《最优化》课程设计 题目：牛顿法与阻尼牛顿法算法分析 学院: 数学与计算科学学院 专业：数学与应用数学 姓名学号：廖丽红 1000730105 欧艳 1000730107 骆宗元 1000730122 沈琼赞 1000730127 指导教师：李向利 日期：2012年11月08日
摘要 本文基于阻尼牛顿法在解决无约束最优化问题中的重要性，对其原理与算法予以讨论。论文主要是参阅大量数学分析和最优化理论方法，还有最优化方法课程以及一些学术资料，结合自己在平时学习中掌握的知识，并在指导老师的建议下，拓展叙述牛顿法和其改进方法——阻尼牛顿法的优缺点，同时针对阻尼牛顿法的基本思路和原理进行研究，其搜索方向为负梯度方向，改善了牛顿法的缺点，保证了下降方向。 关键词：无约束牛顿法下降方向阻尼牛顿法最优解
Abstract This thesis is based on the importance of the damping Newton's method to solve unconstrained optimization problems, we give the discussion about its principles and algorithms. We search a large number of mathematical analysis and optimization theory methods, optimization methods courses, as well as some academic information ,and at the same time combined with knowledge we have learning in peacetime and thanks to the instructor's advice, we also give an expanding narrative for the Newton's method and the improved method -- damping Newton method's advantages and disadvantages, and make a study of the basic ideas and principles for damping Newton method at the same time , we find that a negative gradient direction is for the search direction of the damping Newton method, this method improves the shortcomings of the Newton method which can ensure the descent direction. Keywords: unconstrained , Newton's method , descent direction , damping Newton's method ,optimal solution
牛顿插值法 插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式： f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0 )...(x-xn-1)+Rn(x)。 插值函数 插值函数的概念及相关性质[1] 定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点 x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn （设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。若在函数类中存在以简单函数P(x) ，使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数. 称x1,x2,…xn 为插值节点，称[a,b]为插值区间。 定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。
牛顿插值法C程序 程序框图#include Newton 插值 Newton 插值函数 Newton 插值函数是用差商作为系数，对于01,,,n x x x …这1n +个点，其一般形式为： 00100120101011()[][,]()[,,]()()[,,,]()()() n n n N x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x ?=+?+??++???…………对于011,,,n x x x ?…这n 个点， 100100120101012()[][,]()[,,]()()[,,,]()()() n n n N x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x ??