直线方程（知识整理）. 一．基础知识回顾 （1）直线的倾斜角 一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是)0(1800παα ≤≤. 注：①当 90=α或12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在. ②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. （2） 直线方程的几种形式 点斜式、截距式、两点式、斜截式.特别地，当直线经过两点),0(),0,(b a ，即直线在x 轴， y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时，直线方程是：1=+b y a x . 附直线系：对于直线的斜截式方程b kx y +=，当b k ,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果b k ,变化时，对应的直线也会变化.①当b 为定植，k 变化时，它们表示过定点（0，b ）的直线束.②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行直线. （3）两条直线的位置关系 10 两条直线平行 1l ∥212k k l =?两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的 斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误. （一般的结论是：对于两条直线21,l l ，它们在y 轴上的纵截距是21,b b ，则 1l ∥212k k l =?， 且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在，即2121A B B A =是平行的必要不充分条件，且21C C ≠） 推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=?l . 20 两条直线垂直 两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有12121-=?⊥k k l l 这里的前提是21,l l 的斜率都存在. ②0121=?⊥k l l ，且2l 的斜率不存在或02=k ，且1l 的斜率不存在. （即01221=+B A B A 是垂直的充要条件） （4）两条直线的交角
空间直线与平面的方程及其位置关系
————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期:
空间直线与平面的方程以及位置关系 高天仪 20101105295 数学科学学院 数学与应用数学专业 １0级汉二班 指导教师 李树霞 摘 要 解析几何中,在建立平面与空间直线的方程与讨论他们的性质时，充分运用了向量这一工具,通过向量来处理这类问题的好处是与坐标的选取是无关的。平面与空间直线方程的建立，就使得有关平面与空间直线的几何问题转化为这些稽核对象的方程的代数问题了。 关键词 空间直线、方向向量、参数方程、方向数 1 空间直线的方程 1.１ 直线的对称式（点向式)方程 空间给定了一点0M 与一个非零向量v ,那么通过点0M 且与向量v 平行的直线l 就被唯一确定,向量v 叫直线l 的方向向量. 任何一个与直线l 平行的非零向量都可以作为直线l 的方向向量. 直线l 过点),,(0000z y x M ,方向向量{}Z Y X v ,,= .设),,(z y x M 为l 上任意一 点,00r OM =, r OM =,由于M M 0与v （非零向量)共线, 则 v t r r =-0 即 v t r r +=0 （1.1－1） 叫做直线l 的向量式参数方程,（其中ｔ为参数)。 如果设},,{0000z y x r = ，},,{z y x r = 又设},,{Z Y X v = ,那么 （１.1-1）式得 ?? ? ??+=+=+=Zt z z Yt y y Xt x x 000 （１.１-2) （1.１－1)叫做直线l 的坐标式参数方程。
直线与方程 1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. 2、倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα ⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 4、直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，
如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即
直线的点斜式方程 1、 直线的点斜式方程：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k )(00x x k y y -=- 2、、直线的斜截式方程：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b b kx y += 3.2.2 直线的两点式方程 1、直线的两点式方程：已知两点),(),,(222211 y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠ y-y1/y-y2=x-x1/x-x2 2、直线的截距式方程：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a 3.2.3 直线的一般式方程 1、直线的一般式方程：关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0） 2、各种直线方程之间的互化。 3.3直线的交点坐标与距离公式 3.3.1两直线的交点坐标 1、给出例题：两直线交点坐标 L1 ：3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0 解：解方程组 3420 2220x y x y +-=??++=? 得 x=-2，y=2
