一曲线的参数方程1．参数方程的概念
参数方程的概念
在平面直角坐标系中，曲线上任一点的坐标x，y 都是某个变数t(θ，φ，…)的函数：
t t
①，并且对于每一个t 的允许值，方程组①所确定的点(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫这条曲线的参数方程，t 叫做参数，相对于参数方程而言，直接给出坐标间关系的方程叫普通方程．
2．参数的意义参数是联系变数x，y 的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．
[例1]已知曲线C (1)判断点M 1(0,1)，M 2(5,4)与曲线C 的位置关系．
(2)已知点M 3(6，a)在曲线C 上，求a 的值．
参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是一致的．
1．已知点M(2，-2)在曲线x＝t＋
1
t
，
y＝－2
(t为参数)上，则其对应的参数t的值为________．
2．已知某条曲线C x＝1＋2t，
y＝at2
(其中t为参数，a∈R)．点M(5,4)在该曲线上，求
常数a.
求曲线的参数方程
[例2]如图，△ABP是等腰直角三角形，∠B是直角，腰长为a，顶点B、A分别在x轴、y轴上滑动，求点P在第一象限的轨迹的参数方程．
求曲线参数方程的主要步骤
第一步，画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系．
第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x，y的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．
第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．
3．设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀角速度运动，角速度为π60
rad/s，试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．
[对应学生用书P16]
一、选择题
1．下列方程可以作为x 轴的参数方程是()x＝t 2＋1y＝0x＝0y＝3t＋1x＝1＋sin θy＝0x＝4t＋1
y＝0
2．若点x＝t
2，y＝2t
(t 为参数)上，则a 等于()
A．4B．42C．8D．1x＝sin θ，
y＝cos 2θ(θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为()
A．(2，-7)B．(1
3，2
3)C．(12，1
2)D．(1,0)
4．由方程x 2＋y 2-4tx-2ty＋3t 2-4=0(t 为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为(
)x＝2t y＝t x＝－2t y＝t C.x＝2t y＝－t x＝－2t
y＝－t
二、填空题x＝2sin θ＋1，
y＝sin θ＋3(θ为参数，0≤θ＜2π)．
下列各点A(1,3)，B(2,2)，C(-3,5)，其中在曲线上的点是________．
6．下列各参数方程与方程xy=1表示相同曲线的序号是________．x＝t 2
y＝－t 2x＝sin t y＝csc t x＝cos t
y＝sec t x＝tan t
y＝cot t .
7．动点M 作匀速直线运动，它在x 轴和y 轴方向的分速度分别为9和12，运动开始时，点M 位于A(1,1)，则点M 的参数方程为________________________．
三、解答题
8．已知动圆x 2＋y 2-2axcos θ-2bysin θ=0(a，b 是正常数，且a≠b，θ为参数)，求圆心的轨
迹方程．
9．如图所示，OA 是圆C 的直径，且OA=2a，射线OB 与圆交于Q 点，和经过A 点的切线交于B 点，作PQ⊥OA，PB∥OA，试求点P 的轨迹方程．
10．试确定过M(0,1)作椭圆x 2
＋y 2
4=1的弦的中点的轨迹方程．