=+?+??++???…………差商的定义 若已知函数()f x 在点(0,1,2,,)i x i n =???处的函数值()i f x 。则称： 00[]()f x f x =为函数()f x 在点0x 的0阶差商； 100110 [][] [,]f x f x f x x x x ?= ?为函数()f x 关于01,x x 的1阶差商； 120101220 [,][,] [,,]f x x f x x f x x x x x ?= ?为函数()f x 过点012,,x x x 的2阶差商； 依此类推，一般地称 121012101210 [,,,,][,,,,] [,,,,,]k k k k k k k f x x x x f x x x x f x x x x x x x ??????????????= ?为函数()f x 关于01,,,k x x x ???的 k 阶差商。 表1 差商表 i x ()i f x 1阶差商 2阶差商 3阶差商 4阶差商 0x 1x 2x 3x 4x …… 0()f x 1()f x 2()f x 3()f x 4() f x …… 01[,]f x x 12[,]f x x 23[,]f x x 34[,]f x x …… 012[,,]f x x x 123[,,]f x x x 234[,,] f x x x …… 0123[,,,]f x x x x 1234[,,,] f x x x x …… 01234[,,,,]f x x x x x …… 根据Newton 插值函数编写的C 语言编程 根据Newton 插值函数并对照上面的差商表，可编写出Newton 插值法的C 语言程序如下： #include 插值法数值上机实验报告 实验题目： 利用下列条件做插值逼近，并与R (x) 的图像比较 考虑函数：R x y=1 1+x2 （1）用等距节点X i=?5+i,i=0,1,...,10.给出它的10次Newton插值多项式的图像； π),i=0,1,...,20.给出它的20次Lagrange插值多项式（2）用节点X i=5cos(2i+1 42 的图像； （3）用等距节点X i=?5+i,i=0,1,...,10.给出它的分段线性插值函数的图像；（4）用等距节点X i=?5+i,i=0,1,...,10.给出它的三次自然样条插值函数的图像； （5）用等距节点X i=?5+i,i=0,1,...,10.给出它的分段三次Hermite插值函数的图像； 实验图像结果： 实验结果分析： 1.为了验证Range现象，我还特意做了10次牛顿插值多项式和20次牛顿插值多项式的对比图像，结果如下图（图对称，只截取一半） 可以看出，Range现象在高次时变得更加明显。这也是由于高次多项式在端点处的最值随次数的变大很明显。可以料定高次多项式在两侧端点处剧烈震荡，在更小的间距内急剧上升然后下降，Range现象非常明显。 2.分析实验（2）的结果，我们会惊讶地发现，由于取21个点逼近，原本预料的Range现象会很明显，但这里却和f(x)拟合的很好。（即下图中Lagrange p(x)的图像）。可是上图中取均匀节点的20次牛顿多项式逼近的效果在端点处却很差。料想是由于节点X i=5cos2i+1 42 π ,i=0,1,...,20 取得很好。由书上第五章的 知识，对于函数y=1 1+x ，y 1 2对应的cherbyshev多项式的根恰好为X i= 5cos2i+1 42 π ,i=0,1,...,20 。由于所学限制，未能深入分析。 （3）比较三次样条插值图像和Hermit插值图像对原函数图像的逼近情形。见下图： Matlab实现数值分析插值及积分 摘要： 数值分析(numerical analysis)是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，是数学的一个分支，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。在实际生产实践中，常常将实际问题转化为数学模型来解决，这个过程就是数学建模。学习数值分析这门课程可以让我们学到很多的数学建模方法。 分别运用matlab数学软件编程来解决插值问题和数值积分问题。题目中的要求是计算差值和积分，对于问题一，可以分别利用朗格朗日插值公式，牛顿插值公式，埃特金逐次线性插值公式来进行编程求解，具体matlab代码见正文。编程求解出来的结果为：=+。 其中Aitken插值计算的结果图如下： 对于问题二，可以分别利用复化梯形公式，复化的辛卜生公式，复化的柯特斯公式编写程序来进行求解，具体matlab代码见正文。编程求解出来的结果为： 0.6932 其中复化梯形公式计算的结果图如下： 问题重述 问题一：已知列表函数 表格 1 分别用拉格朗日，牛顿，埃特金插值方法计算。 问题二：用复化的梯形公式，复化的辛卜生公式，复化的柯特斯公式计算积分，使精度小于5。 问题解决 问题一：插值方法 对于问题一，用三种差值方法：拉格朗日，牛顿，埃特金差值方法来解决。 