14－1所示，则下列结论中正确的是( ) 图K14－1 A ．a>0 B ．当－1
6．[xx·苏州]若二次函数y ＝ax 2 ＋1的图象经过点(－2，0)，则关于x 的方程a(x －2)2 ＋1＝0的实数根为( ) A ．x 1＝0，x 2＝4 B ．x 1＝－2，x 2＝6 C ．x 1＝32，x 2＝5 2 D ．x 1＝－4，x 2＝0 7．[xx·鄂州]如图K14－2，抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 交x 轴于A(－2，0)和点B ，交y 轴负半轴于点C ，且OB ＝OC.下列结论：①2b－c ＝2；②a＝12；③ac＝b －1；④a ＋b c ＞ 0，其中正确的个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 图K14－2 8．如图K14－3，一次函数y 1＝x 与二次函数y 2＝ax 2 ＋bx ＋c 的图象相交于P ，Q 两点，则函数y ＝ax 2 ＋(b －1)x ＋c 的图象可能为( ) 图K14－3 图K14－4 二、填空题 9．如图K14－5，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为直线________．
二次函数题 选择题： 1、y=(m-2)x m2- m 是关于x 的二次函数，则m=（ ） A -1 B 2 C -1或2 D m 不存在 2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)模型的是（ ） A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B 我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系 C 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 D 圆的周长与半径之间的关系 4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x 2，则抛物线的解析式是（ ） A y=—（ x-2）2+2 B y=—（ x+2）2+2 C y=— （ x+2）2+2 D y=—（ x-2）2—2 5、抛物线y= 2 1 x 2 -6x+24的顶点坐标是（ ） A （—6，—6） B （—6，6） C （6，6） D （6，—6） 6、已知函数y=ax 2+bx+c,图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ）个 ①abc 〈０ ②a ＋c 〈b ③ a+b+c 〉０ ④ ２c 〈３b A １ B ２ C ３ D ４ 7、函数y=ax 2-bx+c （a ≠0）的图象过点（-1，0），则 c b a + =c a b + =b a c + 的值是（ ） A -1 B 1 C 21 D -2 1 8、已知一次函数y= ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（ ） A B C D 二填空题： 13、无论m 为任何实数，总在抛物线y=x 2＋2mx ＋m 上的点的坐标是————————————。 16、若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝２，最小值为－２，则关于方程ax 2+bx+c ＝－２的根为————————————。 17、抛物线y=（k+1）x 2+k 2-9开口向下，且经过原点，则k ＝————————— 解答题：（二次函数与三角形） 1、已知：二次函数y=x 2 +bx+c ，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，﹣）． （1）求此二次函数的解析式． （2）设该图象与x 轴交于B 、C 两点（B 点在C 点的左侧），请在此二次函数x 轴下方的图象上确定一点E ，使△EBC 的面积最大，并求出最大面积． 1 —1 0 x y y x -1 x y y x y x y
高一数学 必修一 第二章《一元二次函数、方程和不等式》训练题 (18) 一、选择题（本大题共9小题，共45.0分） 1. 若a >b ，则下列正确的是( ) A. a 2>b 2 B. ac >bc C. ac 2>bc 2 D. a ?c >b ?c 2. 不等式?2x 2+x +3≤0的解集是( ) A. {x|?1≤x ≤3 2} B. {x|x ≤?1或x ≥3 2} C. {x|x ≤?3 2或x ≥1} D. {x|?3 2≤x ≤1} 3. 下列各函数中，最小值为2的是( ) A. y =x +1 x B. y =sinx +1 sin x ，x ∈(0,π 2) C. y =2√x 2+2 D. y =x ?2√x +3 4. 下列四个结论中正确的个数是( ) (1)对于命题p:?x 0∈R 使得x 02?1≤0，则?p:?x ∈R 都有x 2?1>0； (2)已知X ～N(2,σ2)，则P(X >2)=0.5 (3)已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为y ?=2x ?3； (4)“x ≥1”是“x +1 x ≥2”的充分不必要条件． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 已知集合A ={y |y =1 2}，B ={x|x 2<4}，则A ∪B = A. (0,2) B. (?2,2) C. (?1,+∞) D. (?2,+∞) 6. 函数f(x)=?x 2+3x ?2a ，g(x)=2x ?x 2，若f(g(x))≥0对x ∈[0,1]恒成立，则实数a 的取 值范围为 A. (?∞,?2] B. (?∞,?1] C. (?∞,0] D. (?∞,1] 7. 已知函数f(x)=xe x +1 2x 2+x +a ，g(x)=xlnx +1，若存在x 1∈[?2,2]，对任意x 2∈[1 e 2,e]， 都有f (x 1)=g (x 2)，则实数a 的取值范围是( ) A. [?3?1 e ?2e 2,e ?3?2e 2] B. (?3?1 e ?2e 2,e ?3?2e 2) C. [e ?3?2e 2,3 2] D. (e ?3?2e 2,3 2) 8. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a =4，A =π 3，则该三角形面积的最 大值是( ) A. 2√2 B. 3√3 C. 4√3 D. 4√2
