第七讲 环形跑道问题
一、行程问题三要素
环形跑道问题属于行程问题的一类。对于行程问题，同学们一定要马上反应出路程（S）、速度(V)、时间(t)三个要素之间的关系——
S=V·t
V=S÷t t=S÷V ……公式变形
即，在行程问题中，只有知道S、V、t中的其中两个要素，一定能求出第三个！
二、行程问题基本型
1、相遇问题
关键词：同时、反向
公式： S和 = V和 ·t遇
2、追及问题
关键词：同时、同向
公式： S差 = V差 ·t追
注：我们判断是相遇还是追及主要就是看方向，但要注意的是不管是相遇还是追及，其过程一定是二人同时进行的，所以抓住“同时”也很重要。当题目中不是同时发生的，要学会如何转化为“同时”。
三、环形跑道问题
环形跑道问题不过是把“行程”的过程搬到了环形跑道上进行，它仍然符合行程问题的公式。但要注意S与跑道有关系。
做题时，我们要注意
1、确定方向：
（1）反向即为相遇问题，就有S和 = V和 ·t遇
（2）同向即为追及问题，就有S差 = V差 ·t追
2、确定起始点
（1）同地：周期现象
反向（相遇）， 第1次相遇，共合跑1圈
第2次相遇，共合跑2圈
……
第n次相遇，共合跑n圈
同向（追及）， 第1次追上，共多跑1圈
第2次追上，共多跑2圈
……
第n次追上，共多跑n圈
（2）异地：第1次特殊，从第2次开始即为周期现象
四、例题解析
课前回顾 小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步，小王的速度是200米/分，（1）小张和小王同时从同一地点出发反向跑步，1分钟后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？（2）小张和小王同时从同一地点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？
解析：（1）同时同地反向，是相遇问题。
S和 = V和 ·t遇
500米 1分钟
第一次相遇，即合跑一圈，即合跑500米，S和、t遇都知道，
那么就可求速度和，得500÷1=500（米/分）
小张的速度： 500-200=300（米/分）
（2）同时同地同向，是追及问题。
S差 = V差 ·t追
500米 300-200
第一次追上，即小张比小王多跑一圈，即S差是500米，速度差也可算出来，
那么可求追及时间：500÷（300-200）=5（分）
小张共跑了多少米：300×5=1500（米）
小张跑了多少圈：1500÷500=3（圈）
例1 在300米的环形跑道上，田奇和王强同学同时同地起跑，如果同向而跑2分30秒相遇，如果背向而跑则半分钟相遇，求两人的速度各是多少？
解析： 同时同地同向——追及问题，S差 = V差 ·t追
300米 2分30秒
同时同地反向——相遇问题。S和 = V和 ·t遇
300米 半分钟
根据分析，根据追及过程可求出速度差，根据相遇过程可求出速度和，接着再用和差问题即可求出两人的速度了。只是注意单位要统一，时间单位我们统一为秒。
速度差：300÷150=2（米/秒）
速度和：300÷30=10（米/秒）
快的速度：（10+2）÷2=6（米/秒）
慢的速度：（10-2）÷2=4（米/秒） 或 6-2=4（米/秒）
例2 巍巍、铮铮两人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行。这条公路长2400米，巍巍骑一圈需要10分钟，如果第一次相遇时巍巍骑了1440米。
请问：（1）巍巍的速度是多少米/分？
（2）从出发到第一次相遇用时多少分钟？
（3）铮铮骑一圈需要多少分钟？
（4）再过多久他们第二次相遇？
解析：我们做行程问题要敏感，任何一个行程过程，只要知道三要素的两个，一定要反应出马上能求出第三个。
（1）“公路长2400米，巍巍骑一圈需要10分钟”，可知巍巍的速度：2400÷10=240（米/分）（2）“第一次相遇时巍巍骑了1440米”，那么可知巍巍用时1440÷240=6（分），这个也是他
B
A
们第一次相遇时共同的用时。
（3）根据第一次相遇 S 和 = V 和 ·t 遇
2400米 6分钟
可求出速度和：2400÷6=400（米/分）
铮铮的速度：400-240=160（米/分）
铮铮骑一圈用时：2400÷160=15（分）
（4）第一次相遇即合骑一圈，用了6分钟，第二次相遇即再合骑一圈，还是要用6分钟。
（尖子）学案2 黑白两只小猫在周长为300米的湖边赛跑，黑猫速度为每秒5米，白猫的速度为每秒7米，若两只小猫同时从同一地点出发，背向而行
（1）多少秒后两只小猫第一次相遇？
（2）如果它们继续不停跑下去，2分钟内一共相遇多少次？
解析： 同时同地背向——相遇问题 S 和 = V 和 ·t 遇
（1）第一次相遇 300米 5+7
可求出相遇时间：300÷（5+7）=25（秒）
（2）同地出发，每次相遇就是一种周期现象
2×60=120（秒）
120÷25=4（次）……20（秒）
说明2分钟内共相遇4次。（还多跑了20秒，但这20秒还没有相遇）
练 在周长为220米的圆形跑道的一条直径的两端，涛涛、昊昊二人骑
自行车分别以6米/秒和5米/秒的速度同时、相向出发（即一个顺时针，
一个逆时针），沿跑道行驶，则210秒内涛涛昊昊相遇几次？ 解析：同时相向，肯定是相遇问题，但是起始地不是同地，所以要注意
第一次很特殊。
S 和 = V 和 ·t 遇
第一次相遇 110米 6+5 相遇时间：110÷（5+6）=10（秒）
