Wiener 滤波概述
Wiener 滤波器是从统计意义上的最优滤波,它要求输入信号是宽平稳随机序列,本章主要集中在FIR 结构的Wiener 滤波器的讨论。 由
信
号
当
前
值
与
它
的
各
阶
延
迟
({n x )n ，
§3.1从估计理论观点导出Wiener 滤波
FIR 结构(也称为横向)的Wiener 滤波器的核心结构如图4所示. 图4.横向Wiener 滤波器
FIR 结构的Wiener 是一个线性Beyesian 估计问题.
为了与第2讲中估计理论一致，假设信号，滤波器权值均为实数
由输入)(n x 和它的1至（M-1）阶延迟，估计期望信号)(n d ，确定权系数}1,0,{-=M i w i 使估计误差均方值最小，均方
误差定义为：
xx R 这里线性
0w
或a
1) 波可能会达到更好结果。
2) 在联合高斯条件下，Wiener 滤波也是总体最优的（①从Bayesian 估计意义上讲是这样，②要满足平稳条件） 3) 从线性贝叶斯估计推导过程知，在滤波器系数取非最优的w 时，其误差性能表示：
它是w 的二次曲面，只有一个最小点，0w w =时，m in )(J w J =
§3.2维纳滤波：从正交原理和线性滤波观点分析Wiener 滤波器 Wiener 滤波器是一个最优线性滤波器，滤波器核是IIR 或FIR 的。
导出最优滤波器的正交原理,并从正交原理出发重新导出一般
IIR 。 =
∑∞
=--0
*)
(][k k
k n x w n d
均方误差是：
{}][*][n e n e E J ={}2
|][|n e E = 设权系数:
k k k jb a w +=
定义递度算子
T
k ]
,,[10 ???=?.其中
k k k k b j
a w ??
+??=??=?
符号J ?是递度算子作用于J ，其中第k 项为：k k k b J
j
a J J ??+??=?
要求
由J 得
?[n
je J k
由
[e a k
?k 代入J k ?表达式整理得：]][*][[2n e k n x E J k --=?
当0=?J
k ,1,0=k 时，J 达到最小。
设J 达最小时，用][,
00n e w 表示权系数和误差e[n]，且
min J J =
则有：
0]][][[*0
=-n e k n x E ， ,1,0=k
以上为正交性原理，达到最优滤波时，误差和输入正交。
推论：0]][][[*0
0=n e n y E
由
得
???x E ,
定：
[i r x [r xd 有=i 这就是Wiener-Hopf 方程，解此方程，可得到最优权i w 0。 对于M 阶FIR 滤波器，（横向滤波器）Wiener-Hopf 方程变为：
∑-=-=-10
0]
[][M i xd x
i k r k i r w
，
1,1,0-=M k
·矩阵形式： 令T
M n x n x n x n ]]
1[,],1[],[[][+--= x
和
R =?????
?
?-]2]1[],1[],
0[M r r r 里
0w 在示由
],[n x 。
[0e 也可以写成：]|[][][0n X n d n e n d +=
由
]|[?n
X n d 和
]
[0n e 正交性得：
[
]
2
?2
2
][d
o d
n e E σ
σ+=2
?m in d J σ+=
即：2
?2
m in
d d J σσ-=
由∑-=-=1
*][]|[?M k k n k n x w X n d ]
[0n H x w =
得
2
?d
σE =则
m J 0
w H
=由
入
J =
整
理
得
：
∑∑∑∑-=-=-=-=?+----=10
10
10
10
**2[
)(*)(M k M k M k M i x i k
xd k xd
k d
r w w k r w k r w J σ
由上式，可以看出，J 是W k 的二次曲面，是碗状曲面，碗口向上，
J min 在碗底，其实，由上式直接对w k 求导，得到一组方程，正是
wiener-Hopf 方程。 矩阵形式w w w w R J H
H
H
d
+--=xd xd r r w 2)(σ
在
x d
r 10-=R w 时
，
达最小，
min J 性
：
(J 由
故
(w J 令v
,有：
=k k
J 1
λ这是超椭圆，
k
λ为其一个轴。
数值例子1：
有一信号][n s ，它的自相关序列为k
s k r ??
?
??=212710][，被
一白噪声所污染，噪声方差为3/2，被污染信号][n x 作为Wiener 滤波器的输入，求2阶FIR 滤波器使输出信号是][n s 的尽可能的恢复。
解：本题中，][][][n v n s n x +=，][][n s n d =。
w
min
J ＃
是白
噪声函数
为:118458.01)(-?+=Z
Z H ②][n d 经过了一个通信信通，信道的传输函数为)(2Z H ，并加
入了白噪声1.022
=σ即：
通道模型如图5所示:
图5.通道模型
③求解：一个二阶FIR 结构Wiener 滤波器，目的是由x[n]尽可能恢复d [n ] 解： ①][n d 是一个)1(AR 过程，27.0,1)(2
1
1
11=+=-σZ a Z A
②在
][][][n v n s n x +=][n s )2(AR ,
反解但
：
R x =1.0 ??=1③求][k r xd {}][][][n d k n x E k r xd -=
由
：
]
[]1[9458.0][n d n s n s =--,
和
][][][2n v n s n x +=代入上式
得：]1[9458.0][][--=k r k r k r s s xd
故5272
.0])1[9458.0(]0[]0[=-?-+=s s xd r r r
最优系数 最小均方误差：
解
-R 02
=
·或
)()
()(z z z H x xd ΓΓ=
这里)(z H 是滤波器冲激响应（权系数）的z 变换，
)(z x Γ是][k r x 的z 变换，)(z xd Γ是][k p 的z 变换。
最小均方误差为
∑∞
-∞
=--
=l xd
ol d
l r w
J ]
[2min σ
例2．有一信号][n s ，它的自相关序列为
k
s k r ?
? ?=110][3/，IIR ]。
差
245
维纳滤波器的传输函数为
上式中，)(z x
+
Γ是由)(z x Γ中位于单位圆内的极点
和零点组成；+
-???
