一、立体几何知识点归纳 第一章 空间几何体
(一)空间几何体的结构特征
(1)多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.
围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱
与棱的公共点叫做顶点。
旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其
中,这条定直线称为旋转体的轴。 (2)柱,锥,台,球的结构特征 1.棱柱
1.1棱柱——有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都
互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱)的关系:
①????????
→???????→??
??
底面是正多形
棱垂直于底面斜棱柱
棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为矩形
侧棱与底面边长相等
1.3①侧棱都相等,侧面是平行四边形;
②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形;
④直棱柱的侧棱长与高相等,侧面与对角面是矩形。 1.4长方体的性质:
①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和;【如图】222211AC AB AD AA =++
②(了解)长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ
,,,那么
222cos cos cos 1αβγ++=,222sin sin sin 2αβγ++=;
③(了解)长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ,,,则2
2
2
cos cos cos 2αβγ++=,2
2
2
sin sin sin 1αβγ++=.
1.5侧面展开图:正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.
1.6面积、体积公式:
2S c h
S c h S S h
=?=?+=?直棱柱侧直棱柱全底棱柱底,V (其中c 为底面周长,h
为棱柱的高) 2.圆柱
2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.2圆柱的性质:上、下底及平行于底面的截面都是等圆;过轴的截面(轴截面)是全等的矩形. 2.3侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 2.4面积、体积公式:
S 圆柱侧=2rh π;S 圆柱全=2
22rh r ππ+,V 圆柱=S 底h=2
r h π(其中r 为底面半径,h 为圆柱高) 3.棱锥
3.1棱锥——有一个面是多边形,其余各
面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。
3.2棱锥的性质: ①平行于底面的截面是与底面相似的正多边形,相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;
②正棱锥各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形;
③正棱锥中六个元素,即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半,构成四个直角三角形。)(如上图:,,,SOB SOH SBH OBH 为直角三角形) 3.3侧面展开图:正n 棱锥的侧面展开图是有n 个全等的等腰三角形组成的。 3.4面积、体积公式:S 正棱锥侧=
12ch ',S 正棱锥全=12ch S '+底,V 棱锥=1
3
S h ?底.(其中c 为底面周长,h '侧面斜高,h 棱锥的高)
4.圆锥
4.1圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。 4.2圆锥的性质:
①平行于底面的截面都是圆,截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;
侧面
母线
B
②轴截面是等腰三角形;如右图:SAB ③如右图:2
2
2
l h r =+.
4.3圆锥的侧面展开图:圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心,以母线长为半径的扇形。 4.4面积、体积公式:
S 圆锥侧=rl π,S 圆锥全=()r r l π+,V 圆锥=2
13
r h π(其中
r 为底面半径,h 为圆锥的高,l 为母线长) 5.棱台
5.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥,我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 5.2正棱台的性质:
①各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰梯形; ②正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是正多边形; ③ 如右图:四边形`
,``O MNO O B BO 都是直角梯
形
④棱台经常补成棱锥研究.如右图:`SO M 与SO N ,S`O `B`与SO B相似,注意考虑相似比. 5.3棱台的表面积、体积公式:S S S 全上底下底=S ++侧,1S `)3
V S h 棱台=(,(其中,`S S 是上,下底面面积,h 为棱台的高) 6.圆台
6.1圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台.
6.2圆台的性质:
①圆台的上下底面,与底面平行的截面都是圆; ②圆台的轴截面是等腰梯形;
③圆台经常补成圆锥来研究。如右图: `SO A SOB 与相似,注意相似比的应用. 6.3圆台的侧面展开图是一个扇环;
6.4圆台的表面积、体积公式:22()S r R R r l πππ+++全=,
V 圆台2211S `))33
S h r rR R h πππ++=(=(,(其中r ,R 为上下底面半径,h 为高) 7.球
7.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球. 或空间中,与定点距离等于定长的点的集合叫做球面,球面所围成的几何体叫做球体,简称球;
7.2球的性质:
B
①球心与截面圆心的连线垂直于截面;
②r =
d 、
球的半径为R 、截面的半径为r )
7.3球与多面体的组合体:球与正四面体,球与长方体,球与正方体等的内接与外切.
注:球的有关问题转化为圆的问题解决.
7.4球面积、体积公式:2
3
44,3
S R V R ππ==
球球(其中R 为球的半径) 例:(06年福建卷)已知正方体的八个顶点都在球面上,且球的体积为
32
3
π,则正方体的棱长为_________
(二)空间几何体的三视图与直观图
1.投影:区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。
2.三视图——是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形; 正视图——光线从几何体的前面向后面正投影,得到的投影图; 侧视图——光线从几何体的左面向右面正投影,得到的投影图; 正视图——光线从几何体的上面向下面正投影,得到的投影图; 注:(1)俯视图画在正视图的下方,“长度”与正视图相等;侧视图画在正视图的右边,“高
度”与正视图相等,“宽度”与俯视图。(简记为“正、侧一样高,正、俯一样长,俯、侧一样宽”.
(2)正视图,侧视图,俯视图都是平面图形,而不是直观图。 3.直观图:
3.1直观图——是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 3.2斜二测法:
step1:在已知图形中取互相垂直的轴Ox 、Oy ,(即取90xoy ∠=? );
step2:画直观图时,把它画成对应的轴'',''o x o y ,取'''45(135)x o y or ∠=??,它们确定的平面表示水平平面;
step3:在坐标系'''x o y 中画直观图时,已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变,平行于x 轴(或在x 轴上)的线段保持长度不变,平行于y 轴(或在y 轴上)的线段长度减半。
结论:一般地,采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的
2
4
倍.
解决两种常见的题型时应注意:(1)由几何体的三视图画直观图时,一般先考虑“俯视图”. (2)由几何体的直观图画三视图时,能看见的轮廓线和棱画成实线,不能看见的轮廓线和棱画成虚线。
第二章点、直线、平面之间的位置关系
(一)平面的基本性质
1.平面——无限延展,无边界
1.1三个定理与三个推论
公理1:如果一条直线上有两点在一个平面内,那么直线在平面内。
用途:常用于证明直线在平面内.
图形语言:符号语言:
公理2:不共线
...的三点确定一个平面. 图形语言:
推论1:直线与直线外的一点确定一个平面. 图形语言:
推论2:两条相交直线确定一个平面. 图形语言:
推论3:两条平行直线确定一个平面. 图形语言:
用途:用于确定平面。
公理3:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有公共点,这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交线).
用途:常用于证明线在面内,证明点在线上.
图形语言:符号语言:
形语言,文字语言,符号语言的转化:
(二)空间图形的位置关系
1.空间直线的位置关系:???
共面:a b=A,a//b
异面:a与b异面
1.1平行线的传递公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表述:
//,////a b b c a c ?
1.2等角定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补。
1.3异面直线:(1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线;
(2)判定定理:连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的
直线是异面直线。
图形语言:
a
α
A
P 符号语言:PA a P A a A a ααα???∈?
???????
与异面
1.4异面直线所成的角:(1)范围:(]0,90θ∈??;(2)作异面直线所成的角:平移法. 如右图,在空间任取一点O ,过O 作'//,'//a a b b ,则','
a b 所成的θ角为异面直线,a b 所成的角。特别地,找异面直线所成的角时,经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特
殊点(如线段中点,端点等)上,形成异面直线所成的角.
