第3章 电磁场分析的数学模型
3.1 电磁场控制方程的表述
电磁场数值分析的具体任务，就是要求解一个与特定问题相联系的偏微分方程定解问题。根据数学物理方程的理论，所谓定解问题指的是在某一确定区域内成立的微分方程加上定解条件。对于静态电磁场问题，或者可化为复数计算的正弦稳态电磁场问题，定解条件就是微分方程中的未知函数在该区域边界上所满足的条件，亦即边界条件；对于时变电磁场问题，则定解条件除了边界条件以外，还包括整个区域未知函数在初始时刻的值，亦即初始条件。针对这一定解问题的求解，发展了如上节所述的各种解算方法。因此，为了得到正确的解答，第一步工作就是要写出定解问题的表达式，也就是建立特定电磁场问题的恰当的数学模型。定解问题中的偏微分方程通常称为控制方程。选择哪种物理量作为控制方程中的未知函数，建立什么形式的微分方程，将影响问题求解的难易程度。本节将从麦克斯韦方程组出发，介绍各种情况下电磁场控制方程的表述方式。
3.1.1 麦克斯韦方程组
[54]
100多年前，麦克斯韦对前人在实验中得出的电磁场的基本定律进行了数学上的总结和提升，引入了位移电流的概念，创立了后来以其命名的方程组，完善了电磁场理论。其著作《Treatise on Electricity and Magnetism 》成书于1873年。从理论框架上看，麦克斯韦方程组加上洛仑兹力的计算公式，合起来构成了静止及运动媒质中电动力学的基础，概括了发电机、电动机和其它电磁装置的工作原理，也概括了电磁波的发射、传播和接收的原理。科学技术发展的实践证明，描述电磁场宏观性质的麦克斯韦方程组正确反映了电磁场中各物理量之间的相互关系，是电磁场的基本方程。
在大学普通物理和电类专业的电工原理课程中，都对麦克斯韦方程组作了基本的介绍。本节主要从电磁场数值计算的需要出发来加以说明。
麦克斯韦方程组的微分形式可以表述为：
t
??+=??D
J H (3-1) t
??-
=??B
E (3-2) 0=??B (3-3) ρ=??D (3-4)
式中，H 、B 、D 、E 、J 、ρ 分别为磁场强度（A/m ）、磁感应强度（或称磁通密度，T ）、电位移（或称电通密度，C/m 2）、电场强度（V/m ）、电流密度（A/ m 2）和电荷密度（C/ m 3）。式（3-1）右端第二项t ??/D 具有电流密度的量纲，称为位移电流密度。事实上，上面的四个方程并不是独立的，可以证明（见文献[54]第1.3节），后两个方程（式（3-3）和（3-4））是基于高斯定理和斯托克斯定理从前两个方程导出的。前两个方程，即式（3-1）和（3-2），分别称为麦克斯韦第一方程和第二方程。在这两个矢量方程中，含有5个独立的矢量函数，为了得到确定的解答，还需要增加3个独立的矢量方程，这就是
E D ε= (3-5)
H B μ= (3-6)
在电源以外区域，有
E J σ= (3-7)
其中ε、μ、σ 分别为介电常数（或称电容率）、磁导率和电导率。式（3-5）~（3-7）说明了5个场矢量之间的关系，通常称为电磁性能关系式，或本构方程。
对于方程（3-1）~（3-7），如果假设所有场矢量的分量在所考察点的邻域内是连续可微的，且在该邻域内媒质的电磁参数ε、μ和σ是线性、各向同性的，则这些参数可以分别用一个标量来表示。对于非线性和（或）各向异性媒质，则情况要复杂得多，这将在以后的章节中详述。如果所研究的场域内包含不同的媒质，则在媒质的交界面上电磁参数和场矢量都将发生突变，从而在这种交界面上麦克斯韦方程组的微分形式将不再适用，此时可以采用其积分形式来研究场矢量在交界面上的特性。
与式（3-1）~（3-4）的微分形式相对应，麦克斯韦方程组的积分形式为：
s D J l H d d ???? ????+=???S l t (3-8) s B l E d d ???
-=???S
l
t (3-9) q v V S ==???d d ρs D (3-10) 0d =??s B S (3-11)
其中，式（3-8）正是全电流定律，式（3-9）是电磁感应定律，式（3-10）和（3-11）则分别对应于电场的通量定律和磁场的磁通连续性定律。
麦克斯韦方程组是解决各种电磁场问题的出发点，但是由于包含了5个矢量未知函数，它的直接求解比较困难。在电磁场数值分析中，通常需要引入不同的电位和磁位作为辅助函数，从而使计算得到简化。
3.1.2 场矢量和位函数的微分方程
在麦克斯韦第一方程和第二方程中，磁场与电场的场矢量是互相耦合的，本节首先将磁场与电场解耦，假设所研究区域内媒质为线性、各向同性，并设不包含电源区，且自由电荷体密度为零，在这种条件下推出单一场矢量满足的微分方程，然后给出不同规范下的电磁位方程。
1. 场矢量的微分方程 对式（3-1）取旋度，有
D J D J H ????
+??=???
?+??=????t
t 考虑到电磁性能关系式（3-5）、（3-6）、（3-7），并代入麦克斯韦第二方程（3-2），容易推出
22t
t ??-??-=????B
B B μεμσ (3-12)
根据矢量分析恒等式
B B B 2)(?-???=????
并考虑到B 的散度为零, 式(3-12)就成为
0B
B B =??-??-?222
t
t μεμσ (3-13)
同样，对式（3-2）取旋度，并代入麦克斯韦第二方程（3-1），按照相似的推理方式，可以得出
0E E E =??-??-?222
t
t μεμσ (3-14)
由于H B μ=、E J σ=，且在线性、各向同性媒质中μ、σ皆为常数，因此将式（3-13）、（3-14）分别乘以μ/1和σ，可以直接得出
0H
H H =??-??-?222
t
t μεμσ (3-15)
0J
J J =??-??-?222
t
t μεμσ (3-16)
式（3-13）、（3-14）、（3-15）和（3-16）就是由场矢量B 、E 、H 和J 单独满足的微分方程，它们均属于一般化齐次波动方程，并且均为矢量方程。不过，如果直接求解这些方程，在很多实际问题中并不方便，而且不容易给出恰当的边界条件。为了简化计算，可以引入电磁位作为辅助函数建立微分方程。
2．时变电磁场中的电磁位
根据式（3-3），B 的散度恒等于零，故可定义一个新的矢量函数A ，令
A B ??= (3-17)
显然式 (3-17) 与式 (3-3) 相容，因为旋度场的散度为零。A 称为矢量磁位。将式(3-17) 代入(3-2)，同时考虑到时间导数和旋度的运算顺序可以交换，就得出
0=??
? ????+??t A E (3-18)
上式括号中的二项之和构成一个无旋的矢量场，由于无旋场可以表示成一个标量函数的梯度，因此可推出
φ?-??-
=t
A
E (3-19) φ称为标量电位。将式（3-18）和（3-19）代入方程（3-1）和（3-4）
，并考虑到电磁性能关系式（3-5）
和（3-6），就得到
J A
A μμεφμε=??+???+????22t
t (3-20)
和
ε
ρ
φ-=???
?-?t A 2 (3-21) 可以看出，若能在某一定解条件下由方程（3-20）、（3-21）得到A 和φ的一组解答，则根据式（3-18）和（3-19），场矢量B 和E 就完全确定；但对应于确定的B 和E ，通过式（3-17）、（3-19）定义的A 和φ却并不是唯一的。这是因为，如果令
ψ?+=1A A (3-22)
t
??-
=ψ
φφ1 (3-23) 则将式（3-22）、（3-23）代入（3-17）、（3-19），容易得出
1A B ??= (3-24)
11
φ?-??-
=t
A E (3-25) 这就证明对于满足条件（3-40）、（3-41）的任意一组矢量磁位和标量电位1A 和1φ，有唯一的
B 和E 与之对应。式（3-22）、（3-23）的变换称为规范变换，其中ψ是空间坐标的任意标量函数，称为规范函数。由规范变换所决定的B 和E 的不变性称为规范不变性。在以上讨论中，电磁位的多值性是因为虽然式（3-17）规定了A 的旋度，但是A 的散度尚未确定。A 与φ的任意性允许任意选择A ??，为了简化计算，存在着几种常用的选择，下面将分别讨论。
3．电磁位的波动方程，洛仑兹规范
当所研究的区域内不存在导电媒质，且电流密度J 为已知函数时，取
t
??-=??φ
με
A （洛仑兹规范） (3-26) 将式（3-26）代入（3-20），有
()J A
A A μμε=??+???-????22t
(3-27)
利用矢量微分关系式
()()A A A A A 2?-???=???-???=???? (3-28)
式（3-27）化简为
J A A μμε
-=??-?2
22
t
(3-29)
将式（3-26）代入（3-21），则有
ε
ρ
φμε
φ-
=??-?2
22
t (3-30) 式（3-29）、（3-30）即为A 与φ满足的非齐次波动方程。由于这两个方程解的时间变化滞后于场源的变化，因此称解出的A 与φ为延迟电磁位，可用于研究电磁波的辐射问题。式（3-26）对A ??的规定称为洛仑兹规范。可以看出，由于应用了洛仑兹规范，使原本存在耦合关系的方程（3-20）和（3-21）解耦，成为A 与φ单独满足的微分方程。
4．电磁位的涡流方程，电导率规范
在时变电磁场中，如果求解区域内存在导电媒质，则在其中将感应涡流。在许多工程问题中，特别是在电气设备、电力传输和生物医学等领域，时变电磁场的频率较低（通常低于1010Hz ），此时
麦克斯韦方程（3-1）右端的两项中，位移电流密度t ??D
与传导电流密度J 相比较可以忽略不计，这
类电磁场通常称为涡流场。在涡流场中，传导电流密度J 可以分为两种情况，其一是作为已知函数的源电流密度，记为s J ；其二是由于磁场的时间变化感应出来的涡流密度，记为e J 。对于一般情况，总的传导电流密度可表示为
e s J J J += (3-31)
e J 的空间分布和时间变化是未知的，可利用电磁性能关系式，将e J 表示成
???