???ΓΓ)()(z z x xd 是对应于)()(z z x xd -ΓΓ中的因果序列
部分的z 变换。最小均方误差为
例3．用因果滤波器实现例2的相同问题 解:
由
11)
311)(311(116620)(1111z z z z z x --=--=Γ---- 得到(+Γz x 另
令
)(z Y
上式中的][n u 代表阶跃序列。][n y 的因果部分为
=???
???ΓΓΓ=+-+)()()(1)(z z z z H x xd x )311()211(1
1
----z z 12
113/1--z
＝
13
113/1--z
因果的IIRWiener 滤波器比非因果的剩余误差要略大。
Wiener 滤波器的设计及Matlab 仿真实现 1.实验原理 在许多实际应用中，人们往往无法直接获得所需的有用信号，能够得到的是退化了或失真了的有用信号。例如，在传输或测量信号s(n)时，由于存在信道噪声或测量噪声v(n)，接受或测量到的数据x(n)将与s(n)不同。为了从x(n)中提取或恢复原始信号s(n)，需要设计一种滤波器，对x(n)进行滤波，使它的输出y(n)尽可能逼近s(n)，成为s(n)的最佳 估计，即y(n) = )(?n s 。这种滤波器成为最优滤波器。 Wiener 滤波器是“理想”意义上的最优滤波器，有一个期望响应d(n)，滤波器系数的 设计准则是使滤波器的输出y(n)(也常用)(?n d 表示)是均方意义上对期望响应的最优线性估计。Wiener 滤波器的目的是求最优滤波系数],,,,,,[,1,0,1, k o o o o w w w w w -=，从而 使])(?)([])([)(2 2 n d n d E n e E n J -==最小。 通过正交性原理，导出 )()(k r k i r w xd x i oi -=-∑∞ -∞ =， 2,1,0,1,-=k 该式称为Wiener-Hopf 方程，解此方程，可得最优权系数},2,1,0,1,,{ -=i w oi 。 Wiener-Hopf 方程的矩阵形式为xd o x r w R =，解方程求得xd x o r R w 1 -= 2.设计思路 下面我们通过具体的例子来说明Wiener 滤波器的设计方法： 考虑如下图所示的简单通信系统。其中，产生信号S(n)所用的模型为 )95.01/(1)(11-+=z z H ，激励信号为)3.0,0(~)(WGN n w 。信号s(n)通过系统函数为)85.01/(1)(12--=z z H 的信道，并被加性噪声)1.0,0(~)(WGN n v 干扰，v(n)与w(n)不相 关。确定阶数M=2的最优FIR 滤波器，以从接收到的信号x(n) = z(n) + v(n)中尽可能恢复发送信号s(n)，并用MATLAB 进行仿真。
基于维纳滤波的应用综述 一、维纳滤波概述 维纳(wiener)滤波是用来解决从噪声中提取信号问题的一种过滤(或滤波)的方法。实际上这种线性滤波问题，可以看成是一种估计问题或一种线性估计问题。一个线性系统，如果它的单位样本响应为h (n )，当输入一个随机信号x (n )，且 x (n )=s (n )+v (n ) （1.1） 其中s(n)表示信号，v(n)表示噪声，则输出y(n)为 ()=()()m y n h m x n m -∑ （1.2） 我们希望x (n )通过线性系统h (n )后得到的y (n )尽量接近于s (n )，因此称y (n )为s (n )的估计值，用^ s 表示，即 ^ ()()y n s n = （1.3） 实际上，式(1.2)的卷积形式可以理解为从当前和过去的观察值x (n )，x (n -1)，x (n -2)…x (n -m )，来估计信号的当前值^()s n 。因此，用h (n )进行过滤的问题可以看成是一个估计问题。由于现在涉及的信号是随机信号，所以这样一种过滤问题实际上是一种统计估计问题。 维纳滤波器的优点是适应面较广，无论平稳随机过程是连续的还是离散的，是标量的还是向量的，都可应用。对某些问题，还可求出滤波器传递函数的显式解，并进而采用由简单的物理元件组成的网络构成维纳滤波器。维纳滤波器的缺点是，要求得到半无限时间区间内的全部观察数据的条件很难满足，同时它也不能用于噪声为非平稳的随机过程的情况，对于向量情况应用也不方便。因此，维纳滤波在实际问题中应用不多，更多的是基于维纳滤波器发展而来的滤波方式。 二、基于维纳滤波的应用 2.1在飞机盲降着陆系统中的应用 盲降着陆系统(ILS)又译为仪表着陆系统。它的作用是由地面发射的两束无线电信号实现航向道和下滑道指引，建立一条由跑道指向空中的虚拟路径。飞机通过机载接收设备确定自身与该路径的相对位置，使飞机沿正确方向飞向跑道并且平稳下降高度。最终实现安全着陆。在飞机盲降着陆时，飞机以较慢的恒定速度沿着一个无线电波束下降。为了自动对准跑道，通常要为盲目着陆系统提供两个信号。一个是由无线电波束提供的信号，由航向台提供，它与飞机航向滑离跑道方向的大小成正比；另一个信号由飞机通过自身方位的测量来提供。在这两个信号中，前者是飞机位置信号与高频噪声的叠加，作为前面分系统的x 1(n )；后者由于飞机下降过程中风向的改变而在信号中引入了低频噪声，作为x 2(n )。为了对飞机的位置信号进行最佳估计，采用互补维纳滤波器去除无用噪声信号，提高信噪比。由此，增强了飞机着陆时的精度，提高了飞机自身的安全。 2.2在图像处理中的应用 在图像处理中，噪声问题是经常会遇到的问题，它使得图像信息受损，降低了信噪比。如何尽可能地滤去噪声，恢复真实的信号，是图像处理中关键的问题。几类简单、常用的滤