2.直线与平面的位置关系: //l l A l l αααα???
=?????
??
b
a b'a'
θα
O
图形语言:
3.平面与平面的位置关系:αβαβαβ
??
????⊥??
平行://斜交:=a 相交垂直:
(三)平行关系(包括线面平行,面面平行)
1.线面平行:
①定义:直线与平面无公共点.
②判定定理:////a b a a b ααα?
?
??????(线线平行?线面平行)【如图】
③性质定理:////a a a b b α
βαβ?
?
????=?
(线面平行?线线平行)
【如图】 ④判定或证明线面平行的依据:(i )定义法(反证)://l
l αα=??(用于判断);(ii )
判定定理:////a b a a b ααα?
?
??????“线线平行?面面平行”(用于证明);(iii )////a a αββ
α?????“面面平行?线面平行”(用于证明);(4)//b a b a a ααα⊥?
?
⊥?????
(用于判断);
2.线面斜交:l A α=
①直线与平面所成的角(简称线面角):若直线与平面斜交,则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。【如图】 PO α⊥于O ,则AO 是PA 在平面α内的射影, 则PAO ∠就是直线PA 与平面α所成的角。
范围:[]0,90θ∈??,注:若//l l αα?或,则直线l 与平面α所成的角为0?;若l α⊥,则直线l 与平面α所成的角为90?。 3.面面平行: ①定义://α
βαβ=??;
θ
α
A O
②判定定理:如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么两个平面互相平行; 符号表述:,,,//,////a b a
b O a b ααααβ?=? 【如下图①】
O b a
β
αa'
b'
O O b a
β
α
图① 图②
推论:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线,那么这两个平面互相平行 符号表述:,,,',',//',//'//a b a
b O a b a a b b αβαβ?=?? 【如上图②】
判定2:垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述:
,//a a αβαβ⊥⊥?.【如右图】
③判定与证明面面平行的依据:(1)定义法;(2)判定定理及推论(常用)(3)判定2 ④面面平行的性质:(1)
////a a αββα?
????
(面面平行?线面平行);(2)////a a b b αβαγβγ?
?
=???=?
;(面面平行?线线平行)(3)夹在两个平行平面间的
平行线段相等。【如图】
(四)垂直关系(包括线面垂直,面面垂直) 1.线面垂直
①定义:若一条直线垂直于平面内的任意一条直线,则这条直线垂直于平面。 符号表述:若任意,a α?都有l a ⊥,且l α?,则l α⊥.
②判定定理:,a b a b O l l l a
l b ααα???=??
??⊥??⊥?
⊥??
(线线垂直?线面垂直)
③性质:(1),l a l a αα⊥??⊥(线面垂直?线线垂直);(2),//a b a b αα⊥⊥?;
④证明或判定线面垂直的依据:(1)定义(反证);(2)判定定理(常用);(3)
//a b b a αα?
?⊥?⊥?
(较常用);(4)//a a αββα??⊥?⊥?;
(5)a b a a a b
αβββα⊥??=?
?⊥???
?⊥?
(面面垂直?线面垂直)常用;
⑤三垂线定理及逆定理:
(I )斜线定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段与斜线段中,PO α⊥(1)斜线相等?射影相等;(2)斜线越长?射影越长;(3)垂线段最短。【如图】PB PC OB OC =?=;PA PB OA OB >?> (II )三垂线定理及逆定理:已知PO α⊥,斜线PA 在平面α内的射影为OA ,a α?,
①若a OA ⊥,则a PA ⊥——垂直射影?垂直斜线,此为三垂线定理; ②若a PA ⊥,则a OA ⊥——垂直斜线?垂直射影,此为
三垂线定理的逆定理;
三垂线定理及逆定理的主要应用:(1)证明异面直线垂直;(2)作、证二面角的平面角;(3)作点到线的垂线段;【如图】 3.2面面斜交
①二面角:(1)定义:【如图】
,OB l OA l AOB l αβ⊥⊥?∠-是二面角-的平面角 范围:[0,180]AOB ∠∈??
②作二面角的平面角的方法:(1)定义法;(2)三垂线法(常用);(3)垂面法. 3.3面面垂直
(1)定义:若二面角l αβ--的平面角为90?,则αβ⊥; (2)判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.
a a ααββ??
?⊥?⊥?
(线面垂直?面面垂直) (3)性质:①若αβ⊥,二面角的一个平面角为MON ∠,则
90MON ∠=?;
a
α
O P A αO A B C P a β
αB
②a AB a a a AB
αβββα⊥??=??⊥???
?⊥?
(面面垂直?线面垂直); ③
A a A a a αβααβ⊥??∈?
???∈??⊥?
.
④
二、立体几何常见题型归纳例讲 1、概念辨析题:
(1)此题型一般出现在填空题,选择题中,解题方法可采用排除法,筛选法等。
(2)对于判断线线关系,线面关系,面面关系等方面的问题,必须在熟练掌握有关的定理和
性质的前提下,利用长方体,正方体,实物等为模型来进行判断。你认为正确的命题需要证明它,你认为错误的命题必须找出反例。
(3)相关例题:课本和报纸上出现很多这样的题型,举例说明如下: 例:(04年北京卷)设m ,n 是两条不同的直线,,,αβγ是三个不同的平面,给出下列四个说
法:①,//m n m n αα⊥?⊥;②//,//,m m αββγαγ⊥?⊥;③//,////m n m n αα? ④,//αγβγαβ⊥⊥?,说法正确的序号是:_________________ 2、证明题。证明平行关系,垂直关系等方面的问题。 (1)基础知识网络:
请根据以上知识网络图,写出相关定理的图形语言与符号语言.
//a a a αβααβ⊥?
???⊥?
或
(2)相关例题:
例1(06广州市高一质量抽测)如右图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 、F 为棱AD 、AB 的中点. (1)求证:EF ∥平面CB 1D 1; (2)求证:B 1D 1⊥平面CAA 1C 1
例2.如图,已知矩形ABCD 中,AB=10,BC=6,将矩形沿对
角线BD 把△ABD 折起,使A 移到1A 点,且1A 在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上. (Ⅰ)求证:1BC A D ⊥;
(Ⅱ)求证:平面1A BC ⊥平面1A BD ;
(Ⅲ)求三棱锥1A BCD -的体积(答案:
148A BCD V -=)
3、计算题。包括空间角(异面直线所成的角,线面角,二面角)和空间几何体的表面积、体
积的计算。
(1)对于空间角和空间距离的计算,关键是做好“三步曲”:step1:找;step2:证;step3:
计算。 1.1求异面直线所成的角(]0,90θ∈??:
解题步骤:一找(作):利用平移法找出异面直线所成的角;(1)可固定一条直线平移另一条与其相交;(2)可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法 二证:证明所找(作)的角就是异面直线所成的角(或其补角)。常需要证明线线平行; 三计算:通过解三角形,求出异面直线所成的角;
1.2求直线与平面所成的角[]0,90θ∈??:关键找“两足”:垂足与斜足
解题步骤:一找:找(作)出斜线与其在平面内的射影的夹角(注意三垂线定理的应用); 二证:证明所找(作)的角就是直线与平面所成的角(或其补角)(常需证明线面垂直); 三计算:常通过解直角三角形,求出线面角。 1.3求二面角的平面角[]0,θπ∈
解题步骤:一找:根据二面角的平面角的定义,找(作)出二面角的平面角;
二证:证明所找(作)的平面角就是二面角的平面角(常用定义法,三垂线法,垂面法);
A
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
E
三计算:通过解三角形,求出二面角的平面角。
(2)对于几何体的表面积、体积的计算,关键是搞清量与量之间关系,熟练应用公式进行计算。已知三视图,求几何体体积。平面图形直观图面积与原图形面积的互相转化。 (3)相关例题:
例1.如图,四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 为正方形,PD ⊥底面ABCD ,PD =AD .求证:(1)平面P AC ⊥平面PBD ; (2)求PC 与平面PBD 所成的角;
例2.一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角
三角形''
'
A B O ,若''
1O B =,那么原?ABO 的面积是( )
A .
