一元三次方程的求根公式及其推导
有三个实数根。有三个零点时，当有两个实数根。
有两个零点时，当有唯一实数根。
有唯一零点时，当。，有两实根，为，则方程若有唯一实数根。
有唯一零点有一实根，则方程若有唯一实数根。
有唯一零点没有实根，则方程若实数根的个数。
点的个数即方程零即方程则设实数根的判定：
程即可。因此，只需研究此类方的特殊形式即公式化为均可经过移轴三次方程由于任一个一般的一元0
)()(0)1281(81
1
)()(0
)()(0)1281(81
1)()(0
)()(0)1281(81
1
)()(3
3:
0)(0)3(0)()(0)(,0).2(0)()(0)(',0).1(0)(,00)(,)(.1,0,0)2792()3)(39()3(0)3272()3)(3()3(0323
23221''33332332
32323=?<+=?=?=+=?=?>+=?--==-
=
==<=?===?=>=++=++=++==++=+-++-++=+-++-++=+++x F x F p q F F x F x F p q F F x F x F p q F F p
x p x x F p x F x F x F p x F x F x F p q px x x F q px x x F q px x x F q px x D A ABC B B Ax AB AC B Ax D A BC A
B A B x A B
C A B x A
D Cx Bx Ax βαβαβαβα
33
23323232
33
232332313
223213232
32
33333
33333
3333333333333233233232321281121086
1
128112108610)1281(81
1)27(412811210861
12811210861181281918128190)1281(81
1)27(4027
27,3)(300)(33)(3)(.1.200128100128100128112810)1281(81
1
0)0.(0.p q q p q q x p q p q p q q a B p q q a A B A p q q a p q q a p q p q p qa a B A q B A p B A q B A p AB q B A p AB q px x B A ABx x ABx B A B A AB B A B A x B A x B A B A B A x q px x p q q px x p q q px x p q p q p q p q p q p +--+++-=≤+=--??
??
?+--==++-==???
????+--=++-=>+=--=-+?????-=+-=??
????????-=+-==+-=-=++=+--++=+++=+=+=+==++<+=?=++=+=?=++>+=?+=?>+≥式，为：
实数根的方程的求根公上方法只能导出有一个）。故由以
，小于零时会出现虚数等于零时只能解出一个但却又无法直接解出（二或三个实数根，
，虽然我们清楚方程有若判别式顺序，则有，如果不考虑。则有，
若判别式的两根。
为一元二次方程，易知，。，即可令，
对比。即有，故，
由于。，就是设法求出下面的工作为两个待定的代数式。，的形式。其中，程的求根公式应为了一元三次方根公式的归纳，我得到及特殊一元高次方程求一元一次，一元二次以得到。通过对出的，通常由归纳思维式由演绎推理是很难解一元三次方程的求根公实根式的推导：
）（求根公式的推导：有三个实数根。时，方程有两个实数根。时，方程有唯一实数根。时，方程，则有以下结论：
。令一定有时，
，则当时方程很容易求解同时为不同时为为研究方便，不妨设
()()12,1,02329arccos 31cos 33201281132902,1,02329arccos 31cos 3322329arccos 31cos 323arccos cos 3293cos 9323329323323
403cos 3401)()(10)210(3
23arccos cos 323cos )23cos(3cos 03cos 34cos 3cos ,
cos 3cos 43cos 323333
3333+==???
????????? ??+--=??
?
??≤+≤-<=???????????? ??+--==???????????? ?
?+-=+=-=-=???????
-=--=??????????????--=-=-===--=+?+?=++≤==++=+=+=+==---=k i k k p p q p x p q p p q p k k p p q p AX x k p p q k X p
p q
B q p p B p A p p B p A B
pA B A x x B q X B pA X B A B
q
B AX p B AX B
q
B Ax X q px x k k k x k x x x i ，，
式：
三个实数根时的求根公因此，得到方程有二或个实数根时上式成立。也正是当方程有二或三！，解得上式成立的条件为，，
因此，，
则），
，取第二组也未尝不可不妨取第一组解（当然。
或，得可令，
对比。即，
则上述方程可化为，，使得
，另设有非零实数可令，
对于方程。
，，，，故由于。
程，则上述等式可化为方看作未知量看作已知量，若将余弦三倍角公式：角公式。
弦三倍究之初，我选择的是余次方程的求根公式。研变换，从而得到一元三作线性可由角函数三倍角公式很大的相似性，故我们公式与一元三次方程有三倍角根路径。考虑到角函数时，我们需另辟一条求当方程有二或三实数根ππππαααπ
απαπαααααααα
()()()
()()()()
[]
()()()()()()()()()()实数根求根公式：
，判别式：求根公式，结果如下：
方程一般式的判别式和则可得到一元三次，，设的形式，故可
均可化为
方程由于对任一个一元三次求根公式的推广公式：
的值代回，即可得卡丹，将的虚立方根。为，其中，。
，
即，
故判别式为的两个根。
为方程，易知，。代回上式，得：
将，由韦达定理可知，
的形式。，则方程可化为设方程的一根为由前面的论证可知，若卡丹公式的推导。
时，作进一步研究可知，222323332423233233
3
233233
323
32233
2332123122
2
2
2
2
222322
23
232133321133221321333132312125481,27323930279233930:
.31281121086
1281121086
1281121086
1281121086
12811210861
1281121086112
31231232
31231232
33B A 34B A 0)
(300)(3:
.20C B A D B A C A BCD A D A D A ABC B q AB AC p B Ax t D A ABC B B Ax AB AC B Ax D Cx Bx Ax p q q p q q B A x p q q p q q B A x p q q p q q B A x B A B A B i
A i
B A i B A t x B A B i
A i
B A i B A t x B A i B A t B A i B AB A B AB A t B A t x x B AB A x x B A x x B A x B A x x x AB x x x x x x x x x B A ABx x B A x x x -++-=?+-=-=+==+-++-++=++++--+
++-=
+=+--+++-=+=+--+++-=+=+=+-+--=--+-==+=--++-=-++-==-±+-=
-±
=--=+--+=+-+++???+-=+-=++=??
?
??+=-=++=++=+--+===?ωωωωωωωωωωωωωω
()
()程求根公式的推导。
至此，完成一元三次方卡丹公式：
，，
时，时，
A B B ABC D A A B ABC D A A x A B B ABC D A A B ABC D A A x A B B ABC D A A B ABC D A A x k i k A B k AC B B AC B ABC D A AC B A x A B
B AB
C
D A A B ABC D A A x i 3128361086128361086312836108612836108631283610861128361086112,1,0323262927arccos 31cos 3320312836108611283610861033233233233233233223322332332-
?--+-+?+-+-=-
?--+-+?+-+-=-
?--+-+?+-+-=+==-???
????????? ??+--+--=≤?-?--+-+?+-+-=
>?ωωωωπ后记：
对于一元三次方程的研究，先人们历经了漫长的探索之路。我对此类方程的研究，是源于角函数的求值问题（如已知30°角的角函数值，利用三倍角公式来反求10°角的角函数值），大约开始于2006年10月份。但最终的结果证明了这样一个事实：对于这样一类整数角，如果不可以表示为α=3n （n 为整数）的形式，是不可能用有限个代数式来表示其角函数值的。这反而激起了我对一元三次方程求根公式的研究。
卡丹公式并不是由卡丹本人发现的，而是由他第一次发表在数学著作《大术》上的，后人为了纪念他对这一成果的公布，称之为卡丹公式。上述实根式由本人发现，并第一次在此提出，希望广大数学爱好者给予点评。
2009年11月25日