线性代数是高等代数的一大分支。我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意, 而且写了成千篇关于这两个课题的文章。向量的概念, 从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合, 然而它以力或速度作为直接的物理意义, 并且数学上用它能立刻写出物理上所说的事情。向量用于梯度, 散度, 旋度就更有说服力。同样, 行列式和矩阵如导数一样（虽然dy/dx 在数学上不过是一个符号, 表示包括△y/△x 的极限的长式子, 但导数本身是一个强有力的概念, 能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情）。因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具。
线性代数学科和矩阵理论是伴随着线性系统方程系数研究而引入和发展的。行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683 年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，意思是“ 解行列式问题的方法” ，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家，微积分学奠基人之一莱布尼兹（Leibnitz ，1693 年）。1750 年克莱姆（Cramer ）在他的《线性代数分析导言》（Introduction d l'analyse des lignescourbesalge'briques）中发表了求解线性系统方程的重要基本公式（既人们熟悉的Cramer 克莱姆法则）。1764 年, Bezout把确定行列式每一项的符号的手续系统化了。对给定了含n 个未知量的n 个齐次线性方程, Bezout证明了系数行列式等于零是这方程组有非零解的条件。Vandermonde是第一个对行列式理论进行系统的阐述( 即把行列' 式理论与线性方程组求解相分离) 的人。并且给出了一条法则，用二阶子式和它们的余子式来展开行列式。就对行列式本身进行研究这一点而言，他是这门理论的奠基人。Laplace 在1772 年的论文《对积分和世界体系的探讨》中, 证明了Vandermonde 的一些规则, 并推广了他的展开行列式的方法, 用r 行中所含的子式和它们的余子式的集合来展开行列式，这个方法现在仍然以他的名字命名。德国数学家雅可比（Jacobi ）也于1841 年总结并提出了行列式的系统理论。另一个研究行列式的是法国最伟大的数学家柯西(Cauchy) ，他大大发展了行列式的理论，在行列式的记号中他把元素排成方阵并首次采用了双重足标的新记法，与此同时发现两行列式相乘的公式及改进并证明了laplace的展开定理。相对而言，最早利用矩阵概念的是拉格朗日（Lagrange ）在1700 年后的双线性型工作中体现的。拉格朗日期望了解多元函数的最大、最小值问题，其方法就是人们知道的拉格朗日迭代法。为了完成这些，他首先需要一阶偏导数为0 ，另外还要有二阶偏导数矩阵的条件。这个条件就是今天所谓的正、负的定义。尽管拉格朗日没有明确地提出利用矩阵。
高斯（Gauss ）大约在1800 年提出了高斯消元法并用它解决了天体计算和后来的地球表面测量计算中的最小二乘法问题。（这种涉及测量、求取地球形状或当地精确位置的应用数学分支称为测地学。）虽然高斯由于这个技术成功地消去了线性方程的变量而出名，但早在几世纪中国人的手稿中就出现了解释如何运用“高斯”消去的方法求解带有三个未知量的三方程系统。在当时的几年里，高斯消去法一直被认为是测地学发展的一部分，而不是数学。而高斯- 约当消去法则最初是出现在由Wilhelm Jordan 撰写的测地学手册中。许多人把著名的数学家Camille Jordan 误认为是“高斯- 约当”消去法中的约当。
矩阵代数的丰富发展，人们需要有合适的符号和合适的矩阵乘法定义。二者要在大约同一时间和同一地点相遇。1848 年英格兰的J.J. Sylvester 首先提出了矩阵这个词，它来源于拉丁语，代表一排数。1855 年矩阵代数得到了Arthur Cayley的工作培育。Cayley研究了线性
变换的组成并提出了矩阵乘法的定义，使得复合变换ST 的系数矩阵变为矩阵S 和矩阵T 的乘积。他还进一步研究了那些包括矩阵逆在内的代数问题。著名的Cayley- Hamilton 理论即断言一个矩阵的平方就是它的特征多项式的根，就是由Cayley在1858 年在他的矩阵理论文集中提出的。利用单一的字母A 来表示矩阵是对矩阵代数发展至关重要的。在发展的早期公式det( AB ) = det( A )det( B ) 为矩阵代数和行列式间提供了一种联系。数学家Cauchy 首先给出了特征方程的术语，并证明了阶数超过3 的矩阵有特征值及任意阶实对称行列式都有实特征值；给出了相似矩阵的概念，并证明了相似矩阵有相同的特征值；研究了代换理论，
数学家试图研究向量代数，但在任意维数中并没有两个向量乘积的自然定义。第一个涉及一个不可交换向量积（既v x w 不等于w x v ）的向量代数是由Hermann Grassmann在他的《线性扩张论》（Die linealeAusdehnungslehre）一书中提出的。(1844) 。他的观点还被引入一个列矩阵和一个行矩阵的乘积中，结果就是现在称之为秩数为1 的矩阵，或简单矩阵。在19 世纪末美国数学物理学家Willard Gibbs 发表了关于《向量分析基础》( Elements of Vector Analysis ) 的著名论述。其后物理学家P. A. M. Dirac 提出了行向量和列向量的乘积为标量。我们习惯的列矩阵和向量都是在20 世纪由物理学家给出的。
矩阵的发展是与线性变换密切相连的。到19 世纪它还仅占线性变换理论形成中有限的空间。现代向量空间的定义是由Peano于1888 年提出的。二次世界大战后随着现代数字计算机的发展，矩阵又有了新的含义，特别是在矩阵的数值分析等方面。由于计算机的飞速发展和广泛应用，许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。于是作为处理离散问题的线性代数，成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。
本科生毕业论文 题目: 行列式的计算方法及应用专业代码: 070102 作者姓名: 李延雪 学号: 2007200676 单位: 2007 级 1 班 指导教师: 孙守斌 2011年 5 月20 日