课题：直线与直线方程 考纲要求： ① 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；② 理解直线的倾斜 角和斜率概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；③掌握确定直线位置的几何要素，掌 握直线方程 的几种形式（点斜式、两点式和一般式） ，了解斜截式与一次函数的关系 ? 教材复习 1.倾斜角：一条直线I 向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角， 叫做直线的倾斜角， 范 围为0,.斜率：当直线的倾斜角不是 90时，则称其正切值为该直线的斜率，即 k tan ;当直线的倾斜角等于 90时，直线的斜率不存在。 若X i x ，则直线RP 2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为 90 . 3. （课本R 36）直线的方向向量：设 A, B 为直线上的两点，则向量 AB ^与它平行的向量都 称为直线的方向向量.若A X|,y i ， B x 2, y 2 ，则直线的方向向量为 A B x 2为，『2 y i 直线Ax By C 0的方向向量为 B,A .当x i x 2时，i,k 也为直线的一个方向向量. 4. 直线方程的种形式： 基本知识方法 1. 直线的倾斜角与 斜率的关系：斜率k 是一个实数，当倾斜角 90时， k tan ，直线都有倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为 90的 直线无斜率. 2. 求直线方程的方法： 2.过两点 R X i ,y i , F 2 x 2, y 2 x i x 2的直线的斜率公式：k tan y 2 y i
1直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中系数, 写出直线方程； 2待定系数法：先根据已知条件设出直线方程?再根据已知条件构造关于待定系数的方程（组）求系数，最后代入求出直线方程. 3. 1求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨 论.2在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论. 4. 直线方程一般要给出一般式. 典例分析： 考点一直线的倾斜角和斜率 问题1.已知两点A 1,2，B m,3 . 1求直线AB的斜率k和倾斜角; 2求直线AB的方程；3若实数m ，求AB的倾斜角的范围. 问题2. 1 （01河南）已知直线l过点P 0,0且与以点A 2, 2，B 1, 1为 端点的线段相交，求直线I的斜率及倾斜角的范围.2求函数y 舸一1的值域. 3 cos
? 知识网络 ? 课堂学习 题型1：直线的倾斜角与斜率 倾斜角 ()??90,0 ?90 ()??180,90 斜率 取值 ()+∞,0 不存在 ()0,∞- 增减性 / 递增 / 递增 1、直线的倾斜角 2、两直线的平行与垂直 3、直线的五种方程 4、两直线的交点坐标 5、距离公式 ① 直线的倾斜角：?<≤?1800α ② 直线的斜率：()?≠=90tan ααk ③ 已知两点求斜率：()121 21 2x x x x y y k ≠--= ① 平行：21//l l ，则21k k =或21k k 、不存在 ② 垂直：21l l ⊥，则121-=?k k 或01=k 且2k 不存在 ① 联立两直线方程，求交点坐标 ① 点斜式：()00x x k y y -=- ② 斜截式：b kx y += ③ 两点式： 1 21 121x x x x y y y y --=-- ④ 截距式： 1=+b y a x ⑤ 一般式：0=++C By Ax （B A 、不能同时为零） ①两点间距离：()()21221221y y x x P P -+-= ②点()000y x P 、到直线0:=++C By Ax l 距离2 2 00B A C By Ax d +++= 直线方程
考点1：直线的倾斜角 例1、过点),2(a M -和)4,(a N 的直线的斜率等于1, 则a 的值为( ) A 、1 B 、4 C 、1或3 D 、1或4 变式1：已知点)3,1(A 、)33,1(-B ，则直线AB 的倾斜角是（ ） A 、?60 B 、?30 C 、?120 D 、?150 变式2：已知两点()2,3A ，()1,4-B ，求过点()1,0-C 的直线l 与线段AB 有公共点求直线l 的斜率k 的取值范围 考点2：直线的斜率及应用 斜率公式 1 21 2x x y y k --= 与两点顺序无关，即两点的横纵坐标在公式中的前后次序相同； 斜率变化分两段， 2 π 是分界线，遇到斜率要特别谨慎 例1：已知R ∈θ，则直线013sin =+-y x θ的倾斜角的取值范围是（ ） A 、[]?30,0 B 、[)??180,150 C 、[][)???180,15030,0 D 、[]??150,30 例2、三点共线——若三点()2,2A 、()0,a B 、()b C ,0，()0≠ab 共线，则 b a 1 1+的值等于 变式2：若()3,2-A 、()2,3-B 、?? ? ??m C ,21三点在同一直线上，则m 的值为（ ） A 、2- B 、2 C 、2 1- D 、 2 1 考点3：两条直线的平行和垂直 对于斜率都存在且不重合的两条直线 21l l 、，2121//k k l l =?，12121-=??⊥k k l l 。若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少要特别注意 例、已知点()2,2M ，()2,5-N ，点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的P 点坐标。 (1)OPN MOP ∠=∠(O 是坐标原点)；(2) MPN ∠是直角 题型2：直线方程 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜 ()00x x k y y -=- ()11y x 、为直线上一定点，k 为斜率 不包括垂直于x 轴的直线