第五章数字滤波器的基本概念及一些特殊滤波器 5.1 数字滤波器的基本概念 1.数字滤波器与数字滤波 滤波的涵义： 将输入信号的某些频率成分或某个频带进行压缩、放大; 对信号进行检测; 对参数估计; 数字滤波器： 通过对输入信号的进行数值运算的方法来实现滤波 模拟滤波器： 用电阻、电容、电感及有源器件等构成滤波器对信号进行滤波 2.数字滤波器的实现方法 用软件在计算机上实现 用专用的数字信号处理芯片 用硬件 3.数字滤波器的可实现性 ?要求系统因果稳定设计的系统极点全部集中 在单位圆内。 ?要求系统的差分方程的系数或者系统函数的系数为实数系统的零极点必须共轭成对出现，或者是实数。 4.数字滤波器的种类 现代滤波器 经典滤波器 ?滤波特性?a?a数字高通、数字低通、数字带 通、数字带阻； ?实现方法 ?a?a无限脉冲响应滤波器，简称IIR (Infinite Impulse Response)，它的单位脉冲响应为无限长，网络中有反馈回路。其系统函数为： ?a?a有限脉冲响应滤波器，简称FIR (Finite Impulse Response)它的单位脉冲响应为有限长，网络中没有反馈回路。其系统函数为：5.2 理想数字滤波器
理想滤波器是一类很重要的滤波器，对信号进行滤波能够达到理想的效果，但是他只能近似实现。设计的时候可以把理想滤波器作为逼近标准用。 本节主要讲述： 理想滤波器的特点： 在滤波器的通带内幅度为常数（非零），在阻带中幅度为零； 具有线性相位； 单位脉冲响应是非因果无限长序列。 理想滤波器的传输函数： ?幅度特性为： 相位特性为： 群时延为： ?则信号通过滤波器输出的频率响应为： 其时域表达式： ?输入信号输出信号， 表示输出信号相对输入信号没有发生失真。 假设低通滤波器的频率响应为 式中，是一个正整数，称为通带截止频率。 其幅度特性和相位特性图形如下： 滤波器的单位脉冲响应为： 举例：假设
FIR维纳滤波器的设计 在信号处理的许多实际应用中，人们往往不能直接获得所需要的有用信号，需要从噪声中提取信号。比如，在信号传输过程中，由于存在信道噪声等干扰，在接收端观测到的信号必然与原始信号不同。为了从观测数据中尽可能精确地重现原始信号，而最大成都地抑制噪声，需要设计一种滤波器，其输出尽可能逼近原始信号，成为原始信号的最佳估计。这种滤波器成为最佳滤波器。维纳(Wiener)滤波器就是用来解决这样一类问题的一种滤波器。本文将应用MATLAB并结合实例介绍FIR维纳滤波器的设计方法。 一、维纳滤波的原理 维纳滤波的本质是一种最佳估计问题，采用的是最小均方误差准则。一个线性系统，其单位样本响应为h(n)，当输入一个随机信号) ( ) ( ) (n n s n xυ + =其中s(n)表示信号，) (n υ表示噪声，则输出y(n)为 ∑-= m m n x m h n y) ( ) ( ) ( (1) 系统是通过y(n)来估计s(n)，因此将其称为s(n)的估计值，用) (?n s表示，即 ) (? ) (n s n y=(2) h(n) ) (? ) (n s n y= ) ( ) ( ) (n n s n xυ + = 图1 维纳滤波器基本框图 图1所示为维纳滤波器的基本框图。 式(1)为一卷积，可以理解为从当前和过去的观察值x(n)，x(n-1)，x(n-2)…x(n-m)，…来估计信号的当前值) (?n s。维纳滤波器一般有三种用途。用当前的和过去的观察值x(n)，x(n-1)，x(n-2)，…来估计当前的信号值) (? ) (n s n y=称为滤波；用过去的观察值来估计当前的或将来的信号值)0 )( (? ) (≥ + =N N n s n y称为预测；
实验一 维纳滤波 1. 实验内容 设计一个维纳滤波器： （1） 产生三组观测数据，首先根据()(1)()s n as n w n =-+产生信号()s n ，将其加噪，（信噪比分别为20,10,6dB dB dB ），得到观测数据123(),(),()x n x n x n 。 （2） 估计()i x n ，1,2,3i =的AR 模型参数。假设信号长度为L ，AR 模型阶数为N ，分析实验结果，并讨论改变L ，N 对实验结果的影响。 2. 实验原理 滤波目的是从被噪声污染的信号中分离出有用的信号来，最大限度地抑制噪声。对信号进行滤波的实质就是对信号进行估计。滤波问题就是设计一个线性滤波器，使得滤波器的输出信号()y n 是期望响应()s n 的一个估计值。下图就是观测信号的组成和信号滤波的一般模型。 观测信号()()()x n s n v n =+ 信号滤波的一般模型 维纳滤波解决从噪声中提取信号的滤波问题，并以估计的结果与真值之间的误差均方值最小作为最佳准则。它根据()()(),1, ,x n x n x n m --估计信号的当前 值，它的解以系统的系统函数()H z 或单位脉冲()h n 形式给出，这种系统常称为最佳线性滤波器。 维纳滤波器设计的任务就是选择()h n ，使其输出信号()y n 与期望信号()d n 误差的均方值最小。
假设滤波系统()h n 是一个线性时不变系统，它的()h n 和输入信号都是复函数，设 ()()()h n a n jb n =+ 0,1, n = 考虑系统的因果性，可得到滤波器的输出 ()()()()()0 *m y n h n x n h m x n m +∞ ===-∑ 0,1, n = 设期望信号()d n ，误差信号()e n 及其均方误差()2 E e n ???? 分别为 ()()()()()e n d n y n s n y n =-=- ()()()()()()22 2 0m E e n E d n y n E d n h m x n m ∞=?? ????=-=--????? ????? ∑ 要使均方误差为最小，需满足： ()() 2 0E e n h j ?????=? 整理得()()0E x n j e n *??-=??，等价于()()0E x n j e n * ??-=?? 上式说明，均方误差达到最小值的充要条件使误差信号与任一进入估计的输入信号正交，这就是正交性原理。 将()()0E x n j e n * ??-=??展开，得 ()()()()00m E x n k d n h m x m +∞ *** =????--=?? ???? ?∑ 整理得 ()()()0 dx xx m r k h m r m k +∞ *=-=-∑ 0,1,2, k = 等价于()()()()()0 dx xx xx m r k h m r k m h k r k +∞ ==-=*∑ 0,1,2, k = 此式称为维纳-霍夫（Wiener-Holf ）方程。解此方程可得到最优权系数 012,,, h h h ，此式是Wiener 滤波器的一般方程。 定义
