第6章习题答案
6-1 在1=r μ、4=r ε、0=σ的媒质中，有一个均匀平面波，电场强度是
)3
sin(),(π
ω+
-=kz t E t z E m
若已知MHz 150=f ，波在任意点的平均功率流密度为2μw/m 265.0，试求：
（1）该电磁波的波数?=k 相速?=p v 波长?=λ波阻抗?=η （2）0=t ，0=z 的电场?)0,0(=E
（3）时间经过μs 1.0之后电场)0,0(E 值在什么地方？
（4）时间在0=t 时刻之前μs 1.0，电场)0,0(E 值在什么地方？ 解：（1）)rad/m (22πεπμεω==
=r c
f
k
)m/s (105.1/8?==r p c v ε
)m (12==
k
π
λ )Ω(60120πεμπη=r
r
＝ （2）∵ 62002
10265.02
121-?===
m r
m av E E S εεμη
∴ (V/m)1000.12-?=m E
)V/m (1066.83
sin
)0,0(3-?==π
m E E
（3） 往右移m 15=?=?t v z p
（4） 在O 点左边m 15处
6-2 一个在自由空间传播的均匀平面波，电场强度的复振幅是
米伏/1010)
202
(
j 4
20j 4
y
x e e E z z
e
e
πππ----+=
试求： （1）电磁波的传播方向？
（2）电磁波的相速?=p v 波长?=λ频率?=f （3）磁场强度?=H
（4）沿传播方向单位面积流过的平均功率是多少？
解：（1） 电磁波沿z 方向传播。
（2）自由空间电磁波的相速m/s 1038
?==c v p )m (1.02022===
π
π
πλk ∵ πω
20==
c
k
∴ c πω20=
∴ Hz 1031029?===c f π
ω
（3）)A/m )((106521
20j )
2
20(j 7
y z x z z e e
.e e E e H ππ
πη
-+--+?=?=
（4）)W/m (106522)Re(21211*z z av .e e H E S *
-?=?=?=η
E E
6-3 证明在均匀线性无界无源的理想介质中，不可能存在z e E kz e E j 0-=的均匀平面电磁波。 证 ∵ 0j j 0≠-=??-kz e kE Ε，即不满足Maxwell 方程
∴ 不可能存在z e E kz e E j 0-=的均匀平面电磁波。
6-4在微波炉外面附近的自由空间某点测得泄漏电场有效值为1V/m ，试问该点的平均电磁功率密度是多少？该
电磁辐射对于一个站在此处的人的健康有危险吗？（根据美国国家标准，人暴露在微波下的限制量为10－
2W/m 2不
超过6分钟，我国的暂行标准规定每8小时连续照射，不超过3.8×10－
2W/m 2。）
解：把微波炉泄漏的电磁辐射近似看作是正弦均匀平面电磁波，它携带的平均电磁功率密度为
230
2
W/m 1065.2377
1
-?==
=
ηe av E S 可见，该微波炉的泄漏电场对人体的健康是安全的。
6-5 在自由空间中，有一波长为12cm 的均匀平面波，当该波进入到某无损耗媒质时，其波长变为8cm ，且此时m /V 41.31=E ，m /A 125.0=H 。求平面波的频率以及无损耗媒质的r ε和r μ。 解：因为r r εμλλ/
0=，所以4/9)8/12(2==r r εμ
又因为r r H E εμπ120=，所以4443.01202
=??
?
??=H E r r πεμ 1=r μ，25.2=r ε
6-6 若有一个点电荷在自由空间以远小于光速的速度v 运动，同时一个均匀平面波也沿v 的方向传播。试求该电荷所受的磁场力与电场力的比值。
解：设v 沿z 轴方向，均匀平面波电场为E ，则磁场为 E e H ?=
z 0
1
η
电荷受到的电场力为
E F q e =
其中q 为点电荷电量，受到的磁场力为
E E H e B v
F 000
00εμημμqv v
q v q q z m -=-
=?=?＝
E c
qv -
= 故电荷所受磁场力与电场力比值为
c
v F F e m =
6-7 一个频率为GHz 3=f ，y e 方向极化的均匀平面波在5.2=r ε，损耗角正切值为10－
2的非磁性媒质中，沿正x e 方向传播。
（1）求波的振幅衰减一半时，传播的距离； （2）求媒质的波阻抗，波的相速和波长；
（3）设在0=x 处的y t e E ??
?
?
?+
?=3106sin 509
ππ，写出),(t x H 的表示式。
解：（1）210tan -==
ωε
σ
ψ，这是一个低损耗媒质，平面波的传播特性，除了有微弱的损耗引起的衰减之外，和理想介质的相同。其衰减常数为
497.010
35
.2210321021028
922=????==≈--πμεωεμσ
α 因为2/1=-i
e
α，所以m 40.12
ln ==
α
l
（2）对低损耗媒质，Ω4.2385.2/120/==≈πεμη 相速m/s 1090.15
.21031
88?=?==μεv
波长(cm)32.6(m)0632.0/===f v λ
（3）3.991035.21068
9=???=≈πμεωβ
(A/m)
)3
3.99106sin(21.0)3
106sin(50),(95.095.0z
x z
x x t e x t e t x e e H π
ππ
βπη+
-?=+-?=--
6-8微波炉利用磁控管输出的 2.45GHz 频率的微波加热食品，在该频率上，牛排的等效复介电常数)j 3.01(40~-=r
ε。求： （1）微波传入牛排的穿透深度δ，在牛排内8mm 处的微波场强是表面处的百分之几？
（2）微波炉中盛牛排的盘子是发泡聚苯乙烯制成的，其等效复介电常数=r
ε~ )103.0j 1(03.14-?-。说明为何用微波加热时，牛排被烧熟而盘子并没有被毁。 解：（1）20.8mm m 0208.01121
1
2
1
2==??
?
?????-??? ??+=
=
-ωεσμεω
α
δ
%688.20/8/0
===--e e E E z δ
（2）发泡聚苯乙烯的穿透深度
(m)1028.103
.1103.01045.2210321
22
1
3
4
98?=???????=??
? ??==
=
-πμε
ωεσωμεσ
α
δ
可见其穿透深度很大，意味着微波在其中传播的热损耗极小，所以不会被烧毁。
6-9 已知海水的1,81S /m 4===r r μεσ，，在其中分别传播MHz 100=f 或kHz 10=f 的平面电磁波时，试求：????====λβαp v 解：当MHz 1001=f 时，
888.=ωεσ
当kHz 102=f 时，41088?=.ωε
σ
故kHz 102=f 时，媒质可以看成导体，可以采用近似公式
ωμσβα2
1
≈
≈ 而MHz 1001=f 时媒质是半电介质，不能采用上面的近似公式。 （1） 当MHz 1001=f 时 (Nep/m)5.371)(12
2
21=-+=ωε
σμε
ωα (rad/m)0.421)(
12
2
21=++=ωε
σμε
ωβ (m/s)101490811?==
.βω
υp (m)149021
1.==βπ
λ
（2） 当kHz 102=f 时 39702
1
22.=≈
≈ωμσβα ∴ (Nep/m)39702.≈α
(rad/m)39702.≈β
(m/s)1058.1522?==
βω
υp (m)81522
2.==βπ
λ
6-10 证明电磁波在良导电媒质中传播时，场强每经过一个波长衰减54.54dB 。 证：在良导体中，βα≈，故α
π
β
π
λ22=
=
因为 l l
e
E e
E E λ
α2π00--==
所以经过一个波长衰减 54.57(dB))lg(20lg
2020
=-=--πe E E
6-11 为了得到有效的电磁屏蔽，屏蔽层的厚度通常取所用屏蔽材料中电磁波的一个波长，即
πδ2=d
式中δ是穿透深度。试计算
（1）收音机内中频变压器的铝屏蔽罩的厚度。 （2）电源变压器铁屏蔽罩的厚度。
（3）若中频变压器用铁而电源变压器用铝作屏蔽罩是否也可以？ （铝：S /m 1072.37?=σ，1=r ε，1=r μ；铁：S/m 107=σ，1=r ε，410=r μ，f ＝465kHz 。） 解： ωμσ
π
πδ2
22==d
（1）铝屏蔽罩厚度为
0.76(mm)
(m)10607107231041046522
247
73=?=??????=--.. πππ
d （2）铁屏蔽罩厚度为
(mm)41.1(m)1041.110
10104502223
7
47=?=?????=-- πππ
d （3） m)(741(m)1047110101041046522
257
473μπππ
..=?=??????=-- 铁d
(mm)73(m)1033710
7231045022
227
7=?=?????=--.. πππ
铝d 用铝屏蔽50Hz 的电源变压器需屏蔽层厚73mm ，太厚，不能用。用铁屏蔽中周变压器需屏蔽层厚m 714μ.，故可以选用作屏蔽材料。
6-12 在要求导线的高频电阻很小的场合通常使用多股纱包线代替单股线。证明，相同截面积的N 股纱包线的高频电阻只有单股线的
N
1。
证：设N 股纱包中每小股线的半径为r ，
单股线的半径为R ，则22r N R ππ=，即r N R =
单股线的高频电阻为 δ
πσR R 21
1?=
其中σ为电导率，δ为趋肤深度。 N 股纱包线的高频电阻为 δ
πσrN R N 21
?=
∴
N
rN r N rN R R R N 1
1=
==
6-13 已知群速与相速的关系是
ββ
d dv v v p p g +=
式中β是相移常数，证明下式也成立
λ
λ
d dv v v p p g -=
证：由λ
π
β2=
得λλπ
λπβd d d 2
2)1(2-
==
∴ λλλ
λ
πλ
π
d dv
v d dv v v p p p p g -=-?