以后的每次相遇 220 6+5 相遇时间：220÷（5+6）=20（秒） 第一次相遇后又相遇：（210-10）÷20=10（次）
共相遇： 10+1=11（次）
例3 昊昊和涛涛在操场上比赛跑步，昊昊每分钟跑250米，涛涛每分钟跑210米，一圈跑道长800米，他们同时从起跑点出发，那么昊昊第一次超过涛涛需要多少分钟？昊昊第二次超过涛涛需要多少分钟？昊昊第三次超过涛涛需要多少分钟？有什么规律呢？
解析： 同时、同地、同向——追及问题
S 差 = V 差 ·t 追
第一次超过 800米 250-210 追及时间：800÷（250-210）=20（分） 第二次超过 2×800米 250-210 追及时间：2×800÷（250-210）=40（分） 第三次超过 3×800米 250-210 追及时间：3×800÷（250-210）=60（分） 规律：每超过一次就是多跑一圈，每次的单次追及时间都是一样的，都是20分钟。
例4 甲乙二人在操场的400米跑道上练习竞走，两人同时出发，出发时甲在乙后面，出发后6分钟甲第一次超过乙，22分钟后甲第二次超过乙，假设两人速度保持不变，出发时，甲在乙后面多少米？
解析：同时同向 ——追及问题
S 差 = V 差 ·t 追
第一次 6分 暂时只知道时间，无法求其他要素，
那就先看其他过程
第二次 400米 22-6 可以求出速度差
注意第一次超过后，单看第二次的过程。从第一次超过到第二次超过，甲比乙多走了1圈，用时22-6=16（分钟）
速度差：400÷16=25（米/分）
针对第一次的过程，可知原来甲与乙相差路程：25×6=150（米）
例5 巍巍、铮铮两人在400米的环形跑道上跑步，巍巍以300米/分钟的速度从起点跑出，1分钟后，铮铮从起点同向跑出，又过了5分钟，巍巍追上铮铮。请问：铮铮每分钟跑多少米？
如果他们的速度保持不变，巍巍需要再过多少分钟才能第二次追上铮铮？
解析： 注意两人不是同时开始，那么我们一定要转化到“同时”的时候。
巍巍先跑1分钟，他已经跑了300米，这时他和铮铮“同时”跑，
5分钟后巍巍追上铮铮！那么我们知道是巍巍跑得快，他们第一次
的路程差是400-300=100（米）
根据 S 差 = V 差 ·t 追
100米 5分
速度差：100÷5=20（米/分）
铮铮的速度：300-20=280（米/分）
从第一次追上到第二次追上，巍巍比铮铮还要多跑一圈。
S 差 = V 差 ·t 追
400米 20
追及时间：400÷20=20（分）
例6 如图，A、B 是圆的直径的两端，小张在A 点，小王在B 点同时 出发反向行走，他们在C 点第一次相遇，C 离A 点80米；在D 点第
二次相遇，D 点离B 点60米，求这个圆的周长？ 解析： 首先判断，这是相遇问题
S 和 = V 和 ·t 遇
第一次相遇 合走半圈 假设用1份时间 第二次相遇 又合走一圈 用2份时间
合计 共合走一圈半 共用3份时间
第一次相遇时，小张从A 走到C，走了80米（即他在1份时间里走80米），那么到第二次相遇时，从A 到D（共用了3份时间），他一共走了80×3=240（米）。
半圈：240-60=180(米)，
圆的周长：180×2=360（米）
注：通过这个题，我们要掌握“倍比”的思想。
即 S = V ·t
速度不变时，（1）时间增倍，那么所走的路程一定也增倍。
（2）路程增倍，所花的时间一定也增倍。
铮铮
巍巍
A B
学而思小学奥数知识点梳理 学而思教材编写组 前言 小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出 现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主 编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共 五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充 相应杂题），原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。 概述 ⑵ 一般而言： ① 加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式； ② 乘除运算中，统一以分数形式。 ⑶带分数与假分数的互化 ⑷繁分数的化简 2． 简便计算 ⑴凑整思想 ⑵基准数思想 ⑶裂项与拆分 ⑷提取公因数 ⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序 ① 运算定律的综合运用 ② 连减的性质 ③ 连除的性质 ④ 同级运算移项的性质 ⑤ 增减括号的性质 ⑥ 变式提取公因数 形如 ： 3． 估算 求某式的整数部分：扩缩法 4． 比较大小 ① 通分 a. 通分母 b. 通分子 ② 跟“中介”比 ③ 利用倒数性质 若， 则 c>b>a. 。形如： 5． 定义新运算 6． 特殊数列求和 运用相关公式： ，则 。 一、 计 算 四则混合运算繁分数 运算顺序 分数、小数混合运 算技巧 1． ⑴