基于维纳滤波的应用综述 摘要：介绍了维纳滤波的基本概念，列举了基于维纳滤波的滤波方式在飞机盲降着陆系统、在图像处理、桩基检测、超声物位计、地震数据信号处理和抗多址干扰盲检测中的应用。 一、维纳滤波概述 维纳(wiener)滤波是用来解决从噪声中提取信号问题的一种过滤(或滤波)的方法。实际上这种线性滤波问题，可以看成是一种估计问题或一种线性估计问题。一个线性系统，如果它的单位样本响应为h(n)，当输入一个随机信号x(n)，且 （1.1） 其中s(n)表示信号，v(n)表示噪声，则输出y(n)为 （1.2） 我们希望x(n)通过线性系统h(n)后得到的．y(n)尽量接近于s(n)，因此称y(n)为s(n)的 估计值，用表示，即 （1.3） 如图1.1所示。这个线性系统h(n)称为对于s(n)的一种估计器。 实际上，式(1.2)的卷积形式可以理解为从当前和过去的观察值x(n)，x(n一1)，x(n一2)…x(n-m)，来估计信号的当前值。因此，用h(n)进行过滤的问题可以看成是一个估计问题。由于现在涉及的信号是随机信号，所以这样一种过滤问题实际上是一种统计估计问题[1]。 维纳滤波器的优点是适应面较广，无论平稳随机过程是连续的还是离散的，是标量的还是向量的，都可应用。对某些问题，还可求出滤波器传递函数的显式解，并进而采用由简单的物理元件组成的网络构成维纳滤波器。维纳滤波器的缺
点是，要求得到半无限时间区间内的全部观察数据的条件很难满足，同时它也不能用于噪声为非平稳的随机过程的情况，对于向量情况应用也不方便。因此，维纳滤波在实际问题中应用不多，更多的是基于维纳滤波器发展而来的滤波方式。 二、基于维纳滤波的应用 2.1在飞机盲降着陆系统中的应用 盲降着陆系统(Instrument Landing System．ILS)又译为仪表着陆系统。是目前应用最为广泛的飞机精密进近和着陆引导系统。它的作用是由地面发射的两束无线电信号实现航向道和下滑道指引。建立一条由跑道指向空中的虚拟路径。飞机通过机载接收设备．确定自身与该路径的相对位置，使飞机沿正确方向飞向跑道并且平稳下降高度。最终实现安全着陆。由于是仪表指针引导飞行员按预定下滑线着陆，无需目视。故又称为盲降着陆系统。该系统为飞行员提供相对预定下滑线的水平和垂直面内的修正指示以及到跑道端口的距离指示。 在飞机盲目着陆系统的实际应用中。盲降着陆时，飞机以较慢的恒定速度沿着一个无线电波束下降。为了自动对准跑道，通常要为盲目着陆系统提供两个信号。一个是由无线电波束提供的信号。由航向台提供，它与飞机航向滑离跑道方向的大小成正比；另一个信号由飞机通过自身方位的测量来提供。在这两个信号中，前者是飞机位置信号与高频噪声的叠加。作为前面分系统的x1(n)后者由于飞机下降过程中风向的改变而在信号中引入了低频噪声，作为x2(n)。为了对飞机的位置信号进行最佳估计，采用互补维纳滤波器去除无用噪声信号[2]，提高信噪比。由此，增强了飞机着陆时的精度，提高了飞机自身的安全。 2.2在图像处理中的应用 在图像处理中，噪声问题是经常会遇到的问题，它使得图像信息受损，降低了信噪比。如何尽可能地滤去噪声，恢复真实的信号．是图像处理中关键的问题。几类简单、常用的滤波器如维纳滤波器和卡尔曼滤波器等都是假定噪声是高斯的且是加性的，噪声和信号相互独立，这样能得到最小均方误差意义下的最优滤波。对于实际问题中遇到的非加性噪声，也能通过基于维纳滤波器的思想计算，求出适合的滤波器算式[3]。比如在处理乘性噪声时使用的方法就是基于维纳滤波器的思想[4]，还有在处理图像运动模糊复原时的频域估计算法中也使用到基于维纳滤波器的一些推广算法[5]。同时，维纳滤波还是一种常见的图像复原方法，其思想是使复原的图像与原图像的均方误差最小原则采复原图像[6]。 2.3在桩基检测中的应用[7] 高层建筑、桥梁、海工结构及特殊建筑结构，都需采用深桩基础，即使普通
西安电子科技大学 统计与自适应信号处理仿真 学院： 班级： 学号： 姓名： 2013年12月
FIR 维纳滤波器 1维纳滤波原理概述 维纳（Wiener ）是用来解决从噪声中提取信号的一种过滤（或滤波）方法。这种线性滤波问题，可以看做是一种估计问题或一种线性估计问题。一个线性系统，如果它的单位样本响应为)(n h ，当输入一个随机信号)(n x ，且 )()()(n v n s n x += （1） 其中)(n x 表示信号，)(n v )表示噪声，则输出)(n y 为 ∑-= m m n x m h n y )()()( （2） 我们希望)(n x 通过线性系统)(n h 后得到的)(n y 尽量接近于)(n s ，因此称 )(n y 为)(n s 的估计值，用^ )(n s 表示，即 ^ )()(n s n y = （3） 则维纳滤波器的输入—输出关系可用下面图1表示。 图1 维纳滤波器的输入—输出关系 实际上，式（2）所示的卷积形式可以理解为从当前和过去的观察值)(n x ， )1(-n x ，)2(-n x …)(m n x -，…来估计信号的当前值^ )(n s 。因此，用)(n h 进行 过滤问题实际上是一种统计估计问题。 一般地，从当前的和过去的观察值)(n x ，)1(-n x ，)2(-n x …估计当前的信号值^ )()(n s n y =成为过滤或滤波；从过去的观察值，估计当前的或者将来的信号值)0)(()(^ ≥+=N N n s n y 称为外推或预测；从过去的观察值，估计过去的信号值 )1)(()(^ >-=N N n s n y 称为平滑或内插。因此维纳滤波器又常常被称为最佳线性 过滤与预测或线性最优估计。这里所谓的最佳与最优是以最小均方误差为准则的。 如果我们分别以)(n s 与^ )(n s 表示信号的真实值与估计值，而用)(n e 表示他们