第三章 直线与方程测试题 一．选择题1．若直线过点(3,－3)且倾斜角为30°,则该直线的方程为（ ） A ．y ＝3x －6 B. y ＝ 33x ＋4 C . y ＝33x －4 D. y ＝3 3x ＋2 2. 如果A (3, 1)、B (－2, k )、C (8, 11), 在同一直线上，那么k 的值是（ ）。 A. －6 B. －7 C. －8 D. －9 3. 如果直线 x ＋by ＋9=0 经过直线 5x －6y －17=0与直线 4x ＋3y ＋2=0 的交点，那么b 等于（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 直线 (2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m =0的倾斜角是450, 则m 的值为（ ）。 A.2 B. 3 C. －3 D. －2 5.两条直线023=++m y x 和0323)1(2=-+-+m y x m 的位置关系是( ) A.平行 B .相交 C.重合 D.与m 有关 *6．到直线2x +y +1=0的距离为55 的点的集合是( ) A.直线2x+y －2=0 B.直线2x+y=0 C.直线2x+y=0或直线2x+y －2=0 D .直线2x+y=0或直线2x+2y+2=0 7直线02=+-b y x 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么b 的取值范围是（ ） Ａ．[]2,2- Ｂ．(][)+∞?-∞-,22, Ｃ．[)(]2,00,2?- Ｄ．()+∞∞-,
*8．若直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于M，N两点，且MN的中点是P（1，－1），则直线l的斜率是（） A．－2 3 B． 2 3 C．－ 3 2 D． 3 2 9．两平行线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为213 13 ，则 c＋2 a的 值是( ) A .±1 B. 1 C. -1 D . 2 10．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是（） A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0 **11．点P到点A′（1，0）和直线x＝－1的距离相等，且P到直线y＝x的距 离等于 2 2 ，这样的点P共有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 *12．若y＝a｜x｜的图象与直线y＝x＋a（a＞0） 有两个不同交点，则a的取值范围是（） A．0＜a＜1 B．a＞1 C．a＞0且a≠1 D．a＝1 二．填空题（每小题5分，共4小题，共20分） 13. 经过点(－2,－3) , 在x轴、y轴上截距相等的直线方程是；或。
课题：直线与直线方程 考纲要求： ① 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；② 理解直线的倾斜角和斜率概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；③掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式和一般式），了解斜截式与一次函数的关系. 教材复习 1.倾斜角：一条直线l 向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范 围为[)0,π.斜率：当直线的倾斜角不是90?时，则称其正切值为该直线的斜率，即 tan k α=;当直线的倾斜角等于90?时，直线的斜率不存在。 2.过两点()111,P x y ,()222,P x y ()12x x ≠的直线的斜率公式:21 21 tan y y k x x α-== - 若12x x =，则直线12P P 的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90?. 3.（课本36P ）直线的方向向量：设,A B 为直线上的两点，则向量AB 及与它平行的向量都 称为直线的方向向量.若()11,A x y ，()22,B x y ，则直线的方向向量为AB =()2121,x x y y --. 直线0Ax By C ++=的方向向量为(),B A -.当12x x ≠时，()1,k 也为直线的一个方向向量. 4.直线方程的种形式：
1.直线的倾斜角与斜率的关系：斜率k 是一个实数，当倾斜角90α≠?时，tan k α=，直线都有倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90?的直线无斜率． 2.求直线方程的方法： ()1直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中系数，写出直线方程； ()2待定系数法：先根据已知条件设出直线方程．再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程． 3. ()1求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论．()2在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论． 4.直线方程一般要给出一般式. 典例分析： 考点一 直线的倾斜角和斜率 问题1. 已知两点()1,2A -，(),3B m .()1求直线AB 的斜率k 和倾斜角α； () 2求直线AB 的方程；()3若实数13m ?? ∈--???? ，求AB 的倾斜角α的范围. 问题2．()1（01河南）已知直线l 过点()0,0P 且与以点()2,2A --，()1,1B -为 端点的线段相交，求直线l 的斜率及倾斜角α的范围.()2求函数sin 1 3cos y θθ -=+的值域.
