下载文档原格式
三、函数的单调性。
（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法： ①在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号）、导数法（在区间(,)a b 内，若总有()0f x '>，则()f x 为增函数；反之，若()f x 在区间(,)a b 内为增函数，则()0f x '≥，请注意两者的区别所在。
如已知函数3()f x x ax =-在区间[1,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是____(答：(0,3]）)；②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意(0by ax a x=+>0)b >型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(,)-∞+∞，减区间为[.如（1）若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数a 的取值范围是______(答：3-≤a ）)；（2）已知函数1()2ax f x x +=+在区间()2,-+∞上为增函数，则实数a 的取值范围_____（答：1(,)2+∞）；（3）若函数()()log 40,1a a f x x a a x ⎛⎫=+->≠ ⎪⎝⎭且的值域为R ，则实数a 的取值范围是______(答：04a <≤且1a ≠）)；③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，如函数()212log 2y x x =-+的单调递增区间是________(答：（1,2）)。
（2）特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如若函数2()log (3)a f x x ax =-+在区间(,]2a -∞上为减函数，求a 的取值范围（答：(1）；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“ ”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示．（3）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.如已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数,若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数m 的取值范围。
2.3 函数的单调性学习目标：1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会用定义判断函数的单调性，会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值．重点难点：函数单调性的应用一、知识点梳理1．函数单调性定义：对于给定区间D 上的函数f(x)，若对于任意x 1,x 2∈D,当x 1<x 2时，都有f(x 1) <f(x 2)，则称f(x)是区间D 上的增函数，D 叫f(x)单调递增区间．当x 1<x 2时，都有f(x 1)> f(x 2)，则称f(x)是区间D 上的减函数，D 叫f(x)单调递减区间．2．函数单调性的判断方法：（1）定义法．步骤是：①任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2②作差f(x 1)－ f(x 2)或作商()()()()0112≠x f x f x f ，并变形， ③判定f(x 1)－ f(x 2)的符号，或比较()()12x f x f 与1的大小， ④根据定义作出结论．（2）图象法；借助图象直观判断．（3）复合函数单调性判断方法：设()()[][],,,,,y f u u g x x a b u m n ==∈∈若内外两函数的单调性相同，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦在x 的区间D 内单调递增，若内外两函数的单调性相反时，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦在x 的区间D 内单调递减．3．常见结论若f(x)为减函数，则-f(x)为增函数 ；若f(x)>0（或<0）且为增函数，则函数)(1x f 在其定义域内为减函数．二、例题精讲题型1：单调性的判断1．写出下列函数的单调区间（1）,b kx y += （2）x k y =， （3）c bx ax y ++=2． 2．求函数22||3y x x =-++的单调区间．３．判断函数f （x ）＝1x 2－4x 的增减情况． 题型2：用定义法证明单调性1.证明函数y=2x+5的单调性5．判断函数f （x ）＝xx 1+在（1,2）上的增减情况． 题型3：单调性的应用：1．已知2()(34)21f x k k x k =-+++-在R 上是增函数,则k 的取值范围 ．2．函数2()(1)2f x x m x =+-+在(,4]-∞上是减函数,则求m 的取值范围 ．3．已知函数[]2()22,5,5f x x ax x =++∈-上是单调函数，a 的取值范围是 ． 4．函数f （x ）是R 上的减函数,求f （a 2－a ＋1）与f （34）的大小关系 ． 题型4：抽象函数的单调性及其应用：1.已知y=f(x)是定义在（-2，2）上的增函数，若f(m-1)＜f(1-2m)，则m 的取值范围是 ．2．设f （x ）定义在R +上，对于任意a 、b ∈R +，有f （ab ）＝f （a ）＋f （b ）求证：（1）f （1）＝0；（2）f （ 1x）＝－f （x ）； （3）若x ∈（1，+∞）时，f （x ）＜0，则f （x ）在（1，+∞）上是减函数．三、巩固练习1．函数2y x=-的单调递_____区间是______________________． 2．函数221y x x =+-的单调递增区间为_______________________．3．已知()(21)f x k x b =++在R 上是增函数，则k 的取值范围是______________．4．下列说法中，正确命题的个数是______________．①函数2y x =在R 上为增函数； ②函数1y x=-在定义域内为增函数； ③若()f x 为R 上的增函数且12()()f x f x >，则12x x >； ④函数1y x=的单调减区间为(,0)(0,)-∞⋃+∞． 5．函数()1f x x =+的增区间为 ．6．函数1()1f x x =+的单调减区间为 ． 7．函数14)(2+-=mx x x f 在]2,(--∞上递减，在),2[+∞-上递增，则实数m ＝ ．8．已知函数)y f x =（在R 上是增函数，且f (m 2)＞f (-m )，则m 的取值范围是: __________．9．函数2()28f x x x =--+的单调减区间 ．10．若函数2()45f x x mx m =-+-在[2,)-+∞上是增函数，则实数m 的取值范为 ；11．函数1||22+-=x x y 的单调增区间为 ．12．求证函数1()f x x x =-在()0,+∞是单调增函数．。