+=)(22
6-14 判断下列各式所表示的均匀平面波的传播方向和极化方式 （1）y x e e E kz
kz
e E e jE j 1j 1j += （2）z kx y kx e H e H e e H j 2j 1--+= （021≠≠H H ）
（3）y x e e E kz kz
e E e E j 0j 0j ---=
（4）)(j 00j y x e e E ?e AE E e
kz
+=- （A 为常数，π?±≠,0）
（5）)j
(
j j z x e e H ky m
ky m
e E e E --+=η
η
（6）y m x m kz t E kz t E t z e e E )cos()sin(),(-+-=ωω
（7）y m x m kz t E kz t E t z e e E )4
cos()4sin(),(π
ωπ
ω--++
-= 解：（1）—z 方向，直线极化。
（2）＋x 方向，直线极化。 （3）＋z 方向，右旋圆极化。 （4）＋z 方向，椭圆极化。 （5）＋y 方向，右旋圆极化。 （6）＋z 方向，左旋圆极化。 （7）＋z 方向，直线极化。
6-15 证明一个直线极化波可以分解为两个振幅相等旋转方向相反的圆极化波。 证：设沿z 方向传播的直线极化波的电场矢量方向与x e 方向夹角为θ，
则E ＝z y x e E βθθj 1)sin (cos -+e e
＝z y x e e e e e E βθ
θθθj j j j j 1)j 22(----++e e
＝z y x z
y x e e e E e
e e E βθθβθθj j j 1j j j 1)j (2
)j (2----++-e e e e ＝左圆右圆＋E E
6-16证明任意一圆极化波的坡印廷矢量瞬时值是个常数。 证：设沿z 方向传播的圆极化波为
y m x m kz t E kz t E t z e e E )cos()2
cos(),(?ωπ
?ω+-+±
+-=
则坡印廷矢量瞬时值
E e E e E
E E
e E H E S η
η
η
z
z z ?-
?=
??
=?=
()
z
m
z
m m E kz t E kz t E e e η
η
?ωπ?ω2
22
22cos 2cos =
+-+??? ??±+-=
6-17 有两个频率相同传播方向也相同的圆极化波，试问：
（1）如果旋转方向相同振幅也相同，但初相位不同，其合成波是什么极化？
（2）如果上述三个条件中只是旋转方向相反其他条件都相同，其合成波是什么极化？
（3）如果在所述三个条件中只是振幅不相等，其合成波是什么极化波？ 解：（1）设
kz y x e e E j j 011
)j (-±=?e e E
kz y x e e E j j 022
)j (-±=?e e E
则 21E E E += kz y x e e e
E j j j 0))(j (21
-+±=??e e 故合成波仍是圆极化波，且旋转方向不变，但振幅变了。 （2）设 kz y x e e
E j j 011
)j (-+=?e e E kz y x e e
E j j 021
)j (--=?e e E
则 21E E E += kz x e e
E j j 01
2-=?e
故合成波是线极化波。 （3）设 kz y x e e
E j j 1011
)j (-±=?e e E kz y x e e
j j j 2021
)(-±=?e e E E
则 kz y x e e E E j j 2010211
)j )((-±+=+=?e e E E E
故合成波是圆极化波，且旋转方向不变，但振幅变了。
6-18 一个圆极化的均匀平面波，电场
)j (j 0y x kz e E e e E +=-
垂直入射到0=z 处的理想导体平面。试求：
（1）反射波电场、磁场表达式； （2）合成波电场、磁场表达式；
（3）合成波沿z 方向传播的平均功率流密度。 解：（1） 根据边界条件 0|)(0z =+=r i E E 故反射电场为
z y x r e E βj 0)j (e e E +-=
r z E -e H r ?=
)(1
η)j (j 0
y x z e E e e --
=βη
（2） r i E E E +=())j (sin j 20y x z E e e +-=β
r z i z E -e E e H ?+?=)(1
1ηη)j (cos 20y x z E e e +-=βη
（3） )Re(2
1
*?=H E S av )](j cos 2)j )(sin(j 2Re[21
00y x y x z E z E e e e e +?+-=η
ββ
0=
6-19 当均匀平面波由空气向理想介质（1=r μ，0=σ）垂直入射时，有84％的入射功率输入此介质，试求介质的相对介电常数r ε。 解：因为r
r
R εεηηηη+-=+-=
111212
所以1
1
+-=
r r R εε 2
11???
?
??-+=R R r ε
又因为16.0%8412
=-=R ，故4.0=R
44.54.014.012
=??
? ??-+=r ε
6-20 当平面波从第一种理想介质向第二种理想介质垂直入射时，若媒质波阻抗>2η 1η，证明分界面处为电场波腹点；若12ηη<，则分界面处为电场波节点。
证：在分界面处的总电场为)1(000R E E E E i r i +=+=，00/i r E E R =，R 的幅角即为分界面处入射电场与反射电场的相位差，若相位差为零，则形成电场波腹点，若相位差180o ，则形成电场波节点。
1
21
2ηηηη+-=
R ，对于理想介质，R 为[-1,1]之间的实数。
若>2η1η，则0>R ，R 的幅角为零，表示分界面处入射电场与反射电场同相，形成电场波腹点；
若12ηη<，则0 6-21 均匀平面波从空气垂直入射于一非磁性介质墙上。在此墙前方测得的电场振幅分布如图所示，求：（1）介质墙的r ε；（2）电磁波频率f 。 解：（1）r r R εεηηηη+-=+-= 111212 5 .05 .111= =-+=r R R ερ， 9=r ε （2）因为两相邻波节点距离为半波长， 所以m 422=?=λ (MHz)754 1038=?=f 6-22 若在4=r ε的玻璃表面镀上一层透明的介质以消除红外线的反射，红外线的波长为μm 75.0，试求：（1）该介质膜的介电常数及厚度；（2）当波长为μm 42.0的紫外线照射该镀膜玻璃时，反射功率与入射功率之比。 解：（1）312ηηη= 2312==r r r εεε， μm 13.02 475 .042=?== r d ελ （2）d d ef 2322232tan j tan j βηηβηηηη++= j 99.0312tan j 211tan j 2214 3 33 231131311--= ??? ? ??++-= ++-=+-=λπλεεεβηηηηηηηηηηr r r ef ef d R 1.02 =R ，即反 射功率与入射功率之比为0.1。 6-23 证明在无源区中向k 方向传播的均匀平面波满足的麦克斯韦方程可简化为下列方程 E H k ωε-=? H E k ωμ=? 0=?E k 0=?H k 证：在无源区中向k 方向传播的均匀平面波可表示为 r k E E ?-=j 0e r k H H ?-=j 0e 因为 题6-21图 () ()H k H k H r k H H H r k r k r k r k ?-=?-=???-=??=??=???-?-?-?-j j j 0j 0j 0 j j 0e e e e 代入无源区麦克斯韦第1方程：E H ωεj =?? 可得 E H k ωε-=? 同理可得 H E k ωμ=? 又因为 ()()E k E k E r k E E E r k r k r k r k ?-=?-=???-=??=??=???-?-?-?-j j j 0j 0j 0 j j 0e e e e 代入无源区麦克斯韦第4方程：0=??E 可得 0=?E k 同理可得 0=?H k 6-24 已知平面波的电场强度 []V /m 34)32()4.28.1(j z y z y x e j -+++=e e e E 试确定其传播方向和极化状态，是否横电磁波？ 解：（1）z y e e k 4.28.1+-= 传播方向位于yz 平面内，与y 轴夹角 009.1268 .14 .2arctan 180=-=θ （2）由于电场分量存在相位差2 3 arctan =?，故为右旋椭圆极化。 （3）因为E ?k =0，所以是横电磁波。 6-25 证明两种介质（021μμμ==）的交界面对斜入射的均匀平面波的反射、折射系数可写成 ) sin() sin(t i t i R θθθθ+--⊥＝ ，)(t i i t sin cos T θθθθ+⊥sin 2＝ ) tan() tan(t i t i R θθθθ+-＝ ∥，)cos()sin(cos t i t i i t T θθθθθθ-+sin 2＝∥ 式中i θ是入射角，t θ是折射角。 