一、向量的向量积：b a ? 二、平面及其方程 一、平面的点法式方程 1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。 平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。 2．平面的点法式方程 已知平面上的一点) , , ( z y x M和它的一个法线向量} , , {C B A = n，对平面上的任一点) , , (z y x M，有向量⊥ M M n，即 M M ?= n 代入坐标式，有： ) ( ) ( ) ( = - + - + -z z C y y B x x A此即平面的点法式方程。 【求平面方程的方法】 233231131221 {,,}. a b a b a b a b a b a b a b ?=--- ; (1)在平面上找出一个点. (2)找出一个与平面垂直的非零向量(法向)
二、 平面的一般方程 任一平面都可以用三元一次方程来表示。 平面的一般方程为： 0=+++D Cz By Ax 几个平面图形特点： 1）D ＝0：通过原点的平面。 2）A ＝0：法线向量垂直于x 轴，表示一个平行于x 轴的平面。 同理：B ＝0或C ＝0：分别表示一个平行于y 轴或z 轴的平面。 3）A ＝B ＝0：方程为0=+D C Z ，法线向量},0,0{C ，方程表示一个平行于xoy 面的平面。 同理：0=+D A X 和0=+D B Y 分别表示平行于yoz 面和xoz 面的平面。 4）反之：任何的三元一次方程，例如：011765=+-+z y x 都表示一个平面，该平面的法向量为}7,6,5{-=n
例2：设平面过原点及点)2,3 ,6(-，且与平面8 2 4= + -z y x垂直，求此平面方程。 解：设平面为0 = + + +D Cz By Ax，由平面过原点知0 = D 由平面过点)2,3 ,6(-知0 2 3 6= + -C B A， {4,1,2} ⊥- n0 2 4= + - ∴C B A C B A 3 2 - = = ? 所求平面方程为0 3 2 2= - +z y x 三、空间直线及其方程 一、空间直线的一般方程 空间直线可以看成是两个平面的交线。故其一般方程为： ? ? ? = + + + = + + + 2 2 2 2 1 1 1 1 D z C y B x A D z C y B x A 二、空间直线的对称式方程与参数方程 平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。 已知直线上的一点) , , ( z y x M和它的一方向向量} , , {p n m = s，设直线上任一点为) , , (z y x M，那么 M 与s平行，由平行的坐标表示式有： p z z n y y m x x - = - = - 此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）。 . 的直线 为方向向量 ) 3 , 0,2 ( 且以 ) 3,2,1( 表示过点 3 - 3 2 2 1 例如- - = - = - s z y x
直线与方程基础练习题 一、选择题 1．过点(1,0)且与直线220x y --=平行的直线方程是（ ） A ．210x y +-= B ．210x y -+= C ．220x y +-= D ．210x y --= 2．已知直线l 过点（0，7），且与直线42y x =-+平行，则直线l 的方程为（ ）. A. 47y x =-- B. 47y x =- C. 47y x =-+ D. 47y x =+ 3．过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程是( ) A ．x －2y ＋7＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x －2y －5＝0 D ．2x ＋y －5＝0 4．已知直线l 的方程为2 0(0)x y a a --=≠,则下列叙述正确的是( ) A. 直线不经过第一象限B. 直线不经过第二象限C. 直线不经过第三象限 D. 直线不经过第四象限 5．过点(1,3)-且平行于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A.072=+-y x B.012=-+y x C ．250x y --= D ．052=-+y x 6．已知两条直线01:1=-+y x l ，023:2=++ay x l 且21l l ⊥，则a = ． -3 D ．3 7．在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 8．若三点(2,3),(5,0),(0,)(0)A B C b b ≠共线，则b = A ．2 B ．3 C ．5 D ．1 9．如果直线（m+4）x+（m+2）y+4=0与直线(m+2)x+(m+1)y-1=0互相平行，则实数m 的值等于( ) A 、0 B 、2 C 、-2 D 、0或-2 10．已知直线αsin :1x y l =和直线c x y l +=2:2，则直线1l 与2l （ ）。 A.通过平移可以重合B.不可能垂直C.可能与x 轴围成等腰直角三角形 D.通过1l 上某一点旋转可以重合 11．已知点A(0, –1)，点B 在直线x –y+1=0上，直线AB 垂直于直线x+2y –3=0，则点B 的坐标是( ) A.(–2, –3) B.(2, 3) C.(2, 1) D.(–2, 1)
