2019-2020年高三上期末数学试卷及答案
本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共150分。考试用时120分钟。 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A ＝{3，4，5}，B ＝{1，3，6}，那么集合M ＝{2，7，8}是
A .A ∪
B B .A ∩B
C .U A ∪U B
D .U A ∩U B 2、在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5等于( ) A .16 B .27 C .36 D .－27
3、设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB → －AC →)＝0，则△ABC 的形状是
( )
A 直角三角形
B 等腰三角形
C 等腰直角三角形
D 等边三角形 4、某班40人随即平均分为两组，两组学生一次考试的成绩如下表：
则全班的平均成绩和标准差为 ( )
A 、80，5
B 、90，5
C 、85，5
D 、85，51
5、我们知道，若点P (x 0， y 0)是抛物线y 2＝4x 上的点，则直线y 0y ＝2(x ＋x 0)与抛物线切于点P .现已知点P ((x 0， y 0)满足条件y 02＜4x 0，则直线y 0y ＝2(x ＋x 0)与抛物线的公共点的个数为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、不确定
6、若函数y ＝sinx ＋f (x )，在区间[－π4，3π
4]内单调递增，则f (x )可能是 ( )
A 、1
B 、－cosx
C 、sinx
D 、cosx 7、若log a 2＜log b 2＜0，则( )
A .0＜a ＜b ＜1
B .a ＞b ＞1
C .0＜b ＜a ＜1
D .b ＞a ＞1
8、已知函数f (x )是R 上增函数，且它的图象过点A (0，－2)，B (3，2)，则不等式|f (x ＋1)|≥2的解为( )
A 、(－∞，－1)∪[2，＋∞)
B 、[2，＋∞)
C 、(－∞，－1]
D 、[3，＋∞) 9、过原点作直线xcos θ＋ysin θ＋1＝0垂线，垂足为M ，则M 点的轨迹方程是( ) A .y ＝xtan θ B .xsin θ－ycos θ＝0 C .x 2＋y 2＝1 D .x 2cos θ＋y 2sin θ＝1 10、如图，在四棱锥S —ABCD 中，为了推出AB ⊥BC ，还需从下述条件：
S
C
D
①SB ⊥面ABCD ②SC ⊥CD ③CD ∥面SAB ④BC ⊥CD 中选出部分条件来，这些条件可能是( )
A 、②③
B 、①④
C 、②④
D 、①③④
11、函数f (x )对于任意的实数x 都有f (x )＜f (x ＋1)成立，则( )
A 、f (x )一定是定义域上的增函数
B 、f (x )一定只有单调增区间
C 、f (x )可能存在单调减区间
D 、f (x )一定不存在单调减区间
12、设命题p ：关于x 的不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1＞0与a 2x 2＋b 2x ＋c 2＞0的解集相同；命题q ：a 1a 2＝b 1b 2＝c 1
c 2
.那么p 是q 的( )条件。 A 、充分不必要 B 、必要不充分 C 、充要 D 、不充分也不必要 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上)
13、将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A (0，2)与B (4，0)重合。若此时点C (7，3)与点D (m ，n )重合，则m ＋n 的值是 。
14、设f (x )＝(2x ＋5)6，则导函数f ’
(x )中的x 3的系数是
15、如图，A (1，0)，B (0，1)，C (23，4
5)，目标函数t ＝ax －y 的可行域为四边形OACB ，若当
且仅当x ＝23，y ＝4
5时目标函数t 取得最小值，则实数a 的取值范围
是 。
16、若一个四面体的三个面是直角三角形，下列三角形①直角三角形②
锐角三角形③钝角三角形。其中能成为这个四面体的第四个面的序号是________________(把你认为正确的序号都填上)
三、解答题(本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17、(本题满分12分)同时抛掷15枚均匀的硬币一次 (1)试求至多有1枚正面向上的概率；
(2)试问出现正面向上为奇数枚的概率与出现正面向上为偶数枚的概率是否相等？请说明理由。
18、(本题满分12分) 设三角函数f (x )＝asin (kx 5＋π
3
)(其中a ≠0，k ≠0)；
B
O
(1)写出f(x)的最大值M，最小值m和最小正周期T；
(2)试求最小正整数k，使得当自变量x在任意两个奇数间(包括奇数本身)变化时，函数f(x)至少有一个值是M与一个值是m；
(3)若a＝1，根据(2)得到的k值，用“五点法”作出此函数f(x)的图像(作一周期的图像)。
19、(本题满分12分)已知向量a，b，c，d及实数x，y，且|a|＝1，|b|＝1，c＝a＋(x2－3)b，d＝－y a＋x b，如果a⊥b，c⊥d，|c|≤10。
(1)求x，y的函数关系式y＝f(x)及定义域；
(2)判断f(x)的单调性，指出单调区间，并求出函数的最大值、最小值。
20、(本题满分12分)如图所示，正四棱锥P－ABCD中，侧棱P A与底面ABCD所成角的正切
值为
6 2.
