第一章 集合与函数概念
知识网络
第一讲 集合
★知识梳理
一：集合的含义及其关系
1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;
2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；
3.集合中元素与集合的关系：
三：集合的基本运算
①两个集合的交集:A B = {}x x A x B ∈∈且; ②两个集合的并集: A B ={}x x A x B ∈∈或; ③设全集是U,集合A U ?,则U C A =
{}x x U x A ∈?且
方法:常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算.
★重、难点突破
重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。
难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合的交、并、补三种运算。
重难点：
1.集合的概念
掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性， 在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验； 2．集合的表示法
（1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如{})(x f y x =、{})(x f y y =、{})(),(x f y y x =等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：
问题：已知集合22
1,1,9432x y x y M x N y ????
=+==+=?????????
则M N=（ ）
A. Φ；
B. {})2,0(),0,3(；
C. []3,3-；
D. {}3,2
[错解]误以为集合M 表示椭圆
14
9
2
2
=+
y
x
，集合N 表示直线
12
3
=+
y x ，由于这直线过
椭圆的两个顶点，于是错选B
[正解] C ； 显然{}33≤≤-=x x M ，R N =，故]3,3[-=N M
(3)Venn 图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用Venn
图。
3．集合间的关系的几个重要结论 （1）空集是任何集合的子集，即A ?φ （2）任何集合都是它本身的子集，即A A ?
（3）子集、真子集都有传递性，即若B A ?，C B ?，则C A ? 4．集合的运算性质
（1）交集：①A B B A =；②A A A = ；③φφ= A ；④A B A ? ，B B A ? ⑤B A A B A ??= ；
（2）并集：①A B B A =；②A A A = ；③A A =φ ；④A B A ? ，B B A ? ⑤A B A B A ??= ；
（3）交、并、补集的关系 ①φ=A C A U ；U A C A U =
②)()()(B C A C B A C U U U =；)()()(B C A C B A C U U U =
★热点考点题型探析
考点一：集合的定义及其关系 题型1：集合元素的基本特征
[例1]（2008年江西理）定义集合运算：{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈．设 {}{}1,2,0,2A B ==，则集合A B *的所有元素之和为（ ）
A ．0；
B ．2；
C ．3；
D ．6
[解题思路]根据A B *的定义，让x 在A 中逐一取值，让y 在B 中逐一取值，xy 在值就是A B *的
元素
[解析]：正确解答本题,必需清楚集合A B *中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知
A B *={}4,2,0，故应选择D
【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。 题型2：集合间的基本关系
[例2]．数集{}Z n n X ∈+=,)12(π与{}Z k k Y ∈±=,)14(π之的关系是（ ） A ．X
Y ；B ．Y
X ； C ．Y X =；D ．Y X ≠
[解题思路]可有两种思路：一是将X 和Y 的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之间的关系进行判断。
[解析] 从题意看，数集X 与Y 之间必然有关系，如果A 成立，则D 就成立，这不可能； 同样，B 也不能成立；而如果D 成立，则A 、B 中必有一个成立，这也不可能，所以只能是C 【名师指引】新定义问题是高考的一个热点，解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义，逐个进行检验，不方便进行检验的，就设法举反例。
[新题导练]
1．第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（ ）
A ．
B A ? B.
C B ? C.C B A = D. A C B = [解析]
D ；因为全集为A ，而C B =全集=A
2．(2006?山东改编）定义集合运算:{}B y x xy y x B ∈∈+==?A,,z A 2
2
,设集合
{}1,0A =,{}3,2=B ,则集合B ?A 的所有元素之和为
[解析]18，根据B ?A 的定义，得到{}12,6,0A =?B ，故B ?A 的所有元素之和为18
3．(2007·湖北改编）设P 和Q 是两个集合，定义集合=-Q P {}Q x P x x ?∈且,|，如果{}1lo g 3<=x x P ，{}1<=x x Q ,那么Q P -等于
[解析] {}31< 3 =<=x x P ，{})1,1(1-=<=x x Q ，所以 )3,1(=-Q P 4．研究集合{}42 -==x y x A ，{}42 -==x y y B ，{}4),(2 -==x y y x C 之间的关系 [解析] A 与C ，B 与C 都无包含关系，而B A ；因为{ } 42 -==x y x A 表示 42 -=x y 的定义域，故R A =；{} 42 -==x y y B 表示函数42 -=x y 的值域，),4[+∞-=B ； { } 4),(2 -==x y y x C 表示曲线42-=x y 上的点集，可见，B A ，而A 与C ， B 与 C 都无包 含关系 考点二：集合的基本运算 [例3] 设集合{}0232 =+-=x x x A ，{}0)5()1(22 2 =-+++=a x a x x B （1） 若{}2=B A ，求实数a 的值； （2）若A B A = ，求实数a 的取值范围若{}2=B A ， [解题思路]对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。 [解析]因为{}{}2,10232 ==+-=x x x A ， （1）由{}2=B A 知，B ∈2，从而得0)5()1(4222=-+++a a ，即 0342 =++a a ，解得1-=a 或3-=a 当1-=a 时，{}??2,2042 -==-=x x B ，满足条件； 当3-=a 时，{}{}20442 ==+-=x x x B ，满足条件 所以1-=a 或3-=a （2）对于集合B ，由)3(8)5(4)1(422+=--+=?a a a 因为A B A = ，所以A B ? ①当0?，即3->a 时，{}2,1==A B 才能满足条件， 由根与系数的关系得?? ? ??=-=????-=?+-=+7 25521)1(22122 a a a a ，矛盾 故实数a 的取值范围是3-≤a 【名师指引】对于比较抽象的集合，在探究它们的关系时，要先对它们进行化简。同时，要注意集合的子集要考虑空与不空,不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况. [新题导练] 6．若集合{}R x y y S x ∈==,3，{}R x x y y T ∈-==,12 ，则T S 是（ ） A. S ； B. T ； C.φ； D. 有限集 [解析] A ；由题意知，集合{}R x y y S x ∈==,3表示函数R x y x ∈=,3的值域，故 集合),0(+∞=S ；{}R x x y y T ∈-==,12 表示函数R x x y ∈-=,12 的值域， ),1[+∞-=T ，故S T S = 7．已知集合{}2),(=+=y x y x M ，{}4),(=-=y x y x N ，那么集合N M 为（ ） A.1,3-==y x ； B.)1,3(-； C.{}1,3-； D.{})1,3(- [解析]D ；N M 表示直线2=+y x 与直线4=-y x 的交点组成的集合，A 、B 、C 均不合题意。 8．集合{|10}A x ax =-=,{}2|320B x x x =-+=,且A B B = ,求实数a 的值. [解析] 10,1, 2 ；先化简B 得, {}1,2B =.由于A B B = A B ??,故1A ∈或2A ∈. 因此10a -=或210a -=,解得1a =或12 a =. 容易漏掉的一种情况是: ?=A 的情形,此时0a =. 故所求实数a 的值为10,1, 2 . 备选例题1：已知{}1+==x y y M ，{}1),(2 2 =+=y x y x N ，则N M 中的元素个数是（ ） A. 0；B. 1；C.2；D.无穷多个 [解析]选A;集合M 表示函数1+=x y 的值域,是数集,并且R M =,而集合N 表示满足 12 2 =+y x 的有序实数对的集合,即表示圆12 2=+y x 上的点,是点集。所以，集合M 与集合N 中 的元素均不相同，因而φ=N M ，故其中元素的个数为0 [误区分析]在解答过程中易出现直线1+=x y 与圆122=+y x 有两个交点误选C ；或者误认为 1+=x y 中R y ∈，而12 2 =+y x 中11≤≤-y ，从而]1,1[-=N M 有无穷多个解而选D 。注 意，明确集合中元素的属性（是点集还是数集）是准确进行有关集合运算的前提和关键。 