能力课2动力学中的典型“模型” 一、选择题(1～3题为单项选择题，4～5题为多项选择题) 1．在民航和火车站可以看到用于对行李进行安全检查的水平传送带。当旅客把行李放到传送带上时，传送带对行李的滑动摩擦力使行李开始做匀加速运动。 随后它们保持相对静止，行李随传送带一起前进。设传送带匀速前进的速度为0.25 m/s，把质量为5 kg的木箱静止放到传送带上，由于滑动摩擦力的作用，木箱以6 m/s2的加速度前进，那么这个木箱放在传送带上后，传送带上将留下的摩擦痕迹约为() 图1 A．5 mm B．6 mm C．7 mm D．10 mm 解析木箱加速的时间为t＝v/a，这段时间内木箱的位移为x1＝v2 2a ，而传送带的位移为x2＝v t，传送带上将留下的摩擦痕迹长为l＝x2－x1，联立各式并代入数据，解得l＝5.2 mm，选项A正确。 答案 A 2．(2019·山东日照模拟)如图2所示，一长木板在水平地面上运动，在某时刻(t ＝0)将一相对于地面静止的物块轻放到木板上，已知物块与木板的质量相等，物块与木板间及木板与地面间均有摩擦，物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且物块始终在木板上。在物块放到木板上之后，木板运动的速度－时间图象可能是下列选项中的() 图2 解析设在木板与物块未达到相同速度之前，木板的加速度为a1，物块与木板间的动摩擦因数为μ1，木板与地面间的动摩擦因数为μ2。对木板应用牛顿第二定律得： －μ1mg－μ2·2mg＝ma1 a1＝－(μ1＋2μ2)g
设物块与木板达到相同速度之后，木板的加速度为a2，对整体有－μ2·2mg＝2ma2 a2＝－μ2g，可见|a1|＞|a2| 由v－t图象的斜率表示加速度大小可知，图象A正确。 答案 A 3．(2019·山东潍坊质检)如图3所示，足够长的传送带与水平面夹角为θ，以速度v0逆时针匀速转动。在传送带的上端轻轻放置一个质量为m的小木块，小木块与传送带间的动摩擦因数μ 2021年高考物理一轮复习考点全攻关 专题（19）动力学中三种典型物理模型（解析版） 命题热点一：“传送带”模型 【例1】(多选)如图所示，x 轴与水平传送带重合，坐标原点O 在传动带的左端，传送带右端A 点坐标为X A =8m ，匀速运动的速度V 0=5m/s ，一质量m =1kg 的小物块，轻轻放在传送带上OA 的中点位置，小物块随传动带运动到A 点后，冲上光滑斜面且刚好能够到达N 点处无机械能损失，小物块与传送带间的动摩擦因数μ=0.5，斜面上M 点为AN 的中点，重力加速度g =10m/s 2 。则下列说法正确的是（ ） A ．N 点纵坐标为y N =1.25m B ．小物块第一次冲上斜面前，在传送带上运动产生的热量为12.5J C ．小物块第二次冲上斜面，刚好能够到达M 点 D ．在x =2m 位置释放小物块，小物块可以滑动到N 点上方 【答案】AB 【解析】小物块在传送带上匀加速运动的加速度a=μg =5 m/s 2 ，小物块与传送带共速时，所用的时间 ，运动的位移，故小物块与传送带达到相同速度后 以v 0=5 m/s 的速度匀速运动到Q ，然后冲上光滑斜面到达N 点，由机械能守恒定律得 ，解得 y N =1.25 m ，选项A 正确；小物块与传送带速度相等时，传送带的位移x=v 0t =5×1=5m ，传送带受摩擦力的作 用，小物块在传送带上运动产生的热量Q =f （x -△x ）=μmg （x -△x ）=0.5×10×2.5=12.5J ，选项B 正确；物块从斜面上再次回到A 点时的速度为5m/s ，滑上传送带后加速度仍为5m/s 2，经过2.5m 后速度减为零，然后反向向右加速，回到A 点时速度仍为5m/s ，则仍可到达斜面上的N 点，选项C 错误；在x =2m 位置释放 05s 1s 5v t a ===2 02512.5m 4m 25 22A v x X a ====?＜2 012 N mv mgy = 专题强化四动力学中三种典型物理模型 专题解读 1.本专题是动力学方法在三类典型模型问题中的应用，其中等时圆模型常在选择题中考查，而滑块—木板模型和传送带模型常以计算题压轴题的形式命题． 2．通过本专题的学习，可以培养同学们的审题能力、建模能力、分析推理能力和规范表达等物理学科素养，针对性的专题强化，通过题型特点和解题方法的分析，能帮助同学们迅速提高解题能力． 3．用到的相关知识有：匀变速直线运动规律、牛顿运动定律、相对运动的有关知识． 1．两种模型(如图1) 2．等时性的证明 设某一条光滑弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d，如图1所示．根据物体沿光滑弦做初速度为零的匀 加速直线运动，加速度为a＝g sin α，位移为x＝d sin α，所以运动时间为t0＝2x a＝ 2d sin α g sin α＝ 2d g. 即沿同一起点或终点的各条光滑弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关． 