第七章 非参数回归模型与半参数回归模型
第一节 非参数回归与权函数法
一、非参数回归概念
前面介绍的回归模型，无论是线性回归还是非线性回归，其回归函数形式都是已知的，只是其中参数待定，所以可称为参数回归。参数回归的最大优点是回归结果可以外延，但其缺点也不可忽视，就是回归形式一旦固定，就比较呆板，往往拟合效果较差。另一类回归，非参数回归，则与参数回归正好相反。它的回归函数形式是不确定的，其结果外延困难，但拟合效果却比较好。
设Y 是一维观测随机向量，X 是m 维随机自变量。在第四章我们曾引进过条件期望作回归函数，即称
g (X ) = E (Y |X ) （7.1.1）
为Y 对X 的回归函数。我们证明了这样的回归函数可使误差平方和最小，即
22)]([min )]|([X L Y E X Y E Y E L
-=-
（7.1.2）
这里L 是关于X 的一切函数类。当然，如果限定L 是线性函数类，那么g (X )就是线性回归函数了。
细心的读者会在这里立即提出一个问题。既然对拟合函数类L (X )没有任何限制，那么可以使误差平方和等于0。实际上，你只要作一条折线(曲面)通过所有观测点(Y i ，X i )就可以了是的，对拟合函数类不作任何限制是完全没有意义的。正象世界上没有绝对的自由一样，我们实际上从来就没有说放弃对L(X)的一切限制。在下面要研究的具体非参数回归方法，不管是核函数法，最近邻法，样条法，小波法，实际都有参数选择问题(比如窗宽选择，平滑参数选择)。 所以我们知道，参数回归与非参数回归的区分是相对的。用一个多项式去拟合(Y i ，X i )，属于参数回归；用多个低次多项式去分段拟合(Y i ，X i )，叫样条回归，属于非参数回归。
二、权函数方法
非参数回归的基本方法有核函数法，最近邻函数法，样条函数法，小波函数法。这些方法尽管起源不一样，数学形式相距甚远，但都可以视为关于Y i 的线性组合的某种权函数。也就是说，回归函数g (X )的估计g n (X )总可以表为下述形式：
∑==n
i i i n Y X W X g 1
)()(
（7.1.3）
其中｛W i (X )｝称为权函数。这个表达式表明，g n (X )总是Y i 的线性组合，一个Y i 对应个W i 。不过W i 与X i 倒没有对应关系，W i 如何生成，也许不仅与X i 有关，而且可能与全体的｛X i ｝或部分的｛X i ｝有关，要视具体函数而定，所以W i (X )写得更仔细一点应该是W i (X ；X 1，…,X n )。
这个权函数形式实际也包括了线性回归。如果i i i X Y εβ+'=，则Y X X X X X i
i '''='-1)(?β，也是Y i 的线性组合。
在一般实际问题中，权函数都满足下述条件：
1),,;(,0),,;(11
1=≥∑=n n
i i n i X X X W X X X W
（7.1.4）
如果考虑在第五章介绍的配方回归与评估模型曾有类似条件，不妨称之为配方条件，并称满足配方条件的权函数为概率权。
下面我们结合具体回归函数看权函数的具体形式。 1．核函数法
选定R m 空间上的核函数K ，一般取概率密度。如果取正交多项式则可能不满足配方条件。然后令
∑=???
?
??-???? ?
?-=n i n i
n i
n i a X X a
X X K X X X W 11/),,;( （7.1.5）
显然
∑==n
i i
W
1
1。此时回归函数就是
i n
i n
j n i n i n i i i Y a X X K a X X K Y X W X g Y ∑∑∑===?
??
? ??-????
??-===1
11)()(
（7.1.6）
2．最近邻函数法
首先引进一个距离函数，用来衡量R m 空间中两点u = (u 1，…，u m ) 和v = (v 1，…，v m ) 的距离‖u -v ‖。可以选欧氏距离∑=-=
-n
i i i
u
u 1
22
)(||||υυ，也可以选||||max ||||1i i n
i u u υυ-=-≤≤。
为了反映各分量的重要程度，可以引进权因子C 1，…,C n ，使｛C i ｝也满足配方条件。然后将距离函数改进为
∑=-=-n
i i i i u C u 1
22
)(||||υυ
（7.1.7） ||max |||12i i i n
i u C u υυ-=-≤≤
（7.1.8）
现在设有了样本(Y i ，X i )，i =1,…,n ，并指定空间中之任一点X ，我们来估计回归函数在该点的值g (X )。将X 1，…，X n 按在所选距离‖·‖意义下与X 接近的程度排序：
||||||||||||21X X X X X X n k k k -<<-<-
（7.1.9）
这表示点1k X 与X 距离最近，就赋以权函数k 1；与X 距离次近的2k X 就赋予权函数k 2。…，等等。这里的n 个权函数k 1,…,k n 也满足配方条件，并且按从大到小排序，即
∑==>≥≥≥n
i i n k k k k 1
211 ,0
（7.1.10）
就是
n i k X X X W i n k i ,,1 ,),,;(1 ==
（7.1.11）
若在｛‖X i -X ‖, i =1,…,n ｝中有相等的，可将这n 个相等的应该赋有的权取平均。比如若前两名相等，‖X 1-X ‖=‖X 2-X ‖, 就令W 1 = W 2=
)(2
1
21k k +。 这样最近邻回归函数就是
∑∑∑=======n
i n
i n
i i i i i i n i Y X k Y k Y X X X W X g Y 1
1
1
1)(),,;()(
（7.1.12）
k i 尽管是n 个常数，事先已选好，但到底排列次序如何与X 有关，故可记为k i (X )。
三、权函数估计的矩相合性
首先解释矩相合性的概念。如果对样本 (Y i ，X i )，i =1,…,n 构造了权函数W i = W i (X )=W I (X ;X 1,…,X n )，有了回归函数g (X )的权函数估计∑==n
i i
i n Y
W X g 1
)(，当Y 的r 阶矩存在
(E |Y |r <∞)时，若
0|)()(|lim =-∞
→r n n X g X g E
（7.1.13）
则称这样的权函数为矩相合的权函数。
在什么样的条件下构造的权函数是矩相合的呢? Stone(1977)提出了很一般的，几乎是充分必要的条件。下面我们考虑其充分性条件，并限于考虑概率权。 定理7.1.1 设概率权｛W i ｝满足下述条件： (1)存在有限常数C ，使对R m 上任何非负可测函数(连续函数与分段连续函数是最常见的可测函数)f , 必有
)()(1X CEf X f W E n i i i ≤??