?
???+??-==φσσt e A E J (3-32)
此外，在似稳电磁场中，位移电流密度t
??D
与传导电流密度相比较可以忽略不计，因此与式（3-20）相对应，有
J A μ=???? (3-33)
将式（3-32）代入（3-31），再代入（3-33），同时利用矢量微分关系式（3-28）， 得到
()s t J A A A μφσμ+???
?
???+??-=?-???2 (3-34)
将A 的散度规定为
μσφ-=??A （电导率规范） (3-35)
式（3-34）就变成
s t
J A
A μσ
μ-=??-?2 (3-36) 将式（3-35）代入（3-21），可得
ε
ρ
φμσ
φ-=??-?t 2 (3-37) 式（3-36）和（3-37）即为涡流场中电磁位满足的非齐次涡流方程，规定A ??的式（3-35）称为电导率规范。
5．静态场中的电位和磁位方程，库伦规范
由于静态场是不随时间变化的场，因此电场的方程与磁场的方程相互独立，不存在耦合关系。对于静电场，注意到式（3-30）中的时间导数项为零，就得到
ε
ρ
φ-
=?2 (3-38) 式（3-38）为静电场电位的泊松方程。在体电荷为零的区域中，上式成为
02=?φ (3-39)
式（3-39）为静电场电位的拉普拉斯方程。
在电流密度为零的区域中，静磁场也可引入标量位，即由0H =??，定义
m φ-?=H (3-40)
类似地，
0m 2=?φ (3-41)
式（3-41）为无电流区的静磁场中标量磁位m φ的拉普拉斯方程。当有电流存在时，磁场成为有旋场，不能引入标量位，此时可利用矢量磁位进行计算。与式（3-36）相对照，由于时间导数项为零，静磁场的矢量磁位满足矢量泊松方程，即
s J A μ-=?2 (3-42)
应当指出，矢量磁位也可用来计算无电流区的静磁场，此时式（3-42）成为矢量磁位的拉普拉斯方程，
0A =?2 (3-43)
由于式（3-42）和（3-43）是从（3-36）导出的，此时电导率规范（3-35）中0=σ，因此有A 的散度为零，这称为库伦规范，即
0=??A （库伦规范） (3-44)
3.1.3工程电磁场数值分析中电磁位方程的表述
在工程问题的电磁场数值分析中，通常求解区域内包含不同的媒质。对于线性媒质，其电磁特性参数是常数或分区常数；对于非线性媒质，电磁参数还依赖于的值。由于两种媒质的交界面上电磁特性发生突变，因此微分方程在交界面上不成立，需要分区列出电磁位方程，同时列出交界面条件，从而将不同区域的微分方程关联起来，联立求解。此外，为了减小计算规模，往往将求解区域分成不同性质的子区域，在其中采用不同的位函数作为未知函数建立微分方程。下面举例说明。
1. 静态场中的准拉普拉斯方程和准泊松方程
对于不含电荷区的静态电场，标量电位φ满足准拉普拉斯方程。在直角坐标系下，可表示为
0=???
? ??????+???? ??????+???? ??????z z y y x x φεφεφε (3-45) 对于含电流区的非线性静态磁场，矢量磁位A 满足的方程为（见注1.1）
s x x y y z z ννν????????????
++=- ? ? ???????????
??A A A J (3-46)
式（3-46）中μν/1=，为磁阻率。
注1.1 由于在非线性媒质情况下磁阻率是空间坐标的函数，因而式（3-46）中应包含与磁阻率的梯度ν?有关的项。但目前在许多文献中均忽略了磁阻率的梯度项，这可以理解为，在有限元法等数值计算方法中，通常将每个离散的空间单元的磁阻率近似地设为常数，这样一来，在单元内磁阻率的梯度ν?就等于零，而不同单元之间场方程的联系则通过交界面条件来实现。尽管这种处理带来了数学模型表述和计算方法上的很大便利，但这一简化引起的误差还是值得进一步探讨的。
2. 似稳场有损电介质中的标量电位方程
有损电介质的电特性不仅需要用电容率ε、而且需要用电导率σ来表征。对麦克斯韦第一方程(3-1) 等号两边取散度，有
0=???
?
????+??t D J (3-47) 式（3-47）即微分形式的电流连续性定理。由式（3-5）和式（3-7），上式可改写成
0=???
? ????+??t E E εσ (3-48) 通常ε和σ为线性参数。根据式（3-19），有 φ?-??-=t
A E
当激励源等值电磁波的波长比场域尺寸大许多倍时，亦即在似稳场情况下，磁场变化引起的电场分量可以忽略，因此上式可简化成
φ-?=E (3-49)
将式（3-49）代入式（3-48），有
0=???
? ?????
+???φεφσt (3-50) 在直角坐标系下，上式成为
0222222=???
? ????+??+?????? ????+z y x t φφφεσ (3-51)
式（3-51）即为似稳场有损电介质中标量电位满足的微分方程。
3．二维涡流分析中的矢量磁位方程
当所研究区域内的源电流只存在某一固定方向的分量，且区域内的几何、物理参数沿该方向均无变化时，电流密度和矢量磁位就只存在沿该方向的分量（一般将该方向取为直角坐标的z 轴方向），所研究的问题也简化成为二维平行平面场问题。此时选用矢量磁位作为未知函数计算磁场与涡流问题最为方便。许多涡流分析问题既包含涡流区，也包含源电流区。对于源电流区，往往可以不计涡流引起的集肤效应而只存在源电流密度，涡流区则不存在源电流而只有涡流密度，此时场方程可看作源区的场方程和涡流区场方程的联立，即：
???????-=???
?
??+???? ?
?-=????
??+???? ??)
()
(涡流区源电流区ze z z zs z z J y A y x A x J y A y x A x ??ν????ν????ν????ν?? (3-52)
式（3-52）中涡流密度ze J 是未知的，可以用矢量磁位来表达。为此可利用式（3-19），并考虑到在二维场中()k z φφ?=?，由于φ沿z 轴方向无变化，所以()0=??=?z
z φ
φ，从而标量电位可以消去；于是式 (3-52)的两个方程可统一写成
zs z z z J t A y A y x A x -??=???
?
??????+???? ??????σνν (3-53) 在数值分析中，式 (3-53)的σ和J zs 通常按分区常数给出。方程 (3-53) 加上适当的边界条件和初始条件即构成二维平行平面涡流场定解问题。求得其解答后，可方便地计算磁感应强度B 和电流密度J ，即
j i k A B y x z B B A +=??=??=)( (3-54)
k J A J ??
?
??+??-=+??-=zs z s J t A t σσ
(3-55) 综上所述，二维涡流场（也包括轴对称场在内）分析的特点是：
（1） A 和J 只存在一个分量，B 只含两个分量；
（2） J 和B 的耦合关系仅用一个标量函数（对于平行平面场为z A ，对于轴对称场为θA ）就可以联系起来。
4．三维涡流分析中的电磁位方程
[55]
对于三维涡流分析，B 和J 都各有三个分量。直接用B 、J 求解，需要6个未知函数。若用矢量磁位求解，则标量电位一般不能消去。为了减少计算规模，研究者们选用了不同的矢量位与标量位，组成各种电磁位对作为待求函数，使三维涡流场控制方程的表述呈现多样性。现将目前在节点有限元法中较多选用的电磁位对及与之相应的控制方程列在表3-1中。概括起来，表中所列的方法可分为两大类，即A 法和T 法。无论那种方法，为了完成场方程的表述，通常在涡流区需要矢量位与标量位的组合；在非涡流区则只需要采用矢量位或者标量位。下面介绍两种典型的电磁位组合与相应的微分方程。
（1）矢量磁位与标量电位方程，A A -φ,法
所谓A A -φ,法，指的是把三维涡流场的场域分成涡流区和非涡流区两部分，在涡流区采用矢量磁位A 和标量电位φ作为未知函数，在非涡流区只用A 作为未知函数，并将源电流归入非涡流区。
将式（3-17）和（3-19）代入式(3-1) 和 (3-2)，并考虑到电磁性能关系式 (3-6) 、(3-7)，在似稳场情况下，忽略式（3-1）右端的位移电流密度，不难得出
()φσσ
ν?-??-=????t
A
A 在涡流区内 (3-56) 和 ()s J A =????ν 在非涡流区内 (3-57)
式（3-56）和（3-57）尚未规定矢量磁位A 的散度。计算实践表明，在数值计算中，应用库伦规范，即规定0=??A ，比应用洛仑兹规范更方便。为将0=??A 并入式 (3-56) 和 (3-57)，可在上述二式中都加入一项“)(A ???-ν”，并同时把描述电流连续性的方程列出。这样，式 (3-56) 和 (3-57) 将分别改写成：
()()???
?
???
=???
? ???-??-??=?+??+???-????)(0)(b t a t φσσφσσννA
0A A A 在涡流区内 (3-58) ()()s J A A =???-????νν 在非涡流区内 (3-59)
其中，(3-58 (b)) 的加入是因为，对于原来的场方程(3-56)，描述电流连续性的方程 (3-58 (b)) 是
其必然结果，而加入)(A ???-ν以后，该式已不再被(3-58(a))所隐含，因此需要单独列出。式（3-58）
和式（3-59）即为A A -φ,法数学模型中矢量磁位A 和标量电位φ满足的微分方程。
关于加入)(A ???-ν这一项的理由，可以从两方面来说明。其一是从该项出发可得出边值问题所对应泛函的罚函数项，当泛函取得极值时，必然导致A 的散度为零，即库仑规范成立。其二是
从式（3-58）和式（3-59）出发，应用矢量场的唯一性定理以及调和函数的性质，证明加入)(A ???-ν这一项并给出恰当的边界条件和交界面条件可以保证库仑规范成立。参见文献[8]，这将在后面章节中进一步详述。
（2）矢量电位与标量磁位方程，ψψ-,T 法
ψψ-,T 法同样把三维涡流场的场域分成涡流区和非涡流区两部分，并将源电流归入非涡流
区。但与A A -φ,法不同，ψψ-,T 法在涡流区采用矢量电位T 和标量磁位ψ作为未知函数，在非涡流区只用ψ作为未知函数。将电流密度统一表示为
s e J J J += (3-60)
其中e J 为涡流电流密度，s J 为源电流密度。在涡流区，由电流密度的无散性0=??e J ，可以引入矢量函数T , 使
T J ??=e (3-61)
由于T 的旋度表示电流密度，因而T 称为矢量电位。再将麦克斯韦第一方程写成如下形式：
s e s e H J J J H ??+=+=?? (3-62)
其中s H 表示源电流密度在无限大空间所产生的磁场强度。综合式(3-61)、式(3-62)可得
()0H T H =--??s
因而可以取
s H T H +?-=ψ (3-63)
ψ为标量磁位，它可看作静磁场中标量磁位在涡流场情况下的推广。
在非涡流区，由于0J =e ，s J 则为已知函数，因而不需要引入矢量电位，所以磁场强度按下式计算：
ψ?-=s H H (3-64)
仍从式(3-1) 和 (3-2)出发，由式(3-63)、式(3-64) 可导出T 与ψ满足的场方程：
()()??