二次函数经典中考试题（含答案） —、解答题（共30小题） 1. （2013?武汉）科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节：科学家把一种珍奇的植物 分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表） ： 温度 x/C … -4 - 2 0 2 4 4.5 … 植物每天高度增长量 y/mm … 41 49 49 41 25 19.75 … 由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量 y 是温度x 的函数，且这种函数是反比例函 数、一次函数和二次函数中的一种. （1） 请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理 由； （2） 温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？ （3） 如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过 250mm ，那么 实验室的温度x 应该在哪个范围内选择？请直接写出结果. 2. （2013?莆田）如图所示，某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛 （花坛为轴对称图形）.矩 形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形 ABCD 的边长AB=4米，/ ABC=60 °设AE=x 米 （0v x V 4），矩形EFGH 的面积为S 米2. （1） 求S 与x 的函数关系式； （2） 学校准备在矩形内种植红色花草，四个三角形内种植黄色花草?已知红色花草的价格为 20元咪2,黄色花草的价格为40元咪2?当x 为何值时，购买花草所需的总费用最低，并求 出最低总费用（结果保留根号）？ y 的二元一次方程组 （1） 若a=3.求方程组的解； （2） 若S=a （3x+y ），当a 为何值时，S 有最值. 4. （2013?南宁）如图，抛物线 y=ax 2+c （a 旳）经过C （2，0），D （0，- 1）两点，并与直 线y=kx 交于A 、B 两点，直线I 过点E （0，- 2）且平行于x 轴，过A 、B 两点分别作直线 l 的垂线，垂足分别为点M 、N . （1） 求此抛物线的解析式； （2） 求证：AO=AM ； （3） 探究： ①当k=0时，直线y=kx 与x 轴重合，求出此时 的值； 3. （2013?资阳）在关于 x ，
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？ （3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣1 2 x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值； （3）点P（4，6）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得； （2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6， 设P（t，﹣1 2 t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由 S△PAB=S△PAN+S△PBN=1 2 PN?AG+ 1 2 PN?BM= 1 2 PN?OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数 的性质求解可得； （3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案． 【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0）， ∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2）， 将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6， 解得：a=﹣1 2 ， 所以抛物线解析式为y=﹣1 2 （x﹣6）（x+2）=﹣ 1 2 x2+2x+6； （2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，
第二章单元检测卷 一、选择题（每小题3分；共33分） 1.二次函数，当y<0时，自变量x的取值范围是（） A. -1＜x＜3 B. x＜-1 C. x＞3 D. x＜-1或x＞3 2.如图，双曲线y= 经过抛物线y=ax2+bx（a≠0）的顶点（﹣1，m）（m＞0），则下列结论中，正确的是（） A. a+b=k B. 2a+b=0 C. b＜k＜0 D. k＜a ＜0 3.将抛物线y=（x﹣1）2+4先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标为（） A. （5，4） B. （1，4） C. （1，1） D. （5，1） 4.已知二次函数y=x2﹣x+a（a＞0），当自变量x取m时，其相应的函数值y＜0，那么下列结论中正确的是（） A. m﹣1的函数值小于0 B. m﹣1的函数值大于0 C. m﹣1的函数值等于0 D. m﹣1的函数值与0的大小关系不确定 5.抛物线y=x2+bx+c图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x2﹣2x﹣3，则b、c的值为（） A. b=2，c=2 B. b=2，c=0 C. b=﹣2，c=﹣1 D. b=﹣3，c=2 6.抛物线y=(x+2)2+3的顶点坐标是( ) A. （－2，3） B. （2，3） C. （－2，－3） D. （2，－3）