空间平面方程的求法 摘 要：空间平面是空间解析几何中最简单而又最基本的图形之一，所以确定它的方程有着重要意义。研究各种求解方程的方法，不难发现，用代数的方法能够定量地建立平面的各种形式的方程。 关键词：空间平面 平面方程 方程的求解 空间解析几何主要是研究三维空间中的平面，学习空间平面首先要明确他们的方程，我们在求解的过程中，了解方程的特点熟悉常用的确定平面的方法。在这些方法中我们重点运用代数的方法定量的研究空间最简单而又最基本的图形，即空间平面。在学习这种方法时，有时矢量代数的知识掌握运用得不好，再加上缺乏空间想象力，搞不清所求平面与已知条件，容易为求解方程带来困难。为解决这个困难我们要深入的探讨空间平面的求解方法。 如何根据已知条件写出平面方程呢？对这类问题的求解是否有规律可循？虽然在求这类问题时题目中会给出很多不同的已知条件，只要我们采用相应的解题方法，就会求出不同的关于平面方程的正确形式。求解方程没有什么普遍的万能的方法，所以必须全面掌握这部分的知识，再通过大量的练习来逐步的巩固。在此，我通过一些实例探讨求这类方程的方法。 1、 用参数方程 题目的已知条件是给出平面所经过的一个定点以及平面的两个方位矢量，有的题型是要求把所给的方程形式化为参数方程或者把已知的参数方程化为一般方程。 ①矢量式参数方程 →r =→ r 0 + t 1→r 1 +t 2→r 2 其中→r 1 ={X 1,Y 1,Z 1}, →r 2 ={X 2,Y 2,Z 2} ②坐标式参数方程?? ? ??++=++=++=22110221102 2110Z t Z t z z Y t Y t y y X t X t x x 例1、 写出下面的参数方程：通过点)1,3,2(A 并平行于)1,0,3(),3,1,2(21-=-=v v 解：所求的参数方程为?? ? ? ?v u z u y v u x -+=-=++=313322 例2、证明矢量},,{Z Y X v = 平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： 0=++CZ BY AX 证明：不妨设0=+++D Cz By Ax 中的0≠A ，把这平面的方程化为参数式： ,,,v z u y v A C u A B A D x ==--- =所以平面的两方位矢量是}0,1,{A B -与}1,0, {A C -,从而
直线方程公式 1.斜率公式 ①若直线的倾斜角为α（00≤α＜1800）, 则k=tan α (α2π≠ ) ②若直线过点111(,)P x y 和222(,)P x y 两点. 则2121y y k x x -=- 解题时，要从斜率存在与不存在两个方面分类讨论。点P 1（x 1,y 1），P 2（x 2,y 2）的中点P 0（x 0,y 0），则x 0=（x 1+ x 2）/2，y 0=（y 1+ y 2）/2。 2.方向向量坐标 ： ()()k y y x x x x p p x x ,1,11 1 212122112=---=- 3.两条直线的平行和垂直 【1】两直线平行的判断 （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，则l 1∥l 2充要条件是k 1=k 2,且b 1≠b 2。 （2）若l 1：x=x 1， l 2：x=x 2，则l 1∥l 2充要条件是x 1≠x 2。 （3）不重合的两条直线l 1、l 2倾斜角分别为α1、α2，则l 1∥l 2充要条件是α1=α2。 （4）l 1：A 1x+B 1y+C 1=0， l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零，则l 1∥l 2充要条件是A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1≠0（或A 1C 2-A 2C 1≠0）。11112222 ||A B C l l A B C ?=≠。 【2】两直线垂直的判断 （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，则l 1⊥l 2充要条件是k 1·k 2=-1。 （2）若l 1的斜率不存在，则l 1⊥l 2充要条件是l 2的斜率为零。 （3）两条直线l 1、l 2倾斜角分别为α1、α2，则l 1⊥l 2充要条件是21a -a =900。 （4）l 1：A 1x+B 1y+C 1=0， l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零，则l 1⊥l 2充要条件是A 1A 2+B 1B 2=0。 【3】两直线相交的判断 （1）两直线方程组成的方程组有唯一解是两直线相交的充要条件。 （2）两直线斜率存在时，斜率不等是两直线相交的充要条件。 （3）两直线倾斜角不相等是两直线相交的充要条件。
