平面向量
平面向量
平面向量的概念
与线性运算
向量概念及表示
向量的线性运算
平面向量基本定理
及坐标表示
平面向量基本定理
正交分解及坐标表示
坐标运算
平面向量的数量积
数量积的定义
数量积的性质
一、平面向量的概念与线性运算
1．向量概念及表示
定义：即有大小，又有方向的量叫做向量．
表示：
有向线段
小字母上加箭头
起点到终点，大字母加箭头
向量的长度（模）：a r 或AB 的模记作||a 或||AB ． 几种特殊向量：
2．向量的线性运算
例如：AB BC CD AD +=u u u r u u u r u u u r u u u r +，0AB BC CA +=u u u r u u u r u u u r r +，BC BA AC -=u u u r u u u r u u u r ，DE DF FE -=u u u
r u u u r u u u r ．
向量不等式：||||||||||||a b a b a b -≤±≤+r r r r r r （等号在向量a r ，b r
共线时取得）．
例如：||3a =r ，||5b =r ，则||a b +r r 的最大值为8，当且仅当a r ，b r
同向时取到；最小值为2，
当且仅当a r ，b r
反向时取到．
3
如图：正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=u u u r u u u r u u u r
（ ）
A ．0r
B ．BE u u u r
C ．A
D u u u r D ．CF u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
4
根如图所示，已知正六边形ABCDEF ，O 是它的中心，若
BA u u u r =a r ，BC uuu r =b r ，试用a r ，b r 将向量OE uuu r ，BF u u u r ，BD u u u r
，
FD u u u r
表示出来.
u u u r u u u r r r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r 在ABCD Y 中，AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，3AN NC =u u u r u u u r
，
M 为BC 的中点，则MN =u u u u r
_____．
u u u r u u u r r r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r r r
向量共线定理：向量(0)a a ≠r r r
与b r 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=r r ． 应用：解决三点共线问题． 重要结论：
ABC V ABC V 中，12
AM AC =u u u u r u u u r ，29AD mAB AC =+u u u r u u u r u u u r
，则
m =______．
12u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
9
设D ，E ，F 分别为ABC V 的三边BC ，CA ，AB ，的中
点，则EB FC +=u u u r u u u r
（ ）
A ．AD u u u r
B ．12AD u u u r
C ．
BC u u u r D ．12
BC u u u r 11u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r u u u r
解析：由0MA MB MC ++=u u u r u u u r u u u u r r
可知M 为ABC V 的重心，
则2211[()]()3323
AM AD AB AC AB AC ==+=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r ，即
3AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r
，则3m =．
答案：3
练习题：
A ．0AD BE CF ++=u u u r u u u r u u u r r
B ．0BD CF DF -+=u u u r u u u r u u u r r
C ．0A
D C
E C
F +-=u u u r u u u r u u u r r D ．0BD BE FC --=u u u r u u u r u u u r r
平行四边形ABCD 中，E 是AD 中点，BE AC F =I ，
AF AC λ=，则λ=______．
u u u r r u u u r r 111u u u r u u u r u u u r r r r r r
答案：A
20
设1e u r ，2e u u r 是不共线向量，若向量1235a e e =+r u r u u r 与向量123b me e =-r u r u u r
共线，则m 的值
等于（ ）
A ．95-
B ．53-
C ．35-
D ．59
- 解析，a r 与b r 共线，则满足b a λ=r r ，即12123(35)me e e e λ-=+u r u u r u r u u r ，则335m λλ=??-=?，解得
9
5
m =-．
答案：A
21
设a r 与b r 是两个不共线的向量，且向量a b λ+r r 与(2)b a --r r
共线，则λ=（ ）
A ．0
B ．-1
C ．-2
D ．-0.5 解析：a b λ+r r 与(2)b a --r r
共线，则存在
μ满足((2))a b b a λμ+=--r r r r
，即
2a b a b λμμ+=-r r r r ，12μλμ
=??=-?，解得12λ=-．
答案：D
二、平面向量的基本定理及坐标表示
1．平面向量基本定理
如果1e u r ，2e u u r
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内
的任意向量a r
，有且只有一对实数1λ，2λ，使1122a e e λλ=+r u r u u r ，我们把不共线的向量1e u r ，2e u u r
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
例1
如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，
BC 的中点，已知AM c =u u u u r r ，AN d =u u u r u r ，试用c r
，d u r
表示AB u u u r ，AD u u u r ．
解析：设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，则12
12c AM AD DM b a d AN AB BN a b ?==+=+????==+=+??
r u u u u
r u u u r u u u u r r r u r u u u r u u u r u u u r r r ，解得
2(2)3
2(2)
3a d c b c d ?=-????=-??
r u
r r r r u r ，所以4233AB d c =-u u u r u r r ，4233AD c d =-u u u r r u r ． 答案：4233
AB d c =-u u u r u r r ，4233AD c d =-u u u r r u r
例2
在梯形ABCD 中，AB CD ∥，2AB CD =，M ，N 分别
为CD ，BC 的中点，若AB AM AN λμ=+u u u r u u u u r u u u r ，则λμ+=
______． 解析：2AB AN NB AN CN AN CA AN AN CM MA =+=+=++=++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r
124AN AB AM --u u u r u u u r ，所以8455AB AN AM =-u u u r u u u r u u u u r ，即45λ=-，85μ=，故4
5λμ+=．
答案：4
5
2．正交分解及坐标表示
正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴，y 轴正方向相
同的两个单位向量i r ，j r 作为基底，对于平面内的一个向量a r
，有
且只有一对实数x ，y ，使得a xi y j =+r r r
，则有序实数对(,)x y 叫做向量a r
的坐标，记作(,)a x y =r . 显然：(1,0)i =r ，(0,1)j =r ，0(0,0)=r
坐标求法：
图形表示
文字表示
起点在原点，向量坐标就是终点坐标 起点不在原点，向量坐标为终点坐
标减去起点坐标
坐标表示 (,)OA x y =u u u r
2121(,)AB x x y y =--u u u r
注意：向量没有位置的概念，表示相等向量的有向线段可以在平面上不同的位置，但向量的坐标是相同的.