?
??∑= （7.1.14）
(2)?ε>0, 当n →∞时，
01
)
||(||?→?∑=≥-P
n
i X X i i I
W ε
（7.1.15）
(3)当n →∞时，
0max 1?→?
≤≤P
i n
i W （7.1.16）
则｛W i ｝是矩相合的权函数。
定理条件可以作一些直观解释。条件(1)可以作如下理解，因为权函数是概率权，必有|W i |<1，i =1,…,n 。于是
∑∑∑∑=====≤≤??
?
??n i n i n
i i i i i n i i i X f E X f E X f W E X f W E 1111)()()()(
（7.1.17）
这里取的是C =1。因此条件(1)可以说不叫做一个条件。条件(2)是说，与X 的距离超过一定值
的那些X i ，对应算出来的权函数之和很小，也就是说，权函数的值主要取决于那些与X 邻近的X i 的值。这个条件合理。条件(3)是说，当n 越来越大时，各个权系数将越来越小，这也是合理的要求。
在证明本定理之前，先证两个引理。
引理7.1.1 设概率权函数｛W i ｝适合定理7.1.1的条件(1)及(2)，又对某个r , E |f (X )|r <∞，则
0)()()(lim 1=??
?
??-∑=∞
→r i n i i n X f X f X W E （7.1.18）
证明 先设f 在R m 上有界且一致连续，则任给η>0，存在ε>0，当‖u -v ‖≤ε时，|f (u )-f (v )|
≤(η/2)1/r 。于是
ε
η
>-==∑∑+≤
-)(||1
1
)()
2(2
)()()(X X n
i i
r
r
i
n
i i
i I
X W M X f X
f X W （7.1.19）
其中)(sup X f M X
=，此处X 表示具体取值。由条件(2)，上式右边第二项依概率收敛于0且
不大于1。依控制收敛定理有
0)(lim 1)(||=??
?
??∑=>-∞
→n i X X i n i I X W E ε （7.1.20）
故存在n 0，使当n ≥n 0时，有
2
)(1)(||ηε≤??? ??∑=>-n i X X i i I X W E
（7.1.21）
因此当n ≥n 0时，有
η≤??
?
??-∑=n i r i i X f X f X W E 1|)()(|)(
（7.1.22）
于是对这种一致连续的f ，引理得证。 证毕
对一般的函数f ，取一个在R m 上连续，且在一有界域之外为0的函数f ~，使∞<2
)(~
X f E ，
且η<-r X f X f E )(~
)(，这里η是事先指定的。因为
?
?
???? ??-+??? ??-+????
?? ??-≤??? ??-∑∑∑∑===-=r n
i i r i i n
i i r i n
i i r r i n i i X f X f X W E X f X f X W E X f X f X W X f X f X W E |)()(~|)(|)()(~|)( |)(~)(|)(3)()()(111
11 （7.1.23）
右边括号里第三项等于η<-r X f X f E )()(~
；第一项根据条件(1)不超过ηC X f X f CE r <-)()(~；因为f ~
在R m 上有界且一致连续，由前面已证结果知当n →∞时，
第二项将趋于0。因此
η)1(3|)()(|)(lim 11+≤??
?
??--=∞
→∑C X f X f X W E r r i n i i n （7.1.24） η是任意的，故引理得证。
证毕
引理7.1.2 设｛W i ｝为满足定理7.1.1三个条件的概率权，函数f 非负且∞<)(X Ef ，则
0)()(lim 12=??
?
??∑=∞
→i n i i n X f X W E （7.1.25）
证明 定义一组新的概率权函数2
i i W W ='，由于0≤W i ≤1, 故0≤i W '≤1。于是由引理7.1.1，有
0|)()(|)(lim 12=??
?
??-∑=∞
→i n i i n X f X f X W E
（7.1.26）
因为0≤
∑=n
i i
W
1
2
≤1，由条件(3)知
0max )max (11
1
12
?→?=≤≤≤==≤≤∑∑P i n
i n
i i n
i i n
i i
W W W W
（7.1.27）
故由控制收敛定理有
0)()(lim 12=??