必修2 第二章 解析几何初步 第一节：直线与直线方程（王建明） 一、直线的倾斜角和斜率 （1）倾斜角定义：平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ， 把__x 轴(正方向)_按__逆时针__方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角， 叫作直线l 的倾斜角。（0°≤α<180°） （2）斜率k=tan α=1 212x x y y -- （0°≤α＜180°），当α=90时，k 不存在。（两种求法，注意21x x =的情况）（3）函数y=tanx 在)90,0[0增加的，在)180,90(00也是增加的。 例1：过点M （-2，m ）,N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为 。 例2：过两点A （m 2+2,m 2-3）,B （3-m-m 2,2m ）的直线l 的倾斜角为45°求m 的值。 例3：已知直线l 经过点P （1,1），且与线段MN 相交，又M （2，-3），N （-3，-2），求直线l 的斜率k 的取值范围。 例4：已知a ＞0,若平面内三点A （1，—a ），B （2，a 2）,C(3,a 3)共线，则a 值为 。 练习： 1经过点P (2，m )和Q (2m ，5)的直线的斜率等于12 ，则m 的值是( B ) A ．4 B ．3 C ．1或3 D ．1或4 变：的取值范围的斜率的直线求经过点 )1,cos (),sin ,2( k l B A θθ-- 2. 已知直线l 过P(－1，2)，且与以A(－2，－3)、B(3，0)为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围． 点评：要用运动的观点，研究斜率与倾斜角之间的关系！答案： ? ?? ??－∞，－12∪[5，＋∞) 3.已知坐标平面内三点A (－1，1)，B (1，1)，C (2，3＋1)，若D 为△ABC 的边AB 上一动点，求直线CD 斜率k 的变化范围． 答案：? ???－∞，－12∪[5，＋∞) 二、两直线的平行与垂直 1.平行的判定： 2. 垂直的判定： 例（1）l 1 经过点M （-1，0）, N (-5,-2)，l 2经过点R （-4,3），S （0,5），l 1与l 2是否平行？ （2）l 1 经过点A （m ，1）, B (-3,4), ）l 2 经过点C （1，m ）, D (-1, m+1),确定m 的值，使l 1//l 2。 练习：
平面空间直线及其方程 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
一、向量的向量积：b a ? 二、平面及其方程 一、平面的点法式方程 1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。 平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。 2．平面的点法式方程 已知平面上的一点),,(0000z y x M 和它的一个法线向量},,{C B A =n ，对平面上的任一点),,(z y x M ，有向量⊥M M 0n ，即 00M M ?=n 代入坐标式，有： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 此即平面的点法式方程。 【求平面方程的方法】 233231131221{, , }. a b a b a b a b a b a b a b ?=---;(1)在平面上找出一个点.(2)找出一个与平面垂直的非零向量(法向)
二、平面的一般方程 任一平面都可以用三元一次方程来表示。 平面的一般方程为： +D Cz By Ax + = + 几个平面图形特点： 1）D＝0：通过原点的平面。 2）A＝0：法线向量垂直于x轴，表示一个平行于x轴的平面。 同理：B＝0或C＝0：分别表示一个平行于y轴或z轴的平面。