备选例题2：已知集合A 和集合B 各有12个元素，B A 含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C 的个数： (Ⅰ)C B A ，且C 中含有3个元素； (Ⅱ)φ≠A C （φ表示空集） [解法一]因为A 、B 各有12个元素，B A 含有4个元素， 因此，B A 的元素个数是2041212=-+ 故满足条件(Ⅰ)的集合C 的个数是3 20C 上面集合中，还满足φ=A C 的集合C 的个数是3 8C 因此，所求集合C 的个数是10843 8320=-C C [解法二]由题目条件可知，属于B 而不属于A 的元素个数是8412=- 因此，在B A 中只含有A 中1个元素的所要求的集合C 的个数为2 8112C C 含有A 中2个元素的所要求的集合C 的个数为1 82 12C C 含有A 中3个元素的所要求的集合C 的个数为3 12C 所以，所求集合C 的个数是10843 121821228112=++C C C C C ★抢分频道 基础巩固训练： 1． （09年吴川市川西中学09届第四次月考）设全集 {}{}R ,(3)0,1U A x x x B x x ==+<=<-, 则右图中阴 影部分表示的集合为 ( ) A ．{}0x x >； B ．{}30x x -<<； C ．{}31x x -<<-； D ．{}1x x <- [解析]C ；图中阴影部分表示的集合是B A ，而{}03<<-=x x A ，故 {}13-<<-=x x B A 2. （韶关09届高三摸底考）已知{}{}2(1)0,log 0A x x x B x x =->=< 则A B = A ．(0,1)；B ．(0,2)；C ．)0,(-∞；D ．)(,0)(0,-∞+∞ [解析] A ；因为{}10<<=x x A ，{}10<<=x x B ，所以{}10<<=x x B A 3. （苏州09届高三调研考）集合{1,0,1}-的所有子集个数为 [解析]8；集合{1,0,1}-的所有子集个数为823= 4.（09年无锡市高三第一次月考）集合A 中的代表元素设为x ，集合B 中的代表元素设为y ，若 B x ∈?且A y ∈?，则A 与B 的关系是 [解析]A B ? 或A B ?≠?；由子集和交集的定义即可得到结论 5．(2008年天津)设集合{}{}R T S a x a x T x x S =+<<=>-= ,8|,32|，则a 的取值范围是（ ） A ．13-<<-a ； B ．13-≤≤-a C ．3-≤a 或1-≥a ； D ．3-a [解析]A ；{}{}5132|>-<=>-=x x x x x S 或，{}8|+<<=a x a x T ，R T S = 所以?? ?>+-<5 81a a ，从而得13-<<-a 综合提高训练： 6．{}01<<-=m m P ,{}恒成立 对于任意实数x mx mx R m Q 0442 <-+∈= 则下列关系中立的是( ) A ．P Q ; B ．Q P ; C ．Q P =; D ．φ=Q P [解析]A ；当0≠m 时，有???<-??-=?<0 )4(4)4(0 2 m m m ，即 {}01<<-∈=m R m Q ；当0=m 时，0442 <-+mx mx 也恒成立，故 {}01≤<-∈=m R m Q ，所以P Q 7.设)(12)(N n n n f ∈+=，{}5,4,3,2,1=P ，{}7,6,5,4,3=Q ，记 {}P n f N n P ∈∈=)(?，{} Q n f N n Q ∈∈=*)(?，则)??()??(P C Q Q C P N N ＝ ( ) A. {}3,0; B.{}2,1; C. {}5,4,3; D. {}7,6,2,1 [解析] A ；依题意得{}2,1,0?=P ，{}3,2,1?=Q ，所以{}0)??(=Q C P N ， {}3)??(=P C Q N ，故应选A 8．（09届惠州第一次调研考）设A 、B 是非空集合，定义 {}A B x x A B x A B ?=∈???且，已知A={|x y = ，B={|2,0}x y y x =>， 则A ×B 等于（ ） A ．[)0,+∞； B ．[][)0,12,+∞ ； C ．[)[)0,12,+∞ ； D ．[]0,1(2,)+∞ [解析]D ；22002x x x -≥?≤≤，∴A=[0，2]，021x x >?>，∴B=（1，＋∞）， ∴A ∪B=[0, ＋∞），A ∩B=（1，2]，则A ×B ＝[]0,1(2,)+∞ 第2讲 函数与映射的概念 ★知识梳理 1．函数的概念 (1)函数的定义： 设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为 A x x f y ∈=),( (2)函数的定义域、值域 在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。 (2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念 设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为B A f →: ★重、难点突破 重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域 难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域 重难点：1．关于抽象函数的定义域 求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误 问题1：已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域 [误解]因为函数)(x f y =的定义域为][b a ，，所以b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[++b a [正解]因为)(x f y =的定义域为][b a ，，所以在函数)2(+=x f y 中，b x a ≤+≤2， 从而22-≤≤-b x a ，故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[--b a 即本题的实质是求b x a ≤+≤2中x 的范围 问题2：已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域 [误解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，所以得到b x a ≤+≤2，从而 22-≤≤-b x a ，所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[--b a [正解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，则b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[++b a 即本题的实质是由b x a ≤≤求2+x 的范围 即)(x f 与)2(+x f 中x 含义不同 2． 求值域的几种常用方法 （1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数4cos 2sin 2 +--=x x y ， 可变为2)1(cos 4cos 2sin 2 2 +-=+--=x x x y 解决 （2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数)32(log 2 2 1++-=x x y 就是利用函数u y 2 1log =和322 ++-=x x u 的值域来求。 （3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数2 21 22 +-+=x x x y 的值域 由2 2122 +-+= x x x y 得012)1(22 =-++-y x y yx ，若0=y ，则得2 1 -=x ，所以0=y 是函数 值域中的一个值；若 0≠y ，则由 )12(4)]1(2[2 ≥--+-=?y y y 得 0213 3213 3≠+ ≤≤- y y 且，故所求值域是]2 133, 2 133[ +- （4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数1 cos 3cos 2+-= x x y 的值域，因为 1 cos 521 cos 3cos 2+- =+-= x x x y ，而]2,0(1cos ∈+x ，所以]2 5,(1 cos 5- -∞∈+- x ，故 ]21,(- -∞∈y （5）利用基本不等式求值域：如求函数4 32 += x x y 的值域 当0=x 时，0=y ；当0≠x 时，x x y 43+ =，若0>x ，则4424=?≥+x x x x 若0 )(2)4(4=-?-≤-+ --=+ x x x x x x ，从而得所求值域是]4 3,43[- （6）利用函数的单调性求求值域：如求函数])2,1[(2224-∈+-=x x x y 的值域 因)14(22823-=-=x x x x y ，故函数])2,1[(2224-∈+-=x x x y 在)2 1,1(- -上递减、在 )0,2 1(-上递增、在)2 1, 0(上递减、在)2,2 1( 上递增，从而可得所求值域为]30,8 15[ （7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法）。 ★热点考点题型探析 考点一：判断两函数是否为同一个函数 [例1] 试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （1）2 )(x x f = ，3 3 )(x x g = ； （2）x x x f =)(，?? ?<-≥=; 01 ,01 )(x x x g （3）1 21 2)(++=n n x x f ，1 212)()(--=n n x x g （n ∈N *）； （4）x x f = )(1+x ，x x x g += 2 )(； （5）12)(2 --=x x x f ，12)(2 --=t t t g [解题思路]要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。 [解析] （1）由于x x x f ==2 )(，x x x g == 3 3 )(，故它们的值域及对应法则都不相同，所以 它们不是同一函数. （2）由于函数x x x f =)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ ，而?? ?