(1)求侧面P AD与底面ABCD所成二面角的大小.
(2)若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值.
(3)在侧面P AD上寻找一点F，使EF⊥侧面PBC，试确定F点的位置，并加以证明
21、(本题满分14分)已知函数f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a n x n(n∈N＋)，且y＝f(x)的图象经过点(1，n2)，数列{a n}(n∈N＋)为等差数列。
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)当n 为奇函数时，设g (x )＝12[f (x )－f (－x )] ，是否存在自然数m 和M ，使不等式m ＜g (1
2)
＜M 恒成立，若存在，求出M －m 的最小值；若不存在，说明理由。
22、(本题满分14分)已知曲线C :x 2－y 2＝1及直线l :y ＝kx －1，曲线C '与C 关于直线l 对称。 (1)当k ＝1时，求曲线C '的方程；
(2)k 为何值时，曲线C 上存在不同两点P 、Q 关于直线l 对称； (3)求证：不论实数k 为何值，C 与C '恒有公共点。
江苏省西亭高级中学高三数学模拟试卷答案
一、选择题
D B B D A ，B C A C D ， C D
二、填空题：13、345 14、24000 15、(－125，－3
10) 16、①②③
三、解答题：
17、解：(1) (2)相等。 18.[解] (1)T ＝10π
|k |
当a ＞0时，M ＝a ，m ＝ －a 。 当a ＜0时，M ＝ －a ，m ＝ a 。 (2)即要周期10π
|k |≤2，得|k |≥5π。
∴最小正整数k ＝16。 (3)略。
19、解：
(1)∵a ⊥b ∴ab ＝0 ∵|c |≤10 ∴c 2≤10
c 2＝[a ＋(x 2－3)b ]2＝a 2＋2(x 2－3)ab ＋(x 2－3)2b 2＝1＋(x 2－3)2≤10 ∵c ⊥
d ∴cd ＝－y a 2＋(x 2－3)x b 2＋(x －y (x 2－3))ab ＝－y ＋(x 2－3)x ＝0 ∴y ＝(x 2－3)x ＝x 3－3x (－6≤x ≤6)
(2)f ，
(x )＝3x －3 则可得－6＜x ＜－1或1＜x ＜6; f ，
(x )＜0可得－1＜x ＜1 ∴f (x )的单调递增区间为(－6，－1)或(1，6)；f (x )的单调递减区间为(－1，1) 可以求出当x ＝6时f (x )的最大值为36；当x ＝－6时f (x )的最小值为－36 20解：1)取AD 中点M ，设PO ⊥面ABCD ，连MO ，PM ，则∠PMO 为二面角的平面角， ∠P AO 为侧棱与底面ABCD 所成的角，tan ∠P AO ＝6
2
设AB ＝a ，AO ＝
22a ，PO ＝AOtan ∠P AO ＝3
2
a ， tan ∠PMO ＝PO
MO
＝3∴∠PMO ＝60o
2)连OE ，OE ∥PD ，∠OEA 为异面直线PD 与AE 所成的角。 ∵AO ⊥BD AO ⊥PO ∴AO ⊥面PBD ∴AO ⊥OE
在Rt △AOE 中，OE ＝12PD ＝54a ，∴tan ∠OEA ＝AO EO ＝210
5
。
3)延长MO 交BC 于N ，取PN 中点G ，连EG ，MG 。 ∵BC ⊥MN ， BC ⊥PN ∴BC ⊥面PMN ，∴面PMN ⊥面PBC