证：（1）因为 t i t i R θηθηθηθηcos cos cos cos 1212+-⊥＝ t i v v θθεεηηsin sin 211221=== 所以 t i i t t i i t R θθθθθθθθcos sin cos sin cos sin cos sin +-⊥＝ ) sin() sin(-t i t i θθθθ+-＝ （2） t i t i R θηθηθηθηcos cos cos cos 2121+-＝∥ t t i i t t i i θθθθθθθθcos sin cos sin cos sin cos sin +-＝ t i t i θθθθsin2sin2sin2sin2+-＝ ))cos(sin() )cos(sin(t i t i t i t i θθθθθθθθ-++-＝ ) (tan )tan(t i t i θθθθ+-＝ （3）因为 ⊥⊥+=R T 1 所以 =⊥T ) sin() sin(1t i t i θθθθ+--+ ) sin(cos sin 2t i i t θθθθ+= （4） )1(1 2 ////R T +=ηη ]))cos(sin())cos(sin(1[s sin t i t i t i t i i t in θθθθθθθθθθ-++-+＝ ) )cos(sin()]()sin[(s sin t i t i t i t i i t in θθθθθθθθθθ-+++-? ＝ ))cos(sin(sin2s sin t i t i i i t in θθθθθθθ-+? ＝ ) )cos(sin(cos 2sin t i t i i t θθθθθθ-+＝ 6-26 当平面波向理想介质边界斜入射时，试证布儒斯特角与相应的折射角之和为2/π。 证：布儒斯特角2 2211 arccos 1arcsin arctan n n n n B +=+==θ 折射角B i t n n B i θθθθθcos 11 sin sin 2 =+== = 所以布儒斯特角与折射角互余，即2 π θθ= +t B 6-27 当频率GHz 3.0=f 的均匀平面波由媒质14==r r με，斜入射到与自由空间的交界面时，试求 （1）临界角?=c θ （2）当垂直极化波以o 60=i θ入射时，在自由空间中的折射波传播方向如何？相速?=p v （3）当圆极化波以o 60=i θ入射时，反射波是什么极化的？ 解：（1） o 304 1 arcsin ==c θ （2）因为 c i θθ>发生全反射 所以折射波沿分界面传播，形成表面波。 888 21073.1103sin 103?=?=?==i r p M v v θε（m/s ） （3） 因为 c i θθ>发生全反射，反射系数的模1=⊥∥＝R R ，但反射系数的幅角//δδ≠⊥。将圆极化波分解成 相位差π/2的等幅垂直极化波与平行极化波，反射后振幅不变，但相位差发生了改变，所以反射波是椭圆极化波。 6-28 一个线极化平面波由自由空间投射到4=r ε、1=r μ的介质分界面，如果入射波的电场与入射面的夹角是45o 。试问： （1）当入射角?=i θ时反射波只有垂直极化波。 （2）这时反射波的平均功率流密度是入射波的百分之几？ 解：（1） 布儒斯特角o 4.63arctan arctan ===r B n εθ 故当o 463.==B i θθ平行极化波全折射，反射波只有垂直极化波。 （2） 6.0|11|sin cos sin cos 222 2222-=+-=-+--==⊥n i i i i n n n n R B i θθθθθθ＝ 垂直极化波的入射功率流密度只有总入射功率流密度的2 1 ，故 %.18602 1 2 1 22 =?= =⊥⊥R P P i r 6-29 证明当垂直极化波由空气斜入射到一块绝缘的磁性物质上（1>r μ、1>r ε、0=σ）时，其布儒斯特角应满足下列关系 1 ) (tan 2--= r r r r r B μεεμμθ 而对于平行极化波则满足关系 1 ) (tan 2--= r r r r r B μεμεεθ 证：（1） t i t i R θηθηθηθηcos cos cos cos 1212+-=⊥ 当B i θθ=时，0=⊥R ∴ t B θηθηcos cos 12= （1） 由折射定律 t B k k θθsin sin 21= （2） 可求出 222)sin 1 (1sin 1cos B r r t t θεμθθ-=-= 代入方程（1）得 B r r B r r in θεμθεμ22s 11cos -= B r r B r r in in θεμθεμ22s 11)s (1-=- ∴ 1)(11s 22--=- -=r r r r r r r r r r B in μεμμεμεμεμθ 1 1 cos 2 2 --= r r r B μεμθ ∴ 1 )(tan 2--= r r r r r B μεεμμθ （2） ∵ t i t i R θηθηθηθηcos cos cos cos 2121+-＝ ∥ ∴ t B θηθηcos cos 21= （3） （2）（3）式联立?? ? ??==t r r B t r r B θεμθθεμθcos cos sin sin 与垂直极化相比较，r μ与r ε互换 ∴ 1 ) (tan 2 --= r r r r r B μεμεεθ 6-30 设0 ( ))3(36j z y x z x e e e e E -+=+- 试求：（1）平面波的频率； （2）反射角和折射角； （3）反射波和折射波。 解：（1）入射面为xz 面，入射波可分解为垂直极化波和平行极化波两部分之和，即 y z x i e e E ) 3( 6j +-⊥= )3() 3( 6j z x z x i e e e E -=+-|| 已知() z x z x k i i +=+36)cos sin (1θθ得 121=k MHz 28721 11== εμπk f （2） 2 3 sin = i θ r i θθ==o 60 由 2 3 sin sin 12==k k t i θθ可得 18,3.353 1 sin 2o ==?= k t t θθ （3） 420.0sin /cos sin /cos 2 12212-=-+--= ⊥i i i i R θεεθθεεθ 580.0sin /cos cos 22 12=-+= ⊥i i i T θεεθθ 0425.0sin /cos )/(sin /cos )/(2 121221212=-+--= i i i i R θεεθεεθεεθεε|| 638.0sin /cos )/(cos /22 121212=-+= i i i T θεεθεεθεε|| 因此，反射波的电场强度为||r r r E E E +=⊥，其中 y z x r e e E ) 3( 6j 420.0--⊥-= )3(0425.0) 3( 6j z x z x r e e e E --=--|| 折射波的电场强度为||t t t E E E +=⊥，其中 y z x t e e E )3 23 ( 18j 580.0+ -⊥= ) 32 3 (18j )3 23(18j 3132276.1312322638.0z x z x z x z x t e e +-+-???? ? ?-=???? ??-=e e e e E || 6-31 当一个MHz 300=f 的均匀平面波在电子密度1410=N 3/1米并有恒定磁场z e B 30105-?=特斯拉的等离子体内传播，试求 （1）该等离子体的张量介电常数?][=r ε （2）如果这个均匀平面波是往z 方向传播的右旋圆极化波，其相速?=p v （3）如果这个波是往z 方向传播的左旋圆极化波，其相速?=p v 解：（1） ???? ??????=31 2 2 1 0j 0j ][εεεεεε－r 1712 3114 219022 10177.310 854.8101.910)106.1(?=?????==---εωm Ne p 8 331 1901079.810510 1.9106.1?=????==---B m e g ω 866.012 22 1=-+=ω ωωεg p 053.0) (2 222-=-= ωωωωωεg g p 91.01223=-=ω ωεp ∴ ?? ?? ? ?????-=91.0000866.0053.0j 0053.0j 866.0][r ε （2） 882 11033.3053.0866.0103?=-?=+=+εεc v p （m/s ） （3） 882 11013.3053 .0866.0103?=+?= -= -εεc v p （m/s ） 6-32 在一种对于同一频率的左、右旋圆极化波有不同传播速度的媒质中，两个等幅圆极化波同时向z 方向传播，一个右旋圆极化 )j (1j 1y x e e E -=-z m e E β 另一个是左旋圆极化 )j (2j 2y x e e E +=-z m e E β 式中12ββ>，试求 （1）0=z 处合成电场的方向和极化形式。 （2）l z =处合成电成的方向和极化形式。 解：（1） x m E e E E 221＝＋＝Ε 合成场指向x e 方向，是线极化波。 （2） 21E E ＋＝Ε ])(j )[(1221j j j j y z z x z z m e e e e E e e ββββ-----++＝ ])(j )[(2 j 2 j 2 j 2 j 2 j 1 21 21 21 22 1y z z x z z z m e e e e e E e e ββββββββββ------+--++＝ ])2 sin( )2 [cos( 21 21 22 j 2 1y x z m z z e E e e ββββββ-+-+-＝ ∵ 电场两分量相位差等于零 ∴ 合成场是线极化波 ∵ z z z 2)2 cos() 2sin( tan 12121 2ββββββθ-=--= 故当l z =时合成电场与x 轴夹角为l 2 1 2ββθ-= 6-33 设在0≥z 的半空间是电子密度为1410=N 3/1米的等离子体，并有恒定磁场z e B 30105-?=特斯拉，在 0 的场量为入射波的百分之几？ 