原创性声明 本人郑重声明: 所提交的学位论文是本人在导师指导下, 独立进行研究取得的成果. 除文中已经注明引用的内容外, 论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果, 也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证明书而使用过的材料. 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体, 均已在文中以明确方式标明. 本人承担本声明的相应责任. 学位论文作者签名: 日期 指导教师签名: 日期
目录 前言 (1) 1.行列式的定义及其表示 (1) 1.1 行列式的定义 (1) 1.2 行列式的表示 (3) 2.行列式的性质 (4) 3.行列式的计算方法 (6) 3.1加边法 (6) 3.2利用已知公式 (7) 3.3数学归纳法 (10) 3.4递推法 (11) 3.5构造法 (12) 3.6拆项法 (13) 4.行列式的应用 (13) 4.1行列式在证明微分中值定理中的应用 (13) 4.2 行列式在求逆矩阵中的应用 (15) 4.3行列式在多项式理论中的应用 (15) 4.4 行列式在解析几何中的应用 (16) 结语 (17) 参考文献 (18) 致谢 (19)
摘要 行列式是研究高等代数的一个重要工具.在对行列式的定义及其性质研究的基础上,总结了计算行列式的几种常见方法：加边法、构造法、递推法、拆项法、数学归纳法等.另外,归纳了二条线性行列式、“两岸”行列式、上（下）三角形行列式、二条线叉型行列式及箭型行列式几类特殊行列式的计算公式.利用行列式证明明微分中值定理；并通过一些具体的实例介绍了行列式在求逆矩阵、求解几何图形方程和计算图形面积体积等多个方面的实际应用. 关键词：行列式；计算方法；行列式的应用
摘要 行列式是高等代数中重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用.通过对行列式基本理论的介绍，针对不同类型的行列式，结合具体例题，介绍行列式的计算方法，其中包括降阶法，升阶法，数学归纳法等. 关键词：行列式；范德蒙行列式；计算
Abstract The determinant is an important content of higher algebra, which having wide application in mathematics. Through the introduction of the basic theory of the determinant, combined with concrete examples, the calculation for different types of determinant are introduced, which including the reduction method, order method, mathematical induction, and so on. Key words: determinant；vandermonde determinant；calculation
目录 摘要 ................................................................................................................................I Abstract ....................................................................................................................... II 第1章行列式的形成和性质 .. (1) 第1节行列式的发展史 (1) 第2节行列式的性质 (2) 第2章行列式的计算方法 (4) 第1节化三角形法 (4) 第2节降阶法 (8) 第3节递推法 (9) 第4节加边法 (11) 第5节拆行（列）法 (12) 第6节数学归纳法 (14) 结论 (16) 参考文献 (17) 致谢 (18)
行列式的计算及应用毕业论文 目录 1. 行列式的定义及性质 (1) 1.1 行列式的定义 (1) 1.1.1 排列 (1) 1.1.2 定义 (1) 1.2 行列式的相关性质 (1) 2. 行列式的计算方法 (5) 2.1 几种特殊行列式的结果 (5) 2.1.1 三角行列式 (5) 2.1.2 对角行列式 (5) 2.2 定义法 (5) 2.3 利用行列式的性质计算 (5) 2.4 降阶法 (6) 2.5 归纳法 (7) 2.6 递推法 (8) 2.7 拆项法 (9) 2.8 用德蒙德行列式计算 (10) 2.9 化三角形法 (10) 2.10 加边法 (11) 2.11 拉普拉斯定理的运用 (12) 2.12 行列式计算的Matlab实验 (13) 3. 行列式的应用 (15) 3.1 行列式应用在解析几何中 (15) 3.2 用行列式表示的三角形面积 (15) 3.3 应用行列式分解因式 (16) 3.4 利用行列式解代数不等式 (17) 3.5 利用行列式来证明拉格朗日中值定理 (17) 3.6 行列式在实际中的应用 (18) 总结 (20) 参考文献 (21) 附录1 (22) 附录2 (22)
附录3 (23) 谢辞 (24)
1. 行列式的定义及性质 1.1 行列式的定义 1.1.1 排列[1] 在任意一个排列中，若前面的数大于后面的数，则它们就叫做一个逆序，在任意一个排列中，逆序的总数就叫做这个排列的逆序数. 1.1.2 定义[1] n 阶行列式 nn n n n n a a a a a a a a a D 21 22221 11211 = 就相当于全部不同行、列的n 个元素的乘积 n nj j j a a a 2121 (1-1-1) 的代数和，这里n j j j 21是n ,,2,1 的一个排列，每一项（1-1-1）都按下列规则带有符号：当n j j j 21是偶排列时，（1-1-1）是正值，当n j j j 21是奇排列时，（1-1-1）是负值.这一定义可以表述为 n n n nj j j j j j j j j nn n n n n a a a a a a a a a a a a D 21212121) (21 22221 11211 )1(∑-= = τ ， (1-1-2) 这里 ∑ n j j j 21表示对所有n 级排列求和. 由于行列指标的地位是对称的，所以为了决定每一项的符号，我们也可以把每一项按照列指标排起来，所以定义又可以表述为 n i i i i i i i i i nn n n n n n n a a a a a a a a a a a a D 21)(21 22221 11211 212121)1(∑-== τ. （1-1-3） 1.2 行列式的相关性质 记 nn n n n n a a a a a a a a a D 21 22221 112 11 = ,nn n n n n a a a a a a a a a D 212 2212 12111 '=,