维纳滤波应用综述 X X （XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX，XX XX XXXXXX） 摘要：介绍了维纳滤波的基本概念，列举了维纳滤波在桩基检测、综合脉冲星算法及图像复原中的应用. 维纳滤波是用来解决从噪声中提取信号问题的一种过滤的方法, 又被称为最佳线性过滤与预测或线性最优估计. 这里所谓最佳与最优是以最小均方误差为准则的.采用最小均方误差准则作为最佳过滤准则的原因还在于它的理论分析比较简单.不要求对概率的描述.并且在这种准则下导出的最佳线性系统对其它很广泛一类准则而言也是最佳的.维纳滤波是诺波特维纳在二十世纪四十年代提出的一种滤波器，即假定线性滤波器的输入为有用信号和噪声之和，两者均为广义平稳过程且知它们的二阶统计特性，根据最小均方误差准则( 滤波器的输出信号与需要信号之差的均方值最小) ，求得最佳线性滤波器的参数.维纳滤波器是一种自适应最小均方误差滤波器.维纳滤波的方法是一种统计方法，它用的最优准则是基于图像和噪声各自的相关矩阵，它能根据图像的局部方差调整滤波器的输出，局部方差越大，滤波器的平滑作用就越强. 1 基于Bayes 估计的双小波维纳滤波电能质量信号去噪算法 Bayes 阈值收缩算法的去噪步骤为：先对含噪信号进行离散小波变换；再按式（10）~（12）进行参数估计得到不同尺度α上的阈值，采用软阈值规则处理小波系数；最后经小波逆变换得到去噪信号。 基于Bayes 估计的小波阈值去噪算法在信噪比、均方误差方面均优于常见的阈值去噪算法，如通用硬阈值算法，通用软阈值算法，交叉验证（Cross Validation，CV）软阈值算法，无偏风险（Stein's unbiased risk estimator，Sure）软阈值算法。基于以上考虑，本文算法主要改进在于：在1W 域中采用Bayes 软阈值去噪算法代替图2 中的通用硬阈值去噪算法以得到期望信号的估计1s。 2 基于维纳滤波的电能质量检测去噪算法 由上述讨论可知传统空间自适应维纳滤波的参数是由局部数据,即某个邻域上的系数所估计。实际应用中滤波长度的选择不能过大,所以高斯噪声的大量存在对均值和方差的影响成了一个亟待解决的问题。 首先对叠加有噪声的电能质量检测信号均值滤波,均值滤波方法能很好地抑制高斯噪声。 针对均值滤波对边缘信息的模糊,该算法用阈值滤波方法对其进行更进一步的处理。它采用软阈值处理,不仅对信号不产生影响,而且能保留更多的电能质量检测信号细节。 3 小波分析与维纳滤波相结合的消噪方法研究
基于维纳滤波的含噪声语音信号的恢复摘要 本文基于随机信号分析与处理的相关理论，采用维纳滤波技术恢复噪声中的鸟鸣声信号，通过仿真达到预期效果，对工程实践有很好的理论支持。 关键词：维纳滤波器频域法 实验目的 1.熟悉维纳滤波的基本概念 2.熟悉线性最小均方估计的基本原理 3.掌握运用维纳滤波理论恢复信号的基本方法 实验原理 信号从发送者传送到接受者往往受到集中形式的变形而削弱，维纳滤波是一种从接收的原始信号中恢复信号的方法。 由于但时域方法要求协方差矩阵的逆，当数据比较长的时候，求逆的运算量非常大，我们在这里采用频域法来求解。 维纳滤波器作为波形估计的一种方法，可以采用多种估计准则。
假定离散时间的观测过程为 00()()(),,1,...,f z n s n v n n n n n =+=+ 其中()v n 为噪声，()s n 为原信号，0n 为起始观测时刻，f n 为观测结束时刻。 在实际常采用易于实现的线性最小均方准则。线性最小均方估计是观测的线性函数，它可以作为观测序列通过离散时间线性系统，即 (/)(,)()f n f k n s n n h n k z k ∧ ==∑ 滤波器的系数的选择可以由线性最小均方估计的正交原理来求取，即 00{[()(,)()]()}0(,1,...,) n k n E s n h n k z k z i i n n n =-==+∑ 即 00(,)(,)(,),(,1,...,)n sz z k n R n i h n k R k i i n n n ===+∑ 上式也称为Wiener-Hopf 方程。 对于信号和观测过程是平稳随机序列，并且是联合平稳随机序列，系统为因果的线性时不变离散时间线性系统，0 n =-∞，则有 ()()()()(),0sz z z l R n h l R n l h n R n n +∞ ==-=*≥∑ 求解维纳滤波器即求系数()h n 的过程。
摘要 本文介绍了维纳滤波的原理及其matlab 实现，以案例的形式展示FIR 维纳滤波的特性。 关键字：FIR 维纳滤波 Matlab 1.引言 滤波技术是信号分析、处理技术的重要分支，无论是信号的获取、传输，还是信号的处理和交换都离不开滤波技术，它对信号安全可靠和有效灵活地传递是至关重要的。信号分析检测与处理的一个十分重要的内容就是从噪声中提取信号，实现这种功能的有效手段之一是设计一种具有最佳线性过滤特性的滤波器，当伴有噪声的信号通过这种滤波器的时候，它可以将信号尽可能精确地重现或对信号做出尽可能精确的估计，而对所伴随噪声进行最大限度地抑制。维纳滤波器就是这种滤波器的典型代表之一。 2.维纳滤波概述 维纳（Wiener ）是用来解决从噪声中提取信号的一种过滤（或滤波）方法。这种线性滤波问题，可以看做是一种估计问题或一种线性估计问题。 一个线性系统，如果它的单位样本响应为)(n h ，当输入一个随机信号)(n x ，且 )()()(n v n s n x += （1） 其中)(n x 表示信号，)(n v )表示噪声，则输出)(n y 为 ∑-= m m n x m h n y )()()( （2） 我们希望)(n x 通过线性系统)(n h 后得到的)(n y 尽量接近于)(n s ，因此称)(n y 为)(n s 的估计值，用^ )(n s 表示，即 ^ )()(n s n y = （3） 则维纳滤波器的输入—输出关系可用下面图1表示。 图1 实际上，式（2）所示的卷积形式可以理解为从当前和过去的观察值)(n x ，)1(-n x ， )2(-n x …)(m n x -，…来估计信号的当前值^ )(n s 。因此，用)(n h 进行过滤问题实际上是 一种统计估计问题。 一般地，从当前的和过去的观察值)(n x ，)1(-n x ，)2(-n x …估计当前的信号值
