1.已知：x=0.1011,y=-0.0101,求：[（1/2）x]
补，[(1/4)x]
补
,[-x]
补
,[(1/2)y]
补,[(1/4)y]
补
,[-y]
补
。
2.把十进制数x=（+128.75）×2-10写成浮点表示的机器数，阶码、尾数分别用
原码、反码和补码表示。设阶码4位，阶符1位，尾数15位，尾数符号1位。
3.设机器字长位16位，定点表示时，尾数15位，数符1位；浮点表示时，阶码5位，阶符1位，数符1位，尾数9位。
（1）定点原码整数表示时，最大正数为多少？最小负数为多少？
（2）定点原码小数表示时，最大正数为多少？最小负数为多少？
（3）浮点原码表示时，最大浮点数为多少？最小浮点为多少？
4.设用补码表示的二进制浮点数，阶符1位，阶码2位，尾数5位（包含1位符号位）。算出：
（1）最大正数是多少？
（2）最小正数是多少？
（3）最大负数是多少？
（4）最小负数是多少？
注：零除外，用十进制表示结果。
5.某浮点数基值为2（即阶码的底），阶符1位，阶码3位，数符1位，尾数7位，阶码和尾数均用补码表示，且尾数采用规格化表示。它所能表示的最大正数真值是多少？非零最小正数真值是多少？绝对值最大的负数真值是多少？绝对值最小的负数真值是多少？
6.定点整数字长8位，当采用原码表示时[x]
原
的最大正值是多少？最小负数是多
少？若采用补码表示，则[x]
补
的最大正数是多少？最小负数是多少？
7.已知三个十进制数：x=-41,y=+101,z=-101。试以8位二进制数的形式（最高位为符号位）写出它们的原码、反码和补码，用补码计算x+y和x+z，并讨论结果的正确性。
8.已知x和y，采用单符号位求[x+y]
补
，指出结果是否溢出。
（1）x=0.11001，y=0.00111。
（2）x=0.11001，y=-0.10111。
9.已知x和y，采用单符号位求[x-y]
补
,指出结果是否溢出。
（1）x=0.11011，y=-0.10010。
（2）x=-0.01111，y=0.00101。
10.用补码运算方法求x+y=?
(1)x=0.1001，y=0.1100。
(2)x=-0.0100，y=0.1001。
11.用补码运算方法求x-y=?
(1)x=-0.0100，y=0.1001。
(2)x=-0.1011，y=-0.1010。
12.已知x=+0.1101，y=-0.1011。用原码一位乘法求x*y=?并估算乘法总时间。
13.已知x=0.1010，y=-0.0110。用补码一位乘法步骤计算x*y=?并估算乘法总时间。
14.已知x=0.10110，y=0.11111，用原码加减交替法计算x÷y=?并估算除法总时间。
15.已知x=0.10110，y=0.11111，用补码加减交替法计算x÷y=?并估算除法总时间。
16.设有两个十进制数：x=-0.875×21，y=0.625×22。
(1)将x，y的尾数转换为二进制补码形式。
(2)设阶码2位，阶符1位，数符1位，尾数3位。通过补码运算规则求出z=x-y 的二进制浮点规格化结果。
17.设有两个浮点数x=2Ex×S
x ，y=2Ev×S
y
，E
x
=(-10)
2
，S
x
=(+0.1001)
2
，若尾数4
位，数符1位，阶码2位，阶符1位，求x+y=?并写出运算步骤及结果。
18.设有两个浮点数N
1=2j1×S
1
,N
2
=2j2×S
2
,其中阶码2位，阶符1位，尾数4位。
数符1位，设
j 1=(-10)
2
，S
1
=(+0.1001)
2
j 2=(+10)
2
，S
2
=(+0.1011)
2
求：N
1×N
2
,写出运算步骤及结果，积的尾数占4位，要规格化结果，用原码一位
乘法求尾数之积。
19.已知两个浮点数：
x=0011,01001
y=1111,01011
阶码用以2为基的4位补码表示，其中最高位为阶符。尾数用6位原码表示，其中最高位为数符。列出求x/y 的运算步骤，并对结果进行规格化及舍入处理。
20.已知x=11011011,y=00101100。求：
(1)x y=? (2)x ∧y=?
(3)x ∨y=?
(4 ) =?
