课题：第18章勾股定理复习课
第十四章 勾股定理 回顾与思考 教学目标 1．知识目标：掌握直角三角形的边、角之间分别存在着的关系，熟练地运用直角三角形的 勾股定理和其他性质解决实际问题。 2．能力目标：正确使用勾股定理的逆定理，准确地判断三角形的形状。 3．德育目标：熟悉勾股定理的历史，进一步了解我国古代数学的伟大成就，激发学生的爱 国热情，培养探索知识的良好习惯。 教学重点：掌握勾股定理及其逆定理。 教学难点：准确应用勾股定理及其逆定理。 教具准备：投影仪，胶片，彩色水笔，三角板等 教学方法：启发式教育 教学过程 一、回顾与思考 1．直角三角形的边存在着什么关系？ 2．直角三角形的角存在着什么关系？ 3．直角三角形还有哪些性质？ 4．如何判断一个三角形是直角三角形？ 5．你知道勾股定理的历史吗？ 一、 讲例 问题：如图，一个3m 长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO 如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m ，那么梯子底端B 也外移0.5m 吗？ （留几分钟的时间给学生思考） 分析：1、求梯子的底端B 距墙角O 多少米？ 2、如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m 至C ，请同学们猜一猜： （1）底端也将滑动0.5米吗？ （2）能否求出OD 的长？ 解：根据勾股定理，在Rt △OAB 中，AB=3m ，OA=2.5m ，OB 2 =AB 2 -OA 2 = 32 -2.52 =2.75。 ∴OB ≈1.658m ；在Rt △OCD 中，OC=OA-AC=2m ，CD=AB=3m ，OD 2 =CD 2 -OC 2 = 32 2 。BD=OD-OB=2.236-1.658≈0.58m
∴如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m ，那么梯子底端B 也外移0.58m 。 例2 议一议P19 拼图与勾股定理 观察图 2 验证：c 2 ＝a 2 ＋b 2 证明：大正方形面积可表示为c 2 ，也可以表示为2 1ab ·4＋（b —a ）2 所以c 2 ＝ 2 1ab ·4＋（b —a ）2 ＝2ab ＋b 2 －2ab ＋a 2 ＝a 2 ＋b 2 故c 2 ＝a 2 十b 2 例3. 一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A 与∠BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD ＝4，AB ＝3，DB ＝5，DC ＝12，BC ＝13，这个零件符合要求吗？ 分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断△ABC 和△DBC 是否为直角三角形，这样勾股定理的逆定理即可派上用场了。 解：在△ABC 中，AB 2 ＋AD 2 ＝32 ＋42 ＝9＋16＝25＝BD 2 所以△ABC 为直角三角形，∠A ＝90° 在△DBC 中，BD 2 ＋DC 2 ＝52 ＋122 ＝25＋144＝169＝132 ＝BC 2 所以△DBC 是直角三角形，∠CDB ＝90° 因此这个零件符合要求。 二、 随堂练习 一、判断题。 1．由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形（） 2．由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数（） 二、填空题。 1．已知三角形的三边长分别为5cm ，12cm ，13cm ，则这个三角形是 2．△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，以BC 为边的正方形面积为 3．三条线段m 、n 、p 满足m 2 一 n 2 ＝ p 2 ，以这三条线段为边组成的三角形为 三、选择题。 B A 3 4
《勾股定理》复习学案 ★知识汇总 1．勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改；②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：设直角三角形的两直角边和斜边长由短到长分别为a,b,c 方法一：如图，S △AFD = EF= S 正方形EFGH = S 正方形ABCD = = 化简过程为： 方法二：如图，S △= S 大正方形= S 小正方形= = 化简过程为： 方法三：如图，S △AED = S △BEC = S △AEB = S 梯形ABCD = = ， 化简过程为： 2.面积问题： ⑴如图1，以直角三角形的三边长作正方形，则三个正方形的面积之间存在关系是 ⑵如图2，以直角三角形的三边长为直径作半圆，则三个半圆的面积之间存在关系是 ⑶如图3，以直角三角形的三边长为斜边作等腰直角三角形，则三个三角形的面积之间存在关系 是 小练习： 1.如图1，①若S 1=9 S 2=16，则S 3= ，BC= ；②若AB=2，S 3=10，则S 2= ； ③若S 3=10，则S 1+S 2+S 3= ；④若S 1+S 2=5，则S 1+S 2+S 3= 。 2.如图2，①若S 1=2π S 3= 258π，则S 2= ；②若S 1=3π，S 2=3 2 π，则S 3= ，BC= ； ③若BC=10，则S 1+S 2= 。 3.如图3，BC=6，则S 1+S 2+S 3= 。 4.