2015年浙江省高等职业技术教育招生考试
数学试卷
一、单项选择题(本大题共18小题,每小题2分,共36分)
在每小题列出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的。错涂、多涂或未涂均无分.
1.已知集合M ={}x |x 2
+x +3=0,则下列结论正确的是( ) A .集合M 中共有2个元素 B .集合M 中共有2个相同元素 C .集合M 中共有1个元素 D .集合M 为空集 2.命题甲“a
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充分且必要条件
D .既不充分也不必要条件
3.函数f (x )=
lg (x -2)
x
的定义域是( ) A.[)3,+∞ B.()3,+∞ C.()2,+∞ D.[)2,+∞
4.下列函数在定义域上为单调递减的函数是( ) A .f (x )=(3
2)x B .f (x )=ln x
C .f (x )=2-x
D .f (x )=sin x
5.已知角α=π
4,将其终边绕着端点按顺时针方向旋转2周得到角β,则β=( )
A.9π4
B.17π4
C .-15π4
D .-17π4
6.已知直线x +y -4=0与圆(x -2)2+(y +4)2=17,则直线与圆的位置关系是( )
A .相切
B .相离
C .相交且不过圆心
D .相交且过圆心
7.若β∈(0,π),则方程x 2+y 2sin β=1所表示的曲线是( ) A .圆 B .椭圆
C .双曲线
D .椭圆或圆 8.在下列命题中,真命题的个数是( )
①a ∥α,b ⊥α?a ⊥b ②a ∥α,b ∥α?a ∥b ③a ⊥α,b ⊥α?a ∥b ④a ⊥b ,b ?α?a ⊥α A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 9.若cos(π4-θ)cos(π4+θ)=2
6,则cos2θ=( )
A.
23 B.73 C.76 D.346
10.在等比数列{}a n 中,若a 1+a 2+…+a n =2n -1,则a 21+a 22+…+a 2
n =( )
A .(2n -1)2 B.13()2n
-12
C .4n -1 D.13()4n
-1
11.下列计算结果不正确的....
是( ) A .C 410-C 49=C 39 B .P 1010=P 910
C .0!=1
D .C 58=
P 58
8!
12.直线3x +y +2015=0的倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6
13.二次函数f (x )=ax 2+4x -3的最大值为5,则f (3)=( ) A .2 B .-2 C.92 D .-92
14.已知sin α=3
5,且α∈(π2,π),则tan(α+π4)=( )
A .-7
B .7
C .-17 D.1
7
15.在△ABC 中,若三角之比A ∶B ∶C =1∶1∶4,则sin A ∶sin B ∶sin C =( ) A .1∶1∶4 B .1∶1∶ 3
C .1∶1∶2
D .1∶1∶3
16.已知(x -2)(x +2)+y 2=0,则3xy 的最小值为( ) A .-2 B .2
C .-6 D. -6 2
17.下列各点中与点M (-1,0)关于点H (2,3)中心对称的是( ) A .(0,1) B .(5,6) C .(-1,1) D .(-5,6)
18.焦点在x 轴上,焦距为8的双曲线,其离心率e =2.则双曲线的标准方程为( ) A.x 24-y 212=1 B.x 212-y 2
4=1
C.y 24-x 212=1
D.y 212-x 2
4
=1
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
19.不等式||2x -7>7的解集为________.(用区间表示)
20.若tan α=b
a (a ≠0),则a cos2α+
b sin2α=________.
21.已知AB =(0,-7),则3AB BA =________.
22.当且仅当x ∈________时,三个数4,x -1,9成等比数列.
23.在“剪刀、石头、布”游戏中,两个人分别出“石头”与“剪刀”的概率P =________. 24.二项式(3
x 2+2x
3)12展开式的中间一项为________.
25.体对角线为3cm 的正方体,其体积V =________. 26.如图所示,在所给的直角坐标系中,半径为2,且与两坐标轴相切的圆的标准方程为________.