解：对于正圆极化波，等离子体等效为相对介电常数为()21εε+的介质，其中ε1、ε2与6-31题相同，故 %8.94053 .0866.01053.0866.021*********=-+-=+++=+= εεεεηηηT 6-34 我们知道，当线极化平面波沿恒定磁化磁场方向传播时，将产生极化面连续偏转的法拉第旋转效应。若已知1=r ε及饱和磁化铁氧体的张量磁导率是 ?? ?? ? ?????-=10008.05.0j 05.0j 8.0][r μ 平面波在自由空间的相位常数是πβ20=rad/m ，其磁场强度在0=z 处是x e H 02H =。 试问（1）该铁氧体中任一点的?=H （2）在m 2.0=z 处H 与x 轴的夹角?=θ （3）该平面波在铁氧体中的传播速度?=p v 解：（1） H 可分解成正负圆极化波向前传播 z y x e H + -+-=βj 0)j (e e H z y x e H - --+=βj 0)j (e e H 式中 3.02)(2100πμμεβμεββ=+==++r r 3.12)(2100πμμεβμεββ=-==--r r ∴ ）（＋ －＋－＋ －y x z z z e H e e H H H 2 sin 2cos 22 j 0ββββββ-+-=+=+--+ [ ] y x z z z e H e e )86.1sin()86.1cos(23.5j 0+=- （2） o 21.3rad)(372.02.02 ) 3.03.1(22 ==?-= -= πββθl ＋ － （3） c c c v p 18.13.03.122 2 0=+=+=+== ＋ －＋－βββββωβω 6-35 一个频率GHz 3=f 、磁场强度是)j (j 0y x e e H +=-z e H β的平面电磁波，在沿波的传播方向磁化的无界无源均匀铁氧体中传播，磁导率是 ?? ?? ? ?????-=10002.13.0j 03.0j 2.1][r μ 相对介电常数16=r ε。试求 （1）电磁波在该铁氧体中的相速?=p v 波长?=λ （2）波阻抗?=η电场强度?=E 解：（1）因为H 是一个左旋圆极化波 ∴ ） （＝＝－－m/s 1012.63 .02.1167 0?=+?=c v r p εμβωβω )cm (04.2)m (1004.22=?== -f v p λ （2） )Ω(4.11516 3 .02.100=+==-ηεμηηr H E ??= ωε j 1 ) j (4.115308j 0y x z z e H e e e H -=?=-η 其中)m /rad (30810 04.2222 =?= = -π λ π β 6-36 无界均匀铁氧体由恒定磁场z e B 00B =饱和磁化，磁导率是 ?? ?? ? ?????-=10008.05.0j 05.0j 8.0][r μ 相对介电常数16=r ε。试问 （1）磁场是z e H y e H βj 0-=的平面波在其中传播的相速?=p v （2）电场是z e E y e E βj 0-=的平面波在其中传播的相速?=p v 解：传播方向垂直磁化方向，是横向波 （1） 因为H 沿y 方向传播，只有z e 分量 所以是寻常波，故相速为 (m/s)1075.0/ 8?==r p c v ε （2） 因为平面波向y 方向传播，且0≠z E ，所以是非寻常波，故相速为 (m/s)1007.18 .05.08.01682 21 2 221?=-? = -= c c v r p μμμε 一章习题解答 1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e 4y z =-+B e e 52x z =-C e e 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B g ； （4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ； （7）()?A B C g 和()?A B C g ；（8）()??A B C 和()??A B C 。 解 （1 ）23A x y z +-= ==-e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B g (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e g －11 （4）由 cos AB θ ===A B A B g ，得 1cos AB θ- =(135.5=o （5）A 在B 上的分量 B A =A cos AB θ ==A B B g （6）?=A C 1 235 02x y z -=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 04 1502x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 123041 x y z -=-e e e 1014x y z ---e e e 所以 ()?=A B C g (23)x y z +-e e e g (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C g (1014)x y z ---e e e g (52)42x z -=-e e （8）()??=A B C 1014502x y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e ()??=A B C 1 238 5 20 x y z -=e e e 554411x y z --e e e 第六章 时变电磁场 有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场 5cos mT z e t ω=B 之中，如题图所示。滑片的位置由0.35(1cos )m x t ω=-确定，轨道终 端接有电阻0.2R =Ω，试求电流i. 解 穿过导体回路abcda 的磁通为 5cos 0.2(0.7) cos [0.70.35(1cos )]0.35cos (1cos )z z d B ad ab t x t t t t ωωωωωΦ==?=?-=--=+?g g B S e e 故感应电流为 11 0.35sin (12cos ) 1.75sin (12cos )mA in d i R R dt t t t t R ωωωωωωΦ = =-=-+-+E 一根半径为a 的长圆柱形介质棒放入均匀磁场0z B =B e 中与z 轴平行。设棒以角速 度ω绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。 解 介质棒内距轴线距离为r 处的感应电场为 00 z r r r B φωω=?=?=E v B e e B e 故介质棒内的极化强度为 00000(1)()e r r r r B r B εεεωεεω==-=-P E e e X 极化电荷体密度为 200 00 11()()2()P rP r B r r r r B ρεεωεεω?? =-??=- =--??=--P 极化电荷面密度为 0000()()P r r r a e r a B σεεωεεω==?=-?=-P n B e 则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为 220020012()212()P P PS P Q a a B Q a a B πρπεεωπσπεεω=??=--=??=- 平行双线传输线与一矩形回路共面，如题图所示。设0.2a m =、0.1m b c d ===、7 1.0cos(210)A i t π=?，求回路中的感应电动势。 A．电磁场理论B基本概念 1．什么是等值面？什么是矢量线？ 等值面——所有具有相同数值的点组成的面 ★空间中所有的点均有等值面通过； ★所有的等值面均互不相交； ★同一个常数值可以有多个互不相交的等值面。 矢量线（通量线）---- 一系列有方向的曲线。 线上每一点的切线方向代表该点矢量场方向， 而横向的矢量线密度代表该点矢量场大小。 例如，电场中的电力线、磁场中的磁力线。 2．什么是右手法则或右手螺旋法则？本课程中的应用有哪些？（图） 右手定则是指当食指指向矢量A的方向，中指指向矢量B的方向，则大拇指的指向就是矢量积C=A*B的方向。 右手法则又叫右手螺旋法则，即矢量积C=A*B的方向就是在右手螺旋从矢量A转到矢量B的前进方向。 本课程中的应用： ★无限长直的恒定线电流的方向与其所产生的磁场的方向。 ★平面电磁波的电场方向、磁场方向和传播方向。 3．什么是电偶极子？电偶极矩矢量是如何定义的？电偶极子的电磁场分布是怎样的？ 电偶极子——电介质中的分子在电场的作用下所形成的一对等值异号的点电荷。 电偶极矩矢量——大小等于点电荷的电量和间距的乘积，方向由负电荷指向正电荷。 4.麦克斯韦积分和微分方程组的瞬时形式和复数形式； 积分形式： 微分方式： （1）安培环路定律 （2）电磁感应定律 （3）磁通连续性定律 （4）高斯定律 5.结构方程 6.什么是电磁场边界条件？它们是如何得到的？（图） 边界条件——由麦克斯韦方程组的积分形式出发，得到的到场量在不同媒质交界面上应满足的关系式（近似式）。 边界条件是在无限大平面的情况得到的，但是它们适用于曲率半径足够大的光滑曲面。 7.不同媒质分界面上以及理想导体表面上电磁场边界条件及其物理意义； （1）导电媒质分界面的边界条件 ★ 导电媒质分界面上不存在传导面电流，但可以有面电荷。 