高三数学试题(理科)答案 第1 页(共4页)
合肥市2019年高三第一次教学质量检测
数学试题(理科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.()1 6-, 14.1
15.?
16.222433n n ??-?+ ??
?三、解答题:
17.(本小题满分12分)
(I)∵(
)11cos 22cos 22cos 2sin 2226f x x x x x x x π??=-=+=+ ???, ∴函数()f x 的最小正周期为T π=.
…………………………5分(II)由()13f α=可得1sin 263πα??+= ??
?. ∵0,2πα??∈ ???
, ∴72 666πππα??+∈ ???,. 又∵110sin(2, 632
πα<+=<∴ 2+,,62ππαπ??∈ ???
∴ cos 263πα??+=- ???
,
∴ cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666ππππππαααα????????=+-=+++= ? ? ???????????
. ………………………12分
18.(本小题满分12分)
(I)取CD 的中点M ,连结EM ,BM .
由已知得BCD ?为等边三角形,∴BM CD ⊥.
∵2,AD AB BD ===,
∴30,ADB ABD ∠=∠=?
∴90,ADC ∠=?
∴//BM AD .
又∵BM ?平面PAD ,AD ?平面PAD ,
∴BM ∥平面PAD .
∵E 为PC 的中点,M 为CD 中点,∴EM ∥PD .
又∵EM ?平面PAD ,PD ?平面PAD .
∴EM ∥平面PAD .
∵EM BM M = ,∴平面BEM ∥平面PAD , 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
D C C D A D D D C C B A
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∵BE ?平面BEM ,
∴BE ∥平面PAD . …………………………5分 (II)连结AC ,交BD 于点O ,连结PO . 由对称性知,O 为BD 中点,且AC BD ⊥,BD PO ⊥ 平面PBD ⊥平面ABCD ,PO BD ⊥, ∴PO ⊥平面ABCD ,1PO AO ==,3CO =.
以O 为坐标原点,的方向为x 轴正方向,建立空间直角坐标系O xyz -. 则D (0
,,0),C (3,0,0),P (0,0,1).
易知平面PBD 的一个法向量为()11,0,0n = .
设平面PCD 的法向量为()2n x y z = ,,, 则n ⊥2,n ⊥2,∴ ?????=?=?00
22n n . ∵)0,3,3(=,)1,3,0(=,∴???=+=+0
3033z y y x . 令3=y ,得3,1-=-=z x ,∴)3,3,1(2--=n
∴131313
1-=-==n n 设二面角B PD C --的大小为θ
,则cos 13θ=
. ………………………12分 19.(本小题满分12分) (I)0.06340.18380.20420.28460.16500.10540.025844.7245x =?+?+?+?+?+?+?=≈;
…………………………5分
(II)由题意知,39.2 50.8μσμσ-≈+≈,,()39.250.80.6826P t <<=,
所以估计该人群中一周睡眠时间在区间()39.2 50.8,
的人数约为100000.68266826?=(人); …………………………12分
20.(本小题满分12分)
(I)设椭圆的半焦距为c ,
由椭圆的离心率为2
知,b c a ==,,则椭圆方程为22
2212x y b b
+=.
易求得)0A
,则点在椭圆上,所以222212b b +=, 解得2263
a b ?=?=?,所以椭圆方程为22
163x y +=. …………………………5分 (II)当过点P 且与圆O
相切的切线斜率不存在时,不妨设切线方程为x =1
)知,
M N ,,
0OM ON OM ON ==?= ,,,∴ OM ON ⊥. 当过点P 且与圆O 相切的切线斜率存在时,可设切线方程为y kx m =+,
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()()1122M x y N x y ,,,,
=,即()2221m k =+. 联立直线和椭圆的方程得()2
226x kx m ++=,
∴ ()222124260k x kmx m +++-=,得122212204212621km x x k m x x k ???>??+=-?+??-=?+?. ∵()()1122 OM x y ON x y == ,,,, ∴()()
12121212OM ON x x y y x x kx m kx m ?=+=+++ ()()()22222121222264112121m km k x x km x x m k km m k k --=++++=+?+?+++()()()
()2222222222222126421322663660212121
k m k m m k k k m k k k k +--+++----====+++, ∴ OM ON ⊥.
综上所述,圆O 上任意点P 处的切线交椭圆C 于点M N ,,都有OM ON ⊥.
在Rt OMN ?中,由OMP ?与NOP ?相似,可得22OP PM PN =?=为定值.
…………………………12分
21.(本小题满分12分)
(I)易知1x >-,且()11x f x e x '=-
+. 令()11x h x e x =-+, 则()()2101x h x e x '=+
>+,∴ 函数()11
x h x e x =-+在()1x ∈-+∞,上单调递增,且()()000h f '==.
可知,当()1 0x ∈-,时,()()0h x f x '=<,()()ln 1x f x e x =-+单调递减; 当()0x ∈+∞,时,()()0h x f x '=>,()()ln 1x f x e x =-+单调递增. ∴函数()f x 的单调递减区间是()1 0-,,单调递增区间是()0+∞,.
……………………5分
(II)∵()()()ln 1x g x f x ax e x ax =-=-+-,∴()()g x f x a ''=-.
由(I)知,()g x '在()1x ∈-+∞,上单调递增, 当1x →-时,()g x '→-∞;当x →+∞时,()g x '→+∞,则()0g x '=有唯一解0x . 可知,当()01x x ∈-,时,()0g x '<,()()ln 1x g x e x ax =-+-单调递减; 当()0x x ∈+∞,时,()0g x '>,()()ln 1x g x e x ax =-+-单调递增, ∴ 函数()g x 在0x x =处取得极小值()()0000ln 1x g x e x ax =-+-,且0x 满足0011x e a x -=+. ∴ ()()()0000011ln 111
x g x x e x x =--++-+.
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max 2S =2312
πθ=令()()()11ln 111x
x x e x x ?=--++-+,则()()211x x x e x ???'=-+??+????. 可知,当()1 0x ∈-,时,()0x ?'>,()x ?单调递增;
当()0x ∈+∞,时,()0x ?'<,()x ?单调递减, ∴ ()()max 01x ??==. ∴ 函数()g x 极小值的最大值为1. …………………………12分
22.(本小题满分10分)
(I)221:1C x y +=,2:=2cos C ρθ,则2=2cos ρρθ,∴ 222x y x +=.
联立方程组得222212x y x y x ?+=??+=??
,解得11122x y ?=????=??
,22122
x y ?=????=??,
∴ 所求交点的坐标为12? ??
,1 2? ??
,.………………………5分 (II)设()B ρθ,,则=2cos ρθ,
∴AOB ?的面积11sin 4sin 4cos sin 2233S OA OB AOB ππρθθθ????=???∠=?-=- ? ?????
2cos 26πθ??=+ ??
?, ∴ 当 时, ………………………10分23.(本小题满分10分)
(I)()22f x x +>,即1>22x x +-?10101>221>22x x x x x x
+≥+???+----??或13x ?>∴ 实数x 的取值范围是1 3??+∞ ???
. ………………………5分 (II)∵ 1a >,∴ 11a -<-,()()()(1)211(1)1112a x x g x a x x a a x x a ??-+-∈-∞????=-∈--?????????++∈-+∞? ????
, ,-, ,, ,, 易知函数()g x 在1x a ??∈-∞- ???,时单调递减,在1x a ??∈-+∞ ???
,时单调递增,则()min 111g x g a a ??=-=- ???
. ∴ 1112
a -=,解得2a =. …………………………10分