专题讲座五行列式的计算方法 1.递推法 例1求行列式的值： （1） 的构造是：主对角线元全为；主对角线上方第一条次对角线的元全为，下方 第一条次对角线的元全为1，其余元全为0；即为三对角线型。又右下角的（n）表示行列式为n阶。 解把类似于，但为k阶的三对角线型行列式记为。 把（1）的行列式按第一列展开，有两项，一项是 另一项是 上面的行列式再按第一行展开，得乘一个n– 2 阶行列式，这个n– 2 阶行列式和原行列式的构造相同，于是有递推关系： （2） 移项，提取公因子β： 类似地： （递推计算） 直接计算
若；否则，除以后移项： 再一次用递推计算： ∴，当β≠α（3） 当β = α，从 从而。 由（3）式，若。 ∴ 注递推式（2）通常称为常系数齐次二阶线性差分方程. 注1仿照例1的讨论，三对角线型的n阶行列式
（3） 和三对角线型行列式 （4） 有相同的递推关系式 （5） （6） 注意 两个序列 和 的起始值相同，递推关系式（5）和（6）的构造也相同，故必有 由（4）式，的每一行都能提出一个因子a，故等于乘一个n阶行列式，这一个行列式就是例1的。前面算出，故 例2 计算n阶范德蒙行列式行列式 解:
即n阶范德蒙行列式等于这n个数的所有可能的差的乘积 2．拆元法 例3：计算行列式 解
①×（x + a） ②×（x – a）
3．加边法 例4计算行列式 分析：这个行列式的特点是除对角线外,各列元素分别相同.根据这一特点,可采用加边法. 解 4．数学归结法 例5计算行列式 解： 猜测： 证明 （1）n = 1, 2, 3 时，命题成立。假设n≤k– 1 时命题成立,考察n=k的情形：
线性代数行列式的计算与性质 行列式在数学中，是一个函数，其定义域为的矩阵，取值为一个标量，写作或。行列式可以看做是有向面积或体积的概 念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。 行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。 矩阵 A 的行列式有时也记作 |A|。绝对值和矩阵范数也使用这个记法，有可能和行列式的记法混淆。不过矩阵范数通常以双垂直线来表示（如： ），且可以使用下标。此外，矩阵的绝对值是没有定义的。因此，行 列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式）。例如，一个矩阵： A= ? ? ? ? ? ? ? i h g f e d c b a ， 行列式也写作，或明确的写作： A= i h g f e d c b a ， 即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代 行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。
行列式的计算及应用 毕晟 100220120 数字印刷一班 【摘要】通过了一年的线性代数学习，行列式是学习的重点，因而我对行列式的计算和应用进行总结性的说明，并借此对行列式进行复习。 【关键字】行列式 引言：行列式在本册书中极为重要，并且与其他的章节知识点比如矩阵求逆、向量组、方程等有紧密的联系,所以学好行列式是很重要的，通过这次论文，也可以对期末考试中的行列式问题进行必要的复习。 一． 行列式的计算 1. 定义法 根据定义公式解行列式。 例如： 二阶行列式中 2 521 = 85221-=?-? 三阶行列式中 4 213212 51=215644158531132221221135421=---++=??-??-??-??+??+?? 2.化成三角形行列式法 例求D ＝3 1 1 1的值 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 解D ＝3 1 1 1＝6 1 1 1 1 3 1 1 6 3 1 1 1 1 3 1 6 1 3 1 1 1 1 3 6 1 1 3 =1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 =1 1 1 1=48 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 3. 分解行列法 若行列式的某行（列）是两行（列）的和，则可将行列 式分解成两个行列式的和． 4.分离线性因子法 此法是把行列式看成含于其中的一个或一些字母的多项式，变换
它，若发现：它可被一些线性因子所整除，如果这些因子互素，它也可被 这些因子的积所整除，然后将行列式个别项与线性因子积的项比较，求 用这乘积除行列式的商，从而求得行列式的表达式。 5. 递推关系式法 此法是变换已知行列式，并按行或按列把它展开成较低阶的同类型 的行列式的表示式。所得到的等式为递推关系式。在递推关系是右端出 现几个低阶的行列式，然后就按行列式的一般形式计算几个低阶的行列 式。更高阶的行列式逐次由递推关系式算出，在表达n 阶行列式的递推 关系中，把在递推关系式中的n-1 换n 所得到的关于n-1 阶行列式的表 达式代入；其次，把n-2 阶行列式的类似表达式代入，依此类推，直到所 求n 阶行列式的一般表达式为止，递推关系式法是所研究的方法中最常 用的方法，它适用与较复杂的行列式。 6.拆分法 可以将行列式化简后，拆分为余子式进行计算。但计算量较大。 二． 行列式的应用 2.1 应用行列式解线性方程组（主要应用克莱姆法则，这里要注意应 用的条件） 2.2 雅可比行列式在隐函数组中的应用 2．3 非奇异矩阵的判别 2．4 计算矩阵的秩。求行列式的值 下面就我们学过的2.1和2.4进行解释说明： 用行列式解方程分为线性齐次方程和线性非齐次方程 例如2.1： 5 26421 43321321321=++=++=++x x x x x x x x x 于是可以用行列式表示： D=111642143 2156421411=D 1516221132=D 5 112421 433=D 所以 D D x 11= D D x 22= D D x 33= 2.4 A=0 141114 21 我们将其化简为最简阶梯型的行列式如：0 002102 01 则 R （A ）=2 三． 总结 行列式在线性代数中很重要，而它的应用也很广泛，对此，我们深入学习，就可以开拓思维、拓宽视野。