一、拉格朗日插值法： 拉格朗日插值多项式如下： 首先构造1+n 个插值节点n x x x ,,,10 上的n 插值基函数，对任一点i x 所对应的插值基函数 )(x l i ，由于在所有),,1,1,,1,0(n i i j x j +-=取零值，因此)(x l i 有因子 )())(()(110n i i x x x x x x x x ----+- 。又因)(x l i 是一个次数不超过n 的多项式，所以只 可能相差一个常数因子，固)(x l i 可表示成： )())(()()(110n i i i x x x x x x x x A x l ----=+- 利用1)(=i i x l 得： 牛顿插值法的分析与应用 学生： 班级： 学号： ： 指导教师： 成绩： 一．定义 )(x f 关于i x 的零阶差商 )(][i i x f x f = )(x f 关于i x ，j x 的一阶差商 i j i j j i x x x f x f x x f --= ][][],[ 依次类推，)(x f 关于i x ，1+i x ，……，k i x +的k 阶差商 i k i k i i k i i k i i i x x x x f x x f x x x f --= +-+++++] ,,[],,[],,,[111 二. 牛顿插值多项式 设给定的n+1个互异点))(,(k k x f x ，n k ,,1,0 =，j i x x ≠，j i ≠， 称满足条件 )()(k k n x f x N =，n k ,,1,0 = 的n 次多项式 )()](,,,[)](,[][)(10100100---++-+=n n n x x x x x x x f x x x x f x f x N 为Newton 插值多项式，称 ],[,)(],,,[)()()(0 10b a x x x x x x f x N x f x E n j j n n ∈-=-=∏= 为插值余项。 三.算法 步骤1：输入节点（xj ，yj ），精度ξ，计值点xx ，f0→p ，1→T ，1→i ； 步骤2：对k=1，2，……，i 依次计算k 阶均差 f[xi-k,xi-k+1,…,xi] = (f[xi-k+1,…,xi]- f[xi-k,…,xi])/( xi -xi-k ) 步骤3：（1）、若| f[x1,…,xi]- f[x0,…,xi-1]|< ξ，则p 为最终结果Ni-1(x)，余项Ri-1= f[x0,…,xi](xx-xi-1)T 。 （2）、否则(xx-xi-1)*T →T ，p+ f[x0,…,xi]*T →p ，转步骤4。 步骤4：若i 数值分析实验报告记录 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 数值分析实验报告 （第二章） 实验题目： 分别用二分法、牛顿迭代法、割线法、史蒂芬森迭代法求方程 的根，观察不同初始值下的收敛性，并给出结论。 问题分析： 题目有以下几点要求： 1.不同的迭代法计算根，并比较收敛性。 2.选定不同的初始值，比较收敛性。 实验原理： 各个迭代法简述 二分法：取有根区间的重点，确定新的有根区间的区间长度仅为区间长度的一版。对压缩了的有根区间重复以上过程，又得到新的有根区间，其区间长度为的一半，如此反复，……，可得一系列有根区间，区间收敛到一个点即为根。 牛顿迭代法：不动点迭代法的一种特例，具有局部二次收敛的特性。迭代格式为 割线法：是牛顿法的改进，具有超线性收敛的特性，收敛阶为1.618. 迭代格式为 史蒂芬森迭代法：采用不动点迭代进行预估校正。至少是平方收敛的。迭代格式为 这里可采用牛顿迭代法的迭代函数。 实验内容： 1.写出该问题的函数代码如下： function py= f(x) syms k; y=(k^2+1)*(k-1)^5; yy=diff(y,k); py(1)=subs(y,k,x); py(2)=subs(yy,k,x); end 2.分别写出各个迭代法的迭代函数代码如下： 二分法： function y=dichotomie(a,b,e) i=2; m(1)=a; while abs(a-b)>e t=(a+b)/2; s1=f(a); s2=f(b); s3=f(t); if s1(1)*s3(1)<=0 b=t; else a=t; end m(i)=t; i=i+1; end y=[t,i+1,m]; end 牛顿迭代法： function y=NewtonIterative(x,e) i=2; en=2*e;m(1)=x; while abs(en)>=e s=f(x); t=x-s(1)/s(2); en=t-x; x=t; m(i)=t; i=i+1; end y=[x,i+1,m]; end 牛顿割线法： function y=Secant(x1,x2,e) i=3; m(1)=x1,m(2)=x2; while abs(x2-x1)>=e s1=f(x1); s2=f(x2); t=x2-(x2-x1)*s2(1)/(s2(1)-s1( 1)); x1=x2; x2=t; m(i)=t; i=i+1; end 最优化方法结课作业 年级数学121班 学号201200144209 姓名李强 1、几种方法比较 无约束优化：不对定义域或值域做任何限制的情况下，求解目标函数的最小值。