如图4，以直角三角形的三边长为直径作半圆，若AB=12,AC =5,则S 阴影= 。 5.如图5，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，①若最大的正方形的边长为7㎝，则正方形A 、B 、C 、D 的面积之和为 ；②若最大的正方形的边长为10㎝，正方形A 的边长为6㎝，B 的边长为5㎝，C 的边长也为5㎝，则正方形D 的边长为 。 3．勾股定理的逆定理 内容：如果三角形三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。 4. 勾股数 条件：①满足a 2+b 2=c 2；②a,b,c 为三个正整数，则a,b,c 为一组勾股数。 请写出一些常见的勾股数（至少写出5组）： 5.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边：在ABC ?中，90C ∠=?，则c 2=a 2+b 2，b 2=c 2-a 2，a 2=c 2-b 2 ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ④在空间图形中求不在同一平面上两点的距离，需要将立体图形展开，使两点放入同一平面内，然后用勾股定理计算。 ★练习题 一. 选择题 1.已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 2.等腰△ABC 的底边BC 为16，底边上的高AD 为6，则腰长AB 的长为（ ） A 、10 B 、12 C 、15 D 、20 3.下列说法正确的是（ ） A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2 B.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2 C.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2 ＋b 2 ＝c 2 D.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 2 4.把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ） A ． 2倍 B ． 4倍 C ． 6倍 D ． 8倍 5.△ABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮元计算，那么共需要资金（ ）. A. 50元 B. 600元 C. 1200元 D. 1500元 图4 图5
第60课时 14.1.1《直角三角形三边的关系》 一、教学目标 【知识与技能目标】：能说出勾股定理的内容,并运用它进行简单的计算和解决一些简单的实际问题。【能力与方法目标】：经历探索勾股定理的过程，让学生经历“观察—猜想—探索—归纳—验证”这几个思维阶段，发展数形结合、合情推理的能力和语言表达的能力。 【情感与态度目标】：通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股定理的文化价值，使学生热爱祖国，热爱科学；通过探索过程获得成功的经验和克服困难的经历，增强学生学习数学的信心。 二、教学重点 探究直角三角形三边的关系，归纳勾股定理及简单应用。 三、教学难点 勾股定理的探索过程。 四、教学方法 引导探索法、自主探究法、合作交流法、演示法 五、教学过程 （一）创设情境，引发思考 1、设置疑问：小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机。但小明量出长58厘米和宽46厘米，是不是售货搞错了呢？此时教师应向学生介绍“我们通常所说的29英寸或74厘米的电视机，是指其荧屏对角线的长度”这一生活常识，进而引导学生将实际问题转化成数学问题,也就是“已知一直角三角形的两边，如何求第三边？” 的问题，激发学生的探究欲望。 2、回忆有关直角三角形的相关知识，教师引导提问直角三角形的三边有什么关系？揭示课题。（二）自主探索，合作交流 探究活动1： 1、猜想：将等腰直角三角形放到方格纸中研究，分别以等腰直角三角形的三边为边长向外作正方形，让学生猜想这三个正方形的面积有什么关系？ 2、观察思考：直角三角形三边的关系与猜想是否一样？ 3、引导点拨：将“R”分“割”成若4个大小一样的直角三角形或“补” 成边长为2的正方形面积的一半. 4、得出结论：S P+S Q=S R 探究活动2： 1、提出问题：是否所有的一般直角三角形都有这个结论呢？ 2、观察填空：学生交流合作，共同寻找办法，发现三个正方形的面积，并抽生交流方法。 3、议一议：（1）你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？ （2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与同伴进行交流。 4、得出结论：S P+S Q=S R 从而由面积的求法推出a2＋b2＝c2 5、验证结论：学生在P117页方格纸上作一个直角边分别是6cm和8cm的直角三角形。通过测