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 1+2+3+4???( n-1 ) +n+ ( n-1 ) +-4+3+2+1=n 5． 一般地，如果a 是整数，b 是整数(b 工0),那么一定有另外两个整数 q 和r , Ow r < b,使得a=bx q+r 当 r=0 时，我们称 a 能被 b 整除。 当r 工0时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以b 的余数，q 为a 除以b 的不完全商(亦简称为商)。 用带余数除式又可以表示为 a * b=q ... r, 0 w r < b a=b x q+r 6. 唯一分解定理 任何一个大于 1 的自然数 n 都可以写成质数的连乘积，即 n= p1 x p2 x ... x pk 7. 约数个数与约数和定理 设自然数n 的质因子分解式如 n= p1 x p2 x ... x pk 那么： n 的约数个数： d(n)=(a1+1)(a2+1) . (ak+1) n 的所有约数和：(1+P1+P1 + …p1 )( 1+P2+P2 + …p2 )???( 1+Pk+Pk + …pk ) 8. 同余定理 ① 同余定义：若两个整数 a ，b 被自然数m 除有相同的余数，那么称 a ，b 对于模m 同余，用式子表 示为 a = b(mod m) ② 若两个数a ，b 除以同一个数c 得到的余数相同，则 a ， b 的差一定能被 c 整除。 ③ 两数的和除以 m 的余数等于这两个数分别除以 m 的余数和。 二、 数论 1． 奇偶性问题 奇 奇=偶 奇 偶=奇 奇x 偶=偶 偶 偶=偶 偶x 偶=偶 2． 位值原则 形如： =100a+10b+c 3． 数的整除特征： 整除数 特 征 2 末尾是 0、 2、4 、6、8 3 各数位上数字的和是 3的倍数 5 末尾是 0 或 5 9 各数位上数字的和是 9 的倍数 11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和， 4 和 2 5 末两位数是 4(或 25)的倍数 8 和 125 末三位数是 8(或 125)的倍数 7、 11、13 末三位数与前几位数的差是 4． 整除性质 ① 如果 c|a 、 c|b ， 那么 c|(a b) 。 ② 如果 bc|a ，那么 b|a ， c|a 。 ③ 如果 b|a ， c|a 且( b,c ) =1, 那么 11 的倍数 a 整除。 如果 a 个连续自然数中必恰有一个数能被 带余 除法 两者之差是 7(或 11 或 13)的倍数 bc|a 。 c|b,b|a, 那么 c|a.
学而思小学奥数知识点梳理 学而思教材编写组 前言 小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充相应杂题），原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。 概述 一、计算 1．四则混合运算繁分数 ⑴运算顺序 ⑵分数、小数混合运算技巧 一般而言： ①加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式； ②乘除运算中，统一以分数形式。 ⑶带分数与假分数的互化 ⑷繁分数的化简 2．简便计算 ⑴凑整思想 ⑵基准数思想 ⑶裂项与拆分 ⑷提取公因数 ⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序 ①运算定律的综合运用 ②连减的性质 ③连除的性质 ④同级运算移项的性质 ⑤增减括号的性质 ⑥变式提取公因数 形如： 3．估算 求某式的整数部分：扩缩法 4．比较大小 ①通分 a. 通分母 b. 通分子 ②跟“中介”比 ③利用倒数性质 若，则c>b>a.。形如：，则。 5．定义新运算
6．特殊数列求和 运用相关公式： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n 二、数论 1．奇偶性问题 奇奇=偶奇×奇=奇 奇偶=奇奇×偶=偶 偶偶=偶偶×偶=偶 2．位值原则 形如：=100a+10b+c 3．数的整除特征： 整除数特征 2 末尾是0、2、4、6、8 3 各数位上数字的和是3的倍数 5 末尾是0或5 9 各数位上数字的和是9的倍数 11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数 4和25 末两位数是4（或25）的倍数 8和125 末三位数是8（或125）的倍数 7、11、13 末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数 4．整除性质 ①如果c|a、c|b，那么c|(a b)。 ②如果bc|a，那么b|a，c|a。 ③如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。 ④如果c|b,b|a,那么c|a. ⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。 5．带余除法 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数q和r，0?r＜b,使得a=b×q+r 当r=0时，我们称a能被b整除。 当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r, 0?r＜b a=b×q+r 6. 唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即 n= p1 × p2 ×...×pk 7. 约数个数与约数和定理