⊕
x y
∨
计算机处理的数值数据多数带有小数，小数点在计算机常有两种表示方法，一种是约定所有数值数据的小数点隐含在某一个固定位置上，称为定点表示法，简称定点数；另一种是小数点位置可以浮动，称为浮点表示法，简称浮点数。 1. 定点数表示法(fixed-point) 所谓定点格式，即约定机器中所有数据的小数点位置是固定不变的。在计算机常采用两种简单的约定：将小数点的位置固定在数据的最高位之前，或者是固定在最低位之后。一般常称前者为定点小数，后者为定点整数。 定点小数是纯小数，约定的小数点位置在符号位之后、有效数值部分最高位之前。若数据x的形式为x=x0.x1x2… xn(其中x0为符号位，x1～xn是数值的有效部分，也称为尾数，x1为最高有效位)，则在计算机中的表示形式为： 一般说来，如果最末位xn= 1，前面各位都为0，则数的绝对值最小，即|x|min= 2-n。如果各位均为1，则数的绝对值最大，即|x|max=1-2-n。所以定点小数的表示围是：
2-n≤|x|≤1 -2-n 定点整数是纯整数，约定的小数点位置在有效数值部分最低位之后。若数据x的形式为x=x0x1x2…xn(其中x0为符号位，x1～xn是尾数，xn为最低有效位)，则在计算机中的表示形式为： 定点整数的表示围是： 1≤|x|≤2n-1 当数据小于定点数能表示的最小值时，计算机将它们作0处理，称为下溢；大于定点数能表示的最大值时，计算机将无法表示，称为上溢，上溢和下溢统称为溢出。 计算机采用定点数表示时，对于既有整数又有小数的原始数据，需要设定一个比例因子，数据按其缩小成定点小数或扩大成定点整数再参加运算，运算结果，根据比例因子，还原
数的产生、十进制计数法 教学内容： 人教版小学数学四年级上册课本第16---18页内容。 教学目标： 1．让学生认识“数”的产生和发展历史。 2．让学生体会“数”是随着人类生活、生产及社会的发展逐步发展和完善 的过程。 3．认识自然数的概念与特点，感受数学文化的内涵。 4．认识亿级的计数单位，以及相邻两个计数单位之间的关系。 5．让学生“扩建”数位顺序表，总结出“十进制计数法”。 教学重点： 1.认识自然数的概念与特点。 2.认识计数单位与数位、数级的知识，及相邻两个计数单位之间的关系。 3.了解“十进制计数法”的意义。 教学难点： 理解“十进制计数法”的意义。 教学模式： 导、学、议、练 教法学法： 先学后教，当堂训练 教学过程： 一、导 1．谈话导入 师：同学们，通过前几节课的学习，我们认识了生活中的大数，看来有关“数”的知识真不少，我们的生活也和数字密不可分。今天，我们就来研究数是怎样产生的和有关数的其他知识。 （板书课题：数的产生和十进制计数法） 2.出示学习目标 （1）认识“数”的产生和发展历史。
（2）认识自然数的概念与特点。 （3）理解十进制记数法。 二、学、议 1.出示自学提示（一） 师：请同学们带着以下问题自学课本 16 页。 （1）数是何时产生的？ （2）对于古人用这样的方法记数你有什么想法？ （3）各个国家曾采用什么样的符号记数，有哪些好处和不足？ （4）现在通用的数字是什么？ 2.议 师：同学们，这些内容是不是很有趣，你找到答案了吗？ 谁来跟大家讲一讲你了解的内容。 （1）学生汇报问题 1： 古时候，人们在生产劳动中，逐渐有了记数的需要，所以产生了数。 师追问：古时候有什么记数的方法？ 学生回答：用实物记数结绳记数刻道记数 师：你觉得这些方法怎么样？ （2）学生汇报问题 2： 用起来不方便，记录小数还可以，较大的数就很麻烦了。 师：所以各个国家都有了自己的记数方法，你觉得他们的方法都怎么样？ （3）学生汇报问题 3： 没有统一的方法也不方便互相交流。 师：那现在呢？ （4）学生汇报问题 4： 经过很长时间才逐步统一成现在用的阿拉伯数字。就像我们现在用的： 1、2、3、4 师小结：同学们真棒，我们了解了数的产生，那你觉得阿拉伯数字用着方便吗？（方便）它有什么特点你想知道吗？ 3.出示自学提示（二） 课本第 17 页有我们想知道的秘密：
浮点数的表示和基本运算 1 浮点数的表示 通常，我们可以用下面的格式来表示浮点数 S P M 其中S是符号位，P是阶码，M是尾数 对于IBM-PC而言，单精度浮点数是32位（即4字节）的，双精度浮点数是64位（即8字节）的。两者的S，P，M所占的位数以及表示方法由下表可知 S P M表示公式偏移量 1823(-1)S*2(P-127)*1.M127 11152(-1)S*2(P-1023)*1.M1023 以单精度浮点数为例，可以得到其二进制的表示格式如下 S(第31位)P(30位到 23位) M(22位到 0位) 其中S是符号位，只有0和1，分别表示正负；P是阶码，通常使用移码表示（移码和补码只有符号位相反，其余都一样。对于正数而言，原码，反码和补码都一样；对于负数而言，补码就是其绝对值的原码全部取反，然后加1.） 为了简单起见，本文都只讨论单精度浮点数，双精度浮点数也是用一样的方式存储和表示的。 2 浮点数的表示约定 单精度浮点数和双精度浮点数都是用IEEE754标准定义的，其中有一些特殊约定。 （1） 当P = 0, M = 0时，表示0。 （2） 当P = 255, M = 0时，表示无穷大，用符号位来确定是正无穷大还是负无穷大。
（3） 当P = 255, M != 0时，表示NaN（Not a Number，不是一个数）。 当我们使用.Net Framework的时候，我们通常会用到下面三个常量 Console.WriteLine(float.MaxValue); // 3.402823E+38 Console.WriteLine(float.MinValue); //-3.402823E+38 Console.WriteLine(float.Epsilon); // 1.401298E-45 //如果我们把它们转换成双精度类型，它们的值如下 Console.WriteLine(Convert.ToDouble(float.MaxValue)); // 3.40282346638529E+38 Console.WriteLine(Convert.ToDouble(float.MinValue)); //-3.40282346638529E+38 Console.WriteLine(Convert.ToDouble(float.Epsilon)); // 1.40129846432482E-45 那么这些值是如何求出来的呢？ 