实数小结与复习

《实数》小结与复习

【要点梳理】

1．算术平方根、平方根、立方根的定义及性质（开方与乘方的关系）；

2．有理数的概念以及实数的分类； 3．实数大小的比较以及实数的计算． 例1 (1)下列说法正确有 ．（填序号） ①无限小数都是无理数；②带根号的数是无理数；③有理数都是有限小数；④实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和与积都是无理数；⑥有理数与无理数分别平方后不可能相同．

（2）下列数中那些是有理数？那些是无理数？

－5.2，3

8-，?

6.0 ，

4π，7

22， 0．010010001， 0．121121112 ，3

4

， 7．

例2 （1）求下列各数的相反数与绝对值: ①7；②－38

27

-

；③32- （2）比较下列各组数的大小: ①7与34；②－211与53-； ③51-与31-；④353与．

例3计算：

（1

；（2

（3）221213-； （4

024.π+ （5

）- （最后两题均精确到0.01）．

例4某种牙膏上部圆的直径为3cm ，下部底边的长为4.8cm,如图，现要制作长方形的牙膏盒，牙膏盒上面是正方形．在手工课上，小明，小毛，小丽和小芳4位同学分别制作的牙膏盒高度都一样高，且符合要求．不同的是上面正方形的边长，如下表：

（1)这4位同学制作的盒子都能装下这种牙膏吗？

（2)若你是这种牙膏厂的厂长，从节省材料又方便取放牙膏的角度来看，你认为谁的制作更优秀？

【课堂操练】

1．有下列说法：

（1）无理数就是开方开不尽的数； （2）无理数是无限不循环小数；

（3）无理数包括正无理数、零、负无理数； （4）无理数都可以用数轴上的点来表示． 其中正确的说法的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．求下列各式中的x

（1）2

25x =；（2）2

(1)9x -=；

（3）3

64x =-；（4）3

(21)2160x +-=．

3

13-

4．

10.1=，

= ．

5．若1＜x ＜2，则｜x －3｜＋2)1(-x 的值为

．

6

．在5,3

2

π

--四个数中，最小的

数是 ．

7

2的值是在（ ） A ．5和6之间 B ．6和7之间 C ．7和8之间 D ．8和9之间 8．

观察分析下列数据，寻找规律：

那么第10个

数据应是 ．

9．已知坐标平面内一点A (－2,3),将点A 先

个单位,

,得到A ′,则A ′的坐标为 ．

10．一个正数x 的平方根是2a -3与5-a ，则a 是多少？

11．（1）用一块面积为400 cm 2

的正方形纸片,沿着边的方向剪出一块面积为300 cm 2

的长方形纸片,你会怎样剪? （2） 若用上述正方形纸片，沿着边的方向剪

出面积为300cm 2

的长方形纸片,且其长宽之比为3:2,?你又怎样剪？ （3）根据你的剪法回答:只要利用面积大的纸片一定能剪出面积小的纸片吗?

正方形

的边长

小明小毛小丽小芳

2.4cm 3cm

3.6cm

4.8cm

【课后巩固】

1．下列说法：（1）无理数一定是无限小数；（2）带根号的数一定是无理数；（3）无限小数是无理数；（4）不带根号的数是有理数． 其中正确的说法的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．下列实数2

1

-

, π , 4 , 31 , 5

中是无理数的有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 3．若==-x x ，则324 ．

4．若26的整数部分为a ，小数部分为b ，则a －b = ．

5．如图，数轴上表示1、2的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数是（ ）． A ．2－1 B ．1－2 C ．2－2 D ．2－2

6．如图，A 是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点O （A 与O 点重合），设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币沿数轴负方向滚动一周，点A 与点A 1重合，则A 1点

所对应的实数是 ． 7

=

,m n ）

的个数是 ．

8．计算 （1

（2

9．写出所有适合下列条件的数

（1

）大于

（2

的所有整数．

10．(1)比较大小:①1223--与, ②

2334--与, ③3445--与；

(2)由(1)中比较的结果,猜想n

n -+1与1--n n 的大小关系．

11．某老师在讲实数这一节时，画了如图所示的图形，即以数轴单位长，作为边作一个正方形，再以O 为圆心，以正方形的对角线长为半径作弧与数轴交于两点A 、B ． （1）A 、B 表示数 ； （2）作这样图说明： ．

12．利用如图的4×4方格，作出面积为8平方单位的正方形，然后在数轴上表示实数

8和8-．

13．已知012=-+-y x , 且x y y x -=

-,求y x +的值．

【课外拓展】

14．已知

a =，y 2=

b ，（y <0），并且

8=（4a

， 18=，求y －x 的值．

15．细心观察图，认真分析各式，然后解答下列问题：

+==+=,s ,,

2

2112132

=+==

s ,

,s 2

23142

（1）请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律；

（2）OA 10的长为 ；

（3）s s s s +++

+222

212310的值为 ．

16．如图，平行四边形ABCD 中，A 、B 、C 三点坐标分别是A 11），B （1，1），C （4，1）． （1）求D 点坐标；

（2）将平行四边形向下平移2个单位长度，则A 、B 、C 、D 各点坐标分别是多少？ （3）在（2）个单位，则 A 、B 、C 、D 的坐标又变为多少？ （4）求平行四边形的面积？

O

(A )