小学奥数知识点梳理 前言 小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充相应杂题），原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。 概述 一、 计算 1． 四则混合运算繁分数 ⑴ 运算顺序 ⑵ 分数、小数混合运算技巧 一般而言： ① 加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式； ② 乘除运算中，统一以分数形式。 ⑶带分数与假分数的互化 ⑷繁分数的化简 2． 简便计算 ⑴凑整思想 ⑵基准数思想 ⑶裂项与拆分 ⑷提取公因数 ⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序 ① 运算定律的综合运用 ② 连减的性质 ③ 连除的性质 ④ 同级运算移项的性质 ⑤ 增减括号的性质 ⑥ 变式提取公因数 形如：1212......(......)n n a b a b a b a a a b ÷±÷±±÷=±±±÷ 3． 估算 求某式的整数部分：扩缩法 4． 比较大小 ① 通分 a. 通分母
b. 通分子 ② 跟“中介”比 ③ 利用倒数性质 若111a b c >>，则c>b>a.。形如：312123m m m n n n >>，则312123 n n n m m m <<。 5． 定义新运算 6． 特殊数列求和 运用相关公式： ①()2 1321+= ++n n n ②()()612121222++=+++n n n n ③()2 1n a n n n n =+=+ ④()()4121212 22333+=++=+++n n n n ⑤131171001???=?=abc abc abcabc ⑥()()b a b a b a -+=-2 2 ⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n 2 二、 数论 1． 奇偶性问题 奇±奇=偶 奇×奇=奇 奇±偶=奇 奇×偶=偶 偶±偶=偶 偶×偶=偶 2． 位值原则 形如：abc =100a+10b+c 3． 数的整除特征： 整除数 特 征 2 末尾是0、2、4、6、8 3 各数位上数字的和是3的倍数 5 末尾是0或5 9 各数位上数字的和是9的倍数 11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数 4和25 末两位数是4（或25）的倍数 8和125 末三位数是8（或125）的倍数 7、11、13 末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数
学而思小学奥数知识点梳理 一、计算 1．四则混合运算繁分数 ⑴运算顺序 ⑵分数、小数混合运算技巧 一般而言： ①加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式； ②乘除运算中，统一以分数形式。 ⑶带分数与假分数的互化 ⑷繁分数的化简 2．简便计算 ⑴凑整思想 ⑵基准数思想 ⑶裂项与拆分 ⑷提取公因数 ⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序 ①运算定律的综合运用 ②连减的性质 ③连除的性质 ④同级运算移项的性质
⑤ 增减括号的性质 ⑥ 变式提取公因数 形如：1212......(......)n n a b a b a b a a a b ÷±÷±±÷=±±±÷ 3． 估算 求某式的整数部分：扩缩法 4． 比较大小 ① 通分 a. 通分母 b. 通分子 ② 跟“中介”比 ③ 利用倒数性质 若 111 a b c >>， 则c>b>a.。形如：3 12123 m m m n n n > >，则 3 12123 n n n m m m <<。 5． 定义新运算 6． 特殊数列求和 运用相关公式： ①()2 1321+=++n n n ② ()()6 12121222++= +++n n n n ③()21n a n n n n =+=+ ④() ()4 121212 22 333+= ++=+++n n n n ⑤131171001???=?=abc abc abcabc ⑥()()b a b a b a -+=-22
⑦1+2+3+4…（1）（1）+…4+3+2+12 二、数论 1．奇偶性问题 奇±奇=偶奇×奇=奇 奇±偶=奇奇×偶=偶 偶±偶=偶偶×偶=偶2．位值原则 形如：abc=10010 3．数的整除特征：
第一讲 孙行者有几个名字 一、 枚举法 有序思考 目标：不重复，不漏掉 二、 排列（有顺序 ） 1、 类型：名字、卡片、位置 魏雅楠老师 2、 方法：先固定开头，后交替位置 三、 组合（无顺序） 1、 类型：握手、击掌、打电话、搭配 2、 方法：连线法
【例1】布莱克、树桩、简乐、石磊磊合照留念，树桩只能在从左往右的第二个位置，他们一共有多少种不同的排法呢？ 解析：首先四个人肯定有四个位置，先把四个位置写上。看到树桩只能站在②号位置，给它一个特殊的符号，比如▲，布莱克用A 表示，简乐用B 来表示，石磊磊用C 来表示。先确定树桩在②，接下来有序思考，先让A 站在一号位，两种；B 站在①号位，两种；C 站在①号位，两种。一共六种。具体如下： ① ② ③ ④ A ▲ B C A ▲ C B B ▲ A C B ▲ C A C ▲ A B C ▲ B A 2+2+2=6（种） 答：一共有6种不同的站法。 【例3】四只猴子互相击掌庆祝胜利，想一想如果每两只猴子击一次掌（不能重复计数），他们一共需要几次击掌？