勾股定理的证明 【证法1】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 ab c ab b a 21 4214222?+=?++， 整理得 222c b a =+. 【证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积 等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、 C 三点在一条直线上，C 、G 、 D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF . ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2 b a +. ∴ ()2 2 21 4c ab b a +?=+. ∴ 2 22c b a =+.【证法3】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜
边作四个全等的直角三角形，则每个直角 三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状. ∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB . ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90o. ∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2 a b -. ∴ ()2 2 214c a b ab =-+?. ∴ 2 22c b a =+. 【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面 积等于ab 21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC . ∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o. ∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形， 它的面积等于221c . 又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o, ∴ AD ∥BC . ∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()2 21 b a +. ∴ ()2 2212122 1 c ab b a +?=+. ∴ 2 22c b a =+. 【证法5】（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c . 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P . ∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD,
年级数学科辅导讲义（第讲）学生姓名：授课教师：授课时间： 勾股定理 知识梳理 1．勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。若直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，则a2+b2=c2。 2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 3．满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。若a，b，c是一组勾股数，则ak，bk，ck（k为正整数）也必然是一组勾股数。常用的几组勾股数有3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；9,40,41等。 4．勾股定理的应用: ①圆柱形物体表面上的两点间的最短距离； ②长方体或正方体表面上两点间的最短距离问题。 5．直角三角形的判别： ①定义，判断一个三角形中有一个角是直角； ②根据勾股定理的逆定理，三角形一边的平方等于另外两边的平方和，则该三角形是直角三角形。 6．拓展：特殊角的直角三角形相关性质定理。 精讲点拨 考点1. 勾股定理 【例1】在Rt△ABC中，已知两边长为3、4，则第三边的长为 变式1 在Rt△ABC中，已知两边长为5、12，则第三边的长为 变式2 等边三角形的边长为6，则它的高是________ 变式3 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边， （1）已知c＝4，b＝3，求a；（2）若a:b=3:4，c=10cm，求a、b。
考点2. 勾股定理的证明 【例2】如图：由四个全等直角三角形拼成如下大的正方形，求证：2 2 2 a b c += 变式 如图：由四个全等直角三角形拼成如下大的正方形，求证：2 2 2 a b c += 考点3 勾股定理的应用 【例3】 如图，A 市气象站测得台风中心在A 市正东方向300千米的B 处，以107千米/时的速度向北偏西60°的BF 方向移动，距台风中心200?千米范围内是受台风影响的区域． （1）A 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明； （2）如果A 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？ 变式1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？