这是因为实际应用中，许多情形被抽象为函数形式后均为凸函数，对于凸函数来说局部最小值点即为全局最小值点，因此只要能求得这类函数的一个最小值点，该点一定为全局最小值。（直接法：又称数值方法，它只需计算目标函数驻点的函数数值，而不是求其倒数，如坐标轮换法，单纯型法等。间接法：又称解析法，是应用数学极值理论的解析方法。首先计算出目标函数的一阶或一阶、二阶导数，然后根据梯度及海赛矩阵提供的信息，构造何种算法，从而间接地求出目标函数的最优解，如牛顿法、最速下降法共轭梯度法及变尺度法。）在优化算法中保证整体收敛的重要方法就是线搜索法与信赖域法,这两种算法既相似又有所不同。根据不同的线搜索准则就延伸出不同的线搜索算法,譬如比较常见和经典的最速下降法,牛顿法,拟牛顿法以及共辄梯度法等。 一维搜索又称线性搜索(Line Search),就是指单变量函数的最优化,它是多变量函数最优化的基础,是求解无约束非线性规划问题的基本方法之一。 一维搜索技术既可独立的用于求解单变量最优化问题,同时又是求解多变量最优化问题常用的手段,虽然求解单变量最优化问题相对比较简单,但其中也贯穿了求解最优化问题的基本思想。由于一维搜索的使用频率较高,因此努力提高求解单变量问题算法的计算效率具有重要的实际意义。 在多变量函数的最优化中,迭代格式Xk+1=Xk+akdk其关键就是构造搜索方向dk和步长因子ak 设Φ(a)=f(xk+adk) 这样从凡出发,沿搜索方向dk,确定步长因子ak,使Φ(a)<Φ(0)的问题就是关于步长因子a 的一维搜索问题。其主要结构可作如下概括:首先确定包含问题最优解的搜索区间，然后采用某种分割技术或插值方法缩小这个区间，进行搜索求解。 一维搜索通常分为精确的和不精确的两类。如果求得ak使目标函数沿方向dk达到极小,即使得f (xk+akdk)=min f (xk+ adk) ( a>0)则称这样的一维搜索为最优一维搜索,或精确一维搜索,ak叫最优步长因子;如果选取ak使目标函数f得到可接受的下降量,即使得下降量f (xk)一f (xk+akdk)>0是用户可接受的,则称这样的一维搜索为近似一维搜索,或不精确一维搜索,或可接受一维搜索。由于在实际计算中,一般做不到精确的一维搜索,实际上也没有必要做到这一点,因为精确的一维搜索需要付出较高的代价,而对加速收敛作用不大,因此花费计算量 . 牛顿插值法一、实验目的：学会牛顿插值法，并应用算法于实际问题。 x?x)f(二、实验内容：给定函数，已知： 4832401.2)?.?1449138f(2.f.f(20)?1.414214(2.1) 549193.)?1f(2.4516575(f2.3)?1. 三、实验要求：以此作为函数2.15插值多项式在处的值，用牛顿插值法求4 次Newton（ 1）2.15?N(2.15)。在MATLAB中用内部函数ezplot绘制出的近似值4次Newton插值多项式的函数图形。 （2）在MATLAB中用内部函数ezplot可直接绘制出以上函数的图形，并与作出的4次Newton插值多项式的图形进行比较。 四、实验过程： 1、编写主函数。打开Editor编辑器，输入Newton插值法主程序语句： function [y,L]=newdscg(X,Y,x) n=length(X); z=x; A=zeros(n,n);A(:,1)=Y';s=0.0; p=1.0; for j=2:n for i=j:n A(i,j)=(A(i,j-1)- A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1)); end end C=A(n,n); for k=(n-1):-1:1 C=conv(C,poly(X(k))); d=length(C);C(d)=C(d)+A(k,k); end y(k)= polyval(C, z); L(k,:)=poly2sym(C); 0 / 3 . %%%%%%%%%%%%%%%%%% t=[2,2.1,2.2,2.3,2.4]; fx=sqrt(t); wucha=fx-Y; 以文件名newdscg.m保存。 2、运行程序。 （1）在MATLAB命令窗口输入： >> X=[2,2.1,2.2,2.3,2.4]; Y =[1.414214,1.449138,1.483240,1.516575,1.549193]; x=2.15;[y,P]=newdscg(X,Y,x) 回车得到： 实验报告：牛顿差值多项式&三次样条 问题：在区间[-1,1]上分别取n=10、20用两组等距节点对龙格函数2 1()25f x x 作多项式插值及三次样条插值，对每个n 值，分别画出插值函数及()f x 的图形。 实验目的：通过编程实现牛顿插值方法和三次样条方法，加深对多项式插值的理解。应用所编程序解决实际算例。 实验要求： 1． 认真分析问题，深刻理解相关理论知识并能熟练应用； 2． 编写相关程序并进行实验； 3． 调试程序，得到最终结果； 4． 分析解释实验结果； 5． 