解析：首先给四只猴子起个名字，A 、B 、C 、D ，第一个猴子A 先开始，分别找B 、C 、D 击掌；然后第二个猴子B ，已经跟A 击过掌了，那就不用再回去击掌了，只要往后面继续就行，所以找C 、D ；接下来是C ，还是只要往后继续，所以只有找D ，如下图： A B C D 3+2+1=6(次) 【例 5】用下面的服装搭配一下，可以有几种不同的穿法？ 解析：首先上衣穿一件，下装穿一件，两两搭配，由于思考，先看第一件上衣可以搭配几种，连线连出来，再看第二件上衣，同样连线，如下图： 答：可以有6种不同的搭配。 、
第七讲 时间爷爷的胡子去哪了 一、 认识钟表 1、 12个数：1~12 2、 格子：12个大格子，60个小格子 3、 指针：秒针 →数小格子 分针 →数小格子 时针 →数大格子 二、 时间换算 1分=60秒 1时=60分 三、 认识时间 四、 时间的计算 1、 时和时，分和分 2、 求具体时刻
再过几分钟，做“+” 几分钟前，做“-” 3、 求某个时间段 经过的时间等于结束-开始 注：变成24小时制 五、 镜子里的时间 上下不变，左右改变。 1.按要求填写下面的时刻。 解析：
（1）第一辆车发车时间是7时4分，再过6分钟，用加法，第二辆车发车时间是7时4分+6分=7时10分，再过6分，用加法，第三辆车发 车时间是7时10分+6分=7时16分。 （2）第二辆车发车时间是8时，第一辆车在第二辆车8分钟前发出，用减法，分钟是0不够减，所以可以找小时兄弟借过来1小时，将1小时 变成60分，8时变成了7时60分。第一辆车的发车时间是7时60 分-8分=7时52分。第三辆车在第二辆车后面发出，也就是8分钟后， 用加法，第三辆车发车时间是8时+8分=8时8分。 （3）第三辆车发车时间是11时25分，第二辆车在第一辆车15分钟前发出，用减法，第二辆车的发车时间是11时25分-15分=11时10分， 第1辆车在第二辆车15分钟前发出，用减法，我们发现分钟不够减， 怎么办？那咱们就想办法借一借，从哪借？看到小时兄弟时间挺多的， 就找他借过来1小时，将1小时变成60分，将1小时变成60分，第 一辆车发车时间是10时70分-15分=10时55分。 2. 下面钟表上所表示的是什么时刻？用电子计时法表示出来。 解析：首先我们先知道那个是分针，哪个是时针，又矮又胖身材不好的是时针，又瘦又高身材最好的是分针。读时间其实就是数格子，那么分针和时针都是怎么
小学四年级数学知识点归纳 四年级上册 知识点概括总结 1.大数的认识: (1)亿以内的数的认识: 十万:10个一万; 一百万:10个十万; 一千万:10个一百万; 一亿:10个一千万; 2.数级:数级是为便于人们记读阿拉伯数的一种识读方法,在位值制(数位顺序)的基础上,以三位或四位分级的原则,把数读,写出来。通常在阿拉伯数的书写上,以小数点或者空格作为各个数级的标识,从右向左把数分开。 3.数级分类 (1)四位分级法 即以四位数为一个数级的分级方法。我国读数的习惯,就是按这种方法读的。如:万(数字后面4个0)、亿(数字后面8个0)、兆(数字后面12个0,这是中法计数)……。这些级分别叫做个级,万级,亿级……。 (2)三位分级法
即以三位数为一个数级的分级方法。这西方的分级方法,这种分级方法也是国际通行的分级方法。如:千,数字后面3个0、百万,数字后面6个0、十亿,数字后面9个0……。 4.数位:数位是指写数时,把数字并列排成横列,一个数字占有一个位置,这些位置,都叫做数位。从右端算起,第一位是“个位”,第二位是“十位”,第三位是“百位”,第四位是 “千位”,第五位是“万位”,等等。这就说明计数单位和数位的概念是不同的。 5.数的产生:阿拉伯数字的由来:古代印度人创造了阿拉伯数字后,大约到了公元7世纪的时候,这些数字传到了阿拉伯地区。到13世纪时,意大利数学家斐波那契写出了《算盘书》,在这本书里,他对阿拉伯数字做了详细的介绍。后来,这些数字又从阿拉伯地区传到了欧洲,欧洲人只知道这些数字是从阿拉伯地区传入的,所以便把这些数字叫做阿拉伯数字。以后,这些数字又从欧洲传到世界各国。 阿拉伯数字传入我国,大约是13到14世纪。由于我国古代有一种数字叫“筹码”,写起来比较方便,所以阿拉伯数字当时在我国没有得到及时的推广运用。本世纪初,随着我国对外国数学成就的吸收和引进,阿拉伯数字在我国才开始慢慢使用,阿拉伯数字在我国推广使用才有100多年的历史。阿拉伯数字现在已成为人们学习、生活和交往中最常用的数字了。 6.自然数:用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码 0,1,2,3,4,……所表示的数。表示物体个数的数叫自然数,自然数由0开始(包括0),一个接一个,组成一个无穷的集体。 7.计算工具:算盘、计算器、计算机。
学而思小学奥数知识点梳理 一、计算 (4) 1、四则混合运算繁分数 (4) 2、简便计算 (4) 3、估算 (5) 4、比较大小 (5) 5、定义新运算 (6) 6、特殊数列求和 (6) 7、大数计算： (6) 9、重复数字：324324324324=324×1001001001 (6) 10、头同尾和十 (6) 11、452=2025 (6) 12、7×11×13 = 1001 (6) 37×3 = 111 (6) 13、7的秘密： (6) 14、位值原理： (7) 二、数论 (7) 1、奇偶性问题 (7) 2、位值原则 (7) 3、数的整除特征： (7) 4、整除性质 (7) 5、带余除法= (7)