北师大版初中数学八年级上册《第二章实数回顾与思考》优质课教学设计0.doc

初级中学导学案 年级八学科教研组长主备人李博课型复习课第_8_课时课题第二章实数（复习） 1. 复习无理数、算术平方根、平方根、立方根、估算、实数、二次根 学习 式及其相关概念，会求一个数的平方根、立方根，并进行相关计算； 目标 2. 灵活运用公式进行二次根式的相关运算。 学习熟练掌握无理数、算术平方根、平方根、立方根、估算、实数、二次根 式及其相关概念。 重点 学习 灵活运用公式进行二次根式的相关运算。 难点 教法教学 开放导学法班班通 学法准备 1. 下列说法：（1）有理数都是有限小数；（2）有限小数都是 达成目标有理数；（3）无理数都是无限小数；（4）无限小数都是无理 数。其中正确的的有（）。 A．（1）（2） B.(1)(3) C.(2)(3) D.(2)(4) 2. 已知X - 3 +（4-Y） + 2X Y 3Z 的值为。 2 X 3. 已知Y= X 2+ 2 X -3 ，求Y 的值为。 4. 已知：5+ 11的小数部分是a，5- 11的小数部分是b。 （1）a+b的值； （2）a-b 的值。 5. 已知a =5， b =7，且a b =a+b，则a-b 的值为（） 2 A.2 或12 B.2 或-12 C.-2 或12 D.-2 或-12 6. 下列说法正确的有（）个。 （1）零是最小的实数（2）带根号的数一定是无理数 （3）比 2 小的数只有1,0 （4）数轴上每个点都表示一

个有理数

A.3 B.2 C.1 D.0 7. 下列二次根式属于最简二次根式的是（） 评价 1 7 样题 A. 14 B. 8 C. 2 D. 4 8. 若3m 1有意义，则m能取的最小整数值是（） A.m=0 B.m=1 C.m=2 D.m=3 评价 设计通过教师提问、学生回答完成目标一。（目标达成率95%）通过评价样题完成目标二。（目标达成率90%） 学习知识点复习： 知识点一：有理数、无理数概念：

实数章节复习知识点归纳,总结

第六章 实 数 一．知识结构图： 二．知识定义 算术平方根 正数a 的算术平方根记作: . 正数和零的算术平方根都只有 个，零的算术平方根是 ，负数 算术平方根。 ? ?? ==||2 a a () =2 a 例：1. 25的算术平方根是 ；16 的算术平方根是 。 2.已知一个自然数的算术平方根是a ，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（ ） A ．1+a B. 1+a C. 12+a D. 12+a 3.面积为11的正方形边长为x ，则x 的范围是（ ） A ．31<

4.若∣a∣=6，b=3，且ab0，则a-b= 。 平方根 正数a的平方根记作: . 一个正数有平方根，他们互为； 零的平方根是；负数平方根。 例1.16的平方根是( ) A．4 B. 4 ± ± C. 2 D. 2 2.一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4，则a=____，x=___。 3.已知2a-1的算术平方根式3,4是3a+b-1的算术平方根，求a+2b的平方根。 立方根

a 的立方根记作: . 一个 数有一个 的立方根；一个 数有一个 的立方根；零的立方 根是 。3 3a a -=- =3 3 a ()=3 3 a 例：1. 4 12=_____， 169 ± =_____，3 27 8-_____. 2.下列说法中正确的是（ ） A 、81的平方根是±3 B 、1的立方根是±1 C 、 1=±1 D 、5-是 5的平方根的相反数 3.判断下列说法是否正确 （1） 的算术平方根是-3； （2） 225 的平方根是±15. （3）当x=0或2时，02=-x x （4）2 3 是分数 4.已知∣x ∣的算术平方根是8，那么x 的立方根是_____。 5.如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A ，则点A 表示的数是（ ）

实数教学反思

2.6 实数教学反思 《2.6实数》是北师大版数学八年级上册第二章第六节内容，这是一节实数的运算、化简课，只有在熟练掌握两个公式（和这两个公式的逆运用）的基础上，反复利用练习来巩固学生对知识理解和融汇，这也是数（或式）的运算（或化简）的最大的特点。 《数学课程标准》强调：要关注学生“是否积极主动地参与学习活动；是否有学好数学的自信心，能够不回避遇到的困难；是否乐于与他人合作，愿意与同伴交流各自的想法；是否能够通过独立思考获得解决问题的思路；能否找到有效的解决问题的方法，尝试从不同的角度去思考问题；是否能够使用数学语言有条理地表达自已的思考过程；是否理解别人的思路，并在与同伴的交流中获益；是否有反思自已思考过程的意识。”所以，我首先通过课本引例问题，旨在使学生通过自己的探究活动，经过老师的引导，感受并体验实数的运算、化简；让学生根据实例进行探索，通过同学们互相交流合作，得出两个化简的公式（实际上是两个运算公式的逆运用），培养他们的合作精神和探索能力，也让他们获得成功的体验（因为这是教材里没有写出来的），充分调动、发挥学生主体性的多样化的学习方式，促进学生在教师指导下主动地、富有个性地学习。 因为课本的知识量比较少，我在新课引入和练习巩固方面所花的时间相对多一些，这也是数（或式）的运算的通用的做法，旨在通过练习、例题来巩固学生对所学知识的理解和掌握。但我也把练习、例题的量掌握在一定的尺度，以避免学生的反感与厌烦，从而导致前功

尽弃。 由于复习练习时学生配合相对不默契，浪费了一些时间，导致在课时小结时，显得比较仓促，这是本节课不足的地方。另外，实数的有关计算和化简，还有待于以后的练习和作业继续加强和巩固。

实数复习课重难点(学习分享)