?
???-?=?-????-
=??-?+
???-????)()(s
s
b a t
t H T H T T T μψμμψμρρ 在涡流区内 (3-65) s H μψμ??=??? 在非涡流区内 (3-66)
与上文中矢量磁位A 的散度规定相类似,式（3-65（a ））中的T ???ρ项也是为了规定T 的散度为零而引入的。
在数值分析中，上述两种表述三维涡流分析电磁位方程的方法各有其优点和缺点。A A -φ,法具有较高的计算精度，便于处理涡流区与非涡流区交界处的交界面条件，对含有多连域导体区的情况也可直接应用，源电流项的引入也直接、方便。但是A A -φ,法在涡流区的每个离散节点上有4个未知数，在非涡流区每个节点上有3个未知数，总的未知数个数较多。与此相对照，ψψ-,T 法
在涡流区的每个离散节点上有4个未知数，在非涡流区每个节点上仅有1个未知数，显然具有未知数总数较少的突出优点。但在ψψ-,T 法中源电流密度的作用是通过s H 引入的，在数值计算中需要按照比奥-沙伐定律预先算出s H ，即
Ω?=
?Ω
d 413
S
r s s r
J H π
(3-67) 上式需要根据电流密度的分布用数值积分方法计算[56]
。此外，为保证导体表面处电流的连续性，需
要将导体表面矢量电位的切向分量预先置为零。这些都增加了程序的复杂性和计算时间。同时，在导体区计算磁场强度时，式 (3-63) 的右端成为数量级相近的数的相减，这将使磁场强度的计算误差增大，电流密度及相应的损耗计算误差也将增大。另一个问题是对多连域问题的适应性。经典电磁理论告诉我们，对无电流区的磁场使用标量位，由于其位差与路径有关，将产生位的多值性
[57]
。这
可以通过设置壁障面来解决，使研究区域内的任意路径不能穿过电流区，以保证区域中各点的标量磁位成为单值。如果所研究的问题不便于找出壁障面，则不能使用标量位。在这种情况下应用
ψψ-,T 法时，只好采用一种权宜之计，即将造成多连域的导体区的“洞”纳入导体区，并设其中
的电导率等于不为零的很低的值。
表3.1 各种电磁位对与相应的涡流场控制方程（采用库伦规范，0=??A ）
3.2 边界条件
1.2 节介绍了不同情况下场矢量和电磁位满足的微分方程。求解一个具体的电磁场问题，在构造相应定解问题的数学模型时，除了确定求解区域、选择未知函数、列出场的控制方程以外，为了求得问题的唯一解答， 还需要给出求解区域外边界上的适当的边界条件；此外，若场域内包含着多种媒质，在媒质分界面上电磁参数发生突然变化，这将引起场矢量的突变，仅用微分方程来描述场的分布将产生困难，因而需要将不同媒质的分界面条件引入数学模型。对于时变问题，还要给出t = 0时未知函数所满足的初始条件。本节将说明边界条件的确定方法。
3.2.1不同媒质的分界面条件
当求解区域中含有多种媒质时，实际上场的控制方程是对应于每种媒质分区列写的。不同媒质中的场方程加上媒质的分界面条件和外边界的边界条件，才能构成联立求解的数学模型。在许多介绍电磁场基础理论的教科书中，均说明了如何导出场矢量E 、D 、B 、H 和J 在不同媒质分界面上满足的条件，下面省略导出过程，直接写出用各场矢量及其分量表示的分界面条件。
1. 电场强度
两种媒质中的电场强度1E 和2E 在分界面上满足以下分界面条件：
()0E E n =-?12 (3-68)
或
12t t E E = (3-69)
其中 n 为分界面法向矢量，1t E 和2t E 分别表示媒质1和媒质2中电场强度在分界面处的切向分量。式（3-68）和式（3-69）说明电场强度在不同媒质的分界面处的切向分量是连续的。
2. 电位移
两种媒质中的电位移1D 和2D 在分界面上满足以下分界面条件：
()s ρ=-?12D D n (3-70)
或 s n n D D ρ=-12 (3-71) 其中s ρ为分界面上存在的自由电荷面密度，1n D 和 2n D 分别为媒质1和媒质2中电位移在分界面处的法向分量，
式（3-70）中电位移矢量1D 和 2D 正方向的规定见图
3-1。通常在两种电介质的交界面上不存在自由电荷面密 度，此时电位移的法向分量连续，即
12n n D D = (3-72)
3. 磁感应强度
两种媒质中的磁感应强度1B 和2B 在分界面上满足以下分界面条件：
()012=-?B B n (3-73)
或 012=-n n B B
(3-74)
式（3-73）和式（3-74）说明，在磁感应强度在不同媒质的分界面处的法向分量连续。 4. 磁场强度
两种媒质中的磁场强度1H 和2H 在分界面上满足以下分界面条件：
()21?-=n H H K (3-75)
或 21t H H K ττ-= (3-76) 其中K 为电流线密度，单位为A/m ；1τH 和2τH 分别表示媒质1和媒质2中电场强度在分界面处的切向分量。各物理量正方向的规定可描述为：2τH 与t K 的正方向构成右手系，见图3-2。实际上电
图 3-1自由面电荷存在时D 的分界面边界条件
流是以体密度的形式存在的。如果电流层的厚度比较薄，或者感兴趣的场域中不存在电流区，有时可将体电流简化成沿导体与非导体交界处的无限薄的电流片，用电流的线密度来描述。当交界面上不存在电流线密度时，磁场强度的切向分量连续。
图3-2电流线密度存在时的分界面条件
5. 电流密度
两种媒质中的电流密度1J 和2J 在分界面上满足以下分界面条件：
()012=-?J J n (3-77)
或 012=-n n J J (3-78) 即在不同媒质的分界面处电流密度的法向分量连续。
6. 电磁位
在解决实际问题时，常常需要根据场矢量在不同媒质分界面上满足的分界面条件写出电位或（和）磁位的相应分界面条件。
例如，对于涡流场问题，与表示电流连续性的式(3-77)相对应，当采用A A -φ,法时，矢量磁位和标量电位应满足的分界面条件为
022221111=???
? ???-??-?+???φσσφσσt t A A n (3-79) 将上式展开，并注意到通常在交界面处取磁位和电位的值连续，即A A A ==21，φφφ==21，则可得到
()1
12221????
????-???? ????=??-n n t A n
φσφσσσ (3-80) 对于ψψ-,T 法，矢量电位满足如下的分界面条件：
()()n n 12T T ??=?? (3-81)
如果两种媒质中有一种电导率为零，例如01=σ，则式(3-80)、(3-81) 成为
022=???
?
???????? ????+??-n t A n φσ (3-82)
()02=??n T (3-83)
与式 (3-74)、(3-76) 相对应，矢量磁位满足的分界面边界条件为
()()n n 12A A ??=?? (3-84)
()()212
1
1
1
t K τ
τ
μμ??-
??=A A (3-85)
对于电场问题，与式 (3-70)、(3-71) 相对应，标量电位满足的分界面边界条件为
()()s ρφεφε=??-??1122n n (3-86)
上式亦即
s n n ρφεφε=???
????-???
