公路工程测量放线
圆曲线、缓和曲线（包括完整缓和曲线、非完整缓和曲线）计算解析
例：某道路桥梁中，A匝道线路。
已知交点桩号及坐标：
SP，K9+000（2957714.490，485768.924）；
JD1，K9+154.745（2957811.298，485889.647）；
EP，K9+408.993（2957786.391，486158.713）。
SP—JD1方位角：51°16′25″；
转角：右44°00′54.06″；
JD1—EP方位角：95°17′20″。
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由上面“A匝道直线、曲线及转角表”得知：
K9+000—K9+116.282处于第一段圆曲线上，半径为385.75m；
K9+116.282—K9+151.282处于第一段缓和曲线上，K9+151.282的半径为300m，缓和曲线要素A1=217.335，Ls1=35m；
K9+151.282—K9+216.134处于第二段圆曲线上，半径为300m；
K9+216.134—K9+251.134处于第二段缓和曲线上，K9+251.134的半径为1979.5，缓和曲线要素A2=111.245，Ls2=35m；
K9+251.134—K9+408.933处于第三段圆曲线上，半径为1979.5m。
求：K9+130、K9+200、K9+230、K9+300的中桩坐标，切线方位角，左5米边桩的坐标，右10米边桩的坐标。
解：
首先，我们知道要求一个未知点的坐标，必须知道起算点坐标，起算点至未知点的方位角，起算点至未知点的直线距离，然后利用坐标正算
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的计算公式，就可以直接求出未知点的坐标。
那么，关于圆曲线和缓和曲线（包括完整缓和曲线和非完整缓和曲线）的计算，我们需要知道如何求出起算点至圆曲线或缓和曲线上某点的方位角和直线距离。
下面，先列出关于圆曲线和缓和曲线中角度和距离计算的相关公式。
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圆曲线：
建立圆曲线直角坐标系，以起点直圆ZY 的切点方向（也是直圆ZY 至交点JD 的方向）作为x 轴，以过直圆ZY 垂直于直圆ZY 切线的方向作为y 轴。过圆曲线上任意点P 的切线与ZY —JD 相交，夹角（切线角）为β，ZY —P 与ZY —JD 的夹角（弦切角）为α，ZY —P 的弧长为L ，ZY —P 的直线距离为d ，圆曲线的半径为R 。那么，
α=
R
L
2（弧度） 【注：这里计算出来的α是弧度，不是以度分秒表示
的角度，转化为角度，需要换算，换算公式为，1（弧度）=
π
180?
（度）】
所以如果以度表示，那么α=
R L
2×π
180?； 弦切角等于切线角的一半，所以β=2α； ZY 到P 的直线距离为：d=2Rsin α；
ZY
JD
O
P
L d α
β
x
y
YZ
.
缓和曲线：
建立缓和曲线直角坐标系，以起点直缓ZH 的切点方向（也是直缓ZH 至交点JD 的方向）作为x 轴，以过直缓ZH 垂直于直缓ZH 切线的方向作为y 轴。过缓和曲线上任意点P 的切线与ZH —JD 相交，夹角（切线角）为β，ZH —P 与ZH —JD 的夹角（弦切角）为α，ZH —P 的弧长为L ， L s 为缓和曲线起点ZH —缓和曲线终点HY 的里程，ZH —P 的直线距离为d ，R 为缓和曲线终点HY 点处的圆曲线半径。那么，
缓和曲线参数：A=s ·L R
； β=s 22RL L 转化为角度为β=s 22RL L ×π
180?