<-≥=; 01 ,01 )(x x x g 的定义域为R ， 所以它们不是同一函数. （3）由于当n ∈N *时，2n ±1为奇数，∴x x x f n n == ++1 21 2)(，x x x g n n ==--1 212) ()(，它们 的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数. （4）由于函数x x f = )(1+x 的定义域为{} 0≥x x ，而x x x g += 2 )(的定义域为 {}10-≤≥x x x 或，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数. （5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数. [答案]（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数 【名师指引】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系确定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数为同一函数。第（5）小题易错判断成它们是不同的函数。原因是对函数的概念理解不透，在函数的定义域及对应法则f 不变的条件下，自变量变换字母对于函数本身并无影响，比如1)(2+=x x f ，1)(2+=t t f ， 1)1()1(2 ++=+u u f 都可视为同一函数. [新题导练] 1．(2009·佛山) 下列函数中与函数x y =相同的是( ) A .y = (x )2 ; B. y = y =2x ; D. y = x x 2 [解析] B ；因为y = t =，所以应选择B 2．(09年重庆南开中学)与函数)12lg(1.0-=x y 的图象相同的函数是 （ ） A.)2 1(12> -=x x y ；B.1 21-= x y ；C.)2 1(1 21> -= x x y ； D.|1 21| -=x y [解析] C ；根据对数恒等式得1 21101 .01 21lg ) 12lg(-= ==--x y x x ，且函数) 12lg(1 .0-=x y 的定义域为 ),2 1(+∞，故应选择C 考点二：求函数的定义域、值域 题型1：求有解析式的函数的定义域 [例2].（08年湖北）函数= )(x f )4323ln( 12 2 +--+ +-x x x x x 的定义域为( ) A.),2[)4,(+∞--∞ ; B.)1,0()0,4( -； C. ]1,0()0,4[, -; D. )1,0()0,4[, - [解题思路]函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范围。 [解析]欲使函数)(x f 有意义，必须并且只需 ? ????? ?≠>+--++-≥+--≥+-0 043230 430232 22 2x x x x x x x x x )1,0()0,4[ -∈?x ，故应选择D 【名师指引】如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x 的取值范围，实际操作时要注意：①分母不能为0；② 对数的真数必须为正；③偶次根式中被开方数应为非负数；④零指数幂中，底数不等于0；⑤负分数指数幂中，底数应大于0；⑥若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。 题型2：求抽象函数的定义域 [例3]（2006·湖北）设()x x x f -+=22lg ，则?? ? ??+?? ? ??x f x f 22的定义域为（ ） A . ()()4,00,4 -； B . ()()4,11,4 --； C . ()()2,11,2 --； D . ()()4,22,4 -- [解题思路]要求复合函数?? ? ??+?? ? ??x f x f 22的定义域，应先求)(x f 的定义域。 [解析]由202x x +>-得，()f x 的定义域为22x -<<，故22,2 22 2. x x ? -< 解得()()4,11,4x ∈-- 。故?? ? ??+??? ??x f x f 22的定义域为()()4,11,4 --.选B. 【名师指引】求复合函数定义域,即已知函数()f x 的定义为[,]a b ，则函数[()]f g x 的定义域是满足不等式()a g x b ≤≤的x 的取值范围；一般地，若函数[()]f g x 的定义域是[,]a b ，指的是 [,]x a b ∈，要求()f x 的定义域就是[,]x a b ∈时()g x 的值域。 题型3；求函数的值域 [例4]已知函数)(6242 R a a ax x y ∈++-=，若0≥y 恒成立，求32)(+-=a a a f 的值域 [解题思路]应先由已知条件确定a 取值范围，然后再将)(a f 中的绝对值化去之后求值域 [解析]依题意，0≥y 恒成立，则0)62(4162 ≤+-=?a a ，解得2 31≤ ≤-a ， 所以4 17)2 3()3(2)(2 + +-=+-=a a a a f ，从而4)1()(max =-=f a f ，4 19)2 3()(min - ==f a f ， 所以)(a f 的值域是]4,419[- 【名师指引】求函数的值域也是高考热点，往往都要依据函数的单调性求函数的最值。 [新题导练] 3.（2008 安徽文、理）函数2()log (1) f x x = -的定义域为 ． [解析] [3,)+∞；由?? ?≠->-≥--1 1,01012x x x 解得3≥x 4．定义在R 上的函数()y f x =的值域为[,]a b ，则函数(1)y f x =-的值域为( ) A ．[1,1]a b --； B ．[,]a b ； C ．[1,1]a b ++； D ．无法确定 [解析] B ；函数(1)y f x =-的图象可以视为函数()y f x =的图象向右平移一个单位而得到，所以，它们的值域是一样的 5．(2008江西改) 若函数()y f x =的定义域是]3,1[，则函数(2)()1 f x g x x =-的定义域是 [解析] ]2 3 ,1()1,2 1 [ ；因为()f x 的定义域为]3,1[，所以对()g x ，321≤≤x 但1x ≠故 ]23, 1()1,21[ ∈x 6．(2008江西理改)若函数()y f x =的值域是]3,3 2[，则函数()()1() F x f x f x =+ 的值域 是 [解析] ]3 10, 2[；)(x F 可以视为以)(x f 为变量的函数，令)(x f t =，则)33 2 (1≤≤+ =t t t F 2 2 2 2 ) 1)(1(111t t t t t t F -+= -= - ='，所以，t t F 1+ =在]1,3 2 [上是减函数，在]3,1[上是增函数， 故)(x F 的最大值是 3 10，最小值是2 考点三：映射的概念 [例5] （06陕西）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文,,,a b c d 对应密文2,2,23,4.a b b c c d d +++例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为（ ） A ．7,6,1,4；B ．6,4,1,7；C ．4,6,1,7；D ．1,6,4,7 [解题思路] 密文与明文之间是有对应规则的，只要按照对应规则进行对应即可。 [解析] 当接收方收到密文14，9，23，28时， 有214292323428a b b c c d d +=??+=??+=??=?，解得6417 a b c d =??=??=??=?，解密得到的明文为C ． 【名师指引】理解映射的概念，应注意以下几点： （1）集合A 、B 及对应法则f 是确定的，是一个整体系统； （2）对应法则有“方向性”，即强调从集合A 到集合B 的对应，它与从集合B 到集合A 的对应 关系一般是不同的； （3）集合A 中每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一．．的，这是映射区别于一般对应的本质特征； （4）集合A 中不同元素，在集合B 中对应的象可以是同一个； （5）不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象. [新题导练] 7．集合A ={3，4}，B ={5，6，7}，那么可建立从A 到B 的映射个数是__________，从B 到A 的映射个数是__________. [解析] 9 , 8；从A 到B 可分两步进行：第一步A 中的元素3可有3种对应方法（可对应5或6或7），第二步A 中的元素4也有这3种对应方法.由乘法原理，不同的映射种数N 1＝3×3＝9.反之从B 到A ，道理相同，有N 2＝2×2×2＝8种不同映射. 8．若f :y =3x +1是从集合A ={1，2，3，k }到集合B ={4，7，a 4，a 2 +3a }的一个映射，求自然数a 、k 的值及集合A 、B. [解析] a =2，k =5，A ={1，2，3，5}，B ={4，7，10，16}； ∵f （1）=3×1+1=4，f （2）=3×2+1=7，f （3）=3×3+1=10，f （k ）=3k +1，由映射的定义知（1）?????+=+=,133, 102 4k a a a 或（2）?????+==+. 13, 10342 k a a a ∵a ∈N ，∴方程组（1）无解. 解方程组（2），得a =2或a =－5（舍），3k +1=16，3k =15，k =5. ∴A ={1，2，3，5}，B ={4，7，10，16}. 备选例题：（03年上海）已知集合M 是满足下列性质的函数)(x f 的全体：存在非零常数T ，对任意R x ∈，有)()(x Tf T x f =+成立。 （1）函数x x f =)(是否属于集合M ？说明理由； （2）设函数)1,0()(≠>=a a a x f x 的图象与x y =的图象有公共点，证明：M a x f x ∈=)( [解析]（1）对于非零常数T ，f (x +T)=x +T, T f (x )=T x . 因为对任意x ∈R ，x +T= T x 不能恒成立，所以f (x )=.M x ? （2）因为函数f (x )=a x （a >0且a ≠1）的图象与函数y=x 的图象有公共点， 所以方程组：???