第14章勾股定理 一、选择题（共13小题） 1．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（） A．48 B．60 C．76 D．80 2．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（） A．黄金分割 B．垂径定理 C．勾股定理 D．正弦定理 3．如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=10，AE=16，则BE的长度为何？（） A．10 B．11 C．12 D．13 4．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（） A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=2，b=4，c=5 D．a=3，b=4，c=5 5．下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（） A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．1，， 6．一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（）
A．5 B．C．D．5或 7．设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 8．如图，若∠A=60°，AC=20m，则BC大约是（结果精确到0.1m）（） A．34.64m B．34.6m C．28.3m D．17.3m 9．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN．若四边形MBND是菱形，则等于（） A．B．C．D． 10．如图，正六边形ABCDEF中，AB=2，点P是ED的中点，连接AP，则AP的长为（） A．2 B．4 C． D． 11．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（） A．只有1个 B．可以有2个 C．有2个以上，但有限D．有无数个 12．在等腰△ABC中，∠ACB=90°，且AC=1．过点C作直线l∥AB，P为直线l上一点，且AP=AB．则点P到BC所在直线的距离是（） A．1 B．1或C．1或D．或
勾股定理 教学目标 知识与技能 掌握直角三角形的边、角之间分别存在着的关系，熟练地运用直角三角形的勾股定理和其他性质解决实际问题。 过程与方法 正确使用勾股定理的逆定理，准确地判断三角形的形状。 情感态度与价值观 熟悉勾股定理的历史，进一步了解我国古代数学的伟大成就，激发学生的爱国热情，培养探索知识的良好习惯。 教学重点 掌握勾股定理及其逆定理。 教学难点 准确应用勾股定理及其逆定理。 教学内容与过程 教法学法设计 一. 复习提问，回顾知识，请看下面的问题： 想一想 1 直角三角形有那些特征？ 二、合作交流自主探究 探究1 如图，以 Rt△ABC 的三边 为边向外 作正方 形，其面积分别为 123S S S ，，，请同学们想一想123S S S ，，之间有何关系呢？ 二. 导入课题，研究知识： 本节课我们来解决一些问题，达到复习直角三角形有关知识的目的 三.归纳知识，培养能力： 直角三角形的有关知识 四.运用知识，分析解题： 探究1 如图，以Rt△ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为123S S S ，，， 面向全体学生提出 相关的问题。明确要研究，探索的问题是什么，怎样去研究和讨论。. 留给学生一定的思考和回顾知识的时间。 为学生创设表现才华的平台。 A B C 3S 2 S 1 S A B F C D E A B C 3S 2 S 1S
123S S S ，，之间有何关系呢？ 探究2 .如图沿AE 折叠矩形，点D 恰好落在 BC 边上的点F 处，已知AB =8cm ，BC = 10cm ，求EC 的长. 探究3 有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的 水面,请问这个水池的深度和这根芦苇 的长度各是多少? 五.课堂练习： 1 . 你能说说出本章的知识结构吗？ 六.课后作业：本节课有什么收获，请你谈谈？ 分析： 1、求梯子的底端B 距墙角O 多少米？ 2、如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m 至C ，请同学们猜一猜： （1）底端也将滑动0.5米吗？ （2）能否求出OD 的 长？ 教学反思 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！ A B F C D E 5尺 1尺 x 水池 直角三角形 勾股定理 应用 判定直角三角形的一种方法
《勾股定理》复习课教学设计 南湖中学孙沛磊
【点拨】：题干没图，应根据题意画图，注意不要遗漏可能的情况。 ^ 思考：通过这些题，你认为在运用勾股定理时有哪些注意点 2．探究二：勾股定理逆定理的应用 问题1：判断以线段a 、b 、c 为边的△ABC 是不是直角三角形若是，并说明哪条边为斜边 （1）a=7 b=3 c=2 （2）a=3 b=4 c=5 （3）a=3 b=4 c=5 【点拨】：利用勾股定理逆定理时主要准确判断斜边 ，注意区别 （2）、（3）。 问题2:三角形三边长为a ，b ，c ，且满足等式ab c b a 22 2=-+)（， 则此三角形是什么三角形 【点拨】：注意等式变形，找出三边数量关系。 问题3：一个三角形三边长比为1：3：2，这个三角形是直角三角形吗 # 【点拨】：对于比例问题，可以通过设未知数方式来解决。 探究小结：通过这些题，你有哪些体会 3．