按照要求完成实验报告。 实验原理： 详见《数值分析 第5版》第二章相关内容。 实验内容： （1）牛顿插值多项式 1.1 当n=10时： 在Matlab 下编写代码完成计算和画图。结果如下： 代码： clear all clc x1=-1:0.2:1; y1=1./(1+25.*x1.^2); n=length(x1); f=y1(:); for j=2:n for i=n:-1:j f(i)=(f(i)-f(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1)); end end syms F x p ; F(1)=1;p(1)=y1(1); for i=2:n F(i)=F(i-1)*(x-x1(i-1)); p(i)=f(i)*F(i); end syms P P=sum(p); P10=vpa(expand(P),5); x0=-1:0.001:1; y0=subs(P,x,x0); y2=subs(1/(1+25*x^2),x,x0); plot(x0,y0,x0,y2) grid on xlabel('x') ylabel('y') P10即我们所求的牛顿插值多项式，其结果为：P10（x）=-220.94*x^10+494.91*x^8-9.5065e-14*x^7-381.43*x^6-8.504e-14*x^5+123.36*x^4+2.0202e-1 4*x^3-16.855*x^2-6.6594e-16*x+1.0 并且这里也能得到该牛顿插值多项式的在[-1，1]上的图形，并和原函数进行对比（见Fig.1）。 Fig.1 牛顿插值多项式（n=10）函数和原函数图形 从图形中我们可以明显的观察出插值函数在两端点处发生了剧烈的波动，产生了极大的误差，即龙格现象，当n=20时，这一现象将更加明显。 1.2 当n=20时： 对n=10的代码进行修改就可以得到n=20时的代码。将“x1=-1:0.2:1;”改为“x1=-1:0.1:1;”即可。运行程序，我们得到n=20时的牛顿插值多项式，结果为：P20(x)= 260188.0*x^20 - 1.0121e6*x^18 + 2.6193e-12*x^17 + 1.6392e6*x^16 + 2.248e-11*x^15 - 1.4429e6*x^14 - 4.6331e-11*x^13 + 757299.0*x^12 + 1.7687e-11*x^11 - 245255.0*x^10 + 2.1019e-11*x^9 + 49318.0*x^8 + 3.5903e-12*x^7 - 6119.2*x^6 - 1.5935e-12*x^5 + 470.85*x^4 + 1.3597e-14*x^3 - 24.143*x^2 - 1.738e-14*x + 1.0 同样的，这里得到了该牛顿插值多项式的在[-1，1]上的图形，并和原函数进行对比（见Fig.2）。 题目一：多项式插值 某气象观测站在8：00（AM ）开始每隔10分钟对天气作如下观测，用三次多项式插值函数（Newton ）逼近如下曲线，插值节点数据如上表，并求出9点30分该地区的温度（x=10）。 二、数学原理 假设有n+1个不同的节点及函数在节点上的值（x 0，y 0），……（x n ，y n ），插值多项式有如下形式： ）（） ）（（）（）（）（n 10n 102010n x -x )(x -x x -x x P x x x x x x -??-+??+-++=αααα （1） 其中系数i α（i=0,1,2……n ）为特定系数，可由插值样条i i n y x P =） （（i=0,1,2……n ）确定。 根据均差的定义，把x 看成[a,b]上的一点,可得 f(x)= f （0x ）+f[10x x ，]（0x -x ） f[x, 0x ]= f[10x x ，]+f[x,10x x ，] （1x -x ） …… f[x, 0x ，…x 1-n ]= f[x, 0x ，…x n ]+ f[x, 0x ，…x n ](x-x n ) 综合以上式子，把后一式代入前一式，可得到： f(x)= f[0x ]+f[10x x ，]（0x -x ）+ f[210x x x ，，]（0x -x ）（1x -x ）+ …+ f[x, 0x ，…x n ]（0x -x ）…(x-x 1-n )+ f[x, 0x ，…x n ,x ]） （x 1n +ω= N n （x ）+） （x n R 其中 N n （x ）= f[0x ]+f[10x x ，]（0x -x ）+ f[210x x x ，，]（0x -x ）（1x -x ）+ …+ f[x, 0x ，…x n ]（0x -x ）…(x-x 1-n ) （2） ）（x n R = f(x)- N n （x ）= f[x, 0x ， (x) n ,x ]） （x 1n +ω （3） ） （x 1n +ω=（0x -x ）…(x-x n ) Newton 插值的系数i α（i=0,1,2……n ）可以用差商表示。一般有 f k =α[k 10x x x ??