用“线性规划问题的最优解在边界上”简解高考题
线性规划问题是指在线性约束条件(即关于变量y x ,的二元一次不等式或不等式组)下，求线性目标函数by ax z +=的最大值或最小值问题.在线性规划问题中，满足线性约束条件的解),(y x 叫做可行解，可行解的集合叫做可行域(可行域的边界是直线、射线或线段)，使目标函数取得最值的可行解叫做这个线性规划问题的最优解.求解线性规划问题，通常是通过平移初始直线0=+by ax 来解决的，所以有下面的结论：
(1)若线性规划问题存在最优解，则最优解一定在边界上.
(2)若目标函数by ax z +=在两个不同的点B A ,处均取到最大值或均取到最小值，则初始直线0=+by ax 与直线AB 平行(此时线段AB 一定是可行域的边界，且线段AB 上的所有点都是最优解).
(3)若可行域有凸顶点，则目标函数在可行域的所有凸顶点处的函数值中的最大(小)值就是目标函数的最大(小)值.
下面用这些结论简解几道线性规划题.
题1 (2015年高考山东卷理科第6题)已知x ，y 满足约束条件?????x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.
若z ＝ax ＋y
的最大值为4，则a ＝( )
A ．3
B ．2
C ．－2
D ．－3
解 B.题中的可行域为图1中的OAB ?(其顶点坐标分别是)0,2(),1,1(),0,0(B A O )及其内部的区域.
图1
再由结论(3)，可得3=a 或2.再检验，得2=a .
题2 (2015年高考福建卷文科第10题)变量x ，y 满足约束条件?????x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.
若z ＝
2x －y 的最大值为2，则实数m 等于( )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
解 C.若1-=m ，可得z 无最大值，所以1-≠m .
先画出不等式组?
??≥+-≥+0220y x y x 表示的区域为图2中的阴影部分.
图2(请把图中的“A y x x y ,022,=---=”分别改为“)2,2(,22,0A y x y x =-=+”)
直线0=-y mx 过原点且不与直线022,0=+-=+y x y x 不重合，再由图2可知本题的可行域是三角形区域(若是图2中的某一块无限区域，则z 无最大值).又直线2x －y =2与直线022=+-y x 交于点)2,2(A ，再由以上结论(3)，得)2,2(A 是最优解且直线0=-y mx 过点A ，所以1=m .
题3 (2014年高考山东卷理科第9题即文科第10题)已知x ，y 满足约束条件?
????x －y －1≤0，2x －y －3≥0， 当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )
A ．5
B ．4 C. 5 D ．2
解 B.易知可行域是一个凸角(即其大小小于平角)，且角的顶点是(2,1)(即方程组?
??=--=--03201y x y x 的解). 由以上结论(3)，得(2,1)是最优解，所以522=+b a .
接下来，可用减元法、三角换元法或柯西不等式求得答案.
题4 (2014年高考全国课标卷I 文科第11题)设x ，y 满足约束条件?
????x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )
A ．－5
B ．3
C ．－5或3
D ．5或－3
解 B.易知可行域是一个凸角，且角的顶点是???
??+-21,21a a (即方程组???-=-=+1y x a y x 的解).
由以上结论(3)，得??
? ??+-21,21a a 是最优解，所以 72
121=+?+-a a a a ＝3或－5
因为题设中是“最小值为7”(不是“最大值或最小值为7”)，所以还须检验：当a ＝3时，可得“最小值为7”；当a ＝－5时，可得“最大值为7”.所以a ＝3.
题5 (2014年高考安徽卷理科第5题)x ，y 满足约束条件?????x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.
若z ＝y －ax
取得最大值的最优解不唯一．．．
，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12
C ．2或1
D ．2或－1 解 D.先作出可行域是图3中的ABC ?
.
图3(请去掉图中过原点的直线)
由题设及结论(2)知，初始直线ax y =与ABC ?的某一条边平行，得1-=a 或12
或2.因为题设中是“最大值的最优解”，所以还须检验，…….
题6 (2014年高考浙江卷理科第13题)当实数x ，y 满足?????x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1
时，1≤ax ＋y ≤4
恒成立，则实数a 的取值范围是________．
解 ??
????2
3,1.先作出可行域是图4中的ABC ?. 题设即???≤+≥+4)(1)(max min y ax y ax ，由以上结论(3)，得???
????≤+≤≤+≤≤+≤4231141214011a a a ，即231≤≤a .
图4(请去掉图中的两条虚线，并标上点C B A ,,的坐标??
?
??23,1),1,2(),0,1(C B A ) 题7 (2013年高考浙江卷理科第13题)设z =kx +y ，其中实数x ，y 满足?
