江苏高考数学应用题题型归
纳
-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
GaoKao 应用题题型归纳
在备考中，需要重点关注以下几方面问题：
1.掌握常见函数如二次函数、三次函数、有理分式函数（尤其二次分式函数
、无理函数等最值的求法，用导数求函数最值要引起重视；
2.加强阅读理解能力的培养，对图形的辨认、识别、分析寻找等量关系式的训练要加强；
3.对于由图标(尤其表格)给出的函数应用题的训练要重视；
4.应用题的背景图形可能由平面多边形、空间多面体转为由平面曲线，如圆，抛物线等围成的图形；空间旋转体等的面积、体积的最值问题
5.熟悉应用题的解题过程：读题、建模、求解、评价、作答. “抓重点：等量关系是关键； 破难点：变量思想是主线.”
一、利润问题
1、某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到．x 元．公司拟投入21(600)6
x -万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15
x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入．．．与总投入．．．之和？并求出此时商品的每件定价．
2、某小商品2012年的价格为8元/件,年销量为a 件，现经销商计划在2013年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格为4元/件，经测算，该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k ，该商品的成本价格为3元/件。 （1）写出该商品价格下降后，经销商的年收益y 与实际价格x 的函数关系式。
（2）设2k a =，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2013年的收益比2012年至少增长20%
解：（1）设该商品价格下降后为x 元/件，销量增加到()4k a x +-件，年收益()(3),5.57.54
k y a x x x =+-≤≤- ， （2）当2k
a =时，有2()(3)(83)(120%)4
a
a x a x +
-≥-?+-解之得645x x ≥<≤或 又5.57.5x ≤≤所以67.5x ≤≤
因此当实际价格最低定为6元/件时，仍然可以保证经销商2013年的收益比2012年至少增长20%。
3.近年来,某企业每年消耗电费约24万元, 为了节能减排, 决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网, 安装这
种供电设备的工本费(单位: 万元)与太阳能电池板的面积(单位: 平方米)成正比, 比例系数约为0.5. 为了保证正常用电, 安装后采用太阳能和电能互补供电的模式. 假设在此模式下, 安装后该企业每年消耗的电费
C(单位:万元)与安装的这种太
阳能电池板的面积
x(单位:平方米)之间的函数关系是()(0,
20100
k
C x x k
x
=≥
+为常数). 记F为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和.
(1)试解释
(0)
C
的实际意义, 并建立F关于
x的函数关系式;
(2)
当
x为多少平方米时, F取得最小值最小值是多少万元
4.某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交(13)
a a
≤≤元的管理费,预计当每件商品的售价为(79)
x x
≤≤元时,一年的销售量为2
(10)x
-万件．
（Ｉ）求该连锁分店一年的利润L（万元）与每件商品的售价x的函数关系式()
L x；
（II）当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润L最大,并求出L的最大值．
5.某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P与日产量x （万件）之间大体满足关系：
1
,1,
6
2
,
3
x c
x
P
x c
?
≤≤
??-
=?
?>
??
（其中c为小于6的正常数）
（注：次品率=次品数/生产量，如0.1P =表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）
已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量. （1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T （万元）表示为日产量x （万件）的函数； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润？ 解：（1）当x
c >时，23
P =，122103
3
T x x ∴=?-?=
当1x c ≤
≤时，1
6P x
=-，21192(1)2()1666x x T x x x x x
-∴=-
??-??=---
综上，日盈利额T （万元）与日产量x （万件）的函数关系为：
2
92,160,x x x c T x
x c ?-≤≤?
=-??>?
（2）由（1）知，当x c >时，每天的盈利额为0 当1x c ≤≤时，2926x x T x -=-9152[(6)]6x x
=--+-15123≤-=
当且仅当3x =时取等号 所以()i 当36c ≤<时，max
3T =，此时3x =
()ii 当13c ≤<时，由222
224542(3)(9)(6)(6)x x x x T x x -+--'==
--知
函数2926x x T x -=
-在[1,3]上递增，2max 926c c T c
-∴=
-，此时x c =
综上，若36c ≤<，则当日产量为3万件时，可获得最大利润
若13c ≤<，则当日产量为c 万件时，可获得最大利润
6.为稳定房价,某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用1 600万元购得一块土地,在该土地上建造10幢楼房的住宅小区每幢楼的楼层数相同,且每层建筑面积均为1 000平方米,每平方米的建筑费用与楼层有关,第x 层楼房每平方米的建筑费用为(kx +800)元(其中k 为常数) .经测算,若每幢楼为5层,则该小区每平方米的平均综合费用为1 270元.