，] （k=0,1,2，……，n ） （4） 把（4）代入（1）得到满足插值条件N ）（） （i i n x f x =（i=0,1,2，……n ）的n 次Newton 插值多项式 N n （x ）=f （0x ）+f[10x x ，]（1x -x ）+f[210x x x ，，]（1x -x ）（2x -x ）+……+f[n 10x x x ??，]（1x -x ）（2x -x ）…（1-n x -x ）. 其中插值余项为： ） （）！ （） （）（）（）（x 1n f x N -x f x R 1n 1 n n +++==ωξ ξ介于k 10x x x ??，之间。 三、程序设计 function [y,A,C,L]=newdscg(X,Y,x,M) % y 为对应x 的值，A 为差商表，C 为多项式系数，L 为多项式 % X 为给定节点，Y 为节点值，x 为待求节点 n=length(X); m=length(x); % n 为X 的长度 for t=1:m revisenewton.m syms x1 x2 x3 xx; % f = x1*x1 +x2*x2 -x1*x2 -10*x1 -4*x2 + 60 ; % f = x1^2 + 2*x2^2 - 2*x1 *x2 -4*x1 ; f = 100 * (x1^2 - x2^2) + (x1 -1 )^2 ; hessen = jacobian(jacobian(f , [x1,x2]),[x1,x2]) ; gradd = jacobian(f , [x1,x2]) ; X0 = [0,0]' ; B = gradd' ; x1 = X0(1); x2 = X0(2); A = eval(gradd) ; % while sqrt( A(1)^2 + A(2)^2) >0.1 i=0; while norm(A) >0.1 i = i+1 ; fprintf('the number of iterations is: %d\n', i) if i>10 break; end B1 = inv(hessen)* B ; B2= eval(B1); % X1 = X0 - B2 % X0 = X1 ; f1= x1 + xx * B2(1); f2= x2 + xx* B2(2); % ff = norm(BB) ? syms x1 x2 ; fT=[subs(gradd(1),x1,f1),subs(gradd(2),x2,f2)]; ff = sqrt((fT(1))^2+(fT(2))^2); MinData = GoldData(ff,0,1,0.01); x1 = X0(1); x2 = X0(2); x1 = x1 + MinData * B2(1) x2 = x2 + MinData * B2(2) A = eval(gradd) End GoldData.m function MiniData = GoldData( f,x0,h0,eps) syms xx; MATLAB程序设计期中作业 ——编程实现牛顿插值 成员:刘川（P091712797）签名＿＿＿＿＿ 汤意（P091712817）签名＿＿＿＿＿ 王功贺（P091712799）签名＿＿＿＿＿ 班级:2009信息与计算科学 学院:数学与计算机科学学院 日期:2012年05月02日 牛顿插值的算法描述及程序实现 一：问题说明 在我们的实际应用中，通常需要解决这样的问题，通过一些已知的点及其对应的值，去估算另外一些点的值，这些数据之间近似服从一定的规律，于是，这就引入了插值法的思想。 插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化，这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。 二：算法分析 newton 插值多项式的表达式如下： 010011()()()()()n n n N x c c x x c x x x x x x -=+-+???+--???- 其中每一项的系数c i 的表达式如下： 12011010 [,,,][,,,] [,,,]i i i i i f x x x f x x x c f x x x x x -???-???=???= - 即为f (x)在点01,,,i x x x ???处的i 阶差商，（[]()i i f x f x =，1,2,,i n = ），由差商01[,,,]i f x x x ???的性质可知： () 010 1 [,,,]()i i i j j k j k k j f x x x f x x x ==≠???=-∑∏ 牛顿插值的程序实现方法： 第一步：计算[][][][]001012012,,,,,,,n f x f x x f x x x f x x x x 、、、 、。 第二步：计算牛顿插值多项式中01[,,,]i f x x x ???011()()()i x x x x x x ---???-，1,2,,i n = ，得到n 个多项式。 