3）A ＝B ＝0：方程为0=+D C Z ，法线向量},0,0{C ，方程表示一个平行于xoy 面的平面。 同理：0=+D A X 和0=+D B Y 分别表示平行于yoz 面和xoz 面的平面。 4）反之：任何的三元一次方程，例如：011765=+-+z y x 都表示一个平面，该平面的法向量为}7,6,5{-=n 例2：设平面过原点及点)2,3,6(-，且与平面824=+-z y x 垂直，求此平面方程。 解：设平面为0=+++D Cz By Ax ，由平面过原点知 0=D 由平面过点)2,3,6(-知 0236=+-C B A ， {4,1,2}⊥-n 024=+-∴C B A C B A 3 2-==? 所求平面方程为0322=-+z y x 三、空间直线及其方程 一、空间直线的一般方程 空间直线可以看成是两个平面的交线。故其一般方程为： ???=+++=+++002222 1111D z C y B x A D z C y B x A 二、空间直线的对称式方程与参数方程 平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。
一、向量的向量积：b a ? 二、平面及其方程 一、平面的点法式方程 1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。 平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。 2．平面的点法式方程 已知平面上的一点),,(0000z y x M 和它的一个法线向量},,{C B A =n ，对平面上的任一点),,(z y x M ，有向量⊥M 0n ，即 00M M ?=n 代入坐标式，有： 此即平面的点法式方程。 【求平面方程的方法】 233231131221{, , }. a b a b a b a b a b a b a b ?=---;(1)在平面上找出一个点. (2)找出一个与平面垂直的非零向量(法向)
二、 平面的一般方程 任一平面都可以用三元一次方程来表示。 平面的一般方程为： 几个平面图形特点： 1）D ＝0：通过原点的平面。 2）A ＝0：法线向量垂直于x 轴，表示一个平行于x 轴的平面。 同理：B ＝0或C ＝0：分别表示一个平行于y 轴或z 轴的平面。 3）A ＝B ＝0：方程为0=+D C Z ，法线向量},0,0{C ，方程表示一个平行于xoy 面的平面。 同理：0=+D A X 和0=+D B Y 分别表示平行于yoz 面和xoz 面的平面。 4）反之：任何的三元一次方程，例如：011765=+-+z y x 都表示一个平面，该平面的法向量为}7,6,5{-=n 例2：设平面过原点及点)2,3,6(-，且与平面824=+-z y x 垂直，求此平面方程。 解：设平面为0=+++D Cz By Ax ，由平面过原点知 0=D 由平面过点)2,3,6(-知 0236=+-C B A ， {4,1,2}⊥-n 024=+-∴C B A C B A 3 2-==? 所求平面方程为0322=-+z y x
直线方程 考点一斜率与倾斜角 例1. 已知直线l . A . 60° B . 30° C . 60°或120° D . 30°或150°
例2.已知过两点22(2,3)A m m +-, 2(3,2)B m m m --的直线l 的倾斜角为45°，求实数m 的值. 考点二三点共线 例1.已知三点A (a ，2)、B (3，7)、C (-2，-9a )在一条直线上，求实数a 的值． 考点三斜率范围 例1.已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线l 与线段AB 始终有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围. 例2.已知实数x 、y 满足28,x y +=当2≤x ≤3时，求y x 的最大值与最小值。
二、直线方程
考点四直线的位置关系 例1.已知直线1:60l x my ++=，2:(2)320l m x y m -++=，求m 的值，使得： （1）l 1和l 2相交；（2）l 1⊥l 2；（3）l 1//l 2；（4）l 1和l 2重合. 例2.已知直线1l 的方程为223,y x l =-+的方程为42y x =-，直线l 与1l 平行且与2l 在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程。 例3.ABC ?的顶点(5,1),(1,1),(2,)A B C m -，若ABC ?为直角三角形，求m 的值. 例4.已知过原点O 的一条直线与函数y =log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数2log y x =的图象交于C 、D 两点. （1）证明：点C 、D 和原点O 在同一直线上. （2）当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.