7、约数个数与约数和定理 (8) 8、两数的约数也是两数差的约数； (8) 9、同余定理 (8) 10．弃九法 (8) 11．完全平方数性质 (8) 12．孙子定理（中国剩余定理）见下 (8) 13．余数应用 (8) 14．辗转相除法---根本在于辗转相减 (9) 15. 质数 (9) 16．求最大公因数，最小共倍数 (9) 17．数论解题的常用方法 (9) 三、几何图形 (12) 1、平面图形 (12) 2、立体图形：长方体、正方体 (14) 3、周长 (15) 4、图形计数： (15) 5、图形分割和拼接 (15) 6、一些特殊图形 (15) 7、勾股定理 (15) 8．曲线形图形 (16) 9、一些特殊的图形： (16) 四、典型应用题 (17)
2．方阵问题 (17) 3．列车过桥问题 (18) 4．年龄问题 (18) 5．鸡兔同笼 (18) 6．牛吃草问题 (18) 7．平均数问题 (18) 8．盈亏问题 (18) 9．和差问题 (18) 10．和倍问题 (18) 11．差倍问题 (18) 12．逆推问题 (18) 13．代换问题 (19) 五、行程问题 (19) 1．相遇问题 (19) 2．追及问题 (19) 3．流水行船 (19) 4．多次相遇 (19) 5．环形跑道 (19) 6．行程问题中正反比例关系的应用 (19) 7．钟面上的相遇与追及问题。 (20) 8．结合分数、工程、和差问题的一些类型。 (20) 9．行程问题时常运用“时光倒流”和“假定看成”的思考方法。 (20)
学而思小学奥数知识点梳理 前言 小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充相应杂题），原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。 概述 计算 四则混合运算繁分数 运算顺序 分数、小数混合运算技巧 一般而言： 加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式； 乘除运算中，统一以分数形式。 ⑶带分数与假分数的互化 ⑷繁分数的化简 简便计算 ⑴凑整思想 ⑵基准数思想 ⑶裂项与拆分 ⑷提取公因数
⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序 运算定律的综合运用 连减的性质 连除的性质 同级运算移项的性质 增减括号的性质 变式提取公因数 形如：1212......(......)n n a b a b a b a a a b ÷±÷±±÷=±±±÷ 估算 求某式的整数部分：扩缩法 比较大小 通分 通分母 通分子 跟“中介”比 利用倒数性质 若111a b c >>，则c>b>a.。形如：3121 23m m m n n n >>，则312123n n n m m m <<。 定义新运算 特殊数列求和 运用相关公式： ① () 21321+=++n n n
② ()() 6 1 2 1 2 12 2 2 + + = + + + n n n n ③()2 1 n a n n n n =+=+ ④ ()() 4 1 2 1 2 1 2 2 2 3 3 3 + = + + = + + + n n n n ⑤13 11 7 1001? ? ? = ? =abc abc abcabc ⑥()()b a b a b a- + = -2 2 ⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n2 数论 奇偶性问题 奇±奇=偶奇×奇=奇 奇±偶=奇奇×偶=偶 偶±偶=偶偶×偶=偶 位值原则 形如：abc=100a+10b+c 数的整除特征： 整除数特征 2 末尾是0、2、4、6、8 3 各数位上数字的和是3的倍数 5 末尾是0或5 9 各数位上数字的和是9的倍数 11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数4和25 末两位数是4（或25）的倍数 8和125 末三位数是8（或125）的倍数
推荐10本小学奥数参考书 推荐一些同步的参考书教材，大家根据自己的年级买对应的书即可 1、《华数奥赛教材》 出版社：吉林出版集团 主编：毛文凤，单墫等 华数奥赛教材.png 简介：一本有着较长历史的书，可以作为同步学习的资料。作者毛文凤、单墫等都是我国着名的数学竞赛教练，同时编书很严谨。书正如其标题所示，是一本针对华杯赛的教材。华杯赛作为目前全国范围内比较正规、权威的赛事，其知识点覆盖面很全，同时对初中学习也有很强的指导作用。书中例题多采用华杯赛中的真题、改编题，可以帮助构建整个小学数学竞赛的知识框架。 优点：同时解决知识框架和华赛备考 缺点：书中欠缺知识点总结 适合学员：五年级、六年级有较好基础的同学可以使用 难度： 2、《小学奥数举一反三》 出版社：陕西人民教育出版社 主编：蒋顺，李济元 小学奥数举一反三.png 简介：也是分年级的一本书，难度相对来说较为简单，无论是大人还是小孩子都能看明白。孩子如果未接触过数学竞赛，可以用来作为初步自学的书籍。本书氛围A版和B版，A版是教材，有知识点讲解和例题；B版是同步练习册，用于课后巩固。 优点：入门必备，编排板式不错，有单独练习册 缺点：难度、深度均不足 适合学员：1-3年级推荐使用此书进行初步学习，4-6年级如果刚刚接触数学竞赛可以用此书作为初步学习的教材。 难度： 3、《明心数学资优教程》 出版社：湖北教育出版社 主编：刘嘉 明星数学资优教程.png 简介：这是武汉的刘嘉老师编写的一本教材，内容非常详细，每个知识点的介绍都有很多的背景介绍，不仅传授方法和知识，也会培养孩子对于数学历史的了解。整本书的结构非常不错，对于所涵盖的专题的讲解非常细致。 优点：对于单个知识点挖掘得很深，同时有很多背景知识介绍，丰富孩子的见闻 缺点：可能这套丛书只是部分完成，很多重要专题没有涉及，另外部分题目的解题方法已经较为落后 适合学员：对数学有较强兴趣，同时有一定数学竞赛基础的同学，此书只有4—6年级 难度：