探究三：勾股定理及其逆定理综合应用 题型一：折叠问题 问题1：如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与 AE 重合，求CD 的长． 变式1：在矩形纸片ABCD 中，AD=4cm ，AB=10cm ，按图所示方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，求DE 的长。 , 探究一、 二： 独立思考 并回答问 题，最后学 生通过练习总结知识应用过程的方法、 思想。 - 探究三： 独立思考 观察、计 算、探讨、 归纳出在解决折叠问题、展开问题时的方法和数学思想。 、 高学生口头表达能力 探究一、二意在让学生通过观察、计算、归纳进一步理解和总结知识应用所蕴含的方法和数学思想． 】 探究三意在巩固提升学生综合应用勾股定理及其逆定理的能力，培养学生归类能力和数学思想。 [
勾股定理 本章总结提升 问题1 勾股定理 直角三角形三边的长有什么特殊的关系？ 例1 已知一个直角三角形的两条边长分别为5，13，则第三条边长为________． 【归纳总结】当题目中已知直角三角形的两条不相等的边长，并且未表明直角边和斜边时，一定要分类讨论，防止漏解．若题目中已知直角三角形的两条相等的边长，则这两条边一定是直角边． 问题2 用拼图证明勾股定理 勾股定理的证明方法有哪些？赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法？ 例 2 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图14－T－1①或②摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理．下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程：
① ② 图14－T －1 将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中∠DAB ＝90°，求证：a 2＋b 2＝c 2 . 证明：连结DB ，DC ，过点D 作BC 边上的高DF ，DF ＝EC ＝b －a . ∵S 四边形ADCB ＝S △ACD ＋S △ABC ＝12b 2＋1 2 ab ， S 四边形ADCB ＝S △ADB ＋S △DCB ＝1 2c 2＋12 a ( b －a )， ∴12b 2＋12ab ＝12c 2＋1 2a (b －a )． ∴a 2 ＋b 2 ＝c 2 . 请参照上述证法，利用图②完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中∠DAB ＝90°. 求证：a 2 ＋b 2 ＝c 2 . 【归纳总结】 把图形进行“割”或“补”，这两种方法体现的是同一种思想——化归思想． 问题3 勾股定理的应用 勾股定理有哪些应用？运用勾股定理解决实际问题的关键是什么？ 例3 如图14－T －2所示，一架2.5米长的梯子AB 斜靠在一堵竖直的墙AO 上，这时梯脚B 到墙底端O 的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙垂直下滑0.4米，那么梯脚将外移多少米？
第14章勾股定理 课程内容标准 1.体验勾股定理的探索过程，掌握勾股定理，会运用勾股定理解决相关问题。 2.掌握勾股定理的逆定理（不证），会运用勾股定理的逆定理解决相关问题。 3.运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题。 4.感受数学文化价值和中国传统数学的成就，激发学生热爱祖国与悠久文化的思想感情。 单元教学分析 1.整个教学分五步：探索结论——验证结论——初步应用结论——证明结论——应用结论解决实际问题. 2.在探索结论阶段，应调动学生的积极性，让学生充分参与. 3.初步应用结论阶段的重点是让学生明确：在直角三角形中，知道两边，可以求第三边. 4.证明结论阶段主要是讲清思路，而不只是介绍某一种证明方法. 5.应用结论解决实际问题分两类：探索性问题和应用性问题。 课时分配 全章教学时间为9课时，分配如下： §14.1 勾股定理--------------------5课时 §14.2 勾股定理的应用--------------2课时 复习-------------------------------1课时 课题学习---------------------------1课时 第1课时直角三角形三边的关系（1） 教学内容 教科书P.48——P.51的内容 教学目标 知识与技能：体验勾股定理的探索过程，了解利用拼图验证勾股定理的方法，掌握勾股定理并会用它解决身边与实际生活相关的数学问题； 过程与方法：在学生经历观察、归纳、猜想、探索勾股定理过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想，并在探索过程中，发展学生的归纳、概括能力； 情感态度与价值观：通过探索直角三角形的三边之间关系，培养学生积极参与、合作交流的意识，体验获得成功的喜悦，通过介绍勾股定理在中国古代的研究情况，提高学生民族自豪感，激发学生热爱祖国、奋发学习的热情。 教学分析 重点：探索和验证勾股定理过程。 难点：通过面积计算探索勾股定理。 关键：关注性质的推导，主动探索，在实践中获得结论，并能正确地用语言表述性质。 教学方法及教学手段： 采用探究发现式的教学方法，通过计算面积为学生设计一个数学实验的平台，结合多媒体课件的演示，培养学生动手实践能力和合作交流的意识。 教学过程： 1．创设情境，导入课题 多媒体演示勾股树图片，激发学生求知欲，成功导入本节课题。 2．自主探索，合作交流 活动一：动脑想一想 1的正方形纸片，沿对角线折叠，你知道折痕有多长吗？①这个问题你是怎样想的？请小明用一边长为cm 1），你能知说出你的想法。②若把折叠后的直角三角形纸片放在如图所示的格点图中（每个小正方形边长为cm 道斜边的长吗？ ③观察图形，并填空：