1
2
B .2
C .2
D . 22
例3.(06深圳宝安中学期末考)如图,为一个几何体的正视图,侧视图和俯视图为全等的等腰梯形,上、下底边长分别为2,4。俯视图中,内、均外为正方形,边长分别为2,4,几何体的高为3,求此几何体的表面积和体积。 答案S 全面积=20+1210,28V =棱台
例4.如图所示,已知正四棱锥S —ABCD 侧棱长为2,底面边长为3,E 是SA 的中点,则异面直线BE 与SC 所成角的大小为 (B ) (A) 90° (B) 60° (C) 45°
(D) 30°
例5.如图,在底面为平行四边形的四棱锥P -ABCD 中,
,AB AC PA ⊥⊥平面ABCD ,且PA =AB ,点E 是PD 的
中点.(1)求证:AC PB ⊥;(2)求证:PB//平面AEC ;
(3)若PA AB AC a ===,求三棱锥E -ACD 的体积;(4)求二面角E -AC -D 的大小.(单元考题)
A '
B ' y '
x '
O '
三、训练题
1.如图,正方体1111D C B A ABCD -中,棱长为a (1)求证:直线//1B A 平面1ACD (2)求证:平面1ACD ⊥平面D BD 1;
2. 如图,棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,
(1) 求证:AC ⊥平面B 1D 1DB; (2) 求证:BD 1⊥平面ACB 1 (3) 求三棱锥B-ACB 1体积.
3.如图,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,PO ⊥底面 ABCD ,E 是PC 的中点。 求证:(1)PA ∥平面BDE ; (2)BD ⊥平面PAC
八、立体几何
一、立体几何网络图:
D 1
C 1
B 1
A 1
C
D
B
A
(1)线线平行的判断:
⑴平行于同一直线的两直线平行。
⑶如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线
和交线平行。
⑹如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。
⑿垂直于同一平面的两直线平行。
(2)线线垂直的判断:
⑺在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线
垂直。
⑻在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它和这条斜线的射影垂
直。
⑽若一直线垂直于一平面,这条直线垂直于平面内所有直线。
补充:一条直线和两条平行直线中的一条垂直,也必垂直平行线中的另一条。
(3)线面平行的判断:
⑵如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。
⑸两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
(4)线面垂直的判断:
⑼如果一直线和平面内的两相交直线垂直,这条直线就垂直于这个平面。
⑾如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面。
⒁一直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。
⒃如果两个平面垂直,那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。(5)面面平行的判断:
⑷一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面,这两个平面平行。
⒀垂直于同一条直线的两个平面平行。
(6)面面垂直的判断:
⒂一个平面经过另一个平面的垂线,这两个平面互相垂直。
二、其他定理:
(1)确定平面的条件:①不公线的三点;②直线和直线外一点;③相交直线;
(2)直线与直线的位置关系:相交;平行;异面;
直线与平面的位置关系:在平面内;平行;相交(垂直是它的特殊情况);
平面与平面的位置关系:相交;;平行;
(3)等角定理:如果两个角的两边分别平行且方向相同,那么这两个角相等;
如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐
角(或直角)相等;
(4)射影定理(斜线长、射影长定理):从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中,射影相等的两条斜线段相等;射影较长的斜线段也较长;反之,斜线段相
等的射影相等;斜线段较长的射影也较长;垂线段比任何一条斜线段都短。(5)最小角定理:斜线与平面内所有直线所成的角中最小的是与它在平面内射影所成的角。(6)异面直线的判定:①反证法;
②过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不过该点的直线是异面直线。(7)过已知点与一条直线垂直的直线都在过这点与这条直线垂直平面内。
(8)如果—直线平行于两个相交平面,那么这条直线平行于两个平面的交线。
(9)如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线也垂直于第三个平面。
三、唯一性定理:
(1)过已知点,有且只能作一直线和已知平面垂直。
(2)过已知平面外一点,有且只能作一平面和已知平面平行。
(3)过两条异面直线中的一条能且只能作一平面与另一条平行。
四、空间角的求法:(所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题,尤其是直角三角形)
(1)异面直线所成的角:通过直线的平移,把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成
o
o
900≤<α
注意:若异面直线中一条直线是三角形的一边,则平移时可找三角形的中位线。有的还
可以通过补形,如:将三棱柱补成四棱柱;将正方体再加上三个同样的正方体,补成一个底面是正方形的长方体。
(2)线面所成的角:①线面平行或直线在平面内:线面所成的角为o
0; ②线面垂直:线面所成的角为o
90;
③斜线与平面所成的角:o o
即也就是斜线与它在平面内的射影所成的角。
(3)二面角:关键是找出二面角的平面角。方法有:①定义法;②三垂线定理法;③垂面法;
注意:还可以用射影法:S
S '
cos =
θ;其中θ为二面角βα--l 的大小,S 为α内的一个封闭几何图形的面积;'S 为α内的一个封闭几何图形在β内射影图形的面积。一般用于解选择、填空题。
五、距离的求法:
(1)点点、点线、点面距离:点与点之间的距离就是两点之间线段的长、点与线、面间的距
离是点到线、面垂足间线段的长。求它们首先要找到表示距离的线段,然后再计算。
注意:求点到面的距离的方法:
①直接法:直接确定点到平面的垂线段长(垂线段一般在二面角所在的平面上); ②转移法:转化为另一点到该平面的距离(利用线面平行的性质); ③体积法:利用三棱锥体积公式。
(2)线线距离:
关于异面直线的距离,常用方法有: ①定义法,关键是确定出b a ,的公垂线段;
②转化为线面距离,即转化为a 与过b 而平行于a 的平面之间的距离,关键是找出或构造出这个平面;③转化为面面距离;
(3)线面、面面距离:线面间距离面面间距离与线线间、点线间距离常常相互转化; 六、常用的结论:
(1)若直线l 在平面α内的射影是直线l ',直线m 是平面α内经过l 的斜足的一条直线,l 与
l ' 所成的角为1θ,l '与m 所成的角为2θ, l 与m 所成的角为θ,则这三个角之间的关
系是cos cos cos θθθ=;
(2)如何确定点在平面的射影位置:
①Ⅰ、如果一个角所在平面外一点到角两边距离相等,那么这点在平面上的射影在这个角
的平分线上;
Ⅱ、经过一个角的顶角引这个角所在平面的斜线,如果斜线和这个角的两边夹角相等,
那么斜线上的点在平面上的射影在这个角的平分线所在的直线上;
Ⅲ、如果平面外一点到平面上两点的距离相等,则这一点在平面上的射影在以这两点为
端点的线段的垂直平分线上。
②垂线法:如果过平面外一点的斜线与平面内的一条直线垂直,那么这一点在这平面上的
射影在过斜足且垂直于平面内直线的直线上(三垂线定理和逆定理);
③垂面法:如果两平面互相垂直,那么一个平面内任一点在另一平面上的射影在这两面的
交线上(面面垂直的性质定理);
④整体法:确定点在平面的射影,可先确定过一点的斜线这一整体在平面内的射影。 (3)在四面体ABCD 中:
①若AD BC CD AB ⊥⊥,,则BD AC ⊥;且A 在平面BCD 上的射影是BCD ?的垂心。 ②若AD AC AB ==,则A 在平面BCD 上的射影是BCD ?的外心。
③若A 到BD CD BC ,,边的距离相等,则A 在平面BCD 上的射影是BCD ?的内心。 (4)异面直线上两点间的距离公式:若异面直线所成的角为θ,它
们公垂线段'AA 的长为d ,在b a ,上分别取一点F E ,,设m E A =',n AF =; 则θcos 22
22mn n m d EF ±++=
(如果AF E '∠为锐角,公式中取负号,如果AF E '∠为钝,公式中取正号) 七、多面体: (1)棱柱:
①定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都
b
α
a
A ’
A
F
E ’ E
θ
互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
棱柱
斜棱柱直棱柱
正棱柱;
四棱柱
平行六面体
直平行六面体
长方体正四棱柱正方体。
②性质:Ⅰ、侧面都是平行四边形; Ⅱ、两底面是全等多边形;
Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等;对角面是平行四边形;
Ⅳ、长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。 ③面积:ch S =直棱柱侧(c 是底周长,h 是高) ④体积:d S Sh V 侧面棱柱2
1
=
=(S 为底面积,h 为高,d 为已知侧面与它对棱的距离)
(2)棱锥:
①定义:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面围成的几
何体叫做棱锥;
正棱锥:底面是正多边形,并且顶点在底面内的射影是底面中心,这样的棱锥叫做正棱锥;
