b .
10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：
11.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.
(2)顶点式：()k h x a y +-=2
.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(3)交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.
12.直线与抛物线的交点
(1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(c ,0)
(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).
(3)抛物线与x 轴的交点
二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程 02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点?0>??抛物线与x 轴相交；
②有一个交点(顶点在x 轴上)?0=??抛物线与x 轴相切； ③没有交点?0
(4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，
设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.
(5)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组
???++=+=c
bx ax y n
kx y 2
的解的数目来确定： ①方程组有两组不同的解时?l 与G 有两个交点;
②方程组只有一组解时?l 与G 只有一个交点；③方程组无解时?l 与G 没有交点.
(6)抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，
x B x A ，由于1x 、2x 是方程02
=++c bx ax 的两个根，故 a
c
x x a b x x =?-=+2
121, ()()a a ac b a c
a b x x x x x x x x AB ?=
-=-??
? ??-=--=-=-=44422
212
212
2121 13．二次函数与一元二次方程的关系：
(1)一元二次方程c bx ax y ++=2就是二次函数c bx ax y ++=2当函数y 的值为0时的情况．
(2)二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没
有交点；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当0=y 时自变量x 的值，即一元二次方程02=++c bx ax 的根．
(3)当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程c bx ax y ++=2有两个不相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根
14、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1. 关于x 轴对称
2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；
()2
y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =---；
2. 关于y 轴对称
2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；
()2
y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =++；
3. 关于原点对称
2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2
y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =-+-；
4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
2
y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2
2
2b y ax bx c a
=--+-；
()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =--+．
5. 关于点()m n ，
对称 ()2
y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2
22y a x h m n k =-+-+-
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形
式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 15.二次函数的应用：
(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值；
(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；
运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．
15.解决实际问题时的基本思路：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量；(3)用函数表达式表示出它们之间的关系；(4)利用二次函数的有关性质进行求解；(5)检验结果的合理性，对问题加以拓展等．
重难点：
二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程的关系，用二次函数解决实际问题。
考点：
二次函数在中考中占有很重要的地位，是中考中的必考内容。中考的主要命题点为：（1）求二次函数的关系式（2）抛物线的顶点、开口方向和对称轴（3）二次函数的最大（小）值（4）抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）与a,b,c 的符号（5）二次函数与一元二次方程（6）二次函数的简单实际问题等。题型主要有选择题、填空题、解答题，还有探究题和开放题。有关二次函数的热点问题仍然是函数型应用题与方程、几何知识、三角函数等知识综合在一起的综合题、探究题和开放题。
圆的基本性质
知识点：
1.圆的有关概念
（1）圆心、半圆、同心圆、等圆、弦与弧。
（2）直径是经过圆心的弦。是圆中最长的弦。弧是圆的一部分。
2.圆周角与圆心角
（1）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
（2）圆周角与半圆或直径：半圆或直径所对的圆周角是直角；
?90圆周角所对的弦是圆的直径。
（3）圆周角与半圆或等弧：同弧或等弧所对的圆周角相等；
在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
3.圆的对称性
（1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
（2）圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，
那么它们所对应的其他各组量分别相等。
（3）圆的轴对称性：经过圆心都的任意一条直线都是它的对称轴。垂径定理是研究有关圆的知识的基础。垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。还可以概括为：如果有一条直线,1.垂直于弦；2.经过圆心；3.平分弦（非直径）；4.平分弦所对的优弧； 5.平分弦所对的劣弧，同时具备其中任意两个条件，那么就可以得到其他三个结论。
4.弧长及扇形的面积 弧长公式：
圆弧是圆的一部分，若将圆周分为360份，1°的圆心角所对的弧是圆周长的1
360，因为半径为r 的圆周长是2πr ，所以n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式为2360180n n r
l r ππ=?=
（其中，l 为弧长，n 为弧所对的圆心角度数，r 为弧所在圆的半径） 扇形的面积公式：
1·扇形的定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形，如图，?
AB 和半径OA 、OB 所组成的图形是一个扇形，读作扇形OAB 2·扇形的周长
扇形的周长等于弧长与两半径的长之和，即?2R AB
l l =+扇形 3·扇形是圆面的一部分，若将半径为r 的圆分为360份，圆心角1°的扇形面积是圆面积的
1
360
，因为半径为r 的圆的面积是2
r π，所以半径为r ，圆心角为n °的扇形面积为2
360n r S π=
4·弧长为l ，半径为r 的扇形面积为211
36021802
n r n r S r lr ππ=
=??= 5·扇形面积的应用（求圆的一部分的面积）：
5.圆锥的侧面积和全面积
圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图，设圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r ，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径即为母线长l ，扇形的弧长即为底面圆的周长2πr ，根据扇形面积公式
可知S ＝2
1
·2πr ·l ＝πrl ．因此圆锥的侧面积为S 侧＝πrl ．圆锥的侧面积与底面积之和称为圆
锥的全面积，全面积为S 全=πr 2+πrl ．
重点：
1.弦和弧的概念、弧的表示方法和点与圆的位置关系。
2.用尺规作图法对不在同一直线上的三个点作圆。
3.垂径定理。（重中之重：“垂直于弦的直径平分弦和弧”经常考）
4.扇形弧长和面积、圆锥侧面积和体积的计算。
难点：
1..对“不在同一直线上的三个点确定一个圆”中的存在性和唯一性的理解
2. 圆锥侧面积计算公式的推导过程需要较强的空间想像能力
3. 类似蚂蚁爬圆锥的计算问题。
4.有关圆的无图多解问题。
考点：
1 垂直于弦的直径
2 圆周角定理及其推论
3 圆内接四边形
4 圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
5 圆的性质综合题
相似三角形
知识点：
1 相似图形
形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.
