遂溪一中2015-2016学年度高二年级第一学期第一次月考 数学（文科）试卷
本试卷共4页，22小题， 满分150分. 考试用时120分钟.
参考公式： 锥体的体积公式是1
3
V Sh =
, 其中S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的． 1.设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合M ＝{1,4}，N ＝{1,3,5}，则N ∩(?U M )等于( ) A ．{1,3} B ．{1,5} C ．{3,5} D ．{4,5}
2.已知向量)3 , 2(=a ，)6 , (-=x b ，且//b a ，则=x ( ) A. 4 B ．4- C ．9 D ．9-
3. 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生
参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的
茎叶图如右图，其中甲班学生成绩的平均分是86， 乙班学生成绩的中位数是83，则x +y 的值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 13
4.某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为( )
A.7 B ．15 C ．25 D ．35
5.从装有除了颜色外完全相同的2 个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不
对立的两个事件是 ( )
A.至少有1个白球,都是白球.
B.至少有1个白球,至少有1个红球.
C.恰有1个白球,恰有2个白球.
D.至少有1个白球,都是红球.
6. 在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点，使得该点到此三角形的直角顶点的距离不大 于1的概率是（ ） A ．
π16
B ．
π8
C ．
π4
D ．
π
2
7. 设l ，m 是两条不同直线，α, β是两个不同平面，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若//l α，α∩β＝m ，则l //m
B. 若l ⊥α，l //
β，则α⊥β
C. 若l //α，m //α，则l // m
D. 若l //α，m ⊥l ，则m ⊥α
8 已知变量x 、y ，满足条件10290x x y x y ≥??
-≤??+-≤?
，则目标函数z =x +y 的最大值是（ ）
A. 2
B. 5
C. 6
D. 7
9.若等比数列{}n a 的各项均为正数，167465=+a a a a 且 , =+++1022212log log log a a a 则（ ）
A 5
B 10
C 12
D 15 10 相关变量x 、y 的样本数据如下表：
经回归分析可得y 与x 线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为 1.1y x a
=+ ， 则a =（ ） A 0.4
B 0.3
C 0.2
D 0.1
11．某三棱锥的三视图如图1所示，其正视图和侧视图 都是直角三角形，则该三棱锥的体积等于( )
A ．13
B ．2
3
C ．1
D ．3
12．函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0,1]上至少出现50个最小值，则ω的最小值是( )
A ．98π
B ．98.5π
C ．99.5π
D ．100π 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13.
函数y =的定义域是
14．执行如图所示的程序框图，输出的a 值为__________．
15.已知的最小值是则且43,27,0,0y
x xy y x +=>> .
16．若不等式ax 2＋bx －2>0的解集为?
?????
-<<-412x x ，则a ＋b 等于
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（本小题满分10分）
设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a ＝2b sin A . (1)求角B 的大小； (2)若a ＝33，c ＝5，求b .
18. (本小题满分12分)
从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据， 整理得到数据分组及频数分布和频率分布直方图：
(1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率； (2)求频率分布直方图中的a ，b 的值；
(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名 学生该周课外阅读时间的平均数在第几组(只需写出结论)
19．(本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为一直角梯形, 侧面PAD 是等边三角形，其中 ,BA AD CD AD ⊥⊥，22=2CD AD AB ==， 平面PAD ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点． (1)求证：BE //平面PAD ； (2)求证：BE ⊥CD ；
(3)求三棱锥P-ACD 的体积V ．
20．（本小题12分）
已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足21n n S a =-*)(N n ∈． （1）证明：数列{}n a 为等比数列；
（2）数列{n a }满足*)(1log 2N n a a b n n n ∈+?=）（，求其前n 项和的n T ．
21．（本小题满分12分）
已知圆心C 在x 轴上的圆过点(2,2)A 和(4,0)B . （1）求圆C 的方程；
（2）求过点(4,6)M 且与圆C 相切的直线方程；
（3）已知线段PQ 的端点Q 的坐标为(3,5)，端点P 在圆C 上运动，求线段PQ 的 中点N 的轨迹.
22、（本题满分12分） 已知函数2()([0,1])f x x x c
x =-+∈
（1）求()f x 的最大值和最小值；
（2）求证：对任意12,[0,1]x x ∈，总有121()()4f x f x -≤；
（3）若函数()y f x =在区间[0,1]上有零点，求实数C 的取值范围.
遂溪一中2015-2016学年度第一学期第一次月考 数学（文科）答案
一、选择题（本大题共60分）
二、填空题（本大题共20分）
13、(,0]-∞ 14、-2 15、3 16、-13 三、解答题（本大题70分） 17．（本小题满分10分）
解 (1)由a ＝2b sin A ，根据正弦定理得
sin A ＝2sin B sin A ，所以sin B ＝1
2. 3分
由△ABC 为锐角三角形，得B ＝π
6. 5分
(2)根据余弦定理，得
b 2＝a 2＋
c 2－2ac cos B ＝27＋25－45＝7， 8分 所以b ＝7. 10分 18.（本小题满分12分）
[解析] (1)根据频数分布表，100名学生中，课外阅读时间不少于12小时的学生共有
6＋2＋2＝10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1－10
100＝0.9.