? ??∑=∞
→n i i n X f X W E （7.1.28） 综合两个极限式可知本引理成立。
证毕
下面我们证明定理7.1.1。
先设r =2, 则E (Y 2)<∞。令
)|()(),|(),|(X Y E X f X Y E Y Z X Y E Y Z i i i i =-=-=
（7.1.29）
由E (Y 2)<∞知E (Z 2)<∞，故
h (X ) = E (Z 2|X )
（7.1.30）
存在。又
∞<≤∞<==)())((,))((,0)|()|(22Z E X h E X f E X Z E X Z E i i
（7.1.31）
还须注意：f (X i ) = E (Y i |X i ) (而非E (Y |X i ))。因此按定义
i x x i x X Y E X f ===|)|()(
而因为 (X ，Y ) 与 (X i ，Y i )同分布，有E (Y |X =x ) = E (Y i |X i =x )。故
)|(|)|()(i i x x i i i X Y E x X Y E X f i ====
现有
∑∑==+??? ??-=-n
i i i n i i i n Z X W X f X f X W X g X g 1
1)()()()()()(
（7.1.31）
因 E | f (X ) |2<∞，依引理7.1.1，有
0)()()(lim 2
1=??
?
??-∑=∞
→n i i i n X f X f X W E （7.1.32）
又若将X 固定为x ，则有
??
?
?????????? ??=??? ??∑∑==∞
→n n
i i i n i i i n X X Z x W E Z x W E ,,)()(lim 12
1
21 （7.1.33）
注意到当X 固定为x 而X 1，…, X n 也给定时，W i (x )成为常数，而Z 1，…, Z n 在给定X 1，…，
X n 时，条件相互独立，再注意到E (Z i |X i )=0，由上式有
??
? ??=??? ??=??? ??∑∑∑===n i i i n i i i i n i i i X h x W E X Z E x W E Z x W E 1212
22
1)()()|()()( 因此式对一切x 都成立，有
??
?
??=??? ??∑∑==n i i i n i i i X h X W E Z X W E 122
1)()()(
（7.1.34）
考虑到E (h (X ))<∞，h ≥0，由引理6.4及上式，知
0)(lim 1=??
?
??∑=∞
→n i i i n Z X W E （7.1.35）
合并考虑 (7.1.31)，(7.1.32) 和上式，得0|)()(|lim 2
=-∞
→X g X g E n n 。这证明了定理当r =2
的情况。
现在设r ≥1,
E |Y | r <∞。定义截断函数Y (K) ：
??
?
??>≤-<-=K Y K K Y Y K Y K Y K || ||
)
(当当当 （7.1.36）
类似地定义)
(K i
Y (只须把上式中的Y 都改为Y i )。因W i ≥0，
1 ,11
≥=∑=r W
n
i i
，有
∑∑==-≤??
? ??-n
i r K i i i r
n i K i i i Y Y x W Y Y x W 1)(1)(||)(||)(
（7.1.37）
记)||(|)()
(x X Y
Y E x h r K K =-=，则
0||lim )(lim )(=-=∞
→∞
→r
K K K K Y
Y E X Eh
（7.1.38）
且)()|(|)(i M i r
M i
i X h X Y Y E =-。由此得 ??
??????????? ??-=??? ??-∑∑==n r n i K i i i r n i K i
i i X X Y Y x W EE Y Y x W E ,,|||)(||)(11)
(1)( ??
? ??=??????-≤∑∑==n i i k i n i n r
K i i i X h x W E X X Y Y x W EE 111)()()(,,||)(
因为此式对一切x 成立，有
))(()()(||)(11)(X h CE X h x W E Y Y x W E k n i i k i r
n i K i i i ≤??
? ??=??? ??-∑∑==
（7.1.39）
上式最后一不等式是根据定理的条件(1)。由 (7.1.38) 及上式，知当K 充分大时，对n 一致地
成立
3/||)(1)(ε
?
??-∑=r
n i K i i i Y Y x W E （7.1.40）
又当K →∞时有
0|||)|(||)|()|(|)()()(→-≤-=-r K r K r K Y Y E X Y Y E E X Y E X Y E E
（7.1.41）
现有
∑∑∑==-=-+??
? ??-+-≤-=-n
i r
K i i K r
n i K i i i r
K r r
n
i i i r
n Y X W X Y
E E Y Y X W E X Y E X Y E E Y X W X Y E E X g X g E 1
)()
(1)()(11
|)()|(| ||)(|)|()|(|{3 ||)()|(||)()(|
（7.1.42）
因为Y (K)有界，其二阶矩有限，故由已证的r =2的情况，知
∑=∞
→=-n
i K i i K n Y X W X Y
E E 1
2)()
(0|)()|(|lim
（7.1.43）
由于|Y (K ) |≤K , 而W i 为概率权，故由上式推出对任何r ≥1有
∑=∞
→=-n
i r K i i K n Y X W X Y
E E 1
)()
(0|)()|(|lim
（7.1.44）
任给ε>0，先找K 0，使当K ≥ K 0时，对一切n 成立 (7.1.40)。又依 (7.1.41)，找K 1，使当K
≥K 1时有E | E ( Y | X )- E ( Y (K ) | X )| r <ε/3。固定K = max ( K 0, K 1)。根据上式，存在n 0, 使当n ≥n 0时
∑=<-n
i r K i i K Y X W X Y
E E 1
)()
(3/|)()|(|ε
（7.1.45）
这时由 (7.1.42)推出：当n ≥ n 0时有
ε1
3|)()(|-<-r r n X g X g E
（7.1.46）
这就证明了权函数的矩相合性。 证毕
关于权函数估计的收敛性质还有更多更深入的讨论，如逐点矩相合性，强相合性等，有兴趣的读者可参看有关专着。这里引述Stone 的成果，一是因为它是基本的，可以作为入门的引子；二是因为它是一般的，概括了核估计、最近邻估计、样条估计、小波估计等具体形式。
算例7.1.3 一元非参数回归
本算例利用核估计给出一元非参数回归。计算过程如下。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 一般非参数回归模型计算程序, 例7.1.4
模型及数据结构说明:
本项程序计算一般非参数回归模型:
Y(i)=g(t(i)) +ε(i)
i=1,2,...,n, 0<= t <=1
其中函数 g 未知待估.