实数复习课 一、学生起点分析 本章学习至此，学生已经认识了无理数，学习了实数概念及相关运算，从而将原有有理数扩充到了实数范围，使得对数的认识更进一步深入，让学生感受到了数系扩充的必要性与作用．在前面的探究活动中，学生已经掌握了相关数学知识，并具备了一定的数学能力，掌握了类比、数形结合等数学思想方法，也具备了一定的合作学习经验，为学习本节“知识回顾与思考”奠定了基础． 二、教学任务分析 本章是在学习了勾股定理及有理数等知识的基础上，进行的数系第二次扩张，使学生对数的认识进一步深入．本课是对整章内容的复习与归纳，在教学过程中不必多过地追求概念，只要学生能够结合具体情境，从意义上理解主要概念即可．作为复习归纳课，学生虽对相关知识基本掌握，但是知识间的联系还不够清楚，对于一些综合性较强的题在方法上还有所欠缺，因此本节的教学中应将整章知识点进行梳理整合，并以典型题作为载体让学生从题中悟知识点，从题中悟数学思想与方法． 因此，本节课的教学目标是： ①复习无理数、算术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式及相关概念，会用根号表示，并会求数的平方根、立方根并进行相关运算； ②在实数的有关概念和运算律、运算法则的教学中，让学生体会类比的思想； ③通过复习提高学生归纳整理的能力，并在师生互动、生生互动的过程中让学生学会倾听学会交流； 本章概念较多，学生容易混淆，因此本节的重点应帮助学生理清无理数、算术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式的概念． 本章的难点体现在以下几处：①算术平方根的双重非负性有着重要的作用，常与平方、绝对值等具有非负性的知识结合在一起应用；②实数的混合运算也一向是学生计算的难点，学生往往在运算顺序、运算法则上出错；③本章对学生数形结合的能力有较高要求，如实数与几何知识勾股定理结合在一起就是学生掌握的难点．

201x版八年级数学上册第四章实数小结与思考学案新版苏科版

2019版八年级数学上册第四章实数小结与思考学案新版苏科版 【学习目标】 回顾和整理本章所学的知识内容，使学生对本章内容有全面的了解,感受数形结合的思想。在学习生活中获得成功的体会，增加学生学习数学的兴趣。 【教学重难点】 建立本章知识结构和各知识简单应用 【预习导航】 1．化简：16= ；9-= ；38-= ； 327--= 。 2．64的平方根是 ，立方根是 ；25的算术平方根是 。 3．一个数的平方根等于它本身，那么这个数是________；某数的立方根等于它本身，则这个数是 。 4．若12+x 的算术平方根是2，x ＝________． 5．将实数 23 1 ，38-，3.14159，-2π，2-，39,25,0.121121112…,填入下列集合 有理数集合：{ …}； 无理数集合：{ …} 正实数集合: { …}; 负实数集合: { …}。 6． 21-的相反数是 ；绝对值是 。 7．比较下列各组数的大小： ⑴ 2- -1.4 ⑵3 1 3 12- 8．5.47×105 精确到 位， 28035≈_______ (精确到千位)，0.03196≈______ (精确到0.001) 9．比较下列各组数的大小： （1） 2- -1.4 ；（2） π- -3.14159 ； （3） 23________32 （设计意图：尊重学生已有的知识和经验，通过小题唤醒，复习旧知，为本课知识点归纳做准备） 【知识梳理】 本章的知识网络结构：

（设计意图：因为学生的学习要经历短时记忆到长时记忆过程，而网络化的总结方式有利于长时记忆的形成，有利于完善学生的认知结构，有利于加强知识之间的联系，构建知识体系） 例题分析 例1．（1）若实数x y ，满足2 6(5)0x y ++-=，则xy 的值是 ． （2）已知2x-1的是9的平方根，2y-4的立方为216，求3x+y 的平方根。 例2．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． （1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图2中，画一个三角形，使它的三边长分别为3，8，5； （3）在图3中，画一个三边都是无理数的直角三角形三角形。 例3．已知：如图，AC 是?ABD 的高，BC=2cm ， ∠BAC=30°, ∠DAC=45°，求AD 。 图2 图3 图1 45? 30? A

第二章 实数回顾与思考(教学设计)

第二章实数 回顾与思考 一、学生起点分析 本章学习至此，学生已经认识了无理数，学习了实数概念及相关运算，从而将原有有理数扩充到了实数范围，使得对数的认识更进一步深入，让学生感受到了数系扩充的必要性与作用．在前面的探究活动中，学生已经掌握了相关数学知识，并具备了一定的数学能力，掌握了类比、数形结合等数学思想方法，也具备了一定的合作学习经验，为学习本节“知识回顾与思考”奠定了基础． 二、教学任务分析 本章是在学习了勾股定理及有理数等知识的基础上，进行的数系第二次扩张，使学生对数的认识进一步深入．本课是对整章内容的复习与归纳，在教学过程中不必多过地追求概念，只要学生能够结合具体情境，从意义上理解主要概念即可．作为复习归纳课，学生虽对相关知识基本掌握，但是知识间的联系还不够清楚，对于一些综合性较强的题在方法上还有所欠缺，因此本节的教学中应将整章知识点进行梳理整合，并以典型题作为载体让学生从题中悟知识点，从题中悟数学思想与方法． 因此，本节课的教学目标是： ①复习无理数、算术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式及相关概念，会用根号表示，并会求数的平方根、立方根并进行相关运算； ②在实数的有关概念和运算律、运算法则的教学中，让学生体会类比的思想； ③通过复习提高学生归纳整理的能力，并在师生互动、生生互动的过程中让学生学会倾听学会交流； 本章概念较多，学生容易混淆，因此本节的重点应帮助学生理清无理数、算术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式的概念． 本章的难点体现在以下几处：①算术平方根的双重非负性有着重要的作用，常与平方、绝对值等具有非负性的知识结合在一起应用；②实数的混合运算也一向是学生计算的难点，学生往往在运算顺序、运算法则上出错；③本章对学生数形结合的能力有较高要求，如实数与几何知识勾股定理结合在一起就是学生掌握