根据上面的约定，我们可以知道阶码P的最大值是11111110（这个值是254，因为255用于特殊的约定，那么对于可以精确表示的数来说，254就是最大的阶码了）。尾数的最大值是11111111111111111111111。 那么这个最大值就是：0 11111110 11111111111111111111111。 也就是 2(254-127) * (1.11111111111111111111111)2 = 2127 * (1+1-2-23) = 3.40282346638529E+38 从上面的双精度表示可以看出，两者是一致的。最小的数自然就是- 3.40282346638529E+38。 对于最接近于0的数，根据IEEE754的约定，为了扩大对0值附近数据的表示能力，取阶码P = -126，尾数 M = (0.00000000000000000000001)2 。此时该数的二进制表示为：0 00000000 00000000000000000000001 也就是2-126 * 2-23 = 2-149 = 1.40129846432482E-45。这个数字和上面的Epsilon 是一致的。 如果我们要精确表示最接近于0的数字，它应该是 0 00000001 00000000000000000000000 也就是：2-126 * (1+0) = 1.17549435082229E-38。 3 浮点数的精度问题 浮点数以有限的32bit长度来反映无限的实数集合，因此大多数情况下都是一个近似值。同时，对于浮点数的运算还同时伴有误差扩散现象。特定精度下看似
浮点算法转换成硬件定点算法中的问题 回北京航空航天大学唐清贵夏宇闻 引言 DSP和FPGA是信号处理工程设计领域发展最快的两个分支G目前9它们的应用非常普及9但是要开发出占用资源少9运行速度快的高质量硬件体系结构比较困难G 在通常情况下9算法的硬件实现都需要采用定点运算并考虑并行结构G 但是在实际的许多应用中9比如图像处理\语音压缩等9需要进行大量复杂的数据运算9而且对数据的精度及动态范围都要求比较高9所以9算法模型大多都以浮点数为基础G另一方面9浮点算法在硬件实现上有相当大的难度9不仅占用的系统资源较多9而且硬件运行的速度也较慢9在很多场合下不能很好地满足系统实时性的要求G因此9电子工程师为了提高系统的性能9一般都会先对浮点算法进行仔细的分析9结合工程的实际要求9综合考虑诸多因素9然后再将其转化为定点算法并通过硬件来实现G 因此9如何使转化后的算法在硬件上能正确地运行是设计开发人员特别关心的问题G解决该问题的唯一途径就是使处理后的数据保持系统要求的精度和动态范围9否则就会因为数据处理不当9使系统产生莫名奇妙的故障9从而导致系统的失败G在遇到此类问题时9务必要谨慎对待9以免造成不可估量的损失G 1浮点与定点运算的比较 在开发过程中9必须要对应用的数据精度及动态范围有清楚的认识9并在开始设计硬件结构前9先进行算法定点化的研究工作9严格按照工程设计的实际需求在数学运算上对算法进行数字定点化处理并计算验证G只有这样9才能保证最终设计的硬件体系结构产生的运算结果符合设计需求G 为了更好的说明如何成功的完成浮点算法向定点算法的转化9首先对浮点数和定点数进行简要回顾G 浮点数由三部分组成C指数部分\尾数部分和符号位9如图l所示G图l中T\l分别为指数和尾数的位宽9浮点 数据的数值U f p 表示为C U f p =(_l)S"U s"Z U e 其中9S为符号位的值9U s为尾数的数值9U e是指数的数值G在I EEE754标准中9单精度浮点指数位数为89尾数位数为Z39还有l位符号位G数据绝对值最小可以是Z.O>l O-389最大可以是Z.O>l O+389双精度浮点指数位数为l l9尾数位数为5Z9同样也有l位符号位G数据绝对值最小可以是Z.O>l O-3O89最大可以是Z.O>l O+3O8G 定点数的表示方法和浮点数相对应9数据直接用二进制表示9且小数点在数据的位置固定G和浮点数相比9它的运算简单9没有浮点数尾数对齐和归一化问题G因此9在硬件上实现以定点数为基础的算法占用的面积少\性能高9故定点运算是信号处理硬件实现中最常用的一种方式G但是9由于定点数表示的范围远远小于浮点数9所以在实现过程可能会有许多的隐患9如在运算过程中9经常会碰到溢出问题和病态方程等问题G 2精度处理策略 根据上面的分析9可以看到9浮点算法与定点算法主要的不同之处在于算法中的数据精度和动态范围G因此9只要解决了转化后由于数据的精度和动态范围减小引起的问题9那就等于解决了算法的转化问题G 目前9为了保证转化后的算法能正确地实现系统功能9对数据精度处理的方法主要有舍弃最低位和采用最大字长等G前者以损失精度来保证计算中的无溢出9但是得到的结果往往与实际值有一定的差距9从而使系统在很多情况下不能稳定地运行S后者通过应用分析找出所需数据的最大字长(该字长为运算中精度无损失条件下数据的长度)9然后再以最大字长的方式进行算法中所有数据的运算9该方法虽然保证了计算结果的正确和精度9但是它的缺点在于造成了资源的巨大浪费9限制了硬件运行速度的提高9因为实现算法中的某些运算所需的字长远远小于最大字长G最佳的转化应该是使处理后算法中的数据既能 图 1 Z OO5.lZ M icrocontrollers Embedded S y ste ms75
黑洞数 黑洞数又称陷阱数,是类具有奇特转换特性的整数。 任何一个数字不全相同整数,经有限“重排求差”操作,总会得某一个或一些数,这些数即为黑洞数。"重排求差"操作即组成该数得排后的最大数去重排的最小数。 举个例子，三位数的黑洞数为495 简易推导过程：随便找个数，如297，三个位上的数从小到大和从大到小各排一次，为972和279，相减，得693 按上面做法再做一次，得到594，再做一次，得到495 之后反复都得到495 再如，四位数的黑洞数有6174 但是，五位数及五位以上的数还没有找到对应的黑洞数 神秘的6174－黑洞数 随便造一个四位数，如a1=1628,先把组成部分1628的四个数字由大到小排列得到a2＝8621，再把1628的四个数字由小到大排列得a3＝1268，用大的减去小的a2-a1=8621-1268＝7353，把7353按上面的方法再作一遍，由大到小排列得7533，由小到大排列得3357，相减7533-3367＝4176 把4176再重复一遍：7641-1467＝6174。 如果再往下作，奇迹就出现了！7641-1467＝6174，又回到6174。 这是偶然的吗？我们再随便举一个数1331，按上面的方法连续去做： 3311-1133＝2178 8721-1278＝7443 7443-3447＝3996 9963-3699＝6264 6624-2466＝4174 7641-1467＝6174 好啦！6174的“幽灵”又出现了，大家不妨试一试，对于任何一个数字不完全的四位数，最多运算7步，必然落入陷阱中。 这个黑洞数已经由印度数学家证明了。 在数学中由有很多有趣，有意义的规律等待我们去探索和研究，让我们在数学中得到更多的乐趣。 苏联的科普作家高基莫夫在他的著作《数学的敏感》一书中，提到了一个奇
