教学过程
一、复习预习 1.理解不等号的意义:
大于: > 小于: < 大于等于: ≥ 小于等于: ≤
不大于:≤ 不小于: ≥
2.用不等号连接下列式子:
-2 > -3, a 2
≥ 0, x +5 > x +2, -a -1 > -a -6, 2
1- > 31-. 二、知识讲解
考点1
不等式的概念:一般地,有符号>,<,≤,≥,≠连接的式子叫做不等式。 考点2
列不等式:列不等式同列方程一样,关键是找出不等关系,常用的表示不等式的关键词有“大 不等关系与不等式的基本性质
适用学科
数学 适用年级 初二 适用区域
北师大版 课时时长(分钟) 60
知识点 不等式的定义
不等式的基本性质 教学目标 知识与技能:理解不等式的概念,学会列不等式,理解不等式的基本性质,
并学会灵活运用;
过程与方法:通过对不等关系的理解,进而探索不等式的性质,使学生能
够从逻辑关系上严谨地分析问题,提高分析和解决问题的能力,学会转化的
数学思想方法;
情感态度与价值观:使学生对逻辑思维产生兴趣,在积极参与性质的学习
活动中,不断增强主体意识,综合意识。
教学重点
用不等式表示实际问题中的不等关系,并用不等式研究含有不等关系的问题,掌握不等式的基本性质。 教学难点 用不等式准确表示出不等关系,灵活运用不等式的性质。
于”“小于”“不大于””不小于”“超过”“至多”“非负”等。
考点3
不等式的性质:(1)不等式的两边都加上或者减去同一个整式,不等号的方向不变;用字母表示:若a>b,则有a+c>b+c,a-c>b-c 。
(2)不等式的两边都同时乘或者除以同一个正数,不等号的方向不变;用字母表示:若a>0,b>0,则ac>bc,c
b c a >。 (3)不等式的两边都同时乘或者同一个负数,不等号的方向要改变,用字母表示:若a>b,c<0,则ac b c a <。 易错点1 对文字语言理解不准确,不等关系的表示有两种:文字语言与符号语言,对“不大于”“不小于”“至少”“非负数”等文字的理解是将文字语言转化为符号语言的关键,易出现的错误是对某些文字语言理解的不准确,从而导致解题错误。 易错点2 应用不等式的基本性质3时,忽略改变不等号的方向,一定要注意当不等式的两边同时乘以 或者除以一个负数时要改变不等号的方向。 三、例题精析 【例题1】 【题干】 某市最高气温是33℃,最低气温是24℃,则该市气温t (℃)的变化范围是( ) A .t >33 B .t≤24 C .24<t <33 D .24≤t≤33 【答案】D 【解析】 根据不等式的性质,由题意某市最高气温是33℃,最低气温是24℃,用不等式把它表示出来. 【例题2】 【题干】 ①x+y=1;②x≤y;③x -3y ;④x 2-3y >5;⑤x<0中属于不等式的有( ) A .2个 B .3个 C .4个 D .5个 【答案】B 【解析】 ①中不含有不等号,所以不是不等式; ②中含有不等号,所以是不等式; ③中不含有不等号,所以不是不等式; ④中含有不等号,所以是不等式; ⑤中含有不等号,所以是不等式. 故是不等式的有②④⑤. 故选B . 【例题3】 【题干】 下列不等式总成立的是( ) A .4a >2a B .a 2>0 C .a 2>a D .02 12≤-a 【答案】D 【解析】 A 、a 为0或负数时不成立, B 、a=0时不成立, C 、a=0时不成立, D 、正确. 故选D . 四、课堂运用 【基础】 已知ab=4,若-2≤b≤-1,则a 的取值范围是( ) A .a≥-4 B .a≥-2 C .-4≤a≤-1 D .-4≤a≤-2 【答案】D 【解析】 根据条件可以求得b= a 4,然后将b 的值代入不等式-2≤b≤-1,通过解该不等式即可求得a 的取值范围. 【巩固】 若a >b ,则下列不等式不一定成立的是( ) A .a+m >b+m B .a (m 2+1)>b (m 2+1) C.2 2b a -<- D .a 2>b 2 【答案】D 【解析】A 、根据不等式的基本性质1,不等式两边同时加上同一个数,不等号的方向不变,故a+m >b+m 一定成立,故此选项不合题意; B 、根据不等式的基本性质2,不等式两边同时乘以同一个正数,不等号的方向不变,故a (m 2+1)>b (m 2+1)一定成立,故此选项不合题意; C 、根据不等式的基本性质2,不等式两边同时除以同一个负数,不等号的方向改变,22b a -<-一定成立,故此选项不合题意 D 、根据不等式的基本性质,a ,b 若都为负数,a 2>b 2不成立,故a >b ,则不一定成立的是a 2>b 2,故此符合题意。 