2 比例线段的相关概念
如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，
那么就说这两条线段的比是n
m
b a =，或写成n m b a ::=．
注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位．
在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，
那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段． 注意：
(1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．
(2)比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：
a
d
c b =．
3 比例的性质 基本性质：
(1)bc ad d c b a =?=::；(2)b a c b c c a ?=?=2::．
注意：
由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除 了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．
更比性质(交换比例的内项或外项)：
()()
()a b
c d a c d c
b d b a
d b
c a ?=??
?=?=???=??
，
交换内项，交换外项．
同时交换内外项 反比性质(把比的前项、后项交换)：c
d
a b d c b a =?=．
合比性质：d
d
c b b a
d c b a ±=±?=．
注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间
发生同样和差变化比例仍成立．如：???????+-=+--=-?=d
c d c b a b a c
c
d a a b d c b a 等等．
等比性质：
如果)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ΛΛ，那么
b a
n f d b m e c a =++++++++ΛΛ． 注意：
(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．
(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质
也成立．如：b
a
f d b e c a f e d c b a f e d c b a =+-+-?=--=
?==32323322；其中032≠+-f d b ．
4 比例线段的有关定理
平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：
(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例． (2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．
定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，
那么这条直线平行于三角形第三边．
5 黄金分割
把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，叫做把线
段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 2
1
5-=
≈0.618AB ． 6 相似三角形的概念
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．
相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)． 相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注意：
①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．
④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．
7 相似三角形的基本定理
定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原 三角形相似． 定理的基本图形：
用数学语言表述是：BC DE //Θ，ADE ?∴∽ABC ?．
8 相似三角形的等价关系
(1)反身性：对于任一ABC ?有ABC ?∽ABC ?．
(2)对称性：若ABC ?∽'''C B A ?，则'''C B A ?∽ABC ?．
(3)传递性：若ABC ?∽C B A '?''，且C B A '?''∽C B A ''''''?，则ABC ?∽C B A ''''''?．
9 三角形相似的判定方法
1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．
2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，
所构成的三角形与原三角形相似．
3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．
4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例， 那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．
6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用．
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．
直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD）2=BD·DC，
（2）（AB）2=BD·BC ，
（3）（AC）2=CD·BC 。
证明：在△BAD与△ACD中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC，又∵∠B DA=∠ADC=90°，∴△BAD∽△ACD相似，∴ AD/BD＝CD/AD，即
（AD）2=BD·DC。其余类似可证。
注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得：
（AB）2+（AC）2=BD·BC+CD·BC =（BD+CD)·BC=（BC）2，
即（AB）2+（AC）2=（BC）2。
这就是勾股定理的结论。
10 相似三角形性质
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
(3)相似三角形周长的比等于相似比．
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．
(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等．
11 相似多边形
如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比(相似系数)．
12 相似多边形的性质
(1)相似多边形周长比，对应对角线的比等于相似比．
(2)相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比．
(3)相似多边形面积比等于相似比的平方．
注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此，熟练掌握相似三角形知识是基础和关键．
13 与位似图形有关的概念
1. 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两
个图形叫做位似图形.
2. 这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.
拓展：
（1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点.
（2）位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.
（3）位似图形的对应边互相平行或共线.
14 位似图形的性质
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 拓展：位似图形有许多性质，它具有相似图形的所有性质.
15 画位似图形