②性质:
Ⅰ、平行于底面的截面和底面相似,
截面的边长和底面的对应边边长的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比; 它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比;
截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比;
Ⅱ、正棱锥性质:各侧面都是全等的等腰三角形;通过四个直角三角形POH Rt ?,
POB Rt ?,PBH Rt ?,BOH Rt ?实现边,高,斜高间的换算
③面积:'2
1
ch S =正棱锥(c 为底周长,'h 为斜高) ④体积:Sh V 3
1
=
棱锥(S 为底面积,h 为高)
(3)正四面体:
对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为a 2
2
的正方体问题。 对棱间的距离为
a 2
(正方体的边长) 棱长都相等
底面是正方形
底面是矩形
侧棱垂直于底面
底面是平行四边形
底面是正多边形
侧棱垂直于底面
侧棱不垂直于底面
A
B
C D P
O
H
正四面体的高
a 6(正方体体对角线l 3
2
=) 正四面体的体积为
32a (正方体小三棱锥正方体V V V 3
1
4=-) 正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为(正方体体对角线正方体体对角线:l l 2
1
61=
) 外接球的半径为
a 6(是正方体的外接球,则半径正方体体对角线l 2
1
=) 内切球的半径为
a 6(是正四面体中心到四个面的距离,则半径正方体体对角线l 6
1
=)
(4)正多面体:
①定义:每个面都是有相同边数的正多边形,且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱
的多面体叫做正多面体。
②欧拉公式:(为简单多面体的顶点数,为面数,为棱数)
2
22121V
F m m m n n n E +++=+++=
(i n 表示各个面上的棱数,i m 表示过各个顶点的棱数)
八、球
(1)定义:①球面:半圆以它的直径为旋转轴,旋转所成的曲面。 ②球体:球面所围成的几何体。 (2)性质:
①任意截面是圆面(经过球心的平面,截得的圆叫大圆,不经过球心的平面截得的圆叫小
圆)
两点的球面距离,是指经过球面上这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长。
②球心和截面圆心的连线垂直于截面,并且22d R r -=
,其中R 为球半径,r 为截面半
径,d 为球心的到截面的距离。
(3)面积公式:24R S π=球面(R 为球半径); (4)体积公式:3
3
4R V π=球(R 为球半径)
立体几何知识点汇总(全) 1.平面 平面的基本性质:掌握三个公理及推论,会说明共点、共线、共面问题。 (1).证明点共线的问题,一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点(依据:由点在线上,线在面内,推出点在面内),这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。 (2).证明共点问题,一般是先证明两条直线交于一点,再证明这点在第三条直线上,而这一点是两个平面的公共点,这第三条直线是这两个平面的交线。 (3).证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面,然后再证明其余的也在这个平面内,或者用同一法证明两平面重合 2. 空间直线. (1). 空间直线位置关系三种:相交、平行、异面. 相交直线:共面有且仅有一个公共点;平行直线:共面没有公共点;异面直线:不同在任一平面内,无公共点 [注]:①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.(×)(也可能两条直线平行,也可能是点和直线等) ②直线在平面外,指的位置关系是平行或相交 ③若直线a、b异面,a平行于平面α,b与α的关系是相交、平行、在平面α内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.(×)(射影不一定只有直线,也可以是其他图形) ⑥在同一平面内的射影长相等,则斜线长相等.(×)(并非是从平面外一.点.向这个平面所引的垂线段和斜线段) ⑦b a,是夹在两平行平面间的线段,若 a,的位置关系为相交或平行或异面. a=,则b b ⑧异面直线判定定理:过平面外一点与平 面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是
异面直线.(不在任何一个平面内的两条直线) (2). 平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等。 (直线与直线所成角]90,0[??∈θ)(向量与向量所成角])180,0[οο∈θ 推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成锐角(或直角)相等. (3). 两异面直线的距离:公垂线段的长度. 空间两条直线垂直的情况:相交(共面)垂直和异面垂直. [注]:21,l l 是异面直线,则过21,l l 外一点P ,过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有,但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. (1L 或2L 在这个做出的平面内不能 叫1L 与2L 平行的平面) 3. 直线与平面平行、直线与平面垂直. (1). 空间直线与平面位置分三种:相交、平行、在平面内. (2). 直线与平面平行判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.(“线线平行?线面平行”) [注]:①直线a 与平面α内一条直线平行,则a ∥α. (×)(平面外一条直线) ②直线a 与平面α内一条直线相交,则a 与平面α相交. (×)(平面外一条直线) ③若直线a 与平面α平行,则α内必存在无数条直线与a 平行. (√)(不是任意一条直线,可利用平行的传递性证之) ④两条平行线中一条平行于一个平面,那么另一条也平行于这个平面. (×)(可能在此平面内) ⑤平行于同一个平面的两直线平行.(×)(两直线可能相交或者异面) ⑥直线l 与平面α、β所成角相等,则α∥β.(×)(α、β可能相交) (3). 直线和平面平行性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.(“线面平行?线线
知识点-立体几何知识点常见结论汇总
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O A B C D E F 垂 立体几何高考知识点和解题思想汇总 补充:三角形内心、外心、重心、垂心知识 四心的概念介绍: (1)重心——中线的交点:重心将中线长度分成2:1; (2)垂心——高线的交点:高线与对应边垂直; (3)内心——角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等; (4)外心——中垂线的交点(外接圆的圆心):外心到三角形各顶点的距离相等。 若P 为ABC ?所在平面外一点, O 是点P 在 ABC ?内的射影,则: ①若PA PB PC ==或PA 、PB 、PC 与 所成角均相等, 则O 为ABC ?的外心; ②若P 到ABC ?的三边的距离相等, 则O 为△ABC 的内心; ③若PA 、PB 、PC 两两互相垂直, 或,PA BC PB AC ⊥⊥则O 为ABC ?的垂心. 常见空间几何体定义: 1 .棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱,这两个面为底面,其他面为侧面。 棱柱具有下列性质: 1)棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都平行且相等; 2)棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形。 3)直棱柱的侧棱长与高相等;直棱柱的侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形。 棱柱的分类: 斜棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱。 直棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。直棱柱的各个侧面都是矩形; 正棱柱:底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。 平行六面体:底面是平行四边形的棱柱。 直平行六面体:侧棱垂直于底面的平行六面体叫直平行六面体。 长方体:底面是矩形的直棱柱叫做长方体 2 .棱锥:有一个面是多边形 ,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥.(1) 如果一个棱锥的底面是正多边形,且顶点与底面中心的连线垂直于底面,这样的棱锥称为正棱锥.正棱锥具有性质:①正棱锥的顶点和底面中心的连线即为高线;②正棱锥的侧面是全等的等腰三角形,这些等腰三角形底边上的高都相等,叫做这个正棱锥的斜高. (2) 底边长和侧棱长都相等的三棱锥叫做正四面体. A B C O 外 I K H E F D A B C M 内 A B C D E F G 重
立体几何知识点整理(文科) 一. 直线和平面的三种位置关系: 1. 线面平行 l 符号表示: 2. 线面相交 符号表示: 3. 线在面内 符号表示: 二.平行关系: 1.线线平行: 方法一:用线面平行实现。 m l m l l // // ? ? ? ? ? ? = ? ? β α β α 方法二:用面面平行实现。 m l m l// // ? ? ? ? ? ? = ? = ? β γ α γ β α 方法三:用线面垂直实现。 若α α⊥ ⊥m l,,则m l//。 方法四:用向量方法: 若向量l和向量m共线且l、 m不重合,则m l//。 2.线面平行: 方法一:用线线平行实现。 α α α// // l l m m l ? ? ? ? ? ? ? ? 方法二:用面面平行实现。 α β β α // // l l ? ? ? ? ? 方法三:用平面法向量实现。 若n为平面α的一个法向量,l n⊥且α ? l,则 α // l。 3.面面平行: 方法一:用线线平行实现。 β α α β // ' ,' , ' // ' // ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且相交 且相交 m l m l m m l l l