回顾与反思

第二章回顾与反思 一、学生起点分析 本章学习至此，学生已经认识了无理数，学习了实数概念及相关运算，从而将原有有理数扩充到了实数范围，使得对数的认识更进一步深入，让学生感受到了数系扩充的必要性与作用．在前面的探究活动中，学生已经掌握了相关数学知识，并具备了一定的数学能力，掌握了类比、数形结合等数学思想方法，也具备了一定的合作学习经验，为学习本节“知识回顾与思考”奠定了基础． 二、教学任务分析 本章是在学习了勾股定理及有理数等知识的基础上，进行的数系第二次扩张，使学生对数的认识进一步深入．本课是对整章内容的复习与归纳，在教学过程中不必多过地追求概念，只要学生能够结合具体情境，从意义上理解主要概念即可． 作为复习归纳课，学生虽对相关知识基本掌握，但是知识间的联系还不够清楚，对于一些综合性较强的题在方法上还有所欠缺，因此本节的教学中应将整章知识点进行梳理整合，并以典型题作为载体让学生从题中悟知识点，从题中悟数学思想与方法． 三、教学目标 （一）知识与技能 复习无理数、算术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式及相关概念，会用根号表示，并会求数的平方根、立方根并进行相关运算。 （二）过程与方法 在实数的有关概念和运算律、运算法则的教学中，让学生体会类比的思想。 (三）情感态度与价值观 通过复习提高学生归纳整理的能力，并在师生互动、生生互动的过程中让学

生学会倾听学会交流。 四、教学重点 二次根式四则运算、化简。 五、教学难点 1.算术平方根的双重非负性有着重要的作用，常与平方、绝对值等具有非负性的知识结合在一起应用。 2.实数的混合运算。 3.如实数与几何知识勾股定理结合在一起的应用． 六、教学方法 启发式教学法讲授教学法 七、教学过程 本节课设计了五个教学环节：第一环节：知识回顾；第二环节：典例精析；第三环节：运用巩固；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业．第一环节知识回顾 知识框图展示。 第二环节典例精析 （一）实数的相关概念 例1 下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？ 23 3.14159265π-1，2 (，3.1010010001…（相邻两个1之间0的各数逐次加1） 设计说明：此题考查概念．整数和分数统称为有理数，这是有理数的判断方法．无理数是无限不循环的小数，这是无理数的判断方法．而无限不循环小数主要有以下几种：①开方开不尽的方根；②含π的数；③是无限小数且不循环．在 判断时还应注意，一定要抓住概念的本质而不是根据数的形式，如此题中的

实数题型总结

实数题型总结 一、填空题 1、 .平方根 （1）算术平方根的定义：一个正数x 的平方等于a,即_____，那么这个正数x 就叫做a 的 ________.0的算术平方根是_____。 （2）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，即_____，那么这个数x 就叫做a 的_______。 （3）平方根的性质：一个正数有_____个平方根，它们________； 0只有_____个平方根，它是 _____；负数_____平方根。 （4）开平方：求一个数a 的________的运算，叫做开平方。 2、.立方根 （1）立方根的定义：如果一个数x 的_____等于a ，即_____，那么这个数x 就叫做a 的立方根。 （2）立方根的性质：每个数a 都只有_____个立方根。正数的立方根是_____；0的立方根是_____； 负数的立方根是_____。 （3）开立方：求一个数a 的________的运算叫做开立方。 3、实数 （1）无理数的定义：无限不循环小数叫做_____。 （2）实数的定义： _____和_____统称实数。 （3）实数的分类：①按定义分：________________________；②按性质分：________________________。 （4）实数与数轴上的点的对应关系：_____与数轴上的点是_____对应的。 （5）有关概念：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的意义_____。 4、已知实数x ，y 满足 2x -+(y+1)2 =0，则x-y 等于 5、一个数的平方等于它本身，这个数是 ；一个数的平方根等于它本身，这个数是 ， 一个数的算术平方根等于它本身，这个数是 6、若2 a =25, b =3,则a+b= ，4的平方的倒数的算术平方根是 7、已知一个正数的两个平方根分别是2a ﹣2和a ﹣4，则a 的值是 8、若 a a -=2 ，则a______0，若73-x 有意义，则x 的取值范围是 9、16的平方根是±4”用数学式子表示为 ，大于-2，小于10的整数有______个。 10、当x 时，式子21 --x x 有意义. 11、绝对值小于5的所有实数的积为 化简 = 12、若x x =3 ，则=x ；若x x =3，则=x x 1-

(完整版)实数全章总结

课题：第六章 实数（全章小结） 耿城中心学校 张 莺 教学目标：1、理解平方根、算术平方根、立方根的概念，能用平方或立方运算求某些数的 平方根或立方根； 2、了解无理数的意义，会对实数进行分类，了解实数的相反数和绝对值的意义 3、进一步体会数系扩充的必要性与合理性，了解实数与数轴上的点一一对应以 及有理数的运算律适用于实数范围 教学重点：．平方根和算术平方根的概念、性质，无理数与实数的意义； 教学难点：．平方根和算术平方根的概念、性质，无理数与实数的意义以及相关概念及运算。． 教学过程： 一、 知识点回顾 1、 特别是平方根、立方根、算术平方根的概念，进行对比复习，注重它们的区别与联系，可让学生找一找区别与联系。 2、当求一个非负数的平方根时，可能会出现无理数，使得数的范围从有理数扩大到实数。 ①实数分类： 正有理数 正实数 正无理数 实数 0 负有理数 负实数 负无理数 ②每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点又都可以表示成一个实数，它们之间是一一对应的。 ③你会在数轴上寻找2、、5 ???????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????→←.00;;___00;.;00:,的立方根是方根负数有一个负的立方根正数有一个正的立性质定义立方根开立方的算术平方根是的正的平方根正数性质定义算术平方根负数没有平方根的平方根是们互为相反数根一个正数有两个平方性质定义平方根开平方开方乘方互为逆运算a ???? ?????????????负无理数正无理数无理数负有理数正有理数有理数实数0