1. 画位似图形的一般步骤：
（1）确定位似中心
（2）分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）.
（3）根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.
（4）顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形.
2. 位似中心的选取：
（1）位似中心可以在图形外部，此时位似中心在两个图形中间，或在两个图形之外.
（2）位似中心可取在多边形的一条边上.
（3）位似中心可取在多边形的某一顶点上.
说明：位似中心的选取决定了位似图形的位置，以上位似中心位置的选取中，每一种方法都能把一个图形放大或缩小.
16 相似三角形常见的图形
（1）若DE∥BC（A型和X型）则△ADE∽△ABC
（2）射影定理若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）
则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB；
（3）满足1、AC 2
=AD ·AB ，2、∠ACD=∠B ，3、∠ACB=∠ADC ，都可判定△ADC ∽△ACB ．
（4）当AD AE
AC AB
=
或AD ·AB=AC ·AE 时，△ADE ∽△ACB ．
（3）
（4）
重点：
相似三角形的判定方法及相似三角形的有关性质
难点：
相似三角形性质的应用
考点：
图形的相似是平面几何中极为重要的内容。中考的主要命题点为： （1） 比例的性质和黄金分割
（2） 相似三角形的定义及相似三角形的判定
（3） 相似三角形的性质及其应用
（4） 相似多边形的定义和性质
（5） 位似图形及其作图等。
题型主要为选择题、填空题、解答题等，选择题、填空题将注重“相似三角的判定与性质”等基础知识的考查，将在解答题中加大知识的横向与纵向联系及应用问题的力度。
九下第一章解直角三角形
知识点：
一、 锐角三角函数的定义：
在RT ABC ?中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C
E A D C
B
E
A D
C
B
A D C
B
A D
C
B E
A D
C
B
的对边，则：
sin A a A c ∠=
=的对边斜边 cos A b
A c ∠==的邻边斜边
tan A a
A A b
∠=
=∠的对边的邻边
常用变形：sin a c A =g ；sin a
c A
=
等，由同学们自行归纳。 二、 锐角三角函数的有关性质：
1、当0°<∠A<90°时，0sin 1A <<；0cos 1A <<；tan 0A >；
2、在0°:90°之间，正弦、正切（sin 、tan ）的值，随角度的增大而增大；余弦（cos ）的值，随角度的增大而减小。
三、 同角三角函数的关系：
22sin cos 1A A += tan cot 1A A =g sin tan cos A
A A
=
常用变形：sin A =
cos A （用定义证明，易得，同学自行完成）
四、 正弦与余弦，正切与余切的转换关系：
如图1，由定义可得：sin cos cos(90)a
A B A c
===?- 同理可
得：
sin cos(90)A A =?- cos sin(90)A A =?-tan cot(90)A A =?-
1
B
2
2
B
重点：
一、三角函数 1．
2． α;… 3． 三角函数值随角度变化的关系 二、解直角三角形
1． 定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 2．
依据：①边的关系：222c b a =+
②角的关系：A+B=90°
③边角关系：三角函数的定义。
注意：尽量避免使用中间数据和除法。 三、对实际问题的处理
1． 俯、仰角： 2．方位角、象限角： 3．坡度：
4．在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。 难点：
h i=h/l=tg α
1、锐角三角函数的概念
2、直角三角形的解法
3、三角函数在解直角三角形中的灵活运用
考点：
1．中考重点考查正弦、余弦的基本概念和求特殊角的三角函数值，及利用正弦和余弦解决一些比较简单的直角三角形问题．
2．中考侧重考查求特殊角的正切值、余切值，利用正切求线段的长．以及综合应用三角函数解决测量问题．
3．考查三角形的边角关系是中考常见题型，解决此类问题的方法是将一般图形转化为解直角三角形的知识来解决。有时需要添加辅助线．
4．中考中的三角函数与圆的综合题是热点题型．解决这类问题的方法是利用勾股定理、锐角三角函数关系式．
5．中考解直角三角形应用问题大多是以计算题的形式出现．也是中考的热点题型．
九下第二章直线与圆，圆与圆的位置关系
知识点：
1.直线与圆有三种位置关系
（1）相交
直线与圆有两个公共点时，我们说直线与圆相交。
（2）相切
直线与圆有唯一的公共点时，我们说直线与圆相切。这条直线叫圆的切线，公共点叫切点。
（3）相离
直线与圆没有公共点时，我们说直线与圆相离。
（4）一般地，直线与圆的位置关系有下面的性质：
若圆的半径为r，圆心o到直线l的距离为d，那么
d直线与圆相交
?
d直线与圆相切
=r
?
d直线与圆相离
>r
?
2.切线的判定与性质
（1）判定定理
经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。
（2）性质定理
经过切点的半径垂直于圆的切线。
经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。
3.1三角形的内切圆
1．定义
与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆，圆心叫三角形的内心，三角形叫圆的外
初三数学知识点归纳
北师大版初中数学定理知识点汇总[九年级(上册) 第一章 证明(二) ※等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 ※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的 直角三角形，其中一个锐角等于30o，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。 ※有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形。 ※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有： ①勾股定理：222c b a =+（注意区分斜边与直角边） ②在直角三角形中，如有一个内角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半 ③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现） ※垂直平分线．．．．．是垂直于一条线段．．并且平分这条线段的直线．． 。（注意着重号的意义） <直线与射线有垂线，但无垂直平分线> ※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。 ※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ※三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。（如图1所示，AO=BO=CO ） A C O O A C D F
※角平分线上的点到角两边的距离相等。 ※角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。 角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 ※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。(如图2所示，OD=OE=OF) 第二章一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为0 2= ax（a、b、c为 bx +c + 。 常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程 ．．．．．． ※把0 2= ax（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，a为二次bx +c + 项系数；b为一次项系数；c为常数项。
初三下册数学知识点归纳