例1如图2所示，PQ为圆的竖直直径，AQ、BQ、CQ为三个光滑斜面轨道，分别与圆 相交于A、B、C三点．现让三个小球(可以看作质点)分别沿着AQ、BQ、CQ轨道自端点 由静止滑到Q点，运动的平均速度分别为v1、v2和v3.则有：() A．v2＞v1＞v3B．v1＞v2＞v3 C．v3＞v1＞v2D．v1＞v3＞v2 变式1如图3所示，竖直半圆环中有多条起始于A点的光滑轨道，其中AB通过环心O并保持竖直．一质点分别自A点沿各条轨道下滑，初速度均为零．那么，质点沿各轨道下滑的时间相比较() A．无论沿图中哪条轨道下滑，所用的时间均相同 B．质点沿着与AB夹角越大的轨道下滑，时间越短 C．质点沿着轨道AB下滑，时间最短 D．轨道与AB夹角越小(AB除外)，质点沿其下滑的时间越短 动量守恒定律中的典型模型 1、子弹打木块模型包括木块在长木板上滑动的模型，其实是一类题型，解决方法基本相同。一般要用到动量守恒、动量定理、动能定理及动力学等规律，综合性强、能力要求高，是高中物理中常见的题型之一，也是高考中经常出现的题型。 例1：质量为2m、长为L的木块置于光滑的水平面上，质量为m的子弹以初速度V0水平向右射穿木块后，速度为V0/2。设木块对子弹的阻力F恒定。求： （1）子弹穿过木块的过程中木块的位移 （2）若木块固定在传送带上，使木块随传送带始终以恒定速度u 3、弹簧木块模型 例5、质量为m 的物块甲以3m/s 的速度在光滑水平面上运动，有一轻弹簧固定其上，另一质量也为m 的物体乙以4m/s 的速度与甲相向运动，如图所示。则（ ） A ．甲、乙两物块在弹簧压缩过程中，由于弹力作用，动量 不守恒 B ．当两物块相距最近时，甲物块的速率为零 C ．当甲物块的速率为1m/s 时，乙物块的速率可能为2m/s ，也可能为0 D ．甲物块的速率可能达到5m/s 例6、如图所示，光滑的水平面上有m A =2kg ，m B = m C =1kg 的三个物体，用轻弹簧将A 与B 连接．在A 、C 两边用力使三个物体靠近，A 、B 间的弹簧被压缩，此过程外力做功72 J ，然后从静止开始释放，求： （1）当物体B 与C 分离时，B 对C 做的功有多少？ （2）当弹簧再次恢复到原长时，A 、B 的速度各是多大？ 例7、如图所示,光滑水平地面上静止放置两由弹簧相连木块A 和B,一质量为m 子弹,以速度v 0,水平击中木块A,并留在其中,A 的质量为3m,B 的质量为4m. (1)求弹簧第一次最短时的弹性势能 (2)何时B 的速度最大，最大速度是多少？ 4、碰撞、爆炸、反冲 Ⅰ、碰撞分类（两物体相互作用，且均设系统合外力为零） （1）按碰撞前后系统的动能损失分类，碰撞可分为弹性碰撞、非弹性碰撞和完全非弹性碰撞． （2）弹性碰撞前后系统动能相等．其基本方程为① m 1v 1+m 2v 2=m 1 v 1'+m 2 v 2' ② 222211222211'2 1'212121v m v m v m v m +=+ ． （3）A 、B 两物体发生弹性碰撞，设碰前A 初速度为v 0，B 静止，则基本方程为 ① m A v 0=m A v A +m B v B ，② 2 2202 12121B B A A A v m v m v m += 可解出碰后速度0v m m m m v B A B A A +-=， C B A mv o B A 热点专题系列(三)——动力学中三种典型物理模 型 对应学生用书P062 热点概述：动力学中三种典型物理模型分别是等时圆模型、传送带模型和滑块—木板模型，通过本专题的学习，可以培养审题能力、建模能力、分析推理能力。 [热点透析] 等时圆模型 1．模型分析 如图甲、乙所示，质点沿竖直面内圆环上的任意一条光滑弦从上端由静止滑到底端，可知加速度a＝g sinθ，位移x＝2R sinθ，由匀加速直线运动规律x＝1 2， 2at 得下滑时间t＝2R ，即沿竖直直径自由下落的时间。图丙是甲、乙两图的组合， g 不难证明有相同的结论。 2．结论 模型1质点从竖直面内的圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相等，如图甲所示； 模型2质点从竖直面内的圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，如图乙所示； 模型3两个竖直面内的圆环相切且两环的竖直直径均过切点，质点沿不同的光滑弦上端由静止开始经切点滑到下端所用时间相等，如图丙所示。 3．思维模板 其中模型3可以看成两个等时圆，分段按上述模板进行时间比较。 如图所示，位于竖直平面内的固定光滑圆环轨道与水平面相切于M 点，与竖直墙相切于A点。竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为60°，C是圆环轨道的圆心。已知在同一时刻a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道AM、BM运动到M点；c球由C点自由下落到M点。