在不同媒质分界面上，电场强度的切向分量、磁场强度的切向分量和磁感应强度的法向分量永远是连续的 （2）理想导体表面的边界条件 ★ 理想导体内部，时变电磁场处处为零。导体表面可以存在时变的面电流和面电荷。 第六章 时变电磁场 6.1 有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场 5cos mT z e t ω=B 之中，如题6.1图所示。滑片的位置由0.35(1cos )m x t ω=-确定，轨道终端接有电阻0.2R =Ω，试求电流i. 解 穿过导体回路abcda 的磁通为 5cos 0.2(0.7) cos [0.70.35(1cos )]0.35cos (1cos )z z d B ad ab t x t t t t ωωωωωΦ==?=?-=--=+? B S e e 故感应电流为 11 0.35sin (12cos ) 1.75sin (12cos )mA in d i R R dt t t t t R ωωωωωωΦ = =-=-+-+E 6.2 一根半径为a 的长圆柱形介质棒放入均匀磁场0z B =B e 中与z 轴平行。设棒以角 速度ω绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。 解 介质棒内距轴线距离为r 处的感应电场为 00z r r r B φωω=?=?=E v B e e B e 故介质棒内的极化强度为 00000(1)()e r r r r B r B εεεωεεω==-=-P E e e X 极化电荷体密度为 200 00 11()()2()P rP r B r r r r B ρεεωεεω?? =-??=- =--??=--P 极化电荷面密度为 0000()()P r r r a e r a B σεεωεεω==?=-?=-P n B e 则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为 220020012()212()P P PS P Q a a B Q a a B πρπεεωπσπεεω=??=--=??=- 6.3 平行双线传输线与一矩形回路共面，如题6.3图所示。设0.2a m =、0.1m b c d ===、7 1.0cos(210)A i t π=?，求回路中的感应电动势。 电磁场与电磁波理论基础自学指导书 课程简介：电磁场理论是通信技术的理论基础，是通信专业本科学生必须具备的知识结构的重要组成部分之一。使学生掌握电磁场的有关定理、定律、麦克斯韦方程等的物理意义及数学表达式。使学生熟悉一些重要的电磁场问题的数学模型（如波动方程、拉氏方程等）的建立过程以及分析方法。培养学生正确的思维方法和分析问题的能力，使学生对"场"与"路"这两种既密切相关又相距甚远的理论有深刻的认识，并学会用"场"的观点去观察、分析和计算一些简单、典型的场的问题。为以后的学习和工作打下坚实的理论基础。 第一章矢量分析场论初步 1主要内容 本章从矢量分析入手，介绍了标量场和矢量场的基本概念，学习了矢量的通量、散度以及散度定理，矢量的环流、旋度以及斯托克斯定理，标量的梯度，以及上述的物理量在圆柱和球坐标系下的表达形式，最后介绍了亥姆霍兹定理，该定理说明了研究一个矢量场从它的散度和旋度两方面入手。通过本章的学习，使学生掌握场矢量的散度、旋度和标量的梯度的概念和数学计算为以后的电磁场分析打下基础。 2学习要求 深刻理解标量场和矢量场的概念；深刻理解散度、旋度和梯度的概念、物理意义及相关定理； 熟练使用直角坐标、圆柱坐标和球坐标进行矢量的微积分运算； 了解亥姆霍兹定理的内容。 3重点及难点 重点：在直角坐标、圆柱坐标和球坐标中计算矢量场的散度和旋度、标量场的梯度以及矢量的线积分、面积分和体积分。 难点：正确理解和掌握散度、旋度和梯度的概念及定理，可以借助流体的流量和涡旋等自然界中比较具体而形象的相似问题来理解。 4思考题合作业 1.4, 1.8, 1.9, 1.11, 1.14, 1.16, 1.24 第二章静电场 1主要内容 本章我们从点电荷的库仑定律发，推导出静电场的基本方程（微分表达及积分表达），该基本方程第一组与静电场的散度和通量有关（高斯定律），第二组有关静电场的环量和旋度，推导的过程运用了叠加原理。由静电场的基本方程中的环量和旋度的基本方程，我们引入了电位的概念，并给出了电场强度与电位之间的关系以及电位的计算公式。运用静电场的基本方程及电位可以解决静电场中的场源互求问题（已知源求场或已知场求源）。然后介绍了电偶极子的概念，推导了电偶极子的电场强度与电位的表达式。接着介绍了介质的极化，被极化的分子可等效为电偶极子，所以介质极化产生的电位就可以借用电偶极子的相关结论。由极化介质的电位公式我们推导了介质中的高斯定律，在该定律中引入了一个新的量— 电磁场与电磁波复习材料 简答 1． 简述恒定磁场的性质，并写出其两个基本方程。 2． 试写出在理想导体表面电位所满足的边界条件。 3． 试简述静电平衡状态下带电导体的性质。 答：静电平衡状态下，带电导体是等位体，导体表面为等位面；（2分） 导体内部电场强度等于零，在导体表面只有电场的法向分量。（3分） 4． 什么是色散？色散将对信号产生什么影响？ 答：在导电媒质中，电磁波的传播速度随频率变化的现象称为色散。 （3分） 色散将使信号产生失真，从而影响通信质量。 （2分） 5．已知麦克斯韦第二方程为t B E ??- =?? ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 6．试简述唯一性定理，并说明其意义。 7．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。 8．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？ 9．简述亥姆霍兹定理，并说明其意义。 答：当一个矢量场的两类源(标量源和矢量源)在空间的分布确定时，该矢量场就唯一地确定了，这一规律称为亥姆霍兹定理。 （3分） 亥姆霍兹定理告诉我们，研究任意一个矢量场（如电场、磁场等），需要从散度和旋度两个方面去研究，或者是从矢量场的通量和环量两个方面去研究 10．已知麦克斯韦第二方程为S d t B l d E S C ???-=???，试说明其物理意义，并写出方程的微 分形式。 答：其物理意义：随时间变化的磁场可以产生电场。 （3分） 方程的微分形式： 11．什么是电磁波的极化？极化分为哪三种？ 答：电磁波的电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的轨迹称为极化。（2分） 极化可以分为：线极化、圆极化、椭圆极化。 12．已知麦克斯韦第一方程为 t D J H ??+ =?? ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 第一章习题解答 1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e 4y z =-+B e e 52x z =-C e e 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）A B θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ； （7）()?A B C 和()?A B C ；（8）()??A B C 和()??A B C 。 解 （1 ）23A x y z +-= = =e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11 （ 4 ） 由 c o s AB θ =1 1 2 3 8 = A B A B ， 得 1 c o s A B θ- =(135.5- = （5）A 在B 上的分量 B A =A c o s AB θ = =- A B B （6）?=A C 1 235 02x y z -=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 04 1502x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 1 230 4 1 x y z -=-e e e 1014x y z ---e e e 所以 ()?=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z -=-e e （8）()??=A B C 1014502 x y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e ()??=A B C 1 238 5 20 x y z -=e e e 554411x y z --e e e 1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。 （1）判断123P P P ?是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。 第2章习题解答 2.2已知半径为a 、长为l 的圆柱体内分布着轴对称的体电荷，已知其电荷密度()0V a ρρρρ =， ()0a ρ≤≤。试求总电量Q 。 解：2π20000 2d d d d π3 l a V V Q V z la a ρρ ρρρ?ρ= ==? ? ?? 2.3 半径为0R 的球面上均匀分布着电荷，总电量为Q 。当球以角速度ω绕某一直径(z 轴)旋转时，试求 其表面上的面电流密度。 