==x y a y x 有解，消去y 得a x =x , 显然x =0不是方程a x =x 的解，所以存在非零常数T ，使a T =T. 于是对于f (x )=a x 有)()(x Tf a T a a a T x f x x T T x =?=?==++ 故f (x )=a x ∈M. ★抢分频道 基础巩固训练： 1．(2007·广东改编) 已知函数x x f -=11)(的定义域为N ，)1ln()(x x g +=的定义域为M ，则 =N M [解析] ),(+∞∞；因为(1,),(,1)M N =-+∞=-∞,故R N M = 2．函数)23(log 3 1-= x y 的定义域是 [解析] 2 3 (,1]；由1230≤- 2≤ 3．函数1 212+-= x x y 的值域是 [解析])1,1(-；由121 2+-= x x y 知1≠y ，从而得y y x -+= 11 2，而02>x ，所以 011 >-+y y ，即11<<-y 4．（广东从化中学09届月考）从集合A 到B 的映射中,下列说法正确的是( ) A ．B 中某一元素b 的原象可能不只一个；B ．A 中某一元素a 的象可能不只一个 C ．A 中两个不同元素的象必不相同； D ．B 中两个不同元素的原象可能相同 [解析]A ；根据映射的定义知可排除B 、C 、D 5．（深圳中学09届高三第一学段考试）下列对应法则f 中，构成从集合A 到集合B 的映射是（ ） A ．2||:,},0|{x y x f R B x x A =→=>= B ．2:},4{},2,0,2{x y x f B A =→=-= C ．2 1:},0|{,x y x f y y B R A =→>== D ．2:},1,0{},2,0{x y x f B A = →== [解析]D ；根据映射的定义知，构成从集合A 到集合B 的映射是D 6．（09年执信中学）若函数2 34y x x =--的定义域为[0,]m ,值域为25[4]4 --，，则m 的取值范围是 （ ） A ．(]4,0； B ．3[3]2 ，； C ．3[]2 ，4；D ．3 [2 +∞，） [解析]B ；因为函数2 34y x x =--即为4 25)2 3(2 - - =x y ，其图象的对称轴为直线2 3= x ， 其最小值为4 25- ，并且当0=x 及3=x 时，4-=y ，若定义域为[0,]m ，值域为25[4]4 --，，则 32 3≤≤m 综合提高训练： 8．（05天津改）设函数x x x f -+=22ln )(，则函数)1 ()2 ()(x f x f x g +=的定义域是 [解析] )4,21()21,4( --；由022>-+x x 得，()f x 的定义域为22<<-x 。故??? ??? ?<<-<<-2 1222 2x x 解得2 14- <<-x 或 42 1< 9．设函数2 1)(2++=x x x f 的定义域是]1,[+n n (n 是正整数)，那么)(x f 的值域中共有 个整数 [解析]22+n ；因为41)2 1(2 1)(2 2+ + =+ +=x x x x f ，可见，)(x f 在]1,[+n n (n 是正整数)上 是增函数，又22)2 1(]2 1)1()1[()()1(2 2 +=+ +-++++=-+n n n n n n f n f 所以，在)(x f 的值域中共有22+n 个整数 第3讲 函数的表示方法 ★知识梳理 一、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法 1．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； 2．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 3．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。 二、分段函数 在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。 ★重、难点突破 重点：掌握函数的三种表示法-----图象法、列表法、解析法，分段函数的概念 难点：分段函数的概念，求函数的解析式 重难点：掌握求函数的解析式的一般常用方法： （1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法； （2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法； 问题1．已知二次函数)(x f 满足564)12(2 +-=+x x x f ，求)(x f 方法一：换元法 令)(12R t t x ∈=+，则2 1-= t x ，从而)(9552 16)2 1( 4)(2 2 R t t t t t t f ∈+-=+-? --= 所以)(95)(2 R x x x x f ∈+-= 方法二：配凑法 因为9)12(5)12(410)12(564)12(2 2 2 ++-+=+-+==+-=+x x x x x x x f 所以)(95)(2R x x x x f ∈+-= 方法三：待定系数法 因为)(x f 是二次函数，故可设c bx ax x f ++=2)(，从而由564)12(2+-=+x x x f 可求出 951=-==c b a 、、，所以)(95)(2R x x x x f ∈+-= （3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f 问题2：已知函数)(x f 满足x x f x f 3)1 (2)(=+，求)(x f 因为 x x f x f 3)1 (2)(=+① 以 x 1代x 得 x x f x f 13)(2)1(? =+② 由①②联立消去)1 (x f 得)0(2)(≠-= x x x x f ★热点考点题型探析 考点1：用图像法表示函数 [例1] （09年广东南海中学）一水池有2个进水口, 1个出水口,一个口的进、出水的速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断： 进水量 出水量 蓄水量 甲 乙 丙 （1）0点到3点只进水不出水；（2）3点到4点不进水只出水；（3）4点到6点不进水不出水． [[2个单位，3同时出水口也出水，故③不一定正确。从而一定不正确．．．的论断是（2） 【名师指引】象这类给出函数图象让考生从图象获取信息的问题是目前高考的一个热点，它要求考生熟悉基本的函数图象特征，善于从图象中发现其性质。高考中的热点题型是“知式选图”和“知图选式”。 [新题导练] 1．(05辽宁改)一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式 0)(1=-+n n a f a 得到的数列}{n a 满足)(0* 1N n a a n n ∈>-+，则该函数的图象是（ ） A B C D [解析] A.；令 1n n a x a y +=?? =?，则()y f x =等价于)(1n n a f a =+，()y f x =是由点1(,)n n a a +组 成，而又知道1n n a a +<，所以每各点都在y=x 的上方。 2．(2005·湖北)函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是( ) [解析] D ；当1≥x 时，1)1(=--=x x y ，可以排除A 和C ；又当2 1= x 时，2 3=y ，可以排除B 考点2：用列表法表示函数 [例2] （07年北京）已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出 则[(1)]f g 的值为 ；满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是 [解题思路]这是用列表的方法给出函数，就依照表中的对应关系解决问题。 [解析]由表中对应值知[(1)]f g =(3)1f =； 当1=x 时，[(1)]1,[(1)](1)3f g g f g ===，不满足条件 当2=x 时，[(2)](2)3,[(2)](3)1f g f g f g ====，满足条件， 当3=x 时，[(3)](1)1,[(3)](1)3f g f g f g ====，不满足条件， ∴满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是2=x 【名师指引】用列表法表示函数具有明显的对应关系，解决问题的关键是从表格发现对应关系，用好对应关系即可。 [新题导练] 3．（09年山东梁山）设f 、g 都是由A 到A 的映射，其对应法则如下表（从上到下）： 映射f 的对应法则是表1 映射g 的对应法则是表2 则与)]1([g f 相同的是（ ） A ．)]1([f g ； B ．)]2([f g ； C ．)]3([f g ； D ．)]4([f g [解析] A ；根据表中的对应关系得，1)4()]1([==f g f ，1)3()]1([==g f g 4．（04年江苏改编）二次函数c bx ax y ++=2（x ∈R ）的部分对应值如下表： 则不等式02 <++c bx ax 的解集是 [解析] )3,2(-；由表中的二次函数对应值可得，二次方程02 =++c bx ax 的两根为－2和3，又根据)2()0(- 02 <++c bx ax 的解集是)3,2(- 考点3：用解析法表示函数 题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式 [例3] （04湖北改编）已知)11( x x f -+=2 211x x +-，则)(x f 的解析式可取为 [解题思路]这是复合函数的解析式求原来函数的解析式，应该首选换元法 [解析] 令t x x =-+11，则1 1+-= t t x ，∴ 1 2)(2 += t t t f .∴1 2)(2 += x x x f . 故应填 2 12x x + 【名师指引】求函数解析式的常用方法有：① 换元法（ 注意新元的取值范围）；② 待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）；③整体代换（配凑法）；④构造方程组（如自变量互为倒数、已知)(x f 为奇函数且)(x g 为偶函数等）。 题型2：求二次函数的解析式 [例4] （普宁市城东中学09届高三第二次月考）二次函数)(x f 满足x x f x f 2)()1(=-+，且 1)0(=f 。 ⑴求)(x f 的解析式； ⑵在区间]1,1[-上，)(x f y =的图象恒在m x y +=2的图象上方，试确定实数m 的范围。 [解题思路]（1）由于已知)(x f 是二次函数，故可应用待定系数法求解；（2）用数表示形，可得求)(2x f m x <+对于]1,1[-∈x 恒成立，从而通过分离参数，求函数的最值即可。 [解析]⑴设2()(0)f x ax bx c a =++≠，则 2 2 (1)()[(1)(1)]()2f x f x a x b x c ax bx c ax a b +-=+++-++=++ 与已知条件比较得：22,0a a b =??+=?解之得，1, 1a b =??=-? 又(0)1f c ==， 2 ()1f x x x ∴=-+ ⑵由题意得：2 12x x x m -+>+即2 31m x x ≤-+对[]1,1x ∈-恒成立， 易得2 m in (31)1m x x <-+=- 【名师指引】如果已知函数的类型，则可利用待定系数法求解；通过分离参数求函数的最值来获得参数的取值范围是一种常用方法。 [新题导练] 5．（06全国卷二改编）若x x f 2cos 3)(sin -=，则=-)]2 [sin(x f π [解析] x 2cos 3+；=-)]2 [sin( x f π 2 2 (sin )3cos 23(12sin )2sin 2f x x x x =-=--=+ 所以2 ()22f x x =+,因此2 2 (cos )2cos 2(2cos 1)33cos 2f x x x x =+=-+=+ 高一数学集合与函数测试题 一、选择题（每题5分，共60分） 1、下列各组对象：?2008年北京奥运会上所有的比赛项目；②《高中数学》必修1中的所有难题；③所有质数；⑷平面上到点（1,1）的距离等于5的点的全体；⑤在数轴上与原点O非常近的点。其中能构成集合的有（） A . 2组B. 3组C. 4组 D . 5组 2、下列集合中与集合｛x x 2k 1, k N ｝不相等的是（ ） A. {x x 2k 3,k N} B. {x x 4k 1,k N } C. {x x 2k 1,k N} D. {x x 2k 3, k 3,k Z} 2 3、设f（x）学」，则半等于（）X 1f（1） A . 1 B . 1 C . 3 D 3 5 5 4、已知集合 A {xx24 0｝，集合B ｛x ax 1},若B A ,则实数a的值是（） A . 0 B . 1 C . 0 或—D.0或1 2 2 2 5、已知集合 A {( x, y) x y 2} , B {(x,y)x y 4}，则AI B() A . {x 3,y 1} B .(3, 1) C . {3, 1} D.{(3, 1)} 6、下列各组函数 f (x)与g（x）的图象相同的 是 ( ) (A) f (x) x,g(x) (.x)2(B) 2 2 f(x) x ,g(x) (x 1) (C)f(x) 1,g(x) x0 x (D) f(x) |x|,g(x) (x 0) x (x 0) 7；l是定义在'■上的增函数则不等式畑"厮一劭的解集 是() (A)(0 ,+ OO)(B)(0,2)(C)(2 ， + OO )(D) (2，兰) 7 8已知全集U R，集合A {x x 1或x 2},集合B {x 1 x 0},则AU C U B() A. {x x 1或x 0} B. {x x 1或 x 1} C. {x x 2或x 1} D. {x x 2或 x 0} 9、设A 、B为两 个 -非空集 合， 定义A B { (a,b) a A,b B} ，若A {1,2,3}, B {2,3 ,4}，则 A B中的兀素个数为() A. 3 B.7 C.9 D.12 10、已知集合 A {yy x21},集合 B {xy22x 6}，则Al B ( ) A ? {(x,y) x 1,y 2} B. {x1 x 3} C. {x| 1 x 3} D. 11、若奇函数f x在1,3上为增函数，且有最小值0,则它在3, 1上 () A.是减函数，有最小值0 B.是增函数，有最小值0 C.是减函数，有最大值0 D.是增函数，有最大值0 12、若1,a,b 0,a2,a b，则a2005 b2005的值为( ) a (A)0 (C) 1 (B)1 (D)1 或1 集合与函数概念 知识点1：集合的含义 1》元素定义：我们把研究对象称为元素；集合定义：把一些元素组成的总体叫做集合2》集合表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示， 而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 3》集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 典例分析 … 题型1：判断是否形成集合 例1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： （1）大于3小于11的偶数；（2）我国的小河流； （3）非负奇数；（4）方程x2+1=0的解； （5）某校2011级新生；（6）血压很高的人； （7）著名的数学家；（8）平面直角坐标系内所有第三象限的点 … 能组成集合的是___________________。 例2：考察下列对象能形成一个集合的是____________________。 ①身材高大的人②所有的一元二次方程 ③直角坐标平面上纵横坐标相等的点④细长的矩形的全体 ⑤比2大的几个数⑥2的近似值的全体 ⑦所有的小正数⑧所有的数学难题 : 知识点2：集合元素的特征以及集合与元素之间的关系 1》集合的元素特征： ①确定性：给定一个集合，一个元素在不在这个集合中就确定了。 ②互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。. ， 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2} 2》元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种) ①若a 是集合A 中的元素，则称a 属于集合A a ∈A ； ②若a 不是集合A 的元素，则称a 不属于集合A ，记作a ?A 。 注意：常见数集 ①非负整数集（或自然数集），记作N ； ②正整数集，记作N * 或N +； ③整数集，记作Z ； ④有理数集，记作Q ； ⑤实数集，记作R ； ^ 典例分析 题型1：集合中元素的互异性的考察 例1：由实数-a, a, a , a 2 , - 5 a 5 为元素组成的集合中,最多有_______个元素，分别为__________。 例2：设a,b,c 分别为非零实数，则c c b b a a y ++= 所有的值构成的集合中元素分别为______________。 # 例3：含有三个实数的集合可表示为{1,,a b a }，也可表示为{0,,2 b a a +}，则=+20142013b a _________。 例4：集合{2,1,12 --x x }中的x 不能取得值有_______个。 例5：由4,2,2 a a -组成1个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是（ ） A 、1 B 、-2 C 、6 D 、2 ￥ 例6：以实数a ２ ，2-a.,4为元素组成一个集合A ，A 中含有2个元素，则的a 值为 . 题型2：集合与元素之间关系的考察 例1：用“∈”或“ ?”符号填空： （1）8 N ； （2）0 N ； （3）-3 Z ； （4； （5）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A ，美国 A ，印度 A ，英国 A 。 … 例2：给出下面四个关系: 3∈R, 0.7?Q, 0∈{0}, 0∈N,其中正确的个数是:( ) 高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西 洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是注意：B 同一集合。 ?/B 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?/A 或B 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 高一数学集合与函数测试题 一、 选择题（每题5分，共60分） 1、下列各组对象：○12008年北京奥运会上所有的比赛项目；○2《高中数学》必修1中的所有难题；○3所有质数；○4平面上到点(1,1)的距离等于5的点的全体；○5在数轴上与原点O 非常近的点。其中能构成集合的有（ ） A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．5组 2、下列集合中与集合{21,}x x k k N +=+∈不相等的是（ ） A ．{23,}x x k k N =+∈ B ．{41,}x x k k N +=±∈ C ．{21,}x x k k N =+∈ D ．{23,3,}x x k k k Z =-≥∈ 3、设221()1x f x x -=+，则(2)1()2 f f 等于（ ） A ．1 B ．1- C ．35 D ．35- 4、已知集合2{40}A x x =-=，集合{1}B x ax ==，若B A ?，则实数a 的值是（ ） A ．0 B ．12± C ．0或12± D ．0或12 5、已知集合{(,)2}A x y x y =+=，{(,)4}B x y x y =-=，则A B =I （ ） A ．{3,1}x y ==- B ．(3,1)- C ．{3,1}- D ．{(3,1)}- 6、下列各组函数)()(x g x f 与的图象相同的是（ ） （A ）2)()(,)(x x g x x f == （B ）22)1()(,)(+==x x g x x f （C ）0)(,1)(x x g x f == （D ）???-==x x x g x x f )(|,|)( )0()0(<≥x x 7、是定义在上的增函数,则不等式的解集 教师姓名学生姓名填写时间年级高一学科数学上课时间 阶段基础（√）提高（）强化（）课时计划第（）次课共（）次课 教学目标1、通过复习熟练掌握集合概念及其运算，以及集合的几种表示方法 2、通过复习熟练掌握函数的概念以及函数的性质，进一步体会运动变化、数形结合、代数转化以及集合与对应的数学思想方法 教学重难点教学重点：集合的概念与表示、集合的运算、函数的概念以及函数的性质教学难点：集合的运算、函数的概念以及性质的具体运用 教 学 过 程 课后作业：教学反思： 知识点一：集合的性质与运算 例1、已知集合{}2 1,1,3A x x =--,求实数x 应满足的条件. 