则() A．a球最先到达M点 B．b球最先到达M点 C．c球最先到达M点 D．b球和c球都可能最先到达M点 解析由等时圆模型知，a球运动时间小于b球运动时间，a球运动时间和沿过CM的直径的下落时间相等，所以从C点自由下落到M点的c球运动时间最短，故C正确。 答案 C 传送带模型 传送带模型的特征是以摩擦力为纽带关联传送带和物块的运动。这类问题涉 专题2动力学中的典型“模型” 模型一等时圆模型 1.模型特征 (1)质点从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相等，如图1甲所示。 (2)质点从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，如图乙所示。 (3)两个竖直圆环相切且两环的竖直直径均过切点，质点沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到下端所用时间相等，如图丙所示。 图1 2.思维模板 【例1】如图2所示，ab、cd是竖直平面内两根固定的光滑细杆，a、b、c、d 位于同一圆周上，b点为圆周的最低点，c点为圆周的最高点，若每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出)，将两滑环同时从a、c处由静止释放，用t1、t2分别表示滑环从a到b、从c到d所用的时间，则() 图2 A.t1＝t2 B.t1＞t2 C.t1＜t2 D.无法确定 解析设光滑细杆与竖直方向的夹角为α，圆周的直径为D，根据牛顿第二定律 得滑环的加速度为a＝mg cos α m ＝g cos α，光滑细杆的长度为x＝D cos α，则根据x ＝1 2at 2得，t＝2x a＝2D cos α g cos α ＝2D g ，可见时间t与α无关，故有t1＝t2，因 此A项正确。 答案 A 1.如图3所示，位于竖直平面内的圆周与水平面相切于M点，与竖直墙相切于A 点，竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为60°，C是圆环轨道的圆心。已知在同一时刻，甲、乙两球分别从A、B两点由静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点。丙球由C点自由下落到M点。则() 图3 A.甲球最先到达M点 B.乙球最先到达M点 C.丙球最先到达M点 D.三个球同时到达M点 解析设圆轨道的半径为R，根据等时圆模型有t乙>t甲，t甲＝2R g ；丙球做自 由落体运动，有t丙＝2R g ，所以有t乙>t甲>t丙，选项C正确。 答案 C 2.(2020·合肥质检)如图4所示，有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于 专题动力学中的典型“模型” 热点一等时圆模型 1.模型特征 (1)质点从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相等,如图Z3-1甲所示. (2)质点从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等,如图乙所示. (3)两个竖直圆环相切且两环的竖直直径均过切点,质点沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到下端所用时间相等,如图丙所示. 2.思维模板 例1 如图Z3-2所示,在竖直平面内建立直角坐标系xOy,该平面内有AM、BM、CM三条光滑固定轨道,其中A、C两点处于同一个圆上,C是圆上任意一点,A、M分别为此圆与y轴、x轴的切点,B点在y轴上且∠BMO=60°,O'为圆心.现将a、b、c三个小球分别从A、B、C点同时由静止释放,它们将沿轨道运动到M点,所用时间分别为t A、t B、t C,则() A.t A 变式题1 如图Z3-3所示,有一个半圆,其直径水平且与另一圆的底部相切于O点,O点恰好是半圆的圆心,它们处在同一竖直平面内.现有三条光滑轨道AOB、COD、EOF,它们的两端分别位于上、下两圆的圆周上,轨道与竖直直径的夹角关系为α>β>θ.现让一小物块先后从三条轨道顶端由静止下滑至底端,则小物块在每一条倾斜轨道上滑动所经历的时间关系为() A.t AB=t CD=t EF B.t AB>t CD>t EF C.t AB 高一【动力学中的典型“模型” 】专题训练 一、选择题(1～3题为单项选择题，4～5题为多项选择题) 1．在民航和火车站可以看到用于对行李进行安全检查的水平传送带。当旅客把行李放到传送带上时，传送带对行李的滑动摩擦力使行李开始做匀加速运动。随后它们保持相对静止，行李随传送带一起前进。设传送带匀速前进的速度为0.25 m/s，把质量为5 kg的木箱静止放到传送带上，由于滑动摩擦力的作用，木箱以6 m/s2的加速度前进，那么这个木箱放在传送带上后，传送带上将留下的摩擦痕迹约为( ) 图1 A．