2016-2017学年吉林省松原市油田实验中学高二（下）期中数学
试卷（理科）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，每小题只有一项是符合题目要求）
1．复数的共轭复数是（）
A．B．C．1﹣i D．1+i
2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）
A．10种B．20种C．25种D．32种
3．下列积分的值等于1的是（）
A．B．（x+1）dx C．1dx D．dx
4．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球，今从两袋里任意取出1个球，设取出的白球个数为ξ，则下列概率中等于
的是（）
A．P（ξ=0）B．P（ξ≤2）C．P（ξ=1）D．P（ξ=2）
5．用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理（）
A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的
6．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，不同的分法种数是（）A．B．
C．6 D．
7．用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，假设的内容是（）A．=B．＜C．=且＞D．=或＜
8．设函数f（x）的导函数为f′（x），且f′（x）=x2+2x?f′（1），则f′（0）等于（）A．0 B．﹣4 C．﹣2 D．2
9．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（）
A．40种B．60种C．100种D．120种
10．（ +）n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）
A．180 B．90 C．45 D．360
11．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）
A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45
12．已知f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则a的取值范围为（）A． B．（﹣3，6）C．（﹣∞，﹣36，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．若复数z=（a2﹣2a）+（a2﹣a﹣2）i为纯虚数，则实数a的值等于．14．若，则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2的值为．15．过点P（﹣1，2）且与曲线y=3x2﹣4x+2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是．
16．（x2﹣）9展开式中x9的系数是．
三、解答题（本题共6小题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
17．设随机变量X的分布列P（X=）=ak，（k=1、2、3、4、5）．
（1）求常数a的值；
（2）求P（X≥）；
（3）求P（）．
18．三个女生和五个男生排成一排．
（1）如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？
（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？
（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？
（4）如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？
（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？19．已知（+）n的第五项的二项式系数与第三项的二项式系数的比是14：3，
（1）求n．
（2）求展开式中常数项．
20．袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．
（1）求得分X的概率分布列；
（2）求得分大于6分的概率．
21．在数列{a n}中，a1=，且前n项的算术平均数等于第n项的2n﹣1倍（n∈N*）．
（1）写出此数列的前5项；
（2）归纳猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．
22．已知函数f（x）=ax3﹣x2+1（x∈R），其中a＞0．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．
2016-2017学年吉林省松原市油田实验中学高二（下）期
中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，每小题只有一项是符合题目要求）
1．复数的共轭复数是（）
A．B．C．1﹣i D．1+i
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】先对已知复数进行化简，然后根据共扼复数的定义可知Z=a+bi的共扼复数可求其共扼复数．
【解答】解：∵Z====
∴复数Z的共扼复数
故选B
2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）
A．10种B．20种C．25种D．32种
【考点】D2：分步乘法计数原理．
【分析】每位同学参加课外活动小组的方法数都是2种，5名同学，用分步计数原理求解．
【解答】解：5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25=32种．
故选D．
3．下列积分的值等于1的是（）
A．B．（x+1）dx C．1dx D．dx
【考点】67：定积分．
【分析】分别求出被积函数的原函数，然后根据定积分的定义分别计算看其值是否为1即可．
【解答】解：xdx=x2|=，
（x+1）dx=（x2+x）|=+1=，
1dx=x|=1，
dx=x|=，
故选：C．
4．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球，今从两袋里任意取出1个球，设取出的白球个数为ξ，则下列概率中等于
的是（）
A．P（ξ=0）B．P（ξ≤2）C．P（ξ=1）D．P（ξ=2）
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．
【分析】由等可能事件概率计算公式即可判断
【解答】解：在甲袋内装有8个白球、4个红球，
在乙袋内装有6个白球、6个红球，
现从两袋内各任意取出?个球，
基本事件总数为：n=C121C121，
设取出的白球个数为ξ、由等可能事件概率计算公式得概率中等于是
P（ξ=1）
故选：C
5．用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理（）
A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的
【考点】F6：演绎推理的基本方法．