????x +y ?2≥0，
x ?2y +4≥0，2x ?y ?4≤0．若z 的最大值为12，则实数k = ．
解 2.先作出可行域是图5中的ABC ?(其中)4,4(),0,2(),2,0(C B A )，得以下三种情形：
(1)若在点)2,0(A 处取到最大值，得1220=+?k ，这不可能！
(2)若在点)0,2(B 处取到最大值，得6,1202==+?k k ，经检验知，这也不可能！
(3)若在点)4,4(C 处取到最大值，得2,1244==+?k k ，经检验知，符合题意！ 所以2=k .
图5
题8 (北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末试卷(高三数学(理科)第8题)设
D 为不等式组??
???≤--≥-≤+12121y x y x y x 表示的平面区域，点),(b a B 为坐标平面xOy 内一点，若对于区域
D 内的任一点),(y x A ，都有1≤?OB OA 成立，则b a +的最大值等于( )
A.2
B.1
C.0
D.3
解 A.先作出平面区域D 为图6中的ABC ?.
图6
题设即：对于区域D 上的任一点),(y x A ，都有1≤+by ax 成立.其充要条件是ABC ?的
顶点)1,1(),0,1(),1,0(--C B A 的坐标均满足1≤+by ax ，即??
???-≥+≤≤111b a a b ，由此可得b a +的最大值是2(这也是一个线性规划问题).
注 由此解法，还可得出b a +的取值范围是]2,1[-.建议把题目中的“区域D 内”改为“区域D 上”，若是“区域D 内”，则所求最大值不存在，只能得到b a +的取值范围是)2,1(-.
期末复习—《简单的线性规划》 编写：鲍德法 审核：孙 军 班级 姓名 成绩 一、典例精解 1、求线性目标函数的最值 例1．设变量x ，y 满足约束条件?? ? ??-≥≥+≤632x y y x x y ，则目标函数y x z +=2的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．9 2、求平面区域的面积问题 例2．在平面直角坐标系xOy 内，已知平面区域A ={(x ，y )|1≤+y x ，且0≥x ，0≥y }，则平面区域B ={(x +y ，x –y )|(x ，y )∈A }的面积为（ ） A ．2 B ．1 C ．21 D ．4 1 3、求距离的最值问题 例3．已知实数x ，y 满足?? ???≤--≤+-≥022011 y x y x x ，则2 2y x +的最小值是（ ） A ．5 B ．25 C ．1 D ．5 4、求斜率的范围问题 例4．已知变量x ，y 满足约束条件?? ? ??≤-+≥≤+-0 710 2y x x y x ，则x y 的取值范围是（ ） A ．[ 59，6] B ．-∞(，5 9 ] [6，)∞+ C ．-∞(，3] [6，)∞+ D ．[3，6] 5、求线性规划的整点最优解问题 例5．设变量x ，y 满足条件3210 411,0,0 x y x y x y Z x y +>?，则y x s 45+=的最小值为 ． 6、求参数的范围问题 例6．若不等式组???? ???≤+≥≤+≥-a y x y y x y x 0220 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ） A ．34≥a B ．10≤ 简单的线性规划问题 [ 学习目标 ] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念 .2. 了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题． 知识点一线性规划中的基本概念 知识点二线性规划问题 1．目标函数的最值 线性目标函数 z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是 y＝－a x＋z，在 y 轴上的 截距是z， b b b 当 z 变化时，方程表示一组互相平行的直线． 当 b>0，截距最大时， z 取得最大值，截距最小时， z 取得最小值； 当 b<0，截距最大时， z 取得最小值，截距最小时， z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即， (1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点 (或边界 )便是最优解． (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案． 知识点三简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大； (2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有： ①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ ②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C 三种 材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤 (1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法． (2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解． (3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案． 题型一求线性目标函数的最值 y≤2， 例 1 已知变量 x，y 满足约束条件 x＋y≥1，则 z＝3x＋y 的最大值为 ( ) x－y≤1， A ． 12 B ．11 C ．3 D ．－ 1 答案 B 解析首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点 的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－3x＋z 经 y＝2，x＝ 3， 2019年上海市高考数学试卷 2019.06.07 一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知集合(,3)A =-∞，(2,)B =+∞，则A B =I 2. 