资料准备要点: 因变量 Y 在数据第一列, 自变量 t 是 1 维,
例713.D 数据文件中, n=50
要打印原始资料吗? 0= 不打印, 1= 打印 (1)
打印 Y 的原始资料
1.188100 1.833400 1.081500
2.868000 0.616500
1.067000 1.185200 0.836500 1.805300 1.084800
0.412000 1.315900 1.362600 1.303200 1.731700
0.622000 0.430500 0.997600 1.285700 1.620900
1.329200 1.605700 1.687600 1.376800 1.251000
1.145600 0.743300 0.728600 0.865800 -0.171800
0.923800 0.872400 1.989900 0.009500 0.307900
0.172600 0.282300 0.225500 1.126200 1.365100
1.712400 0.864400 0.882600 1.088700 1.651900
1.523100 0.966300 1.985700 1.888800 0.904900
打印 X 的原始资料
0.538100 0.017800 0.615100 0.027000 0.561200
0.114000 0.343400 0.877500 0.103200 0.221100
0.962700 0.168900 0.453600 0.552000 0.048600
0.263200 0.158300 0.948500 0.616700 0.192300
0.575900 0.218300 0.009000 0.151500 0.834300
0.651100 0.419200 0.229300 0.459800 0.996900
0.220100 0.754500 0.069500 0.420100 0.350800
0.975400 0.253500 0.482500 0.096900 0.790200
0.124000 0.847100 0.785700 0.580600 0.559900
0.638300 0.078700 0.084200 0.623700 0.149800
请决定非参数回归的方法: （0）
0= 固定自变量窗宽的核函数法. 这需要事先将自变量变换为 0<=t<=1.
1= 固定自变量资料点数的平滑法. 这需要自变量资料等距并顺序排列.
请键入核函数的窗宽选择h(1/N<=h<=1, 不妨就取h=0.1-0.2): （0.1）
要打印拟合数据吗? 0=不打印, 1=打印（0）
计算结束。
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
非参数回归模型 非参数回归模型也叫多元回归模型，它是一种脱离于混沌理论的多条路段分析方法。它是对当前路段和几条相邻路段的交通流信息对当前路段进行交通流预测的单条路段分析的扩展。它不需要先验知识，只需要有足够的历史数据即可。它的原理是：在历史数据库中寻找与当前点相似的近邻，并根据这些近邻来预测下一时间段的流量。该算法认为系统所有的因素之间的内在联系都蕴含在历史数据中，因此直接从历史数据中得到信息而不是为历史数据建立一个近似模型。非参数回归最为一种无参数、可移植、预测精度高的算法，它的误差比较小，且误差分布情况良好。尤其通过对搜索算法和参数调整规则的改进，使其可以真正达到实时交通流预测的要求。并且这种方法便于操作实施，能够应用于复杂环境，可在不同的路段上方便地进行预测。能够满足路网上不同路段的预测，避免路段位置和环境对预测的影响。随着数据挖掘技术左键得到人们的认可和国内外学者的大量相关研究，使得非参数回归技术在短时交通流预测领域得到广泛应用。 非参数回归的回归函数()X g Y =的估计值()X g n 一般表示为： ()()∑==n i i i i n Y X W X g 1 其中，Y 为以为广策随机变量；X 为m 维随机变量；（Xi,Yi ）为第i 次观测值，i=1,...,n ；Wi(Xi)为权函数.非参数回归就是对g(X)的形状不加任何限制，即对g （X ）一无所知的情况下，利用观测值（Xi,Yi ），对指定的X 值去估计Y 值。由于其不需要对系统建立精确的数学模型，因此比较适合对事变的、非线性的系统进行预测，符合对城市交通流的预测，同时可以与历史平均模型实现优缺点的互补。 K 近邻法 Friedman 于1977年提出了K 近邻法。其并不是让所有的数据都参与预测，而是以数据点到X 点的距离为基础，甲醛是只有离X 最近的K 个数据被用来估计相应的g(X)值。可以引入欧式空间距离d ，然后按这个距离将X1，X2，...,Xn 与X 接近的程度重新排序：Xk1,...,Xkn,取权值如下： Wki(X:X1,...,Xn)=ki,i=1,..,n 将与X 最近的前K 个观测值占有最大的权K=1，其余的观测值赋予权值k=0.最终得到应用于短时交通流预测的K 近邻法可表示为： ()()()()K t V t V g t V K i i ∑=+==+111
非参数回归模型