第26题图
三、解答题(本大题共8小题,共60分)
解答应写出文字说明及演算步骤
27.(本题满分7分)平面内,过点A (-1,n ), B (n ,6)的直线与直线x +2y -1=0垂直,求n 的值.
28.(本题满分7分)已知函数f (x )=?
????x 2-1, x ≥0
3-2x , x <0,求值:
(1)f (-1
2); (2分)
(2)f (2-
0.5); (3分) (3)f (t -1); (2分)
29.(本题满分7分)某班数学课外兴趣小组共有15人,9名男生,6名女生,其中1名为组长,现要选3人参加数学竞赛,分别求出满足下列各条件的不同选法数.
(1)要求组长必须参加;(2分)
(2)要求选出的3人中至少有1名女生;(2分)
(3)要求选出的3人中至少有1名女生和1名男生. (3分)
30.(本题满分9分)根据表中所给的数字填空格,要求每行的数成等差数列,每列的数成等比数列. 求:
(1)a, b, c的值;(3分)
(2)按要求填满其余各空格中的数;(3分)
(3)表格中各数之和.(3分)
第30题图
31.(本题满分6分)已知f (x )=3sin(ax -π)+4cos(ax -3π)+2(a ≠0)的最小正周期为2
3.
(1)求a 的值; (4分) (2)求f (x )的值域. (2分)
32.(本题满分7分)在△ABC 中,若BC =1,∠B =π3,S △ABC =3
2,求角C .
33.(本题满分7分)如图所示,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面AD1C把正方体分成两部分. 求:
(1)直线C1B与平面AD1C所成的角;(2分)
(2)平面C1D与平面AD1C所成二面角的平面角的余弦值;(3分)
(3)两部分中体积大的部分的体积.(2分)
第33题图
34.(本题满分10分)已知抛物线x2=4y,斜率为k的直线L, 过其焦点F且与抛物线相交于点A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)求直线L的一般式方程;(3分)
(2)求△AOB的面积S;(4分)
(3)由(2)判断,当直线斜率k为何值时△AOB的面积S有最大值;当直线斜率k为何值时△AOB 的面积S有最小值.(3分)
第34题图
2015年浙江省高等职业技术教育招生考试
数学试卷参考答案及评分标准
一、单项选择题(本大题共18小题,每小题2分,共36分)
1.【答案】 D 【解析】 x 2+x +3=0,其中Δ=1-4×1×3=-11<0从而方程无解,即集合M 为空集.∴答案选D.
2.【答案】 C 【解析】 一方面,由a
3.【答案】 A 【解析】 由????
?x ≠0,lg (x -2)≥0,x -2>0.
得x ≥3,答案选A.
4.【答案】 C 【解析】 A ,B 为单调递增函数,D 项中sin x 为周期函数.∴答案选C.
5.【答案】 C 【解析】 由题意β=α-2×2π=
π4-4π=-15
4
π,答案选C. 6.【答案】 B 【解析】 圆心到直线的距离d =
||
2-4-412+12
=32>17=半径,∴直线与圆
相离,故选B.
7.【答案】 D 【解析】 ∵β∈(0,π),∴sin β∈(0,1],当sin β=1时,得x 2+y 2=1它表示圆;当sin β≠1时,由sin β>0∴此时它表示的是椭圆.答案选D.
8.【答案】 C 【解析】 ②a ,b 有可能相交,④a 有可能在α内,①③正确.答案选C.
9.【答案】 A 【解析】 ∵cos(π4-θ)cos(π4+θ)=(cos π4cos θ+sin π4sin θ)·(cos π
4cos θ-
sin
π4sin θ)=12cos 2θ-12sin 2θ=12(cos 2θ-sin 2θ)=12cos2θ=26,∴cos2θ=2
3.故答案选A. 10.【答案】 D 【解析】 ∵a 1+a 2+…+a n =a 1(1-q n )1-q
=2n -1,∴q =2,a 1=1,又a 21
+a 22+…+a 2n 是以a 21=1为首项,q 2=4为公比的等比数列,∴a 21+a 22+…+a 2n =13
()4n
-1,故选D. 11.【答案】 D 【解析】
C 58=P 58
P 55=P 5
85!