方法二:用线面平行实现。 βαβαα //,////??? ? ???且相交m l m l 三.垂直关系: 1. 线面垂直: 方法一:用线线垂直实现。 αα⊥???? ? ??? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , 方法二:用面面垂直实现。 αββαβα⊥??? ? ?? ?⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直: 方法一:用线面垂直实现。 βαβα⊥?? ?? ?⊥l l 方法二:计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直: 方法一:用线面垂直实现。 m l m l ⊥?? ?? ?⊥αα 方法二:三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥???? 方法三:用向量方法: 若向量l 和向量m 的数量积为0,则m l ⊥。 三. 夹角问题。 (一) 异面直线所成的角: (1) 范围:]90,0(?? (2)求法: 方法一:定义法。 步骤1:平移,使它们相交,找到夹角。
必修二立体几何知识点与复习题 一、判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的两条直线互相平行 2、垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平 行 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行 5、在同一平面内的两条直线,可依据平面几何的定理证明 二、判定线面平行的方法 1、据定义:如果一条直线和一个平面没有公共点 2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行,则这条直线和这个平面平行 3、两面平行,则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面,则另一条也平行于该平面 5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行,则也平行于另一个平面 三、判定面面平行的方法 1、定义:没有公共点 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行 四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行,则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截,则两交线平行 4、垂直于两平行平面中一个平面的直线,必垂直于另一个平面 五、判定线面垂直的方法 1、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直,则线面垂直 2、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于该平面 3、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面 4、如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 5、如果两个相交平面都垂直于另一个平面,那么它们的交线垂直于另一个平面 六、判定两线垂直的方法 1、定义:成? 90角 2、直线和平面垂直,则该线与平面内任一直线垂直 3、在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直 4、在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直 5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直,它也和另一条垂直 七、判定面面垂直的方法 1、定义:两面成直二面角,则两面垂直 2、一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这个平面垂直于另一平面 八、面面垂直的性质 1、二面角的平面角为? 90 2、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3、相交平面同垂直于第三个平面,则交线垂直于第三个平面 九、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是:? ≤ < ?90 0θ(]? ?90 , 2、直线与平面所成的角的取值范围是:? ≤ ≤ ?90 0θ[]? ?90 , 3、斜线与平面所成的角的取值范围是:? ≤ < ?90 0θ(]? ?90 , 4、二面角的大小用它的平面角来度量;取值范围是:? ≤ < ?180 0θ(]? ?180 , 十、三角形的心 1、内心:内切圆的圆心,角平分线的交点 2、外心:外接圆的圆心,垂直平分线的交点 3、重心:中线的交点 4、垂心:高的交点 考点一,几何体的概念与性质 【基础训练】 1.判定下面的说法是否正确: (1)有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形的几何体叫棱柱. (2)有两个面平行,其余各面为梯形的几何体叫棱台. 2.下列说法不正确的是() A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形。 B.同一平面的两条垂线一定共面。 C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一平面内。 D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直。 【高考链接】 1.设α和β为不重合的两个平面,给出下列命题: (1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β;(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行; (3)设α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则α和β垂直;
收集整理:宋氏资料 2016-1-1 2016 高考立体几何知识点总结 一、空间几何体 (一)空间几何体的类型 1 多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个 面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线 称为旋转体的轴。 (二)几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征 1.1 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2棱柱的分类 图1-1 棱柱 底面是四边形 棱柱四棱柱底面是平行四边形侧棱垂直于底面底面是矩形底面是正方形平行六面体直平行六面体长方体 棱长都相等 正四棱柱正方体 性质: Ⅰ、侧面都是平行四边形,且各侧棱互相平行且相等; Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行; Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等; 1.3棱柱的面积和体积公式 S直棱柱侧(c 是底周长,h 是 ch 高) S 直棱柱表面= c·h+ 2S 底 V 棱柱= S 底·h 2 、棱锥的结构特征 2.1 棱锥的定义 (1)棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成 的几何体叫做棱锥。 (2)正棱锥:如果有一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的投影是底面的中心, 这样的棱锥叫做正棱锥。 2.2 正棱锥的结构特征 Ⅰ、平行于底面的截面是与底面相似的正多边形,相似比等于顶点到截面的距离与顶点到
底面的距离之比;它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比;截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比; Ⅱ、正棱锥的各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形; 正棱锥侧面积: 1 S正棱椎ch (c为底周长,h'为斜高) ' 2 P 体积: 1 V棱椎Sh(S为底面积,h 为高) 3 D C O H 正四面体: A B 2 对于棱长为a正四面体的问题可将它补成一个边长为 a 的正方体问题。 2 2 对棱间的距离为 a 2 (正方体的边长) 6 正四面体的高 a 3 ( 2 3 l 正方体体对角线 ) 正四面体的体积为 2 12 a 3 ( 1 V正方体4V V ) 小三棱锥正方体 3 正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为1:3( 1 6 l 1 正方体体对角线:l 2 正方体体对角线 ) 3 、棱台的结构特征 1.4棱台的定义:用一个平行于底面的平面去截棱锥,我们把截面和底面之间的部分称为棱台。 1.5正棱台的结构特征 (1)各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰梯形; (2)正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形; (3)正棱台的对角面也是等腰梯形; (4)各侧棱的延长线交于一点。 4 、圆柱的结构特征 2.3圆柱的定义:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。 2.4圆柱的性质 (1)上、下底及平行于底面的截面都是等圆; (2)过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2.5圆柱的侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 2.6圆柱的面积和体积公式 S 圆柱侧面= 2π·r·h (r 为底面半径,h 为圆柱的高) S 2