例2、设{} 022=+-=q px x x A ，{} 05)2(62 =++++=q x p x x B ，若? ?????=21B A ， 则=B A （ ） （A ）??????-4,31 ,21 （B ）??????-4,21 （C ）??????31,21 (D)? ?????21 例3、如图U 是全集，M 、P 、S 是U 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是 （ ） A 、 ()M P S B 、 ()M P S C 、()u M P C S D 、 ()u M P C S 例4、设集合{}21<≤-=x x M ，{} 0≤-=k x x N ，若M N M = ，则k 的取值范围（ ） （A ）(1,2)- （B ）[2,)+∞ （C ）(2,)+∞ (D)]2,1[- 例5、设{ }{} I a A a a =-=-+241222 ，，，，，若{}1I C A =-，则a =__________。 知识点二：判断两函数是否为同一个函数 例6、试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （1）2)(x x f =，33)(x x g =； （2）x x x f =)(，?? ?<-≥=; 01 , 01 )(x x x g （3）1212)(++=n n x x f ，1212)()(--=n n x x g （n ∈N *）； （4）x x f =)(1+x ，x x x g += 2)(； （5）12)(2--=x x x f ，12)(2--=t t t g 第一章集合与函数概念 §1.1集合 1.1.1 集合的含义与表示（一） 1．体验由实例分析探究集合中元素的特性的过程，了解集合的含义以及集合中元素的特性，培养自己的抽象、概括能力． 2．掌握“属于”关系的意义，知道常用数集及其记法，初步体会集合语言和符号语言表示数学内容的简洁性和准确性． 1．元素与集合的概念 (1)把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母表示． (2)把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母表示． 2．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性． 3．集合相等：只有构成两个集合的元素是一样的，才说这两个集合是相等的． 4．元素与集合的关系 (1)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. (2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A. 5．实数集、有理数集、整数集、非负整数集、正整数集分别用字母R、Q、Z、N、N*或N＋来表示． 对点讲练 集合的概念 【例1】考查下列每组对象能否构成一个集合： (1)著名的数学家；(2)某校2007年在校的所有高个子同学； (3)不超过20的非负数；(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解； (5)直角坐标平面内第一象限的一些点；(6)3的近似值的全体． 解(1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合；类似地，(2)也不能构成集合；(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；类似地，(4)也能构成集合；(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(6)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以(6)不能构成集合． 规律方法判断指定的对象能不能形成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性． 变式迁移1 下列给出的对象中，能构成集合的是() A．高个子的人B．很大的数C．聪明的人D．小于3的实数 答案 D 新课标数学必修1第一章集合与函数概念测试题 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。 1．用描述法表示一元二次方程的全体，应是 （ ） A ．｛x ｜ax 2+bx +c =0，a ，b ，c ∈R ｝ B ．｛x ｜ax 2+bx +c =0，a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ C ．｛ax 2+bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ｝ D ．｛ax 2+bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ 2．图中阴影部分所表示的集合是（ ） A.B ∩［C U (A ∪C)］ B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.［C U (A ∩C)］∪B 3．设集合P=｛立方后等于自身的数｝，那么集合P 的真子集个数是 （ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 4．设P=｛质数｝，Q=｛偶数｝，则P ∩Q 等于 （ ） A ． B ．2 C ．｛2｝ D ．N 5．设函数x y 111+=的定义域为M ，值域为N ，那么 （ ） A ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ≠0｝ B ．M=｛x ｜x ＜0且x ≠－1，或x ＞0}，N={y ｜y ＜0，或0＜y ＜1，或y ＞1} C ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ∈R ｝ D ．M=｛x ｜x ＜－1，或－1＜x ＜0，或x ＞0＝，N=｛y ｜y ≠0｝ 6．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是 （ ） A ．x =60t B ．x =60t +50t C ．x =???>-≤≤)5.3(,50150)5.20(,60t t t t D ．x =?????≤<--≤<≤≤)5.65.3(),5.3(50150)5.35.2(,150) 5.20(,60t t t t t 7．已知g (x )=1-2x,f [g (x )]=)0(122≠-x x x ,则f (21)等于 （ ） A ．1 B ．3 C ．15 D ．30 8．函数y=x x ++-1912是（ ） 高中数学第一章集合与函数概念知识点 〖1.1〗集合 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，N表示自然数集，N*或N + R表示实数集. （3）集合与元素间的关系 ?，两者必居其一. ∈，或者a M 对象a与集合M的关系是a M （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有 21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. （8）交集、并集、补集 【1.1.3】集合的基本运算 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法 （2）一元二次不等式的解法 0) 〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念 （1）函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足 ,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须 a b <． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2 x k k Z π π≠+ ∈． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。 1．用描述法表示一元二次方程的全体，应是 （ ） A ．｛x ｜ax 2+bx +c =0，a ，b ，c ∈R ｝ B ．｛x ｜ax 2+bx +c =0，a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ C ．｛ax 2+bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ｝ D ．｛ax 2+bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ 2．图中阴影部分所表示的集合是（ ） ∩［C U (A ∪C)］ B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.［C U (A ∩C)］∪B 3．设集合P=｛立方后等于自身的数｝，那么集合P 的真子集个数是 （ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 4．设P=｛质数｝，Q=｛偶数｝，则P ∩Q 等于 （ ） A ． B ．2 C ．｛2｝ D ．N 5．设函数x y 111 +=的定义域为M ，值域为N ，那么 （ ） A ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ≠0｝ B ．M=｛x ｜x ＜0且x ≠－1，或x ＞0}，N={y ｜y ＜0，或0＜y ＜1，或y ＞1} C ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ∈R ｝ D ．M=｛x ｜x ＜－1，或－1＜x ＜0，或x ＞0＝，N=｛y ｜y ≠0｝ 6．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是 （ ） A ．x =60t B ．x =60t +50t C ．x =???>-≤≤)5.3(,50150)5.20(,60t t t t D ．