初三下册数学知识点归纳 九年级下册知识点归纳包括二次函数、相似、锐角三角形、投影与视图共四章内容，主要总结了这几个单元的重点和难点的内容， 是初三同学们和中考考生的必备资料! 第二十六章二次函数 26.1二次函数及其图像 二次函数(quadraticfunction)是指未知数的最高次数为二次的 多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其 图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。 一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系： 一般式 y=ax∧2;+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，- (4ac-b∧2)/4a); 顶点式 y=a(x+m)∧2+k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧2+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为x=-m，顶点的位置特征 和图像的开口方向与函数y=ax∧2的图像相同，有时题目会指出让 你用配方法把一般式化成顶点式; 交点式 y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的 抛物线]; 重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。a的绝对值还可以 决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。
牛顿插值公式(已知三点求函数解析式) y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x- x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。由此 可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2)(y1为截距) 求根公式 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 求根公式 x是自变量，y是x的二次函数 x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a (即一元二次方程求根公式)(如右图) 求根的方法还有因式分解法和配方法 在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。 不同的二次函数图像 如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。 注意：草图要有1本身图像，旁边注明函数。 2画出对称轴，并注明X=什么 3与X轴交点坐标，与Y轴交点坐标，顶点坐标。抛物线的性质轴对称 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0) 顶点
五年级下册知识点归纳
第一单元《分数加减法》 1、同分母分数的加减运算的方法：同分母分数相加减，分母不变，分子相加或相减。 2、异分母分数加减法的计算方法：分母不同的分数相加减，要先通分，化成相同的分母，再加减。 注意：计算结果能约分的要约成最简分数。 3、分数加减混合运算顺序与整数和小数的加减混合运算顺序相同。 计算加减混合运算时，方法要灵活处理，可以： （1）先全部通分，再进行计算； （2）也可先计算三个数中的两个数后，再进行通分的； （3）也有先部分进行通分，算出部分的结果后，再第二次通分的。 注意：具体的题型具体分析，尽量使计算过程更加简便。 补充知识点：整数加减法运算定律在分数加减法中同样适用，见下图： 4、把分数化成小数的方法：通常是利用分数与除法的关系，用分子除以分母来得到。 注意：对于某些分数也可以将它化为分母是10、100、1000之类的分数，然后再直接写成小数形式。例如：
5、常见分数和小数的互化： 第二单元《长方体（一）》 1、长方体、正方体各自的特点： 注意：正方体是特殊的长方体。 2、长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4或者长×4+宽×4+高×4 正方体的棱长总和=棱长×12 灵活运用公式，能求出长方体的长、宽、高或是正方体的棱长： 长方体：长+宽+高=长方体的棱长总和÷4 长=长方体的棱长总和÷4-宽-高 正方体：棱长=正方体的棱长总和÷12 3、了解长方体和正方体的平面展开图；了解正方体平面展开图的几种形式，并以此来判断。 正方体展开规律（四类）
第一类，中间四连方，两侧各一个，共六种： 第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共三种： 第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有一种： 第四类，两排各三个，只有一种： 4、长方体的表面积是指六个面的面积之和。 长方体表面积=（长×宽+宽×高+长×高）×2 正方体表面积=边长×边长×6 5、露在外面的面的个数：有两种常见的观察方法。
初中数学知识点总结(最新版)
中考数学知识点 知识点1：一元二次方程的基本概念 1．一元二次方程3x 2+5x-2=0的常数项是-2. 2．一元二次方程3x 2+4x-2=0的一次项系数为4，常数项是-2. 3．一元二次方程3x 2-5x-7=0的二次项系数为3，常数项是-7. 4．把方程3x(x-1)-2=-4x 化为一般式为3x 2-x-2=0. 知识点2：直角坐标系与点的位置 1．直角坐标系中，点A （3，0）在y 轴上。 2．直角坐标系中，x 轴上的任意点的横坐标为0. 3．直角坐标系中，点A （1，1）在第一象限. 4．直角坐标系中，点A （-2，3）在第四象限. 5．直角坐标系中，点A （-2，1）在第二象限. 知识点3：已知自变量的值求函数值 1．当x=2时,函数y=32-x 的值为 1. 2．当x=3时,函数y= 2 1-x 的值为1. 3．当x=-1时,函数y= 3 21-x 的值为1. 知识点4：基本函数的概念及性质 1．函数y=-8x 是一次函数. 2．函数y=4x+1是正比例函数. 3．函数x y 2 1-=是反比例函数. 4．抛物线y=-3(x-2)2-5的开口向下. 5．抛物线y=4(x-3)2-10的对称轴是x=3.
(1,2). 6．抛物线 2)1(2 1 2+-= x y 的顶点坐标是7．反比例函数x y 2=的图象在第一、三象限. 知识点5：数据的平均数中位数与众数 1．数据13,10,12,8,7的平均数是10. 2．数据3,4,2,4,4的众数是4. 3．数据1，2，3，4，5的中位数是3. 知识点6：特殊三角函数值 1．cos30°= 2 3. 2．sin 260°+ cos 260°= 1. 3．2sin30°+ tan45°= 2. 4．tan45°= 1. 5．cos60°+ sin30°= 1. 知识点7：圆的基本性质 1．半圆或直径所对的圆周角是直角. 2．任意一个三角形一定有一个外接圆. 3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆. 4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6．同圆或等圆的半径相等. 7．过三个点一定可以作一个圆. 8．长度相等的两条弧是等弧.
九年级上下册数学知识点汇总