已知z ∈C ，且满足 1i 5z =-，求z = 3. 已知向量(1,0,2)a =r ，(2,1,0)b =r ，则a r 与b r 的夹角为 4. 已知二项式5(21)x +，则展开式中含2x 项的系数为 5. 已知x 、y 满足002x y x y ≥??≥??+≤? ，求23z x y =-的最小值为 6. 已知函数()f x 周期为1，且当01x <≤，2()log f x x =，则3()2f = 7. 若,x y +∈R ，且 123y x +=，则y x 的最大值为 8. 已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足2n n S a +=，则5S = 9. 过曲线24y x =的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与曲线24y x =交于A 、B ，A 在B 上 方，M 为抛物线上一点，(2)OM OA OB λλ=+-u u u u r u u u r u u u r ，则λ= 10. 某三位数密码，每位数字可在0-9这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有 两位数字相同的概率是 11. 已知数列{}n a 满足1n n a a +<（*n ∈N ），若(,)n n P n a (3)n ≥均在双曲线22 162 x y -=上， 则1lim ||n n n P P +→∞ = 12. 已知2()||1 f x a x =--（1x >，0a >），()f x 与x 轴交点为A ，若对于()f x 图像 上任意一点P ，在其图像上总存在另一点Q （P 、Q 异于A ），满足AP AQ ⊥，且 ||||AP AQ =，则a = 破解线性规划中的整点问题 河南省三门峡市卢氏一高（472200）赵建文 Email:zhaojw1968@https://www.doczj.com/doc/479743837.html, 线性规划中的整点问题是高中数学线性规划中的重要一类问题，是高中数学的一个难点，本文将整数线性规划问题解法作以简单介绍供同学们学习时参考. 例 某商店计划同时销售某品牌电热水器和太阳能热水器，由于市场需求旺盛，这两种产品供不应求，因该商店根据具体情况（如成本、员工工资）确定产品的月采购量，具体数据如下，问这两种产品各采购多少时，才能使总利润最大？最大利润是多少？ 分析：本题是整数规划问题，设采购电热水器x 台、太阳能热水器y 台，列出约束条件和目标函数，用图解法解之. 解析：设月采购电热水器x 台、太阳能热水器y 台，月总利润为z 元，则 1000300030000100050011000 ,x y x y x y N +≤??+≤??∈? ，即330222 ,x y x y x y N +≤??+≤??∈?，目标函数为 z =800600x y + 作出可行域如图所示， 作直线l ：86x y +=0， 平移直线z =800600x y +知过M 3638( ,)55时，max z =10320，但x =365，y =385不是整数，所以可行域内点M 3638( ,)55不是整点最优解. 求整点最优解 解法一 网格平移法 首先在可行域内打网格，其次描出M 3638(,)55 附近的所有整点，接着平移直线l ：86x y +=0，会发现当移至（8，6）时，直线在y 轴上截距最大，即max z =10000元. 解法二 特值检验法 由图可知目标函数取得最大值的整点应分布在可行域右上侧靠近边界的区域，一次取得满足条件的整点，（0，10），（1，9），（2，9），（3，9）（4，8），（5，8），（6，8），（7，7），（8，6），（8，5），（9，4），（10，2），（10，1），（11，0）.将这些点分别代入z =800600x y +，求出各点对应的值，经验证可知，在整点(8,6)处max z =10000元. 解法三 调整最优法 单位产品所需资金 月资金供应量（百元） 电热水器 太阳能热水器 成本 10 30 300 工资 10 5 110 单位利润 8 6 必修五——线性规划无数个最优解问题、乘1问题 答案和解析 【答案】 1.D 2.A 3.C 4.C 5.A 6.B 7.D 8.B 9.C 10.B 11.B 【解析】 1. 解：作出不等式组{x +y ≥1 x ?y ≥?12x ?y ≤2 表示的平面区域， 得到如图的△ABC 及其内部，其中A （1，0），B （0，1），C （3，4） 设z =F （x ，y ）=ax +by （a ＞0，b ＞0），将直线l ：z =ax +by 进行平移， 当l 经过点C 时，目标函数z 达到最大值 ∴z 最大值=F （3，4）=3a +4b =7，可得17（3a +4b ）=1因此，3a +4b =17 （3a +4b ）（3a +4b ）=17（25+12b a +12a b ） ∵12b a +12a b ≥2√12b a ?12a b =24∴17（25+24）≥17×49=7， 即当且仅当a =b =1时，3a +4b 的最小值为7故选：D 作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC 及其内部，再将目标函数z =ax +by 对应的直线进行平移，可得当x =3，y =4时，z 最大值为3a +4b =7．然后利用常数代换结合基本不等式，可得当且仅当a =b =1时，3a +4 b 的最小值为7． 本题给出二元一次不等式组，在已知目标函数z =ax +by 最大值为7的情况下求3a +4b 的最小值．着重考查了运用基本不等式求最值和简单的线性规划等知识，属于中档题． 2. 解：满足约束条件{x +y ?4＜0y ≥x x ≥0的可行域如下图所示 ∵y?5x?1表示可行域内一点（x ，y ）与P （1，5）连线的斜率 又∵k PA =5?41?0=1，k PB =5?22?1=-3， ∴y?5x?1的范围是（-∞，-3）∪（1，+∞） 故选A 画出满足约束条件的可行域，分析目标函数的几何意义，数形结合即可分析出目标函数的取值范围． 