第十三章实数小结

第十三章实数小结 昆明市实验中学初二（５）班陈璇一、平方根、算术平方根的概念及其性质 （１）平方根的概念及其性质 ①如果一个数x的平方等于a，即x2=a，则称这个数x为a的平方根（或二次方根）。正数a的正的平方根表示为“2a”或“a”，其中a叫做被开放数；“2”中的2叫做根指数（一般可省去不写）；“2a”或“a”读作“二次根号a”或“根号a”；正数a 的负的平方根表示为“－2a”或“－a”；正数a的平方根为±a，读作“正、负根号a”。 ②一个正数的平方根有两个且它们互为相反数；零只有一个平方根还是零；负数没有平方根。 （２）算术平方根的概念及其性质 ①一个正数a的平方根有两个，分别为a和－a，我们把那个正的平方根a为a 的算术平方根。 ②一个正数的算术平方根是一个正数；零的算术平方根仍为零；负数没有算术平方根。 （３）开平方运算 求一个数a的平方根的运算叫做开平方，其中数a叫做被开方数；平方运算与开平方运算是互为逆运算的关系。 （４）平方根（或算术平方根）的几个公式 ①式子±ａ有意义的条件为ａ≥０。 ②ａ表示ａ的算术平方根，ａ是非负数，即ａ≥０。 ａａ≥０

③ａ2＝︱ａ︱＝０ａ＝０ －ａａ＜０ ④（ａ）2＝ａ（ａ≥０），（－ａ）2＝ａ（ａ≥０）。 二、立方根的概念及其性质 （１）如果一个数ｘ的立方等于ａ，即ｘ3＝ａ，那么就称这个数ｘ为ａ的立方根（或三次方根）。 ａ的立方根（或三次方根）表示为3ａ，其中ａ为被开方数，“3”符号中的３为根指数（这个数不能省略）；3ａ读作“三次根号ａ”或“ａ的立方根”。 （２）任意数都有立方根，正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；零的立方根仍为零。 （３）有关立方根的补充说明和两个公式 ①在3ａ中，被开方数ａ可为正数、零，也可为负数。即3ａ的正负与ａ一致。 ②3－ａ=－3ａ ③(3a) 3=3a3＝ａ （４）开立方运算 求一个数ａ的立方根的运算叫做开立方运算。开立方运算与立方运算是互为逆运算的关系。 三、实数的有关性质 （１）实数ａ的相反数为－ａ，零的相反数是其本身，若ａ与ｂ互为相反数，则ａ＋ｂ＝０；反之亦然。 （２）实数ａ的倒数为１/ａ（ａ≠０）。若ａ与ｂ互为倒数，则ａｂ＝１；反之亦然。 （３）实数ａ的绝对值表示为︱ａ︱，正实数的绝对值是它本身，零的绝对值是

第十三章实数小结与复习教案

第十三章实数小结与复习 辽宁省开原市业民中学孙国庆 教案背景 1、面向八年级学生 2、学科：数学 教学课题 第十三章实数小结与复习 教材分析 《人教版义务教育课程标准实验教科书数学》八年级下册第十三章实数小结与复习。本章的主要内容是平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算。通过本章的学习，学生对数的认识就由有理数范围扩大到实数范围，本章之前的数学内容都是在有理数范围内讨论的，学习本章之后，将在实数范围内研究问题。在中学数学中占有重要的地位，本章内容不仅是后面学习二次根式、一元二次方程以及解三角形等知识的基础，也为学习高中数学中的不等式、函数以及解析几何的大部分知识做好准备。 教学目标 （一）教学知识点： 1、经历小结与复习，建立本章知识框架图。 2、进一步复习本章知识，强调有关概念、运算的联系与区别及数的范围由有理数扩大到实数后，有关概念和运算的变化情况。（二）能力训练要求：

通过回顾与思考使学生能进一步掌握实数的相关知识并会灵活运用，体会归纳的数学思想方法。 （三）情感与价值观要求： 1、培养学生学会归纳，整理所学知识的能力。 2、认识事物之间的内在联系及相互转化。 3、培养学生的数学应用意识。 教学重点 有关概念、运算。 教学难点 知识间的内在联系与区别。 教学方法 教师引导学生进行归纳 教具准备 多媒体演示等 教学过程 （一）引导学生复习知识要点： 1、平方根和开平方： ±。若x≥（1）如果2(0) =≥，那么x叫做a的平方根．a的平方根记作a x a a 0，则x叫a的算术平方根 （2）求一个数平方根的运算叫开平方。 互逆 开平方平方 （3）一个正数有两个平方根,它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 注：a具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即a≥0.

中考数学第1讲 实数(含答案)

第1讲 实数 【回顾与思考】 （1）实数的有关概念 { } ????????????????????? ?????? ?????? 正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数 负无理数 ①实数： 和 统称实数， 和数轴上的点是一一对应．．．．的。（即：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。） ②有理数: 和 的统称.任何一个有绿树都可以写成分数p q 的形式，其中p 和q 是整数且最大公约数是1。 ③无理数：无限 叫无理数，常见的有三类：① ；② ；③ ； ④对实数进行分类，应先 ，后 。 (2)数轴：规定了 、 和 的直线叫做数轴(画数轴时，要注童上述规定的三要素缺一个不可)。 和数轴上的点是一一对应．．．． 的。（即：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。） (3)相反数： 实数的相反数是一对数(只有 的两个数，叫做互为相反数， 零的相反数是 )． 从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于 对称． (4)绝对值 ①从数轴上看，一个数的绝对值就是 的距离。 ??? ??<-=>=)0() 0(0) 0(||a a a a a a