第一章 行列式试题及答案 一 选择题 (每小题3分，共30分) ⑴ n 元排列 i 1 i 2… i n 经过相邻对换，变为i n … i 2 i 1，则相邻对换的次数为( ) (A) n (B) n /2 (C) 2n (D) n (n -1)/2 ⑵ 在函数()x x x x x x f 21421 12---=中，x 3的系数是( ) (A) -2 (B) 2 (C) -4 (D) 4 ⑶ 若D n =det(a ij )=1，则det(－a ij ) = ( ) (A) 1 (B) -1 (C) (-1)n (D) (-1) n(n -1)/2 ⑷ 设 n n λλλλλλ 21 2 1 = ，则n 不可取下面的值是( ) (A)7 (B) 2k +1(k ≥2) (C) 2k (k ≥2) (D) 17 ⑸ 下列行列式等于零的是( ) (A)100123123- (B) 031010300- (C) 100003010- (D) 2614226 13- ⑹ 行列式D 非零的充分条件是( ) (A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例 (D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 ⑺ =+++1 11 222c bc ac bc b ab ac ab a ( ) (A) 1 000100 01222 +c bc ac bc b ab ac ab a (B) 1111122222 +++++c bc ac bc b ab ac ab c bc ac bc b ab ac ab a (C) 101011122 22 2 +++++c bc bc b ac ab c bc ac bc b ab ac ab a (D) 1 1122 2 bc ac bc ab ac ab c bc ac bc b ab ac ab a + ⑻ 设a ,b ,c 两两不同，则02 22=+++c b a c b a b a a c c b 的充要条件是( ) (A) abc =0 (B) a+b+c =0 (C) a =1, b =-1, c =0 (D) a 2 =b 2 , c =0 ⑼ 四阶行列式 =4 4 3 322 1 1 a b a b b a b a ( ) (A) (a 1a 2- b 1b 2) (a 3a 4- b 3b 4) (B) (a 1a 4- b 1b 4) (a 2a 3- b 2b 3) (C) (a 1b 2- a 2b 1) (a 3b 4- a 4b 3) (D) (a 1b 4- a 4b 1) (a 2b 3- a 3b 2) ⑽ 齐次线性方程组??? ??=-+=+-=-+03020 223 21321321x x x x x x x x x λ只有零解，则λ应满足的条 件是( ) (A) λ=0 (B) λ=2 (C) λ=1 (D) λ≠1 二 填空 (每小题3分，共15分) ⑴ 在五阶行列式中，3524415312a a a a a 的符号是_________。 ⑵ 五阶行列式=6 200357020381002 300031000___________。 ⑶ 设7 3 4 369 02 111 1875 1----= D ，则5A 14+A 24+A 44=_______。 ⑷ 若a ,b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100 a b b a 0。 ⑸ 设x 1,x 2,x 3是方程x 3+px +q =0的根，则行列式=1 32213 3 21 x x x x x x x x x __。 三 计算行列式 (每小题6分，共30分) ⑴ 0 112 2 1 032101132 2 2 1 13 1 3211----- ⑵ ()()()()()()()()()()()()2 22 2 2222 2222 2222321321321321++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ⑶ y y x x -+-+11 1 1 111111111111 ⑷ a c b a c b a c b a c b a ⑸ x b b b a x b b a a x b a a a x D n =(a ≠ b ) 四 证明题 (每小题10分，共20分) ⑴ 用归纳法证明: 任意一个由自然数1,2,…,n 构成的n 元排列，一定可以经过不超过n 次对换变成标准排列12…n ⑵ 设平面上三条不同的直线为 000 =++=++=++b ay cx a cy bx c by ax ， 证明: 三条直线交于一点的充分必要条件是0=++c b a
§ .函数行列式 教学目的 掌握函数行列式． 教学要求 (1)．掌握函数行列式 (2) 能用函数行列式解决一些简单的问题 一、函数行列式 由n A R ?到R 的映射（或变换）就是n 元函数，即 12(,,,,)n n x x x y f A R R R ∈????L ，或 1212(,,,),(,,,).n n y f x x x x x x A =∈L L 由n A R ?到n R 的映射（或变换）就是n 个n 元函数构成的函数组，即 1212(,,,,,,,)n n n n n x x x y y y f A R R R ∈????L L ，或 1112221212,12(,,),(,,),(,).(1)(,,). n n n n n n y f x x x y f x x x x x x A y f x x x =??=?∈? ??=?L L L L L L L 表为12(,,)n f f f L ，设它们对每个自变量都存在偏导数 ,1,2,1,2i j f i n j n x ?==?L L ，行列式1 1112222 121 2 n n n n n n f f f x x x f f f x x x f f f x x x ??????????????????L L M M M M L （2） 称为函数组12(,,)n f f f L 在点12,(,)n x x x L 的雅可比行列式，也称为函数行列式，表为 121212,12,(,,)(,,) (,) (,) n n n n f f f D f f f x x x D x x x ??L L L L 或 . 例：求下列函数组（变换）的函数行列式： 1.极坐标变换 cos , sin .x r y r ??=??=?