本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中分析出目标函数的几何意义是表示可行域内一点（x ，y ）与P （1，5）连线的斜率是解答的关键． 3. 解：由约束条件{y ≥0 y ?x +1≤0y ?2x +4≥0作出可行域如图， 由z =y -ax （a ≠0），得y =ax +z ， ∵a ≠0， ∴要使z =y -ax （a ≠0）取得的最优解（x ，y ）有无数个， a 不能为负值，当a ＞0时，直线y =ax +z 与线段AC 所在直线重合时，使z =y -ax 取得最大值的最优解有无数个； 直线y =ax +z 与线段BC 所在直线重合时，使z =y -ax 取得最小值的最优解有无数个． 2013—2017高考全国卷线性规划真题 1.【2017全国1，文7】设x ，y 满足约束条件33,1, 0,x y x y y +≤??-≥??≥?则z =x +y 的最大值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2.【2017全国2，文7】设,x y 满足约束条件2+330 233030x y x y y -≤??-+≥??+≥? ,则2z x y =+的最小值是 A.15- B.9- C.1 D 9 3.【2017全国3，文5】设x ，y 满足约束条件3260 0x y x y +-≤??≥??≥? ，则z x y =-的取值范围是 A ．[–3,0] B ．[–3,2] C ．[0,2] D ．[0,3] 4．(2016全国1，文16)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元． 5．(2016全国2，文14)若x ，y 满足约束条件?????x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0， 则z ＝x －2y 的最小值为________． 6．(2016全国3，文13)设x ，y 满足约束条件?????2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1， 则z ＝2x ＋3y －5的最小值为_____． 7.（2015全国1，文15）若x ,y 满足约束条件20 210220x y x y x y +-≤??-+≤??-+≥? ,则z =3x +y 的最大值为 ． 8.（2015全国2，文14）设x ，y 满足约束条件50 210210x y x y x y +-≤??--≥??-+≤?，则2 z x y =+的最大值为__________. 9.（2014全国1，文11）设x ，y 满足约束条件, 1,x y a x y +≥??-≤-?且z x a y =+的最小值为7，则a = A ．-5 B.3 C.-5或3 D.5或-3 使用Excel规划求解解线性规划问题 引言 最近，开始学习运筹学，期望通过学习后能够解决许多困扰自已的难题。 刚开始时，选了很多教材，最后以Hamdy A.Taha著的《Operations Research:An Introduction》开始学习。（该书已由人民邮电出版社出版，书名《运筹学导论-初级篇（第8版）》，不知为什么，下载链接中只有该书配套的部分习题解答，而书中所说的光盘文件找不到下载的地方，因为中译本没有配光盘，因此也就错过了许多示例文件。不知道哪位有配套光盘文件，可否共享？？？） 线性规划求解的基本知识 线性规划模型由3个基本部分组成： ?决策变量（variable） ?目标函数（objective） ?约束条件（constraint） 示例：营养配方问题 （问题）某农场每天至少使用800磅特殊饲料。这种特殊饲料由玉米和大豆粉配制而成，含有以下成份： 特殊饲料的营养要求是至少30%的蛋白质和至多5%的纤维。该农场希望确定每天最小成本的饲料配制。 （解答过程） 因为饲料由玉米和大豆粉配制而成，所以模型的决策变量定义为： x1=每天混合饲料中玉米的重量（磅） x2=每天混合饲料中大豆粉的重量（磅） 目标函数是使配制这种饲料的每天总成本最小，因此表示为： min z=0.3×x1+0.9×x2 模型的约束条件是饲料的日需求量和对营养成份的需求量，具体表示为： x1+x2≥800 0.09×1+0.6×2≥0.3(x1+x2) 0.02×1+0.06×2≤0.05(x1+x2) 将上述不等式化简后，完整的模型为： min z=0.3×1+0.9×2 s.t.x1+x2≥800 0.21×1-0.3×2≤0 0.03×1-0.01×2≥0 x1,x2≥0 可以使用图解法确定最优解。下面，我们介绍使用Excel的规划求解加载项求解该模型。使用Excel规划求解解线性规划问题 步骤1安装Excel规划求解加载项 单击“Office按钮——Excel选项——加载项——（Excel加载项）转到”，出现“加载宏”对话框，如下图所示。选择“规划求解加载项”，单击“确定”。 此时，在“数据”选项卡中出现带有“规划求解”按钮的“分析”组，如下图所示。 步骤2设计电子表格 使用Excel求解线性规划问题时，电子表格是输入和输出的载体，因此设计良好的电子表格，更加易于阅读。本例的电子表格设计如下图所示： 对线性规划整点问题的探究 一、精确图解法求整数最优解 ( 课本P88习题16 ) 某运输公司有7辆载重量为6t 的A 型卡车与4辆载重量为10t 的B 型卡车，有9名驾驶员。在建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360t 沥青的任务。已知每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车8次，B 型卡车6次，每辆卡车每天往返的成本费A 型车160元，B 型车252元。每天派出A 型车和B 型车各多少辆公司所花的成本费最低？ 解：设每天派出A 型车x 辆、B 型车y 辆，公司所花的成本为z 元，则 0x 70y 4x y 9 68x 106y 360x,y Z ≤≤??≤≤??+≤????+??≥?∈??即0x 70y 4 x y 94x 5y 30x,y Z ≤≤??≤≤? ? +≤??