高考数学总复习之函数的单调性一、知识梳理1.增函数、减函数的定义一般地，对于给定区间上的函数f （x ），如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2）〔或都有f （x 1）＞f （x 2）〕，那么就说f （x ）在这个区间上是增函数（或减函数）.如果函数y =f （x ）在某个区间上是增函数（或减函数），就说f （x ）在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做f （x ）的单调区间.如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间. 2.函数单调性可以从三个方面理解（1）图形刻画：对于给定区间上的函数f （x ），函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减.（2）定性刻画：对于给定区间上的函数f （x ），如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减.（3）定量刻画，即定义.上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径. 3. 函数单调性的判定方法：（1）定义法；设元→作差→变形→判断符号→给出结论； （2）图象法；（3）利用已知函数的单调性；①增（或减）函数)(x f 的倒数)(1x f 是减（或增）函数； ②增（或减）函数)(x f 的相反数)(x f -是减（或增）函数；③增（或减）函数)(x f 、)(x g 的和是)()(x g x f +是增（或减）函数；④增（或减）函数)(x f 与减（或增）函数)(x g 的差)()(x g x f -是增（或减）函数； ⑤若0>c ，则增（或减）函数)(x f 与c 的积)(x cf 是增（或减）函数； 若0<c ，则增（或减）函数)(x f 与c 的积)(x cf 是减（或增）函数；； （4）复合函数的单调性：即“同增异减”法。
函数的单调性知识点及例题解析知识点一：基本概念（增减函数、增减区间、最大最小值）知识点二：函数单调性的判定方法（常用的）（1） 定义法（基本法）；①取值：任取D x x ∈21,，且21x x <；②作差：()()21x f x f -；③变形：通常是因式分解或配方；④定号：即判断差()()21x f x f -的正负；⑤下结论：即指出函数()x f 在给定区间D 上的单调性.（2） 利用已知函数的单调性；（现所知道的一次函数，一元二次函数，反比例函数，能够画出图像的函数）（3） 利用函数的图像；x y =，2-=x y ，212-+=x y . （4） 依据一些常用结论及复合函数单调性的判定方法；①两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；②一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数； 如果)()(x g u u f y ==和单调性相同，那么)]([x g f y =是增函数；如果)()(x g u u f y ==和单调性相反，那么)]([x g f y =是减函数.对于复合函数的单调性，列出下表以助记忆.上述规律可概括为“同增，异减”知识点三：函数单调性的应用利用函数的单调性可以比较函数值的大小；利用函数的单调性求参数的取值范围；附加：①()0≠+=a b ax y 的单调性：0>a 增函数，0<a 减函数；②()0≠=k xk y 的单调性：0>k 减区间()()+∞∞-,0,0,；0<k 增区间()()+∞∞-,0,0,； ③()02≠++=a c bx ax y 的单调性：0>a ，减区间⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b 2,，增区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,2a b ； 0<a ，增区间⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b 2,，减区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,2a b ； ④()x f 在区间A 上是增（减）函数，则0>k 时，()x kf 在A 上是增（减）函数；0<k 时则相反； ⑤若()x f 、()x g 是区间A 上的增（减）函数，则()()x g x f +在区间A 上是增（减）函数；⑥若()0>x f 且在区间A 上是增（减）函数，则()x f 1在A 上是减（增）函数，()x f 在A 上是增（减）函数；1.函数y=x2+4x﹣1的递增区间是什么？分析：根据二次函数的开口方向和对称轴可判断出在对称轴右侧单调递增解：∵函数y=x2+4x﹣1的图象开口向上，对称轴为x=﹣2，∴y=x2+4x﹣1在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增．故答案为（﹣2，+∞）．2.函数y=x2﹣6x+5在区间（0，5）上是（）A递增函数B递减函数C先递减后递增D先递增后递减分析：本题考察函数单调性的判断与证明，根据二次函数的图象与性质直接进行求解即可解：∵y=x2﹣6x+5⇒y=（x﹣3）2﹣4，∴对称轴为x=3，根据函数y=x2﹣6x+5可知a=1＞0，抛物线开口朝上，∴函数图象在（﹣∞，3]上单调递减，在（3，+∞）上单调递增，∴在函数在（0，5）上先递减后递增，故选C3.如图，已知函数y=f（x），y=g（x）的图象（包括端点），根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上，函数是增函数还是减函数．分析：本题考察函数单调性的性质，根据函数单调性和图象之间的关系进行求解即可解：（1）由图象知函数在[﹣2，﹣1]，[0，1]上为减函数，则[-1，0]，[1，2]上为增函数，即函数的单调递增区间为[-1，0]，[1，2]，函数单调递减区间为[-2，-1]，[0，1]2）由图象知函数在[-3，-1.5]，[1.5，3]上为减函数，则[﹣1.5，1.5]上为增函数，即函数的单调递增区间为[-3，-1.5]，[1.5，3]，函数单调递减区间为[﹣1.5，1.5]4.已知函数f（x）=x2﹣2ax+1在（-∞，1〕上是减函数，求实数a的取值范围分析：如图，先求出对称轴方程，利用开口向上的二次函数在对称轴右边递增，左边递减，比较区间端点和对称轴的大小即可解：因为开口向上的二次函数在对称轴右边递增，左边递减；而其对称轴为x=a，又在（-∞，1〕上是减函数，故须a≥15.