一、状态寄存器 PSW（Program Flag)程序状态字寄存器，是一个16位寄存器，由条件码标志（flag）和控制标志构成，如下所示： 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 OF DF IF TF SF ZF AF PF CF 条件码： ①OF（Overflow Flag)溢出标志。溢出时为1,否则置0。 ②SF（Sign Flag）符号标志。结果为负时置1,否则置0. ③ZF（Zero Flag)零标志，运算结果为0时ZF位置1,否则置0. ④CF（Carry Flag)进位标志，进位时置1,否则置0. ⑤AF（Auxiliary carry Flag）辅助进位标志，记录运算时第3位（半个字节）产生的进位置。有进位时1,否则置0. ⑥PF（Parity Flag）奇偶标志。结果操作数中1的个数为偶数时置1,否则置0. 控制标志位： ⑦DF（Direction Flag）方向标志，在串处理指令中控制信息的方向。 ⑧IF（Interrupt Flag）中断标志。 ⑨TF（Trap Flag）陷井标志。 二、直接标志转移（8位寻址） 指令格式机器码测试条件如...则转移 JC 72 C=1 有进位 JNC 73 C=0 无进位 JZ/JE 74 Z=1 零/等于 JNZ/JNE 75 Z=0 不为零/不等于 JS 78 S=1 负号 JNS 79 S=0 正号 JO 70 O=1 有溢出 JNO 71 O=0 无溢出 JP/JPE 7A P=1 奇偶位为偶 JNP/IPO 7B P=0 奇偶位为奇 三、间接标志转移（8位寻址） 指令格式机器码测试格式如...则转移 JA/JNBE(比较无符号数) 77 C或Z=0 > 高于/不低于或等于 JAE/JNB(比较无符号数) 73 C=0 >=高于或等于/不低于 JB/JNAE(比较无符号数) 72 C=1 < 低于/不高于或等于
一ＤＳＰ定点算数运算 1 数的定标 在定点DSP芯片中,采用定点数进行数值运算,其操作数一般采用整型数来表示。一个整型数的最大表示范围取决于DSP芯片所给定的字长,一般为16位或24位。显然,字长越长,所能表示的数的范围越大,精度也越高。如无特别说明,本书均以16位字长为例。 DSP芯片的数以2的补码形式表示。每个16位数用一个符号位来表示数的正负,0表示数值为正,l则表示数值为负。其余15位表示数值的大小。因此, 二进制数0010000000000011b=8195 二进制数1111111111111100b= -4 对DSP芯片而言,参与数值运算的数就是16位的整型数。但在许多情况下,数学运算过程中的数不一定都是整数。那么,DSP芯片是如何处理小数的呢？应该说,DSP芯片本身无能为力。那么是不是说DSP芯片就不能处理各种小数呢？当然不是。这其中的关键就是由程序员来确定一个数的小数点处于16位中的哪一位。这就是数的定标。 通过设定小数点在16位数中的不同位置,就可以表示不同大小和不同精度的小数了。数的定标有Q表示法和S表示法两种。表1.1列出了一个16位数的16种Q表示、S表示及它们所能表示的十进制数值范围。 从表1.1可以看出,同样一个16位数,若小数点设定的位置不同,它所表示的数也就不同。例如, 16进制数2000H=8192,用Q0表示 16进制数2000H=0.25,用Q15表示 但对于DSP芯片来说,处理方法是完全相同的。 从表1.1还可以看出,不同的Q所表示的数不仅范围不同,而且精度也不相同。Q越大,数值范围越小,但精度越高;相反,Q越小,数值范围越大,但精度就越低。例如,Q0 的数值范围是一32768到+32767,其精度为1,而Q15的数值范围为-1到0.9999695,精度为1/32768=0.00003051。因此,对定点数而言,数值范围与精度是一对矛盾,一个变量要想能够表示比较大的数值范围,必须以牺牲精度为代价;而想精度提高,则数的表示范围就相应地减小。在实际的定点算法中,为了达到最佳的性能,必须充分考虑到这一点。 浮点数与定点数的转换关系可表示为： 浮点数(x)转换为定点数(xq)：xq=(int)x* 2Q 定点数(xq)转换为浮点数(x)：x=(float)xq*2-Q 例如,浮点数x=0.5,定标Q=15,则定点数xq=[0.5*32768]=16384,式中[]表示下取整。反之,一个用Q=15表示的定点数16384,其浮点数为16384/2e15=16384/32768=0.5。浮点数转换为定点数时,为了降低截尾误差,在取整前可以先加上0.5。 表1.1 Q表示、S表示及数值范围 Q表示 S表示十进制数表示范围 Q15 S0.15 -1≤x≤0.9999695 Q14 S1.14 -2≤x≤1.9999390 Q13 S2.13 -4≤x≤3.9998779 Q12 S3.12 -8≤x≤7.9997559 Q11 S4.11 -16≤x≤15.9995117 Q10 S5.10 -32≤x≤31.9990234 Q9 S6.9 -64≤x≤63.9980469 Q8 S7.8 -128≤x≤127.9960938 Q7 S8.7 -256≤x≤255.9921875