x =? ????≤<--≤<≤≤)5.65.3(),5.3(50150)5.35.2(,150)5.20(,60t t t t t 7．已知g (x )=1-2x,f [g (x )]=)0(12 2≠-x x x ,则f (21)等于 （ ） A ．1 B ．3 C ．15 D ．30 8．函数y=x x ++-1912是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶数 修文县华驿私立中学2012-2013学年度第一学期单元测试卷（四） （内容：集合与函数概念 满分：150 时间：120 制卷人：朱文艺） 班级： 学号： 姓名： 得分： 一、选择题：（以下每小题均有A,B,C,D 四个选项，其中只有一个选项正确，请把你的正确答案填入相应的括号中，每小题5分，共60分） 1. 下列命题正确的是 （ ） A ．很小的实数可以构成集合 B ．集合{} 1|2-=x y y 与集合(){} 1|,2-=x y y x 是同一个集合 C ．自然数集N 中最小的数是1 D ．空集是任何集合的子集 2. 已知{}32|≤≤-=x x M ，{}41|>-<=x x x N 或， 则N M 等于 （ ） A. {}43|>≤=x x x N 或 B. {}31|≤<-=x x M C. {}43|<≤=x x M D.{}12|-<≤-=x x M 3. 函数2() = f x （ ） A. 1 [,1]3- B. 1(,1)3- C. 11(,)33- D. 1(,)3 -∞- 4. 下列给出函数()f x 与()g x 的各组中，是同一个关于x 的函数的是 （ ） A ．2 ()1,()1x f x x g x x =-=- B ．()21,()21f x x g x x =-=+ C ．2(),()f x x g x == D ．0()1,()f x g x x == 5. 方程组? ??-=-=+122 y x y x 的解集是 （ ） A ．{}1,1==y x B ．{}1 C.{})1,1(|),(y x D ． {})1,1( 6．设{} 是锐角x x A |=，)1,0(=B ，从A 到B 的映射是“求正切”，与A 中元素0 60相对应的B 中元素是 （ ） A ．3 B ． 33 C ．21 D ．2 2 高中数学复习讲义 第一课时函数概念及其性质 第1课 函数的概念 【基础练习】 1． 设有函数组：①y x = ，y = y x = ，y = ；③y ，y = ；④1(0),1 (0), x y x >?=?- (3) ()1f x x =+，(1,2]x ∈． 值域是(2,3]． 【范例解析】 例 1.设有函数组：①21 ()1 x f x x -=-，()1g x x =+； ②()f x = ， ()g x = ③()f x =()1g x x =-；④()21f x x =-，()21g t t =-．其中表示同一个函数的有 ． 例2.求下列函数的定义域：① 12y x =+- ② ()f x = 例3.求下列函数的值域： （1）242y x x =-+-，[0,3)x ∈； （2）2 2 1 x y x =+()x R ∈； （3 ）y x =- 【反馈演练】 1．函数f (x )＝x 21-的定义域是___________． 2．函数) 34(log 1 )(2 2-+-= x x x f 的定义域为_________________． 3. 函数2 1 ()1y x R x = ∈+的值域为________________． 4. 函数23y x =-+_____________． 5．函数)34(log 25.0x x y -= 的定义域为_____________________． 6.记函数f (x )=1 3 2++- x x 的定义域为A ，g (x )=lg [(x －a －1)(2a －x )](a <1) 的定义域为B ． (1) 求A ； (2) 若B ?A ，求实数a 的取值范围． 集合（第1课时） 一、知识目标：①内容：初步理解集合的基本概念，常用数集，集合元素的特征 等集合的基础知识。 ②重点：集合的基本概念及集合元素的特征 ③难点：元素与集合的关系 ④注意点：注意元素与集合的关系的理解与判断；注意集合中元 素的基本属性的理解与把握。 二、能力目标：①由判断一组对象是否能组成集合及其对象是否从属已知集合， 培养分析、判断的能力； ②由集合的学习感受数学的简洁美与和谐统一美。 三、教学过程： Ⅰ）情景设置： 军训期间，我们经常会听到教官在高喊：（x）的全体同学集合！听到口令，咱们班的全体同学便会从四面八方聚集到教官的身边，而那些不是咱们班的学生便会自动走开。这样一来教官的一声“集合”（动词）就把“某些指定的对象集在一起”了。数学中的“集合”这一概念并不是教官所用的动词意义下的概念，而是一个名词性质的概念，同学们在教官的集合号令下形成的整体即是数学中的集合的涵义。 Ⅱ）探求与研究： ①一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。 问题：同学们能不能举出一些集合的例子呢？（板书学生们所举出的一些例子） ②为了明确地告诉大家，是哪些“指定的对象”被集在了一起并作为一个 整体来看待，就用大括号{ }将这些指定的对象括起来，以示它作为一个 整体是一个集合，同时为了讨论起来更方便，又常用大写的拉丁字母A、 B、C……来表示不同的集合，如同学们刚才所举的各例就可分别记 为……（板书） 另外，我们将集合中的“每个对象”叫做这个集合的元素，并用小写字 母a、b、c……（或x1、x2、x3……）表示 同学口答课本P5练习中的第1大题 ③分析刚才同学们所举出的集合例子，引出： 对某具体对象a与集合A，如果a是集合A中的元素，就说a属于集合 A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作 a A ④再次分析同学们刚才所举出的一些集合的例子，师生共同讨论得出结论： 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性。 然后请同学们分别阅读课本P5和P40上相关的内容。 ⑤在数学里使用最多的集合当然是数集，请同学们阅读课本P4上与数集有 关的内容，并思考：常用的数集有哪些？各用什么专用字母来表示？你 能分别说出各数集中的几个元素吗？（板书N、Z、Q、R、N*（或N+）） 注意：数0是自然数集中的元素。这与同学们脑子里原来的自然数就是 1、2、3、4……的概念有所不同 同学们完成课本P5练习第2大题。 集合与函数概念单元测试 一、选择题 1．集合},{b a 的子集有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2、已知函数x x f -=21)(的定义域为M ，2)(+=x x g 的定义域为N ，则=?N M A.{}2-≥x x B.{}2 10.已知函数212x y x ?+=?-? (0)(0)x x ≤>，使函数值为5的x 的值是（ ） A ．-2 B ．2或52- C ． 2或-2 D ．2或-2或52 - 11.下列四个函数中，在（0，∞）上为增函数的是 （A ）f （x ）＝3－x （B ）f （x ）＝x 2－3x （C ）f （x ）＝－｜x ｜ （D ）f （x ）＝－2 3+x 12、定义在R 上的偶函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞]上是减函数，又6)7(=f ，则)(x f A 、在[－7，0]上是增函数，且最大值是6 B 、在[－7，0]上是增函数，且最小值是6 C 、在[－7，0]上是减函数，且最小值是6 D 、在[－7，0]上是减函数，且最大值是6 二、填空题 13.已知集合M={(x ，y )|x ＋y =2}，N={(x ，y )|x －y =4}，那么集合M∩N＝ ． 14.已知f （x ）是偶函数，当x ＜0时，f （x ）＝x （2x －1），则当x ＞0时，f （x ）＝＿＿ 15． 设f(x)=2x+3，g(x+2)=f(x-1)，则g(x)= ． 16．定义域为2[32,4]a a --上的函数f(x)是奇函数，则a= ． 17．设32()3,()2f x x x g x x =-=-，则(())g f x = ． 三．解答题 18．.已知集合A={-1，a 2+1,a 2-3},B={-4,a-1,a+1},且A∩B={-2}，求a 的值.(13分) 19．已知集合A={} 71<≤x x ，B={x|2 集合与函数概念测试题 一、选择题（每小题5分，满分60分） 1．已知(){},3A x y x y =+=，(){},1B x y x y =-=，则A B = （ ）. A ．{}2,1 B ．(){}2,1 C ．{}2,1x y == D ．()2,1 2．如图，U 是全集，,,M P S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是 （ ）. A ．()M P S B ．()M P S C ．()()U M P C S D ．()()U M P C S 3．下列各组函数表示同一函数的是（ ）． (A) 2 (),()f x g x = = (B) 0 ()1,()f x g x x == (C) 2 1()1,()1 x f x x g x x -=+=- （D ）2 (),()f x g x = = 4．函数{}()1,1,1,2f x x x =+∈-的值域是（ ）． (A) 0,2,3 (B) 30≤≤y (C) }3,2,0{ （D ）]3,0[ 5．已知函数2 2 1()12,[()](0)x g x x f g x x x -=-= ≠，则(0)f 等于（ ） ． (A) 3- (B) 32 - (C) 32 （D ） 3 6．函数2 ()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4]-∞上递减，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．3a ≥- (B) 3a ≤- (C) 5a ≤ （D ）3a ≥ 7．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，1)(+-=x x f ，则当0 第四讲函数的概念与表示 一．知识归纳： 1．