+≥?∈?? z=160x+252y. 如图可行域是ABCD 围成的区域， 作直线160x+252y=0，图形中两直线160x+252y=0和4x+5y=30接近平行， 比较直线斜率k=160252- >-4 5 , 平移直线160x+252y=0，由图可知在A （7， 2 5 ）处取到最小值，但A 不是整数解。 在可行域内共有（3，4），（4，3），（4，4），（5，2），（5，3），（6，2），（6，3），（7，1），（7，2）整数解，经检验只有（5，2）是最优解，此时z=160×5+252×2=1304元。 这种方法适用于区域是封闭区域，且区域内的整数点可数，坐标网络画出来容易在图上识别哪些整点在可行域内。 二、利用近似解估算整数最优解 (课本P63例4) 要将两种不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示： 今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需的三种规格成品，且所使用钢板张数最少。 解：设需截取第一种钢板x 张，第 二种钢板y 张，则 2x y 15x 2y 18x 3y 27x,y 0,x,y N +≥??+≥? ? +≥??≥∈? 目标函数z=x+y, 如图可行域是阴影部分，目标函数在A 点取到最优解。解方程组 x 3y 272x y 15+=?? +=? 得A （185，39 5） 但不是整数解， 规格类型 钢板类型 A 规格 B 规格 C 规格 第一种钢板 2 1 1 第二种钢板 1 2 3 2018 16 14 12 10 8 6 4 2 -15-10-5 51015 x+y=12 x+3y=27 x+2y=18 2x+y=15 A B C D E x O y x+y=9 4x+5y=3 160x+252y=0 A B C D 332简单线性规划问题 “简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简 单应用，这是《新大纲》对数学知识应用的重视?线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益?它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经营管理等许多方面的实际问题?中学 所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法一一数学建模法.通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣和应用数学的意识和解决实际问题的能力 依据课程标准及教材分析，二元一次不等式表示平面区域以及线性规划的有关概念比较抽象，按学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，再加上学生对代数问题等 价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题有一个学习消化的过程，故本节知 识内容定为了解层次 本节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材 本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实际问题的能力 教学重点重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域教学难点难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答?解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解?为突 出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化课时安排2课时 三维目标 一、知识与技能 1. 掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念； 2. 运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题I 二、过程与方法 1. 培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力； 2. 结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新. 三、情感态度与价值观 1. 通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、 归纳等数学能力； 2. 结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于 创新. 图解法和单纯形法求解以下线性规划问题 1.1 图解法解线性规划问题 只含两个变量的线性规划问题，可以通过在平面上作图的方法求解，步骤如下： (1)以变量x1为横坐标轴，x2为纵坐标轴，适当选取单位坐标长度建立平面坐标直 角坐标系。由变量的非负性约束性可知，满足该约束条件的解均在第一象限内。 (2)图示约束条件，找出可行域（所有约束条件共同构成的图形）。 (3)画出目标函数等值线，并确定函数增大（或减小）的方向。 (4)可行域中使目标函数达到最优的点即为最优解。 然而，由于图解法不适用于求解大规模的线性规划问题，其实用意义不大。 1.2 单纯形法解线性规划问题 它的理论根据是：线性规划问题的可行域是n维向量空间Rn中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。顶点所对应的可行解称为基本可行解。 单纯形法的基本思想是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解,再鉴别；若仍不是，则再转换,按此重复进行。因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。如果问题无最优解也可用此法判别。 单纯形法的一般解题步骤可归纳如下：①把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组，找出基本可行解作为初始基本可行解。