????1
122 (3-87) 3.2.2 场域边界条件
在许多实际工程问题中，场矢量在场域边界上有时很难给出适当的边界条件。在确定场域边界条件时，需要小心处理，合理简化。
1. 无穷远边界
对于开域问题，亦即电磁场能量并非局限于有限区域的问题，当求解区域取得足够大时，可以认为在边界上电磁场已近似地衰减到零，这样的边界可看作无穷远边界。不过，求解区域越大，数值分析中对区域进行离散化的工作量也越大，总的计算规模就越大；求解区域越小，则由于电磁场分布空间的截断所引起的误差将越大。如何恰当处理开域问题将在3.2.3 节中进一步讨论。
在无穷远边界处，有
0B =，0E = (3-88)
对于时变场中的涡流问题，若采用A A -φ,法求解，则有
0==φ，0A (3-89)
对于静磁场，有矢量磁位或标量磁位为零，即
0A = (3-90) 或 0=m φ (3-91) 对于电场问题，则有标量电位等于零，即
0=φ (3-92)
如果求解区域具有铁磁外壳，那么由于在工频电磁场中铁磁物质的透入深度只有1~3 mm ，在外边界处实际上场量已经衰减到很小的值，因而可以按无穷远边界处理。
式（3-89）~式（3-92）均给出了磁位或电位在边界上的值，这类边界条件为第一类齐次边界条件。
注 1.2 关于第一类和第二类边界条件的定义，原本是针对标量微分方程边值问题作出的，本节中将这种定义沿用于
矢量微分方程中未知场矢量的分量。例如，式（3-90）实际上表示0x A =，0y A =，0z A =；故对A 的分量而言，为第一类齐次边界条件。
2. 电场问题：给定电位的边界和电场线边界
电场问题分析中常见的情况是电极（或导体）表面的标量电位可以给定，取这样的表面作为场域边界，则在边界上有
i φφ= N i ,,2,1 = (3-93)
上式中i φ为给定的电位值，N 为电极的个数。当所选的边界与电场线相重合时，电位φ满足如下边界条件：
0=??n
φ
(3-94) 式（3-93）为第一类非齐次边界条件；式（3-94）为第二类齐次边界条件。
3. 磁场与涡流问题：在边界上满足μσ=∞=，0 条件的情况
对于含有涡流的磁场分析，在μσ=∞=，0的边界上，由于σ=0，故不存在涡流；当求解区域内的总电流之和为零，即满足0i =∑的条件时，由于边界外面μ=∞，所以磁场应垂直地进入边界面，即磁场强度的切向分量为零，可表示成
0H n =? (3-95)
用矢量磁位表示时，有
0=-n A t A t n ????, 0=-τ
????n
τA n A (3-96) 其中n 为边界面法向，τ 和t 为切向，如图3-3所示。当铁磁材料在计算场域外面，且不计其中的涡流时，就可按这类边界处理。
图3-3 边界面法向与切向
由于唯一性的要求，在这类边界上可以给定[8]
以下条件：
0=?A n (3-97)
即在边界面上A n 处处为零，从而A n 沿边界面的切向变化率也处处为零：
0==τ
????n
n A t A (3-98) 综合式 (3-96) 和 (3-98) 可得
0==n
A n A t ????τ
(3-99) 所以在这类边界上A 的边界条件可以表示为
0=?A n (3-100)
和
()t l n
A l
,0τ??== (3-101)
式（3-100）即A 的法向分量为零，是第一类齐次边界条件；式（3-101）即A 的两个切向分量的法向导数为零，为第二类齐次边界条件。
4. 磁场与涡流问题：在边界上满足∞=σ条件的情况
满足∞=σ条件的边界相当于超导边界。当有任何法向时变磁场进入此面时，边界面内即会感应涡流，把进入的法向磁场排挤出去，结果使边界面上只存在磁场的切向分量，不存在法向分量，即
0=?B n (3-102)
根据???=?s d d c l A s B （S 是定义在该边界上任意位置的表面，其面积可以取得任意小，C 为包围该表面的封闭曲线），由曲面S 的任意性，可以推出在边界面上矢量磁位A 的切向分量处处为零，再考虑到采用库仑规范，即 0=??A ，因此矢量磁位在这类边界上满足
0=?A n (3-103)
0=n
A n
?? (3-104) 式（3-103）表示A 的两个切向分量为零，为第一类齐次边界条件，式（3-104）表示A 的法向分量的法向导数为零，为第二类齐次边界条件。
5. 磁场与涡流问题：对称面边界
在有些三维涡流问题中，存在着几何对称面。若在对称面上有H 的切向分量为零，则可按照(3-95)给出边界条件。若对称面上B 的法向分量为零，则可按(3-102)处理。 例3-1：确定三维涡流问题场域边界条件的一个实例
[55]
图3-4表示一个由载流线圈、导电体（包括外壳、线圈芯柱）和空气组成的三维涡流问题的计算模型，线圈中的电流可随时间任意变化。由于对称性，实际计算时可以取模型的1/ 8作为计算场域。其边界由六个平面构成，其中
h z b y b x ===、、三个平面是外壳表
面；000===z y x 、、三个平面是对称面。由于外壳是普通钢板，既导电又导磁，故可认为外壳表面上的磁场与电场无泄露，且已衰减到零，即h z b y b x ===、、三个表面可按无穷远边界处理。对三个对称面，根据场域内源电流和媒质的分布情况和几何形状，可先写出场矢量B ，H 和J 的分界面条件 ；再根据电、磁位的定义、
基本算式和对称性，进一步确定其它边界条件。该问题可用A A -φ,法或ψψ-,T 法来计算。表3-2分别列出了各边界面上场矢量和电磁位的边界条件。
从本例可以看出，要恰当给出边界条件，首先需要分析所研究场域的几何、物理参数的分布，并根据电磁场的基本理论，给出场矢量的边界条件，然后再由具体位函数与场矢量的关系确定电位和磁位满足的边界条件。
表3-2 模型题各边界面上的边界条件
图3-4一个三维涡流问题的计算模型
本章参考文献
[54] J.A. Stratton, Electromagnetic Theory [M]. McGraw-Hill, 1941
[55] 谢德馨，姚缨英，白保东，李锦彪. 三维涡流场的有限元分析[M]. 机械工业出版社，2001
[56] 樊明武，颜威利. 电磁场积分方程法[M].北京：机械工业出版社，1988
[57] 汤蕴璆. 电机内的电磁场（第二版）[M]. 北京：科学出版社，1998
（本章涉及的其它参考文献见“工程电磁场理论与应用讲义-0”）
思考与练习一 1．证明矢量3?2??z y x e e e -+=A 和z y x e e e ???++=B 相互垂直。 2. 已知矢量 1.55.8z y e ?e ?+=A 和4936z y e ?.e ?+-=B ，求两矢量的夹角。 3. 如果0=++z z y y x x B A B A B A ，证明矢量A 和B 处处垂直。 4. 导出正交曲线坐标系中相邻两点弧长的一般表达式。 5．根据算符?的与矢量性，推导下列公式： ()()()()B A B A A B A B B A ??+???+??+???=??)( ()()A A A A A 2??-?=???2 1 []H E E H H E ???-???=??? 6．设u 是空间坐标z ,y ,x 的函数，证明： u du df u f ?=?)(， ()du d u u A A ??=??， ()du d u u A A ??=??，()[]0=????z ,y ,x A 。 7．设222)()()(z z y y x x R '-+'-+'-='-=r r 为源点x '到场点x 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点。证明下列结果， R R R R =?'-=?， 311R R R R -=?'-=?，03=??R R ，033=??'-=??R R R R )0(≠R （最后一式在0=R 点不成立）。 8. 求[])sin(0r k E ???及[])sin(0r k E ???，其中0E a ,为常矢量。 9. 应用高斯定理证明 ???=??v s d dV f s f ，应用斯克斯（Stokes ）定理证明??=??s L dl dS ??。 10.证明Gauss 积分公式[]??????+???=??s V dv d ψφψφψφ2s 。 11.导出在任意正交曲线坐标系中()321q ,q ,q F ??、()[]321q ,q ,q F ???、()3212q ,q ,q f ?的表达式。 12. 从梯度、散度和旋度的定义出发，简述它们的意义，比较它们的差别，导出它们在正交曲线坐标系中的表达式。