又PM ＝PN ，∠PMN ＝60o，∴△PMN 为正三角形。∴MG ⊥PN 面PMN ∩面PBC ＝PN ，∴MG ⊥面PBC 取AM 中点F ，∵EG ∥MF ，MF ＝1
2MA ＝EG
∴EF ∥MG ，∴EF ⊥侧面PBC
21、(1)据题意：f (1)＝n 2 即a 0＋a 1＋a 2＋……＋a n ＝n 2
令n ＝1 则a 0＋a 1＝1，a 1＝1－a 0
令n ＝2 则a 0＋a 1＋a 2＝22，a 2＝4－(a 0＋a 1)＝4－1＝3 令n ＝3 则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＝32，a 3＝9－(a 0＋a 1＋a 2)＝9－4＝5 ∵{an }为等差数列 ∴d ＝a 3－a 2＝5－3＝2
a 1＝3－2＝1 a 0＝0 a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1 (2)由(1)得：f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n
n 为奇数时，f (－x )＝－a 1x ＋a 2x 2－a 3x 3＋…＋a n －1x n －1－a n x n
g (x )＝ 1
2[f (x )－f (－x )] ＝a 1x ＋a 3x 3＋a 5x 5＋…＋a n x n
g (12)＝1(12)＋5(12)3＋9(12)5＋…＋(2n －1)(12
)n 14 g (12)＝1(12)3＋5(12)5＋9(12)7＋…＋(2n －1)(12)n ＋
2 相减得: g (12)＝149－139(12)n －23n (1
2)n
可证g (12)为n 的增函数，当n ＝1时，g (12)＝1
2
149－139(12)n －23n (12)n ＜149
∴使m ＜g (1
2)＜M 恒成立的自然m 的最大值为0，M 最小值为2。
M －m 的最小值为2。
22、(1)解：设曲线C '上任意一点(x 、y )关于l 的对称点P '(x 0，y 0) 求得C '方程为(y ＋1)2－(x －1)2＝1
(2)解：由已知条件设PQ 所在直线方程为：y ＝－1
k
x ＋b (k ≠0)(显然k ＝0时不合题意)
则有：?
????y ＝－1k x ＋b
x 2－y 2
＝1 消去y 求得：
△＝4(b 2＋1－1
k
2)＞0
设PQ 中点为M (x m ，y m ) ，则x m ＝－2b
k
2(1－1k 2)
＝kb 1－k 2，y m ＝－bk 2
1－k 2
代入l 方程得k 2＞1或0＜k 2＜1
5
即k ∈(－∞，－1)∪(－
55，0)∪(0，5
5
)∪(1，＋∞) (3)证明:①若C 与l 有公共点P ，则C 与C '有公共点且在l 上
∴ ???y ＝kx －1
x 2－y 2＝1
有实数解.
∴ 方程x 2－(kx －1)2＝1 即 (1－k 2)x 2＋2kx －2＝0有实数解 当k 2＝1，即k ＝±1时，x ＝±1，C 与l 有两公共点. k 2≠1时，即k ≠±1时，△＝4k 2＋8(1－k 2)≥0 解得－2≤k ≤2，且k ≠±1.
∴当－2≤k ≤2时，C 与C '有公共点且在l 上；
②若C 与C '有公共点P 且不在l 上时，则P 关于l 的对称点Q 也是C 与C '的公共点，所以P 、Q 两点均在C 上，则C 上有不同两点P 、Q 关于l 对称，
由②知此时k ∈(－∞，－1)∪(－
55，0)∪(0，5
5
)∪(1，＋∞) 综合①、②知，无论k 为何值C 与C '恒有公共点