已知函数f（x）=x2+4（1﹣a）x+1在[1，+∞）上是增函数，求a的取值范围分析：通过二次函数的解析式观察开口方向，再求出其对称轴，根据单调性建立不等关系，求出a的范围即可解：函数f（x）=x2+4（1﹣a）x+1是开口向上的二次函数，其对称轴为x=2（a﹣1），根据二次函数的性质可知在对称轴右侧为单调增函数，所以2（a﹣1）≤1，解得a≤1.56.若函数y=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，6）上递减，求a的取值范围分析：由f（x）在区间（﹣∞，6]上递减知：（﹣∞，6]为f（x）减区间的子集，由此得不等式，解出即可．解：f（x）的单调减区间为：（﹣∞，1﹣a]，又f（x）在区间（﹣∞，6]上递减，所以（﹣∞，6]⊆（﹣∞，1﹣a]，则1﹣a≥6，解得a≤﹣5，所以a的取值范围是（﹣∞，﹣5]7.如图，分析函数y=|x+1|的单调性，并指出单调区间分析：去掉绝对值，根据基本初等函数的图象与性质，即可得出函数y的单调性与单调区间．解：∵函数y=|x+1|=；∴当x＞﹣1时，y=x+1，是单调增函数，单调增区间是（0，+∞）；当x＜﹣1时，y=﹣x﹣1，是单调减函数，单调减区间是（﹣∞，0）8.求函数f （x ）=x 4﹣2x 2+5在区间[﹣2，2]上的最大值与最小值分析：本题考察二次函数在闭区间上的最值，菁令t=x 2，可得0≤t ≤4，根据二次函数g （t ）=f （x ）=x 4﹣2x 2+5=（t ﹣1）2+4 的对称轴为t=1，再利用二次函数的性质求得函数g （t ） 在区间[0，4]上的最值．解：令t=x 2，由﹣2≤x ≤2，可得0≤t ≤4，由于二次函数g （t ）=f （x ）=x 4﹣2x 2+5=t 2﹣2t+5=（t ﹣1）2+4 的对称轴为t=1，则函数g （t ） 在区间[0，4]上的最大值是g （4）=13，最小值为 g （1）=4，故答案为 13，4．9.证明函数在[﹣2，+∞）上是增函数分析：本题考查的是函数单调性的判断与证明，在解答时要根据函数单调性的定义，先在所给的区间上任设两个数并规定大小，然后通过作差法即可分析获得两数对应函数值之间的大小关系，结合定义即可获得问题的解答 证明：任取x 1，x 2∈[﹣2，+∞），且x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）=21+x －22+x =22)22)(22(212121+++++++-+x x x x x x =222121+++-x x x x ，因为x 1-x 2＜0，21+x +22+x ＞0，得f （x 1）＜f （x 2）所以函数在[﹣2，+∞）上是增函数． 10.函数f （x ）=，①用定义证明函数的单调性并写出单调区间；②求f （x ）在[3，5]上最大值和最小值分析：①分离常数得到f （x ）=，根据反比例函数的单调性便可看出f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞），根据单调性的定义证明：设任意的x 1，x 2≠﹣1，且x 1＜x 2，然后作差，通分，说明x 1，x 2∈（﹣∞，﹣1），或x 1，x 2∈（﹣1，+∞）上时都有f （x 1）＜f （x 2），这样即可得出f （x ）的单调区间； ②根据f （x ）的单调性便知f （x ）在[3，5]上单调递增，从而可以求出f （x ）的值域，从而可以得出f （x ）在[3，5]上的最大、最小值．解：①f （x ）=112++x x =11)1(2+-+x x =2-11+x ； 该函数的定义域为{x|x ≠﹣1}，设x 1，x 2∈{x|x ≠﹣1}， 且x 1＜x 2，则：f （x 1）- f （x 2）=112+x -111+x =)1)(1(2121++-x x x x ； ∵x 1＜x 2；∴x 1﹣x 2＜0；∴x 1，x 2∈（﹣∞，﹣1）时，x 1+1＜0，x 2+1＜0；x 1，x 2∈（﹣1，+∞）时，x 1+1＞0，x 2+1＞0；∴（x 1+1）（x 2+1）＞0；∴f （x 1）＜f （x 2）；∴f （x ）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）上单调递增，即f （x ）的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）； ②由上面知f （x ）在[3，5]上单调递增；∴f （3）≤f （x ）≤f （5）；∴7／4≤f （x ）≤11／6；∴f （x ）在[3，5]上的最大值为11／6，最小值为7／411.已知f （x ）+2f （x1）=3x ．（1）求f （x ）的解析式及定义域；（2）指出f （x ）的单调区间并加以证明 解：（1）由 f(x)+2f(x 1)＝3x ①，用x 1代替x ，得 f(x 1)+2f(x)＝x 3 ②；②×2-①，得 3f(x)＝x6-3x ，所以 f(x)＝x2-x （x ≠0） （2）由（1），f(x)＝x 2-x （x ≠0）其递减区间为（-∞，0）和（0，+∞），无增区间． 事实上，任取x 1，x 2∈（-∞，0）且x 1＜x 2，则f(x 1)-f(x 2)＝12x -x 1-22x +x 2＝2121)(2x x x x --(x 1-x 2)＝(x 2-x 1)• 21212x x x x +， ∵x 1＜x 2＜0∴x 2-x 1＞0，x 1x 2＞0，2+x 1x 2＞0，所以 (x 2-x 1)• 21212x x xx +＞0，即f （x 1）＞f （x 2）故f （x ）在（-∞，0）上递减． 同理可证其在（0，+∞）上也递减 12.证明：f （x ）=x+21-x 在（3，+∞）上是增函数，在（2，3]上是减函数 分析：利用函数单调性的定义证明．证明：设任意的x 1，x 2∈（3，+∞），且x 1＜x 2，则f （x 1）﹣f （x 2）=（x 1+211-x ）-（x 2+212-x ）=（x 1﹣x 2）•)2)(2(1)2)(2(2121-----x x x x ， ∵x 1，x 2∈（3，+∞），且x 1＜x 2，∴x 1﹣x 2＜0，x 1﹣2＞1，x 2﹣2＞1，（x 1﹣2）（x 2﹣2）＞1，∴（x 1﹣x 2）•)2)(2(1)2)(2(2121-----x x x x ＜0，∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）， ∴f （x ）=x+21-x 在（3，+∞）上是增函数． 同理可证，f （x ）=x+21-x 在（2，3]上是减函数 【例6】讨论函数＝＋的单调性，并画出它的大致图像．f(x)x 1x 解 定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，任取定义域内两个值x 1、x 2，且x 1＜x 2． ∵－＝－，又－＜，f(x )f(x )(x x )x x x x 012121112x x 221-∴当0＜x 1＜x 2≤1或－1≤x 1＜x 2＜0时，有x 1x 2－1＜0，x 1x 2＞0，f(x 1)＞f(x 2) ∴f(x)在(0，1]，[－1，0)上为减函数．当1≤x 1＜x 2或x 1＜x 2≤－1时，有x 1x 2－1＞0，x 1x 2＞0，f(x 1)＞f(x 2)， ∴f(x)在(－∞，－1]，[1，＋∞)上为增函数．根据上面讨论的单调区间的结果，又x ＞0时，f(x)min ＝f(1)＝2， 当x ＜0时，f(x)max ＝f(－1)＝－2．由上述的单调区间及最值可大致画出图像。