鲁教版初四知识点 第一章反比例函数 一、反比例函数 1.定义:一般地,形如 y＝k／x (k为常数,k≠0)的函数叫做反比例函数,其中x是自变量，y是x的函数,k是比例系数。若y=k/nx 此时比例系数为:k/n,如y=2/3x的比例系数为2/3 反比例函数的定义中需要注意什么？ (1)常数 k 称为比例系数,k是非零常数； (2)自变量x次数不是1,x 与 y 的积是非零常数； (3)除 k、x 、y三项以外,不含其他项。 反比例函数自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 2.反比例函数的三种表现形式:(k为常数,k≠0) (1)y＝k／x (2)xy=k (3)y=kx-1(即:y等于x的负一次方,此处x必须为一次方) 2.K的几何含义: 反比例函数y＝k／x (k≠0)中比例系数k的几何意义,即过双曲线y＝k／x (k≠0)上任意一点P作x轴、y轴垂线,设垂足分别为A、B,则所得矩形OAPB的面积为|k|，所得三角形面积|k|/2。 二、反比例函数的图象和性质 1.图像: 反比例函数的图像是双曲线,他们关于原点成中心对称。双曲线只能与坐标轴无限靠近,永远不能与坐标轴相交。因为在y=k/x(k≠0)中,x不能为0,y也不能为0,所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y 轴相交。 2.性质: 当k>0时,两支曲线分别位于第一、三象限内,在每一象限内,y的值随x值的增大而减小； 当k<0时,两支曲线分别位于第二、四象限内,在每一象限内,y的值随x值的增大而增大。 三、用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤： ⑴设所求的反比例函数y＝k／x⑵将已知条件代入得到关于k的方程⑶解方程求出k的值 ⑷把k的值代入反比例函数y＝k／x中 四、反比例函数的应用： 1.建立反比例函数模型 2.求出反比例函数解析式 3.结合函数解析式图像性质做出解答，特别要注意自变量的取值范围。 第二章解直角三角形 一、锐角三角函数 在直角三角形ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,∠C为直角。则定义以下运算方式: sin ∠A=∠A的对边长/斜边长，sin A记为∠A的正弦；sinA=a/c cos∠ A=∠A的邻边长/斜边长，cos A记为∠A的余弦；cosA=b/c tan∠ A=∠A的对边长/∠A的邻边长, tanA=sinA/cosA=a/ b tan A记为∠A的正切 1.sin=对/斜 cos=邻/斜 tan=对/邻 2.sinA=cos(90°-A) cos A=sin(90°-A) tanA=sinA/cosA sin2A＋cos2A＝１
初三数学圆知识点复习专题经典
《圆》 一、圆的概念 概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内?d r ?点A在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点； 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点； 3、直线与圆相交?d r +； 外切（图2）?有一个交点?d R r =+； 相交（图3）?有两个交点?R r d R r -<<+； 内切（图4）?有一个交点?d R r =-； 内含（图5）?无交点?d R r <-； A
r R d 图3 r R d 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 例题1、 基本概念 1．下面四个命题中正确的一个是（ ） A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2．下列命题中，正确的是（ ）． A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B ．过弦的中点的直线必过圆心 C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D ．弦的垂线平分弦所对的弧 例题2、垂径定理 1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大 深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm. r R d 图4 r R d 图5 r R d O E D C A O C D A B
人教版数学五年级下册知识点总结
观察物体（三） 知识点总结： 1、可以根据三个方向观察到的形状摆出原来的图形。 2、想象不出来的时候借助小正方体摆一摆就简单了。 因数和倍数 知识点总结： 1、在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数是被除数的因数。（为了方便，在研究研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是自然数，一般不包括0。） 整数与自然数的关系：整数包括自然数。 2、因数、倍数：大数能被小数整除时，大数是小数的倍数，小数是大数的因数。 例：12是6的倍数，6是12的因数。 （1）数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。 （2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 一个数的因数的求法：成对地按顺序找。 （3）一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。 一个数的倍数的求法：依次乘以自然数。 （4）2、3、5的倍数特征 ①个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。 ②一个数各位 ．．上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 ③个位上是0或5的数，是5的倍数。 ④能同时被2、3、5整除（也就是2、3、5的倍数）的最大的两位数是90，最小的三位数是120。 同时满足2、3、5的倍数，实际是求2×3×5=30的倍数。 ⑤如果一个数同时是2和5的倍数，那它的个位上的数字一定是0。 3、完全数：除了它本身以外所有的因数的和等于它本身的数叫做完全数。 如：6的因数有：1、2、3（6除外），刚好1+2+3=6，所以6是完全 数，小的完全数有6、28等 4、自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数。 奇数：不能被2整除的数。叫奇数。也就是个位上是1、3、5、7、9的数。偶数：能被2整除的数叫偶数（0也是偶数），也就是个位上是0、2、4、6、8的数。 最小的奇数是1，最小的偶数是0. 关系：奇数+、- 偶数=奇数奇数+、- 奇数=偶数偶数+、-偶数=偶数。 5、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类. 质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。 合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。 1：只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。
初三数学知识点梳理
初三数学知识点梳理(1) 第一部分：【数与代数】 1、数与式 （1）科学记数法：①40600000000=_____________,②－0.000000307=_____________ （2）绝对值：① ________3 1 =-,②__________23=-. （3）平方根、算术平方根、立方根：①16的平方根是_______ ② ______4 9 =; ③______273=-;④_________1 21=-;⑤_____5____<<(填两个连续的整数). （4）幂的运算：①_______=?m n a a ②________)(=m n a ③________)(=m ab ④________=÷n m a a ⑤)0______(0≠=a a ⑥_________=-m a （5）因式分解：①提公因式法：___________________23223=+-xy y x y x ②公式法：_______________1692 =++m m ③分组分解法：_______________2222 =---b a b a （6）取值范围：①在函数2-=x y 中,自变量x 取值范围____________; ②在函数2 1 -=x y 中,自变量x 取值范围______________; ③在函数2 1-= x y 中,自变量x 取值范围_____________. （7）综合运算： 1 12(π 3.14)2sin 602-??--+- ??? ° ______ __________1222=--+b a ab
②先化简,再求值:()()()()2423227+---+a a a a .其中.2-=a ③计算: 2、方程与不等式 （1）一元一次方程: ①方程31x x -=的解为 ． （2）一元二次方程: ①解法(4种)______________、___________、_______________、___________. _____________,,02)2(21===-+-x x x x x 解方程： ②根与系数的关系: ac 4b 2-=? , ________________0?>?； _________________0?=?； _________________0?