7.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为（） A. y=（x+2）2+2 B. y=（x-2）2-2 C. y=（x-2）2+2 D. y=（x+2）2-2 8.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图③所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，则下列结论中正确的个数有（）①4a+b=0； ②9a+3b+c＜0； ③若点A（﹣3，y1），点B（﹣，y2），点C（5，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2； ④若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9.生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产，现有一生产季节性产品的企业，一年中获得利润y与月份n之间的函数关系式是y=-n2+15n-36，那么该企业一年中应停产的月份是（） A. 1月，2月 B. 1月，2月，3月 C. 3月，12月 D. 1月，2月，3月，12月 10.将抛物线y=x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（） A. y=（x+1）2﹣13 B. y=（x﹣5）2﹣3 C. y=（x﹣5）2﹣13 D. y=（x+1）2﹣3 11.如图所示，抛物线的对称轴是直线，且图像经过点（3，0），则的值为（）
1.如图，抛物线y=x 2+bx+c 与直线y=x ﹣3交于A 、B 两点，其中点A 在y 轴上，点B 坐标为（﹣4，﹣5），点P 为y 轴左侧的抛物线上一动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，交AB 于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）以O ，A ，P ，D 为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点P 运动到直线AB 下方某一处时，过点P 作PM ⊥AB ，垂足为M ，连接PA 使△PAM 为等腰直角三角形，请直接写出此时点P 的坐标． 2. 在直角坐标系xoy 中，(0,2)A 、(1,0)B -，将ABO ?经过旋转、平移变化后得到如图15.1所示的BCD ?.
（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）连结AC ，点P 是位于线段BC 上方的抛物线上一动点，若直线PC 将ABC ?的面积分成1:3两部分，求此时点P 的坐标；（3）现将ABO ?、BCD ?分别向下、向左以1:2的速度同时平移，求出在此运动过程中ABO ?与BCD ?重叠部分面积的最大值. 3. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－1，且经过A （1，0），C （0，3）两点，与x 图15.1 C D O B A x y
轴的另一个交点为B .⑴若直线y ＝mx ＋n 经过B ，C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；⑵在抛物线的对称轴x ＝－1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求点M 的坐标；⑶设点P 为抛物线的对称轴x ＝－1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标． 4. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线8y 2-+=bx ax 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 经 第25题图
二次函数试题 论：①抛物线y lx21 是由抛物线y-x2怎样移动得到的22 ②抛物线y2(x 2 1）是由抛物线y 1 x2 2 :怎样移动得到的 ③抛物线y[(x1)21是由抛物线y 1 2 x21怎样移动得到的 22 ④抛物线 y ](x1)21是由抛物线 y 1 2 （x 1）2怎样移动得到22 ⑤抛物线y2(x1)21是由抛物线y 1 2 -x2怎样移动得到的 22 选择题：1、y=（m-2）x m2- m是关于x的二次函数，贝U m=（） A -1 B 2 C -1 或2 D m 不存在 2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax2+bx+c（a丰0）模型的是（） 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 我国人中自然增长率为1%这样我国总人口数随年份变化的关系 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 圆的周长与半径之间的关系 4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x2,则抛物线的解析式是（ A y= —( x-2 ) 2+2 B y= —(x+2 )2+2 C y= (x+2 ) 2+2 D y= —( x-2 1 2 5、抛物线y= x -6x+24 2 的顶点坐标是（ A (—6,—6) B(—6, 6) C(6,6) D (6，—6) 6、已知函数y=ax2+bx+c,图象如图所示，则下列结论中正确的有 ①abc〈0 ②a+ c〈 b ③ a+b+c > 7、函数y=ax2-bx+c (a丰 0) 的图象过点（ A -1 B 1 C - 的值是 b 1 ）个 -1 ,