立体几何知识点总结
立体几何知识点总结 1、 多面体(棱柱、棱锥)的结构特征 (1)棱柱: ①定义:有两个面互相平行,其余各面都是 四边形,并且每相邻两个四边形的 公共边都互相平行,由这些面所围 成的几何体叫做棱柱。 棱柱斜棱柱直棱柱正棱柱; 四棱柱平行六面体直平行六面体 长方体正底面是正方形 底面是矩形 侧棱垂直于底面 底面是平行四边形 底面是正多边形 侧棱垂直于底面 侧棱不垂直于底面
棱长都相等 四棱柱正方体。 ②性质:Ⅰ、侧面都是平行四边形;Ⅱ、两底面是全等多边形; Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等;对角面是平行四边形; Ⅳ、长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。 (2)棱锥: ①定义:有一个面是多边形,其余各面是有 一个公共顶点的三角形,由这些面 围成的几何体叫做棱锥; 正棱锥:底面是正多边形,并且顶点在底面内的射影是底面中心,这样的棱锥叫做正棱锥; ②性质: Ⅰ、平行于底面的截面和底面相似, 截面的边长和底面的对应边边长的比 等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的 比; 它们面积的比等于截得的棱锥的高与 原棱锥的高的平方比;
截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的 比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高 的立方比; Ⅱ、正棱锥性质:各侧面都是全等的等腰三 角形;通过四个直角三角形POH Rt ?,POB Rt ?, PBH Rt ?,BOH Rt ?实现边,高,斜高间的换算 2、 旋转体(圆柱、圆锥、球)的结构特征 A B C D O H P
(2)性质: ①任意截面是圆面(经过球心的平面,截得 的圆叫大圆,不经 过球心的平面截得 的圆叫 小圆) ②球心和截面圆心的连线垂直于截面,并且 2d 2 =,其中R为球半径,r为截 r- R 面半径,d为球心的到截面的距离。 3、柱体、锥体、球体的表面积与体积 (1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
立体几何空间向量知识点总结 知识网络: 知识点拨: 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似,向量加、减法的平行四边形法则,三角形法则以及相关的运算律仍然成立.空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广,空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广. 2、当a 、b 为非零向量时.0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一,这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键,通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题. 3、公式cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础,用这个公式可以求两异面直线所成的角(但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值围上的区别),再结合平面的法向量,可以求直线与平面所成的角和二面角等. 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念,通过研究方向向量与法向量之间的关系,可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题. 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 (1)线线平行 证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量. (2)线线垂直 证明两条直线垂直,只需证明两条直线的方向向量垂直,即0a b a b ?=?⊥.
(3)线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有: ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直; ②证明可在平面找到一个向量与直线方向向量是共线向量; ③利用共面向量定理,即证明可在平面找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量.(4)线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有: ①证明直线方向向量与平面法向量平行; ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题. (5)面面平行 ①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量); ②转化为线面平行、线线平行问题. (6)面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直; ②转化为线面垂直、线线垂直问题. 6、运用空间向量求空间角 (1)求两异面直线所成角 利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? , 但务必注意两异面直线所成角θ的围是 0, 2 π ?? ???, 故实质上应有:cos cos,a b θ=<> . (2)求线面角 求直线与平面所成角时,一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量,通过数量积求出直线与平面所成角;另一种方法是借助平面的法向量,先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ,即可求出直线与平面所成的角θ,其关系是sinθ=| cosφ|. (3)求二面角 用向量法求二面角也有两种方法:一种方法是利用平面角的定义,在两个面先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量,然后求出这两个方向向量的夹角,由此可求出二面角的大小;另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角,它与二面角的大小相等或互补.7、运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离. (1)点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度,因此也就是这两点对应向量的模. (2)点与面的距离 点面距离的求解步骤是: ①求出该平面的一个法向量; ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量; ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即得要求的点面距离. 备考建议:
高中数学立体几何知识 点归纳总结 公司内部编号:(GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-
高中数学立体几何知识点归纳总结一、立体几何知识点归纳 第一章空间几何体 (一)空间几何体的结构特征 (1)多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做顶点。 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中,这条定直线称为旋转体的轴。 (2)柱,锥,台,球的结构特征 1.棱柱 棱柱——有两个面互相平行,其余各面都是四边 形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行, 由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正 棱柱)的关系: ① ? ? ??????→ ?? ?????→? ? ?? ? 底面是正多形 棱垂直于底面 斜棱柱 棱柱正棱柱 直棱柱 其他棱柱
底面为平行四边形 侧棱垂直于底面 底面为矩形 底面为正方形 棱柱的性质: ①侧棱都相等,侧面是平行四边形; ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; ④直棱柱的侧棱长与高相等,侧面与对角面是矩形。 长方体的性质: ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和;【如图】 222211AC AB AD AA =++ ②(了解)长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是 αβγ,,,那么222cos cos cos 1αβγ++=,222sin sin sin 2αβγ++=; ③(了解)长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ,,,则222cos cos cos 2αβγ++=,222sin sin sin 1αβγ++=. 侧面展开图:正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.