行列式的计算方法 摘要：本文叙述了行列式的发展历程，现状和研究方法分析。概述了一些计算方法，最后提出一些行列式的计算方法值得进一步探讨的问题。 关键词 :行列式；方程组；计算方法；加边法 1. 引言 行列式是人们为了研究二、三元的线性方程组而创建的，它是大学数学学习的一个重要内容，是求解线性方程组,求逆矩阵及求矩阵特征值的基础。而它的应用并不止局限于代数的范围,它也是许多其他学科研究的重要工具，如行列式经常被用于涉及到的电子工程、控制论、数学物理方程的研究等。而行列式的计算具有一定的规律性和技巧性，综合性较强，在行列式计算中需要我们多观察总结，才能更熟练地计算出行列式的值。在行列式的计算过程中，不同特征的行列式适用不同的方法，每一种方法都有它们各自的优点及其独特之处，因此具有非常重要的研究价值。本论文主要从2000 年到2012 年发表的若干期刊中，总结出行列式的计算的发展历程、现状以及研究的方向。 2. 正文 2.1行列式的历史： 行列式的概念最初是因方程组的求解而发展起来的，它的提出是在十七世纪，由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，那时已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。 十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。1750 年，瑞士数学家克莱姆在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。后来，数学家贝祖将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解。 1772 年，拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法。 十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。1815 年，柯西在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的处理，其中主要结果之一是行列式的乘法定理。1841年，雅可比发表了一篇关于函数行列式的论文，讨论函数的线性相关性与雅可比行列式的关系。十九世纪五十年代，凯莱和詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特将矩阵的概念引入数学研究中。行列式和矩阵之间的密切关系使得矩阵论发展的同时也带来了许多关于行列式的新结果，例如阿达马不等式、正交行列式、对称行列式等等。与此同时，行列式也被应用于各种领域中。 2.2行列式的现状： 行列式的计算一直是代数研究的一个重要课题，国内外学者专家已经总结了很多常用的技巧及方法，研究成果颇为丰硕。文献[1]-[23]黄娟霞、胡乔林、陈黎钦、李辉、毋光先等学者对行列式的一些计算方法做出的归纳，其中有几种是目前较常用的方法，主要有三角化法、拆项法、加边法、递推法、分离线性因子法、数学归纳法等，而几种尚未被广泛使用的方法主要有超范德蒙行列式法、微积分法、软件法、按拉普拉斯定理展开等。这
中南民族大学 毕业论文(设计) 学院: 数学与统计学学院 专业: 统计学年级:2008 题目: 行列式计算的若干方法 学生姓名: 曹金金学号:08067005
指导教师姓名: 汪宝彬职称:讲师 2012年4月30日
中南民族大学本科毕业论文（设计）原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果.除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品.本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担. 作者签名： 年月日
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 1 引言 (2) 2.1排列 (2) 2.2行列式的定义 (2) 2.2.1 二阶、三阶行列式 (2) 2.2.2 n阶行列式的定义 (3) 2.2.3 几种特殊的行列式的定义 (3) 2.3 行列式的基本性质 (5) 3几种常见的行列式的计算方法 (6) 3.1利用行列式定义直接计算 (6) 3.2 利用行列式的性质计算 (6) 3.3 三角化法 (7) 3.4 降阶法 (8) 3.5利用范德蒙德行列式求解 (10) 3.6 数学归纳法 (11) 3.7 拆项法 (12) 3.8析因子法 (13) 3.9 加边法(升阶法) (13) 3.10递推公式法 (14) 3.11超范德蒙行列式法 (15) 3.12利用分块计算行列式 (16) 4 结论 (16) 致谢 (17) 参考文献 (17)
行列式计算的若干方法 摘要：在线性代数中,行列式的求解是非常重要的. 本文首先介绍行列式的定义与性质；然后通 过实例给出了计算行列式的几种方法.从文中可以看出，选择合适的计算方法可有效的计算行列式. 关键词：行列式；性质；计算方法 Some Methods of Determinant Calculation Abstract: Determinant plays an important role in the linear algebra. In this paper we first introduce the definition and properties of determinant. Then several methods of the calculation are given by some examples. It can be seen from the paper that choose the appropriate calculation method can efficiently compute the determinant. Key words: determinant; property; the calculation methods
§11.2 .函数行列式 教学目的 掌握函数行列式． 教学要求 (1)．掌握函数行列式 的映射（或变换）就是12,,,,,,)n n x y y y f A ∈?,)n f ，设它们对每个自变量都存在偏导数121 212n n n n n n f x f x x x f f f x x x ???????????? 称为函数组12(,,)n f f f 在点12,(,)n x x x 的雅可比行列式，也称为函数行列式，表为 121212,12,(,, )(,, ) (,)(,) n n n n f f f D f f f x x x D x x x ??或.