学而思小学奥数知识点梳理 前言 小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、 1． 估算 求某式的整数部分：扩缩法 2． 比较大小 ① 通分 a. 通分母 b. 通分子 ② 跟“中介”比 ③ 利用倒数性质 若111a b c >>，则c>b>a.。形如：312123m m m n n n >>，则312123n n n m m m <<。 3． 定义新运算 4． 特殊数列求和 运用相关公式： ①()2 1321+= ++n n n ②()()612121222++=+++n n n n ③()2 1n a n n n n =+=+ ④()()4121212 22333+=++=+++n n n n ⑤131171001???=?=abc abc abcabc ⑥()()b a b a b a -+=-2 2 ⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n 2 一、 数论 1． 奇偶性问题 奇±奇=偶 奇×奇=奇 奇±偶=奇 奇×偶=偶
偶±偶=偶偶×偶=偶 2．位值原则 形如：abc=100a+10b+c 4．整除性质 ①如果c|a、c|b，那么c|(a±b)。 ②如果bc|a，那么b|a，c|a。 ③如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。 ④如果c|b,b|a,那么c|a. ⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。 5．带余除法 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b,使得a=b×q+r 当r=0时，我们称a能被b整除。 当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r, 0≤r＜b a=b×q+r 6. 唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即 n= p11a× p22a×...×p k ak 7.约数个数与约数和定理 设自然数n的质因子分解式如n= p11a× p22a×...×p k ak那么： n的约数个数：d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1) n的所有约数和：（1+P1+P12+…p11a）（1+P2+P22+…p22a）…（1+Pk+Pk2+…pk ak） 8.同余定理 ①同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模 m同余，用式子表示为a≡b(mod m) ②若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除。 ③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。 ④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。 ⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。 9．完全平方数性质
三春十五讲知识点总结 第一讲巧填算符 1.注意读题，分清数字之间和适当位置的区别。 2.方法：倒推法（从后向前一步一步推） 凑数法（可合并数的问题先凑个和结果相近的数） 分组固定搭配（能够出1或0的重点考虑） 和差法（全加减法，假设全是＋，再换成－） 3.括号位置影响结果，剧烈变化多考虑乘除，其次加减。 4.二十四点多利用固定搭配考虑，如3×8,4×6,2×12,18+6,16+8等。 第二讲有余数除法 1.重要特征，余数重要考察点：除数＞余数 2.余数性质（除数相同时）：和的余数=余数的和；差的余数=余数的差（除法算式除数相同可以相加减） 注意余数保证比除数小。 第三讲平行四边形与梯形 1.理解高的含义。 2.面积计算：①平行四边形：底×高 ②梯形：（上底+下底）×高÷2 梯形面积已知后倒推其他条件注意灵活运用。 第四讲小数的认识 1.注意数位含义：十分位（几个0.1），百分位（几个0.01），千分位（几个0.001）…… 2.比较大小从左到右按照数位依次比较。 3.小数点的移动：×10，×100……向右移动，0有几个移动几个数位； ÷10，÷100……向左移动，0有几个移动几个数位。 4.加减法：和自然数相同，只需要注意小数点先对齐再算，小数部分缺位补0. 第五讲年龄问题 1.基本特征：你长我也长，年龄差永不变。 