【分析】要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论是否都正确，根据三个方面都正确，得到结论．
【解答】解：∵任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0，
大前提：任何实数的平方大于0是不正确的，0的平方就不大于0．
故选A．
6．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，不同的分法种数是（）A．B．
C．6 D．
【考点】D3：计数原理的应用．
【分析】由分步计数原理，可得结论．
【解答】解：由分步计数原理得不同的分法种数是．
故选：A．
7．用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，假设的内容是（）A．=B．＜C．=且＞D．=或＜【考点】R9：反证法与放缩法．
【分析】反证法是假设命题的结论不成立，即结论的反面成立，所以只要考虑
＞的反面是什么即可．
【解答】解：∵＞的反面是≤，
即=或＜．
故选D．
8．设函数f（x）的导函数为f′（x），且f′（x）=x2+2x?f′（1），则f′（0）等于（）A．0 B．﹣4 C．﹣2 D．2
【考点】3T：函数的值；63：导数的运算．
【分析】先求出导函数，令导函数中x=1求出f′（1），将f′（1）代入导函数，令导函数中的x=0求出f′（0）．
【解答】解：∵f（x）=x2+2x?f'（1），
∴f′（x）=2x+2f′（1）
∴f′（1）=2+2f′（1）
解得f′（1）=﹣2
∴f′（x）=2x﹣4
∴f′（0）=﹣4
故选B
9．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（）
A．40种B．60种C．100种D．120种
【考点】D8：排列、组合的实际应用．
【分析】分2步进行，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动，再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，分别计算其情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动，有C52种情况，
再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，有A32种情况，则由分步计数原理，可得不同的选派方法共有C52A32=60种，
故选B．
10．（ +）n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）
A．180 B．90 C．45 D．360
【考点】DB：二项式系数的性质．
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．
【解答】解：由于（+）n展开式中只有第六项的二项式系数最大，故n=10，
=?2r?，令5﹣=0，求得r=2，故（+）10展开式的通项公式为T r
+1
∴展开式中的常数项是?22=180，
故选：A．
11．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）
A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45
【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式．
【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p的值．
【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，
解得p=0.8，
故选：A．
12．已知f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则a的取值范围为（）A． B．（﹣3，6）C．（﹣∞，﹣36，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）【考点】6C：函数在某点取得极值的条件．
【分析】先求出导数f′（x），由f（x）有极大值、极小值可知f′（x）=0有两个不等实根．
【解答】解：函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，所以f′（x）=3x2+2ax+（a+6），
因为函数有极大值和极小值，所以方程f′（x）=0有两个不相等的实数根，
即3x2+2ax+（a+6）=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，∴（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0，解得：a＜﹣3或a＞6．
故选D．
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．若复数z=（a2﹣2a）+（a2﹣a﹣2）i为纯虚数，则实数a的值等于0．【考点】A2：复数的基本概念．
【分析】由纯虚数的定义可知，解之可得．
【解答】解：由纯虚数的定义可知，
由方程可解得a=0，或a=2，
但a=2时a2﹣a﹣2=0，矛盾，
故答案为：0
14．若，则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2的值为1．【考点】DC：二项式定理的应用．
【分析】根据所给的等式，给变量赋值，当x为﹣1时，得到一个等式，当x为1时，得到另一个等式，而（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2=（a0+a1+a2+a3+a4）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4），代入即可求得结果．
【解答】解：∵，
当x=﹣1时，（﹣2）4=a0﹣a1+a2﹣a3+a4①
当x=1时，（2）4=a0+a1+a2+a3+a4②
而（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2=（a0+a1+a2+a3+a4）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4）
=（2）4（﹣2）4=1
∴（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2=1，
故答案为1．
15．过点P（﹣1，2）且与曲线y=3x2﹣4x+2在点M（1，1）处的切线平行的直
线方程是2x﹣y+4=0．
【考点】IB：直线的点斜式方程；62：导数的几何意义．
【分析】曲线在该点处的导数是切线的斜率．
【解答】解：y′=6x﹣4，∴切线斜率为6×1﹣4=2．∴所求直线方程为y﹣2=2（x+1），即2x﹣y+4=0．
故答案为：2x﹣y+4=0．
16．（x2﹣）9展开式中x9的系数是﹣．
【考点】DA：二项式定理．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为9求出展开式中x9的系数即可．
【解答】解：展开式的通项为
=
令18﹣3r=9得r=3
∴展开式中x9的系数是=
故答案为．
三、解答题（本题共6小题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