5 mm B．6 mm C．7 mm D．10 mm 解析木箱加速的时间为t＝v/a，这段时间内木箱的位移为x1＝v2 2a ，而传送 带的位移为x2＝vt，传送带上将留下的摩擦痕迹长为l＝x2－x1，联立各式并代入数据，解得l＝5.2 mm，选项A正确。 答案 A 2．如图2所示，一长木板在水平地面上运动，在某时刻(t＝0)将一相对于地面静止的物块轻放到木板上，已知物块与木板的质量相等，物块与木板间及木板与地面间均有摩擦，物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且物块始终在木板上。在物块放到木板上之后，木板运动的速度－时间图象可能是下列选项中的( ) 图2 解析设在木板与物块未达到相同速度之前，木板的加速度为a1，物块与木 板间的动摩擦因数为μ1，木板与地面间的动摩擦因数为μ2。对木板应用牛顿第二定律得： －μ1mg－μ2·2mg＝ma1 a ＝－(μ1＋2μ2)g 1 设物块与木板达到相同速度之后，木板的加速度为a2，对整体有－μ2·2mg ＝2ma2 a ＝－μ2g，可见|a1|＞|a2| 2 由v－t图象的斜率表示加速度大小可知，图象A正确。 答案 A 3．如图3所示，足够长的传送带与水平面夹角为θ，以速度v0逆时针匀速转动。在传送带的上端轻轻放置一个质量为m的小木块，小木块与传送带间的动摩擦因数μ 实用标准 文案大全专题强化四动力学中三种典型物理模型 专题解读 1.本专题是动力学方法在三类典型模型问题中的应用，其中等时圆模型常在选择题中考查，而滑块—木板模型和传送带模型常以计算题压轴题的形式命题. 2.通过本专题的学习，可以培养同学们审题能力、建模能力、分析推理能力和规范表达等物理学科素养，针对性的专题强化，通过题型特点和解题方法的分析，能帮助同学们迅速提高解题能力. 3.用到的相关知识有：匀变速直线运动规律、牛顿运动定律、相对运动的有关知识 . 一、“等时圆”模型 1.两种模型(如图 1) 图1 2.等时性的证明 设某一条光滑弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d(如图2).根据物体沿光滑弦做初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a＝g sin α，位移为s＝d sin α，所 以运动时间为t0＝2sa＝2d sin αg sin α＝2dg. 图2 即沿同一起点或终点的各条光滑弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关. 实用标准 文案大全二、“传送带”模型 1.水平传送带模型 项目图示滑块可能的运动情况 ②可能先加速后匀速 情①v0>v，可能一直减速，也可能先减速再匀速 ②v0＝v，一直匀速 ③v0 ②可能先加速后情景2 ①可能一直加速 ②可能先加速后匀速 ③可能先以a1加速后以a2加速 三、“滑块—木板”模型 1.模型特点 滑块(视为质点)置于长木板上，滑块和木板均相对地面运动，且滑块和木板在摩擦力的作用下发生相对滑动. 2.两种位移关系 滑块从木板的一端运动到另一端的过程中，若滑块和木板向同一方向运动，则滑块的位移和木板的位移之差等于木板的长度；若滑块和木板向相反方向运动，则滑块的位移和木板的位移之和等于木板的长度. 实用标准 文案大全 命题点一“等时圆”模型 例1 如图3所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为圆周的最低点.每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出)，三个滑环A、B、C分别从a、b、c处由静止开始释放，用t1、t2、t3依次表示 专题强化四 动力学中三种典型物理模型 专题解读 1.本专题是动力学方法在三类典型模型问题中的应用，其中等时圆模型常在选择题中考查，而滑块—木板模型和传送带模型常以计算题压轴题的形式命题. 2.通过本专题的学习，可以培养同学们审题能力、建模能力、分析推理能力和规范表达等物理学科素养，针对性的专题强化，通过题型特点和解题方法的分析，能帮助同学们迅速提高解题能力. 3.用到的相关知识有：匀变速直线运动规律、牛顿运动定律、相对运动的有关知识. 一、“等时圆”模型 1.两种模型(如图1) 图1 2.等时性的证明 设某一条光滑弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d (如图2).根据物体沿光滑弦做初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a ＝g sin α，位移为s ＝d sin α，所以运动时间为t 0＝2s a ＝ 图2 即沿同一起点或终点的各条光滑弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关. 