解：面电荷密度为 2 04πS Q R ρ= 面电流密度为 002 00 sin sin sin 4π4πS S S Q Q J v R R R R ωθ ρρωθωθ=?== = 2.4 均匀密绕的螺旋管可等效为圆柱形面电流0S S J e J ?=。已知导线的直径为d ，导线中的电流为0I ，试 求0S J 。 解：每根导线的体电流密度为 00 22 4π(/2)πI I J d d = = 由于导线是均匀密绕，则根据定义面电流密度为 04πS I J Jd d == 因此，等效面电流密度为 04πS I J e d ?= 2.6 两个带电量分别为0q 和02q 的点电荷相距为d ，另有一带电量为0q 的点电荷位于其间。为使中间的 点电荷处于平衡状态，试求其位置。当中间的点电荷带电量为-0q 时，结果又如何？ 解：设实验电荷0q 离02q 为x ，那么离0q 为x d -。由库仑定律，实验电荷受02q 的排斥力为 12 214πq F x ε= 实验电荷受0q 的排斥力为 022 1 4π()q F d x ε= - 要使实验电荷保持平衡，即21F F =，那么由0022 211 4π4π() q q x d x εε=-，可以解得 d d x 585.01 22=+= 如果实验电荷为0q -，那么平衡位置仍然为d d x 585.01 22=+=。只是这时实验电荷与0q 和02q 不 是排斥力，而是吸引力。 2.7 边长为a 的正方形的三个顶点上各放置带电量为0q 的点电荷，试求第四个顶点上的电场强度E 。 解：设点电荷的位置分别为()00,0,0q ，()0,0,0q a 和()00,,0q a ，由库仑定律可得点(),,0P a a 处的电 场为 ( ) ( 00 2 22 00001114π4π4π221x y y x x y q q q E e e e e a a q e e εεε? =+++ ?+=+ 《电磁场与电磁波》试题1 一、填空题（每小题1分，共10分） 1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的导磁率为，则磁感应强度和磁场满足的方程为：。 2．设线性各向同性的均匀媒质中，称为方程。 3．时变电磁场中，数学表达式称为。 4．在理想导体的表面，的切向分量等于零。 5．矢量场穿过闭合曲面S的通量的表达式为：。 6．电磁波从一种媒质入射到理想表面时，电磁波将发生全反射。 7．静电场是无旋场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于。 8．如果两个不等于零的矢量的等于零，则此两个矢量必然相互垂直。 9．对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的传播方向三者符合关系。 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用函数的旋度来表示。 二、简述题（每小题5分，共20分） 11．已知麦克斯韦第二方程为，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 12．试简述唯一性定理，并说明其意义。 13．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。 14．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？ 三、计算题（每小题10分，共30分） 15．按要求完成下列题目 （1）判断矢量函数是否是某区域的磁通量密度？ （2）如果是，求相应的电流分布。 16．矢量，，求 （1） （2） 17．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为 （1）试写出其时间表达式； （2）说明电磁波的传播方向； 四、应用题（每小题10分，共30分） 18．均匀带电导体球，半径为，带电量为。试求 （1）球内任一点的电场强度 （2）球外任一点的电位移矢量。 19．设无限长直导线与矩形回路共面，（如图1所示）， （1）判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向（在图中标出）；（2）设矩形回路的法向为穿出纸面，求通过矩形回路中的磁通量。 20．如图2所示的导体槽，底部保持电位为，其余两面电位为零，（1）写出电位满足的方程； （2）求槽内的电位分布 《电磁场与电磁波》习题解答 第七章 正弦电磁波 7.1 求证在无界理想介质沿任意方向e n （e n 为单位矢量）传播的平面波可写成 j() e n r t m βω?-=e E E 。 解 E m 为常矢量。在直角坐标中 故 则 而 故 可见，已知的() n j e r t m e βω?-=E E 满足波动方程 故E 表示沿e n 方向传播的平面波。 7.2 试证明：任何椭圆极化波均可分解为两个旋向相反的圆极化波。 解 表征沿+z 方向传播的椭圆极化波的电场可表示为 式中取 显然，E 1和E 2分别表示沿+z 方向传播的左旋圆极化波和右旋圆极化波。 7.3 在自由空间中，已知电场3(,)10sin()V/m y z t t z ωβ=-E e ，试求磁场强度 (,)z t H 。 解 以余弦为基准，重新写出已知的电场表示式 这是一个沿+z 方向传播的均匀平面波的电场，其初相角为90? -。与之相伴的磁场为 7.4 均匀平面波的磁场强度H 的振幅为1 A/m 3π，以相位常数30rad/m 在空气中沿z -e 方向传播。当t=0和z=0时，若H 的取向为y -e ，试写出E 和H 的表示式，并求出波的频率和波长。 解 以余弦为基准，按题意先写出磁场表示式 与之相伴的电场为 由rad/m β=30得波长λ和频率f 分别为 则磁场和电场分别为 7.5 一个在空气中沿 y e +方向传播的均匀平面波，其磁场强度的瞬时值表示式为 （1）求β和在3ms t =时， z H =的位置；（2）写出E 的瞬时表示式。 解（1 ） 781π 10πrad /m rad /m 0.105rad /m 31030β==? ==? 在t =3ms 时，欲使H z =0，则要求 若取n =0，解得y =899992.m 。 考虑到波长260m π λβ = =，故 因此，t =3ms 时，H z =0的位置为 （2）电场的瞬时表示式为 7.6 在自由空间中，某一电磁波的波长为0.2m 。当该电磁波进入某理想介质后，波长变为0.09m 。设1r μ=，试求理想介质的相对介电常数r ε以及在该介质中的波速。 解 在自由空间，波的相速 80310m/s p v c ==?，故波的频率为 在理想介质中，波长0.09m λ=，故波的相速为 而 第1章习题解答 1.4 计算下列标量场u 的梯度u ? ： （1）234u x y z =； （2）u xy yz zx =++； （3）222323u x y z =-+。 解：（1） 34224233234x y z x y z u u u u e e e e xy z e x y z e x y z x y z ????=++=++??? （2）()()()x y z x y z u u u u e e e e y z e x z e y x x y z ????=++=+++++??? （3）646x y z x y z u u u u e e e e x e y e z x y z ????=++=-+??? 1.6 设()22,,1f x y z x y y z =++。试求在点()2,1,3A 处f 的方向导数最大的方向的单位矢量及其方向导 数。方向导数最小值是多少？它在什么方向？ 解： ()2222x y z x y z f f f f e e e e xy e x yz e y x y z ????=++=+++??? 因为410x y z x y z A f f f f e e e e e e x y z ????=++=++??? 所以 ( max 410l x y z f e e e e l ?==++? ( min 410l x y z f e e e e l ?==-++? 1.10 求下列矢量场在给定点的散度值： （1）()x y z A xyz e x e y e z =++ 在()1,3,2M 处； （2）242x y z A e x e xy e z =++ 在()1,1,3M 处； （3）())1222x y z A e x e y e z x y z =++++ 在()1,1,1M 处。 解：（1） 222636y x z M A A A A xyz xyz xyz xyz A x y z ?????=++=++=??=??? （2）42212y x z M A A A A x z A x y z ?????= ++=++??=??? （3）y x z A A A A x y z ?????=++ ??? ( )( )( ) 2222 2222 2222 3 3 3 x y z x x y z y x y z z ++-++-++ -= + + = M A ??= 《电磁场与电磁波》试题2 一、填空题（每小题1分，共10分） 1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的介电常数为ε，则电位移矢量D ?和电场E ? 满足的 方程为： 。 2．设线性各向同性的均匀媒质中电位为φ，媒质的介电常数为ε，电荷体密度为V ρ，电位 所满足的方程为 。 3．时变电磁场中，坡印廷矢量的数学表达式为 。 