例：求下列函数组（变换）的函数行列式： 1.极坐标变换 2.柱面坐标变换 . (,)(,)(,) ??? s t x y s t 证明：由复合函数的微分法则，有 由行列式的乘法，有
(,)(,)(,)(,)u u x x x y u v x y s t v v y y x y s t x y s t ??????????==??????????. 若一元函数()y f x =在点0x 某邻域具有连续的导数()f x '，且0()0f x '≠.由连续函数的保号性，在点0x 某邻域0,()()f x f x ''?与保持同一符号，因而在?函数()y f x =严格单调，它 .三、函数行列式的几何性质
一元函数()y f x =是1R 到1R 的映射.取定一点0x ，它的象是00()y f x =.当自变量x 在点0x 有改变量x ?，相应y 在0y 有改变量y ?.线段y ?的长y ?与线段x ?的长x ?之比y x 称 为映射f 在0x 到0x x +的平均伸缩系数，若当0x →时平均伸缩系数y x 存在极限，即 0000()()lim lim '(x x y f x x f x f x x →→+-==是映射 f 在点0x 的伸缩系数. )G ∈，(
9.3（2）作为判别式的二阶行列式 一、教学目标设计 1.通过经历在二元一次方程组系数行列式0≠D 和0=D 两种情形下讨论它的解的不同情况的过程，体验二元一次方程组系数行列式D 作为解的判别式的含义； 2.学会并掌握用二元一次方程组系数行列式D 判别（数字系数的）方程组解的情况的方法； 3.通过经历讨论字母系数二元一次方程组解的情况的过程，体验并掌握讨论的依据、步骤及（书写）表达． 二、教学重点及难点 二元一次方程组解的情况的判别与讨论． 三、教学流程设计 四、教学过程设计 一、温故求新 由上节课的例2解二元一次方程组及课后训练可以知道，这些方程组的系数行列式的值均不为零，即0≠D ，它们的解是唯一的．我们还通过举例得到了一些二元一次方程组，它们的系数行列式的值为零（即0=D ），但它们的解并不是唯一的，可能无解，也可能有无穷多解．那么，这样的情况是否具有一般性呢？二元一次方程组解的情
况与其系数行列式的值到底有怎样的关系呢？ [说明]温故求新是常用的教学策略． 二、学习新课 1．作为判别式的二元一次方程组系数行列式的研究 一般地，通过消元法可将二元一次方程组（*）???=+=+222 111c y b x a c y b x a 转化为? ??=?=?y x D y D D x D ，其中=D 21a a 21b b ，=x D 21c c 21b b ，=y D 21a a 21c c ，然后根据D 的取值情况进行分类讨论． 2．例题分析 分析讲解教材例题3、例4； 例3．判别下列二元一次方程组解的情况： （1）???=+=-2268534y x y x （2）???=+=+596364y x y x （3）?? ???=-=-232623y x y x [说明]体会判别方程组解的情况的依据与过程． 例4．解关于x 、y 的二元一次方程组，并对解的情况进行讨论： ? ??=++=+m my x m y mx 24 [说明]注意讨论的依据、一般顺序及书写表达． 3．问题拓展 ①“二元一次方程组系数行列式0=D ”是“方程组无解” 的________________条件．（编制类似的问题若干） ②构造一个二元一次方程组，使它的解的情况分别是“有唯一解”、“无解”、“有无穷多解”．
,. 行列式的运算与应用 实验目的: 1. 学习数据的输入及用syms语句先定义变量再输入的两种方式. 2. 掌握利用Matlab软件计算n阶行列式的方法(包括含参数的行列式) 3. 熟悉Matlab软件中关于矩阵运算的各种语句. 4. 掌握对已知矩阵如何进行修改其中的数据,以及如何构建对应的行(列)子矩阵及扩展矩阵. 5. 掌握矩阵初等变换的每个步骤 实验内容: 1.计算12阶行列式 x a a a x a a a x - -- L L L L L L L 并赋值x=2,4,-1;a=0,2,4时，求行列式的 值。 解syms x % syms语句定义变量x syms a % syms语句定义变量a A=[x a a a a a a a a a a a; % 输入矩阵A -a x a a a a a a a a a a; -a -a x a a a a a a a a a; -a -a -a x a a a a a a a a; -a -a -a -a x a a a a a a a; -a -a -a -a -a x a a a a a a; -a -a -a -a -a -a x a a a a a;
,. -a -a -a -a -a -a -a x a a a a; -a -a -a -a -a -a -a -a x a a a; -a -a -a -a -a -a -a -a -a x a a; -a -a -a -a -a -a -a -a -a -a x a; -a -a -a -a -a -a -a -a -a -a -a x] D=det(A) %计算行列式A X=(2,4,0) B1=subs(D,x) subs(B1,a,0) B2=subs(D,x,4) subs(B2,a,2) B3=subs(D,x,-1) subs(B3,a,4) 2.计算10阶行列式 000 00 000 000 000 a b b a a b b a a b b a b b a a b + + + + + L L L L L L L L L L 解：syms a % syms语句定义变量a syms b % syms语句定义变量b A=[a+b b 0 0 0 0 0 0 0 0; % 输入矩阵A a a+ b b 0 0 0 0 0 0 0; 0 a a+b b 0 0 0 0 0 0; 0 0 a a+b b 0 0 0 0 0;