华东师大版八年级上册数学第14章勾股定理单元训练检测卷 一、单选题 1．下列各组数据中，不能构成直角三角形的是（ ） A ．9、12、15 B C ．8、15、17 D ．9、40、41 2．如图是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形、如果大正方形的面积13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a ，较长的直角边为b ，那么（a+b ）2的值为（ ） A ．169 B ．25 C ．19 D ．13 3．如图，在ABC 中，90C ∠=?， 点E 是AB 的中点，点D 是AC 边上一点，且DE AB ⊥，连接DB ．若6AC =，3BC =，则CD 的长（ ） A ．112 B ．32 C ．94 D 4．如图，在ABC 中，D 是BC 边上的中点，连结AD ，把ABD △沿AD 翻折，得到AB D '，连接CB '，若2BD CB '==，3AD =，则AB C '的面积为（ ） A ．2 B ． C D ．2
5．如图，为了测量池塘的宽度DE ，在池塘周围的平地上选择了A 、B 、C 三点，且A 、D 、E 、C 四点在同一条直线上，90C ∠=?，已测得100m AB =，60m BC =，20m AD =，10m EC =，则池塘的宽度DE （ ） A ．80m B ．60m C ．50m D ．40m 6．《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高一丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）设木杆长x 尺，依题意，下列方程正确的是（ ） A ．x 2＝（x ﹣1）2+102 B ．（x +1）2＝x 2+102 C ．x 2＝（x ﹣1）2+12 D ．（x +1）2＝x 2+12 7．如图，一根长5米的竹竿AB 斜靠在竖直的墙上，这时AO 为4米，若竹竿的顶端A 沿墙下滑2米至C 处，则竹竿底端B 外移的距离BD （ ） A ．小于2米 B ．等于2米 C ．大于2米 D ．以上都不对 8．已知：ABC ?中，AB AC =，求证：90O B ∠<，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴180O A B C ∠+∠+∠>，这与三角形内角和为180O 矛盾,②因此假设不成立．∴90O B ∠<,③假设在ABC ?中，90O B ∠≥,④由AB AC =，得90O B C ∠=∠≥，即180O B C ∠+∠≥．这四个步骤正确的顺序应是（ ） A ．③④②① B ．③④①② C ．①②③④ D ．④③①②
第14章检测试题 一、填空题 1. 如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,且AB=4,BD=5,则点D到 BC的距离为. 2. 如图所示,网格是由边长为1的小正方形组成,△ABC的三个顶点都在格点上,则△ABC的 三条边中,长度为无理数的有条. 3.用反证法证明命题“在一个三角形中,不能有两个内角为钝角”时,第一步应假 设. 12.已知|x-24|+(y-26)2+|z-10|=0,则以x,y,z为三边长的三角形为 三角形. 4.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图,根据图中的尺寸(单位:mm),可以计算 出两圆孔中心A和B的距离为 mm. 5. 如图如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以对角线AE为边作第 三个正方形AEGH,如此下去,……已知正方形ABCD的面积S1为1,按上述方法所作的正方形 的面积依次为S2,S3,…,S n(n为正整数),那么第8个正方形的面积S8= . 三、解答题 6. (6分)如图,∠CAB=90°,AB=24,BC=26,DC=6,AD=8, (1)求AC的长; (2)求四边形ABCD的面积. 7. (6分)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,分别以点A,C为圆心,大于AC长为半径画弧相交于 点M,N,连结MN,与AC,BC分别交于点D,E,连结AE, (1)求∠ADE(直接写出结果); (2)当AB=3,AC=5时,求△ABE的周长.
8. (8分)如图所示,长方体的底面边长为1.5 cm,高为4 cm,求一只蚂蚁从点A沿着长方体表面爬到C1处的最短路程. 9. (8分)在一棵树的10 m高处有两只猴子,其中一只猴子爬下树走到离树20 m的池塘A处,另一只爬到树顶后直接跃向池塘的A处,如果两只猴子所经过的路程相等,试问这棵树有多高? 10.(8分)有一根长为70 cm的木棒,要放在长、宽、高分别是50 cm, 30 cm,40 cm的木箱中,能放进去吗? 11. (8分)某校要在一块三角形空地上种植花草,如图所示,AC=13米, AB=14米,BC=15米,若线段CD是一条引水渠,且点D在边AB上.已知水渠的造价为每米150元.问:点D与点C距离多远时,水渠的造价最低?最低造价是多少元?