填空题: 13、无论m为任何实数，总在抛物线y=x2+ 2mx+ m上的点的坐标是------------ 。 16、若抛物线y=ax2+bx+c（0）的对称轴为直线x =2,最小值为—2,则关于方程ax2+bx+c =-2的根为一 17、抛物线y= （k+1）x2+k2-9开口向下，且经过原点，则k= ---------------- 解答题：（二次函数与三角形） 1、已知：二次函数y==x2+bx+c，其图象对称轴为直线x=1，且经过点 4 （1）求此二次函数的解析式. （2）设该图象与x轴交于B、C两点（B点在C点的左侧），请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点并求出最大面积. 2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A B两点（A在B的左侧），与y轴 9 交于点C （0，4），顶点为（1，2）? （1）求抛物线的函数表达式； （2）设抛物线的对称轴与轴交于点D,试在对称轴上找出点卩，使厶CDP为等腰三角形，请直接写岀满足条件的所有点P的坐标. （3）若点E是线段AB上的一个动点（与A B不重合），分另U连接AC BC过点E作EF // AC交线段BC于点F，连接CE记厶CEF的面积为S S是否存在最大值若存在，求出 存在，请说明理由. 4 2 3、如图，一次函数y=—4x—4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y= + bx+ c的图象经过A C两点，且与x轴交于点B （1）求抛物线的函数表达式；己，使厶EBC的面积最大, （第2题图） S的最大值及此时E点的坐标；若不
北师大版2020-2021九年级数学下册第二章二次函数单元综合培优测试题1 （附答案详解） 一、单选题 1．二次函数2y ax bx c =++的图象如下图所示，下列结论中，其中 正确的有（ ）①20a b +>；②()a b m am b +≠+（1m ≠的实数）；③2a c +>；④10x -<<在中存在一个实数0x ，使得0a b x a +=- ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．如图，四边形ABCD 是矩形，AB =8，BC =4，动点P 以每秒2个单位的速度从点A 沿线段AB 向B 点运动，同时动点Q 以每秒3个单位的速度从点B 出发沿B -C -D 的方向运动，当点Q 到达点D 时P 、Q 同时停止运动，若记△PQA 的面积为y ，运动时间为x ，则下列图象中能大致表示y 与x 之间函数关系图象的是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．已知抛物线 y ＝x 2+bx+22 b 与 y 轴交于点 B ，将该抛物线平移，使其经过点 A （-2 b ，0），且与 x 轴交于另一点 C ．若 b≤﹣2，则线段 OB ，OC 的大小关系是（ ） A ．OB≤OC B ．OB ＜O C C ．OB≥OC D ．OB ＞OC 4．四位同学在研究函数y 1＝ax 2＋ax －2a (a 是非零常数)时，甲发现该函数图象总经过定点；乙发现若抛物线y 1＝ax 2＋ax －2a 总不经过点P (x 0－3，x 02－16)，则符合条件的点P 有且只有2个；丙发现若直线y 2＝kx ＋b 与函数y 1交于x 轴上同一点，则b ＝－k ；丁发现若直线y 3＝m (m ≠0)与抛物线有两个交点(x 1，y 1)(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＋1＝0．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 5．如图是抛物线y 1＝ax 2+bx +c (a ≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A (1，3)，与x 轴的一个交点B (4，0)，直线y 2＝mx +n (m ≠0)与抛物线交于A ，B 两点，下列结论： ①2a +b ＝0；②m +n ＝3；③抛物线与x 轴的另一个交点是(﹣1，0)；④方程ax 2+bx +c ＝3有两个相等的实数根；⑤当1≤x ≤4时，有y 2＜y 1，其中正确的是( )
1 / 17 中考数学真题汇编:二次函数 一、选择题 1.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（） A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（） A. B. C. D. 【答案】B 3.关于二次函数，下列说法正确的是（） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 4.二次函数的图像如图所示，下列结论正确是
( ) A. B. C. D. 有两个不相等的实数根 【答案】C 5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( ) A. B. C. D. 2 / 17 【答案】B 6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（） A. （-3，-6） B. （-3，0） C. （-3，-5） D. （-3，-1） 【答案】B 7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（） A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落于地面 C. 点火后10s的升空高度为139m D. 火箭升空的最大高度为145m 【答案】D 8.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac
二次函数综合题训练 一、综合题（共24题；共305分） 1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点坐标为，该图象与轴相交于点、，与轴相交于点，其中点的横坐标为1． （1）求该二次函数的表达式； （2）求． 2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧）． （1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围； （2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移(n＋6)个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n＞0，求m，n 的值． 3.已知抛物线y＝2x2-4x＋c与x轴有两个不同的交点. （1）求c的取值范围； （2）若抛物线y＝2x2-4x＋c经过点A(2，m)和点B(3，n)，试比较m与n的大小，并说明理由. 4.如图，已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(-2，3）. （1）求a的值和图象的顶点坐标。 （2）点Q（m，n)在该二次函数图象上. ①当m=2时，求n的值；