二、“传送带”模型 1.水平传送带模型 2.倾斜传送带模型 三、“滑块—木板”模型 1.模型特点 滑块(视为质点)置于长木板上，滑块和木板均相对地面运动，且滑块和木板在摩擦力的作用下发生相对滑动. 2.两种位移关系 滑块从木板的一端运动到另一端的过程中，若滑块和木板向同一方向运动，则滑块的位移和木板的位移之差等于木板的长度；若滑块和木板向相反方向运动，则滑块的位移和木板的位移之和等于木板的长度. 命题点一 “等时圆”模型 例1 如图3所示，ad 、bd 、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆，a 、b 、c 、d 位于同一圆周上，a 点为圆周的最高点，d 点为圆周的最低点.每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出)，三个滑环A 、B 、C 分别从a 、b 、c 处由静止开始释放，用t 1、t 2、t 3依次表示滑环A 、B 、C 到达d 点所用的时间，则( ) 图3 A.t 1 专题(三)专题3动力学中的典型“模型” 一、单选题 1．一皮带传送装置(足够长)如图Z3-1所示，皮带的速度v足够大，轻弹簧一端固定，另一端连接一个质量为m的滑块，已知滑块与皮带之间存在摩擦，当滑块放在皮带上时，弹簧的轴线恰好水平，若滑块放到皮带的瞬间，滑块的速度为零，且弹簧正好处于自然长度，则弹簧从自然长度到第一次达到最长这一过程中，滑块的速度和加速度变化的情况是() 图Z3-1 A．速度增大，加速度增大 B．速度增大，加速度减小 C．速度先增大后减小，加速度先增大后减小 D．速度先增大后减小，加速度先减小后增大 2．如图Z3-2所示，在光滑平面上有一静止小车，小车上静止地放置着一小物块，物块和小车间的动摩擦因数为μ＝0.3，用水平恒力F拉动小车，设物块的加速度为a1，小车的加速度为a2.当水平恒力F取不同值时，a1与a2的值可能为(当地重力加速度g取10 m/s2)() 图Z3-2 A．a1＝2 m/s2，a2＝3 m/s2 B．a1＝3 m/s2，a2＝2 m/s2 C．a1＝5 m/s2，a2＝3 m/s2 D．a1＝3 m/s2，a2＝5 m/s2 3．[2015·济南模拟]如图Z3-3所示，三角形传送带以1 m/s的速度逆时针匀速转动，两边的传送带长都是2 m，且与水平方向的夹角均为37°.现有两个小物块A、B从传送带顶端都以1 m/s的初速度沿传送带下滑，两物块与传送带间的动摩擦因数都是0.5，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.下列判断不正确的是() 图Z3-3 A．物块A先到达传送带底端 B．物块A、B同时到达传送带底端 C．传送带对物块A、B的摩擦力都沿传送带向上 D．物块A下滑过程中相对传送带的位移小于物块B下滑过程中相对传送带的位移 二、多选题 4．[2015·陕西安康二模]如图Z3-4所示，一足够长的木板静止在光滑水平面上，一物块静止在木板上，木板和物块间有摩擦．现用水平力向右拉木板，在物块相对木板运动过程中，撤掉拉力，此后木板和物块相对于水平面的运动情况为() 第15 讲动力学中的三种典型物理模 型 热点概述(1)本热点是动力学方法在三类典型模型问题中的应用，其中“等时圆”模型常在选择题中考查，而“滑块—木板”模型和“传送带”模型常以选择题或计算题的形式命题。(2)通过本热点的学习，可以培养同学们的审题能力、建模能力、分析推理能力和规范表达能力等物理学科素养。经过针对性的专题强化，通过题型特点和解题方法的分析，帮助同学们迅速提高解题能力。(3)用到的 相关知识有：匀变速直线运动规律、牛顿运动定律、相对运动的有关知识。 热点一“ 等时圆”模型 1．“等时圆”模型 设想半径为R 的竖直圆内有一条光滑直轨道，该轨道是一端与竖直直径相交的弦，倾角为θ，一个物体从轨道顶端滑到底端，则下滑的加速度a＝gsinθ，位 移x＝2Rsinθ，而x＝12at2，解得t＝2 R g，这也是沿竖直直径自由下落的时间。 总结：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑细杆(或光滑斜面)由静止下滑，到达圆周的最低点(或从最高点到达同一圆周上各点) 的时间相等，都等于物体沿直径做自由落体运动所用的时间。 2．三种典型情况 (1) 质点从竖直圆上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到圆的最低点所用时 间相等，如图甲所示。 (2) 质点从竖直圆上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相 等，如图乙所示。 (3) 两个竖直圆相切且两圆的竖直直径均过切点， 质点沿不同的过切点的光滑 弦从上端由静止开始滑到下端所用时间相等，如图丙所示。 