九年级下册数学知识点归纳总结(附习题)
第二十六章 反比例函数 26.1知识点1 反比例函数的定义 一般地，形如x k y = （k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解： ⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数； ⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式： ①x k y = （0k ≠）， ②1kx y -=（0k ≠）， ③k y x =?（定值）（0k ≠）； ⑸函数x k y = （0k ≠）与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数。 （k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时，x k y =，就不是反比例函数了。 26.2知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数x k y = （0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。 26.3知识点3反比例函数的图像及画法 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值 0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但 永远达不到坐标轴。 反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。 再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取； ②列表时选取的数值越多，画的图像越精确； ③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线； ④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。 26.4知识点4反比例函数的性质 ☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：
华师大版数学九年级下册《圆》知识点总结
圆 1．圆的认识 （1）当一条线段OA绕着它的一个端点O在平面内旋转一周时，它的另一个端点A的轨迹叫做圆。或到一个定点的距离等于定长的点的集合。这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为“⊙O”。 （2）线段OA、OB、OC都是圆的半径，线段AC为直径。 （3）连结圆上任意两点之间的线段叫做弦如线段AB、BC、AC都是圆O中的弦。 （4）圆上任意两点间的部分叫做弧。如曲线BC、BAC都是圆中的弧，分别记作BC、BAC其中像弧BC这样小于半圆周的圆叫做劣弧。像弧BAC，这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。 （3）圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角。如∠AOB、∠AOC、∠BOC就是圆心角。 2．圆的对称性 （1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。 在同圆或等圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角、所对的弧相等。 ~ 在同圆或等圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等。 （2）圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。 3．垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦。4．圆周角 （1）圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角。 （2）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。 90°的圆周角所对的弦是圆的直径。 （3）同圆或等圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。 " （4）同弧（或等弧）所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等。 5．点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点圆心O的距离为d，则 > （1）点在圆外?d r = （2）点在圆上?d r < （3）点在圆内?d r 6．（1）过一点可以画无数个圆； 过两点可以画无数个圆，圆心在两点连线的垂直平分线上； 过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆。 （2）三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。这个三角形叫做这个圆的内接三角形。三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点。 ' （3）一个三角形的外接圆是唯一的。 7．直线与圆的位置关系 （1）如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离。 （2）如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切。此时这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点． （3）如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆相交，此时这条直线叫做圆的割线．
(完整版)人教版五年级语文下册知识点整理
五年级语文下册知识点整理 一、多音字分得清 jué咀嚼──jiáo嚼烂 xìnɡ高兴──xīnɡ兴奋 bànɡ蚌壳──bènɡ蚌埠 jì系鞋带──jì关系 bāo剥莲蓬──bō剥削 huǎnɡ明晃晃──huànɡ晃动 yuè清平乐──lè快乐 zuān钻研──zuàn钻石 wú亡赖──wǎnɡ死亡 pū铺路──pù当铺 chénɡ澄清──dènɡ澄沙 二、形近字看仔细 蓑(蓑衣)──衰(衰老) 遮(遮挡)──蔗(甘蔗) 醉(醉汉)──醒(觉醒) 媚(妩媚)──眉(眉毛) 锄(锄头)──助(帮助) 毡(毡帽)──沾(沾染) 卸(装卸)──御(抵御) 嚼(咀嚼)──爵(爵位) 妨(妨碍)──访(访问) 漠(沙漠)──寞(寂寞) 袄(夹袄)──妖(妖娆) 袍(长袍)──泡(灯泡) 祸(祸害)──锅(铁锅) 淘(淘气)──陶(陶器) 绞(绞杀)──狡(狡猾) 愧(愧疚)──槐(槐树) 瓢(瓢虫)──飘(飘动) 篷(帐篷)──蓬(莲蓬) 三、词语：注意读写与运用 1.词语会理解 天赋：自然具备，生来就有。 进化：生物由简单到复杂，由低级到高级，逐渐发展演变。 眉目：事情的头绪。 困窘：形容为难；感到难办。课文指我面对老师的误解和同学的嘲笑，不知道怎么办好。 情不自禁：感情激动，控制不住自己。禁：控制。 一本正经：形容态度庄重严肃，郑重其事。有时含讽刺意味。 随心所欲：指随着自己的心意，想怎样就怎样。 绞尽脑汁：形容费尽心思。 2.词语会运用 绞尽脑汁──这道数学题太难了，我绞尽脑汁都没有做出来。 随心所欲──任何人都不能随心所欲地做事，在班规面前人人都是平等的。 情不自禁──看着中国队夺得了冠军，我们情不自禁地欢呼起来。 一本正经──期中成绩公布后，我问朋友：“你的成绩如何？”他一本正经地说：“对不起！无可奉告！”这家伙，居然还吊我胃口！ 四、词语巧辨析 1．近义词是朋友。 侵犯──侵害情趣──情调清脆──悦耳重临──重来
初中数学知识点总结-精简版
知识点1：一元二次方程的基本概念与一元二次函数图像问题 1．一元二次方程ax 2 +bx+c=0 (a ≠0)的常数项是c ，一次项系数为b. 二次项系数为a 2．二次函数c bx ax y ++=2的对称轴是直线x=-b/(2a)，顶点坐标是(-b/(2a), (4ac-b 2)/4a) 3．若抛物线的解析式为y=a(x-b)2+c,则它的顶点坐标是(b, c) 知识点2：直角坐标系与点的位置 1．直角坐标系中，点A （8，0）在y 轴上。 2．直角坐标系中，y 轴上的任意点的横坐标为0, x 轴上的任意点的纵坐标为0. 3．直角坐标系中，点A （8，8）在第一象限. 4．直角坐标系中，点A （-8，8）在第二象限. 5．直角坐标系中，点A （-8，-8）在第三象限. 6．直角坐标系中，点A （8，-8）在第四象限 知识点3：已知自变量的值求函数值 1．当x=6时,函数y= 32-x 的值为3. 2．当x=1时,函数y= 21-x 的值为-1. 3．当x=2时,函数y=3 21-x 的值为1. 知识点4：基本函数的概念及性质 1．函数y=-8x 是正比例函数. 2．函数y=8x+8是一次函数. 3．函数x y /8=是反比例函数. 4．抛物线y=-8(x-8)2-8的开口向下. 5．抛物线y=8(x-8)2-8的对称轴是x=8. 6．抛物线8)8(21 2 +-=x y 的顶点坐标是(8,8). 7．反比例函数x y 8 =的图象在第一、三象限. 知识点5：数据的平均数中位数与众数 1．数据15,10,12,8,5的平均数是10. （an average, a mean ） 2．数据3,4,1,4,4的众数是4. （出现次数最多的）（Mode ） 3．数据1，2，3，4，5的中位数是3. （先排队，然后找中间的，Median, 注意奇偶个） 4．数据6，5，3，4，1，2的中位数是3.5 . 知识点6：特殊三角函数值 1．sin30°= 21 2．cos30°= 23 . 3．sin 2α+ cos 2α= 1.