2 行列式与方程组的求解 1. 求行列式的命令； 2. 求矩阵秩的命令； 3. 求矩阵的最简行矩阵的命令； 4. 满秩线性方程组的各种方法； 5. 符号变量的应用； 6. 验证与行列式相关的公式和定理。 例2.1 已知非齐次线性方程组： ?????????=++-+=+++-=+-++=+++-=++++85 1035372227772902116115359131073280543265432154321 543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ， 要求用下列方法求解该方程组。 （1）求逆矩阵法； （2）矩阵左除法； （3）初等行变换； （4）克莱姆法则。 解：（1）把非齐次线性方程组写为矩阵形式： b Ax =，则b A x 1-=，直接在MATLAB 的命令窗口输入： A=[6,2,3,4,5;2,-3,7,10,13;3,5,11,-16,21;2,-7,7,7,2;7,3,-5,3,10]; b=[80;59;90;22;85]; x=inv(A)*b %或：x=A^-1*b 计算结果为： x = 9.0000 3.0000 2.0000 1.0000 2.0000 （2）矩阵的乘法不遵守乘法交换律， Matlab 软件定义了矩阵左除和矩阵右除运算， 针对方程组的矩阵形式b Ax =，可用左除法 等式两端同时左除A ，得到：“b A x \=”，即b A x 1 -= 针对矩阵方程B XA =，，可用右除法，等式两端同时右除A ，A B X /=， 即1-=BA X 在MATLAB 命令窗口中输入：
矩阵函数求导 首先要区分两个概念：矩阵函数和函数矩阵 （1） 函数矩阵，简单地说就是多个一般函数的阵列，包括单变量和多变量函数。 函数矩阵的求导和积分是作用在各个矩阵元素上，没有更多的规则。 单变量函数矩阵的微分与积分 考虑实变量t 的实函数矩阵 ()()()ij m n X t x t ×=，所有分量函数()ij x t 定义域相同。 定义函数矩阵的微分与积分 0()(),()().t t ij ij t t d d X t x t X d x d dx dx ττττ?????????==????????????∫∫ 函数矩阵的微分有以下性质： （1） ()()()()()d d d X t Y t X t t dt dt dt +=+； （2） ()()()()()()()d dX t dY t X t Y t t X t dt dt dt =+； 特殊情形 （a ） 若K 是常数矩阵，则()()()d d KX t K X t dt dt =； （b ） 若()X t 是方阵，则2()()()()()d dX t dX t X t X t X t dt dt dt =+； （3） () 111()()()()d dX t X t X t X t dt dt =－－－－； （4） 对任意的方阵A 和时变量t ，恒有At At At d e Ae e A dt ==； （5） 若AB BA =，则A B B A A B e e e e e +==。如果,A B 可交换，则许多三角不等 式可以推广到矩阵上。如sin(),sin(2)A b A +等。 参考文献：余鄂西，矩阵论，高等教育出版社。
行列式计算7种技巧7种手段 编者:Castelu 【编写说明】行列式是线性代数的一个重要研究对象,是线性代数中的一个最基本,最常用的工具,记为det(A).本质上,行列式描述的是在n 维空间中,一个线性变换所形成的平行多面体的体积,它被广泛应用于解线性方程组,矩阵运算,计算微积分等.鉴于行列式在数学各领域的重要性,其计算的重要性也不言而喻,因此,本人结合自己的学习心得,将几种常见的行列式计算技巧和手段归纳于此,供已具有行列式学习基础的读者阅读 一.7种技巧: 【技巧】所谓行列式计算的技巧,即在计算行列式时,对已给出的原始行列式进行化简,使之转化成能够直接计算的行列式,由此可知,运用技巧只能化简行列式,而不能直接计算出行列式 技巧1:行列式与它的转置行列式的值相等,即D=D T 111211121121222122221 212n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a = 技巧2:互换行列式的任意两行(列),行列式的值将改变正负号 111212122221222111211 21 2n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a =- 技巧3:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面 111112111112122122222212221 121 2n n n n n n i n n n n n nn n n nn b a b a b a a a a b a b a b a a a a b b a b a b a a a a == ∏ 技巧4:行列式具有分行(列)相加性 11121111211112111221 21 21 2 1 21 2n n n t t t t tn tn t t tn t t tn n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+ 技巧5:将行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数k 后加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变
一、填空题 1．设自然数从小到大为标准次序，则排列1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n 的逆序数为 ，排列1 3 … )12(-n )2(n )22(-n …2的逆序数为 . 2．在6阶行列式中，651456314223a a a a a a 这项的符号为 . 3．所有n 元排列中，奇排列的个数共 个. 二、选择题 1.由定义计算行列式n n 0 000010 0200 01000 -= （ ）. （A ）!n （B ）!)1(2 ) 1(n n n -- （C ）!) 1(2) 2)(1(n n n --- （D ）!)1()1(n n n -- 2．在函数x x x x x x f 2 1 1 23232101)(= 中，3x 的系数是（ ）. （A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）3 3．四阶行列式的展开式中含有因子32a 的项，共有（ ）个. （A ）4； （B ）2； （C ）6； （D ）8. 三、请按下列不同要求准确写出n 阶行列式)det(ij a D =定义式： 1． 各项以行标为标准顺序排列； 2． 各项以列标为标准顺序排列； 3． 各项行列标均以任意顺序排列. 四、若n 阶行列式中，等于零的元素个数大于n n -2，则此行列式的值等于多少？说明理由.