【拔高】 已知a >0,b <0,|a|<|b|<1,那么下列判断正确的是( ) A .1-b >-b >1+a >a B .1+a >a >1-b >-b C .1-b >1+a >-b >a D .1+a >1-b >a >-b 【答案】C 【解析】 ∵a>0,b <0,|a|<|b|<1, ∴-b >a ,1+a >-b ,∴1-b >1+a , ∴1-b >1+a >-b >a . 故选C 。 课程小结 不等关系的正确理解,以及不等式的基本性质: (1)不等式的两边都加上或者减去同一个整式,不等号的方向不变; (2)不等式的两边都同时乘或者除以同一个正数,不等号的方向不变; (3)不等式的两边都同时乘或者同一个负数,不等号的方向要改变。 课后作业 【基础】 已知a >b ,若c 是任意实数,则下列不等式中总是成立的是( ) A 、 a+c <b+c C 、 ac <bc B 、 a-c >b-c D 、 ac >bc 【答案】B 【解析】 A 、∵a >b ,c 是任意实数,∴a+c >b+c ,故本选项错误; B 、∵a >b ,c 是任意实数,∴a-c >b-c ,故本选项正确; C 、当a >b ,c <0时,ac <bc ,而此题c 是任意实数,故本选项错误; D 、当a >b ,c >0时,ac >bc ,而此题c 是任意实数,故本选项错误. 故选B. 【巩固】 下列不等关系中,正确的是() A、a不是负数表示为a>0; B、x不大于5可表示为x>5 C、x与1的和是非负数可表示为:x+1>0 D、m与4的差是负数可表示为m-4<0 【答案】D 【解析】用不等式表达数量关系 【拔高】 若,则下列式子错误的是 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】 不等式的性质有三个 1,不等式两边同加同减一个数或一个式子,不等号不变。 2,不等式两边同乘同除一个数或一个式子(大于零),不等号不变。 3,不等式两边同乘同除一个数或一个式子(小于零),不等号改变。 不等关系与基本不等式同步练习题(一) (时间:120分钟 满分:150分) A.基础卷 一、选择题(5×8=40分) 1.函数)2(2 1 >-+ =x x x y 的最小值为( ) A. 2 B . 3 C . 4 D .23 2.不等式0)31(>-x x 的解集是( ) A .)31,(-∞ B . )31,0()0,( -∞ C . ),31(+∞ D .)3 1,0( 3.已知,R b a ∈、且0>ab ,则下列不等式不正确的是( ) A .b a b a ->+ B .b a b a +<+ C .b a ab +≤2 D . 2≥+b a a b 4.已知无穷数列{}n a 是各项均为正数的等差数列,则有( ) A. 8 6 64a a a a ≤ B. 8664a a a a < C.8664a a a a > D.8664a a a a ≥ 5.已知01,0<<-> B.a ab ab >>2 C.2 ab a ab >> D.a ab ab >>2 6.已知,1117,32-≤<-<≤-y x 则1 2 -y x 的取值范围是( ) A.??? ??-- 92,43 B.??? ??-0,43 C.??? ??-0,21 D.??? ??-0,43 7.若 ,11 <++b a a b 则b a 与中必( ) A.一个大于1,一个小于1 B.两个都大于1 C.两个都小于1 D.两个的积小于1 8.已知,,d c b a >>则( ) A. d b c a ->- B. c b d a > C.a d b c ->- D.bd ac > 环球雅思教育学科教师讲义 年级:上课次数: 学员姓名:辅导科目:学科教师: 课题 课型□预习课□同步课复习课□习题课 授课日期及时段 教学内容? 【基础知识网络总结与新课讲解】 知识点一、不等式的有关概念: 1.不等式的概念:用不等号把两个代数式连接起来,表示不等关系的式子,叫做不等式。 注意:常见的不等号有五种:“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”. 例1.请指出下列各式哪些是不等式:①x+y=y+x②4+x>5③-3<0④a+b≤c+b⑤a≠0⑥2x-7=5x+4 例2.列出表示下列各数量关系的不等式:(1)a是正数;(2)y与2的差是非负数;(3)a与6的和大于7;(4)y的一半不小于3;(5)8与x的3倍的和不大于1。 提示:注意一个数的"和","差","倍","分"的表示法以及"大于","不小于","不大于"应该用哪一个不等号来表示,另外。