②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围. 5.若二次函数图象的顶点在一次函数的图象上，则称 为的伴随函数，如：是的伴随函数. （1）若是的伴随函数，求直线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若函数的伴随函数与轴两个交点间的距离为4，求，的值. 6.已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点. （1）求k的值： （2）若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标. 7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点． （1）求拋物线的解析式； （2）过点作直线轴，点在直线上且，直接写出点的坐标．8.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上． （1）求点B的坐标（用含的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴； （3）已知点，．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 9.如图，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过点 ，与轴另一交点为，顶点为． （1）求抛物线的解析式； （2）在轴上找一点，使的值最小，求的最小值；
北师大版九年级数学下册_第二章_二次函数_单元检测试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列函数是二次函数的是（ ） A ．21y x =+ B ．y 2x 1=-+ C ．2y x 2=+ D ．1y x 22=- 2．抛物线2-2(3)5y x =++的顶点坐标是( ) A ．(3，5) B ．(-3，-5) C ．(-3，5) D ．(3，-5) 3．二次函数2y x 的图象是（ ） A ．线段 B ．直线 C ．抛物线 D ．双曲线 4．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，点P （a+b ，ac ）是坐标平面内的点，则点P 在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．二次函数y ＝2x 2﹣8x +m 满足以下条件：当﹣2＜x ＜﹣1时，它的图象位于x 轴的下方；当6＜x ＜7时，它的图象位于x 轴的上方，则m 的值为（ ） A ．8 B ．﹣10 C ．﹣42 D ．﹣24 6．将抛物线 221216y x x =-+绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ） A ．221216y x x =--+ B ． 221216y x x =-+- C ．221219y x x =-+- D ． 221220y x x =-+- 7．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝﹣2，与x 轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示则下列结论：①4a ﹣b ＝0；②c ＜0；③c ＞3a ；④4a ﹣2b ＞at 2+bt （t 为实数）；⑤点（﹣72，y 1），（﹣52，y 2），（312,y ）是该抛物线上的点，则y 2＜y 1＜y 3，其中，正确结论的个数是（ ）
北师大版九年级数学下册第二章二次函数中考压轴题练习 1、抛物线y=x2+bx+c经过A（0，2），B（3，2）两点，若两动点D、E同时从原点O分别沿着x轴、y轴正方向运动，点E的速度是每秒1个单位长度，点D的速度是每秒2个单位长度． （1）求抛物线与x轴的交点坐标； （2）若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D，使A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由； （3）问几秒钟时，B、D、E在同一条直线上？ 2、如图1，B（2m，0），C（3m，0）是平面直角坐标系中两点，其中m为常数，且m＞0，E（0，n）为y轴上一动点，以BC为边在x轴上方作矩形ABCD，使AB=2BC，画射线OA，把△ADC绕点C逆时针旋转90°得△A′D′C′，连接ED′，抛物线y=ax2+bx+n（a≠0）过E，A′两点． （1）填空：∠AOB=°，用m表示点A′的坐标：A′（，）； （2）当抛物线的顶点为A′，抛物线与线段AB交于点P，且=时，△D′OE与△ABC是 否相似？说明理由； （3）若E与原点O重合，抛物线与射线OA的另一个交点为点M，过M作MN⊥y轴，垂足为N： ①求a，b，m满足的关系式； ②当m为定值，抛物线与四边形ABCD有公共点，线段MN的最大值为10，请你探究a 的取值范围． 3、如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点． （1）则点A，B，C的坐标分别是A（，），B（，），C（，）；