2.涉及到的类型：和差倍，变倍，当当型。借助画图，利用年龄差永不变来算。 第六讲简单统计 1.统计图优势：清晰明了，可根据图进行对比。 2.平均数：总和÷个数 3.中位数：大小排序后最中间的数 4.众数：出现次数最多的数据。 5.注意此类问题开放问题多，需要根据题目给出的数据进行合理化分析。 第七讲标数法 1.注意适用题型：最短路线。 2.方法：每个点的方法数等于前一步所有点的方法数之和。 3.步骤：定起点，终点，确定最短路线的方向，从起点开始一步步每个点都标数。 4.注意：必过某点需要把整体分步完成。不过某点可以标0或打X。起点多个时都标1，终点多个时数相加。第八讲图形计数 1.注意分类枚举，结果不重不漏 2.多多借助基本图形的计算法：n+(n-1)+(n-2)+……+1，可以帮助快速正确解题。 第九讲页码问题 1.页码换数字个数：分类计算，一位数一个数字，两位数两个数字，三位数三个数字。 2.数字个数换页码：先确定页码范围，根据临界数字个数（9,189,2889），再分类计算。 3.某数字出现个数：分范围分数位枚举，可利用总结的，1~99的除0外某数字出现次数为20次。 第十讲行程问题 1.知二求一，三要素换算。 2.注意速度单位写法，如千米/小时。
学而思小学奥数知识点总结 前言 小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充相应杂题），原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。 概述 一、 计算 1． 四则混合运算繁分数 ⑴ 运算顺序 ⑵ 分数、小数混合运算技巧 一般而言： ① 加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式； ② 乘除运算中，统一以分数形式。 ⑶带分数与假分数的互化 ⑷繁分数的化简 2． 简便计算 ⑴凑整思想 ⑵基准数思想 ⑶裂项与拆分 ⑷提取公因数 ⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序 ① 运算定律的综合运用 ② 连减的性质 ③ 连除的性质 ④ 同级运算移项的性质 ⑤ 增减括号的性质 ⑥ 变式提取公因数 形如：1212......(......)n n a b a b a b a a a b ÷±÷±±÷=±±±÷ 3． 估算 求某式的整数部分：扩缩法 4． 比较大小 ① 通分
a. 通分母 b. 通分子 ② 跟“中介”比 ③ 利用倒数性质 若111a b c >>，则c>b>a.。形如：312123m m m n n n >>，则312123 n n n m m m <<。 5． 定义新运算 6． 特殊数列求和 运用相关公式： ①()2 1321+= ++n n n ②)()612121222++=+++n n n n ③()21n a n n n n =+=+ ④()()4121212 22333+=++=+++n n n n ⑤131171001???=?=abc abc abcabc ⑥()()b a b a b a -+=-22 ⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n 2 二、 数论 1． 奇偶性问题 奇±奇=偶 奇×奇=奇 奇±偶=奇 奇×偶=偶 偶±偶=偶 偶×偶=偶 2． 位值原则 形如：abc =100a+10b+c
前言 小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充相应杂题），原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。 概述 一、计算 1．四则混合运算繁分数 ⑴运算顺序 ⑵分数、小数混合运算技巧 一般而言： ①加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式； ②乘除运算中，统一以分数形式。 ⑶带分数与假分数的互化 ⑷繁分数的化简 2．简便计算 ⑴凑整思想 ⑵基准数思想 ⑶裂项与拆分 ⑷提取公因数 ⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序 ①运算定律的综合运用 ②连减的性质 ③连除的性质 ④同级运算移项的性质
⑤ 增减括号的性质 ⑥ 变式提取公因数 形如：12 12......(......)n n a b a b a b a a a b ÷±÷±±÷=±±±÷ 3． 估算 求某式的整数部分：扩缩法 4． 比较大小 ① 通分 a. 通分母 b. 通分子 ② 跟“中介”比 ③ 利用倒数性质 若 111 a b c >>，则c>b>a.。形如：3 12123m m m n n n >>，则 3 12123 n n n m m m <<。 5． 定义新运算 6． 特殊数列求和 运用相关公式： ①()2 1321+= ++n n n Λ ② ()()6 12121222++= +++n n n n Λ ③()21n a n n n n =+=+ ④() ()4 12121 2 22 3 3 3 += ++=+++n n n n ΛΛ ⑤131171001???=?=abc abc abcabc ⑥()()b a b a b a -+=-22 ⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n 2