第周星期第节 科学是美丽的 教学目标 1．通过研读课文，学习作者从表达中心出发，着重领会科学家、艺术家以多种形式展示科学之美的实例，从而使读者间接感受中心论点的论证方法。 2．了解课文的结构，理解议论文中以叙述为主，夹叙夹议的写法。 3．通过本文的学习，引导学生感受科学之美，从而转变对科学的认识，激发探索科学奥秘的兴趣。 教学重点 整体感知全文，体会科学之美；学习科技文研读的方法。 教学难点 1．学习科技文的论证方法。 2．理解议论文中以叙述为主，夹叙夹议的写法。 教学方法 质疑法、讨论法、自主探究法、电教法 教学工具 多媒体 教学课时 两课时 教学过程 第一课时 一、导入 一提到科学，我们就会觉得深奥、难懂、枯燥，一讲到科学家比如爱因斯坦，我们脑子里立刻会浮现出一个白发怒张，皱纹满脸的形象。可是也有人说，科学是美丽的。那么，科学到底美不美呢？ 二、质疑科学美 1．教师列举例子： 19世纪英国著名诗人济慈认为牛顿用三棱镜将太阳光分解成红、橙、黄、绿、青、蓝、紫的光谱，使彩虹的诗意丧失殆尽。因此他说，科学不仅不美，还会破坏美感。 自古以来，明月被诗人反复吟咏，写出了许多美丽的诗篇。明间也有不少关于月宫的浪漫传说：玉兔捣药，吴刚伐桂，嫦娥奔月……这些故事千古流传，脍炙人口。可1969年阿波罗号首次载人登月成功，传回的月球表面照片却是坑坑洼洼、像一张麻脸。更煞风景的是，什么玉兔、嫦娥、桂花树等等全属子虚乌有。 2．学生讨论：科学到底美不美？ 3．教师归纳： 巡天归来再赏月，“天上一轮才捧出”的玉盘忽然变成了大麻脸，固然扫兴。但阿姆斯特朗从登月仓中跨出第一步踏上月球时，说：“我的一小步，人类的一大步。”人类自古梦想登天，如今美梦成真，这难道不美吗？至于玉兔、吴刚、嫦娥，其实也并未真的失去。美国太空总署于1998年3月5日宣布勘探号太空船在月球南北极地表下找到大量冰态水。 三、感受科学美 1．学生阅读文章，找出作者所说的科学美，教师展示相应图片加以印证。 原子中的电子云具有“云深不知处”的朦胧美。 生命之源叶绿素的神秘美。
计算机处理的数值数据多数带有小数，小数点在计算机中通常有两种表示方法，一种是约定所有数值数据的小数点隐含在某一个固定位置上，称为定点表示法，简称定点数；另一种是小数点位置可以浮动，称为浮点表示法，简称浮点数。 1. 定点数表示法(fixed-point) 所谓定点格式，即约定机器中所有数据的小数点位置是固定不变的。在计算机中通常采用两种简单的约定：将小数点的位置固定在数据的最高位之前，或者是固定在最低位之后。一般常称前者为定点小数，后者为定点整数。 定点小数是纯小数，约定的小数点位置在符号位之后、有效数值部分最高位之前。若数据x的形式为x=x0.x1x2… xn(其中x0为符号位，x1～xn是数值的有效部分，也称为尾数，x1为最高有效位)，则在计算机中的表示形式为： 一般说来，如果最末位xn= 1，前面各位都为0，则数的绝对值最小，即|x|min= 2-n。如果各位均为1，则数的绝对值最大，即|x|max=1-2-n。所以定点小数的表示范围是：
2-n≤|x|≤1 -2-n 定点整数是纯整数，约定的小数点位置在有效数值部分最低位之后。若数据x的形式为x=x0x1x2…xn(其中x0为符号位，x1～xn是尾数，xn为最低有效位)，则在计算机中的表示形式为： 定点整数的表示范围是： 1≤|x|≤2n-1 当数据小于定点数能表示的最小值时，计算机将它们作0处理，称为下溢；大于定点数能表示的最大值时，计算机将无法表示，称为上溢，上溢和下溢统称为溢出。 计算机采用定点数表示时，对于既有整数又有小数的原始数据，需要设定一个比例因子，数据按其缩小成定点小数或扩大成定点整数再参加运算，运算结果，根据比例因子，还原
浮点转定点方法总结 —孔德琦
目录 定点运算方法................................................ 错误!未定义书签。 数的定标 ............................................... 错误!未定义书签。 C语言：从浮点到定点 ................................. 错误!未定义书签。 加法.................................................... 错误!未定义书签。 乘法..................................................... 错误!未定义书签。 除法..................................................... 错误!未定义书签。 三角函数运算............................................ 错误!未定义书签。 开方运算................................................ 错误!未定义书签。 附录...................................................... 错误!未定义书签。 附录1：定点函数库...................................... 错误!未定义书签。 附录2：正弦和余弦表..................................... 错误!未定义书签。
《设计自己的运算程序》课堂实录 初一数学组 1.知识与技能：通过给定的运算程序，经过计算得到四位数的“黑洞数”，以及三位数的黑洞数等；总结出“黑洞数”的规律。 2.能力目标：培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和计算能力. 3.情感与态度：能够在解决问题的过程中与人合作和进行交流，并在交流过程 中对自己的观点进行有条理的论述，增强学习数学的信心和兴趣。 师：刚上课老师想请一位同学，上台和老师一起玩一个游戏，其余的同学在下面也可以同时参与！这个游戏的名字叫做“神秘读心术”（出示课件）你准备好了吗？请你来试试！ 【设计意图】通过游戏，提高了学生的学习兴趣，同时也教会学生，数学有时可以在玩中学！ 生：（深呼一口气）准备好了！ 师：请你在心里任意想一个两位数，请把这个数的十位与个位数字相加，再用两位数减去它们的和，然后把所得的新两位数个位和十位数字再次相加，然后再减去这个和，然后再相加，一直这样重复下去，直到所得的数不是两位数了为止。 【设计意图】台上台下齐互动，真正做到了全员参与的目的，这也是新课标理念的体现，同时此环节也为后面的内容做了铺垫。 （2分钟后，全班都完成） 师：大家都算完了吧！我虽然不知道你心里想的两位数是多少，但我知道你最后的计算结果是多少？先问问台下的同学他们的答案和你一样吗？ 生1：你最终的计算结果是多少？ 生2：是9 生3: 9 生4：也是9 师：你心里的答案肯定也是9. 生1：是，为什么会出现这种结果，我们写的两位数都不一样，但最终的结果却是一样的。 师：很高兴你能大胆说出你的困惑和质疑，数学应该不仅知道是什么，更应学