正数都大于0,负数都小于0,所以"是正数"可表示为">0","是负数"可表示为"<0","非负数"可表示为"≥0"。?参考答案: (1)a>0 (2)y-2≥0 (3)a+6>7 (4)≥3(5)8+3x≤1 ,+ 4,-4,4.5?提示:把下列各值分别代入不等式的左边计算2x+1 2.5 ,- - 1,0,3 立?? 的值,若小于5则不等式成立;若不小于5则不等式不成立。 参考答案:当x=-1,0,-2.5,-4时,不等式2x+1<5成立。 说明:因为当x=1,0,-2.5,-4时,不等式2x+1<5成立,当x=2,+4,4.5时,不等式2x+1<5不成立,所以同方程类似,我们可以说-1,0,-2.5-4是不等式2x+1<5的解,而2,+4,4.5不是不等式2x+1<5的解。 例4.指出下面变形是根据不等式的哪一条基本性质。? (1)由2a>5,得a>(2)由a-7>,得a>7 (3)由- a>0,得a<0 (4)由3a>2a-1,得a>-1。 例5.设a>b;用">"或"<"号填空: (1) (2)a-5 b-5 (3)- a- b (4)6a6b (5)-(6)- a -b 参考答案:(1)>(2)> (3)< (4)> (5)<(6)< 例5.试比较下列两个代数式值的大小: (1)5a+2与4a+2 (2)x3+3x2-7与x3+2x2-7 提示:我们知道,若a-b>0,则a>b;若a-b=0,则a=b;若a-b<0,则a<b,所以要比较a与b的大小,可以先求出a与b的差,再看这个差是正数、负数还是零。 参考答案:(1)(5a+2)-(4a+2)=5a+2-4a-2=a ∵a可取正数,负数或零,∴5a+2和4a+2间的大小关系有三种可能:?①当a>0时,5a+2>4a+2 ②当a=0时,5a+2=4a+2?③当a<0时,5a+ 2<4a+2。?(2)(x3+3x2-7)-(x3+2x2-7)=x3+3x2-2x2+7=x2∵x2≥0(对任意x) ∴x3+3x2-7≥x3+2x2-7 例6.已知二数a>2,b>2,试比较a+b与ab的大小。 不等关系与不等式 【学习目标】 1.了解不等式(组)的实际背景. 2.掌握比较两个实数大小的方法. 3.掌握不等式的八条性质. 【学法指导】 1.不等关系广泛存在于现实生活中,应用不等式(组)表示不等关系实质是将“自然语言”或“图形语言” 转化成“数学语言”,是用不等式知识解决实际问题的第一步.只需根据题意建立相应模型,把模型中的量具体化即可. 2.作差法是比较两个数(或式)大小的重要方法之一,可简单概括为“三步一结论”,其中关键步骤“变形”要彻底,当不能“定号”时注意分类讨论. 3.不等式的基本性质是解决不等式的有关问题的依据,应用时每步都要做到等价变形. 一、知识温故 a-b>0?; a-b=0?; a-b<0?. 3.常用的不等式的基本性质 (1)a>b?b a(对称性); (2)a>b,b>c?a c(传递性); (3)a>b?a+c b+c(可加性); (4)a>b,c>0?ac bc;a>b,c<0?ac bc; (5)a>b,c>d?a+c b+d; (6)a>b>0,c>d>0?ac bd; (7)a>b>0,n∈N,n≥2?a n b n; (8)a>b>0,n∈N,n≥2?n b. 二、经典范例 问题探究一实数比较大小 问题1(实数比较大小的依据) 在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b,右边的点表示的数比左 边的点表示的数大,从实数减法在数轴上的表示可以看出a,b之间具有以下性质: 如果a-b是正数,那么; 如果a-b是负数,那么; 如果a-b等于零,那么. 以上结论反过来也成立,即a-b>0?a>b;a-b<0?a<b;a-b=0?a=b. 问题2(作差法比较实数的大小) 向一杯a克糖水中加入m克糖,糖水变得更甜了.你能把这一现象用一个不等式表示出来吗?并证明你的结论. 问题探究二不等式的基本性质 问题3在实数大小比较的基础上,可以给出不等式八条基本性质的严格证明.证明时,可以利用前面的性质推证后续的性质. 请同学们借助前面的性质证明性质6: 如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd. 不等式的基本性质知识点 不等式的基本性质知识点 1.不等式的定义:a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a<b。 ① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础,也是证明不等式与解不等式的主要依据。 ②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景,来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。 作差后,为判断差的符号,需要分解因式,以便使用实数运算的符号法则。 如证明y=x3为单增函数, 设x1, x2∈(-∞,+∞), x1<x2, f(x1)-f(x2)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)=(x1-x2)[( x1+)2 +x22] 再由(x1+)2+x22>0, x1-x2<0,可得f(x1)<f(x2), ∴ f(x)为单增。 2.不等式的性质: ① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。 不等式基本性质有: (1) a>bb<a (对称性) (2) a>b, b>ca>c (传递性) (3) a>ba+c>b+c (c∈R) (4) c>0时,a>bac>bc c<0时,a>bac<bc。 运算性质有: (1) a>b, c>da+c>b+d。 (2) a>b>0, c>d>0ac>bd。 (3) a>b>0an>bn(n∈N, n>1)。 (4) a>b>0>(n∈N, n>1)。 应注意,上述性质中,条件与结论的逻辑关系有两种:“”和“”即推出关系和等价关系。一般地,证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此,要正确理解和应用不等式性质。 ② 关于不等式的性质的考察,主要有以下三类问题: (1)根据给定的不等式条件,利用不等式的性质,判断不等式能否成立。 (2)利用不等式的性质及实数的性质,函数性质,判断实数值的大小。 (3)利用不等式的性质,判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。 不等关系与不等式(第一课时) 一、教学任务分析 1、感受不等关系的普遍存在 通过一系列的具体情境,使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系。 2、利用不等式(组)表示实际问题中的不等关系 通过具体问题情境,让学生学习如何利用不等式(组)研究及表示不等关系,进一步理解不等式(组)刻画不等关系的意义和价值。 3、初步掌握运用作差比较法比较实数和代数式的大小。 二、教学重点和难点 重点:用不等式(组)表示实际问题中的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题,理解不等式(组)刻画不等关系的意义和价值。 难点:用不等式(组)正确表示出不等关系。 三、教学基本流程 四、教学情景设计 1、引入:章头图及古诗《题西林壁》引入,介绍不等量关系也是自然界中存在的基本数量关系,它们在现实世界和日常生活中大量存在,在数学研究和数学应用中也起着重要的作用,也正是实际问题的需要我们要研究不等量关系。介绍本章将要研究表示不等量关系的不等式的基本知识。 设计意图:使学生体会不等关系的普遍存在,了解学习不等式的意义。 2、创设情境,让学生感受生活中的不等关系。 师:多媒体出示情景:(1)交通标志(限速、限高、限宽);(2)商家打折海报(一折起、低至几折);(3)产品含量指标。问:表示什么含义?怎么表示其中的不等关系? 生:分析各种不等关系,口答并尝试用不等式(组)表示。 师:引导学生准确表述,给出不等式定义,板书学生口答的各问题中不等式(组)。 设计意图:进一步让学生感受生活中的不等关系,知道用不等式(组)表示这种不等关系。 3、知识探究一:具体情境中如何用不等式研究及表示不等关系。 师:多媒体出示问题1(销售收入问题)、2(实际安排生产问题)。 学生:独立思考后,与本组同学交流讨论结果。完成后交流展示,小组代表板书结果,并说明式子的含义。 师:点评学生结果,找有不同结果的小组讲解不同方法或补充,引导学生分析比较。 设计意图:问题方式给出,强化学生的问题意识,使学生在具体问题情境中经历如何利用不等式研究及表示不等关系。小组合作探究,使学生交流对于问题的认识。展示不同结果,使学生认识思考问题严谨性和不同角度。师最后介绍两问题中反映的生产要求如何解决,是本章后续章节会解决的问题。激发学生学习欲望,体会数学知识与生活的密切相关。 4、知识探究二:比较实数和代数式大小的方法——作差法。 生:结合学案上知识探究二中所填结果,与同组学生交流结论。 师:提问引导学生表述:要比较两数或代数式大小,可以让两数或两式相减,比较结果和0的大小。