4．在理想导体的表面，电场强度的 分量等于零。 5．表达式()S d r A S ? ????称为矢量场)(r A ? ?穿过闭合曲面S 的 。 6．电磁波从一种媒质入射到理想导体表面时，电磁波将发生 。 7．静电场是保守场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于 。 8．如果两个不等于零的矢量的点积等于零，则此两个矢量必然相互 。 9．对横电磁波而言，在波的传播方向上电场、磁场分量为 。 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是 场，因此，它可用磁矢位函数的旋度来表示。 二、简述题 （每小题5分，共20分） 11．试简述磁通连续性原理，并写出其数学表达式。 12．简述亥姆霍兹定理，并说明其意义。 13．已知麦克斯韦第二方程为S d t B l d E S C ???????-=???，试说明其物理意义，并写出方程的微 分形式。 14．什么是电磁波的极化？极化分为哪三种？ 三、计算题 （每小题10分，共30分） 15．矢量函数 z x e yz e yx A ??2+-=? ，试求 （1）A ? ?? （2）A ? ?? 16．矢量 z x e e A ?2?2-=? ， y x e e B ??-=? ，求 （1）B A ? ?- （2）求出两矢量的夹角 . '. 《电磁场与电磁波》测验试卷﹙一﹚ 一、 填空题（每题8分，共40分） 1、在国际单位制中，电场强度的单位是________；电通量密度的单位是___________；磁场强度的单位是____________；磁感应强度的单位 是___________；真空中介电常数的单位是____________。 2、静电场 →E 和电位Ψ的关系是→E ＝_____________。→ E 的方向是从电位_______处指向电位______处。 3、位移电流与传导电流不同，它与电荷___________无关。只要电场随__________变化，就会有位移电流；而且频率越高，位移电流密度___________。位移电流存在于____________和一切___________中。 4、在两种媒质分界面的两侧，电场→ E 的切向分量E 1t －E 2t ＝________；而磁场 → B 的法向分量B 1n －B 2n ＝_________；电流密度→ J 的法向分 量J 1n －J 2n =___________。 5、沿Z 轴传播的平面电磁波的复数表示式为：_____________________=→ E , ____________________=→ H 。 二、计算题（题，共60分） 1、（15分）在真空中，有一均 匀带电的长度为L 的细杆， 其电荷线密度为τ。 求在其横坐标延长线上距 杆端为d 的一点P 处的电 场强度E P 。 2、（10分）已知某同轴电容器的内导体半径为a ，外导体的内半径为c ， 在a ﹤r ﹤b (b ﹤c)部分填充电容率为ε的电介质，求其单位长度上的电容。 3、（10分）一根长直螺线管，其长度L ＝1.0米，截面积S ＝10厘米2，匝数N 1＝1000匝。在其中段密绕一个匝数N 2＝20匝的短线圈，请计算这两个线圈的互感M 。 4、（10分）某回路由两个半径分别为R 和r 的 半圆形导体与两段直导体组成，其中通有电流I 。 求中心点O 处的磁感应强度→ B 。 5、电场强度为)2106(7.378 Z t COS E Y a ππ+?=→ → 伏／米的电磁波在自由空间传播。问：该波是不是均匀平面波？并请说明 其传播方向。 求：（1）波阻抗； （2）相位常数； （3）波长； （4）相速； （5） → H 的大小和方向； （6）坡印廷矢量。 《电磁场与电磁波》测验试卷﹙二﹚ （一）、问答题（共50分） 1、（10分）请写出时变电磁场麦克斯韦方程组的积分形式和微分形式，并写出其辅助方程。 2、（10分）在两种媒质的交界面上，当自由电荷面密度为ρs 、面电流密度为J s 时，请写出→ →→→H B D ,,,E 的边界条件的矢量表达式。 3、（10分）什么叫TEM 波，TE 波，TM 波，TE 10波？ 4、（10分）什么叫辐射电阻？偶极子天线的辐射电阻与哪些因素有关？ 5、什么是滞后位？请简述其意义。 （二）、计算题（共60分） 1、（10分）在真空里，电偶极子电场中的任意点M （r 、θ、φ）的电位为2 cos 41r P θ πε= Φ （式中，P 为电偶极矩，l q P =） ， 而 → →→?Φ?+?Φ?+?Φ?=Φ000sin 11φφ θθθr r r r 。 试求M 点的电场强度 → E 。 2、（15分）半径为R 的无限长圆柱体均匀带电，电荷 体密度为ρ。请以其轴线为参考电位点， 求该圆柱体内外电位的分布。 3、（10分）一个位于Z 轴上的直线电流I ＝3安培，在其旁 边放置一个矩形导线框，a ＝5米，b ＝8米，h ＝5米。 最初，导线框截面的法线与I 垂直（如图），然后将该 截面旋转900，保持a 、b 不变，让其法线与I 平行。 求：①两种情况下，载流导线与矩形线框的互感系数M 。 ②设线框中有I ′＝4安培的电流，求两者间的互感磁能。 4、（10分）P 为介质（2）中离介质边界极近的一点。 已知电介质外的真空中电场强度为→ 1E ，其方向与 电介质分界面的夹角为θ。在电介质界面无自由电 荷存在。求：①P 点电场强度 → 2E 的大小和方向； ５、（１５分）在半径为Ｒ、电荷体密度为ρ的球形 均匀带电体内部有一个不带电的球形空腔，其半径为ｒ， 两球心的距离为ａ（ｒ<ａ<Ｒ）。介电常数都按ε０计算。 求空腔内的电场强度Ｅ。 《电磁场与电磁波》测验试卷﹙三﹚ 二、 填空题（每题8分，共40分） R O r a x 第7章习题解答 7.6 如题7.6图所示相距为a 的平板金属波导，当/0y ??=时，沿z 方向可传播 TEM 模、TE 模和TM 模。试求：（1）各种模式的场分量；（2）各种模式的传播常数；（3）画出基本模式的场结构及其导体表面的传导电流。 解：(1) 各种模式的场分量 对TEM 模，在均匀波导横截面上的分布规律与同样边界条件下的二维静态场的分布规律是完全一样的。对静电场情况，无限大平板之间的电场强度为均匀电场0E ，则对应的TEM 模中电场为 j t 0e kz x x x E e E e E -== 利用平面波电场与磁场关系，即 j 0t t w 1 e 120π kz z y E H e E e Z -= ?= 对TE 模，0=z E ，而z H 满足的导波方程为 22t c 0z z H k H ?+= 式中2 2 2 c k k γ=+，2 2t 2x ??=?，则上式变成 22c 2 d 0d z z H k H x += 因此波动方程的解为 c c sin cos z H A k x B k x =+ 由0=x 时 0=??x H z 可得到0=A ；由a x =时0=??x H z 可得到c sin 0k x =，即c m k a π= 。因此 πcos z m m x H H a = 式中m H 取决于波源的激励强度。由于波沿着z 方向传播，则j z k γ=，因此 z k ==利用各横向场分量与纵向场分量之间关系可以得到 j 22c c 0 j ππj sin e z x k z z y m E H m m x E H k x k a a ωμωμ-=?==-? j 22c c j j ππsin e 0z k z z z z x m y k H k m m x H H k x k a a H -?=- =?= 对TM 模，0=z H ，而z E 满足的导波方程为 22c 2 d 0d z z E k E x += 因此波动方程的解为 c c sin cos z E A k x B k x =+ 由0=x 时0=z E 可得到0=B ；由a x =时0=z E 可得到c sin 0k x =，即c m k a π=。因此 πsin z m m x E E a = 式中m E 取决于波源的激励强度。利用各横向场分量与纵向场分量之间关系可以得到 第3章习题解答 3.1 对于下列各种电位分布，分别求其对应的电场强度和体电荷密度： (1)()2,,x y z Ax Bx C Φ=++； (2)(),,x y z Axyz Φ=； (3)()2,,sin z A B z Φρ?ρ?ρ=+； (4)()2,,sin cos r Ar Φθ?θ?=。 解：已知空间的电位分布，由E Φ=-?和2 0/Φρε?=-可以分别计算出电场强度和体电荷密度。 (1) ()2x E e Ax B Φ=-?=-+ 0202εερA -=Φ?-= (2) () x y z E A e yz e xz e xy Φ=-?=-++ 020=Φ?-=ερ (3) (2sin )cos z E e A Bz e A e B ρ?Φρ?ρ?ρ??=-?=-+++?? 20004sin sin 3sin Bz Bz A A A ρεΦε??ε?ρρ???? =-?=-+ -=-+ ? ???? ? (4) ()2sin cos cos cos sin r E e Ar e Ar e Ar θ?Φθ?θ??=-?=-+- 200cos 2cos cos 6sin cos sin sin A A A θ??ρεΦεθ?θθ?? =-?=-+ - ?? ? 3.5 如题3.5图所示上下不对称的鼓形封闭曲面，其上均匀分布着密度为0S ρ的面电荷。 试求球心处的电位。 