②若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。③若基本可行解存在，从初始基本可行解作为起点，根据最优性条件和可行性条件，引入非基变量取代某一基变量，找出目标函数值更优的另一基本可行解。④按步骤3进行迭代,直到对应检验数满足最优性条件（这时目标函数值不能再改善），即得到问题的最优解。⑤若迭代过程中发现问题的目标函数值无界，则终止迭代。 1.3 线性规划问题的标准化 使用单纯形法求解线性规划时，首先要化问题为标准形式 20１７高考全国卷及自主招生数学高考真题 线性规划专题真题整理(附答案解析) 1.（１7全国卷Ｉ,文数7)设x ，ｙ满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤??-≥??≥? 则z =x ＋y 的最大值为( ） A.０ B ．１ Ｃ．2 D.3 答案：Ｄ 解析：如图,由图易知当目标函数z x y =+经过 直线33x y +=和0y =（即x 轴）的交点(3,0)A 时, z 能取到最大值，把(3,0)A 代入ｚ＝x +ｙ可得 max 303z =+=,故选Ｄ. 2.（17全国卷I ，理数１４题)设x ,ｙ满足约束条件21210x y x y x y +≤??+≥-??-≤? ，则32z x y =-的最小值 为 答案：5- 解析:不等式组21210x y x y x y +≤??+≥-??-≤? 表示的平面区域如图所示。 由32z x y =-变形得322z y x =-。要求z 的最小值， 即求直线322z y x =-的纵截距的最大值。由右图,易知 当直线322 z y x =-过图中点A 时,纵截距最大。 联立方程组2121x y x y +=-??+=?,解得A 点坐标为(1,1)-，此时3(1)215z =?--?=-。 故32z x y =-的最小值是-5. 3.(17全国卷Ⅱ，文数7、理数５)设ｘ、ｙ满足约束条件2+330233030x y x y y -≤??-+≥??+≥? .则2z x y =+ 的 最小值是（ ） A ． －1５ B.-９ C ． １ Ｄ 9 答案：A 解析:不等式组2+330233030x y x y y -≤??-+≥??+≥? 表示的可行域如图所示, 易知当直线2z x y =+过到213 y x =+与3y =-交点 ()63--，时，目标函数2z x y =+取到最小值，此时有 ()()min 26315z =?-+-=-,故所求z 最小值为15-． ４.(17全国卷Ⅲ,文数5)设ｘ，y 满足约束条件326000x y x y +-≤??≥??≥? ，则z =x -ｙ的取值范围是 （ ) A.[-３,０］ B.［-3，2] C ．[0，2] D.[0,３] 答案：Ｂ 解析:绘制不等式组表示的可行域,结合目标函数 的几何意义可得目标函数z =x -y 在直线3260x y +-=与 直线0x =（即x 轴)的交点()0,3A 处取得最小值, 此时min 033z =-=-。 在点()2,0B 处取得最大值， 此时max 202z =-=．故本题选择B 选项. 5．(17全国卷Ⅲ，理数13）若ｘ，y 满足约束条件0200x y x y y -≥??+-≤??≥? 则34=-z x y 的最小值为__ ＿＿＿___. 线性规划练习题含答案 一、选择题 1．已知不等式组 2, 1, y x y kx x ≤-+ ? ? ≥+ ? ?≥ ? 所表示的平面区域为面积等于1的三角形，则实数k的值为 A．－1 B． 1 2 - C． 1 2 D．1 【答案】B 【解析】略作出不等式组表示的可行域如右图所示阴影部分，由于AOB ?的面积为2, AOC ?的面积为1，所以当直线y=kx+1过点A（2，0），B（0，1）时符合要求，此时 1 2 k=-,故选B。 2．定义 () () max{,} a a b a b b a b ≥ ?? =? < ?? ，已知实数y x,满足1 ,1≤ ≤y x，设{} max,2 z x y x y =+-，则z的取值范围是（） A、? ? ? ?? ? -2, 2 3 B、? ? ? ?? ? 2, 2 3 C、? ? ? ?? ? 3, 2 3 D、? ? ? ?? ? -3, 2 3 【答案】D 【解析】{} ,2,20 max,2 2,22,20 x y x y x y x y x y z x y x y x y x y x y x y x y ++≥-+-≤ ?? =+-== ?? -+<---> ?? ， 当z=x+y时，对应的点落在直线x-2y=0的左上方，此时 3 2 2 z -≤≤；当z=2x-y时，对应的点落在直线x-2y=0的右下方， 3 3 2 z -≤≤ 3．若实数x，y满足 ? ? ? ? ? ≤ + ≥ ≥ , 12 3 4 ,0 ,0 y x y x 则 1 3 + + = x y z的取值范围是（） A ． )7,4 3 ( B ．??????5,32 C ．?? ????7,3 2 D ．?? ????7,4 3 【答案】D 【解析】作出如右图所示的可行域，由于13 ++=x y z 的几何意义是可行域内的点P(x,y)与点(-1,-3)连续的斜率，数形结合，可知3 3 , ,7,[,7]4 4 PA PB PA PB k z k k k z ≤≤==∴∈,应选D 4．设,x y ∈R 且满足1230x x y y x ≥?? -+≥??≥? ，则2z x y =+的最小值等于 ( ) A. 2 B. 3 C.5 D. 9 【答案】B 【解析】解：因为设,x y ∈R 且满足满足1 230 x x y y x ≥?? -+≥??≥? 故其可行域为 当直线Z=x+2y 过点（1，1）时，z=x+2y 取最小值3， 故选B 5．若实数，满足条件则的最大值为（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】A 【解析】作出如右图所示的可行域，当直线z=2x-y 过点A 时，Z 取得最大值.因为A(3,-3)，所以Z max =23(3)9?--=,故选A. x y 0,30,03,x y x y x +≥?? -+≥??≤≤? 