专题2.2 函数的单调性与最值（重难点突破）（理科）一、考纲要求1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义．2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.3.培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象能力。
二、考情分析三、考点梳理【基础知识梳理】1、函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述1/ 112 / 11自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 2、函数的最值前提设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足 条件（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得()0f x M =（3）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≥；（4）存在0x I ∈，使得()0f x M =结论 M 为最大值 M 为最小值注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 【知识拓展】1、函数单调性的常用结论（1）若()(),f x g x 均为区间A 上的增(减)函数，则()()f x g x +也是区间A 上的增(减)函数； （2）若0k >，则()kf x 与()f x 的单调性相同；若0k <，则()kf x 与()f x 的单调性相反； （3）函数()()()0y f x f x =>在公共定义域内与()y f x =-，1()y f x =的单调性相反； （4）函数()()()0y f x f x =≥在公共定义域内与()y f x =（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反； （6）一些重要函数的单调性： ①1y x x =+的单调性：在(],1-∞-和[)1,+∞上单调递增，在()1,0-和()0,1上单调递减； ②b y ax x=+（0a >，0b >）的单调性：在,b a ⎛-∞-⎝和,b a ⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，在,0b a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和b a ⎛ ⎝3 / 11上单调递减．四、题型分析(一) 判断函数的单调性 1．判断函数单调性的方法：（1）定义法，步骤为：取值，作差，变形，定号，判断．利用此方法证明抽象函数的单调性时，应根据所给抽象关系式的特点，对1x 或2x 进行适当变形，进而比较出()1f x 与()2f x 的大小．（2）利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”．（3）图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减． （4）导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性．（5）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，判断函数的单调性.2．在利用函数的单调性写出函数的单调区间时，首先应注意函数的单调区间应是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须先确定函数的定义域；其次需掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．例1．（2020·安徽省池州一中模拟）下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3xC ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |【答案】C【解析】当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数， 当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．【变式训练1】．（2020届陕西省咸阳市高三第一次模拟）函数cos 4y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ）A ．132,244k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z B ．372,244k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z C ．312,244k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z D ．152,244k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z4 / 11【答案】C【解析】令()224k x k k Z πππππ-≤-≤∈，解得()312244k x k k Z -≤≤+∈， 因此，函数cos 4y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间是()312,244k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，故选C 。