若结果大于0,则前者大于后者;若……。 设计意图:让学生分析作差法具体做法,明确这种比较大小的方法如何运用。 5、课堂练习:作差法比较代数式的大小。 生:可独立完成,也可与同组同学交流,在规定时间完成。 师:巡视,指导学生疑难处,找完成好的两生板演结果,并让板演学生讲解。点评学生思路,进一步总结作差法中变形结果的形式: 环球雅思教育学科教师讲义年级:上课次数: 学员姓名:辅导科目:学科教师: 课题 课型□预习课□同步课□复习课□习题课 授课日期及时段 教学内容 【基础知识网络总结与新课讲解】 知识点一、不等式的有关概念: 1.不等式的概念:用不等号把两个代数式连接起来,表示不等关系的式子,叫做不等式。 注意:常见的不等号有五种:“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”. 例1.请指出下列各式哪些是不等式:①x+y=y+x②4+x>5③-3<0④a+b≤c+b⑤a≠0⑥2x-7=5x+4 例2.列出表示下列各数量关系的不等式:(1)a是正数;(2)y与2的差是非负数;(3)a与6的和大于7;(4)y的一半不小于3;(5)8与x的3倍的和不大于1。 提示:注意一个数的"和","差","倍","分"的表示法以及"大于","不小于","不大于"应该用哪一个不等号来表示,另外。正数都大于0,负数都小于0,所以"是正数"可表示为">0","是负数"可表示为"<0","非负数"可表示为"≥0"。 参考答案: (1)a >0 (2)y-2≥0 (3)a+6>7 (4) ≥3 (5)8+3x ≤1 注意:列不等式时应注意两点: ①"是正数"表示为>0","是负数"表示为<0";"非正数"表示为"≥0"。 ②"不大于"用"≤"表示,"不小于"用"≥"表示。 2.不等式的基本性质 (1)不等式的基本性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变。 用式子表示:如果a>b ,那a+c>b+c (或a –c>b –c ) (2)不等式的基本性质2:不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。 用式子表示:如果a>b ,且c>0,那么ac>bc , c b c a >。 (3)不等式的基本性质3:不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。 用式子表示:如果a>b ,且c<0,那么ac a 6 B. C. D. 6.已知 - 2 ≤ x < 3,-17 < y ≤ -11, 则 的取值范围是( ) A. -? 3 2 ? ? 3 ? ? 1 ? ?3,- ? B. - ,0 C. - ,0 D. - ,0 ? ??A. a - c > b - d B. a 不等关系与基本不等式同步练习题(一) (时间:120 分钟 满分:150 分) A.基础卷 一、选择题(5×8=40 分) 1.函数 y = x + 1 ( x > 2) 的最小值为( x - 2 ) A. 2 B . 3 C . 4 D . 3 2 2.不等式 x (1 - 3x) > 0 的解集是( ) 1 1 1 1 A . (-∞, ) B . (-∞,0) (0, ) C . ( ,+∞) D . (0, ) 3 3 3 3 3.已知 a 、b ∈ R, 且 ab > 0 ,则下列不等式不正确的是( ) A . a + b > a - b B . a + b < a + b C . 2 ab ≤ a + b D . b a + ≥ 2 a b 4.已知无穷数列 { n }是各项均为正数的等差数列,则有( ) A. a 4 ≤ a 6 a a 5.已知 a < 0,-1 < b < 0 ,则 a, ab, ab 2 的大小关系是( ) A. a > ab > ab 2 B. ab 2 > ab > a C. ab > a > ab 2 D. ab > ab 2 > a x 2 y - 1 ? ? 4 9 ? ? 4 ? ? 2 ? ? 4 ? 7.若 ab + 1 a + b < 1, 则 a 与 b 中必( ) A.一个大于1,一个小于1 B.两个都大于1 C.两个都小于1 D.两个的积小于1 8.已知 a > b , c > d , 则( ) b > C. c - b > d - a D. ac > bd d c 不等式及其基本性质测试题 7.1不等式及其基本性质测试卷 一、填空 1.在式子① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 中属于不等式的有.