(每平方米平均综合费用=购地费用+所有建筑费用
所有建筑面积).
(1)求k 的值;
(2)问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低,应将这10幢楼房建成多少层此时每平方米的平均综合费用为多少元
解：(1)如果每幢楼为5层,那么所有建筑面积为10×1 000×5平方米,所有建筑费用为
[(k +800)+(2k +800)+(3 k +800)+(4k +800)+(5k +800)]×1 000×10,所以,
1270=16 000 000+［(k +800)+(2k +800)+(3k +800)+(4k +800)+(5k +800)］×1 000×10 10×1 000×5,解之得:k =50
(2)设小区每幢为n (n ∈N*)层时,每平方米平均综合费用为f (n ),由题设可知
f (n ) =
16 000 000+［(50 +800)+(100 +800)+…+(50n +800)］×1 000×10
10×1 000×n
=
1 600
n
+25n +825≥2 1 600×25+825=1225(元)
当且仅当1 600
n
=25n ,即n =8时等号成立
7． 某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度,拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方
案,该方案要求同时具备下列三个条件:①报销的医疗费用y (万元)随医疗总费用x (万元)增加而增加;②报销的医疗费用不得
低于医疗总费用的50%;③报销的医疗费用不得超过8万元.
(1)请你分析该单位能否采用函数模型y =0.05(x 2
+4x +8)作为报销方案;
(2)若该单位决定采用函数模型y =x -2ln x +a (a 为常数)作为报销方案,请你确定整数a 的值.(参考数据:ln2≈0.69,ln10≈2.3) 【解】(1)函数y =0.05(x 2
+4x +8)在[2,10]上是增函数,满足条件①, 当x =10时,y 有最大值7.4万元,小于8万元,满足条件
③ ，但当x =3时,y =2920<32,即y ≥x
2不恒成立,不满足条件②, 故该函数模型不符合该单位报销方案
(2)对于函数模型y =x -2ln x +a ,设f (x )= x -2ln x +a ,则f ′(x )=1-2x =x －2
x
≥0.
所以f (x )在[2,10]上是增函数,满足条件①, 由条件②,得x -2ln x +a ≥x 2,即a ≥2ln x -x
2
在x ∈[2,10]上恒成立,
令g (x )=2ln x -x 2,则g ′(x )=2x －12=4－x
2x
,由g ′(x )>0得x <4, ∴g (x )在(0,4)上增函数,在(4,10)上是减函数.
∴a ≥g (4)=2ln4-2=4ln2-2 ，由条件③,得f (10)=10-2ln10+a ≤8,解得a ≤2ln10-2 另一方面,由x -2ln x +a ≤x ,得a ≤2ln x 在x ∈[2,10]上恒成立, ∴a ≤2ln2, 综上所述,a 的取值范围为[4ln2-2,2ln2], 所以满足条件的整数a 的值为1 二、与几何图形有关的实际问题
1 .某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC ，∠C=90°，AB=200米，BC=100米．
(1)现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB 、BC 、CA 上取点D ，E ，F ，如图(1)，使得EF ‖AB ，EF⊥ED ，在△DEF 喂食，求
△DEF 面积S △DEF 的最大值；
(2)现在准备新建造一个荷塘，分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，如图(2)，建造△DEF 连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF 为正三角形，设求△DEF 边长的最小值．
2.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为
60（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为933
x （米），外周长（梯形的上底线段．．．．．．．BC
与两腰长的和．．．．．．）为y （米）.
⑴求
y 关于x 的函数关系式，并指出其定义域；
⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x 应在什么范围内？
⑶当防洪堤的腰长x 为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）
求此时外周长的值.
3、 如图，两座建筑物CD AB ,的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9cm 和15cm ，从建筑物
AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角?=∠45CAD . (1) 求BC 的长度；
(2) 在线段BC 上取一点(P 点P 与点C B ,不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为,,βα=∠=∠DPC APB 问点P
在何处时，βα+最小？
(3)
A
B
D
C
P
β
α
第17题图
C
x
A
D
B 60