精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 非参数回归模型 非参数回归模型也叫多元回归模型，它是一种脱离于混沌理论的多条路段分析方法。它是对当前路段和几条相邻路段的交通流信息对当前路段进行交通流预测的单条路段分析的扩展。它不需要先验知识，只需要有足够的历史数据即可。它的原理是：在历史数据库中寻找与当前点相似的近邻，并根据这些近邻来预测下一时间段的流量。该算法认为系统所有的因素之间的内在联系都蕴含在历史数据中，因此直接从历史数据中得到信息而不是为历史数据建立一个近似模型。非参数回归最为一种无参数、可移植、预测精度高的算法，它的误差比较小，且误差分布情况良好。尤其通过对搜索算法和参数调整规则的改进，使其可以真正达到实时交通流预测的要求。并且这种方法便于操作实施，能够应用于复杂环境，可在不同的路段上方便地进行预测。能够满足路网上不同路段的预测，避免路段位置和环境对预测的影响。随着数据挖掘技术左键得到人们的认可和国内外学者的大量相关研究，使得非参数回归技术在短时交通流预测领域得到广泛应用。 非参数回归的回归函数()X g Y =的估计值()X g n 一般表示为： ()()∑==n i i i i n Y X W X g 1 其中，Y 为以为广策随机变量；X 为m 维随机变量；（Xi,Yi ）为第i 次观测值，i=1,...,n ；Wi(Xi)为权函数.非参数回归就是对g(X)的形状不加任何限制，即对g （X ）一无所知的情况下，利用观测值（Xi,Yi ），对指定的X 值去估计Y 值。由于其不需要对系统建立精确的数学模型，因此比较适合对事变的、非线性的系统进行预测，符合对城市交通流的预测，同时可以与历史平均模型实现优缺点的互补。 K 近邻法 Friedman 于1977年提出了K 近邻法。其并不是让所有的数据都参与预 测，而是以数据点到X 点的距离为基础，甲醛是只有离X 最近的K 个数据被用来估计相应的g(X)值。可以引入欧式空间距离d ，然后按这个距离将X1，X2，...,Xn 与X 接近的程度重新排序：Xk1,...,Xkn,取权值如下： Wki(X:X1,...,Xn)=ki,i=1,..,n 将与X 最近的前K 个观测值占有最大的权K=1，其余的观测值赋予权值k=0.最终得到应用于短时交通流预测的K 近邻法可表示为：
非参数统计第二次作业 ——局部多项式回归与样条回归 习题一： 一、本题是研究加拿大工人收入情况，即年龄（age）和收入(income)的关系。 此次共调查了205个加拿大工人的年龄和收入，所有工人都是高中毕业。且本题设定因变量为log.income,协变量为age，运用统计方法来拟合log.income 与age之间的函数关系。 二、模型的建立 1.估计方法的选取 拟合两个变量之间的函数关系，即因变量和协变量之间的关系，用回归估计的方法，回归估计包括参数回归估计和非参数回归估计。参数估计是先假定某种数学模型或已知总体的分布，例如总体服从正态分布，其中某些参数未知，如总体均值、方差等，然后利用样本去估计这些未知参数，常用的方法有极大似然估计，Ｂａｙｅｓ估计等，线性模型可以用最小二乘法估计。 非参数估计是不假定具有某种特定的数学模型，或总体分布未知，直接利用样本去估计总体的数学模型，常用的方法有局部多项式回归方法和样条函数回归方法。 本题调查了205个加拿大工人的年龄和收入，但是加拿大工人年龄和收入的具体分布未知，即这两个变量所能建立的数学模型未知，而且由协变量和因变量所形成的散点图可以看出它不符合某种特定的已知模型，需要进一步研究，然后拟合它们之间的函数关系。因此本题选用非参数回归估计的方法，来拟合因变量和协变量之间的关系。 针对此问题分别采用非参数估计中的局部多项式回归和样条函数回归方法对log.income 与age之间的函数关系进行估计。 ２.局部多项式回归方法 局部多项式的思想是在某个点x附近，用一个多项式函数来逼近未知的光滑函数g(x)。选定局部邻域的大小h,对于任意给定某个点x 0，在其小邻域内展开泰勒公式，用一个p阶多项式来局部逼近g(x)，然后再用极大似然估计。 （1）加拿大工人的收入（log.income）与年龄（age）之间的散点图如下所示：
自回归模型的参数估计案例 案例一： 建立中国长期货币流通量需求模型。中国改革开放以来，对货币需求量(Y)的影响因素，主要有资金运用中的贷款额(X)以及反映价格变化的居民消费者价格指数(P)。 长期货币流通量模型可设定为 120e t t t t P Y X βμββ=+++ （1） 其中，e t Y 为长期货币流通需求量。由于长期货币流通需求量不可观测，作局部调整: 11()e t t t t Y Y Y Y δ---=- （2） 其中，t Y 为实际货币流通量。 将（1）式代入（2）得短期货币流通量需求模型： 0121(1)t t t t t Y X P Y δβδβδβδδμ-=+++-+ 表1中列出了1978年到2007年我国货币流通量、贷款额以及居民消费者价格指数的相关数据。 表1 年份 货币流通量Y （亿元） 居民消费者价格指数P （1990年=100） 贷款额X （亿元） 1978 212.0 46.2 1850.0 1979 267.7 47.1 2039.6 1980 346.2 50.6 2414.3 1981 396.3 51.9 2860.2 1982 439.1 52.9 3180.6 1983 529.8 54.0 3589.9 1984 792.1 55.5 4766.1 1985 987.8 60.6 5905.6 1986 1218.4 64.6 7590.8 1987 1454.5 69.3 9032.5