函数单调性的判断及应用江苏 李洪洋函数的单调性在函数的诸多性质当中，占有最重要的地位，而函数在每年高考中，是占有较大比重的，所以说，函数的单调性是高考的重中之重，一点不为过.近些年，高考中考查函数的题型在不断翻新，并且考得比较“隐蔽”，经常与其它知识进行交融考查，因此，只有在平时不断加强多题型的训练，才能在高考中立于不败之地.一、对函数单调性的理解1．单调函数的定义（1）增函数：对任意)()(],,[,212121x f x f x x b a x x <⇒<∈则)(x f 为],[b a 的增函数（2）减函数：对任意)()(],,[,212121x f x f x x b a x x >⇒<∈，则)(x f 为],[b a 的减函数.2．函数单调性的判断及单调区间的确定方法（1）定义探索法判断函数的单调性，可根据单调函数的定义，即在的定义域内任取21x x <，来考察)()(21x f x f -的符号.根据定义探索，是判断函数的单调性及确定函数单调区间的常用方法.用定义法，其步骤为：①任取M x x ∈21,，且21x x <；②论证)()(21x f x f <或)()(21x f x f >；③根据定义，得出结论.例1判断函数)0(1)(2≠-=a x ax x f 在区间)1,1(-上的单调性. 解：设1121<<<-x x ，则)1)(1())(1()()(2221122121---+=-x x x x x x a x f x f . ∵0)1)(1())(1(22211221>---+x x x x x x ， ∴0>a 时，函数)(x f 在)1,1(-上递减；0<a 时，函数)(x f 在)1,1(-上递增.（2）参照图象法例2画出函数322++-=x x y解：当x ≥0时，4)1(3222+--=++-=x x x y ；当0<x 时，4)1(3222++-=+--=x x x y . 如图所示，在]1,(--∞和]1,0[上，函数是增函数；在]0,1[-和),1[+∞上，函数是减函数.（3）利用已知函数单调性的函数性质 例3判断函数xx x y 4)2(22++=在),1(+∞上的单调性. 解：4)2(412-++=x y ，而当1>x 时，4)2(2-+=x u 为增函数， ∴4)2(42-+x 递减，故原函数在),1(+∞上为减函数. 评注：将函数变形，转化成讨论一些基本函数的单调性问题是讨论函数单调性的一种常用方法.（4）复合函数法对于复合函数)]([x g f y =，若)(x g t =在区间),(b a 上是单调增（减）函数，且)(t f y =在区间))(),((b g a g 或者))(),((a g b g 上是单调函数，那么函数)]([x g f y =在区间),(b a 上的单调性如下表格所示，实施该法则时首先应考虑函数的定义域.（5）最值猜想法由单调函数的图象可知，不少函数单调区间与其最值点有关.因此，可以通过求函数的最值来猜想函数的单调区间.3．常用结论：（1）单调函数)(x f y -=与函数)(x f y =的单调性相反；（2）当)(x f 恒为正或恒为负时，函数)(1x f y =与)(x f y =的单调性相反；（3）在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等；（4）函数)(1x f y -=与函数)(x f y =具有相同单调性.4．函数单调性的应用（1）用于求参数的取值范围分离参数是求解参数范围问题的有效措施，函数单调性的应用使问题的解决更简单易行.（2）用于解决定义与值域共存问题解决定义域与值域共存问题时，不要盲目进行分类讨论，而应从条件出发，分析、探讨出解决问题的实质途径：确定函数的单调性，从而使问题得以简单解决.例4已知二次函数2()(0)f x a x b x c a =++≠满足条件(5)(3)f x f x -+=-，(2)0f =，且方程()f x x =有等根.问是否存在实数,()m n m n <，使得()f x 当定义域为[],m n 时，值域为[]3,3m n ，如果存在，求出,m n 的值；如不存在，请说明理由.分析：遇到定义域与值域共存问题，思维要清晰有条理，即利用已知条件判断已知函数在定义域上的单调性，这也是函数单调性在此类问题中的隐性应用.解： ∵(5)(3)f x f x -+=-，∴()f x 的图象的对称轴为直线1x =. ∴12b a-= ① ∵(2)0f =，420a b c ++= ②又方程()f x x =有等根，即2(1)0ax b x c +-+=有等根，∴2(1)40b ac --= ③将①代入②得0c =.由③得1b =.∴12a =-. ∴221111()(1)≤2222f x x x x =-+=--+. ∴113≤,≤26n n ∴()f x 在[],m n 上单调增.假设存在满足条件的,m n ，则()3()3f m m f n n =⎧⎨=⎩即22132132m m m n n n ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解得0或40或4m n =-⎧⎨=-⎩∵1≤6m n < ∴4,0m n =-=.即存在4,0m n =-=满足条件.评注：借“数”解“形”，以“形”助“数”是解题的双刃剑.合理应用数形结合思想，可使抽象问题具体化，复杂问题简单化、隐性问题显性化.正是数形结合的有效应用，使得结论()3()3f m m f n n=⎧⎨=⎩得以直接判断得出，避开了分类讨论带来的麻烦和思维的一些误区.（3）结合反证法应用例5设)(x f y =在R 上为单调函数，试证方程0)(=x f 在R 上至多有一个实数根. 证明：假设方程0)(=x f 至少有两个实数根)(,βαβα<，则0)()(==βαf f ①又函数)(x f y =在R 上为单调函数，不妨设为增函数，于是由βα<得)()(βαf f <，这与①矛盾，故原命题得证.（4）用于解决实际问题函数的单调性除一些理论上的应用外，它还可以灵活有效地解决现实生活中与之相关的实际问题.例6甲、乙两地相距s km ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km/h ，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位），由可变部分和固定部分组成；可变部分与速度v (km/h)的平方成正比，比例系数为b ，固定部分为a 元.（1）把全程运输成本y （元）表示为v (km/h)的函数，并指出这个函数的定义域.（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶.分析：要计算全程的运输成本s bv va bv a v s y )()(2+=+=(v <0≤c )，而已知每小时的运输成本，只需计算全程的时间，由题意不难得到全程运输成本s bv v a bv a v s y )()(2+=+=(v <0≤c )，所要解决的问题是求bv va +何时取最小值，显然要对c 的大小进行讨论，讨论的标准也就是c 与ba 的大小. 解：（1）依题意知：汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为vS ，因此全程运输成本为s bv va bv a v s y ⋅+=+⋅=)()(2，又据题意v <0≤c ，故所求函数及其定义域分别为： )(bv va s y +⋅=，],0(c v ∈.