牛顿插值法在处理磁化曲线和铁损曲线 中的应用 指导老师：李国霞 院系：物理工程学院 专业：物理电子学 姓名：夏委委 学号：201112131526 一、牛顿插值法简介 在科学研究与其他领域中所遇到的许多实际问题中，经常会出现函数不便于处理或计算的情形。有时候函数关系没有明显的解析表达式，需要根据实验数据或其他方法来确定与自变量的某些值相对应的函数值；有时候函数虽有明显的解析表达式，但是使用很不方便。因此，在实际应用中，往往需要对实际使用的函数建立一个简单的便于处理和计算的近似表达式，即用一个简单的函数表达式来近似替代原来复杂的函数。与用近似数代替准确值一样，这也是计算法中最基本的概念和方法之一。近似代替又称为逼近。用多项式逼近列表函数的问题即为多项式插值问题。根据函数)(x f 已有的数据表格来计算函数)(x f 在一些新的点x 处的函数值，这就是插值法所要解决的问题。因此，所谓的插值法就是在所给定的函数表格中间在插入一些所需要的新的点上的函数值。 插值法的基本思想：首先设法根据表格中已有的函数值来构造一个简单的函数)(x y 作为)(x f 的近似表达式，然后再用)(x y 来计算新的点上的函数值作为 )(x f 的近似值。通常可以选用多项式函数作为近似函数)(x y ，因为多项式具有 各阶的导数，求值比较方便。用代数多项式作为工具研究插值问题，通常称为代数插值。 代数插值法问题的完整提法如下：设函数)(x f y =在区间[]b a ,上是连续的，且已知)(x f 在区间[]b a ,上1+n 个互异点处的函数值，即n i x f y i i ,......1,0),(== 其中，)(j i x x j i ≠≠。寻找一个次数不高于 n 的多项式 0111)(a x a x a x a x P n n n n n +++=-- 使满足条件n i x f x P i i n ,,1,0),()( ==称)(x P n 为)(x f 的插值多项式，),,1,0(n i x i =称为插值结点，[]b a ,称为插值区间。 牛顿(Newton)插值是数值逼近中的一个重要部分,它向前继承了拉格朗日(Lagrange)插值,向后引出了埃尔米特(Hermite)插值,可以看作对多项式插值作了一个简单的统一。牛顿插值公式具有形式简单,便于计算等优点。因此,在插值中得到广泛的应用。牛顿插值公式为)()()(x R x P x f n n +=，其中)(x P n 是牛顿插值多项式，)(x R n 为牛顿插值余项，)(x P n 和)(x R n 的表达式如下式所示： 实验报告内容： 一：不动点迭代法解方程 二：牛顿插值法的MATLAB实现 完成日期：2012年6月21日星期四 数学实验报告一 日期：2012-6-21 所以，确定初值为x0=1 二：不断迭代 算法： 第一步：将f(x0)赋值给x1 第二步：确定x1-x0的绝对值大小，若小于给定的误差值，则将x1当做方程的解，否则回到第一步 编写计算机程序： clear f=inline('0.5*sin(x)+0.4'); x0=1; x1=f(x0); k=1; while abs(x1-x0)>=1.0e-6 x0=x1; x1=f(x0); k=k+1; fprintf('k=%.0f,x0=%.9f,x1=%.9f\n',k,x0,x1) end 显示结果如下： k=2,x0=0.820735492,x1=0.765823700 k=3,x0=0.765823700,x1=0.746565483 k=4,x0=0.746565483,x1=0.739560873 k=6,x0=0.736981783,x1=0.736027993 k=7,x0=0.736027993,x1=0.735674699 k=8,x0=0.735674699,x1=0.735543758 k=9,x0=0.735543758,x1=0.735495216 k=10,x0=0.735495216,x1=0.735477220 k=11,x0=0.735477220,x1=0.735470548 k=12,x0=0.735470548,x1=0.735468074 k=13,x0=0.735468074,x1=0.735467157 >>。。。 以下是程序运行截图： 实验报告日期：2013年6月2日 一、实验概述 【实验名称】：牛顿法 【实验性质】：验证性 【实验目的及要求】：配合课堂教学，培养学生动手能力，根据牛顿法求极小值的思想设计程序。 【基本原理】：牛顿法的迭代公式：)()(12)()1(k k k k x f x f x x ??-=-+，其中)(2k x f k ?是f(x)在k x 处的Hesse 矩阵。