②一个正数的绝对值是 ，一个负数的绝对值是 ，零的绝对值是 。 (5)倒数： 实数a(a ≠0)的倒数是 (乘积为1的两个数，叫做互为倒数)；零 倒数． （6）平方根：如果 ,即 ，那么这个数x 叫做做a 的平方根（也叫二次方根）。一个正数有 平方根，且互为相反数；0的平方根是 ；负数 平方根。 （7）算术平方根：如果 ，即 ，那么这个正数x 叫做a 的算．术． 平方根，即x a =；特别规定0的算术平方根是 。即00=。 （8）立方根：如果一个数x 的立方等于a ，即x 3 =a ，那么这个数x 叫做a 的立方根（也叫三次方根），一个正数的立方根是 ；0的立方根是 ；负数的立方根是 。 （9）科学计数法：用 的方法叫科学计数法，若N 是大于10的整数，记成N=a n 10?，其中1≤a<10，n= ；若0

实数小结

课时7：实数小结与思考 主备人：徐玉香 审核人：靳红芬 2015年 9月 教学目标： 能灵活应用平方根、立方根、实数相关知识解决一些有价值的问题，提高学生用所学的知识探索、分析、解决问题的能力，引导学生用数学的眼光看待问题 教材分析 重点：平方根、立方根、实数的有关概念 难点：平方根、立方根、实数的有关概念 课型方法 新授课 电教手段 实物投影 前置作业： 知识点一、平方根与立方根 1、 1 4 的算术平方根是 ；-27的立方根是 ；_____ 的立方根是 。 2、算术平方根等于它本身的数是 ；立方根等于它本身的数是 。 3、若一正数的两个平方根分别是2a －7与－a ＋2，则这个正数等于__________ 知识点二、实数 4、在 22，4π ，1.732，327 1-，0.3，16，－722，38.0等数中，无理数的个数有 个。 5 、1的相反数是 ；π-的倒数是 ； 的负整数有 。 6、比较大小： 12； 7、实数上的点A 和点B 之间的整数点有 知识点三、近似数 8、用四舍五入法对0.8075取近似值为________(精确到0.01) 9、地球的半径约为3 6.410?㎞，精确到 位， 教学过程： 一、展示交流： 二、合作探究： 例1、计算：（1）312523832-+-- （2）98)2 1 ()2()2(31 2-++--- 例2、求下列各式中的x 。 （1）2 5(2)245x -= （2）3 (2)27x += 例3、（13 80,b -=求2a b - 的平方根及4a b 的立方根。 （2）已知2x －1的平方根为±3，3x ＋y －1的平方根为±4，求x ＋2y 的平方根 -

第二章实数回顾与思考(教学设计)

实数回顾与思考 一、教学任务分析 本章是在学习了勾股定理及有理数等知识的基础上，进行的数系第二次扩张，使学生对数的认识进一步深入．本课是对整章内容的复习与归纳，在教学过程中不必多过地追求概念，只要学生能够结合具体情境，从意义上理解主要概念即可．作为复习归纳课，学生虽对相关知识基本掌握，但是知识间的联系还不够清楚，对于一些综合性较强的题在方法上还有所欠缺，因此本节的教学中应将整章知识点进行梳理整合，并以典型题作为载体让学生从题中悟知识点，从题中悟数学思想与方法． 因此，本节课的教学目标是： ①复习无理数、算术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式及相关概念，会用根号表示，并会求数的平方根、立方根并进行相关运算； ②在实数的有关概念和运算律、运算法则的教学中，让学生体会类比的思想； ③通过复习提高学生归纳整理的能力，并在师生互动、生生互动的过程中让学生学会倾听学会交流； 本章概念较多，学生容易混淆，因此本节的重点应帮助学生理清无理数、算术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式的概念． 本章的难点体现在以下几处：①算术平方根的双重非负性有着重要的作用，常与平方、绝对值等具有非负性的知识结合在一起应用；②实数的混合运算也一向是学生计算的难点，学生往往在运算顺序、运算法则上出错；③本章对学生数形结合的能力有较高要求，如实数与几何知识勾股定理结合在一起就是学生掌握的难点． 本章的知识结构框图

2 2 2 3 3 0) x a x a x a x a x x a a x x a x a x a x a x a ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?= ?? == ? ?= ?? ?= ? ? == ?? ≥ 整数 有理数 分数 实数分类 正无理数 无理数 负无理数 定义：如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根平方根表示：若，则 算术平方根：若，则的算术平方根为 定义：如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫做的立方根立方根 表示：若，则 实数叫做二次根式 二次根式 最简二次 2 3 (0) 0,0) 0,0) a a a a a a b a b ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? =≥ ? ? = ? ?= ? ? ?= ? ?=≥≥ ? ? =≥≥ ? ? ?? 根式：被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式重要性质 实数的性质应用 二、教学过程设计 第一环节知识回顾 知识点填空: （1）无限不循环小数叫做无理数． （2）有理数和无理数统称为实数． ??? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? 整数 有理数 分数 实数分类 正无理数 无理数 负无理数