会去探究为什么。学完这节课你就知道为什么了。谢谢你的配合，请回！师：其实刚才我们刚才进行的过程，有的同学可能两步就能完成，有的同学写的两位数比较大，可能需要好几步才能完成，无论几步，我们的目标都是一样的，其实这个过程就如同一种运算程序一样，循环往复的完成既定目标，这节课我们就来“设计自己的运算程序”（板书课题） 【设计意图】整个过程为学生提供一个思考探究的平台，在活动中体现归纳、猜想，感悟处理问题的方法和策略，积累数学活动的经验。 师：（出示课件）请同学们在练习本上“写下任何一个四位数，每个数位上的数字全都不相同，并重新排列各位上的数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的数减去最小的数，得到差，再重复这个过程……” 你会得到什么结果？你又会有怎样的想法？请同学们动手做一做，并把每 【设计意图】此环节给学生提供了具体的问题背景，该问题具有一定的开放性和探究性，为学生提供了一个很好的探究思考的平台，并在 具体活动中体现归纳，猜想，感悟处理问题的方法和策略，积 累数学活动的经验。 （学生开始做，教师开始巡视，并作指导） 生问：我按照刚才的程序计算，但所得的差中出现了数字0，我不知道该怎么办？ 师：问的很好，只要动手实践，就会遇到新的问题，有问题不可怕，请同学们思考他的问题，如果差中出现数字0，这是很有可能的,遇到0是该把0放在最高位，还是放到下一位。 生：我觉得应该放到下一位，因为小学老师教过0不能作最高位。 师：这是你的观点，谁还想谈你的看法。 生：我感觉应该按照程序的规则来进行，规则说的是按照从小到大的顺序排列，而0又是最小数，那就应该把最小数字0放到最高位。 师：这是你的观点，谁同意他的看法。 师：是的，我也同意这些同学的看法, 今天我们所学的“设计自己的运算程序” 必须要严格按照程序的规则一步一步的进行，程序要求从小到大排列，就必须从小到大排列，如果你把0放在下一位，那就不符合原定的程序了，所以如果遇到多得的差有数字0，再次排列时，就把0放在最高位上。师：现在大家懂了吗？
数的产生和十进制计数法 一、教学目标 1．通过介绍数的产生，给学生建立自然数的概念，并了解自然数的一些性质和特点；理解掌握十进制计数法的含义，认识含有三级数位的数位顺序表及相应的计数单位。 2．通过探索、思考、总结等活动，让学生体验数的产生过程。 3．使学生了解中国古代数学的伟大成就，激发学生的民族自豪感。 二、教学重点 让学生体验数的产生过程。 三、教学难点 理解掌握十进制计数法的意义。 四、教学用具 计数器、课件。 五、教学过程 （一）教学数的产生动画：数字的产生和演变 1．数的产生。【课件演示】（图片） 教师：很久以前，人们在生产劳动中就有了计数的需要。例如，人们出去打猎的时候，要数一数共出去了多少人，拿了多少件武器；回来的时候，要数一数捕获了多少只野兽等等，这样就产生了数。 2．计数符号、计数方法的产生。 教师出示第19页的主题图让学生看，进一步说明：在远古时代人们虽然有计数的需要，但是开始还不会用一、二、三……这些数词来数物体的个数。只知道“同样多”、“多”或“少”。那时人们只能借助一些其他物品，如在地上摆小石子、在木条上刻道、在绳上打结等方法来计数。比如，出去放牧时，每放出一只羊，就摆一个石子，一共出去了多少只羊，就摆多少个小石子；放牧回来时，再把这些小石子和羊一一对应起来，如果回来的羊的只数和小石子同样多，就说明放牧时羊没有丢。再如，出去打猎时，每拿一件武器，就在木棒上刻一道，一共拿了多少件就在木棒上刻多少道；打猎回来时，再把拿回来的武器和木棒上刻的道一一对应起来，看武器和刻道是不是同样多，如果是，就说明武器没有丢失。结绳计数的道理也是这样。这些计数的基本思想就是把要数的实物和用来
汇编指令机器码总结与验证 摘要：本文介绍了汇编指令机器码的含义与作用，并讨论了指令的组成结构即操作码与地址码。然后全面总结了机器码中的单字节操作码，并利用Debug工具进行了详细的验证。 关键词：指令；机器码 一、机器码概述[1] 机器语言是用二进制代码表示的计算机能直接识别和执行的一种机器指令的集合。这种指令集就称为机器码，它是电脑的CPU可直接解读的数据。一条指令是机器语言的一个语句，是一组有意义的二进制代码。计算机通过执行指令来处理各种数据。 为了指出数据的来源、操作结果的去向及所执行的操作，一条指令必须包含下列信息： a) 操作码 b) 操作数的地址 c) 操作结果的存储地址 d) 下条指令的地址 一条指令实际上包括两种信息即操作码和地址码。操作码用来表示该指令所要完成的操作（如加、减、乘、除、数据传送等），其长度取决于指令系统中的指令条数。地址码用来描述该指令的操作对象，它或者直接给出操作数，或者指出操作数的存储器地址或寄存器地址（即寄存器名）。 二、机器码详解[2] 由上文已知，一条指令一般由操作码和地址码组成。其中，操作码是指明CPU对内存或寄存器中的数据进行什么样的操作，地址码给出这些数据对象。下面我们就将指令分为两部分进行研究。1．操作码 操作码一般占用1个字节（8位）或2个字节（16位）。其中最低比特（记作W）在很多指令中表示目标操作数的位宽，W=0表示字节长（8位）操作数，W=1表示双字节长（16位）操作数。例如，操作码00000000B（W=0）表示“ADD 8位寄存器,8位寄存器”，而00000001B（W=1）表示“ADD 16位寄存器,16位寄存器”。 2．地址码 地址码一般占用1个字节，其中的8个比特位可分为三组，形式一般为“oommmrrr”。这些分组大致可分为以下四个类型： 1) “oo”——表示指令的地址偏移量类型 a) 00：如果mmm=110，那么指令后紧跟一个地址偏移量；否则未使用地址偏移量 b) 01：指令后紧跟一个8比特无符号地址偏移量 c) 10：指令后紧跟一个16比特无符号地址偏移量 d) 11：此时mmm表示一个寄存器而不是地址