如图所示， ab 、cd 是竖直平面内两根固定的光滑细杆， a 、b 、c 、d 位于同一 圆周上，b 点为圆周的最低点， c 点为圆周的最高点， 若每根杆上都套着一个小滑 环(图中未画出 )，将两滑环同时从 a 、c 处由静止释放，用 t 1、t 2分别表示滑环从 a 到 b 、从 c 到 d 所用的时间，则 ( ) A ．t 1＝t 2 D ．无法确定 解析 设滑杆与竖直方向的夹角为 α，圆的直径为 D ，根据牛顿第二定律得 滑环的加速度为 a ＝mgc m os α ＝gcosα，杆的长度为 x ＝Dcosα，则根据 x ＝21at 2 得，t 关，A 正确，B 、C 、D 错误。 B ． t 1>t 2 C ．t 1 专题二动力学中的典型“模型” 模型一等时圆模型 1.模型特征 (1)质点从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相等,如图1甲所示。 (2)质点从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等,如图乙所示。 (3)两个竖直圆环相切且两环的竖直直径均过切点,质点沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到下端所用时间相等,如图丙所示。 图1 2.思维模板 【例1】如图2所示,ab、cd是竖直平面内两根固定的光滑细杆,a、b、c、d位于同一圆周上,b点为圆周的最低点,c点为圆周的最高点,若每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出),将两滑环同时从a、c处由静止释放,用t1、t2分别表示滑环 从a到b、从c到d所用的时间,则() 图2 A.t1＝t2 B.t1＞t2 C.t1＜t2 D.无法确定 解析设光滑细杆与竖直方向的夹角为α,圆周的直径为D,根据牛顿第二定律得 滑环的加速度为a＝mg cos α m＝g cos α,光滑细杆的长度为x＝D cos α,则根据x＝ 1 2 at2得,t＝2x a＝ 2D cos α g cos α＝ 2D g,可见时间t与α无关,故有t1＝t2,因此A项正 确。 答案 A 1.如图3所示,位于竖直平面内的圆周与水平面相切于M点,与竖直墙相切于A点,竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为60°,C是圆环轨道的圆心。已知在同一时刻,甲、乙两球分别从A、B两点由静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点。丙球由C点自由下落到M点。则() 图3 A.甲球最先到达M点 B.乙球最先到达M点 C.丙球最先到达M点 D.三个球同时到达M点 解析设圆轨道的半径为R,根据等时圆模型有t 乙>t 甲 ,t 甲 ＝2 R g；丙球做自由落 体运动,有t 丙＝ 2R g,所以有t乙>t甲>t丙,选项C正确。 答案 C 2.(2020·合肥质检)如图4所示,有一半圆,其直径水平且与另一圆的底部相切于O 专题2 动力学中的典型“模型” 模型一等时圆模型 1?模型特征 (1) 质点从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用时间 相等，如图1甲所示。 (2) 质点从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相 等，如图乙所示。 (3) 两个竖直圆环相切且两环的竖直直径均过切点，质点沿不同的光滑弦上端由 静止开始滑到下端所用时间相等，如图丙所示 2?思维模板 替犁一(L 参*相交詢*F!诃W 滝轨縮 条件 ②质虑由■弄话从訖遵的一端滑到号一端 设世 ___ (I 下瑞祸娈：吏点肖JD 钠豪伍点 '皤上堪祈交；交点为国対R 尚巨 作等__①赴耶点罪監直雯 肘風 ~2 w 某拉垄为強乍国心在竖点线上前旬 U h ①轨道城点都話?同上.廣点黑动时间相尊 —k 程奉点在国內的牝趙.质点讶动时间訶.靖 … 点在K 恰的就道.雨点运話时间瓷 ”- 护 I ° I I :》| W ?mtK.2 v? —af- I > '卜 潸苦制 【例1】 如图2所示，ab 、cd 是竖直平面内两根固定的光滑细杆, 位 于同一圆周上，b 点为圆周的最低点，c 点为圆周的最高点，若每根杆上 都套 着一个小滑环(图中未画出)，将两滑环同时从a 、c 处由静止释放，用t1、t2分别 表示 a 、 b 、 c 、 d 图1 滑环从a到b、从c到d所用的时间，贝U ( ) B.t i > t 2 D.无法确定 解析 设光滑细杆与竖直方向的夹角为 a 圆周的直径为D ，根据牛顿第二定律 得滑环的加速度为a = mg m°S a = geos a,光滑细杆的长度为x = Dcos a,贝U 根据x =2at 2得，t 鑒07：=^/2D ，可见时间t 与a 无关，故有t i = t 2,因 此A 项正确。 