1988 2134.0 82.3 10551.3 1989 2344.0 97.0 14360.1 1990 2644.4 100.0 17680.7 1991 3177.8 103.4 21337.8 1992 4336.0 110.0 26322.9 1993 5864.7 126.2 32943.1 1994 7288.6 156.7 39976.0 1995 7885.3 183.4 50544.1 1996 8802.0 198.7 61156.6 1997 10177.6 204.2 74914.1 1998 11204.2 202.6 86524.1 1999 13455.5 199.7 93734.3 2000 14652.7 200.6 99371.1 2001 15688.8 201.9 112314.7 2002 17278.0 200.3 131293.9 2003 19746.0 202.7 158996.2 2004 21468.3 210.6 178197.8 2005 24031.7 214.4 194690.4 2006 27072.6 217.7 225347.2 2007 30375.2 228.1 261690.9 对局部调整模型0121(1)t t t t t Y X P Y δβδβδβδδμ-=+++-+运用OLS 法估计结果如图1： 图1 回归估计结果 由图1短期货币流通量需求模型的估计式： 1202.50.03577.45570.7236t t t t Y X P Y -=-+++
基于核估计的多变量非参数随机模型初步研究 王文圣1，丁晶1 (1.四川大学水利水电学院，四川成都 610065) 摘要：本文基于核估计理论构造了多变量非参数模型。该模型是数据驱动的、不需识别和假定序列相依形式和概率分布形式的一类随机模型，克服了多变量参数模型的不足。实例统计试验表明，建议的多变量非参数模型是有成效的，为随机水文学发展提供了一些新思路。 关键词：核估计；多变量非参数模型；随机模拟；实用性检验 中图分类号：P333.9文献标识码：A 流域水资源的开发利用，不仅需要单站水文信息，而且需要流域内各站的水文信息。进行多站水文序列模拟的一个重要手段就是建立多站(变量)随机模型。目前，多变量随机模型[1]比较成熟的有自回归模型和解集模型。这两类模型的共同点是用有限个参数的线性函数关系描述水文现象。因此简便实用，能表征水文序列的统计特性和一般变化规律，但缺点也明显：①水文序列是一时间不可逆过程，而参数模型描述的是可逆过程，因此大多数参数模型难以反映其涨落不对称性；②水文现象受流域下垫面、人类活动、气候等多因素影响而变化错综，是一个高度复杂的非线性系统，而多数参数模型仅能表征变量及变量之间的线性相依结构，忽略了占据重要位置的非线性性；③水文变量概率密度函数复杂且未知，某一指定概率分布与真实分布存在着差异。如图1、2所示，正态分布、P-Ⅲ型分布都与直方图相差甚远，但χ2检验并不拒绝P-Ⅲ型分布和正态分布；而核估计和k最近邻估计与直方图比较接近。即概率分布具有不确定性；④模型参数由于抽样误差和估计方法不同具有不确定性。 为克服参数模型之不足，文献[2]提出了单变量非参数模型，径流模拟表明是满意的。在此基础上，本文基于核估计理论构造了多变量非参数模型。该模型避开了序列相依形式和模型结构的假设，不涉及模型参数估计，能反映各种复杂关系，较参数模型优越。以中国金沙江流域屏山站和宜宾—屏山区间两站日流量过程随机模拟为例，对建议模型进行了应用研究。 1 核估计理论[3] 1.1 多维核估计定义设X为d维随机变量，X1，X2，……X n为X的一样本。X的概率密度函数f(X)的核估计定义如下： (1)
第七章 非参数回归模型与半参数回归模型 第一节 非参数回归与权函数法 一、非参数回归概念 前面介绍的回归模型，无论是线性回归还是非线性回归，其回归函数形式都是已知的，只是其中参数待定，所以可称为参数回归。参数回归的最大优点是回归结果可以外延，但其缺点也不可忽视，就是回归形式一旦固定，就比较呆板，往往拟合效果较差。另一类回归，非参数回归，则与参数回归正好相反。它的回归函数形式是不确定的，其结果外延困难，但拟合效果却比较好。 设Y 是一维观测随机向量，X 是m 维随机自变量。在第四章我们曾引进过条件期望作回归函数，即称 g (X ) = E (Y |X ) （7.1.1） 为Y 对X 的回归函数。我们证明了这样的回归函数可使误差平方和最小，即 22)]([min )]|([X L Y E X Y E Y E L -=- （7.1.2） 这里L 是关于X 的一切函数类。当然，如果限定L 是线性函数类，那么g (X )就是线性回归函数了。 细心的读者会在这里立即提出一个问题。既然对拟合函数类L (X )没有任何限制，那么可以使误差平方和等于0。实际上，你只要作一条折线(曲面)通过所有观测点(Y i ，X i )就可以了是的，对拟合函数类不作任何限制是完全没有意义的。正象世界上没有绝对的自由一样，我们实际上从来就没有说放弃对L(X)的一切限制。在下面要研究的具体非参数回归方法，不管是核函数法，最近邻法，样条法，小波法，实际都有参数选择问题(比如窗宽选择，平滑参数选择)。 所以我们知道，参数回归与非参数回归的区分是相对的。用一个多项式去拟合(Y i ，X i )，属于参数回归；用多个低次多项式去分段拟合(Y i ，X i )，叫样条回归，属于非参数回归。 二、权函数方法 非参数回归的基本方法有核函数法，最近邻函数法，样条函数法，小波函数法。这些方法尽管起源不一样，数学形式相距甚远，但都可以视为关于Y i 的线性组合的某种权函数。也就是说，回归函数g (X )的估计g n (X )总可以表为下述形式： ∑==n i i i n Y X W X g 1 )()( （7.1.3）