我校吴双清教授发现的黑洞精确解被美国著名物理学家命名为“吴黑 洞”（Wu black hole） 在近百年之前，爱因斯坦建立起广义相对论并用它成功地解释了用牛顿万有引力理论不能解释的水星近日点进动疑难问题。然而，由于引力场方程是一套非常复杂的高度非线性的耦合系统，在没有发展出合适的解生成技术之前，求解爱因斯坦场方程在很大程度上取决于对度规形式所作出的假设。因此，寻找其精确解特别是转动带电的黑洞解极其困难。直到1963年，新西兰数学家R.P. Kerr才得到了首个在天体物理上有实际应用意义的四维转动不带电的Kerr黑洞解，该解利用了Kerr-Schild度规假设，即平直背景时空加上一个与沿类光方向传播的测地矢量有关的线性微扰项。1986年，R.C. Myers和M.J. Perry利用Kerr-Schild方案给出了Kerr黑洞在高维不带电情形下的推广。1999年，英国剑桥大学著名理论物理学家S.W. Hawking教授及其合作者给出了五维Myers-Perry黑洞在含有宇宙学常数情况下的推广。本世纪之初，G.W. Gibbons等人[G.W. Gibbons, H. Lü, D.N. Page, C.N. Pope, Physical Review Letters 93 (2004) 171102]将Kerr-Schild形式中的平直背景时空换为纯de Sitter时空得到了四维Kerr-de Sitter时空在任意维(D>3)的推广。 由于诸多方面的原因，高维转动的黑洞解特别是转动带电的超引力黑洞精确解在过去的十余年之中引起了人们极大的关注。在超引力理论中，黑洞一般可以携带多个电荷。1996年，M. Cveti?和D. Youm利用解生成技术得到了五维具有三个电荷和两个转动参数但不含有宇宙学常数的超引力黑洞精确解——这是五维Myers-Perry电中性黑洞解的带电推广。然而，要把Hawking等人的五维黑洞解加上电荷或者说在Cveti?-Youm带电黑洞解中引入宇宙学常数特别困难。这是因为在规范超引力理论中宇宙学常数的引入破缺了理论的一些对称性，使得人们无法利用已有的解生成方法从已知解得到新的黑洞解。2005年，钟志伟等人[Z.W. Chong, M. Cveti?, H. Lü, C.N. Pope, Physical Review Letters，95 (2005) 161301]在五维最小EMCS规范超引力理论中找到了带有宇宙学常数和两个不同转动参数的一般的转动带电黑洞解。此后，由M. Cveti?、G.W. Gibbons、C.N. Pope和吕宏（H. Lü）等教授组成的强大科研团队带领其研究生和博士后开始追逐五维最一般的具有三个电荷和两个转动参数的规范超引力黑洞精确解。
IEEE浮点数表示法 ------------------------------------------------- float 共计32位(4字节) 由最高到最低位分别是第31、30、29、 0 31位是符号位，1表示该数为负，0反之 30~23位，一共8位是指数位(-128~127) 22~ 0位，一共23位是尾数位 每8位分为一组，分成4组，分别是A组、B组、C组、D组 每一组是一个字节，在内存中逆序存储，即: DCBA 31 30 23 22 0 |-|--------|-----------------------| | | || |-|--------|-----------------------| 注: 尾数的存储位为23位，由于没有存储最高位的1，所以实际有效位为24位。如果其中20位都用来表示小数部分，能表示的最大值为0.999999 我们先不考虑逆序存储的问题，因为那样会把读者彻底搞晕，所以我先按照顺序的来讲，最后再把他们翻过来就行了。
纯整数的表示方法 ------------------------------------------------- 现在让我们按照IEEE浮点数表示法，一步步的将float型浮点数123456.0f转换为十六进制代码。在处理这种不带小数的浮点数时，直接将整数部转化为二进制表示: 1 11100010 01000000 也可以这样表示: 1 11100010 01000000.0 然后将小数点向左移，一直移到离最高位只有1位: 1.11100010 01000000 一共移动了16位，在布耳运算中小数点每向左移一位就等于在以2为底的科学计算法表示中指数+1，所以原数就等于这样 1 11100010 01000000 = 1.11100010 01000000 * (2^16) 现在我们要的尾数和指数都出来了。显而易见，最高位永远是1，因为你不可能把买了16个鸡蛋说成是买了0016个鸡蛋吧?(呵呵，可别拿你买的臭鸡蛋甩我)，所以这个1我们还有必要保留他吗?(众：没有!)好的，我们删掉他。这样尾数的二进制就变成了: 11100010
关于黑洞探索研究综述 【摘要】人类总是对神秘的宇宙充满了好奇心。自从黑洞的猜想被提出以来，众多科学研究者纷纷致力于黑洞的探索与研究，许多与黑洞有关的理论被一一提出。而近几年，我国的科学工作者也在黑洞研究史上留下了属于自己的一笔。相信随着研究的深入，终有一天我们会揭开黑洞那神秘的面纱。 【关键词】黑洞研究理论 天文学中很多研究看似和生活毫无干系，但是却能帮助人类更好地了解外部世界。黑洞，是研究宇宙起源的关键问题之一，自然也是一大研究热门。黑洞是在宇宙空间中存在的一种质量相当大的天体，是由质量足够大的恒星在核聚变反应燃料耗尽而死亡后，发生引力坍塌而形成。黑洞质量是如此之大，它产生的引力场是如此之强，以至于任何物质和辐射都无法逃逸，就连光也逃逸不出来。由于类似热力学上完全不反射光线的黑体，故名为黑洞。 一、有关黑洞的著名理论 1.最早的关于黑洞的预言(1783年、1796年) 最早预言黑洞的人是英国剑桥大学的学监米歇尔（J. Michell）和法国科学家拉普拉斯（P. S. Laplace）。1783年，米歇尔指出，一个质量足够大并足够紧致的恒星会有如此强大的引力场，以致于连光线都不能逃逸——任何从恒星表面发出的光，还没到达远处即会被恒星的引力吸引回来。米歇尔暗示，可能存在大量这样的恒星，虽然会由于从它们那里发出的光不会到达我们这儿而使我们不能看到它