实数小结与复习

《实数》小结与复习 【要点梳理】 1．算术平方根、平方根、立方根的定义及性质（开方与乘方的关系）； 2．有理数的概念以及实数的分类； 3．实数大小的比较以及实数的计算． 例1 (1)下列说法正确有 ．（填序号） ①无限小数都是无理数；②带根号的数是无理数；③有理数都是有限小数；④实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和与积都是无理数；⑥有理数与无理数分别平方后不可能相同． （2）下列数中那些是有理数？那些是无理数？ －5.2，3 8-，? 6.0 ， 4π，7 22， 0．010010001， 0．121121112 ，3 4 ， 7． 例2 （1）求下列各数的相反数与绝对值: ①7；②－38 27 - ；③32- （2）比较下列各组数的大小: ①7与34；②－211与53-； ③51-与31-；④353与． 例3计算： （1 ；（2 （3）221213-； （4 024.π+ （5 ）- （最后两题均精确到0.01）． 例4某种牙膏上部圆的直径为3cm ，下部底边的长为4.8cm,如图，现要制作长方形的牙膏盒，牙膏盒上面是正方形．在手工课上，小明，小毛，小丽和小芳4位同学分别制作的牙膏盒高度都一样高，且符合要求．不同的是上面正方形的边长，如下表： （1)这4位同学制作的盒子都能装下这种牙膏吗？ （2)若你是这种牙膏厂的厂长，从节省材料又方便取放牙膏的角度来看，你认为谁的制作更优秀？ 【课堂操练】 1．有下列说法： （1）无理数就是开方开不尽的数； （2）无理数是无限不循环小数； （3）无理数包括正无理数、零、负无理数； （4）无理数都可以用数轴上的点来表示． 其中正确的说法的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．求下列各式中的x （1）2 25x =；（2）2 (1)9x -=； （3）3 64x =-；（4）3 (21)2160x +-=． 3 13- 4． 10.1=， = ． 5．若1＜x ＜2，则｜x －3｜＋2)1(-x 的值为 ． 6 ．在5,3 2 π --四个数中，最小的 数是 ． 7 2的值是在（ ） A ．5和6之间 B ．6和7之间 C ．7和8之间 D ．8和9之间 8． 观察分析下列数据，寻找规律： 那么第10个 数据应是 ． 9．已知坐标平面内一点A (－2,3),将点A 先 个单位, ,得到A ′,则A ′的坐标为 ． 10．一个正数x 的平方根是2a -3与5-a ，则a 是多少？ 11．（1）用一块面积为400 cm 2 的正方形纸片,沿着边的方向剪出一块面积为300 cm 2 的长方形纸片,你会怎样剪? （2） 若用上述正方形纸片，沿着边的方向剪 出面积为300cm 2 的长方形纸片,且其长宽之比为3:2,?你又怎样剪？ （3）根据你的剪法回答:只要利用面积大的纸片一定能剪出面积小的纸片吗? 正方形 的边长 小明小毛小丽小芳 2.4cm 3cm 3.6cm 4.8cm

实数复习小结

第二章实数复习小结 知识结构 基础知识回顾 1．无理数的定义 2．有理数与无理数的区别 有理数总可以用分数或整数表示；反过来，任何整数或分数也都是有理数。而无理数是无限不循环小数小数，有理数和无理数区别之根本是有限及无限循环和无限不循环。 3.常见的无理数类型 (1)一般的无限不循环小数，如：1.41421356¨··· (2)看似循环而实际不循环的小数，如0.1010010001···(相邻两个1之间0的个数 逐次加1)。 (3)有特定意义的数，如：π=3.14159265··· ,3。 (4).开方开不尽的数。如：35 4．算术平方根。 (1)定义：若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x为a的算术平方根 (2)我们规定：0的算术平方根是0 (3)性质：算术平方根a具有双重非负性： ①被开方数a是非负数，即a≥0. ②算术平方根a本身是非负数，即a≥0。 也就是说，任何大于0的算术平方根是一个正数，

5．平方根 （1） 定义： （2） 非负数a 的平方根的表示方法: （3） 性质： 一个（ ）有两个平方根，这两个平方根( )。 ( )只有一个平方根，它是( )。 ( )没有平方根。 说明：平方根有三种表示形式：±a ，a ，－a ，它们的意义分别是：非负数a 的平方根，非负数a 的算术平方根，非负数a 的负平方根。要特别注意： a ≠±a 。 6.平方根与算术平方根的区别与联系： 区别：①定义不同 ②个数不同： ③表示方法不同： 联系：①具有包含关系： ②存在条件相同： ③ 0的平方根和算术平方根都是0。 7．开方运算： （1） 定义： ① 开平方运算： ② 开立方运算： （2）平方与开平方式（ ）关系，故在运算结果中可以相互检验。 8．a 2的算术平方根的性质 ①当a ≥0时，2a =（ ） ② 当a<0时，2a =（ ） 一般的，当a<0时，2a =-a. 我们还知道，当a ≥0时，│a │=a ；当a<0时，│a │=a. 综上所述，有 a (a ≥0) 2 a =│a │= -a (a<0) 从算术平方根的定义可得：2)(a =a (a ≥0) 9．立方根 （1） 定义：______________________________. （2） 数a 的立方根的表示方法:_________ （3） 互为相反数的两个数的立方根之间的关：_________ （4） 两个重要的公式 为任何数）为任何数）a a a a a (()3(3333== 10．实数

实数的运算教学反思

实数的运算教学反思 反思一：实数的运算>教学反思 昨天也备好了这节课的内容，今天上课前我又把教案看一下，结果问题发现了：教学任务一：先使用计算器算得最终结果，再按预定精确度取近似值。如：这样一次性利用计算器算得最终结果。 教学任务二：如能化简算式，则先化简，再用计算器计算，这样能使计算方便。对于（2） 学生当然也想利用计算器一次性得出，这样都好，不用计算，结果也成功。这样学生觉得挺方便的，你说先化简简单方便，谁信？这里我觉得教案设计不恰当，不了解学情，没能做到备学生。所以做了更改，补充一题：（3） 我想现在你总没办法一次性按出结果吧！ 这时就可以顺水推舟、水到渠成完成任务二。 到课堂里，果真学生就一次性得出（2）题结果，我就继续拿出第三题，这下你该没招了吧，有学生在叫：中括号没有怎么办？我就借机引导：那能否把它处理一下，化简变得简单点，再利用计算器。可是还有些同学不可罢休，继续在思考尝试，终于得出结果来，用小括号代替中括号，不影响运算顺序。这下我咋办？还是硬拉着学生先化简-----，可是还些同学在嘀咕，这样太麻烦了，还不如直接用计算器简单；有些同学干脆不听你的。我气得只拍桌子，那效果就不用说了------。 下课后，我心里很不是滋味，边走边埋怨学生，在回办公室的路上碰到上同一级段的数学老师，正好她也上这节课，也很气很糟糕，这样我就来到她的办公室进行讨论交流起来，