17．设随机变量X的分布列P（X=）=ak，（k=1、2、3、4、5）．
（1）求常数a的值；
（2）求P（X≥）；
（3）求P（）．
【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）由随机变量X的分布列P（X=）=ak，（k=1、2、3、4、5），知a+2a+3a+4a+5a=1，由此能求出a．
（2）由P（X=）=，k=1，2，3，4，5．知P（X≥）=P（X=）+P（X=）+P（X=1），由此能求出结果．
（3）由，只有X=时满足，由此能求出P（）的值．
【解答】解：（1）∵随机变量X的分布列P（X=）=ak，（k=1、2、3、4、5），∴a+2a+3a+4a+5a=1，
解得a=．
（2）∵P（X=）=，k=1，2，3，4，5．
∴P（X≥）=P（X=）+P（X=）+P（X=1）
==．
（3）∵，只有X=时满足，
∴P（）=P（X=）+P（X=）+P（X=）
==．
18．三个女生和五个男生排成一排．
（1）如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？
（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？
（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？
（4）如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？
（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？
【考点】D3：计数原理的应用．
【分析】根据特殊元素优先安排，相邻问题用捆绑，不相邻用插空法，即可求解．【解答】解：（1）女须全排在一起，把3个女生捆绑在一起看做一个复合元素，再和5个男生全排，故有A33A66=4320种；
（2）女生必须全分开，先排男生形成了6个空中，插入3名女生，故有A55A63=14400种；
（3）两端都不能排女生，从男生中选2人排在两端，其余的全排，故有A52A66=14400种；
（4）男生按固定顺序，从8个位置中，任意排3个女生，其余的5个位置男生按照固定顺序排列，故有A83=336种，
（5）三个女生站在前排，五个男生站在后排，A33A55=720种
19．已知（+）n的第五项的二项式系数与第三项的二项式系数的比是14：3，
（1）求n．
（2）求展开式中常数项．
【考点】DB：二项式系数的性质．
【分析】（1）由题意知：=14：3，由此求得n的值．
（2）在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．
【解答】解：（1）由题意知：=14：3，即==，化简可得n2﹣5n﹣50=0，解得n=﹣5（舍去），或n=10．
=?3﹣r?，
（2）设该展开式中第r+1项中不含x，则T r
+1
依题意，有=0，r=2．
所以，展开式中第三项为不含x的项，且T3=?3﹣2=5．
20．袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．
（1）求得分X的概率分布列；
（2）求得分大于6分的概率．
【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；C5：互斥事件的概率加法公式．【分析】（1）根据题意可得：X的可能取值为5，6，7，8，再根据球的颜色列出概率，在对应的球的颜色下做出得分，把概率和得分对应起来，得到结论，进而
求出X的分布列．
（2）根据随机变量X的分布列可以得到：P（X＞6）=P（X=7）+P（X=8）．【解答】解：（1）从袋中随机摸4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，
分别得分为：5分，6分，7分，8分，故X的可能取值为5，6，7，8．
所以，
，
，
，
故所求分布列为：
X5678
P
（2）根据随机变量X的分布列，可以得到得分大于6的概率为：
．
21．在数列{a n}中，a1=，且前n项的算术平均数等于第n项的2n﹣1倍（n∈N*）．
（1）写出此数列的前5项；
（2）归纳猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．
【考点】RG：数学归纳法；82：数列的函数特性．
【分析】（1）利用数列{a n}前n项的算术平均数等于第n项的2n﹣1倍，推出关系式，通过n=2，3，4，5求出此数列的前5项；
（2）通过（1）归纳出数列{a n}的通项公式，然后用数学归纳法证明．第一步验
证n=1成立；第二步，假设n=k猜想成立，然后证明n=k+1时猜想也成立．【解答】解：（1）由已知，=（2n﹣1）a n，分别取n=2，3，4，5，
得，，
，；
所以数列的前5项是：，，，，；…
（2）由（1）中的分析可以猜想（n∈N*）．…
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，猜想显然成立．…
②假设当n=k（k≥1且k∈N*）时猜想成立，即．…
那么由已知，得，
即a1+a2+a3+…+a k=（2k2+3k）a k+1．所以（2k2﹣k）a k=（2k2+3k）a k+1，
即（2k﹣1）a k=（2k+3）a k+1，又由归纳假设，得，所以，即当n=k+1时，猜想也成立．…
综上①和②知，对一切n∈N*，都有成立．…
22．已知函数f（x）=ax3﹣x2+1（x∈R），其中a＞0．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．
【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）利用导数求切线斜率即可；
（Ⅱ）在区间上，f（x）＞0恒成立?f（x）max＞0恒成立，令f′（x）=0，解得x=0或x=，以下分两种情况0＜a≤2，a＞2讨论，分类求出函数最大值即可．【解答】（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x3﹣x2+1，f（3）=；
f′（x）=3x2﹣3x，f′（3）=18，
所以曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为y﹣=18（x﹣3），即36x ﹣2y﹣79=0．…
（Ⅱ）f′（x）=3ax2﹣3x=3x（ax﹣1），
令f′（x）=0，解得x=0或x=，…
以下分两种情况讨论：
若0＜a≤2，则：
当x∈（﹣）时，f′（x）＞0，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，∴f当x∈（﹣）时，f（x）递增，当x∈（0，）时，f（x）递减，
当x∈时，f（x）＞0等价于，即，
解不等式组得﹣5＜a＜5，因此0＜a≤2；…
若a＞2，则，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x（﹣，0）0（0，）（，）
f′（x）+0﹣0+
f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增
当x∈时，f（x）＞0等价于，即，
解不等式组得或a＜﹣，因此2＜a＜5；…
综合（1）和（2），可知a的取值范围为0＜a＜5…
2017年6月15日