勾股定理单元测试 （时间：100分钟 总分：120分） 班级 学号 姓名 得分 一、相信你一定能选对！（每小题4分，共32分） 1. 三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( ) A . 6 B . 4.5 C . 2.4 D . 8 2. 下面几组数:①7,8,9；②12,9,15；③m 2 + n 2, m 2–n 2, 2mn （m ，n 均为正整数,m >n ）； ④2a ,12+a ,22 +a .其中能组成直角三角形的三边长的是( ) A . ①② B . ②③ C . ①③ D . ③④ 3. 三角形的三边为a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ） A ．a :b :c=8∶16∶17 B ． a 2-b 2=c 2 C ．a 2=(b+c)(b-c) D ． a :b :c =13∶5∶12 4. 三角形的三边长为ab c b a 2)(2 2+=+,则这个三角形是( ) A . 等边三角形 B . 钝角三角形 C . 直角三角形 D . 锐角三角形. 5．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（ ） A ．5 B ．25 C ．7 D ．5或7 6．已知Rt △ABC 中，∠C =90°，若a +b =14cm ，c =10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ） A. 24cm 2 B. 36cm 2 C. 48cm 2 D. 60cm 2 7．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ） A ．121 B ．120 C ．90 D ．不能确定 8. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（ ） A ．600米 B . 800米 C . 1000米 D. 不能确定 二、你能填得又快又对吗？（每小题4分，共32分） 9. 在△ABC 中，∠C=90°， AB ＝5，则2 AB +2AC +2BC =_______． 10. 如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合 而成.如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于 ． 11．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______． 12．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________． 13． 如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有______米. 14．如图所示，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位： mm ）计算两圆孔中心A 和B 的距离为 ． 15．如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端 A 到墙根O 的距离为2米，梯子的顶端 B 到地 面的距离为7米．现将梯子的底端A 向外移动到A ’，使梯子的底端A ’到墙根O 的距离等于3米，同时梯子的顶端 B 下降至 B ’，那么 BB ’的值： ①等于1米；②大于 1 第10题图 第13题图 第14题图 第15题图
八上第14章勾股定理单元测试题 一、选择题(每题2分，共20分） 1.已知直角三角形的斜边长为41，一条直角边长为9，则另一条直角边长为（) A45 B40 C13 D7 2.下列以a、b、c为边长的三角形不是直角三角形的是（） A a=7 b=24 c =25 B a=1.5 b=2 c =3 C a =0.6 b =0.8 c=1 D a =0.6 b=0.4 c=1 3.以边长为1的正方形的对角线为半径，以原点为圆心，则与x轴的负半轴上的交点P表示的数是（） C 2D无法确定 A -1.5 B 2 4.星期天，小红和小丽相约来到动物园门口，她们分别想去猴山鱼池，从门口分开后，分别沿东南方向和西南方向前进，若小红和小丽行走的速度都是40米每秒，小红用15分钟到侯山，小丽用20分钟到鱼池，则猴山和鱼池的直线距离为（） A 600米B800米Ｃ1000米D不能确定 5.一个三角形的三边长分别为6、8、10，则它的面积为（） A 24 B30 C 40 D48 6.三角形ABC是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将它折叠，使B与A 重合，折痕为ＤＥ,则ＤＥ长为() Ａ４Ｂ５Ｃ６Ｄ１０ ７．有一块边长为２４米的正方形ＡＢCＤ绿地，在绿地旁边Ｍ处有健身器材，由于居住在Ａ地的居民走捷径践踏了绿地，小明想在A处树立一块标牌少走几米，踏之何忍，请问标牌处应填的数字为（） A３B４C５Ｄ６ ８．圆柱的底面的周长为24cm高为10cm，一只蚂蚁从A点出发，沿着圆柱的侧面爬行到BC的中点S的最短路程为（） A 13cm B 15cm C 20cm D 25cm 9 . 一株勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形 A 、 B 、C、D 的边长分别为3、5、2、3则最大的正方形E的面积是（） A 13 B 26 C 47 D 94 10、已知△ABC中、AB=12 、AC=10、BC边上的高AD=8，则边长BC的长为（） A 9 B21 C6或15 D 9或21 二、填空题（每小题3分、共24分） 11、在△ABC中，∠B=90°，BC:AB=3:4,AC=10,则BC= 。 12、已知a、b 、c 是三角形的三边长，如果满足关系式（a-6)2+（b-8)2 +丨c-10丨=10，则该三角形是三角形。 13、如果一个直角三角形的一直角边长为7cm、斜边长为25cm，则此三角形的周长为。 14、李大爷要修育苗大棚，棚宽a=4m ，高b=3cm 长d=15m，请你帮助他计算一下盖在顶上的塑料薄膜需要m2.