例如：如图所示，AB CD =u u u r u u u r ，位置不同，但(21,42)(1,2)AB =--=u u u r 和(32,31)(1,2)CD =--=u u u r
坐标相同.
坐标 设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r
加法 1212(,)a b x x y y +=++r r
减法
1212(,)a b x x y y -=--r r
数乘
12(,)a x x λλλ=r
r r ∥a b
1221x y x y =
例如：(1,2)a =r ，(3,4)b =r
，则： (13,24)(4,6)a b +=++=r r
， (13,24)(2,2)a b -=--=--r r
， 2(21,22)(2,4)a =??=r
，
若(1,2)a =r 与(,4)b m =r
平行，则满足142m ?=，得2m =．
例3
已知向量(2,4)a =r ，(1,1)b =-r ，则2a b -=r r
（ ）
A ．(5,7)
B ．(5,9)
C ．(3,7)
D ．(3,9) 解析：2(4,8)(1,1)(5,7)a b -=--=r r
．
答案：A
例4
已知(1,0)a =r ，(2,1)b =r ，（1）当k 为何值时，ka b -r r 与2a b +r r 共线；（2）若
23AB a b =+u u u r r r ，BC a mb =+u u u r r r
，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．
解析：（1）(,0)(2,1)(2,1)ka b k k -=-=--r r ，2(1,0)(4,2)(5,2)a b +=+=r r
，两者共
线，则2(2)(1)5k -=-?，解得1
2
k =-
．
练习题：
解析：设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，则12AE a b =
+u u u r
r r
，12
AF a b =+u u u r r r ，则2()3AC a b AE AF =+=+u u u r r r u u u r u u u r ，则4
3λμ+=．
答案：4
3
如图所示，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM c =u u u u r r ，AN b =u u u r r ，则AB
u u u r
在平行四边形ABCD 中，AC 与DB 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 延长线
与CD 交于F ，若AC a =u u u r r ，BD b =u u u r r ，则AF =u u u r
（ ）
A ．1142
a b +r r
B ．2133a b +r r
C ．1124
a b +r r
D ．1233a b +r r
u u u r u u u r r
如图，平面内有三个向量OA u u u r ，OB u u u r ，OC u u u r ，OA u u u r 与OB u u u r 夹角为120?，OA u u u r 与OC u u u r
夹角为30?，且||||1OA OB ==u u u r u u u r ，||23OC =u u u r
，若OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r
，则λμ+的值为_____．
解析：作平行四边形ODCE ，则OC OD OE OA OB λμ=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，4cos30OC
OD ==?
，
2tan30OC
OE ==?
，即4λ=，2μ=，
6λμ+=．
答案：6
r r r r r r r r r
如图，在ABC V 中，点O 是B C 的中点，过点O 的直线分别
交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB mAM =u u u r u u u u r
，AC nAN =u u u r u u u r
，则m n +的值为______．
1m n u u u r
u u u
r u u u r
u u u u r u u u r m n
423
3解析：2PA PC AB PB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r 化简可得3PC AP =u u u r u u u r
，即P
在AC 上，两个三角形高相等，则3
4
S PBC PC S ABC AC ==V V ．
答案：A
如图，设P ，Q 为ABC V 内的两点，且2155
AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r
，
2134
AQ AB AC =+u u u r u u u r u u u r
，则ABP V 与ABQ V 的面积之比为
______． 解析：如图作辅助线，EF ，GH 分别为两个三角形的高，
15
AE AC =u u u r u u u r ，14AG AC =u u u r u u u r ，则
4
5S ABP EF AE S ABQ GH AG ===V V ． 答案：
4
5
u u u r u u u r u u u r r
233
解析：画图，把向量前面的系数标到对应线段上，与每一个线段所对的三角形面积比就是它们的系数比，则OAC V 与OAB V 的面积比为2:3． 答案：B
u u u r u u u r u u u r r
解析：画图，把向量前面的系数标到对应线段上，与每一个线段所对的三角形面积比就是它们的系数比，则面积比为4:3:2． 答案：A
r r
r r
如图：向量a b -=r r
（ ）
A ．1224e e --u r u u r
B ．1242e e --u r u u r
C ．123e e -u r u u r
D ．123e e -+u r u u r
解析：由图可知12()3a b a b e e -=+-=-+r r r r u r u u r ．
答案：D
如图：向量a b -=r r
（ ）
A ．213e e -u u r u r
B ．1224e e --u r u u r
C ．123e e -u r u u r
D ．123e e -u r u u r
解析：由图可知123a b e e -=-r r u r u u r
．
答案：C
向量a b c ++r r r
可表示为（ ）
A ．1232e e -u r u u r
B ．1233e e --u r u u r
C ．1232e e +u r u u r
D ．1223e e +u r u u r