UESTC 何子述，夏威2010/4/191 第5章维纳滤波在信号处理中的应用 ?1、介绍线性预测器，讨论与AR 模型的互逆关系；?2、介绍前（后）向线性预测及其格型滤波器结构，导出Burg 算法；?3、介绍维纳滤波在信道均衡中的应用，讨论基于线性预测的语音编码。 本章内容概况
5.1 维纳滤波在线性预测中的应用 M
UESTC 何子述，夏威2010/4/193 5.1.1 线性预测器原理 ()()d n u n =期望响应信号为()1u n ?()2u n ?()u n M ?()u n M ()LP M ， ，…，来预测称为阶（一步）线性预测（L inear P rediction ））。 ，（简记为输入数据为()()()1,2,,u n u n u n M ???"，即用
UESTC 何子述，夏威2010/4/19 4 5.1.1 线性预测器原理 输入向量()()()()T 12n u n u n u n M ??=?????u "权向量 [] T 11M w w w ?=w "的自相关矩阵()n u ()(){}H E n n =R u u 则 ()()()()()()()()()()()()()()()()()()1112121222E 12u n u n u n u n u n u n M u n u n u n u n u n u n M u n M u n u n M u n u n M u n M ??????????? ??????????????????????????????=??? ???????????????????????? ?????R " """%#"（5.1.1）
实验报告册 数字图形图像处理 维纳滤波器matlab实现 学院：人民武装学院学院 专业：计算机科学与技术 班级： 11级计科班 学号： 1120070544 学生姓名：苏靖 指导教师：
维纳滤波的原理及其matlab 实现，以案例的形式展示FIR 维纳滤波的特性。 2.维纳滤波概述 维纳（Wiener ）是用来解决从噪声中提取信号的一种过滤（或滤波）方法。这种线性滤波问题，可以看做是一种估计问题或一种线性估计问题。 一个线性系统，如果它的单位样本响应为)(n h ，当输入一个随机信号)(n x ，且 )()()(n v n s n x += （1） 其中)(n x 表示信号，)(n v )表示噪声，则输出)(n y 为 ∑-=m m n x m h n y )()()( （2） 我们希望)(n x 通过线性系统)(n h 后得到的)(n y 尽量接近于)(n s ，因此称)(n y 为)(n s 的估计值，用^ )(n s 表示，即 ^)()(n s n y = （3） 则维纳滤波器的输入—输出关系可用下面图1表示。 图1 实际上，式（2）所示的卷积形式可以理解为从当前和过去的观察值)(n x ，)1(-n x ，)2(-n x …)(m n x -，…来估计信号的当前值^)(n s 。因此，用)(n h 进行过滤问题实际上是一种统计估计问题。 一般地，从当前的和过去的观察值)(n x ，)1(-n x ，)2(-n x …估计当前的信号值^ )()(n s n y =成为过滤或滤波；从过去的观察值，估计当前的或者将来的信号值)0)(()(^≥+=N N n s n y 称为外推或预测；从过去的观察值，估计过去的信号值)1)(()(^>-=N N n s n y 称为平滑或内插。因此维纳滤波器又常常被称为最佳线性过滤与预测或线性最优估计。这里所谓的最佳与最优是以最小均方误差为准则的。 如果我们分别以)(n s 与^)(n s 表示信号的真实值与估计值，而用)(n e 表示他们之间的误差，即 )()()(^n s n s n e -= （4） 显然)(n e 可能是正值，也可能是负值，并且它是一个随机变量。因此，用它的均方误差来
电气工程学院 信号处理课程设计报告 设计题目：维纳滤波器 专业：生物医学工程 指导教师:叶立夏 学生姓名: 叶立夏 学号: 144 起迄日期: 2013年12月20日—2014年1月15日
如果有做课程设计的同学不懂的，可以联系我！ Qq：2 目录 前言 (3) 1 设计任务及指标 (3) 1.1 课程设计的内容和要求 (4) 1.2 对课程设计成果的要求 (4) 2 设计思想 (4) 2.1 概述 (4) 2.2 主要仪器设备及耗材 (5) 3 课程设计的组成部分 (5) 3.1具体操作 (5) 4 实验分析 (9) 4.1 原始图像显示 (9) 4.2 噪声的强度对维纳滤波器的影响 (13) 4.3 阶数对滤波效果的影响 (17) 4.4 数据长度对维纳滤波的影响 (21) 5 设计总结 (26) 5.1思考题 (26) 5.2实验心得 (26) 6 主要参考文献 (27) 附录 (27)
前言 去除信号中的噪声影响是信号处理中的一个重要内容，而滤波则是实现这一功能的重要手段之一。滤波器可以分为两类，及经典滤波器和现代滤波器经典滤波器是假定输入信号中嘚瑟有用成分和希望去除的成分各自占有不同的频带。当输入信号通过一个滤波器是可将欲去除的成分有效的去除，如果信号和噪声的频谱相互重叠，那么经典滤波器将无能为力。 现代滤波器理论研究的主要内容是从含有噪声的数据记录中估计出信号的某些特征灬信号本身。一旦信号被估计出，那么估计出的信号的信噪比将比原信号的高。现代滤波器把信号和噪声都视为随机信号，利用它们的统计特征导出一套最佳的估值算法，然后用硬件或软件予以实现。现代滤波器理论源于维纳在20世纪40年代及其以后的工作，因此维纳滤波器便是这一类滤波器的典型代表。 维纳滤波器，也是最小平方滤波器，其基本思路为：设计一个滤波器，使其与输入信号滤波后的输出与期望输出在最小平方意义下的最佳逼近。寻求最小均方误差的实质就是解维纳-霍夫方程。 1.设计任务及指标 1.1课程设计的内容和要求（包括原始数据、技术要求、工作要求等）： 本设计的目的是产生用于信号滤波的维纳霍夫方程。并且要求调节该滤波器的参数使该滤波器能够最好的还原原始波形，以适应不同原始信号都能够被提取出来。 设计要求： 1.已知信号的自相关函数和噪声的能量，编写程序求解维纳-霍夫方程，寻找最优滤波器。 2.编写程序仿真信号，噪声和观察波形，然后把观察信号通过滤波器得到