,∴答案选
D.
12.【答案】 C 【解析】 直线3x +y +2015=0转化为y =-3x -2015,k =tan θ =-3,∴θ=2π
3
.
13.【答案】 C 【解析】 函数f (x )的最大值为4×a ×(-3)-424×a =5,解得a =-1
2,即f (x )
=-12x 2+4x -3∴f (3)=9
2
.答案选C.
14.【答案】 D 【解析】 ∵sin α=35,且α∈(π2,π)∴cos α=-45,tan α=-3
4,tan(α
+π4)=tan α+tan
π
41-tan α·tan
π4=1
7
.答案选D.
15.【答案】 B 【解析】 ∵三角之比A ∶B ∶C =1∶1∶4,且A +B +C =π,∴A =B =π
6,
C =2π
3
.故sin A ∶sin B ∶sin C =1∶1∶ 3.答案选B.
16.【答案】 C 【解析】 ∵4=(x -2)(x +2)+y 2=x 2+y 2≥2||xy ,即2||xy ≤4,3||xy ≤6,得3xy ≤-6或3xy ≥6,故3xy 的最小值为-6,答案选C.
17.【答案】 B 【解析】 设P (x ,y )与点M (-1,0)关于点H (2,3)中心对称,则x -1
2=2,
y +0
2
=3.∴x =5,y =6.答案选B. 18.【答案】 A 【解析】 ∵双曲线的焦距为8,∴c =4,又离心率为e =c
a =2,∴a =2,
即得b 2
=c 2
-a 2
=12,故双曲线的标准方程为x 24-y 2
12
=1,答案选A.
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
19.【答案】 (-∞,0)∪(7,+∞) 【解析】 ∵||2x -7>7∴2x -7>7或2x -7<-7,即x <0或x >7,故解集为(-∞,0)∪(7,+∞)
20.【答案】 a 【解析】 ∵tan α=b a ,∴sin α=b a 2+b 2,cos α=a
a 2+
b 2,代入即可解
得a cos2α+b sin2α=a (cos 2α-sin 2α)+2b sin αcos α=a .
21.【答案】 28 【解析】 ∵BA →=-AB →=(0,7),∴||
AB →-3BA →=||(0,-28)=28.
22.【答案】 {}-5,7 【解析】 ∵三个数4,x -1,9成等比数列,∴有(x -1)2=4×9
=36,解得x =-5或x =7.
23.【答案】
2
9
【解析】 两个人分别出“石头”与“剪刀”有两种可能,且各自出“石头”与“剪刀”的概率为13,P =2×13×13=2
9
.
24.【答案】 26C 612x -
5 【解析】 ∵展开式的中间一项为第7项,∴中间一项为26C 612x -
5
.
25.【答案】 332
cm 3 【解析】 设正方体的边长为a ,∵体对角线为3cm ,∴(2a )2+a 2
=32
,得a =3,∴体积V =33
2
cm 3.
26.【答案】 (x +2)2+(y +2)2=4 【解析】 因为圆与第三象限的x ,y 轴相切,所以圆心为(-2,-2),半径为2,故圆的标准方程为(x +2)2+(y +2)2=4.