(只填序号)2.如果,那么. 3.若,用<>填空. ⑴ ⑴ ⑴ ⑴ ⑴ 二、选择 4.的倍减的差不大于,那么列出不等式正确的是()A.B. C.D. 5.已知,则下列不等式正确的是() A.B. C. D. 6.下列说法正确的是() A.若,则 B.若,则 C.若,则D.若,则 7.已知,a为任意有理数,下列式子正确的是( ) A. B. C. D. 8.已知4 3,则下列结论正确的() ① ② ③ A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 9.某种品牌奶粉合上标明蛋白质,它所表达的意思是() A.蛋白质的含量是20%. B.蛋白质的含量不能是20%. C.蛋白质大含量高于20%. D.蛋白质的含量不低于20%. 10.如图7-1-1天平右边托盘里的每个砝码的质量都是1千克,那么图中显示物体的质量范围是() A.大于2千克B.小于3千克 C.大于2千克小于3千克 D.大于2千克或小于3千克 11.如果a<b<0,下列不等式中错误的是() A. B. C. D. 12. 下列判断正确的是() A.<<2 B.2<+<3 C.1<-<2 D.4<<5 13. 用a,b,c 表示三种不同的物体,现放在天平上比较两次,情况如图所示,那么这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为() A.B. C.D. 三、解答题 14.用不等式表示下列句子的含义. ⑴ 是非负数. ⑴ 老师的年龄比赵刚的年龄的倍还大. ⑴ 的相反数是正数. ⑴ 的倍与的差不小于. 15.用不等式表示下列关系. ⑴ 与3的和的2倍不大于-5. ⑴ 除以2的商加上4至多为6. ⑴ 与两数的平方和为非负数. 16.(1)用两根长度均为㎝的绳子,分别围成正方形和圆,如图7-1-2 教学过程 一、复习预习 1.理解不等号的意义: 大于: > 小于: < 大于等于: ≥ 小于等于: ≤ 不大于:≤ 不小于: ≥ 2.用不等号连接下列式子: -2 > -3, a 2 ≥ 0, x +5 > x +2, -a -1 > -a -6, 2 1- > 31-. 二、知识讲解 考点1 不等式的概念:一般地,有符号>,<,≤,≥,≠连接的式子叫做不等式。 考点2 列不等式:列不等式同列方程一样,关键是找出不等关系,常用的表示不等式的关键词有“大 不等关系与不等式的基本性质 适用学科 数学 适用年级 初二 适用区域 北师大版 课时时长(分钟) 60 知识点 不等式的定义 不等式的基本性质 教学目标 知识与技能:理解不等式的概念,学会列不等式,理解不等式的基本性质, 并学会灵活运用; 过程与方法:通过对不等关系的理解,进而探索不等式的性质,使学生能 够从逻辑关系上严谨地分析问题,提高分析和解决问题的能力,学会转化的 数学思想方法; 情感态度与价值观:使学生对逻辑思维产生兴趣,在积极参与性质的学习 活动中,不断增强主体意识,综合意识。 教学重点 用不等式表示实际问题中的不等关系,并用不等式研究含有不等关系的问题,掌握不等式的基本性质。 教学难点 用不等式准确表示出不等关系,灵活运用不等式的性质。 于”“小于”“不大于””不小于”“超过”“至多”“非负”等。 考点3 不等式的性质:(1)不等式的两边都加上或者减去同一个整式,不等号的方向不变;用字母表示:若a>b,则有a+c>b+c,a-c>b-c 。 (2)不等式的两边都同时乘或者除以同一个正数,不等号的方向不变;用字母表示:若a>0,b>0,则ac>bc,c b c a >。 (3)不等式的两边都同时乘或者同一个负数,不等号的方向要改变,用字母表示:若a>b,c<0,则ac 第一课时:不等式关系与不等式 知识点一 不等关系 思考 限速40km /h 的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v 不超过40 km /h ,用不等式如何表示? 答案 v ≤40. 梳理 试用不等式表示下列关系: (1)a 大于b a >b (2)a 小于ba b ?a -b >0;a =b ?a -b =0; a b ?b b ,b >c ?a >c (传递性); 第三节.不等关系与基本不等式 基本不等式 (3)a >b ?a +c >b +c (可加性); (4)a >b ,c >0?ac >bc ;a >b ,c <0?ac 第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式 第1课时 不等关系与不等式的性质 A 级 基础巩固 一、选择题 1.