三、立体几何初步 1、柱、锥、台、球的结构特征 (1)棱柱: 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到 截面距离与高的比的平方。 (3)棱台: 几何特征:①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图 是一个矩形。 (5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台:定义:以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。 (7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图 定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、 俯视图(从上向下) 注:正视图反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体的高度和宽度。 3、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点:①原来与x 轴平行的线段仍然与x 平行且长度不变; ②原来与y 轴平行的线段仍然与y 平行,长度为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 (1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 (2)特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高,' h 为斜高,l 为母线) ch S =直棱柱侧面积rh S π2=圆柱侧'2 1ch S =正棱锥侧面积rl S π=圆锥侧面积 ')(2 121h c c S +=正棱台侧面积l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表()l r r S +=π圆锥表()22R Rl rl r S +++=π圆台表 (3)柱体、锥体、台体的体积公式 V Sh =柱2V Sh r h π==圆柱13V Sh =锥h r V 231π=圆锥 '1()3 V S S h =台'2211()()33V S S h r rR R h π==++圆台 (4)球体的表面积和体积公式:V 球=343 R π ; S 球面=24R π 4、空间点、直线、平面的位置关系 公理1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内。 应用: 判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理1:,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 公理2:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
立体几何知识点整理(文科) 一.直线和平面的三种位置关系: 1. 线面平行 l 符号表示: 2. 线面相交 符号表示: 3. 线在面内 符号表示: 二.平行关系: 1.线线平行: 方法一:用线面平行实现。 方法二:用面面平行实现。 方法 用线 直实 现。 若α α⊥ ⊥m l,,则m l//。 方法四:用向量方法: 若向量和向量共线且l、m不重合,则m l//。 2.线面平行: 方法一:用线线平行实现。 方法二:用面面平行实现。 方法三:用平面法向量实现。 若n为平面α的一个法向量,l n⊥且α ? l,则 α // l。 3.面面平行: 方法一:用线线平行实现。 β α α β // ' ,' , ' // ' // ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且相交 且相交 m l m l m m l l 方法二:用线面平行实现。 三.垂直关系: 1. 线面垂直: 方法一:用线线垂直实现。 方法二:用面面垂直实现。 2. 面面垂直: 方法一:用线面垂直实现。 方法二:计算所成二面角为直角。 3.线线垂直: 方法一:用线面垂直 实现。 方法二:三垂线定理及其逆定理。 方法三:用向量方法: 若向量和向量的数量积为0,则m l⊥。 三.夹角问题。 (一)异面直线所成的角: (1) 范围:] 90 , 0(? ? (2)求法: 方法一:定义法。 步骤1:平移,使它们相交,找到夹角。 步骤2:解三角形求出角。(常用到余弦定理) 余弦定理: (计算结果可能是其补角 ) θ c b a l
方法二:向量法。转化为向量的夹角 (计算结果可能是其补角): (二) 线面角 (1)定义:直线l 上任取一点P (交点除外),作PO ⊥α于O,连结AO ,则AO 为斜线PA 在面α内的射影,PAO ∠(图中θ)为直线l 与面α所成的角。 (2)范围:]90,0[?? 当?=0θ时,α?l 或α//l 当?=90θ时,α⊥l (3)求法: 方法一:定义法。 步骤1:作出线面角,并证明。 步骤2:解三角形,求出线面角。 (三) 二面角及其平面角 (1)定义:在棱l 上取一点P ,两个半平面内分别作l 的垂线(射线)m 、n ,则射线m 和n 的夹角θ为二面角α—l —β的平面角。 (2)范围:]180,0[?? (3)求法: 方法一:定义法。 步骤1:作出二面角的平面角(三垂线定理),并证明。 步骤2:解三角形,求出二面角的平面角。 方法二:截面法。 步骤1:如图,若平面POA 同时垂直于平面βα和,则交线(射线)AP 和AO 的夹角就是二面角。 步骤2:解三角形,求出二面角。 方法三:坐标法(计算结果可能与二面角互补)。 步骤一:计算121212 cos n n n n n n ?>= ? 步骤二:判断θ与12n n >的关系,可能相等或者互补。 四.距离问题。 1.点面距。 方法一:几何法。 步骤1:过点P 作PO ⊥α于O ,线段PO 即为所求。 步骤2:计算线段PO 的长度。(直接解三角形;等体积法和等面积法;换点法) 2.线面距、面面距均可转化为点面距。 3.异面直线之间的距离 方法一:转化为线面距离。 如图,m 和n 为两条异面直线,α?n 且α//m , 则异面直线m 和n 之间的距离可转化为直线m 与平面α之间的距离。 方法二:直接计算公垂线段的长度。 方法三:公式法。 如图,AD 是异面直线m 和n 的公垂线段, '//m m ,则异面直线m 和n 之间的距离为: 高考题典例 考点1 点到平面的距离例1如图,正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2,D 为1CC 中点.(Ⅰ)求证:1AB ⊥平面1A BD ;(Ⅱ)求二面角1A A D B --的大小; (Ⅲ)求点C 到平面1A BD 的距离.考点2 异面直线的距离 A B C D O F
一、立体几何知识点归纳 第一章 空间几何体 (一)空间几何体的结构特征 (1)多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱 与棱的公共点叫做顶点。 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其 中,这条定直线称为旋转体的轴。 (2)柱,锥,台,球的结构特征 1.棱柱 1.1棱柱——有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱)的关系: ①???????? →???????→?? ?? 底面是正多形 棱垂直于底面 斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为矩形 侧棱与底面边长相等 1.3①侧棱都相等,侧面是平行四边形; ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; ④直棱柱的侧棱长与高相等,侧面与对角面是矩形。 1.4长方体的性质: ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的
平方和;【如图】2222 11AC AB AD AA =++ ②(了解)长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ,,,那么 222cos cos cos 1αβγ++=,222sin sin sin 2αβγ++=; ③(了解)长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ,,,则2 2 2 cos cos cos 2αβγ++=,2 2 2 sin sin sin 1αβγ++=. 1.5侧面展开图:正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 1.6面积、体积公式: 2S c h S c h S S h =?=?+=?直棱柱侧直棱柱全底棱柱底,V (其中c 为底面周长,h 为棱柱的高) 2.圆柱 2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.2圆柱的性质:上、下底及平行于底面的截面都是等圆;过轴的截面(轴截面)是全等的矩形. 2.3侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 2.4面积、体积公式: S 圆柱侧=2rh π;S 圆柱全=2 22rh r ππ+,V 圆柱=S 底h=2 r h π(其中r 为底面半径,h 为圆柱高) 3.棱锥 3.1棱锥——有一个面是多边形,其余各 面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。 3.2棱锥的性质: ①平行于底面的截面是与底面相似的正多边形,相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比; ②正棱锥各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形; ③正棱锥中六个元素,即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半,构成四个直角三角形。)(如上图:,,,SOB SOH SBH OBH 为直角三角形) 3.3侧面展开图:正n 棱锥的侧面展开图是有n 个全等的等腰三角形组成的。 侧面 母线 B
高中数学之立体几何 平面的基本性质 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面. 根据上面的公理,可得以下推论. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面. 空间线面的位置关系 共面平行—没有公共点 (1)直线与直线相交—有且只有一个公共点 异面(既不平行,又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点 (直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 (3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点) 平行—没有公共点 异面直线的判定 证明两条直线是异面直线通常采用反证法. 有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线,与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 线面平行与垂直的判定 (1)两直线平行的判定 ①定义:在同一个平面内,且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行,即若a∥α,aβ,α∩β=b,则a∥b. ③平行于同一直线的两直线平行,即若a∥b,b∥c,则a∥c. ④垂直于同一平面的两直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b ⑤两平行平面与同一个平面相交,那么两条交线平行,即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b ⑥如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线与这两个平面的交线平行,即若α∩β=b,a∥α,a∥β,则a∥b. (2)两直线垂直的判定