经典电磁理论的建立 在古代，人们对静电和静磁现象已分别有一些认识，但从这门学科的发展来看，直到十八世纪末十九世纪初，电和磁之间的联系才被揭露出来，并逐步发展成为一门新的学科——电磁学。电磁学的发展之所以比较晚，主要是由于电磁学的研究需要借助于更为精密的仪器和更精确的实验方法，而这些条件只有生产发展到一定水平之后才能具备。 首先对于电和磁现象进行系统地实验研究的是英国的威廉·吉尔伯特。他通过一系列的实验认识到电力和磁力是性质不同的两种力。例如，磁力只对天然磁石起作用，而电力能作用于许多材料。他第一个将琥珀与毛皮摩擦后吸引轻小物体的性质叫做“电”。吉尔伯特这种关于电和磁在本质上不同的观点，给后来的电磁学的发展留下了深刻的影响，直至十九世纪初，许多科学家都把这两种现象看作是毫无联系的。吉尔伯特之后的整个十七世纪，对电和磁的研究进展不大。 到了十八世纪四十年代，起电装置的改善和大气现象的研究，引起了物理学家的极大兴趣。1745年荷兰莱顿大学的马森布罗克(1692～1761)和德国的克莱斯德(1700～1748)各自发明了“蓄电”的最早器具——莱顿瓶。1752年7月，美国的富兰克林进行了一次震动世界的吸取天电的风筝实验，从而使人们认识到天空的闪电和地面上的莱顿瓶放电现象是一致的。富兰克林还提出了电荷守恒的思想和电的“单流质”说，他认为一个物体所带的电流质是一个常量，如果流质在一个物体比常量多，就带负电，比常量少就带正电。他在风筝实验的基础上，发明了“避雷针”。由于他在电学方面做出了杰出贡献，而被誉为近代电学的奠基人。 我们知道，牛顿在发现万有引力的过程中，曾用数学方法证明过，如果引力随着引力中心距离的平方反比减少，一个均匀球壳对其内部的物体就没有引力的作用。1775年，富兰克林发现将一小块软木块悬于带电的金属罐内并不受到电力的作用。他的朋友普里斯特列(1733～1804)根据这个实验和牛顿对万有引力定律的数学证明推想电的作用力也遵守平方反比定律。1771年，英国物理学家卡文迪许也用类似的实验和推理的方法对电力相互作用的规律进行了研究，他从实验得到电力与距离的n 比定 律。库仑定律的发现为静电学奠定了理论基础。通过西蒙·泊松(1781～1840)、高斯(1777～1855)和乔治·格林(1793～1841)等人的工作，确定了处理静电场和静磁场的数学方法。 十八世纪末，1780年意大利的医生和动物学教授伽伐尼(1737～1798)在解剖青蛙时，发现了电流，这是电学发展史上的一个转折点。在伽伐尼发现的基础上，伏打于1800年制成伏打“电堆”，得到了比较强的电流，从而使人的认识由静电进入动电，由瞬时电流发展到恒定电流，为进一步研究电流运动的规律和电运动与其他运动形式的联系和转化创造了条件。
A．电磁场理论B基本概念 1．什么就是等值面？什么就是矢量线？ 等值面——所有具有相同数值的点组成的面 ★空间中所有的点均有等值面通过; ★所有的等值面均互不相交; ★同一个常数值可以有多个互不相交的等值面。 矢量线(通量线)---- 一系列有方向的曲线。 线上每一点的切线方向代表该点矢量场方向, 而横向的矢量线密度代表该点矢量场大小。 例如,电场中的电力线、磁场中的磁力线。 2．什么就是右手法则或右手螺旋法则？本课程中的应用有哪些？(图) 右手定则就是指当食指指向矢量A的方向,中指指向矢量B的方向,则大拇指的指向就就是矢量积C=A*B的方向。 右手法则又叫右手螺旋法则,即矢量积C=A*B的方向就就是在右手螺旋从矢量A转到矢量B的前进方向。 本课程中的应用: ★无限长直的恒定线电流的方向与其所产生的磁场的方向。 ★平面电磁波的电场方向、磁场方向与传播方向。 3．什么就是电偶极子？电偶极矩矢量就是如何定义的？电偶极子的电磁场分布就是怎样的？ 电偶极子——电介质中的分子在电场的作用下所形成的一对等值异号的点电荷。 电偶极矩矢量——大小等于点电荷的电量与间距的乘积,方向由负电荷指向正电荷。
4、麦克斯韦积分与微分方程组的瞬时形式与复数形式; 积分形式: 微分方式: (1)安培环路定律 (2)电磁感应定律 (3)磁通连续性定律 (4)高斯定律 5、结构方程
6、什么就是电磁场边界条件？它们就是如何得到的？(图) 边界条件——由麦克斯韦方程组的积分形式出发,得到的到场量在不同媒质交界面上应满足的关系式(近似式)。 边界条件就是在无限大平面的情况得到的,但就是它们适用于曲率半径足够大的光滑曲面。 7、不同媒质分界面上以及理想导体表面上电磁场边界条件及其物理意义; (1)导电媒质分界面的边界条件 ★导电媒质分界面上不存在传导面电流,但可以有面电荷。 在不同媒质分界面上,电场强度的切向分量、磁场强度的切向分量与磁感应强度的法向分量永远就是连续的 (2)理想导体表面的边界条件 ★理想导体内部,时变电磁场处处为零。导体表面可以存在时变的面电流与面电荷。
一． 1.对于矢量A u v，若A u v＝ e u u v x A＋y e u u v y A＋z e u u v z A， x 则： e u u v?x e u u v＝；z e u u v?z e u u v＝； y e u u v?x e u u v＝；x e u u v?x e u u v＝ z 2.对于某一矢量A u v，它的散度定义式为； 用哈密顿算子表示为 3.对于矢量A u v，写出： 高斯定理 斯托克斯定理 4.真空中静电场的两个基本方程的微分形式为 和 5.分析恒定磁场时，在无界真空中，两个基本场变量之间的关系为，通常称它为 二.判断：（共20分，每空2分）正确的在括号中打“√”，错误的打“×”。 1.描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。（） 2.标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。（） 3.梯度的方向是等值面的切线方向。（） 4.恒定电流场是一个无散度场。（） 5.一般说来，电场和磁场是共存于同一空间的，但在静止和恒定的情况下，电场和磁场可以独立进行分析。（） 6.静电场和恒定磁场都是矢量场，在本质上也是相同的。（）
7.研究物质空间内的电场时，仅用电场强度一个场变量不能完全反映物质内发生的静电现象。（ ） 8.泊松方程和拉普拉斯方程都适用于有源区域。（ ） 9.静电场的边值问题，在每一类的边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解都是唯一的。（ ） 10.物质被磁化问题和磁化物质产生的宏观磁效应问题是不相关的两方面问题。（ ） 三.简答：（共30分，每小题5分） 1.用数学式说明梯无旋。 2.写出标量场的方向导数表达式并说明其涵义。 3.说明真空中电场强度和库仑定律。 4.实际边值问题的边界条件分为哪几类？ 5.写出磁通连续性方程的积分形式和微分形式。 6.写出在恒定磁场中，不同介质交界面上的边界条件。 四.计算：（共10分）半径分别为a,b(a>b),球心距为c(c 电磁场与电磁波总结 第1章 场论初步 一、矢量代数 A ? B =AB cos θ A B ?=AB e AB sin θ A ?( B ? C ) = B ?(C ?A ) = C ?(A ?B ) A ? (B ?C ) = B (A ?C ) – C ?(A ?B ) 二、三种正交坐标系 1. 直角坐标系 矢量线元 x y z =++l e e e d x y z 矢量面元 =++S e e e x y z d dxdy dzdx dxdy 体积元 d V = dx dy dz 单位矢量的关系 ?=e e e x y z ?=e e e y z x ?=e e e z x y 2. 圆柱形坐标系 矢量线元 =++l e e e z d d d d z ρ?ρρ?l 矢量面元 =+e e z dS d dz d d ρρ?ρρ? 体积元 dV = ρ d ρ d ? d z 单位矢量的关系 ?=??=e e e e e =e e e e z z z ρ??ρρ? 3. 球坐标系 矢量线元 d l = e r d r + e θ r d θ + e ? r sin θ d ? 矢量面元 d S = e r r 2sin θ d θ d ? 体积元 dv = r 2sin θ d r d θ d ? 单位矢量的关系 ?=??=e e e e e =e e e e r r r θ? θ??θ cos sin 0sin cos 0 001x r y z z A A A A A A ????????????=-?? ????????????????????? sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos 0x r y z A A A A A A ???? ?????? ? ?=-????????????-?????? θ?θ?θ? θθ?θ?θ?? sin 0cos cos 0sin 0 10r r z A A A A A A ???? ?????? ??=-???????????????? ??θ??θθθθ 三、矢量场的散度和旋度 高中物理电磁学练习题 一、在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确． 1．如图3-1所示，有一金属箔验电器，起初金属箔闭合，当带正电的棒靠近验电器上部的金属板时，金属箔开．在这个状态下，用手指接触验电器的金属板，金属箔闭合，问当手指从金属板上离开，然后使棒也远离验电器，金属箔的状态如何变化?从图3-1的①～④四个选项中选取一个正确的答案．［］ 图3-1 Ａ．图①Ｂ．图②Ｃ．图③Ｄ．图④ 2．下列关于静电场的说法中正确的是［］ Ａ．在点电荷形成的电场中没有场强相等的两点，但有电势相等的两点 Ｂ．正电荷只在电场力作用下，一定从高电势向低电势运动 Ｃ．场强为零处，电势不一定为零；电势为零处，场强不一定为零 Ｄ．初速为零的正电荷在电场力作用下不一定沿电场线运动 3．在静电场中，带电量大小为ｑ的带电粒子（不计重力），仅在电场力的作用下，先后飞过相距为ｄ的ａ、ｂ两点，动能增加了ΔＥ，则［］Ａ．ａ点的电势一定高于ｂ点的电势 Ｂ．带电粒子的电势能一定减少 Ｃ．电场强度一定等于ΔＥ／ｄｑ Ｄ．ａ、ｂ两点间的电势差大小一定等于ΔＥ／ｑ 4．将原来相距较近的两个带同种电荷的小球同时由静止释放（小球放在光滑绝缘的水平面上），它们仅在相互间库仑力作用下运动的过程中［］Ａ．它们的相互作用力不断减少 Ｂ．它们的加速度之比不断减小 Ｃ．它们的动量之和不断增加 Ｄ．它们的动能之和不断增加 5．如图3-2所示，两个正、负点电荷，在库仑力作用下，它们以两者连线上的某点为圆心做匀速圆周运动，以下说确的是［］ 图3-2 Ａ．它们所需要的向心力不相等 Ｂ．它们做圆周运动的角速度相等 Ｃ．它们的线速度与其质量成反比 Ｄ．它们的运动半径与电荷量成反比 6．如图3-3所示，水平固定的小圆盘Ａ，带电量为Ｑ，电势为零，从盘心处Ｏ由静止释放一质量为ｍ，带电量为＋ｑ的小球，由于电场的作用，小球竖直上升的高度可达盘中心竖直线上的ｃ点，Ｏｃ＝ｈ，又知道过竖直线上的ｂ点时，小球速度最大，由此可知在Ｑ所形成的电场中，可以确定的物理量是［］ 图3-3 Ａ．ｂ点场强Ｂ．