第17章勾股定理小结与复习 一、课件说明 本课是对全章知识的回顾和复习，通过知识整理，进一步理解勾股定理及其逆定理，体会勾股定理在距离（线段长度）计算中的作用，理解勾股定理与它的逆定理之间的关系，并尝试综合运用这两个定理解决简单的实际问题． 二、学习目标： 知识与技能： 1、进一步理解勾股定理入其逆定理，弄清两定理之间的关系。 2、回顾本章知识，在回顾过程中主动构建起本章知识结构； 过程与方法： 1、复习直角三角形的有关知识，形成知识体系。 2、思考勾股定理及其逆定理的发现证明和应用过程，体会出入相补思想、数形结合思想、转化思想在解决数学问题中的作用. ! 情感态度恶劣与价值观： 通过运用勾股定理及其逆定理解决问题，体会到数学来源于生活，应用于生活。 三、学习重点： 勾股定理及其逆定理的应用． 四、教学过程： （一）创设情境引出课题 问题1如图，这是矗立在萨摩斯岛上的雕像，这个雕像给你怎样的数
学联想（出示图形） （背景介绍：我们知道，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了勾股定理．在西方，勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”．人们为了纪念这位伟大的科学家，在他的家乡建了这个雕像．） （二）层层提问，讲练相融 追问1在本章我们学习了直角三角形一个重要的定理，你能叙述这个定理吗 … 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2 知识点一：勾股定理的运用: 1.已知直角三角形两边,直接利用勾股定理求出第三边. 基础练习1在Rt△ABC中，已知a=1，b=3，∠B=90°，则第三边c 的长为． 变式在Rt△ABC中，已知a=1，b=3，则第三边c的长为． 温馨提示:求第三边时应看清题目中所说的边是直角边还是斜边,如果题中没有说明,则应分两种情况求. 2.未已知直角三角形的两边,则一般通过设未知数列方程解决。 基础练习2小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆的绳子垂到地面还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）． A．8 m B．10 m C．12 m D．14 m 3、利用勾股定理在数轴上表示一些无理数。
《勾股定理》单元复习教案 1.会运用勾股定理解决简单问题. 2.会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形. 3.通过具体的例子,了解逆命题、逆定理的概念,知道原命题成立其逆命题不一定成立. 通过整理与复习直角三角形的有关知识,形成直角三角形的性质与判定方法的知识体系. 能灵活运用分类讨论思想和数形结合思想,提高运用勾股定理及其逆定理解决问题的能力. 【重点】运用勾股定理及其逆定理解决问题. 【难点】会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形.
专题一用勾股定理计算线段的长 【专题分析】 用勾股定理计算线段的长这类问题,可以以选择题、填空题或解答题的形式出现,单独考查这一个知识点的情况较少,一般与其他知识点综合考查. (2014·淮安中考)如图(1)所示,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B都是格点,则线段AB的长度为() A.5 B.6 C.7 D.25
〔解析〕如图(2)所示,在Rt△ABC中,AC=4,BC=3,由勾股定理得AB===5.故选A. 在解决此类问题时,应善于挖掘图中的隐含条件,即将所求的边放进直角三角形中,并根据图示,求出直角三角形的两边长,最后就容易根据勾股定理来求第三边了.同时在用勾股定理运算时注意常用的勾股数,如:3,4,5;6,8,10;9,12,15;8,15,17;7,24,25;9,40,41等等. 【针对训练1】如图(1)所示,在平面直角坐标系中,长方形OABC的顶点A,C的坐标分别为(10,0),(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为. 〔解析〕由题意,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,有三种情况:(1)如图(2)所 示,PD=OD=5,点P在点D的左侧.过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4.在Rt△PDE中,由勾股定理得DE===3,∴OE=OD-DE=5-3=2,此时点P坐标为(2,4).(2)如图(3)所示,OP=OD=5.过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4.在Rt△POE中,由勾股定理得OE===3,此时点P坐标为(3,4).(3)如图(4)所示,PD=OD=5,点P在点D的右侧.过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4.在Rt△PDE中,由勾股定理得DE===3,∴OE=OD+DE=5+3=8,此时点P坐标为(8,4).综上所述,点P的坐标为(2,4)或(3,4)或(8,4).故填(2,4)或(3,4)或(8,4). 如果一个三角形是等腰三角形,在已知条件中没有说明哪条边为腰时,要注意分类讨论思想在几何图形中的应用,符合题意的等腰三角形有三种情形,注意不要遗漏. 专题二应用勾股定理建立方程 【专题分析】 应用勾股定理建立方程多见于解决折叠类问题,大多以填空题或选择题的形式出现,有时也以解答题的形式出现,单独出现时分值在3分左右.