初三下册数学知识点
初三下册数学知识点 1 二次函数及其图像 二次函数(quadratic function)是指未知数的次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax bx c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。 一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系： 一般式 y=ax∧2; bx c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a) ; 顶点式 y=a(x m)∧2 k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧2 k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax ∧2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式; 交点式 y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线] ; 重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a牛顿插值公式(已知三点求函数解析式) y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2) (y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3) (y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3) 。由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2) (y1为截距) 求根公式 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 求根公式 x是自变量，y是x的二次函数 x1,x2=[-b±(√(b -4ac))]/2a (即一元二次方程求根公式)
求根的方法还有因式分解法和配方法 在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。 不同的二次函数图像 如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。 注意：草图要有1本身图像，旁边注明函数。 2画出对称轴，并注明X=什么 3与X轴交点坐标，与Y轴交点坐标，顶点坐标。抛物线的性质 轴对称 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。 对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。 特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0) 顶点 2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，4ac-b ;)/4a ) 当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ= b ;-4ac=0时，P在x轴上。 开口 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 当a>0时，抛物线向上开口;当a|a|越大，则抛物线的开口越小。 决定对称轴位置的因素 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左; 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a当a与b异号时(即ab0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号 可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;当a
小学语文五年级下册知识点整理最新
人教版小学语文五年级下册知识点整理一、基础与积累： (一)、掌握一类字150个。按课题整理如下： 1tǎn xuàn lèyín yūjīn tímào jūxiū 1毯渲勒吟迂襟蹄貌拘羞sèjiāo piān yá 涩跤偏涯 3xīsǎn fǔshào jiāng xiàn 3晰伞抚绍疆陷 5mùsuōzhēzuìmèi chúbāo 5牧蓑遮醉媚锄剥 6zhān xièjǔjuémòmòǎo páo shǎ 6毡卸咀嚼漠寞袄袍傻 8pēi huòhuàn bìfùtáo fáng qǐjiǎo 8胚祸患臂赋淘妨岂绞zhīlíkuìkuī 汁厘愧亏 10liáng huìyìnǎi yuēqín 10梁惠诣乃曰禽 11wǔrǔhuǎng bìjǔqiúxīchén huái 11侮辱谎敝矩囚嘻臣淮 gān júzhǐzéi péi
柑橘枳贼赔 14nīyìxiāo tàn yìyáoèhào duòsǎo 14妮役硝炭谊谣噩耗跺嫂kuàlán 挎篮 16páo xiào fēng níng tǎng sìjiūbào 16咆哮疯狞淌肆揪豹 dèng shēn táng chān jìdiàn ?瞪呻膛搀祭奠 18zhào bìzhào nuòqièsèjùzhūjīng 18赵璧召诺怯瑟拒诸荆19dùjìcáo dū gān lǔyán màn sīzhài 19妒忌曹督甘鲁延幔私寨lèi nàyuán chéng 擂呐援丞 22sòu zhàn bān dōng jiān zhíláng jiē 22擞绽扳咚监侄郎皆 liǎn xísāo zōng lián pà ?敛媳骚宗怜帕 25jǐwǎn jǐn chàyān xiápō 25脊莞锦姹嫣暇颇 26nítǐng chā shāo qiào cāng mǔdǎo
初三数学知识点总结
初三知识整理
全套教科书包含了课程标准（实验稿）规定的“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个领域的内容，在体系结构的设计上力求反映这些内容之间的联系与综合，使它们形成一个有机的整体 九年级上册包括二次根式、一元二次方程、旋转、圆、概率初步五章内容，学习内容涉及到了《课程标准》的四个领域。包含以下章节： 第21章二次根式第22章一元二次方程 第23章旋转第24章圆 第25 章概率初步 本册书内容分析如下： 第21章二次根式 学生已经学过整式与分式，知道用式子可以表示实际问题中的数量关系。解决与数量关系有关的问题还会遇到二次根式。“二次根式”一章就来认识这种式子，探索它的性质，掌握它的运算。 在这一章，首先让学生了解二次根式的概念，并掌握以下重要结论： （1）是一个非负数； （2）≥0）； （3）(a≥0)． 注：关于二次根式的运算，由于二次根式的乘除相对于二次根式的加减来说更易于掌握，教科书先安排二次根式的乘除，再安排二次根式的加减。“二次根式的乘除”一节的内容有两条发展的线索。一条是用具体计算的例子体会二次根式乘除法则的合理性，并运用二次根式的乘除法则进行运算；一条是由二次根式的乘除法则得到 (a≥0，b≥0)，(a≥0，b>0)， 并运用它们进行二次根式的化简。
“二次根式的加减”一节先安排二次根式加减的内容，再安排二次根式加减乘除混合运算的内容。在本节中，注意类比整式运算的有关内容。例如，让学生比较二次根式的加减与整式的加减，又如，通过例题说明在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用。这些处理有助于学生掌握本节内容。 第22章一元二次方程 学生已经掌握了用一元一次方程解决实际问题的方法。在解决某些实际问题时还会遇到一种新方程——一元二次方程。“一元二次方程”一章就来认识这种方程，讨论这种方程的解法,并运用这种方程解决一些实际问题。 本章首先通过雕像设计、制作方盒、排球比赛等问题引出一元二次方程的概念，给出一元二次方程的一般形式。然后让学生通过数值代入的方法找出某些简单的一元二次方程的解，对一元二次方程的解加以体会，并给出一元二次方程的根的概念， “22.2降次——解一元二次方程”一节介绍配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法。下面分别加以说明。 （1）在介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如的方程。这样的方程可以化为更为简单的形如的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。进而举例说明如何解形如的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如的方程，引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。 （2）在介绍公式法时，首先借助配方法讨论方程的解法，得到一元二次方程的求根公式。然后安排运用公式法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及有两个相等实数根的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。由此引出一元二次方程的解的三种情况。 （3）在介绍因式分解法时，首先通过实际问题引出易于用因式分解法的一元二次方程，引出因式分解法。然后安排运用因式分解法解一元二次方程的例题。最后对配方法、公式法、因式分解法三种