三、解答题(本大题共8小题,共60分)
27.【解】因为直线x +2y -1=0的斜率K 1=-1
2(1分)
所以由题意得过点A 、B 的直线斜率为2(2分) 由斜率公式得:2=6-n
n -(-1)(2分)
解得n =4
3
(2分)
28.【解】(1)∵-12<0,f (-12)=3-2×(-1
2)=4(2分)
(2)∵2-0.5
=2-12=12=2
2
>0(1分)
∴f (2
-0.5
)=(2
-0.5
)2-1=2-
1-1=12-1=-12
(2分)
(3)当t -1≥0时,即t ≥1时,f (t -1)=(t -1)2-1=t 2-2t (1分)
当t -1<0时,即t <1时,f (t -1)=3-2(t -1)=5-2t (1分)
29.【解】(1)组长必须参加,只要从剩下的14人中任取2人即可完成事件,选法总数为 C 214
=
14×13
2×1
=91种 (2分) (2)3人中至少有1名女生分为三类选法:1女2男,2女1男,3女0男,选法总数为:
C 16C 29+C 26C 19+C 3
6=216+135+20=371种(2分)
(3)3人中至少有1名女生和1名男生分为2类选法:1女2男,2女1男,选法总数为:C 16C 2
9+C 26C 1
9=216+135=351 种(3分)
30.【解】(1)因为每列的数成等比数列,即 2,1,a 成等比数列,所以a =1
2(1分)
又因为每行的数成等差数列,即可求出第二列第五行的数字为3
2,同理可求出第二列第四行的
数字为34,依次可求得b =5
16
(1分)
c =3
16 (1分)
(2)
(答全对得3分,每行或每列答对得0.5分)
(3)由(1)(2)可得:
第一行各数和为:116+332+18+532+316=2032=5
8,
第二行各数和为:18+316+14+516+38=5
4
,
同样的方法可分别求得第三行各数之和为5
2,第四行各数之和为5,第五行各数之和为10. 所
以各数之和为 10+5+52+54+58=115
8
(3分)
31.【解】(1)f (x )=3sin(ax -π)+4cos(ax -3π)+2
=-3sin ax -4cos ax +2 =5sin(ax +β)+2 (2分)
由题意有2
3=???
?2πa (1分)
解得:a =±3π(1分)
(2)因为sin(ax +β)∈[-1,1](1分)
所以f (x )的值域为:f (x )∈[-3,7](1分)
32.【解】∵ S △ABC =1
2BC ×AB ×sin B ?AB =2(1分)
由余弦定理:AC 2=AB 2+BC 2-2BC ×AB ×cos B (1分)
∴ AC = 3 (1分)
∵BC 2+AC 2=AB 2(1分)
∴△ABC 是直角三角形 (1分) ∴ ∠C =90°(2分)
33.【解】(1)因为直线C 1B ∥AD 1,
且AD 1?平面AD 1C ,推知直线C 1B ∥平面AD 1C (1分) 所以直线C 1B 与平面AD 1C 所成的角为0°(1分)
(2)连接C 1D ,交C 1D 于E, 连接AE, 因为E 是对角线交点,三角形ACD 1是等边三角形,所以DE ⊥CD 1,AE ⊥CD 1,
所以∠AED 是平面C 1D 与平面AD 1C 所成二面角的平面角(1分)
在三角形ADE 中,DE =
22a ,AE =62
a , 所以 cos ∠AED =DE AE =22a
6
2
a =3
3. (2分)
(3)设两部分中体积大的部分体积为V 1, 体积小的部分的体积为V 2, 正方体体积为V ,则有V =a 3
,V 2=VA -D 1DC =a 3
6
(1分)
所以所求部分的体积V 1=V -V 2=a 3
-a 3
6=56
a 3
(1分)
第33题图
34.【解】(1)由题意抛物线x 2=4y 的焦点F (0,1),因为直线L 的斜率为k, 所以直线L 的方程为y -1=kx 化为一般式即为:kx -y +1=0(3分)
(2)联立方程得:?
????x 2=4y ①
kx -y +1=0 ②, 将②代入①得:x 2-4kx -4=0,
x 1+x 2=4k , x 1x 2=-4,
||AB =1+k 2||x 1-x 2=1+k 2(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =1+k 2(4k )2+16=1+k 216k 2+16 =4(1+k 2) (2分)
又因为原点(0,0) 到直线kx -y +1=0的距离为:d =
1
1+k
2(1分) 所以△AOB 的面积S =12d ||AB =12×1
1+k 2×4(1+k 2)=21+k 2(1分) (3)由(2)得x 2-4kx -4=0, Δ=16k 2+16>0, ∴k ∈R (1分) 因为S =21+k 2,所以无论k 取何值,面积S 无最大值(1分) k =0时,S =2为最小值 (1分)