；
当L=L s 时，β=
R L 2s ×π
180?； α=31
β； 在完整的缓和曲线坐标系中，缓和曲线上任一点P 的坐标为（x ，y ），则缓和曲线的参数方程为：
x = L -2s 2540L R L +4
s 49
3456L R L -6s 613599040L R L y =s 36RL L -3
s 37
336L R L +5s 51142240L R L -7s
7159676800L R L 当L=L s 时，则缓和曲线终点HY 点或YH 点 坐标（x 0，y 0）为：
ZH
JD
O
P
L d
αβ
x
y
HY R
x 0= s L -23
s 40R
L +4
5s 3456R L -67s
599040R L y 0=R L 62s -34s 336R L +56s 42240R L -7
8
s
9676800R
L ZH 到P 的直线距离为：d=22y x ；
93
5°17′20″
K 9+000
X =2957714936.391.713
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分析：
首先，从主线示意图上可以看出，这条线路是具有多段圆曲线和非完整缓和曲线组成的线路。在计算时，需要分开推算，圆曲线段用圆曲线的推到公式计算，缓和曲线段用缓和曲线的推到公式计算。
我们需要计算的桩号为K9+130，K9+200，K9+230，K9+300，这四个桩号分别处于第一段缓和曲线，第二段圆曲线，第二段缓和曲线，第三段圆曲线上，需要注意的是，这里的缓和曲线是非完整缓和曲线。【注意：一定要清楚，缓和曲线是从半径为+∞—R 。】 解：
① ，求K9+130的中桩坐标，切线方位角，左5米边桩的坐标，右10米边桩的坐标。
K9+130在第一段非完整缓和曲线上，在第一段圆曲线，我们只需要计算出K9+116.282的中桩坐标和切线方位角。 由于是圆曲线，且已知起止桩号、半径、K9+000—JD 的方位角，K9+000的坐标，所以计算非常简单。 K9+000的坐标为（2957714.490，485768.924），L=116.282，R=385.75，K9+000—JD 的方位角为51°16′25″，
由圆曲线的相关公式推导， α=
R L 2×π
180
=8°38′8.64″ K9+000—K9+116.282的方位角为： F=51°16′25″+α
51°16′25″
K9+116.282
β
α
L d
=59°54′33.64″
K9+000—K9+116.282的距离为：
d=2Rsinα=115.842
K9+116.282的坐标为：
X=2957714.490+d×cosF=2957772.570
Y=485768.924+d×sinF=485869.154
【利用坐标正算公式直接计算即可，这里不在推导。】
K9+116.282的切线方位角为：
=51°16′25″+β
F
切
=51°16′25″+2α
=68°32′42.28″
【注：我们推导下一段缓和曲线的时候，需要用到K9+116.282的坐标和切线方位角。】
在完整缓和曲线的计算中，通常以直线线元与缓和曲线线元衔接点（ZH点）为原点建立平面直角坐标系进行计算，而非完整缓和曲线只是完整缓和曲线中的一段，其与上一线元的衔接点并非是ZH点，而是缓和曲线上的任意一点，也就是说它的起点半径不是∞，而是一个具体的数值，其曲率半径变化时由R1到R2（R1>R2），但是它仍然是回旋线，所以仍具有回旋线的一切特性。要解决非完整缓和曲线的计算问题，可以将其
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一端延伸至曲率半径为∞的ZH 点处，将其转换为相对应的完整缓和曲线，然后通过相应的坐标转换，就可以计算出非完整缓和曲线上任意里程的坐标数据了。如图1所示：
已知第一段缓和曲线要素A1=217.335，起点曲率半径为R1=385.75，终点曲率半径为R2=300，且R1>R 2，非完整缓和曲线长Ls=35m ，将其曲率半径较大的一端O1（K9+116.282）端顺延至曲率半径为∞的O 处，形成完整缓和曲线，就可以完整缓和曲线公式来推导非完整缓和曲线计算公式了。图中：
e
O 至O 1（K9+116.282）缓和曲线长为： L S1= A 2
R 1
=122.448
O 至O 2（K9+151.282）缓和曲线长为： L S2=
A 2R 2
=157.448
O 1至O 2非完整缓和曲线长为：L S = L S2? L S1=35
我们要推算K9+130的中桩坐标，需要先推算出在完整缓和曲线中O 点的坐标和切线方位角。所以需要先算出K9+116.282—O 点方位角和距离d1。
β1=
s22
1s 2RL L ×π
180
=9°5′37.09″ 82
.28″
.