答案 A 务雄训练 快"? 1.如图3所示，位于竖直平面内的圆周与水平面相切于 M 点，与竖直墙相切于A 点，竖直墙上另一点B 与M 的连线和水平面的夹角为60° ° C 是圆环轨道的圆心。 已知在同一时刻，甲、乙两球分别从 A 、B 两点由静止开始沿光滑倾斜直轨道运 答案 C 2.（2020合肥质检）如图4所示，有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于 0点，o 点恰好是下半圆的圆心，它们处在同一竖直平面内。现有三条光滑轨道 A. t i = t 2 C.t l V t 2 A. 甲球最先到达M 点 B. 乙球最先到达M 点 C.丙球最先到达M 点 D.三个球同时到达M 点 解析 设圆轨道的半径为R ,根据等时圆模型有t 乙〉t 甲, t 甲二 2R ，所以有t 乙＞t 甲＞t 丙，选项C 正确 图2 ) 图3 动到M 点。丙球由 R ；丙球做自 由落体运动，有t 丙= 高中物理 必修二 【动力学中的“板块”“传送带”模型】典型题 1．(多选)如图所示，表面粗糙、质量M ＝2 kg 的木板，t ＝0时在水平恒力F 的作用下从静止开始沿水平面向右做匀加速直线运动，加速度a ＝2.5 m/s 2，t ＝0.5 s 时，将一个质量m ＝1 kg 的小铁块(可视为质点)无初速度地放在木板最右端，铁块从木板上掉下时速度是木板速度的一半．已知铁块和木板之间的动摩擦因数μ1＝0.1，木板和地面之间的动摩擦因数μ2＝0.25，g ＝10 m/s 2，则( ) A ．水平恒力F 的大小为10 N B ．铁块放上木板后，木板的加速度为2 m/s 2 C ．铁块在木板上运动的时间为1 s D ．木板的长度为1.625 m 解析：选AC ．未放铁块时，对木板由牛顿第二定律：F －μ2Mg ＝Ma ，解得F ＝10 N ，选项A 正确；铁块放上木板后，对木板：F －μ1mg －μ2(M ＋m )g ＝Ma ′，解得：a ′＝0.75 m/s 2，选项B 错误；0.5 s 时木板的速度v 0＝at 1＝2.5×0.5 m/s ＝1.25 m/s ，铁块滑离木板时，木板的速度：v 1＝v 0＋a ′t 2＝1.25＋0.75t 2，铁块的速度v ′＝a 铁t 2＝μ1gt 2＝t 2，由题意：v ′＝ 1 2v 1 ，解得t 2＝1 s ，选项C 正确；铁块滑离木板时，木板的速度v 1＝2 m/s ，铁块的速度v ′＝1 m/s ，则木板的长度为：L ＝v 0＋v 12t 2－v ′2t 2＝1.25＋22×1 m －12×1 m ＝1.125 m ，选项D 错误；故选 A 、C ． 2．(多选)如图甲为应用于机场和火车站的安全检查仪，用于对旅客的行李进行安全检查．其传送装置可简化为如图乙的模型，紧绷的传送带始终保持v ＝1 m/s 的恒定速率运行．旅客把行李无初速度地放在A 处，设行李与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.1，A 、B 间的距离L ＝2 m ，g 取10 m/s 2.若乘客把行李放到传送带的同时也以v ＝1 m/s 的恒定速率平行于传送带运动到B 处取行李，则( ) A ．乘客与行李同时到达 B 处 B ．乘客提前0.5 s 到达B 处 动力学中的典型“模型” 浪H达标训竦强化训练i枝能提窃 一、选择题（1?3题为单项选择题，4?5题为多项选择题） 1.在民航和火车站可以看到用于对行李进行安全检查的水平传送带。当旅客把行李放到传送带上 时，传送带对行李的滑动摩擦力使行李开始做匀加速运动。随后它们保持相对静止，行李随传送带一起前进。设传送带匀速前进的速度为0.25 m/s,把质量为5 kg的木箱静止放到传送带上，由于滑动摩擦力的作用，木箱以 6 m/s2的加速度前进，那么这个木箱放在传送带上后，传送带上将留下的摩擦痕迹约为（） 图1 A . 5 mm B. 6 mm C. 7 mm D. 10 mm 2 解析木箱加速的时间为t=v/a，这段时间内木箱的位移为％1=岩，而传送带的位移为血= vt，传送带上将留下的摩擦痕迹长为I = X2—X1,联立各式并代入数据，解得I二5.2 mm，选项A正确。 答案 A 2.（2016山东日照模拟）如图2所示，一长木板在水平地面上运动，在某时刻（t= 0）将一相对于 地面静止的物块轻放到木板上，已知物块与木板的质量相等，物块与木板间及木板与地面间均有摩擦，物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且物块始终在木板上。在物块放到木板上之后，木板运动的速度一时间图象可能是下列选项中的（） —厂 图2 解析设在木板与物块未达到相同速度之前，木板的加速度为a1，物块与木板间的动摩擦因数为卩，木板与地面间的动摩擦因数为比。