1第五讲 数字滤波器基本概念 数字信号处理 面向专业：自动化系授课教师：刘剑毅 ()() N M k m k m k m a z Y z b z X z ??===∑∑两边取Z变换，得： ()00 1 () ()() 10M M m m m m m m N N k k k k k k k b z b z Y z H z X z a z a z a h n ??==??=== == ?≠∑∑∑∑只要有一个，序列就是无限长的。 如果一个离散时间系统的单位抽样响应h(n)延伸到无穷长,即n →∞时,h(n)仍有值,这样的系统称作无限长单位冲激响应(IIR)系统。 所谓“滤波器”就是这些“系统”。 ) (n y ) ()()(n h n x n y ?=)(n h () x n 对其进行Z变换，得:
按单位抽样响应的类型分： 01 1M k k k N k k k b z a z ?=?== ?∑∑1 0)()N n n h n z ??==∑滤波器（N -1阶） 滤波器（N 阶） 特点： 1、单位冲激响应h(n) 2、系统函数H （z ）在有限（）上有极点存在。 ∞<
1 1 arg[()]arg[]()j M N m k m k H e K N M ωθω ===+ ?Φ +?∑∑m m k ριG G G 零点向量，零点指向向量；极点向量，极点指向向量。14 零点在单位圆上0,处；极点在π。 。 一个例子：
基于维纳滤波的含噪声语音信号的恢复 摘要 本文基于随机信号分析与处理的相关理论，采用维纳滤波技术恢复噪声中的鸟鸣声信号，通过仿真达到预期效果，对工程实践有很好的理论支持 。 关键词：维纳滤波器 频域法 实验目的 1. 熟悉维纳滤波的基本概念 2. 熟悉线性最小均方估计的基本原理 3. 掌握运用维纳滤波理论恢复信号的基本方法 实验原理 信号从发送者传送到接受者往往受到集中形式的变形而削弱，维纳滤波是一种从接收的原始信号中恢复信号的方法。 由于但时域方法要求协方差矩阵的逆，当数据比较长的时候，求逆的运算量非常大，我们在这里采用频域法来求解。 维纳滤波器作为波形估计的一种方法，可以采用多种估计准则。 假定离散时间的观测过程为 00()()(),,1,...,f z n s n v n n n n n =+=+ 其中()v n 为噪声，()s n 为原信号，0n 为起始观测时刻，f n 为观测结束时刻。 在实际中通常采用易于实现的线性最小均方准则。线性最小均方估计是观测的线性函数，它可以作为观测序列通过离散时间线性系统，即 (/)(,)()f n f k n s n n h n k z k ∧ ==∑ 滤波器的系数的选择可以由线性最小均方估计的正交原理来求取，即 00{[()(,)()]()}0(,1,...,) n k n E s n h n k z k z i i n n n =-==+∑ 即
00(,)(,)(,),(,1,...,)n sz z k n R n i h n k R k i i n n n ===+∑ 上式也称为Wiener-Hopf 方程。 对于信号和观测过程是平稳随机序列，并且是联合平稳随机序列，系统为因果的线性时不变离散时间线性系统，0 n =-∞，则有 ()()()()(),0sz z z l R n h l R n l h n R n n +∞ ==-=*≥∑ 求解维纳滤波器即求系数()h n 的过程。 将上式两边做z 变换，得()()()sz z G z H z G z = 所以， () ()() sz z G z H z G z = ()H z 称为维纳滤波器。当信号()s n 与观测噪声统计独立时，维纳滤波器为 () ()()() s s v G z H z G z G z = + 其中，()v G z 为噪声的功率谱，维纳滤波器用离散傅里叶变换可表示为 () ()()() s s v G H G G ωωωω= + 实验步骤 维纳滤波既可以采用频域方法实现，也可以采用时域方法实现，但时域方法要求协方差矩阵的逆，当数据比较长的时候，求逆的运算量非常大。 本实验给定信号为chirp 信号（鸟叫声），数据文件为chirp.mat （可以从MATLAB 中找到），可以用load （‘chirp’，“Fs”，‘y’）调入数据文件。用始于发实现维纳滤波的步骤如下： 1) 产生信号()s n 和观测()z n ，信号为chirp 信号（鸟叫声），观测为信号叠 加上高斯白噪声； 2) 估计?z R 和?sz R ；
FIR数字滤波器设计方法的综述 摘要：在数字信号处理中，数字滤波器是一种被广泛使用的信号处理部件，可改变信号中所含频率分量的相对比例或滤除某些频率分量，使其达到所需的效果，具有举足轻重的作用。在数字信号处理系统中，FIR(有限冲激响应)数字滤波器是一类结构简单的最基本的原件，具有严格的相频特性，能保证信号在传输过程中不会有明显的失真，是相当稳定的系统，其确保线性相位的功能进一步使它得到了广泛的应用。本综述分析了FIR数字滤波器的特征和
设计的基本原理,得到了满足系统要求的数字滤波器的设计方法。关键词：数字信号处理，FIR数字滤波器，设计方法