（2）设经过A，B两点的抛物线解析式为y=（x﹣5）2+k，它的顶点为E，求证：直线EA与⊙M相切； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 4、如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE=5，且=，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l：y=﹣x2+x+c经过点E，且与AB边相交于点F． （1）求证：△ABD∽△ODE； （2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MF⊥BD； （3）P是线段BC上一点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD⊥DQ，在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由． 5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2﹣8mx+4m+2（m＞0）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1，0），C（x2，0），且x2﹣x1=4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．（1）求抛物线的解析式； （2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值； （3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
第二章 二次函数检测题 班级： 姓名： （试卷满分为150分，考试时间为120分钟.） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列各式中，y 是x 的二次函数的是 ( ) A ． 21xy x += B ． 220x y +-= C ． 22y ax -=- D ． 2210x y -+= 2．把二次函数122 --=x x y 配方成顶点式为（ ） A ．2)1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2++=x y D ．2)1(2-+=x y 3．已知2 2y x =的图象是抛物线，若抛物线不动，把x 轴，y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）． Ａ．22(2)2y x =-+ Ｂ．22(2)2y x =+- Ｃ．22(2)2y x =-- Ｄ．22(2)2y x =++ 4．若二次函数2 2 (1)23y m x m m =++--的图象经过原点，则m 的值为 ( ) A ．-1或3 B ．一1 C.3 D ．无法确定 5.二次函数y=－x 2 ＋bx ＋c 图象的最高点是（－1，－3），则b 、c 的值是（ ） A ．b=2，c=4 B ．b=2，c=－4 C ．b=－2，c=4 D ．b=－2，c ＝－4 6.已知二次函数2 y ax bx c =++的图象如图所示，对称轴是1x =，则下列结论中正确的是（ ）． Ａ．0ac > Ｂ．0b < Ｃ．2 40b ac -< Ｄ．20a b += 7．小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数h=3.5t －4.9t 2 （t 的单位：秒；h 的单位：米）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（ ）A ．0.71秒 B ．0.70秒 C ．0.63秒 D ．0.36秒 8、抛物线2 2n mx x y --=)0(≠mn 则图象与x 轴交点为 （ ） A ． 二个交点 B ． 一个交点 C ． 无交点 D ． 不能确定 9、已知函数2 22y x x =--的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使1y ≥成立的x 的取值范围是（ ） Ａ．13x -≤≤ Ｂ．31x -≤≤ Ｃ．3x -≥ Ｄ．1x -≤或3x ≥ 10、二次函数2 y ax bx c =++中，2 b a c =，且0x =时4y =-，则（ ） A ．4y =-最大 B ．4y =-最小 C . 3y =-最大 D ．3y =-最小 11、在同一平面直角坐标系中，一次函数y ax b =+和二次函数2y ax bx =+的图象可能为（ ） 12、一位篮球运动员站在罚球线后投篮，球入篮得分．下列图象中，可以大致反映篮球出手后到入篮框这 一时间段内，篮球的高度()h 米与时间()t 秒之间变化关系的是（ ） 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 13．函数.)2 1 (1 22 ++-=k k x k y 是二次函数则k= . 14. 二次函数y= 21x 2＋3x ＋25的图象是函数y=2 1x 2 的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到的。 15. 已知二次函数y= 41x 2－2 5 x ＋6，当x ＝ 时，y 最小＝ ；当x 时，y 随x 的增大而减小。 16. 当m =_____时，抛物线y =mx 2 +2(m +2)x +m +3的对称轴是y 轴；当m =_____时，图象与y 轴交点的纵坐 标是1；当m =_____时，函数的最小值是－2. 17. 若抛物线m x x y +--=22，的顶点在x 轴上，则=m ；若抛物线 () 4152322---+=x m m x y 的顶点在y 轴上, 则 m 的值是 .抛物线()() 4222-+-+=m x m x y 的顶点在原点，则=m 18.已知二次函数()()m mx x m y --+-=3222 的图象的开口向上，顶点在第三象限，且交于y 轴的负 半轴，则m 的取值范围是 . 19．已知抛物线c bx x y ++=2 与y 轴的正半轴交于点A ，与x 轴的正半轴交于B 、C 两点，且BC=2，S △ABC =3，则b = ，c = ． 20.请选择一组你喜欢的a b c ，，的值，使二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象同时满足下列条件： ①开口向上，②当x <3时，y 随x 的增大而减小；当时x >3，y 随x 的增大而增大．这样的二次函数的解析式可以是 ． Ａ． Ｂ． Ｄ． Ｃ．