们，但我们仍然可以感到它们的引力的吸引作用。到了1796年，拉普拉斯则提出：“天空中存在着黑暗的天体，像恒星那样大，或许也像恒星那样多。一个具有与地球同样的密度而直径为太阳250倍的明亮星球，它发射的光将被它自身的引力拉住而不能被我们接收。正是由于这个道理，宇宙中最明亮的天体很可能是看不见的。” 2.广义相对论的黑洞理论(1915年) 爱因斯坦的广义相对论认为，物质的存在会造成时空的扭曲，人们通常所说的万有引力就是时空扭曲的表现。由爱因斯坦广义相对论所推导出来的结论产生了黑洞的概念：一个核反应完全停止的星体，无力顶住万有引力而坍缩；当原子被压破时，就会变成白矮星，而恒星量较大时，则还会敲开原子核，变成挤成一团、密度更大百万倍的中子星；如果坍缩的恒星质量更大时，则坍缩还会进行下去，所有物质会无可避免、永远坍缩下去，所有质量将集中在一个没有大小的“奇异点”上。广义相对论的中心思想是质量会扭曲其附近的时空；而黑洞本身的特质，是为极大的质量集中在极小的区域内，因此黑洞是一个具有极大质量与引力的星体，其引力大到使光线路径扭曲的程度，足以令光线无法逃跑。 3.霍金的黑洞理论（1975年、2004年） 1975年，霍金以数学计算的方法证明黑洞由于质量巨大，进入其边界的（也即所谓“活动水平线”的物体）都会被其吞噬而永远无
数的产生和十进制计 数法教案 Revised on November 25, 2020
《数的产生和十进制计数法》教学设计 一、教学目标 1．通过介绍数的产生，给学生建立自然数的概念，并了解自然数的一些性质和特点；理解掌握十进制计数法的含义，认识含有三级数位的数位顺序表及相应的计数单位。 2．通过探索、思考、总结等活动，让学生体验数的产生过程。 3．使学生了解中国古代数学的伟大成就，激发学生的民族自豪感。 二、教学重点 让学生体验数的产生过程。 三、教学难点 理解掌握十进制计数法的意义。 四、教学用具 计数器、课件。 五、教学过程 （一）教学数的产生 1．数的产生。【课件演示】（图片） 教师：很久以前，人们在生产劳动中就有了计数的需要。例如，人们出去打猎的时候，要数一数共出去了多少人，拿了多少件武器；回来的时候，要数一数捕获了多少只野兽等等，这样就产生了数。 2．计数符号、计数方法的产生。
教师出示第19页的主题图让学生看，进一步说明：在远古时代人们虽然有计数的需要，但是开始还不会用一、二、三……这些数词来数物体的个数。只知道“同样多”、“多”或“少”。那时人们只能借助一些其他物品，如在地上摆小石子、在木条上刻道、在绳上打结等方法来计数。比如，出去放牧时，每放出一只羊，就摆一个石子，一共出去了多少只羊，就摆多少个小石子；放牧回来时，再把这些小石子和羊一一对应起来，如果回来的羊的只数和小石子同样多，就说明放牧时羊没有丢。再如，出去打猎时，每拿一件武器，就在木棒上刻一道，一共拿了多少件就在木棒上刻多少道；打猎回来时，再把拿回来的武器和木棒上刻的道一一对应起来，看武器和刻道是不是同样多，如果是，就说明武器没有丢失。结绳计数的道理也是这样。这些计数的基本思想就是把要数的实物和用来计数的实物一个对一个地对应起来，也就是现在所说的一一对应。以后，随着语言的发展逐渐出现了数词，随着文字的发展又发明了一些记数符号，也就是最初的数字。各个国家和地区的记数符号是不同的。 【课件演示】（阿拉伯数字产生） 阿拉伯数字，其实并不是阿拉伯人发明的，而是由印度人发明的，公元八世纪前后，由印度传入阿拉伯，公元十二世纪又从阿拉伯传入欧洲，人们就误认为这些数字是阿拉伯人发明的，后来就叫做“阿拉伯数字”。随着社会的发展，人们的交流也越来越多，但各个地区数学不同，交流起来很不方便，以后就逐渐统一成现行的阿拉伯数字。后来人类对数的认识逐渐增加，数认得也越来越大，如
《计算机组成原理》实验报告
sw $aO, O($fp) #calculate the first nu mber andi $s2, $s0, 0x80000000 # s2 is the sig n srl $s2, $s2, 31 andi $s3, $s0, 0x7f800000 # s3 is the exp onent srl $s3, $s3, 23 andi $s4, $s0, 0x007fffff # s4 is the fractio n addi $s4, $s4, 0x00800000 #calculate the seco nd number andi $s5, $s1, 0x80000000 # s5 is the sig n srl $s5, $s5, 31 andi $s6, $s1, 0x7f800000 # s6 is the exp onent srl $s6, $s6, 23 andi $s7, $s1, 0x007fffff # s7 is the fractio n addi $s7, $s7, 0x00800000 sub $t0, $s3, $s6 bit $t0, 0, sumL1 # add sub bgt $t0, 0, sumL2 # sub add beq $t0, 0, sumL3 2.减法指令如下: mysub: subu $sp, $sp, 32 sw $ra, 20($sp) sw $fp, 16($sp) addiu $fp, $sp, 28 sw $a0, 0($fp) #calculate the first nu mber andi $s2, $s0, 0x80000000 # s2 is the sig n srl $s2, $s2, 31 andi $s3, $s0, 0x7f800000 # s3 is the exp onent srl $s3, $s3, 23 andi $s4, $s0, 0x007fffff # s4 is the fractio n addi $s4, $s4, 0x00800000 #calculate the seco nd number xori $s5, $s1, 0x80000000 # s5 is the sig n srl $s5, $s5, 31 andi $s6, $s1, 0x7f800000 # s6 is the exp onent srl $s6, $s6, 23 andi $s7, $s1, 0x007fffff # s7 is the fractio n addi $s7, $s7, 0x00800000 sub $t0, $s3, $s6 blt $t0, 0, subL1 # +,- bgt $t0, 0, subL2 # -,+ beq $t0, 0, subL3 # +,+ or -,- 3.乘法指令如下： mutilStart: srl $t2, $s0, 31 srl $t3, $s1, 31 sll $t4, $s0, 1