一、填空题 1．若D=._____324324324,133 32 3131 2322212113 12 111113332 31 232221 131211 =---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 则 2．方程 229132 5 1 3232213211x x --=0的根为___________ . 二、计算题 1． 8 1 7 11 60 451530169144312 ----- 2． d c b a 10 1 10011001--- 3．a b b b a b b b a D n =
零解, 其系数行列式det f ' (x 0) = 0, 与条件矛盾. 5. 设F (t ) = β ? f (a + t (b - a )), 则F 在[0,1]上连续, 在(0,1)内可微, 故?θ∈(0,1)使F (1) - F (0) = F ' (θ ), 即β ? ( f (b ) - f (a )) = β ? f ' (a + θ (b - a )) (b - a ) = β ? f ' (c ) (b - a ). 6. 在上题中取β = f (b ) - f (a ). 用Cauchy-Schwarz 不等式, 得| β | 2 ≤ | β | | f ' (c ) (b - a )| = | β | | f ' (c ) | | b - a |. 7. (1) 不存在 : f (2π ) - f (0) = 0 =???==???? ??-, 0cos ,0sin 2 cos sin c c c c π无解. (2) 设β = (β 1 , β 2), 则0 = β ? f ' (c ) (b - a ) = 2π (- β1 sin c + β 2 cos c ) = 0, β1 sin c = β 2 cos c . 因此β 1 = β 2 = 0时c 任意; β 1 ≠0时c = arctan (β 2 / β 1); β 2 ≠0时c = arctan (β 1 / β 2). 8. (1) f (x 1) = f (x 2) ? | f (x 1) - f (x 2) | = 0 ? | x 1 - x 2 | = 0 ? x 1 = x 2 . (2) ? x 0 使| f ' (x 0)| = 0 ? f ' (x 0) = 0 (用定义) ? 0||)()(lim 000=--→x x x f x f x x ?||)()(|lim 000x x x f x f x x --→| = 0 ? ? δ > 0使| x - x 0 | < δ 时c x x x f x f <--| || )()(|00, 与条件矛盾. 9. 易知f 连续. 设0 < r n < 1, r n →1 (n →∞), f n = r n f , 则f n 满足第1题条件, 故存在唯一的x n ∈A 使x n = f n (x n ). 因为A 有界闭, 故{x n }有收敛子列, 设为{k n x }, 且k n x →x 0 (k →∞), 则由k n x =)()(k k k k n n n n x f r x f =及f 连续, k n r →1(k →∞) 得x 0 = f (x 0). 又, 若y 0 = f (y 0), 则| x 0 - y 0 | = | f (x 0) - f (y 0)| < | x 0 - y 0 |, 不可能, 故上述x 0 唯一. 10. 设p = 1, λ = P dx + Q dy + R dz , 则由d λ = 0得R y = Q z , P z = R x , Q x = P y . 令 ω (x , y , z) =??1 ),,()(dt z y x u f , 其中 f = (P , Q , R ), u = (tx , ty , tz ). ∵x ??( f (u ) ? (x , y , z)) =x ??f (u ) ? (x , y , z) + f (u ) ?x ??(x , y , z ) = t (P x (u ), Q x (u ), R x (u )) ? (x , y , z ) + P (u ) = t ( P x (u ), P y (u ), P z (u )) ? (x , y , z ) + P (u ) = t g ' (t ) + g (t ), 其中 g (t ) = P (u ) = P (tx , ty , tz ), ∴???=??10x x ω( f (u ) ? (x , y , z)) dt =?10t g ' (t ) dt +?10)(dt t g (分部积分) = g (1) = P (x , y , z ). 同理可证ω y = Q , ω z = R , 故λ = d ω . 设p = 2, λ = P dy ∧dz + Q dz ∧dx + R dx ∧dy , u 同上, ω = E dx + F dy + G dz , 其中 E =?10(Q (u ) z - R (u ) y ) t dt , F =?10(R (u ) x - P (u ) z ) t dt , G =?10(P (u ) y - Q (u ) x ) t dt . 由d λ = 0 得P x + Q y + R z = 0. ∵F x - E y =?10(t R x (u ) x + R (u ) - t P x (u ) z ) t dt -?10(t Q y (u ) z - t R y (u ) y - R (u )) t dt =?10(t 2 R x (u ) x + t 2 R y (u ) y + t 2 R z (u ) z + 2 t R (u ) ) dt =???10t ( t 2 R (u )) dt = R (u ) | t =1 = R (x , y , z ), 同理, G y - F z = P , E z - G x = Q , 故λ = d ω . 设p = 3, λ = P dx ∧ dy ∧dz , u 同上, ω = E dy ∧dz + F dz ∧dx + G dx ∧dy , 其中