收稿日期:2006201204 作者简介:巩永丽(1980—),女,山西永济人,西安理工大学硕士研究生,主要从事应用概率统计方面的研究. 山西师范大学学报(自然科学版)第21卷第1期Journal of Shanxi Nor mal University Vol .21 No .12007年3月 Natural Science Editi on M ar .2007 文章编号:100924490(2007)0120038205 人口增长率的非参数自回归预测模型 巩永丽1 ,张德生1 ,武新乾2 ,姜爱平 1 (11西安理工大学理学院,陕西西安710054;21西北工业大学,陕西西安710072) 摘 要:针对传统的人口增长预测模型不能理想地捕获我国人口增长率数据的非线性性特征,本文基于局部线性非参数估计理论,对我国建国以来的年人口增长率建立了非参数自回归NAR (1)模型,并对 2000年～2003年的年人口增长率进行了预测,计算结果表明,相对于参数自回归模型而言,非参数自回 归模型能够很好地解决人口增长预测这一非线性问题,预测精度较高.关键词:非参数估计;非参数自回归模型;预测中图分类号:O29 文献标识码:A 0 引言 我国是一个发展中国家,又是世界上人口最多的国家,人口问题一直是制约我国经济和社会发展的首要因素,因此,能否对人口增长做出比较准确的预测,对于加速推进我国现代化建设有着极为重要的现实 意义.对于人口增长预测,传统的方法有增长曲线模型、灰色系统模型、系统动力学模型、自回归模型等.增长曲线模型预测方法 [1] 相对简单,但是精度不高;灰色系统模型 [1] 主要是对人口增长趋势波动进行分析, 它在预测资料不全或资料的波动太大、不平稳的发展趋势效果较好;系统动力学模型[1] 在分析问题、收集 资料、建立模型和求证的过程中都要消耗一定的财力、物力和人力,还需要占用大量的计算机工作时间,而且建模人员的专业水平也直接影响模型的质量和结果.自回归模型由于是线性参数化形式,难以较好的解决人口增长预测这一非线性问题.因此,本文尝试利用非参数估计方法,建立我国人口增长率的非参数自回归预测模型,结果表明非参数自回归模型用于人口预测可以获得令人满意的结果,可为相关部门制定人口政策提供科学的依据. 1 非参数自回归预测模型基本原理 1.1 非参数自回归模型 非参数自回归模型(NAR (p ))为:Y t =m (X t )+εt ,其中,解释性变量X t ∈R p 由响应变量(或被解释性变量)Y t ∈R 的一些滞后项所组成(p 为正整数);随机误差序列{εt }独立同分布,E (εt )=0, E (ε2t )=σ2 ,并且εt 与X s ,s ≤t 相互独立;未知函数m (? )称为条件均值函数(或自回归函数).1.2 非参数预测 对一组平稳时间序列{Y t },t =1,2,...,n,我们的目的是对确定的正整数k,k ≥1,预测Y n +k 的值.非参数自回归模型对未知值Y n +k 进行预测的计算步骤如下: (1)对这组平稳时间序列建立相应的非参数自回归模型 Y t =m (X t )+εt (1)
第七章 非参数回归模型与半参数回归模型 第一节 非参数回归与权函数法 一、非参数回归概念 前面介绍的回归模型，无论是线性回归还是非线性回归，其回归函数形式都是已知的，只是其中参数待定，所以可称为参数回归。参数回归的最大优点是回归结果可以外延，但其缺点也不可忽视，就是回归形式一旦固定，就比较呆板，往往拟合效果较差。另一类回归，非参数回归，则与参数回归正好相反。它的回归函数形式是不确定的，其结果外延困难，但拟合效果却比较好。 设Y 是一维观测随机向量，X 是m 维随机自变量。在第四章我们曾引进过条件期望作回归函数，即称 g (X ) = E (Y |X ) （7.1.1） 为Y 对X 的回归函数。我们证明了这样的回归函数可使误差平方和最小，即 22)]([min )]|([X L Y E X Y E Y E L -=- （7.1.2） 这里L 是关于X 的一切函数类。当然，如果限定L 是线性函数类，那么g (X )就是线性回归函数了。 细心的读者会在这里立即提出一个问题。既然对拟合函数类L (X )没有任何限制，那么可以使误差平方和等于0。实际上，你只要作一条折线(曲面)通过所有观测点(Y i ，X i )就可以了是的，对拟合函数类不作任何限制是完全没有意义的。正象世界上没有绝对的自由一样，我们实际上从来就没有说放弃对L(X)的一切限制。在下面要研究的具体非参数回归方法，不管是核函数法，最近邻法，样条法，小波法，实际都有参数选择问题(比如窗宽选择，平滑参数选择)。 所以我们知道，参数回归与非参数回归的区分是相对的。用一个多项式去拟合(Y i ，X i )，属于参数回归；用多个低次多项式去分段拟合(Y i ，X i )，叫样条回归，属于非参数回归。 二、权函数方法 非参数回归的基本方法有核函数法，最近邻函数法，样条函数法，小波函数法。这些方法尽管起源不一样，数学形式相距甚远，但都可以视为关于Y i 的线性组合的某种权函数。也就是说，回归函数g (X )的估计g n (X )总可以表为下述形式： ∑==n i i i n Y X W X g 1 )()( （7.1.3）
基于非参数回归模型的短期风电功率预测 王彩霞,鲁宗相,乔 颖,闵 勇,周双喜 (电力系统国家重点实验室,清华大学电机系,北京市100084) 摘要:随着风电接入规模的增加,风电功率预测日益重要。非参数估计方法是模型估计和预测的典型方法之一,在国内短期风电功率预测中尚无应用。文中将非参数回归技术应用于短期风电功率预测,包括风电功率点预测和风电功率概率区间预测。首先,基于非参数回归模型,建立风速与风电功率之间的转换模型,得到风电功率的点预测值;其次,基于经验分布模型与非参数回归技术,建立风电功率预测误差的概率分布函数,得到风电功率预测值的概率区间。以内蒙古某风电场为例,验证了将非参数回归技术应用于风电功率预测的有效性。关键词:风力发电;功率预测;点预测;概率区间预测;非参数回归 收稿日期:2010 02 13;修回日期:2010 06 17。 