【实施环境】： MATLAB 7.0 二、实验内容 【项目内容及要求】 用牛顿法求解以下问题： min z=(x1-1)4+x22 三、实验过程 【实验操作步骤】 function [x1k]=newton(x1,j) %x1为初始点x1=[8,8]';j=1e-10; hs=inline('(x-1)^4+y^2'); ezcontour(hs,[-1010-1010]);hold on; syms x y f=(x-1)^4+y^2; grad1=jacobian(f,[x,y]);%求梯度 grad2=jacobian(grad1,[x,y]);%求Hesse矩阵 k=0; while1 grad1z=subs(subs(grad1,x,x1(1)),y,x1(2));%求梯度值 grad2z=subs(subs(grad2,x,x1(1)),y,x1(2));%求Hesse矩阵x2=x1-inv(grad2z)*(grad1z');%牛顿迭代公式 if norm(x1-x2) 牛顿法 迭代公式：(1)2()1()[()]()k k k k x x f x f x +-=-?? Matlab 代码： function [x1,k] =newton(x1,eps) hs=inline('(x-1)^4+y^2'); 写入函数 ezcontour(hs,[-10 10 -10 10]); 建立坐标系 hold on; 显示图像 syms x y 定义变量 f=(x-1)^4+y^2; 定义函数 grad1=jacobian(f,[x,y]); 求f 的一阶梯度 grad2=jacobian(grad1,[x,y]); 求f 的二阶梯度 k=0; 迭代初始值 while 1 循环 grad1z=subs(subs(grad1,x,x1(1)),y,x1(2)); 给f 一阶梯度赋初值 grad2z=subs(subs(grad2,x,x1(1)),y,x1(2)); 给f 二阶梯度赋初值 x2=x1-inv(grad2z)*(grad1z)'; 核心迭代公式 if norm(x1-x2) end end end 优点：在极小点附近收敛快 缺点：但是要计算目标函数的hesse 矩阵 最速下降法 1. ：选取初始点xo ，给定误差 2. 计算一阶梯度。若一阶梯度小于误差，停止迭代，输出 3. 取()()()k k p f x =? 4. 10 t ()(), 1.min k k k k k k k k k k t f x t p f x tp x x t p k k +≥+=+=+=+进行一维搜索，求，使得令转第二步 例题： 求min (x-2)^4+(x-2*y)^2.初始值（0,3）误差为0.1 (1)编写一个目标函数，存为f.m function z = f( x,y ) z=(x-2.0)^4+(x-2.0*y)^2; end (2)分别关于x 和y 求出一阶梯度，分别存为fx.m 和fy.m function z = fx( x,y ) z=2.0*x-4.0*y+4.0*(x-2.0)^3; end 和 function z = fy( x,y ) 6.3.5 牛顿插值法的MATLAB 综合程序 求牛顿插值多项式、差商、插值及其误差估计的MATLAB 主程序 function [y,R,A,C,L]=newdscg(X,Y,x,M) n=length(X); m=length(x); for t=1:m z=x(t); A=zeros(n,n);A(:,1)=Y'; s=0.0; p=1.0; q1=1.0; c1=1.0; for j=2:n for i=j:n A(i,j)=(A(i,j-1)- A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1)); end q1=abs(q1*(z-X(j-1)));c1=c1*j; end C=A(n,n);q1=abs(q1*(z-X(n))); for k=(n-1):-1:1 C=conv(C,poly(X(k))); d=length(C);C(d)=C(d)+A(k,k); end y(k)= polyval(C, z); end R=M*q1/c1;L(k,:)=poly2sym(C); 例6.3.6 给出节点数据00.27)00.4(=-f ，00.1)00.0(=f ，00.2)00.1(=f ，00.17)00.2(=f ，作三阶牛顿插值多项式，计算)345.2(-f ，并估计其误差. 解 首先将名为newdscg.m 的程序保存为M 文件，然后在MATLAB 工作窗口输入程序 >> syms M,X=[-4,0,1,2]; Y =[27,1,2,17]; x=-2.345; [y,R,A,C,P]=newdscg(X,Y,x,M) 运行后输出插值y )345.2(-≈f 及其误差限公式R ，三阶牛顿插值多项式P 及其系数向量C ，差商的矩阵A 如下 y = 22.3211 R = 65133/562949953421312*M （即R =2.3503*M ） A= 27.0000 0 0 0 1.0000 -6.5000 0 0 2.0000 1.0000 1.5000 0 17.0000 15.0000 7.0000 0.9167 C = 0.9167 4.2500 -4.1667 1.0000 P = 11/12*x^3+17/4*x^2-25/6*x+1牛顿插值法的C语言编程
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