α1=31
β1=3°1′52.36″
K9+116.282—O 点方位角为： F=68°32′42.28″+180°-γ =68°32′42.28″+180°-（β1-α1） =242°28′57.55″
K9+116.282—O 点距离d1为： d1=22y x =122.311
（x ，y 可由缓和曲线的参数方程x = L -2s 2540L R L +4
s 493456L R L -6s 613599040L R L ，y =s 36RL L -3s 37
336L R L +5s 51142240L R L -7s
7159676800L R L 推导出来） 所以:
O 点的坐标为（2957716.060，485760.680）,
O 点的切线方位角为68°32′42.28″-β1=59°27′5.19″；
要计算K9+130的中桩及边桩坐标，需要计算出O 点到K9+130的方位角和距离d2，以及K9+130的切线方位角。
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O 点到K9+130的弧长为L=（9130-9116.282）+122.448=136.166
β2=s22
2RL L ×π
180?=11°14′43.13″
α2=31
β2=3°44′54.38″
O 点到K9+130的方位角为：
F=59°27′5.19″+α2=63°11′59.57″ O 点到K9+130的距离d2为：
d 2=22y x +=135.933（方法同上，此处不再列出计算过程） K9+130的中桩坐标为：（2957777.349，485882.012） K9+130的切线方位角为： F 切=59°27′5.19″+β2 =70°41′48.32″
【推算切线方位角，是为了后面推算边桩方位角做铺垫。】 K9+130左侧5米边桩方位角为： F 左= F 切-90°
82
=70°41′48.32″-90°
=-19°18′11.68″
这里计算出来的边桩方位角为负数，所以我们需要加上360°，所以，F
左
=340°41′48.32″，K9+130左侧5米边桩坐标为：（2957782.068，485880.359）；
K9+130右侧10米边桩方位角为：
F
右= F
切
+90°
=70°41′48.32″+90°=160°41′48.32″
K9+130右侧10米边桩坐标为：（2957767.911，485885.318）
.
.
②，求K9+200的中桩坐标，切线方位角，左5米边桩的坐标，右10米边桩的坐标。
K9+200在第二段圆曲线上，所以我们需要计算出这段圆曲线的起点坐标和切线方位角（也就是第一段非完整缓和曲线终点K9+151.282的坐标和切线方位角。
O 点的切线方位角前面已经得出，为59°27′5.19″， 这里β=
R
L 2s2×π180?=15°2′6.64″，
所以K9+151.282的切线方位角为； F ）切282.1519（+K =59°27′5.19″+β =74°29′11.83″
O 点到K9+151.282的方位角为：64°27′47.4″， O 点到K9+151.282的距离d 为：156.966，
所以K9+151.282的坐标为：（2957783.727，485902.312）。
要计算K9+200的中边桩坐标，需要计算出K9+151.282—K9+200的坐标方位角和距离，K9+200的切线方位角。
1.282
″
.
α=
R L 2×π
180?=4°39′8.01″ K9+151.282—K9+200的坐标方位角为： F=74°29′11.83″+α =79°8′19.84″
K9+151.282—K9+200的距离d 为： d=2Rsin α=48.664
K9+200的中桩坐标为（2957792.897，485950.104）， K9+200的切线方位角为： F ）切2009（+K =74°29′11.83″+β =74°29′11.83″+2α =83°47′27.85″ K9+200的左侧5米边桩方位角为： F 左= F ）切2009（+K -90° =83°47′27.85″-90°
=-6°12′32.15″
值为负数，仍然需要加上360°，所以F左=353°47′27.85″，K9+200的左侧5米坐标为：（2957797.868，485949.563），
K9+200的右侧10米边桩方位角为：
F
右= F
）切
200
9
（
K
+90°
=83°47′27.85″+90°=173°47′27.85″
K9+200的右侧10米坐标为：（2957782.956，485951.186）。
K9+230、K9+300的中桩坐标，切线方位角，左5米边桩的坐标，右10米边桩的坐标均可用上述方法逐一推算出来，这里不在进行重复推导。下面给出相关结果供大家验算。
K9+230的中桩坐标：（2957794.682，485980.041）
K9+230的切线方位角：89°4′32.08″
K9+230的左5米边桩的坐标：（2957799.681，485979.960）
K9+230的右10米边桩的坐标：（2957784.683，485980.202）
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. K9+251.134的中桩坐标：（2957794.656，486001.174）
K9+251.134的切线方位角：90°43′16.43″
K9+300的中桩坐标:（2957793.438，486050.024）
K9+300的切线方位角：92°8′8.29″
K9+300的左5米边桩的坐标：（2957798.435，486050.210）
K9+300的右10米边桩的坐标：（2957783.445，486049.651）
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