高中数学立体几何知识点总结 一 、空间几何体 (一) 空间几何体的类型 1 多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各 个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。 (二) 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征 1.1 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 棱柱 四棱柱 平行六面体直平行六面体 长方体正四棱柱 正方体 性质: Ⅰ、侧面都是平行四边形,且各侧棱互相平行且相等; Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行; Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等; 棱长都相等 底面是正方形 底面是矩形 侧棱垂直于底面 底面是平行四边形 底面是四边形
1.3 棱柱的面积和体积公式 ch S =直棱柱侧(c 是底周长,h 是高) S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h 2 、棱锥的结构特征 2.1 棱锥的定义 (1) 棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 (2)正棱锥:如果有一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的投影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。 2.2 正棱锥的结构特征 Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形,相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比;截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比; Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形; 正棱锥侧面积: 1 '2 S ch = 正棱椎(c 为底周长,'h 为斜高) 体积:1 3 V Sh = 棱椎(S 为底面积,h 为高) 正四面体: 对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为 a 2 2 的正方体问题。 A B C D P O H
必修2 第一章 空间几何体知识点总结 一.空间几何体的三视图 正视图:光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图;反映了物体的高度和长度 侧视图:光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图;反映了物体的高度和宽度 俯视图:光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。反映了物体的长度和宽度 三视图中反应的长、宽、高的特点:“长对正”,“高平齐”,“宽相等” 二.空间几何体的直观图 斜二测画法的基本步骤:①建立适当直角坐标系xOy (尽可能使更多的点在坐标轴上) ②建立斜坐标系'''x O y ∠,使'''x O y ∠=450 (或1350 ) ③画对应图形 在已知图形平行于X 轴的线段,在直观图中画成平行于X ‘ 轴,且长度保持不变; 在已知图形平行于Y 轴的线段,在直观图中画成平行于Y ‘ 轴,且长度变为原来的一半; 直观图与原图形的面积关系:4 2S ?=原图形直观图S 三.空间几何体的表面积与体积 ⑴圆柱侧面积;l r S ??=π2侧面 ⑵圆锥侧面积:l r S ??=π侧面 ⑶圆台侧面积:l R l r S ??+??=ππ侧面 h S V ?=柱体h S V ?=3 1 锥体 () 1 3 V h S S =+下 台体上 球的表面积和体积 3 2 3 44R V R S ππ= =球球,. 正三棱锥是底面是等边三角形,三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。 正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥。 第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识点总结 一. 平面基本性质即三条公理 l l β=∈ 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面; 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面; 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面. 二.直线与直线的位置关系 共面直线: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点。(既不平行,也不相交) 三.直线与平面的位置关系有三种情况: 在平面内——有无数个公共点 . 符号 a α 相交——有且只有一个公共点 符号 a ∩α= A 平行——没有公共点 符号 a ∥α 说明:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用a α来表示 1.直线和平面平行的判定 (1)定义:直线和平面没有公共点,则称直线平行于平面; (2)判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 简记为:线线平行,则线面平行。 符号: ////a b a a b ααα?? ?????? 2.直线和平面平行的性质定理: 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为:线面平行,则线线平行. 符号: a a a b b α βαβ??=? ????
高考立体几何知识点总结 一、空间几何体(一)空间几何体的类型 1多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的 面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其 中,这条直线称为旋转体的轴。 (二)几种空间几何体的结构特征1、棱柱的结构特征 1.1棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2棱柱的分类 棱柱 底面是四边形四棱柱 底面是平行四边形平行六面体 侧棱垂直于底面 直平行 六面体 底面是矩形 长方体底面是正方形 正四棱柱棱长都相等 正方体 性质: Ⅰ、侧面都是平行四边形,且各侧棱互相平行且相等;Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行;Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等; 1.3棱柱的面积和体积公式 ch S 直棱柱侧(c 是底周长,h 是高) S 直棱柱表面=c ·h+2S 底V 棱柱=S 底·h 2、棱锥的结构特征2.1棱锥的定义 (1)棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 (2)正棱锥:如果有一个棱锥的底面是正多边形, 并且顶点在底面的投影是底 图1-1 棱柱
面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。 2.2正棱锥的结构特征 Ⅰ、平行于底面的截面是与底面相似的正多边形,相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比;截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比; Ⅱ、正棱锥的各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形;正棱锥侧面积:1 '2 S ch = 正棱椎(c 为底周长,'h 为斜高)体积:1 3 V Sh = 棱椎(S 为底面积,h 为高)正四面体: 对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为 a 2 2 的正方体问题。对棱间的距离为 a 2 2 (正方体的边长)正四面体的高 a 36(正方体体对角线l 3 2 =)正四面体的体积为 3122a (正方体小三棱锥正方体V V V 3 1 4=-)正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为3:1(正方体体对角线正方体体对角线:l l 2 1 61= )3、棱台的结构特征 3.1棱台的定义:用一个平行于底面的平面去截棱锥,我们把截面和底面之间的部分称为棱台。3.2正棱台的结构特征 (1)各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰梯形; (2)正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形;(3)正棱台的对角面也是等腰梯形;(4)各侧棱的延长线交于一点。4、圆柱的结构特征 4.1圆柱的定义:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。 A B C D P O H
立体几何 一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示(正交基底,唯一的有序实数组,坐标) 二、空间向量的运算法则(加减数乘,平行的判定,一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。) 三、空间向量直角坐标的数量积(模长公式,距离公式,夹角cos |||| a b a b a b ??=? ) 四、直线的方向向量及平面的法向量 (1)直接法:找一条与平面垂直的直线,求该直线的方向向量。 (2)待定系数法:建立空间直接坐标系,在平面内找两个不共线的向量。 五、判定定理和性质(括号内代表符号语言的个数) 1、线面平行 判定:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。(3) 性质:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行。 (3) 2、面面平行 判定1:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。(5) 判定2:如果两个平面同垂直于一条直线,那么这两个平面平行。(2) 判定3:平行于同一个平面的两个平面平行。(2) 性质1:如果两个平面平行,那么在一个平面内所有直线都平行于另一个平面。(2) 性质2:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,则它们的交线平行。(3) 性质3:如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线,那么另一个平面也垂直于这条直线。 (2) 3、线面垂直 判定:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。(5) 性质1:如果一条直线垂直于一个平面,则它垂直于平面内的所有直线。(2) 性质2:垂直于同一个平面的两条直线平行。(2) 性质3:两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面(2) 4、面面垂直 判定:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。(2) 性质1:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。(4) 六、计算角与距离 1、求两异面直线所成的角:已知两异面直线a,b ,,,,A B a C D b ∈∈,则异面直线所成的角θ为:cos AB CD AB CD θ?= 2、平面的法向量的求法:设n=(x,y,z),利用n 与平面内的两个向量a ,b 垂直,其数量积为零,列出两个三元一次方程,联立后取其一组解。