2x y -9303- 一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题 1. 设变量x 、y 满足约束条件?? ? ??≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。 二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题 2. 已知1,10,220x x y x y ≥?? -+≤??--≤? 则22x y +的最小值是 。 3. 已知变量x ，y 满足约束条件+201-70x y x x y -≤??≥??+≤? ，则 y x 的取值范围是（ ）. A. [95，6] B.（－∞，9 5 ]∪[6，＋∞） C.（－∞，3]∪[6，＋∞） D. [3，6] 三、 研究线性规划中的整点最优解问题 4. 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件?? ? ??≤≥+-≥-.112,932, 22115x y x y x 则1010z x y =+的最大 值是 。 四、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题 5. 已知变量x ，y 满足约束条件14 22x y x y ≤+≤??-≤-≤? 。若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处 取得最大值，则a 的取值范围为 。 6. 已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥?? -+≤??≤? ，使z=x+a y (a >0) 取得最小值的最优解有无数个，则a 的 值为（ ） A. －3 B. 3 C. －1 D. 1 五、求可行域的面积 7. 不等式组260302x y x y y +-≥?? +-≤??≤? 表示的平面区域的面积为 （ ） A. 4 B. 1 C. 5 D. 无穷大 解析： 图1 如何认识线性规划实际问题中有关最优解的精确问题 课本线性规划第二节，提到两个实际问题，一个要求将最优解精确到0.1，一个要求将最优解是整数，如果说师生们对例4的答案还可接受的话，那么，例3到最后四舍五入式的解答实在让人难以把握，况且最优解应为（12.3，34.5），那么关于这种最优解需要得到精确的题目有没有统一的解答步骤，我的回答是有。 在实际问题中，可行域一般都是一整片区域不存在间断现象，所以题目所要求的最优解无论精确到0.1还是精确到0.01，符合要求的最优解都确实存在在可行域中，我们要做的应该是把它找出来，而不是通过任何手段去精确。如何才能把它找出来呢？我的办法是，不考虑x、y需要精确的要求，先依其他条件列出不等式组，作出可行域，求出符合题中其他条件的最优解，然后看此最优解是否符合题目要求，若符合，则即为所求解．若不符合，则应继续滑动参照线，求出经过可行域内的符合要求的且与原点距离最远（或最近）的点的直线，在该线经过可行域的部分上寻找最优解即可。具体操作请看以下示范 课本例3、某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1t需消耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品1t需消耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t。每1 t甲种产品的利润是600元，每1 t甲种产品的利润是1000元。工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t、B种矿石不超过200t、煤不超过360t。甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1t），能使利润总额达到最大？ 解：设生产甲、乙两种产品分别为x t、y t，利润总额为z元，那么 104300542004936000 x y x y x y x y +≤??+≤?? +≤??≥?≥?? Z=600x+1000y 作直线l ：600x+1000y=0 即直线l ：3x+5y=0 把直线l 向右上方平移，使其划过可行域，此时3x+5y>0 当直线经过点M 3601000 (,)2929时3x+5y 达到最大,即z 也达到最大， 此时3x+5y=6080 29 ≈209.655, 若要将最优解精确到0.1，需将直线向回平移到3x+5y=209.6 由35209.649360 x y x y +=??+=? 得到3x+5y=209.6与可行域左边界的交点A （12.343,34.514） 由35209.654200x y x y +=??+=? 得到3x+5y=209.6与可行域右边界的交 点B （12.431,34.462） 可知有可能成为最优解的点的横坐标为12.4 代入3x+5y=209.6得到纵坐标约为34.48，不符合题目精确到0.1要求 2017 高考全国卷及自主招生数学高考真题 线性规划专题真题整理（附答案解析） x 3y 3, 1. （ 17 全国卷 I ，文数 ）设 x ，y 满足约束条件 x y 1, 则 z=x+y 的最大值为（ ） 7 y 0, A ． 0 B ． 1 C ．2 D ．3 答案： D 解析：如图，由图易知当目标函数 z x y 经过 直线 x 3 y 3 和 y 0 （即 x 轴）的交点 A(3,0) 时， z 能取到最大值，把 A(3,0) 代入 z=x+y 可得 z max 3 0 3 ，故选 D. x 2 y 1 2.（17 全国卷 I, 理数 14 题）设 x ，y 满足约束条件 2x y 1，则 z 3x 2 y 的最小值 x y 0 为 答案： 5 x 2 y 1 解析：不等式组 2x y 1 表示的平面区域如图所示。 x y 0 由 z 3x 2 y 变形得 y 3 x z 。要求 z 的最小值， 2 2 即求直线 y 3 x z 的纵截距的最大值。由右图，易知 2 2 当直线 y 3 x z 过图中点 A 时，纵截距最大。 2 2 联立方程组 2 x y 1 ，此时 z 3(1) 2 1 5 。 x 2 y 1 ，解得 A 点坐标为 ( 1,1) 故 z 3x 2 y 的最小值是 -5. 