（2）设bv va v f u +==)(， 22211221))(()()(v v v bv a v v v f v f --=-. ①若b a ≤c ，当210v v <<≤ba 时，012>-v v ，021>v v ，021>-v bv a ，故)()(21v f v f >； 当ba ≤21v v <≤c 时，021>-v bv a ，∴)()(21v f v f <. ∴u 在],0(b a 上是减函数，在],[c a b 上是增函数时，∴b a v =运输成本y 最小. ②若c ba >，当210v v <<≤c 时，012>-v v ，021>v v ，0221>->-bc a v bv a . ∴)()(21v f v f >，故函数在],0(c 上单调递减，所以当c v =时，全程运输成本最小. 评注：解应用题时，首先要训练读题能力，成功地完成对数学文字语言、符号语言、图形语言的理解、接受和转换，继而对题中各元素的数量关系进行加工和提炼，分清主次，并建立数学模型解决实际问题.（5）用于解决抽象函数问题抽象函数一直是学生理解和接受的难点，以其思维的灵活性和其特有的抽象性成为学生学习抽象函数的障碍，但究其特点：抽象函数的单调性都是解决问题的关键，函数的单调性可以使抽象问题具体化，陌生问题熟悉化，因此正确求解抽象函数的单调性是化解抽象函数难点的重要切入口.例7已知函数)(x f 对于任何正实数x ，y 都有)()()(y f x f xy f ⋅=，且当1>x 时，1)(<x f ；试判断)(x f 在),0(+∞上的单调性并说明理由.分析：条件中给出当1>x 时，1)(<x f 的形式特征，可引发我们构造出大于1的式子.而从此思维出发可轻松得解.解：任设210x x <<，则112>x x ， 因为1>x 时，1)(<x f ， 所以112<⎪⎪⎭⎫⎝⎛x x f所以)()()()()(11121122x f x f x x f x x x f x f <=⋅= 即)(x f 在),0(+∞上为单调递减函数.评注：抽象函数问题的给出有些模糊，所以可采用转化思想尽量使问题具体化、清晰化，这是解抽象函数问题的一项重要措施.而利用转化思想要联系前因后果，使得转化有方向性、高效性.此题中，条件：当1>x 时，1)(<x f 的给出，为解题指明了方向，即当210x x <<时，采用转化思想，可得112>x x ，也正是此转化的非常效果，才使得条件被淋漓尽致地应用，问题被简捷、高效地解出.5．对函数单调性理解中的注意点（1）函数的单调性是对于函数定义域内的某个子区间而言的.有些函数在整个定义域内可能是单调的，如一次函数；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，而在另一部分区间上可能是减函数，如二次函数；还有的函数是非单调的，如常数函数c y =，又如分段函数⎩⎨⎧<≥=1,01,1x x y . （2）函数)(x f 在给定区间上的单调性，反映了函数)(x f 在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质.因此，若要证明)(x f 在],[b a 上是递增的，就必须证明对于区间],[b a 上任意的两个自变量的值21,x x ，当21x x <时都有不等式)()(21x f x f <成立.若要证明)(x f 在],[b a 上不是单调递增的，只须举出反例就足够了.即只要找到两个特殊的21,x x ，若a ≤21x x <≤b ，有)(1x f ≥)(2x f 即可.（3）关于单调区间的书写.函数在其定义域内某一点处的函数值是确定的，讨论函数在某点处的单调性没有意义.书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上若函数在区间端点处没有定义，则必须写成开区间.（4）21,x x 的三个特征一定要予以重视.函数单调性定义中的21,x x ，有三个特征：一是任意性，即“任意取21,x x ”，“任意”二字绝不能丢掉.证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定21x x <；三是同属一个单调区间.三者缺一不可.（5）若函数)(x f 在其定义域内的两个区间A 、B 上都是增（减）函数，一般不能简单认为)(x f 在B A 上是增（减）函数.如xx f 1)(=在)0,(-∞上是减函数，在),0(+∞上也是减函数，但不能说它在定义域),0()0,(+∞-∞ 上是减函数.（6）函数增减性（单调性）的几何意义：反映在图象上，若)(x f 是区间D 上的增（减）函数，则图象在D 上的部分从左到右是上升（下降）的.。
考点10 函数的单调性【命题解读】考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；【基础知识回顾】1. 函数单调性的定义(1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x 1、x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)(或都有f(x 1)>f(x 2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)．(2)如果函数y ＝f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为减区间．2. 函数单调性的图像特征对于给定区间上的函数f(x)，若函数图像从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数图像从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减．3. 复合函数的单调性对于函数y ＝f(u)和u ＝g(x)，如果当x ∈(a ，b)时，u ∈(m ，n)，且u ＝g(x)在区间(a ，b)上和y ＝f(u)在区间(m ，n)上同时具有单调性，则复合函数y ＝f(g(x))在区间(a ，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．4. 函数单调性的常用结论(1)对∀x 1，x 2∈D(x 1≠x 2)，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0⇔f(x)在D 上是增函数； f ()x 1－f ()x 2x 1－x 2<0⇔f(x)在D 上是减函数．(2)对勾函数y ＝x ＋ax (a>0)的增区间为(－∞，－a]和[a ，＋∞)，减区间为(－a ，0)和(0，a)． (3)在区间D 上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数．(4)函数f(g(x))的单调性与函数y ＝f(u)和u ＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”5.常用结论1．若函数f (x )，g (x )在区间I 上具有单调性，则在区间I 上具有以下性质： (1)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，f (x )＋g (x )是增(减)函数；(2)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (3)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反； (4)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”． 