0 引言 近年来,并网型风电发展迅猛,风电的波动性已给电网调度带来严峻的挑战。风电功率预测是解决风电波动、实现风电与电力系统传统电源联合优化运行的关键技术之一。 风电功率预测按照预测的时间尺度划分一般分为超短期、短期和中长期预测[1]。超短期预测一般指6h 以内的预测,预测结果用于电力系统的在线优化运行,常采用基于历史风电功率数据的时间序列分析方法进行预测,例如自回归滑动平均(ARM A)模型[2 3]、Kalman 滤波[4]等。短期预测一般指对未来6h~48h 风电功率输出的预测,预测结果是电网安排日发电计划或进行电力市场交易的基础。中长期预测一般指未来几天的预测,预测结果主要用于安排风电机组的检修计划等。在实际应用中,短期预测和超短期预测应用较多。本文的研究对象为短期预测。 由于天气状况在未来6h~48h 内一般有较大的变化,因此,短期预测主要依赖于数值天气预报(numeric w eather predictio n,NWP ),通过建立NWP 的气象信息与风电功率输出之间的关系模型,将预测时段内的气象信息转换为风电功率输出。按建模方法的不同,短期风电功率预测可进一步分为物理方法和统计方法[5]。本文研究方法属于统计方法的范畴。 经过多年的积累,欧洲和美国已经有多款商业化的风电功率预测软件[6],如丹麦的WPPT 和Prediktor 、西班牙的SIPREOLICO 等。由于中国 的气候条件与欧美相比差异较大,因此有必要研究 适合中国风电场的风电功率预测方法。近几年,中国的风电功率预测研究也在逐步发展,但受气象服务条件的影响,预测方法大多基于历史数据和时间序列方法[7 9],对超短期预测较为有效,但对短期(如日前24h)风电功率的预测效果往往较差。随着风电的大规模接入,为电网安排发电计划服务的短期风电功率预测亟需展开。中国电力科学研究院开发 的基于NWP 的短期风电功率预测软件[10 11] ,采用的预测方法为反向传播(BP)神经网络,是一种在风电功率预测中应用广泛的典型方法。但是,神经网络方法对模型训练的时间较长,并且需要不断调试合适的隐含层神经元个数、合适的隐含层输出函数及合适的输出层输出函数等,才能得到收敛性较好的神经网络。非参数回归方法也是模型估计的典型方法之一,在国外已有采用基于统计模型的风电功率预测方法的范例[12]。非参数统计模型只需调整合适的窗宽即可应用模型进行预测,实用性比神经网络模型更佳。 本文以内蒙古某风电场为例,研究将非参数回归方法应用于国内短期风电功率预测的有效性。内蒙古气象局引进了美国国家大气研究中心(NCAR)和美国宾州大学(PSU)开发研制的第5代中尺度模式M M5(M esoscale Mo del 5),直接提供风机轮毂高度的NWP 信息,如风速、风向等。本文采用内蒙古气象局提供的NWP 数据,建立NWP 与风电功率输出之间的转换模型,得到风电功率的点预测值;基于经验分布模型和非参数回归方法,建立风电功率预测误差的概率分布函数,进而得到风电功率预测值的概率区间,辅助电网运行决策。 78 第34卷 第16期2010年8月25日V o l.34 No.16A ug.25,2010
案例13 基于非参数GARCH 模型的一种波动率估计方法 一、文献及研究综述 波动率（volatility ）是资产收益不确定性的衡量，它经常用来衡量资产的风险。一般来说，波动率越大，意味着风险越高。由于波动率在投资分析，期权定价等方面的重要性，近20年来一直是金融领域的一个研究热点，出现许多描述金融市场波动率的模型，最为典型的是Bollerslev （1986）提出的广义自回归条件异方差模型（GARCH 模型），而在实证中得到广泛应用的是其中的GARCH(1,1)模型，即条件方差不但依赖与滞后一期的扰动项的平方，而且也依赖于自身的滞后一期值，三者之间存在一种线形关系。针对三者之间的线形关系是否合适即能否用一种更有效的函数关系来描述的问题，人们进行了一些有意义的探索。Engel 和Gonzalez-Rivera(1991)采用半参数方法对条件方差进行建模，对扰动项的滞后值采取非参数形式，对条件方差自身的滞后值采用线形形式，两位的研究思路为人们以后的研究工作拓宽了思路。Peter Buhlmann 和Alexander J.MeNeil （2002）对三者之间的函数关系用一种非参数形式来描述，给出了一种全新的估计波动率的循环算法，并对这一全新的算法的可行性和有效性给出了证明，得出非参数形式的GARCH(1,1)对波动率的估计效果要强与参数形式的GARCH(1,1)。Antonio Cosma 和Fausto Galli （2005）利用Peter Buhlmann 和Alexander J.MeNeil 所提出的估计波动率的算法，对非参数形式的ACD 模型（Autoregressive Conditional Duration Model ）的久期(duration)进行估计，也得出用该估计算法的非参数形式比参数形式的ACD 模型的估计效果优越。 本文采用非参数方法中的非参数可加模型，对条件方差采用非参数可加模型GARCH(1,1)形式进行建模，即对条件方差的滞后值和扰动项的滞后值分别采用不同的函数形式进行建模。估计方法是基于Peter Buhlmann 和Alexander J.MeNeil(2002)对非参数GARCH 估计时的算法思想，采取模拟数据和真实收益率数据分别同参数形式的GARCH(1,1)采用极大似然估计结果进行比较。文章下面的结构是：第二部分是有关方法的描述。第三部分是模拟实验。第四部分是实证部分。第五部分是本文结束语。 二、方法描述 ㈠ Bollerslev （1986）提出的标准的GARCH(1,1)形式： t t z ε=