初三数学上下册的学习知识点总结计划与重点难点总结计划.docx
----- 初三数学知识整理与重点难点总结 第21 章二次根式 知识框图 理解并掌握下列结论： （1）是非负数；（2）；（3）； I.二次根式的定义和概念： 1、定义：一般地，形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式。当a＞0 时，√ a 表示 a 的算数平方根 ,√0=0 2、概念：式子√ā（a≥0）叫二次根式。√ā（a≥ 0）是一个非负数。 II.二次根式√ā 的简单性质和几何意义 1）a≥0; √ā≥0[双重非负性] 2）（√ā）^2=a（a≥0）[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式] 3)√(a^2+b^2) 表示平面间两点之间的距离，即勾股定理推论。
IV. 二次根式的乘法和除法 1运算法则 √a·√ b= √ab（ a≥ 0，b≥0） -1- ----
√a/b= √a/√ b（a≥ 0，b>0 ） 二数二次根之积，等于二数之积的二次根。 2共轭因式 如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做共轭因式，也称互为有理化根式。 V.二次根式的加法和减法 1同类二次根式 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。 2合并同类二次根式 把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。 3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并Ⅵ.二次根式的混合运算 1确定运算顺序 2灵活运用运算定律 3正确使用乘法公式 4大多数分母有理化要及时 5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化 VII.分母有理化 分母有理化有两种方法 I.分母是单项式 如:√a/ √b= √a×√ b/√b×√ b=√ ab/b
(完整)初三数学圆知识点集合,推荐文档
一、本章知识框架初三数学 圆教案 二、本章重点 1.圆的定义： (1)线段 OA 绕着它的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的封闭曲线，叫做圆． (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 2.判定一个点 P 是否在⊙O 上．设⊙O 的半径为 R ，OP ＝d ，则有 d>r 点 P 在⊙O 外； d ＝r 点 P 在⊙O 上； d(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合； 圆是中心对称图形，对称中心是圆心． 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的 任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等． (2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴． 垂径定理及推论： (1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． (2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． (3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧． (4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦． (5)平行弦夹的弧相等． 5.三角形的内心、外心、重心、垂心 (1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心， 在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示． (2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐 角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心 在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用 O 表示． (3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中 点距离的 2 倍，通常用 G 表示． (4)垂心：是三角形三边高线的交点． 6.切线的判定、性质： (1)切线的判定： ①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． ②到圆心的距离 d 等于圆的半径的直线是圆的切线． (2)切线的性质： ①圆的切线垂直于过切点的半径． ②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点． ③经过切点作切线的垂线经过圆心． (3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长． (4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆 心的连线平分两条切线的夹角． 7.圆内接四边形和外切四边形 (1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角 等于内对角． (2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等．8.直线和圆的位置关系： 设⊙O半径为 R，点 O 到直线 l 的距离为 d． (1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R． (2)直线和⊙O有唯一公共点直线l 和⊙O相切d＝R． (3)直线l 和⊙O有两个公共点直线l 和⊙O相交dr)，圆心距．
最新五年级下册知识点总结
精品文档 第六单元 1、信息传递方式 远古时代：口耳相传、漂流瓶、烽火 古代：驿差长途跋涉 近代：邮政系统。 现代：电话（贝尔）、电报（莫尔斯）。先发明了电报，再发明了电话。 当代：多媒体电脑、计算机网络。 2.古代和现代信息传递方式的比较 A 速度上更快； B 准确度更高； C 信息量更大 3信息技术使我们的生活丰富多彩，我们可以利用它们做什么？ 通过微信、QQ等社交软件上网聊天；开设微博；网上购物；看视频、听音乐、阅读小说等等。 4.如何正确的看待互联网？ 现在信息传递方式不断改进，造福了人类，使我们的生活变得丰富多彩，对我们的学习也有很大的帮助。但是，互联网也会带来负面的影响，里面诸多不健康内容对我们的成长是有害无益的。因此我们应该正确对待互联网这把双刃剑，自觉接受健康信息，抵制不良诱惑。 5.如果你的身边有同学沉溺于互联网络，你会如何劝他？ ***，网络是一把双刃剑，他给我们带来方便快捷的同时，也带来很多负面的东西，比如不健康网站、网络游戏等。在上网时我们会不知不觉地被这些娱乐性强、有害无益的东西吸引，从而浪费许多宝贵的时间和精力。如果我们不走出网吧，继续沉迷于网络黑洞，那么我们将会走向无底深渊，到铸成大错时，后悔也来不及了！ 6.或许信息的途径有哪些？ 调查访问；电话或者短信；报刊或书籍；广播或者电视；网络；其他等 7.调查报告的内容有哪些？ 问题的提出；调查方法；调查情况和资料整理（重点）；结论 8.网络利大于弊还是弊大于利？ 利大于弊：网络资源全世界共享，它就像是一个聚宝盆，你可以从中快速的查找学习资料，可以学到课本以外的更多知识；可以用来娱乐放松；时间很自由，还可以通过网络接受教育，获得相关信息； 弊大于利：小学生三观尚未完全形成，在互联网上有很多安全问题，如网络欺诈、黑客入侵等没有得到解决；网络也传播色情暴力和不良信息；形形色色的信息污染和垃圾无法避免，玩游戏时