2．增函数与减函数形式的等价变形：∀x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，则(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．1、函数y ＝x 2－5x －6在区间[2，4]上是( )A ．递减函数B ．递增函数C ．先递减再递增函数D ．先递增再递减函数【答案】C【解析】作出函数y ＝x 2－5x －6的图象(图略)知开口向上，且对称轴为x ＝52，在[2，4]上先减后增．故选C.2、函数y ＝1x －1在[2，3]上的最小值为( )A ．2 B.12 C.13 D ．－12【答案】B【解析】 因为y ＝1x －1在[2，3]上单调递减，所以y min ＝13－1＝12. 故选B.3、已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23B.⎣⎡⎭⎫13，23C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23【答案】D【解析】因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13.所以0≤2x －1<13， 解得12≤x <23.故选D.4、设函数f(x)在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是(D )A. y ＝1f （x ）在R 上为减函数 B. y ＝|f (x )|在R 上为增函数C. y ＝－1f （x ）在R 上为增函数 D. y ＝－f (x )在R 上为减函数 【答案】D.【解析】 如f (x )＝x 3，则y ＝1f （x ）的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在x ＝0时无意义，A 、C 错；y ＝|f (x )|是偶函数，在R 上无单调性，B 错．故选D.5、对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =--在同一坐标系内的图象不可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】BD ．【解析】：若1a >，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递增，二次函数2(1)y a x x =--开口向上，对称轴102(1)x a =>-，经过原点，可能为A ，不可能为B ．若01a <<，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，二次函数2(1)y a x x =--开口向下，对称轴102(1)x a =<-，经过原点，可能为C ，不可能为D ．故选：BD ．6、函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|；单调递减区间是 ． 【答案】(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；(，(1，1＋2)．【解析】作出函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图像如图所示．由图像可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调增区间为(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1－2)，(1，1＋2)．故应分别考向一函数单调性的证明与判断例1、判断函数f(x)＝x1＋x 2在区间[1，＋∞)上的单调性并证明你的结论．【解析】 函数f （x ）＝21xx +在区间[1，＋∞）上是单调减函数，证明如下： 设x 1、x 2∈[1，＋∞），且x 1<x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝1211x x +－2221x x +＝2212212212(1)(1)1)(1)x x x x x x +-+++（＝11122212()(1)1)(1)x x x x x x -++（.∵x 1、x 2∈[1，＋∞），且x 1<x 2，∴ x 1－x 2<0，1－x 1x 2<0. 又（1＋x 21）（1＋x 22）>0，∴ f （x 1）－f （x 2）>0， 即f （x 1）>f （x 2）.∴ f （x ）＝21xx +在[1，＋∞）上为减函数. 变式1、试讨论函数f (x )＝x ＋kx (k >0)的单调性．【解析】．法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x 1，x 2，令x 1<x 2，那么f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫x 2＋k x 2－⎝⎛⎭⎫x 1＋k x 1＝(x 2－x 1)＋k ⎝⎛⎭⎫1x 2－1x 1＝(x 2－x 1)x 1x 2－k x 1x 2．因为0<x 1<x 2，所以x 2－x 1>0，x 1x 2>0． 故当x 1，x 2∈(k ，＋∞)时，f (x 1)<f (x 2)， 即函数在(k ，＋∞)上单调递增． 当x 1，x 2∈(0，k )时，f (x 1)>f (x 2)， 即函数在(0，k )上单调递减．考虑到函数f (x )＝x ＋kx (k >0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k )上单调递增，在(－k ，0)上单调递减．综上，函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减． 法二：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． f ′(x )＝1－kx 2．令f ′(x )>0得x 2>k ，即x ∈(－∞，－k )或x ∈(k ，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k )和(k ，＋∞)．令f ′(x )<0得x 2<k ，即x ∈(－k ，0)或x ∈(0，k )，故函数的单调减区间为(－k ，0)和(0，k )． 故函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减． 变式2、试讨论函数f(x)＝axx 2＋1(a ＞0)在(0，＋∞)上的单调性，并证明你的结论．