对木板应用牛顿第二定律得： —p mg—比2mg= ma1 a1 = —（p + 2 比）g 设物块与木板达到相同速度之后，木板的加速度为a2，对整体有-似2mg= 2ma2 a2=—比g,可见|a i|>|a2| 由v —t图象的斜率表示加速度大小可知，图象A正确。 答案 A 3.（2017山东潍坊质检）如图3所示，足够长的传送带与水平面夹角为9,以速度v o逆时针匀速 转动。在传送带的上端轻轻放置一个质量为m的小木块，小木块与传送带间的动摩擦因数庐tan 9,则图中能客观地反映小木块的速度随时间变化关系的是（） 解析开始阶段，木块受到竖直向下的重力、垂直斜面向上的支持力和沿传送带向下的摩擦力作用，做加速度为a i的匀加速直线运动，由牛顿第二定律得 mgsin 9+ 卩mgos 0= ma i 所以a i = gsin 9+ 卩cos 9 木块加速至与传送带速度相等时，由于p 分配系数 K d = (C 0?C e )V e 吸附量 Q t =C 0?C t m ×V Langmiur Q e =Q m K L C e L e C e Q e =1Q m K L +C e Q m KL 是个常数与吸附剂结合位点的亲和力有关，该模型只对均匀表面有效 Freundlich Q e =K F C e 1/n ln Q e =ln K F +1n ln C e Ce 反应达到平衡时溶液中残留溶质的浓度 KF 和n 是Freundlich 常数，其中KF 与吸附剂的吸附亲和力大小有关，n 指示吸附过程的支持力。1/n 越小吸附性能越好一般认为其在0.1~0.5时，吸附比较容易；大于2时，难以吸附。 应用最普遍，但是它适用于高度不均匀表面，而且仅对限制浓度范围（低浓度）的吸附数据有效 一级动力学1(1)k t t e q q e -=- Q t =Q e (1?e ?K 1t ) 线性ln Q e ?Q t =ln Q e ?K 1t 二级动力学2221e t e k q t q k q t =+ Q t =K 2Q e 2t 1+K 2Q e t 线性t Q t =1K 2Q e 2+t Q e 初始吸附速度V 0=K 2Q e 2 Elovich 动力学模型 Q t =a +b ln t Webber-Morris 动力学模型 Q t =K ip t 1/2+c Boyd kinetic plot Q t e =1?6×exp ?K B t 6 令F=Q t /Q e, K B t=-0.498-ln(1-F) 准一级模型基于假定吸附受扩散步骤控制； 准二级动力学模型假设吸附速率由吸附剂表面未被占有的吸附空位数目的平方值决定，吸附过程受化学吸附机理的控制，这种化学吸附涉及到吸附剂与吸附质之间的电子共用或电子转移； Webber-Morris动力学模型 粒子内扩散模型中，qt与t1/2进行线性拟合，如果直线通过原点，说明颗粒内扩散是控制吸附过程的限速步骤；如果不通过原点，吸附过程受其它吸附阶段的共同控制；该模型能够描述大多数吸附过程，但是，由于吸附初期和末期物质传递的差异，试验结果往往不能完全符合拟合直线通过原点的理想情况。粒子内扩散模型最适合描述物质在颗粒内部扩散过程的动力学，而对于颗粒表面、液体膜内扩散的过程往往不适合 Elovich方程为一经验式，描述的是包括一系列反应机制的过程，如溶质在溶液体相或界面处的扩散、表面的活化与去活化作用等，它非常适用于反应过程中活化能变化较大的过程，如土壤和沉积物界面上的过程。此外，Elovich方程还能够揭示其他动力学方程所忽视的数据的不规则性。 Elovich和双常数模型适合于复非均相的扩散过程。 Langmuir模型假定吸附剂表面均匀，吸附质之间没有相互作用，吸附是单层吸附，即吸附只发生在吸附剂的外表面。Qm 为饱和吸附量，表示单位吸附剂表面，全部铺满单分子层吸附剂时的吸附量；该模型的假设对实验条件的变化比较敏感，一旦条件发生变化，模型参数则要作相应的改变，因此该模型只能适用于单分子层化学吸附的情况。Langmuir 等温吸附模型作为第一个对吸附机理做了生动形象描述的模型，为以后其他吸附模型的建立起到了奠基作用。 Freundlich吸附方程既可以应用于单层吸附，也可以应用于不均匀表面的吸附情况。Freundlich吸附方程作为一个不均匀表面的经验吸附等温式，既能很好的描述不均匀表面的吸附机理，更适用于低浓度的吸附情况，它能够在更广的浓度范围内很好地解释实验结果。但是，Freundlich 吸附方程的缺点则是不能得出一个最大吸附量，无法估算在参数的浓度范围以外的吸附作用。 由于Freundlich 等温吸附方程受低浓度的限制，而Langmuir 等温吸附方程则受高浓度的限制。Redlich–Peterson 等温吸附方程则是综合Freundlich 等温吸附方程和Langmuir 等温吸附方程而提出的较合理的经验方程。A 是一个与吸附量有关的常数，B 也是一个与吸专题(19)动力学中三种典型物理模型(解析版)
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