ｃ点场强 Ｃ．ｂ点电势Ｄ．ｃ点电势 7．如图3-4所示，带电体Ｑ固定，带电体Ｐ的带电量为ｑ，质量为ｍ，与绝缘的水平桌面间的动摩擦因数为μ，将Ｐ在Ａ点由静止放开，则在Ｑ的排斥下运动到Ｂ点停下，Ａ、Ｂ相距为ｓ，下列说确的是［］ 图3-4 Ａ．将Ｐ从Ｂ点由静止拉到Ａ点，水平拉力最少做功2μｍｇｓ Ｂ．将Ｐ从Ｂ点由静止拉到Ａ点，水平拉力做功μｍｇｓ Ｃ．Ｐ从Ａ点运动到Ｂ点，电势能增加μｍｇｓ Ｄ．Ｐ从Ａ点运动到Ｂ点，电势能减少μｍｇｓ 8．如图3-5所示，悬线下挂着一个带正电的小球，它的质量为ｍ、电量为ｑ，整个装置处于水平向右的匀强电场中，电场强度为Ｅ．［］ 图3-5 Ａ．小球平衡时，悬线与竖直方向夹角的正切为Ｅｑ／ｍｇ Ｂ．若剪断悬线，则小球做曲线运动 Ｃ．若剪断悬线，则小球做匀速运动 Ｄ．若剪断悬线，则小球做匀加速直线运动 9．将一个6Ｖ、6Ｗ的小灯甲连接在阻不能忽略的电源上，小灯恰好正常发光，现改将一个6Ｖ、3Ｗ的小灯乙连接到同电源上，则［］Ａ．小灯乙可能正常发光 Ｂ．小灯乙可能因电压过高而烧毁 Ｃ．小灯乙可能因电压较低而不能正常发光 Ｄ．小灯乙一定正常发光 10．用三个电动势均为1．5Ｖ、阻均为0．5Ω的相同电池串联起来作电源，向三个阻值都是1Ω的用电器供电，要想获得最大的输出功率，在如图3-6所示电路中应选择的电路是［］ 图3-6 11．如图3-10所示的电路中，Ｒ １、Ｒ ２ 、Ｒ ３ 、Ｒ ４ 、Ｒ ５ 为阻值固定的 电阻，Ｒ ６ 为可变电阻，Ａ为阻可忽略的电流表，Ｖ为阻很大的电压表，电源的 电磁场理论发展历史及其在现代科技中的应用 摘要：电磁场理论在现代科技中有着广泛的应用。现代电子技术如通讯、广播、导航、雷达、遥感、测控、嗲面子对抗、电子仪器和测量系统，都离不开电磁场的发射，控制、传播和接收；从工业自动化到地质勘测，从电力、交通等工业农业到医疗卫生等国民经济领域，几乎全都涉及到电磁场理论的应用。不仅如此，电磁学一直是，将来仍是新兴科学的孕育点。在本文中主要介绍电磁场理论发现和发展的历史以及在现代科技中的也应用。 关键词：电磁学电磁场理论现代科技 对电磁场现象的研究是从十六世纪下半叶英国伊莉莎白女王的试医官吉尔伯特开始，然而他的研究方法很原始，基本上是定性地对现象的总结。对电磁场的近代研究是从十八世纪的卡文迪许、库伦开始，他们开创了用测量仪器对电磁场现象做定量的规律，引起了电磁场从定性到定量的飞跃。 库仑定律的建立基于英国科学家卡文迪许在1772年做的一个一个电学实验，他用一个金属球壳使之带电，发现电荷全部分布在球壳的外表面，球腔中任何一点都没有电的作用。库伦定律揭示了电荷间的静电作用力与它们之间的距离平方成反比。安培在假设了两个电流元之间的相互作用力沿着它们的连线之间的作用力正比于它们的长度和电流强度，而与它们之间的距离的平方成反比的公式，即提出了著名的安培环路定理。基于这与牛顿万有引力定律十分类似，S.D.泊松、C.F.高斯等人仿照引力理论，对电磁现象也引入了各种场矢量，如电场强度、电通量密度（电位移矢量）、磁场强度、磁通密度等，并将这些量表示为空间坐标的函数。但是当时对这些量仅是为了描述方便而提出的数学手段，实际上认为电荷之间或电流之间的物理作用是超距作用。 直到M.法拉第,他认为场是真实的物理存在,电力或磁力是经过场中的力线逐步传递的，最终才作用到电荷或电流上。他在1831年发现了著名的电磁感应定律，并用磁力线的模型对定律成功地进行了阐述，但是电磁感应定律的确认是在1851年，这一过程花了20年。1846年,M.法拉第还提出了光波是力线振动的设想，为以后麦克斯韦从数学上建立电磁场理论奠定了基础。J.C.麦克斯韦继承并发展了法拉第的这些思想，仿照流体力学中的方法，采用严格的数学形式,将 A．电磁场理论B基本概念 1．什么是等值面？什么是矢量线？ 等值面——所有具有相同数值的点组成的面 ★空间中所有的点均有等值面通过； ★所有的等值面均互不相交； ★同一个常数值可以有多个互不相交的等值面。 矢量线（通量线）---- 一系列有方向的曲线。 线上每一点的切线方向代表该点矢量场方向， 而横向的矢量线密度代表该点矢量场大小。 例如，电场中的电力线、磁场中的磁力线。 2．什么是右手法则或右手螺旋法则？本课程中的应用有哪些？（图） 右手定则是指当食指指向矢量A的方向，中指指向矢量B的方向，则大拇指的指向就是矢量积C=A*B的方向。 右手法则又叫右手螺旋法则，即矢量积C=A*B的方向就是在右手螺旋从矢量A转到矢量B的前进方向。 本课程中的应用： ★无限长直的恒定线电流的方向与其所产生的磁场的方向。 ★平面电磁波的电场方向、磁场方向和传播方向。 3．什么是电偶极子？电偶极矩矢量是如何定义的？电偶极子的电磁场分布是怎样的？ 电偶极子——电介质中的分子在电场的作用下所形成的一对等值异号的点电荷。 电偶极矩矢量——大小等于点电荷的电量和间距的乘积，方向由负电荷指向正电荷。 4.麦克斯韦积分和微分方程组的瞬时形式和复数形式； 积分形式： 微分方式： （1）安培环路定律 （2）电磁感应定律 （3）磁通连续性定律 （4）高斯定律 5.结构方程 6.什么是电磁场边界条件？它们是如何得到的？（图） 边界条件——由麦克斯韦方程组的积分形式出发，得到的到场量在不同媒质交界面上应满足的关系式（近似式）。 边界条件是在无限大平面的情况得到的，但是它们适用于曲率半径足够大的光滑曲面。 7.不同媒质分界面上以及理想导体表面上电磁场边界条件及其物理意义； （1）导电媒质分界面的边界条件 ★ 导电媒质分界面上不存在传导面电流，但可以有面电荷。 在不同媒质分界面上，电场强度的切向分量、磁场强度的切向分量和磁感应强度的法向分量永远是连续的 （2）理想导体表面的边界条件 ★ 理想导体内部，时变电磁场处处为零。导体表面可以存在时变的面电流和面电荷。 电磁场理论发展史 ——著名实验和相关科学家 纲要： 一、定性研究 1、吉尔伯特的研究 2、富兰克林 二、定量研究 1、反平方定律的提出 2、电流磁效应的发现 3、电磁感应定律及楞次定律 4、麦克斯韦方程 5、电磁波的发现 三、小结 一、定性研究 1、吉尔伯特的研究 他发现不仅摩擦过的琥珀有吸引轻小物体的性质，而且一系列其他物体如金刚石、水晶、硫磺、明矾等也有这种性质，他把这种性质称为电性，他是第一个用“电力”、“电吸引”、“磁极”等术语的人。吉尔伯特把电现象和磁现象进行比较，发现它们具有以下几个截然不同的性质： 1.磁性是磁体本身具有的，而电性是需要用摩擦的方法产生； 2.磁性有两种——吸引和排斥，而电性仅仅有吸引（吉尔伯特不知道有排斥）； 3.磁石只对可以磁化的物质才有力的作用，而带电体可以吸引任何轻小物体； 4.磁体之间的作用不受中间的纸片、亚麻布等物体的影响，而带电体之间的作用要受到中间这些物质的影响。当带电体浸在水中，电力的作用可以消失，而磁体的磁力在水中不会消失； 5.磁力是一种定向力，而电力是一种移动力。 2、富兰克林的研究 富兰克林（公元1706一1790）原来是费城的印刷商，他通过书本和科学上的来往获得了丰富知识，他利用莱顿瓶做出的第一项重要工作，是根据莱顿瓶内外两种电荷的相消性，在杜菲的“玻璃电”和“树脂电”的基础上提出正电和负电的概念。 富兰克林所做的第二项重要工作是统一了天电和地电。 二、定量研究 1、反平方定律的提出 1750年前后，彼得堡科学院院士埃皮努斯在实验中发现；当发生相互作用的电荷之间的距离缩短时，两者之间的吸引力和排斥力便增加。1766年富兰克林写信给他在德国的一位朋友普利斯特利（公元1733一1804），介绍了他在实验中发现在金属杯中的软木球完全不受金属杯电性的影响的现象。他请普利斯特利给予验证。 英国科学家卡文迪许在1772年做了一个电学实验，他用一个金属球壳使之带电，发现电荷全部分布在球壳的外表面，球腔中任何一点都没有电的作用。 法国物理学家库仑（公元1736—1806），起先致力于扭转和摩擦方面的研究。由于发表了有关扭力的论文，于1781年当选为国家科学院院士。他从事研究毛发和金属丝的扭转弹性。1784年法国科学院发出船用罗盘最优结构的悬奖征文，库仑转而研究电力和磁力问题。 1785年库仑自制了一台精巧的扭秤，作了电的斥力实验，建立了著名的库仑定律：两电荷之间的作用力与其距离的平方成反比，和两者所带电量的乘积成正比。 公式：F=k*(q1*q2)/r^2 2、电流磁效应的发现 丹麦物理学家奥斯特（公元1777—1851）首次发现电流磁效应，揭开了电和磁两种现象的内在联系，从此开始了电磁学的真正研究。 1820年4月在一次关于电和磁的讲课快结束时，他抱着试试看的心情做了实验，在一根根细的铂丝导线的下面放一个用玻璃罩罩着的小磁针，用伽伐尼电池将铂丝通电，他发现磁针偏转，这现象虽然未引起听讲人的注意，却使他非常激 第十三章 电磁场理论的基本概念 历史背景：十九世纪以来，在当时社会生产力发展的推动下，电磁学得到了迅速的发展： 1． 零星的电磁学规律相继问世（经验定律） 2． 理论的发展，促进了社会生产力的发展，特别是电工和通讯技术的发展→提出了建立理论的要求，提 供了必要的物质基础。 3． ＊（Maxwell,1931~1879）麦克斯韦:数学神童，十岁进入爱丁堡科学院的学校，十四岁获科学院的数 学奖； 1854，毕业于剑桥大学。以后，根据开尔文的建议，开始研究电学,研究法拉第的力线； 1855，“论法拉第的力线”问世，引入δ =???H H ，同年，父逝，据说研究中断； 1856，阿贝丁拉马利亚学院的自然哲学讲座教授，三年； 1860，与法拉第见面； 1861－1862，《论物理力线》分四部分发表；提出涡旋电场与位移电流的假设。 1864，《电磁场的动力理论》向英国皇家协会宣读； 1865，上述论文发表在《哲学杂志》上； 1873，公开出版《电磁学理论》一书，达到顶峰。这是一部几乎包括了库仑以来的全部关于电磁研究信息的经典著作；在数学上证明了方程组解的唯一性定理，从而证明了方程组内在的完备性。 