直线与方程知识点 一 、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角 ① 关于倾斜角的概念要抓住三点： ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向. ② 直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0 0. ③ 倾斜角α的范围00 0180α≤<. ④ 0,900≥?≤?k πα； 0,18090πππk ??α （2）直线的斜率 ①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为0 90的直线斜率不存在。 ②经过两点),(),,(222111y x P y x P （21x x ≠）的直线的斜率公式是1 21 2x x y y k --=（21x x ≠） ③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。 （3）直线的倾斜角与斜率关系 (4)、利用斜率证明三点共线的方法： 已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。 注：斜率变化分成两段，0 90是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。 Eg:比较图1的斜率大小 练习1 如果A (3, 1)、B (－2, k )、C (8, 11), 在同一直线上，那么k 的值是（ ）。 A. －6 B. －7 C. －8 D. －9 2. 如图1，直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则必有() A. k 1 3已知两点M(2，-3)，N(-3，-2)，直线l 过点P(1,1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围 为 (A) A 443-≤≥ k k 或 B -443≤≤k C 443≤≤k D -44 3 ≤≤k 二 、两条直线平行与垂直的判定 直线如果是点斜式 （1）两条直线平行 对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ?=。 特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。 （2）两条直线垂直 如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥?=-g 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。 （3）对于一般式直线平行与垂直问题 已知 0:11=++C By Ax l , 0:22=++C By Ax l ，则： （1）0212121=+?⊥B B A A l l （2）;0,0-//1221122121≠-=?C A C A B A B A l l （3）;0,0-1221122121=-=?C A C A B A B A l l 重合与 （4）1l 与2l 相交01221≠-?B A B A （4）如果2220A B C ≠时，则： (1)122 1121-=??⊥B A B A l l (2)?21//l l ）不为0,,(2222 12121C B A C C B B A A ≠=； (3)1l 与2l 重合?）不为0,,(222212121C B A C C B B A A == (4)1l 与2l 相交?）不为0,(222 121B A B B A A ≠ 三 、直线的方程 （1）直线方程的几种形式 数学必修二第二章第一、二节 平面直角坐标系中的基本公式与直线方程 C 卷 一、选择题 1.设点A(2,-3),B(-3,-2)，直线l 过点P(1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值围是（ ） 2.若直线03)1(:1=--+y a ax l 与直线02)32()1(:2=-++-y a x a l 互相垂直，则a 的值是( ) A.3- B. 1 C. 0或2 3 - D. 1或3- 3.若直线l 的倾斜角α满足0150α??≤<，且90α? ≠，则它的斜率k 满足( ) A ．303k - <≤ B ．33 k >- C ．03k k ≥<-或 D ．3 0k k ≥<或 4.下列说确的是 （ ） A ．经过定点 ()Px y 000 ，的直线都可以用方程 ()yy k xx -=-00 表示 B ．经过定点()b A ，0的直线都可以用方程y k x b =+表示 C ．不经过原点的直线都可以用方程x a y b +=1表示 D ．经过任意两个不同的点()()222111y x P y x P ，、，的直线都可以用方程 ()()()()y y x xx x y y --=--121121表示 5.设两条直线的方程分别为00,x y a x y b ++=++=和已知,a b 是关于x 的方程 20x x c ++=的两个实数根，且0≤c ≤1 8 ，则这两条直线之间距离的最大值和最小值分 别为( ) A. 21,42 B. 22 C. 12,2 D. 2122 6.若动点1122(,),(,)A x y B x y 分别在直线12:70:50l x y l x y +-=+-=和上移动，则线段 AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( ) A ．2 3 B ．3 3 C ．3 2 D ．4 2 7.对于平面直角坐标系任意两点11(, )A x y ，22(, )B x y ，定义它们之间的一种“折线距离”： 2121(,)||||d A B x x y y =-+-．则下列说确． 的个数是（ ） ①若()1,3A -，()1,0B ，则(,)5d A B =； ②若点C 在线段AB 上，则(,)(,)(,)d A C d C B d A B +=； ③在ABC ?中，一定有(,)(,)(,)d A C d C B d A B +>； ④在平行四边形ABCD ，一定有(,)(,)(,)(,)d A B d A D d C B d C D +=+. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8.已知两定点A(-3，5)，B(2，15)，动点P 在直线3x-4y ＋4＝0上，则PA ＋PB 的最小值为( ) A ．513 B ．362 C ．155 D ．5＋102 二、填空题 9.设直线L 过点A （2，4），它被平行线x-y+1=0与x-y-1=0所截是线段的中点在直线x+2y-3=0上，则L 的方程是_____________________ 10.无论m 为何值，直线l ：（2m+1）x+（m+1）y ﹣7m ﹣4=0恒过一定点P ，则点P 的坐标为 ． 11.原点O 在直线L 上的射影为点H （-2，1），则直线L 的方程为_____________.平面直角坐标系中的基本公式和直线方程
相关主题
文本预览