1引言 1.1背景 现在几乎在所有的工程技术领域中都会涉及到信号的处理问题，其信号表现形式有电、磁、机械以及热、光、声等。数字滤波技术可以在放大信号的同时去除噪声和干扰，而在模拟信号中信号和噪声同时被放大，数字信号还可以不带误差地被存储和恢复、发送和接收、处理和操纵。许多复杂的系统可以用高精度、大信噪比和可重构的数字技术来实现。目前，数字信号处理已经发展成为一项成熟的技术，并且在许多应用领域逐步代替了传统的模拟信号处理系统，如通讯、故障检测、语音、图像、自动化仪器、航空航天、生物医学工程、雷达等。 数字信号处理中一个非常重要且应用普遍的技术就是数字滤波。所谓数字滤波，是指其输入、输出均为数字信号，通过一定的运算关系改变输入信号所含的频率成分的相对比例或滤除某些频率成分，达到提取和加强信号中的有用成份，消弱干扰成份的目的。数字滤波作为数字信号处理的重要组成部分有着十分广泛的应用前景，可作为应用系统对信号的前置处理。数字滤波器无论是在理论研究上还是在如通讯、雷达、图象处理、数字音频等实际应用上都有着很好的技术前景和巨大的实用价值。 1.2现状与前沿 在近代电信设备和各类控制系统中，滤波器应用极为广泛。在所有的电子部件中，使用最多，技术最为复杂的即为滤波器。滤波器的优劣直接决定产品的优劣，所以，对滤波器的研究和生产历来为各国所重视。 目前，国外有许多院校和科研机构在研究基于FPGA的DSP应用，比较突出的有Denmark 大学的研究小组正在从事FPGA实现数字滤波器的研究。而我国在DSP技术起步较早，产品的研究开发成绩斐然，基本上与国外同步发展。
石家庄经济学院 本科生毕业设计 开题报告书 题目基于MATLAB的FIR与IIR维 纳滤波器的研究与仿真 姓名 学号 学院信息工程学院 专业通信工程 指导教师 年月日
设计题目 基于MATLAB 的FIR 与IIR 维纳滤波器的研究与仿真 选题依据： 1.国内外有关的研究动态 维纳滤波法是由维纳首先提出的，应用于一维信号处理，取得了很好的效果。之后，维纳滤波法被用于二维信号处理，也取得了不错的效果，尤其在图像复原领域由于维纳滤波计算量小，复原效果好，从而得到了广泛的应用和发展。 20世纪40年代，维纳奠定了关于最佳滤波器研究的基础。常用的滤波器是采用电感、电容等分立元件构成，如RC 低通滤波器、LC 谐振回路等。但对于混在随机信号中的噪声滤波，这些简单的电路就不是最佳滤波器，这是因为信号与噪声均可能具有连续的功率谱。不管滤波器具有什么样的频率响应，均不可能做到噪声完全滤掉，信号波形的不失真。因此，需要寻找一种使误差最小的最滤波方法，又称为最佳滤波准则。 从连续的(或离散的)输入数据中滤除噪声和干扰以提取有用信息的过程称为滤波，而相应的装置称为滤波器。根据滤波器的输出是否为输入的线性函数，可将它分为线性滤波器和非线性滤波器两种。滤波器研究的一个基本课题就是：如何设计和制造最佳的或最优的滤波器。所谓最佳滤波器是指能够根据某一最佳准则进行滤波的滤波器。 维纳滤波是利用平稳随机过程的相关特性和频谱特性对混有噪声的信号进行滤波的方法。利用平稳随机过程的相关特性和频谱特性对混有噪声的信号进行滤波的方法，1942年美国科学家N.维纳为解决对空射击的控制问题所建立。维纳滤波是40年代在线性滤波理论方面所取得的最重要的成果。 维纳滤波器的优缺点 维纳滤波器的优点是适应面较广，无论平稳随机过程是连续的还是离散的，是标量的还是向量的，都可应用。对某些问题，还可求出滤波器传递函数的显式解 利用维纳滤波器对图像进行恢复，尽管大多数图像整体上并不是稳定的,但有许多图像可以被认为是局部平稳的,另外,噪声常常会限制对一幅图像的可能的恢复程度,特别是在空间高频段。 基于维纳滤波器的噪声抑制；维纳滤波器对高斯噪声、乘性噪声都有明显的抑制作用，相对于均值滤波和中值滤波的一直效果更好，但易失去图像的边缘信息，维纳滤波器对椒盐噪声不太抑制。 2.理论及实际意义 维纳滤波的本质是一种最佳估计问题，采用的是最小均方误差准则。维纳是用来解决从噪声中提取信号的一种过滤（或滤波）方法。这种线性滤波问题，可以看做是一种估计问题或一种线性估计问题。 在许多实际应用中，人们往往无法直接获得所需的有用信号，能够得到的是退化了或失真了的有用信号。例如，在传输或测量信号s(n)时，由于存在信道噪声或测量噪声v(n)，接受或测量到的数据x(n)将与s(n)不同。为了从x(n)中提取或恢复原始信号s(n)，需要设计一种滤波器，对x(n)进行滤波，使它的输出y(n)尽可能逼近s(n)，成为s(n) 的最佳估计，即y(n) = )(?n s 。这种滤波器成为最优滤波器。 Wiener 滤波器是“理想”意义上的最优滤波器，有一个期望响应d(n)，滤波器系数 的设计准则是使滤波器的输出y(n)(也常用)(?n d 表示)是均方意义上对期望响应的最优 线性估计。Wiener 滤波器的目的是求最优滤波系数 ],,,,,,[,1,0,1, k o o o o w w w w w -=，从 而使])(?)([])([)(22n d n d E n e E n J -==最小。
维纳滤波原理及其在图像处理中的 应用
摘要 图像由于受到如模糊、失真、噪声等的影响，会造成图像质量的下降，形成退化的数字图像。退化的数字图像会造成图像中的目标很难识别或者图像中的特征无法提取，必须对其进行恢复。所谓图像复原就是指从所退化图像中复原出原始清晰图像的过程。维纳波是一种常见的图像复原方法，该方法的思想是使复原的图像与原图像的均方误差最小原则恢复原图像。 本文进行了对退化图像进行图像复原的仿真实验，分别对加入了噪声的退化图像、运动模糊图像进行了维纳滤波复原，并给出了仿真实验效果以及结果分析。实验表明退化图像在有噪声时必须考虑图像的信噪比进行图像恢复，才能取得较好的复原效果。关键词：维纳滤波；图像复原；运动模糊；退化图像 Abstract Due to factors such as blurring distorting and noising, image quality deteriorated and led to degenerated digital images which is getting harder to discern the target image or extract the image features. Wiener Filter is often used to recover the degraded image. The principle of the method expects to minimize the mean square error between the recovered image and original image.