解：上顶面在球心产生的电位为 22001111100 ()()22S S d R d R d ρρ Φεε= +-=- 下顶面在球心产生的电位为 22 002222200 ()()22S S d R d R d ρρΦεε= +-=- 侧面在球心产生的电位为 030 014π4πS S S S R R ρρΦεε= = ? 式中2 12124π2π()2π()2π()S R R R d R R d R d d =----=+。因此球心总电位为 1230 S R ρΦΦΦΦε=++= 3.6有02εε=和05εε=的两种介质分别分布在0z >和0z <的半无限大空间。已知0z >时， 201050x y z E e e e =-+V /m 。试求0z <时的D 。 解：由电场切向分量连续的边界条件可得 1t 2t E E =? 000520510x y z D D εε<=?=-? 代入电场法向方向分量满足的边界条件可得 1n 2n D D =? 050z z D <= 于是有 0001005050x y z z D e e e εε<=-+ 3.9 如题 3.9图所示，有一厚度为2d 的无限大平面层，其中充满了密度为 ()0πcos x x d ρρ=的体电荷。若选择坐标原点为零电位参考点，试求平面层 之内以及平面层以外各区域的电位和电场强度。 《电磁场与电磁波》答案(4) 一、判断题（每题2分，共20分） 说明：请在题右侧的括号中作出标记，正确打√，错误打× 1.在静电场中介质的极化强度完全是由外场的强度决定的。 2.电介质在静电场中发生极化后，在介质的表面必定会出现束缚电荷。 3.两列频率和传播方向相同、振动方向彼此垂直的直线极化波，合成后 的波也必为直线极化波。 4.在所有各向同性的电介质中，静电场的电位满足泊松方程 2ρ ? ε ?=-。 5.在静电场中导体内电场强度总是为零，而在恒定电场中一般导体内的 电场强度不为零，只有理想导体内的电场强度为零。 6.理想媒质和损耗媒质中的均匀平面波都是TEM波。 7.对于静电场问题，保持场域内电荷分布不变而任意改变场域外的电荷 分布，不会导致场域内的电场的改变。 8.位移电流是一种假设，因此它不能象真实电流一样产生磁效应。 9.静电场中所有导体都是等位体，恒定电场中一般导体不是等位体。 10.在恒定磁场中，磁介质的磁化强度总是与磁场强度方向一致。 二、选择题（每题2分，共20分） （请将你选择的标号填入题后的括号中） 1. 判断下列矢量哪一个可能是静电场（ A ）。[×]1 [ √]2 [ ×]3 [ ×]4 [ √]5 [ √]6 [ ×]7 [ ×]8 [ √]9 [ ×]10 A ．369x y z E xe ye ze =++ B ．369x y z E ye ze ze =++ C ．369x y z E ze xe ye =++ D ．369x y z E xye yze zxe =++ 2. 磁感应强度为(32)x y z B axe y z e ze =+-+, 试确定常数a 的值。（ B ） A ．0 B ．-4 C ．-2 D ．-5 3. 均匀平面波电场复振幅分量为(/2) 2-2jkz -2j kz x y E 10e E 510e 、，则 极化方式是（ C ）。 A ．右旋圆极化 B ．左旋圆极化 C ．右旋椭圆极化 D ．左旋椭圆极化 4. 一无限长空心铜圆柱体载有电流I ，内外半径分别为R 1和R 2，另一无限长实心铜圆柱体载有电流I ，半径为R2，则在离轴线相同的距离r （r>R2）处（ A ）。 A ．两种载流导体产生的磁场强度大小相同 B ．空心载流导体产生的磁场强度值较大 C ．实心载流导体产生的磁场强度值较大 5. 在导电媒质中，正弦均匀平面电磁波的电场分量与磁场分量的相位（ B ）。 A ．相等 B ．不相等 C ．相位差必为4π D ．相位差必为2 π 6. 两个给定的导体回路间的互感 ( C ) A ．与导体上所载的电流有关 B ．与空间磁场分布有关 C ．与两导体的相对位置有关 D ．同时选A ，B ，C 7. 当磁感应强度相同时，铁磁物质与非铁磁物质中的磁场能量密度相比（ A ）。 A ．非铁磁物质中的磁场能量密度较大 B ．铁磁物质中的磁场能量密度较大 C ．两者相等 D ．无法判断 8. 一般导电媒质的波阻抗(亦称本征阻抗)c η的值是一个。（ C ） A ．实数 B ．纯虚数 C ．复数 D ．可能为实数也可能为纯虚数 9. 静电场在边界形状完全相同的两个区域上满足相同的边界条件，则两个区域中的场分布（ C ）。 A ．一定相同 B ．一定不相同 C ．不能断定相同或不相同 6.2 自由空间中一均匀平面波的磁场强度为 )cos()(0x wt H a a H z y π-+= m A / 求：（1）波的传播方向；（2）波长和频率；（3）电场强度; （4）瞬时坡印廷矢量。 解：)cos()(0x wt H a a H z y π-+= m A / (1) 波沿+x 方向传播 (2) 由题意得：k=π rad/m ， 波长m k 22==πλ ， 频率Hz c f 8105.1?==λ （3）)cos(120 )(0x wt H a a a H E z y x ππη--=?= m v / （4）)(cos 24020x wt H a H E S x ππ-=?= 2 /m w 6.3无耗媒质的相对介电常数4=r ε，相对磁导率1=r μ，一平面电磁波沿+z 方向传播，其电场强度的表 达式为)106cos(80z t E a E y β-?= 求：（1）电磁波的相速；（2）波阻抗和β；（3）磁场强度的瞬时表达式；（4）平均坡印廷矢量。 解： （1）s m c v r r p /105.11 8?===εμμε （2）)(6000Ω===πεεμμεμηr r ， m r a d c w w r r /4===εμμεβ （3）)4106cos(60180z t E a E a H x z -?-=?=π η m A / （4）π120]Re[2120*E a H E S z av =?= 2/m w 6.4一均匀平面波从海水表面（x=0）沿+x 方向向海水中传播。在x=0处，电场强度为m v t a E y /)10cos(1007π =，若海水的80=r ε，1=r μ，m s /4=γ。 求：（1）衰减常数、相位常数、波阻抗、相位速度、波长、趋肤深度； （2）写出海水中的电场强度表达式； （3）电场强度的振幅衰减到表面值的1%时，波传播的距离； （4）当x=0.8m 时，电场和磁场得表达式； （5）如果电磁波的频率变为f=50kHz ，重复（3）的计算。比较两个结果会得到什么结论？ 解： （1） 《电磁场与电磁波》试题1 一、填空题（每小题1分，共10分） 1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的导磁率为μ，则磁感应强度B ?和磁场H ? 满足的方程 为： 。 2．设线性各向同性的均匀媒质中， 02=?φ称为 方程。 3．时变电磁场中，数学表达式H E S ? ???=称为 。 4．在理想导体的表面， 的切向分量等于零。 5．矢量场 )(r A ??穿过闭合曲面S 的通量的表达式为： 。 6．电磁波从一种媒质入射到理想 表面时，电磁波将发生全反射。 7．静电场是无旋场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于 。 8．如果两个不等于零的矢量的 等于零，则此两个矢量必然相互垂直。 9．对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的传播方向三者符合 关系。 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用 函数的旋度来表 示。 二、简述题 （每小题5分，共20分） 11．已知麦克斯韦第二方程为 t B E ??- =????，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 12．试简述唯一性定理，并说明其意义。 13．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。 14．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？ 三、计算题 （每小题10分，共30分） 15．按要求完成下列题目 （1）判断矢量函数 y x e xz e y B ??2+-=? 是否是某区域的磁通量密度？ （2）如果是，求相应的电流分布。 16．矢量 z y x e e e A ?3??2-+=? ， z y x e e e B ??3?5--=? ，求 （1）B A ? ?+ （2）B A ??? 17．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为 ()jkz y x e E e E e E --=004?3?? （1） 试写出其时间表达式； （2） 说明电磁波的传播方向； 四、应用题 （每小题10分，共30分） 18．均匀带电导体球，半径为a ，带电量为Q 。试求 （1） 球内任一点的电场强度 （2） 球外任一点的电位移矢量。 19．设无限长直导线与矩形回路共面，（如图1所示）， （1）判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向（在图中标出）； （2）设矩形回路的法向为穿出纸面，求通过矩形回路中的磁通量。(完整版)电磁场与电磁波答案(第四版)谢处方
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