1879，去世，48岁。（同年爱因斯坦诞生） ＊ 法拉第－麦克斯韦电磁场理论，在物理学界只能被逐步接受。它的崭新的思想与数学形式，甚至象赫姆霍兹和波尔兹曼这样有异常才能的人，为了理解消化它也花了几年的时间。 §13－1 位移电流 一． 问题的提出 1. 如图，合上K ， 对传I l d H :S =?? 1 对传I l d H :S =?? 2 2. 如图，合上K ，对C 充电： 对传I l d H :S =?? 1 对02=??l d H :S 3. M axwell 的看法：只要有电动力作用在导体上，它就产生一个电流，……作用在电介质上的电动力，使它的组成部分产生一种极化状态，有如铁的颗粒在磁力影响下的极性分布一样。……在一个受到感应的电介质中，我们可以想象，每个分子中的电发生移动，使得一端为正，另一端为负，但是依然和分子束缚在一起，并没有从一个分子到另一个分子上去。这种作用对整个电介质的影响是在一定方向上引起的总的位移。……当电位移不断变化时，就会形成一种电流，其沿正方向还是负方向，由电位移的增大或减小而定。”这就是麦克斯韦定义的位移电流的概念。 电磁学在电力系统中的应用 任何一门科学的诞生和发展都离不开科学内部知识的继承和外部社会历史条件的制约，1 9世纪电磁学的崛起正是科学发展的内在逻辑与当时电力技术革命相互影响相互推动的结果。近年来，传统的电工理论、电磁场理论与电子科学、信息科学、控制科学、材料科学以及生命科学的交叉融合，产生了许多对社会经济发展和人类生活有重大影响的新兴学科，如生物电工学、生物电磁学、纳米磁学等。其中电磁兼容技术是一门迅速发展的交叉学科，涉及电子、计算机、通信、航空航天、铁路交通、电力、军事以至人民生活各个方面。另一方面，高频电磁场在电厂中的除垢技术也是当前重点研发的项目之一。本文将主要讨论电磁兼容技术和高频电磁场除垢技术在电力系统中的应用。 一、电磁兼容技术 电磁兼容( EMC)是指设备或系统在所处的电磁环境中能正常工作且不对该环境中任何其他事物构成不能承受的电磁骚扰的能力。在当今信息社会，随着电子技术、计算机技术的发展，一个系统中采用的电气及电子设备数量大大增加，而且电子设备的频带日益加宽，功率逐渐增大，灵敏度提高，联接各种设备的电缆网络也越来越复杂，因此，电磁兼容问题日显重要。 电力系统电磁兼容的主要内容包括:： (1)电磁环境评价。即通过实测或数字仿真等手段，对设备在运行时可能受到的电磁干扰水平(幅值、频率、波形等)进行估计。例如，利用可移动的电磁兼容测试车对高压输电线路或变电站产生的各种干扰进行实测，或通过电磁暂态计算程序对可能产生的瞬变电磁场进行数字仿真。电磁环境评价是电磁兼容技术的重要组成部分，是抗干扰设计的基础。 (2)电磁干扰耦合路径。弄清干扰源产生的电磁搔扰通过何种路径到达被干扰的对象。一般来说，干扰可分为传导型干扰和辐射型干扰两大类。传导干扰是指电磁搔扰通过电源线路，接地线和信号线传播到达对象所造成的干扰，例如，通过电源线传入的雷电冲击源产生的干扰；辐射干扰是指通过电磁源空间传播到达敏感设备的干扰。例如，输电线路电晕产生的无线电干扰或电视干扰即属于辐射型的干扰。研究干扰的耦合途径, 对制定抗干扰的措施, 消除或抑制干扰有重要的意义。 (3)电磁抗扰性评价。研究电力系统中各种敏感的设备仪表，如继电保护、自动 一． 1.对于矢量A，若A＝ e x A＋y e y A＋z e z A， x 则： e?x e＝；z e?z e＝； y e?x e＝；x e?x e＝ z 2.对于某一矢量A，它的散度定义式为； 用哈密顿算子表示为 3.对于矢量A，写出： 高斯定理 斯托克斯定理 4.真空中静电场的两个基本方程的微分形式为 和 5.分析恒定磁场时，在无界真空中，两个基本场变量之间的关系 为，通常称它为 二.判断：（共20分，每空2分）正确的在括号中打“√”，错误的打“×”。 1.描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。（） 2.标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。（） 3.梯度的方向是等值面的切线方向。（） 4.恒定电流场是一个无散度场。（） 5.一般说来，电场和磁场是共存于同一空间的，但在静止和恒定的情况下，电场和磁场可以独立进行分析。（） 6.静电场和恒定磁场都是矢量场，在本质上也是相同的。（） 7.研究物质空间内的电场时，仅用电场强度一个场变量不能完全反映物质内发生的静电现象。（ ） 8.泊松方程和拉普拉斯方程都适用于有源区域。（ ） 9.静电场的边值问题，在每一类的边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解都是唯一的。（ ） 10.物质被磁化问题和磁化物质产生的宏观磁效应问题是不相关的两方面问题。（ ） 三.简答：（共30分，每小题5分） 1.用数学式说明梯无旋。 2.写出标量场的方向导数表达式并说明其涵义。 3.说明真空中电场强度和库仑定律。 4.实际边值问题的边界条件分为哪几类？ 5.写出磁通连续性方程的积分形式和微分形式。 6.写出在恒定磁场中，不同介质交界面上的边界条件。 四.计算：（共10分）半径分别为a,b(a>b),球心距为c(c 题7.1：1964年，盖尔曼等人提出基本粒子是由更基本的夸克构成，中子就是由一个带e 3 2的上夸克和两个带e 3 1 -下夸克构成，若将夸克作为经典粒子处理（夸克线度约为10-20 m ），中子内的两个下夸克之间相距2.60?10-15 m 。求它们之间的斥力。 题7.1解：由于夸克可视为经典点电荷，由库仑定律 r r 2 2 0r 2210N 78.394141 e e e F ===r e r q q πεπε F 与r e 方向相同表明它们之间为斥力。 题7.2：质量为m ，电荷为-e 的电子以圆轨道绕氢核旋转，其动能为E k 。证明电子的旋转频率满足 4 2k 202 32me E εν= 其中是0ε真空电容率，电子的运动可视为遵守经典力学规律。 题7.2分析：根据题意将电子作为经典粒子处理。电子、氢核的大小约为10-15 m ，轨道半径约为10-10 m ，故电子、氢核都可视作点电荷。点电荷间的库仑引力是维持电子沿圆轨道运动的向心力，故有 2 2 0241r e r v m πε= 由此出发命题可证。 证：由上述分析可得电子的动能为 r e mv E 2 02k 8121πε= = 电子旋转角速度为 3 02 2 4mr e πεω= 由上述两式消去r ，得 4 3k 20 222 324me E επων= = 题7.3：在氯化铯晶体中，一价氯离于Cl -与其最邻近的八个一价格离子Cs +构成如图所示的立方晶格结构。（1）求氯离子所受的库仑力；（2）假设图中箭头所指处缺少一个铯离子（称作品格缺陷），求此时氯离子所受的库仑力。 题7.3分析：铯离子和氯离子均可视作点电荷，可直接将晶格顶角铯离子与氯离子之间的库仑力进行矢量叠加。为方便计算可以利用晶格的对称性求氯离子所受的合力。 解：（l ）由对称性，每条对角线上的一对铯离子与氯离子间的作用合力为零，故 01=F （2）除了有缺陷的那条对角线外，其它铯离 子与氯离子的作用合力为零，所以氯离子所受的合力2F 的值为 N 1092.13492 022 0212-?== = a e r q q F πεπε 2F 方向如图所示。 电磁学的应用—蓝牙技术 摘要：蓝牙是一种支持设备短距离通信（一般10m内）的无线电技术。利用“蓝牙”技术，能够有效地简化移动通信终端设备之间的通信，也能够成功地简化设备与因特网Internet之间的通信，从而数据传输变得更加迅速高效，为无线通信拓宽道路。 关键词： 1、蓝牙系统 蓝牙系统一般由以下4个功能单元组成：天线单元、链路控制（固件）单元、链路管理（软件）单元和蓝牙软件（协议）单元。它们的连接关系如图1所示： 图1 蓝牙系统结构图 1.1 天线单元 蓝牙要求其天线部分体积十分小巧、重量轻，因此，蓝牙天线属于微带天线。蓝牙空中接口是建立在天线电平为0dBm的基础上的。空中接口遵循Federal Communications Commission（简称FCC，即美国联邦通信委员会）有关电平为0dBm的ISM频段的标准。如果全球电平达到100mW以上，可以使用扩展频谱功能来增加一些补充业务。频谱扩展功能是通过起始频率为2.402 GHz，终止频率为2.480GHz，间隔为1MHz 的79个跳频频点来实现的。出于某些本地规定的考虑，日本、法国和西班牙都缩减了带宽。最大的跳频速率为1660跳/秒。理想的连接范围为100mm～10m，但是通过增大发送电平可以将距离延长至100m。 蓝牙工作在全球通用的 2.4GHz ISM（即工业、科学、医学）频段。蓝牙的数据速率为1Mb/s。ISM频带是对所有无线电系统都开放的频带，因此使用其中的某个频段都会遇到不可预测的干扰源。例如某些家电、无绳电话、汽车房开门器、微波炉等等，都可能是干扰。为此，蓝牙特别设计了快速确认和跳频方案以确保链路稳定。跳频技术是把频带分成若干个跳频信道（hop channel），在一次 电磁学在生活中的应用 材料与化学工程学院 高分子材料与工程 541004010122 李祥祥 电磁学在生活中的应用电磁学从原来互相独立的两门科学(电学、磁学)发展成为物理学中一个完整的分支学科，主要是基于两个重要的实验发现，即电流的磁效应和变化的磁场的电效应。这两个实验现象，加上麦克斯韦关于变化电场产生磁场的假设，奠定了电磁学的整个理论体系，发展了对现代文明起重大影响的电工和电子技术。 电磁学在生活中应用也比较广泛，下面举例说明电磁学在生活中应用。 指南针 指南针是用以判别方位的一种简单仪器。指南针的前身是中国古代四大发明之一的司南。主要组成部分是一根装在轴上可以自由转动的磁针。磁针在地磁场作用下能保持在磁子午线的切线方向上。