2x+3y 30 3. （17 全国卷Ⅱ，文数 7、理数 5）设 x、y 满足约束条件2x 3 y 3 0 .则z2x y的 y 30 最小值是（） A.-15 C.1D9 答案： A 2x+3y 30 解析：不等式组2x 3y 30 表示的可行域如图所示， y30 易知当直线z 2x y 过到y 2 x 1与 y 3 交点 3 6 ，3 时，目标函数 z2x y 取到最小值，此时有 z min 26315 ，故所求z 最小值为15． ）设，满足约束条件 3x 2 y60 的取值范围是 4. （17 全国卷Ⅲ，文数 5 x0，则 z=x-y x y y0 () A.[-3,0] B.[-3,2] C.[0,2] D.[0,3] 答案： B 解析：绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数 的几何意义可得目标函数z x y 在直线3x 2y 60 与= - 直线 x0 （即x 轴）的交点A0,3处取得最小值， 此时 z min0 3 3。在点B2,0处取得最大值，此时 z max 2 0 2 . 故本题选择 B 选项 . 5.（17 全国卷Ⅲ，理数13）若 x，y 满足约束条件x y 0 x y 2 0 则z3x 4 y 的最小值为y 0 ________． 线性规划常见题型及解法 线性规划是新教材中新增的内容之一，由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、若x、y满足约束条件 2 2 2 x y x y ≤ ? ? ≤ ? ?+≥ ? ，则z=x+2y的取值范围 是（） A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A 二、求可行域的面积 例2、不等式组 260 30 2 x y x y y +-≥ ? ? +-≤ ? ?≤ ? 表示的平面区域的面积为（） A、4 B、1 C、5 D、无穷大 解：如图，作出可行域，△A B C的面积即为所求，由梯形OM B C的面积减去梯形OM A C的面积即可，选B 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（） A、9个 B、10个 C、13个 D、14个 解：|x|＋|y|≤2等价于 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥ ? ?-≤≥ ? ? -+≤≥? ?--≤ ? 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D 四、求线性目标函数中参数的取值范围 例4、已知x、y满足以下约束条件 5 50 3 x y x y x +≥ ? ? -+≤ ? ?≤ ? ，使z=x+ay(a>0)取得 最小值的最优解有无数个，则a的值为（） A、－3 B、3 C、－1 D、1 解：如图，作出可行域，作直线l：x+a y＝0，要使目标函数z=x+a y(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选 D 五、求非线性目标函数的最值 用“线性规划问题的最优解在边界上”简解高考题 线性规划问题是指在线性约束条件(即关于变量y x ,的二元一次不等式或不等式组)下，求线性目标函数by ax z +=的最大值或最小值问题.在线性规划问题中，满足线性约束条件的解),(y x 叫做可行解，可行解的集合叫做可行域(可行域的边界是直线、射线或线段)，使目标函数取得最值的可行解叫做这个线性规划问题的最优解.求解线性规划问题，通常是通过平移初始直线0=+by ax 来解决的，所以有下面的结论： (1)若线性规划问题存在最优解，则最优解一定在边界上. (2)若目标函数by ax z +=在两个不同的点B A ,处均取到最大值或均取到最小值，则初始直线0=+by ax 与直线AB 平行(此时线段AB 一定是可行域的边界，且线段AB 上的所有点都是最优解). (3)若可行域有凸顶点，则目标函数在可行域的所有凸顶点处的函数值中的最大(小)值就是目标函数的最大(小)值. 下面用这些结论简解几道线性规划题. 题1 (2015年高考山东卷理科第6题)已知x ，y 满足约束条件?????x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0. 若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( ) A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－3 解 B.题中的可行域为图1中的OAB ?(其顶点坐标分别是)0,2(),1,1(),0,0(B A O )及其内部的区域. 图1 再由结论(3)，可得3=a 或2.再检验，得2=a . 题2 (2015年高考福建卷文科第10题)变量x ，y 满足约束条件?????x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0. 若z ＝ 第2讲 不等式与线性规划 考情解读 1．在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题. 2．多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中档题． 1．四类不等式的解法 （1）一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． （2）简单分式不等式的解法 ①变形?f (x )g (x )>0(<0)?f (x )g (x )>0(<0)；②变形?f (x ) g (x )≥0(≤0)?f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. （3）简单指数不等式的解法 ①当a >1时，a f (x )>a g (x )?f (x )>g (x )；②当0a g (x )?f (x )(完整版)简单的线性规划问题(附答案)
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