映射 （ 1）映射：设 A 、 B 是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合 A 中的任一个 元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及 A到 B 的对应法则 f ）叫做集合 A 到集合 B 的映射，记作 f ： A→B。 （ 2）象与原象：如果给定一个从集合 A 到集合 B 的映射，那么集合 A 中的元素 a 对应的 B 中的元素 b 叫做 a 的象， a 叫做 b 的原象。 注意：（ 1）对映射定义的理解。（ 2）判断一个对应是映射的方法。 2．函数 （ 1）函数的定义 ①原始定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于 x 在某一范围内的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与它对应，那么就称y 是 x 的函数， x 叫作自变量。 ②近代定义：设 A 、 B 都是非空的数的集合，f： x→y是从 A 到 B 的一个对应法则，那么从 A 到 B 的映射 f ： A→B就叫做函数，记作y=f(x) ，其中 x∈ A,y ∈ B，原象集合 A 叫做函数的定义域，象集合 C 叫做函数的值域。 注意：①C B; ② A,B,C 均非空 （ 2）构成函数概念的三要素：①定义域②对应法则③值域 3．函数的表示方法：①解析法②列表法③图象法 注意：强调分段函数与复合函数的表示形式。 二．例题讲解： 【例 1】下列各组函数中，表示相同函数的是（） (A) f(x)=lnx 2,g(x)=2lnx (B)f(x)= a log a x (a>0 且 a≠1),g(x)=x (C) f(x)= 1 x 2 , g(x)=1 - |x| (x ∈[ - 1,1]) (D) f(x)= log a a x (a>0 且 a≠1),g(x)= 3 x3 解答：选D 点评：判断两个函数是否相同主要是从定义域、对应法则两个方面加以分析。 变式：下列各对函数中，相同的是（ D ） (A) f(x)= x 2, g(x)=x (B)f(x)=lgx 2 ,g(x)=2lgx (C)f(x)= lg x 1 , g(x)=lg(x - 1)- lg(x+1) (D) f(x)= 1 u 1 v 1 , g(x)= v x 1 u 1 【例 2】（ 1）集合 A={3,4},B={5,6,7} ，那么可以建立从 A 到 B 的映射的个数是；从B 到 A 的映射的个数是。 （ 2）设集合 A 和 B 都是自然数集合N，映射 f：A→B把集合 A 中的元素 n 映射到集 合 B 中的元素2n+n，则在映射 f 下，像20 的原象是。 解答：（ 1）从 A 到 B 可分两步进行，第一步 A 中的元素 3 可有 3 种对应方法（ 5 或 6 精选 集合的概念及相关运算教学设计 一、教材分析 1.知识来源：集合的概念选自湖南教育出版社必修一中第一章集合与函数概念的第一小节； 2. 知识背景：作为现代数学基础的的集合论，集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学中一些冗长的文字语言．高中数学课程只将集合作为一种语言来学习，作为一种数学简单符号来探究。通过本节课的学习，是阶段性的要求，学生将领悟集合的抽象性及其具体性，学会使用最基本的集合语言去表示有关的数学对象，逐渐发展运用数学语言进行交流的能力。 3.知识外延：集合相关知识的学习对于接下来函数的学习至关重要，高中函数的概念将建立在集合间关系的基础上的。 二、学情分析 1．学生心理特征分析：集合为高一上学期开学后的第一次授课知识，是学生从初中到高中的过渡知识，存在部分同学还沉浸在暑假的懒散中，从而增加了授课的难度。再者，与初中直观、具体、易懂的数学知识相比，集合尤其是无限集合就显得抽象、不易理解，这会给学生产生一定的心理负担，对高中数学知识的学习产生排斥心理。因此本节授课方法就显得十分重要。 2．学生知识结构分析：对于高一的新生来说，能够顺利进入高中知识的学习，基本功还是较扎实的，有良好的学习态度，也有一定的自主学习能力和探究能力。对集合概念的知识接纳和理解打下了良好的 基础，在教学过程中，充分调动学生已掌握的知识，增强学生的学习兴趣。 三、教学目标 (一)知识与技能目标 1．了解集合的含义与表示，理解集合间的基本关系，掌握集合的基本运算。能从集合间的运算分析出集合的基本关系，同时对于分类讨论问题，能区分取交还是取并． 2．学会在具体的问题中选择恰当的集合表示方法，理解集合有限和无限的特征，理清“元素和集合关系”和“集合与集合关系”符号的区别，不混淆。 3.学会正确使用集合补集思想，即为“正难则反”的思想。 (二)过程与方法目标 1．通过学生自主知识梳理，了解自己学习的不足，明确知识的来龙去脉，把学习的内容网络化、系统化． 2．在解决问题的过程中，学生通过自主探究、合作交流，领悟知识的横、纵向联系，体会集合的本质． 3. 学生通过集合概念的学习，应掌握分类讨论思想、化简思想以及补集思想等。 (三)情感态度与价值观目标 1.在学生自主整理知识结构的过程中，认识到材料整理的必要性，从而形成及时反思的学习习惯，独立获取数学知识的能力。 2.在解决问题的过程中，学生感受到成功的喜悦，树立学好数学的 集合与函数概念 一.课标要求： 本章将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁 性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交 流的能力. 函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型 来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展 学生对变量数学的认识. 1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，掌握某些数集的专用符号. 2.理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述 不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用. 3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力. 4、能在具体情境中，了解全集与空集的含义. 5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集,培养学生从 具体到抽象的思维能力. 6.理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集. 7.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 8.学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义;了解函数构成 的三要素，了解映射的概念;体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对 应关系在刻画函数概念中的作用;会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表 示法. 9.了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、分析法)，并能在实际情境中，恰当 地进行选择;会用描点法画一些简单函数的图象. 10.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 11.结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义，了解奇偶 性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形. 12.学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法. 心智家三优教育高一特训营数学教学进度表 ¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、 集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. ¤知识要点： 1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性. 2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ???，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集. 3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ???表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或 N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R . 4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to ），分别用符号∈、?表示，例如3N ∈， 2N -?. ¤例题精讲： 【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合； （2）大于2且小于7的整数. 【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有： 17 A ； －5 A ； 17 B . 【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2， P 13 A 组题4） （1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； （2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合； （3）反比例函数2 y x =的自变量的值组成的集合. *【例4】已知集合2{| 1}2 x a A a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ．集合与函数概念单元测试题-有答案
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