磁针的北极指向地理的北极，利用这一性能可以辨别方向。常用于航海、大地测量、旅行及军事等方面。地球是个大磁体，其地磁南极在地理北极附近，地磁北极在地理南极附近。指南针在地球的磁场中受磁场力的作用，所以会一端指南一端指北。电磁炉 电磁炉作为厨具市场的一种新型灶具。它打破了传统的明火烹调方式采用磁场感应电流（又称为涡流）的加热原理，电磁炉是通过电子线路板组成部分产生交变磁场、当用含铁质锅具底部放置炉面时，锅具即切割交变磁力线而在锅具底部金属部分产生交变的电流（即涡流），涡流使锅具铁原子高速无规则运动，原 子互相碰撞、摩擦而产生热能（故：电磁炉煮食的热源来自于锅具底部而不是电磁炉本身发热传导给锅具，所以热效率要比所有炊具的效率均高出近1倍）使器具本身自行高速发热，用来加热和烹饪食物，从而达到煮食的目的。具有升温快、热效率高、无明火、无烟尘、无有害气体、对周围环境不产生热辐射、体积小巧、安全性好和外观美观等优点，能完成家庭的绝大多数烹饪任务。因此，在电磁炉较普及的一些国家里，人们誉之为“烹饪之神”和“绿色炉具”。 电磁炉工作过程中热量由锅底直接感应磁场产生涡流来产生的，因此应该选择对磁敏感的铁来作为炊具，由于铁对磁场的吸收充分、屏蔽效果也非常好，这样减少了很多的磁辐射，所以铁锅比其他任何材质的炊具也都更加安全。此外，铁是对人体健康有益的物质，也是人体长期需要摄取的必要元素。 电磁起重机 电磁起重机是利用电磁原理搬运钢铁物品的机器。电磁起重机的主要部分是磁铁。接通电流，电磁铁便把钢铁物品牢牢吸住，吊运到指定的地方。切断电流，磁性消失，钢铁物品就放下来了。电磁起重机使用十分方便，但必须有电流才可以使用，可以应用在废钢铁回收部门和炼钢车间等。 利用电磁铁来搬运钢铁材料的装置叫做电磁起重机。电磁起重机能产生强大的磁场力，几十吨重的铁片、铁丝、铁钉、废铁和其他各种铁料，不装箱不打包也不用捆扎，就能很方便地收集和搬运，不但 第3章 电磁场分析的数学模型 3.1 电磁场控制方程的表述 电磁场数值分析的具体任务，就是要求解一个与特定问题相联系的偏微分方程定解问题。根据数学物理方程的理论，所谓定解问题指的是在某一确定区域内成立的微分方程加上定解条件。对于静态电磁场问题，或者可化为复数计算的正弦稳态电磁场问题，定解条件就是微分方程中的未知函数在该区域边界上所满足的条件，亦即边界条件；对于时变电磁场问题，则定解条件除了边界条件以外，还包括整个区域未知函数在初始时刻的值，亦即初始条件。针对这一定解问题的求解，发展了如上节所述的各种解算方法。因此，为了得到正确的解答，第一步工作就是要写出定解问题的表达式，也就是建立特定电磁场问题的恰当的数学模型。定解问题中的偏微分方程通常称为控制方程。选择哪种物理量作为控制方程中的未知函数，建立什么形式的微分方程，将影响问题求解的难易程度。本节将从麦克斯韦方程组出发，介绍各种情况下电磁场控制方程的表述方式。 3.1.1 麦克斯韦方程组 [54] 100多年前，麦克斯韦对前人在实验中得出的电磁场的基本定律进行了数学上的总结和提升，引入了位移电流的概念，创立了后来以其命名的方程组，完善了电磁场理论。其著作《Treatise on Electricity and Magnetism 》成书于1873年。从理论框架上看，麦克斯韦方程组加上洛仑兹力的计算公式，合起来构成了静止及运动媒质中电动力学的基础，概括了发电机、电动机和其它电磁装置的工作原理，也概括了电磁波的发射、传播和接收的原理。科学技术发展的实践证明，描述电磁场宏观性质的麦克斯韦方程组正确反映了电磁场中各物理量之间的相互关系，是电磁场的基本方程。 在大学普通物理和电类专业的电工原理课程中，都对麦克斯韦方程组作了基本的介绍。本节主要从电磁场数值计算的需要出发来加以说明。 麦克斯韦方程组的微分形式可以表述为： t ??+=??D J H (3-1) t ??- =??B E (3-2) 0=??B (3-3) ρ=??D (3-4) 式中，H 、B 、D 、E 、J 、ρ 分别为磁场强度（A/m ）、磁感应强度（或称磁通密度，T ）、电位移（或称电通密度，C/m 2）、电场强度（V/m ）、电流密度（A/ m 2）和电荷密度（C/ m 3）。式（3-1）右端第二项t ??/D 具有电流密度的量纲，称为位移电流密度。事实上，上面的四个方程并不是独立的，可以证明（见文献[54]第1.3节），后两个方程（式（3-3）和（3-4））是基于高斯定理和斯托克斯定理从前两个方程导出的。前两个方程，即式（3-1）和（3-2），分别称为麦克斯韦第一方程和第二方程。在这两个矢量方程中，含有5个独立的矢量函数，为了得到确定的解答，还需要增加3个独立的矢量方程，这就是 E D ε= (3-5) 光子与经典电磁理论 何谓光子 光子是传递电磁相互作用的基本粒子，是一种规范玻色子。 光子是电磁辐射的载体，而在量子场论中光子被认为是电磁相互作用的媒介子。与大多数基本粒子（如电子和夸克）相比，光子的静止质量为零，这意味着其在真空中的传播速度是光速。与其他量子一样，光子具有波粒二象性：光子能够表现出经典波的折射、干涉、衍射等性质（关于光子的波动性是经典电磁理论描述的电磁波的波动还是量子力学描述的几率波的波动这一问题请参考下文波粒二象性和不确定性原理）；而光子的粒子性则表现为和物质相互作用时不像经典的波那样可以传递任意值的能量，光子只能传递量子化的能量，即：这里是普朗克常数，是光波的频率。对可见光而言，单个光子携带的能量约为4×10-19焦耳，这样大小的能量足以激发起眼睛上感光细胞的一个分子，从而引起视觉。除能量以外，光子还具有动量和偏振态，不过由于有量子力学定律的制约，单个光子没有确定的动量或偏振态，而只存在测量其位置、动量或偏振时得到对应本征值的几率。 光子的概念是爱因斯坦在1905年至1917年间提出的[，当时被普遍接受的关于光是电磁波的经典电磁理论无法解释光电效应等实验现象。相对于当时的其他半经典理论在麦克斯韦方程的框架下将物质吸收和发射光的能量量子化，爱因斯坦首先提出光本身就是量子化的，这种光量子（英文light quantum，德文das Lichtquant）被称作光子。这一概念的形成带动了实验和理论物理学在多个领域的巨大进展，例如激光、玻色-爱因斯坦凝聚、量子场论、量子力学的统计诠释、量子光学和量子计算等。根据粒子物理的标准模型，光子是所有电场和磁场的产生原因，而它们本身的存在，则是满足物理定律在时空内每一点具有特定对称性要求的结果。光子的内秉属性，例如质量、电荷、自旋等，则是由规范对称性所决定的。 光子的概念也应用到物理学外的其他领域当中，如光化学、双光子激发显微技术，以及分子间距的测量等。在当代相关研究中，光子是研究量子计算机的基本元素，也在复杂的光通信技术，例如量子密码学等领域有重要的研究价值。 电磁场理论 在法拉弟发现电磁感应现象的那一年，英国诞生了一位伟大的科学家--麦克斯韦，他因创立电磁场理论而成为十九世纪最伟大的物理学家．麦克斯韦创立电磁场理论的思路与方法大致如下． 一、历史的前奏 在麦克斯韦以前，解释电磁相互作用有两种相互对立的观点．一种是超距作用学说．即在研究两个电荷之间相互作用力时，忽略中介空间的作用，电荷会超越空间距离而互相作用，库仑、韦伯、安培等人都是主张用超距作用学说来解释电磁相互作用的．这种学说当时拥有数学基础．另一种是媒递作用学说．认为空间有一种能传递电力的媒质（称作以太）存在，电荷间通过媒质互相作用．法拉弟通过实验揭露了空间媒质的重要作用，他认为在空间媒质中充满了电力线，即通过场来传递，但媒递作用学说还没有数学基础，不易被人接受．也使其发展受到了阻碍．麦克斯韦功绩就在于建立了电磁场理论并促进了它的发展．他中学时曾在数学和诗歌比赛中获第一名，这显示了他的数学才华与丰富的想象力方面的潜力．他年轻时曾读过法拉弟的《电学实验研究》，对法拉弟的物理思想（如电力线和场的思想）十分推崇，同时也发现了它的弱点．麦克斯韦对电磁相互作用的超距观点早就表示"不能接受即时传播的思想"，在法拉弟的物理思想影响下，他决心"为法拉弟的场概念提供数学方法的基础"． 二、麦克斯韦创立电磁场理论 麦克斯韦创立电磁场理论可分为三个阶段： 第一阶段，统一已知电磁定律 麦克斯韦于1856年发表了他的第一篇论文《论法拉弟的力线》，在这篇文章中，他试图用数学语言精确地表述法拉弟的力线概念，他采用数学推论与物理类比相结合的方法，以假想流体的力学模型去模拟电磁现象．他说："借助于这种类比，我试图以一种方便的和易于处理的形式为研究电现象提供必要的数学观念"他的目标是想据此统一已知的电磁学定律．麦克斯韦为达到此目的，他运用了"建立力学模型--引出基本公式--进行数学引伸推导"的解决科学问题的思路和方法． 第一步，建立力学模型 首先运用类比方法，麦克斯韦把电磁现象和力学现象做了类比，认为可以建立一种不可压缩流体的力学模型来模拟电磁现象．这种流体模型为：一是没有惯性，因而也就没有质量；二是不可压缩；三是可以从无产生，又可消失．显然这是一种假设理想流体．麦克斯韦在这篇文章中写道："我企图把一个在空间画力线的清楚概念摆在一个几何学家的面前，并利用一个流体的流线的概念，说明如何画出这些流线来""力线的切线方向就是电场力的方向，力线的密度表示电场力的大小"．他企图阐明电力线和电力线所在空间之间的几何关系．他还试图通过类比凭借已知的力学公式推导出电磁学公式，寻求这两种不同的现象在数学形式上的类似． 第二步，引出基本公式 早在1842年，W·汤姆逊就曾把拉普拉斯的势函数的二阶微分方程，普遍用于热、电和磁的运动，建立了这三种相似现象的数学联系．1847年，他又在不可压缩流体的流线连续性基础上，论述了电磁现象和流体力学现象的共同性．麦克斯韦正是吸收了W·汤姆逊这种类比方法，把它发展成为研究各种力线的重要工具．例如麦克斯韦把电学中的势等效于流电磁场理论知识点总结
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