【解析】 (方法1)设x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1＜x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝ax 1x 21＋1－ax 2x 22＋1＝ax 1（x 22＋1）－ax 2（x 21＋1）（x 21＋1）（x 22＋1）＝a[x 1x 22＋x 1－x 2x 21－x 2]（x 21＋1）（x 22＋1）＝a （x 2－x 1）（x 1x 2－1）（x 21＋1）（x 22＋1）. ∵x 1＜x 2，x 2－x 1>0，又a>0，(x 21＋1)(x 22＋1)>0. ∴当x 1，x 2∈(0，1)时，x 1x 2－1<0，从而a （x 2－x 1）（x 1x 2－1）（x 21＋1）（x 22＋1）<0，即f(x 1)－f(x 2)<0⇒f(x 1)<f(x 2)，此时f(x)＝axx 2＋1 (a ＞0)单调递增； 当x 1，x 2∈(1，＋∞)时，x 1x 2－1>0，从而a （x 2－x 1）（x 1x 2－1）（x 21＋1）（x 22＋1）>0，即f(x 1)－f(x 2)>0⇒f(x 1)>f(x 2)，此时f(x)＝axx 2＋1 (a ＞0)单调递减． ∴函数f(x)在(0，1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数．方法总结： 1. 判断函数的单调性，通常的方法有：（1）定义法；（2）图像法；（3）利用常见函数的单调性；（4）导数法.而要证明一个函数的单调性，基本方法是利用单调性定义或导数法.2. 应用函数单调性的定义证明函数的单调性，其基本步骤如下：取值→作差→变形→确定符号→得出结论其中，变形是十分重要的一步，其目的是使得变形后的式子易于判断符号，常用的方法是(1)分解因式；(2)配方；(3)通分约分等．考向二 函数的单调区间例1、求下列函数的单调区间（1）y ＝－x 2＋2|x|＋1；（2）、.函数y ＝|x |(1－x )的单调递增区间是________.【解析】（1）由2221,0-x 21,0x x x x x ⎧-++⎪⎨-+⎪⎩≥，＜，即22(1)2,0-1)2,0.x x y x x ⎧--+⎪=⎨++⎪⎩≥（＜画出函数图像如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0，1]，单调减区间为[－1，0]，[1，＋∞)．（2）y ＝|x |(1－x )＝⎩⎨⎧x （1－x ），x ≥0，－x （1－x ），x <0 ＝⎩⎨⎧－x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x<0，函数的大致图象如图所示.由图易知函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.变式1、（2019·河北石家庄二中模拟）函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)C ．(－∞，1]和⎣⎡⎦⎤32，2D.⎝⎛⎦⎤－∞，32和[2，＋∞)【答案】B【解析】y ＝|x 2－3x ＋2|=⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，－x 2－3x ＋2，1＜x ＜2.如图所示，函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)．变式2、 函数f(x)＝x ＋12x ＋1的单调减区间为________________．【答案】 ⎝⎛⎭⎫－∞，－12，⎝⎛⎭⎫－12，＋∞【解析】 因为f(x)＝x ＋12x ＋1＝x ＋12＋122x ＋1＝12＋14⎝⎛⎭⎫x ＋12，且定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≠－12，所以函数f(x)的单调减区间为(－∞，－12)，(－12，＋∞)．方法总结：求函数的单调区间的常用方法与判断函数的单调性的方法类似，有定义法、图像法、利用常见函数的单调性、导数法等．值得引起高度重视的是：(1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求单调区间，必须先求出定义域； (2)对于基本初等函数的单调区间，可以直接利用已知结论求解考向三 复合函数的单调区间 例3、求下列函数的单调区间(1)f(x)＝x 2－2x －3；（2）212log (32)y x x =-+ 【解析】(2)f(x)＝x 2－2x －3的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．令t ＝x 2－2x －3，∵t ＝x 2－12x －3在x ∈(－∞，－1]上是减函数，在x ∈[3，＋∞)为增函数，又y ＝t 在t ∈(0，＋∞)上是增函数，∴函数f(x)＝x 2－2x －3的单调减区间是(－∞，－1]，单调递增区间是[3，＋∞)．(2)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看成12log y u =与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．由x 2－3x ＋2＞0，解得x ＜1或x ＞2.∴函数的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)． 又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝32，且开口向上．∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．而12log y u =在(0，＋∞)上是减函数，∴的单调减区间为(2，＋∞)，单调增区间为(－∞，1)．变式1、函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为（ ）A ．(),0-∞B ．()2,+∞C ．()0,+∞D ．(),2-∞- 【答案】 D【解析】 根据复合函数的单调性判断．因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)． 变式2、函数f (x )＝2x －x 2的单调递增区间为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1【答案】B【解析】令t ＝x －x 2，由x －x 2≥0，得0≤x ≤1，故函数的定义域为[0，1]．因为g (t )＝2t 是增函数，所以f (x )的单调递增区间即t ＝x －x 2的单调递增区间．利用二次函数的性质，得t ＝x －x 2的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，即原函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.故选B.方法总结：求复合函数的单调性，首先要注意复合函数的定义域，其次要确定函数是有哪些基本函数复合而成，根据同增异减的性质确定复合函数的单调性。