从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9. 5分 (2)课外阅读时间落在[4,6)的人数为17人，频率为0.17，所以，a ＝频率组距＝0.17
2＝0.085
同理，b ＝0.25
2＝0.125. 9分
(3)样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组． 12分 19.（本小题满分12分） 【解析】试题分析：
（1）证BE ∥平面PAD ，可先取CD 的中点为M ，构建
平面EBM ，证明平面EBM ∥平面APD ，由面面平行，得到线面平行；
（2）取PD 的中点F ，连接FE ，根据线面垂直的判定及性质，及等腰三角形性质， 结合线面垂直的判定定理可得AF ⊥平面PDC ，又由BE ∥AF ， 可得BE ⊥平面PDC ；
（3）利用等体积法，由V P -A C D =V C -P A D ，即可求三棱锥P-ACD 的体积V ．
试题解析：
（1）证明：如图，取PD 的中点F ，连接EF 、AF ，则在三角形PDC 中 ∴EF ∥CD 且1EF=CD 2
，AB ∥CD 且1
AB=
CD 2
； 1分 ∴EF ∥AB 且EF=A B ，∴四边形ABEF 是平行四边形， 2分 ∴BE ∥AF ，而BE ?平面PAD ，而AF ?平面PAD ， 3分 ∴BE ∥平面PAD ； 4分
（2）证明：在直角梯形ABCD 中，C AD D ⊥
平面PAD ⊥底面ABCD ， 5分 平面PAD ?底面ABCD =AD
C A B C
D D ?平面 ∴CD ⊥平面PAD ， 7分 F P A D A ?平面， ∴CD ⊥AF
由（1）BE ∥AF ， ∴CD ⊥BE 9分 （3）解:由（2）知∴CD ⊥平面PAD ，△PAD 是边长为1
的等边三角形 P -A C D C -P A D P A D
1
11V =V
=S C D =11s i 2=3323π????
?? ∴三棱锥P-ACD 的体积V 12分
20（本小题满分12分）
解：（1）当1n =时，111211a a a =-?=； 1分 当2n ≥时，
111121
22221n n n n n n n n n S a a a a a a S a ----=-?
?=-?=?=-?
；
即12n n a a -=（2n ≥），且11a =， 5分 故{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列 6分 （2）由（1）得1
2n n a -=（*
n N ∈）.
∴1
2
n n b n -=? 7分
设…01211222322n n T n -=?+?+?++? ① 8分 …2321222322n
n T n =?+?+?++? ② 9分 ①-②： (2)
3
1
1(12)
12222
22(1)2112
n n n
n n n T n n n -?--=+++++-?=-?=-?--
∴(1)21n n T n =-?+， 12分 21.（本小题满分12分）
解：（1）线段AB 的中点坐标为(3,1)M ，斜率为02
142
AB k -=
=-- 1分 所以线段AB 的垂直平分线方程为13y x -=-，即为2y x =-. 令0y =，得2x =，即圆心为(2,0)C .
由两点间的距离公式，得2r .
∴适合题意的圆C 的方程为22
(2)4x y -+=. 3分
或：设圆心为(,0)C a ，由AC BC =得
)=
解得a =2，所以圆心为(2,0)C . 又半径422r BC ==-=. 所以适合题意的圆C 的方程为2
2
(2)4x y -+=. （2）由（1）知圆C 的圆心坐标为(2,0)C ，半径2r =
（i ）当过点(4,6)M 且与圆C 相切的直线的斜率不存在时，其切线方程为4x =. 4分 （ii ）当过点(4,6)M 且与圆C 相切的直线的斜率存在时，
设为k ，则切线方程为460kx y k --+=. 5分
2=，解得4
3
k =
6分 所以切线方程为
44
46033
x y --?+= 即4320x y -+= 7分 因此，过点(4,6)M 且与圆C 相切的直线方程为4x =或4320x y -+=. 8分 （3）设点N 的坐标为(,)x y ，P 点的坐标为00(,)x y . 由于Q 点的坐标为(3,5)且N 为PQ 的中点，所以00
35,22
x y x y ++=
=
，） 9分 于是有0023,25x x y y =-=- ① 10分 因为P 在圆C 上运动，所以有2
2
00(2)4x y -+=
将①代入上式得4)52()32(2
2
=-+-y x ，即1)2
5()23(22=-+-y x 11分
所以，点N 的轨迹是以（23，2
5
）为圆心，半径为1的圆. 12分 22.（本小题满分12分）
解：（1）()f x 图象的对称轴为1
2
x =
……………………………………… ()f x 在1[0,]2上是减函数，在1
[,1]2
上是增函数………………………… … ……1分
max ()(0)(1)f x f f c ∴===………………………………………………… 2分
min 1111
()()2424
f x f c c ==-+=-……………………………………………… 3分
（2）对任意12,[0,1]x x ∈，总有11()4c f x c -≤≤，21
()4
c f x c -≤≤ 5分
12max min 11
()()()()()44
f x f x f x f x c c -≤-=--=
即121
()()4
f x f x -≤…………………………………………………………………… . 7分
（3）因为函数()f x 的图象是开口向上的抛物线，对称轴为1
2
x =，函数()y f x =
在[0,1]上有零点时，则
1()02(0)0f f ?≤???≥? 即211()0
2
20c c ?-+≤???≥?……………………………………………… . .10分 解得1
04
c ≤≤………………………………………………………………………… 所以所求实数c 的取值范围是1
04
c ≤≤………………………………………… …12分