她也同感，上了后很气，学生只管自己的，根本不吃老师的一套，教材安排的用意何在呢？若是让学生理解有理数的运算法则和运算在实数范围内同样适用，以及掌握运算顺序等，那通过哪些教学环节或教学活动来达到目的呢？显然教材没有（因为使用计算器，学生根本体验不到计算的顺序，只能通过教师的讲授，效果大打折扣）。教材应该安排一些乘方、开方（开得尽方）和加减、乘除之类的混合运算，让学生在计算中体验和掌握实数运算的顺序以及有关法则与运算律。这是其一。其二，如能化简算式，则先化简，再用计算器计算，这样能使计算方便。请问：什么叫方便？对学生来说，把式子一次性输入计算器马上得出答案，应该是方便，干嘛还要化简呢？再说，这化简对学生来说难度可大了，特别是分配律，符号可令学生头痛啊！自然学生极力排斥，没法落实教学目的，这又是教材编制失败之处。而化简计算能力正是需要培养训练的，为下面整式的化简作好准备。如设计恰当可一箭双雕，既可巩固运算的顺序，也可让学生产生冲突，能化简的非化简不可，进而培养学生养成先化简后计算的习惯。那咋设计更好呢？随着科技的发展，计算器功能越来越多，而教材上例2式子的计算计算器就方便的完成，已失去原有的功能。必需另行设计。 从以上的反思可看出，不管是笔者还是编教材者，只是单方面思考，没有从学生的角度思考分析，更欠缺的是只想不做，让学生做的，教师先要做，是否可行，作为例题编者事先 要尝试去做（用计算器，当时市场的），不能纯粹从理论去想，按自己惯有的、定向思维去理解。坚持以学生为本。 反思二：实数的运算教学反思 上周四上了第三章的最后一节《实数的运算》，本节课本着学样的先学后教的教学改革理念，我也试用了先学而教的教学方法。只不过我还是使用了我自己的一点改革。即20+15+10模式。20学生学，是带有任务的去学。15是老师的指点，10是学生的当堂练习巩固。 《实数的运算》这一节课我设计的教学任务有以下四个：

实数复习教学反思.doc

留在例题表层，出现上述情况也就不奇怪 了。 事实上，解后反思是一个知识小结、方法提炼的过程；是一个吸取教训、逐步提高的过程；是一个收获希望的过程。从这个角度上讲，例题教学的解后反思应该成为例题教学的一个重要内容。下面谈谈几点反思。 一、在解题的方法规律处反思。 “例题千万道，解后抛九霄”难以达到提高解题能力、发展思维的目的。善于作解题后的反思、方法的归类、规律的小结和技巧的揣摩，再进一步作一题多变，一题多问，一题多解，挖掘例题的深度和广度，扩大例题的辐射面，无疑对能力的提高和思维的发展是大有裨益的。通过例题的层层变式，培养学生从特殊到一般，从具体到抽象地分析问题、解决问题；通过例题解法多变的教学则有利于帮助学生形成思维定势，而又打破思维定势；有利于培养思维的变通性和灵活性。 二，在学生易错处反思。 学生的知识背景、思维方式、情感体验往往和成人不同，而其表达方式可能又不准确，这就难免有“错”。例题教学若能从此切入，进行解后反思，则往往能找到“病根”，进而对症下药，常能收到事半功倍的效果！ 三、在情感体验处反思 因为整个的解题过程并非仅仅只是一个知识运用、技能训

练的过程，而是一个伴随着交往、创造、追求和喜、怒、哀、乐的综合过程，是学生整个内心世界的参与。其间他既品尝了失败的苦涩，又收获了“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的喜悦，他可能是独立思考所得，也有可能是通过合作协同解决，既体现了个人努力的价值，又无不折射出集体智慧的光芒。在此处引导学生进行解后反思，有利于培养学生积极的情感体验和学习动机；有利于激励学生的学习兴趣，点燃学习的热情，变被动学习为自主探究学习；还有利于锻炼学生的学习毅力和意志品格。同时，在此过程中，学生独立思考的学习习惯、合作意识和团队精神均能得到很好的培养。 从这次讲课中我得到的体会是：讲复习课，内容容量要大，知识点要全，深度要够。练习设计要有一定的梯度，才能达到欲设的最佳效果。

勾股定理回顾与思考

第一章勾股定理 回顾与思考 一、学生起点分析 通过前面三节的学习，学生已经基本掌握了勾股定理及逆定理的知识，并能应用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题，因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础．同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力． 八年级学生已初步具有几何图形的观察，几何证明的理论思维能力．他们希望老师创设便于他们进行观察的几何环境，给他们发表自己见解和表现自己才华的机会，希望老师满足他们的创造愿望，让他们实际操作，使他们获得施展自己创造才能的机会．但对于勾股定理的综合应用，还需要学生具备一定的分析、归纳的思维方法和运用数学的思想意识，但学生在这一方面的可预见性和耐挫折能力并不是很成熟，可能部分同学会有一些困难． 二、教学任务分析 勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，将形与数密切联系起来，理论上占有重要的地位，它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用，勾股定理的应用蕴含着丰富的文化价值．勾股定理也是后续有关几何度量运算和代数学习必要的基础，具有学科的基础性与广泛的应用． 本课时教学是复习课，强调让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生自主探索与合作交流，以学生自主探索为主，并强调同桌之间的合作与交流，强化应用意识，培养学生多方面的能力．让学生通过动手、动脑、动口自主探索，感受数学的美，以提高学习兴趣． 为此，本节课的教学目标是： ①让学生回顾本章的知识，同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证的过程，体会勾股定理及其逆定理的广泛应用． ②在回顾与思考的过程中，提高解决问题，反思问题的能力．