下列命题正确的是( ) A .某人月收入x 不高于2 000元可表示为“x <2 000” B .小明的身高x ,小华的身高y ,则小明比小华矮表示为“x >y ” C .某变量x 至少是a 可表示为“x ≥a ” D .某变量y 不超过a 可表示为“y ≥a ” 解析:对于A ,x 应满足x ≤2 000,故A 错; 对于B ,x ,y 应满足x <y ,故B 不正确;C 正确;对于D ,y 与a 的关系可表示为y ≤a ,故D 错误. 答案:C 2.若A =a 2+3ab ,B =4ab -b 2,则A 、B 的大小关系是( ) A .A ≤B B .A ≥B C .A <B 或A >B D .A >B 解析:因为A -B =a 2+3ab -(4ab -b 2)=(a -b 2)2+34 b 2≥0,所以A ≥B . 答案:B 3.已知0y >z B .z >y >x C .z >x >y D .y >x >z 解析:由题意得x =log a 6,y =log a 5,z =log a 7,而0x >z . 答案:D 4.若a >b >1,0 【课堂例题】 例1.利用性质1和性质2证明: (1)如果a b c +>,那么a c b >-; (2)如果,a b c d >>,那么a c b d +>+ 例2.利用性质3证明: 如果0,0a b c d >>>>,那么ac bd >. (选用)例3.利用不等式的性质证明: 如果0a b >>,那么110a b < <. 【知识再现】 1.不等式性质的基础: a b >? ;a b =? ;a b . 2.三条基本性质: 性质1.(传递性) 若,a b b c >>,则 ; 性质2.(加法性质) 若a b >,则 ; 性质3.(乘法性质) 若,0a b c >>,则 ; 若,0a b c ><,则 . 3.几条比较有用的推论: 性质4.(同向可加性) 若,a b c d >>,则 ; 性质5.(正数同向可乘性) 若0,0a b c d >>>>,则 ; 性质6.(正数的倒数性质) 若0a b >>,则 ; 性质7.(正数的乘方性质) 若0a b >>,则 *()n N ∈; 性质8.(正数的开方性质) 若0a b >>,则 *(,1)n N n ∈>. 【基础训练】 1.请用不等号表示下列关系: (1)a 是非负实数, ; (2)实数a 小于3,但不小于2-, ; (3)a 和b 的差的绝对值大于2,且小于等于9, . 2.判断下列语句是否正确,并在相应的括号内填入“√”或“×”. (1)若a b >,则a b c c >;( ) (2)若ac bc <,则a b <;( ) (3)若a b <,则1 1 a b <; ( ) (4)若22ac bc >,则a b >;( ) (5)若a b >,则n n a b >;( ) (6)若0,0a b c d >>>>,则a b c d >;( ) 3.用“>”或“<”号填空: (1)若a b >,则a - b -; (2)若0,0a b >>,则b a 1b a +; (3)若,0a b c >>,则d ac + d bc +; (4)若,0a b c ><,则()c d a - ()c d b -; (5)若,,0a b d e c >><,则d ac - e b c -. 4.(1)如果a b >,那么下列不等式中必定成立的是( ) (A) 1 1 a b <; (B) 22a b >; (C)22ac bc >; (D)2211 a b c c >++. (2)如果0a b >>,那么下列不等式不一定成立的是( ) (A) 1 1 a b <; (B) 2ab b >; (C)22ac bc >; (D) 22a b >. 5.已知,x y R ∈,使1 1 ,x y x y >>同时成立的一组,x y 的值可以是 . 不等式及其基本性质 设u=f(x1,x2,…,x n),v=g(x1,x2,…,x n)是两个取值为实数的函数,若u-v是正数,就说u大于v,记成u>v,也说v小于u,记成v<u. 用记号“>”、“<”、“≥”或“≤”连结两个这样的函数所组成的式子,叫做不等式. 设上面两个函数的定义域分别为D f,D g,则称D f∩D g为下列不等式的允许值集: f(x1,x2,…,x n)>g(x1,x2,…,x n) (或f(x1,x2,…,x n)<g(x1,x2,…,x n), 或f(x1,x2,…,x n)≥g(x1,x2,…,x n), 或f(x1,x2,…,x n)≤g(x1,x2,…,x n). 不等式两边的函数,如果都是代数函数,则称这个不等式为代数不等式;如果至少有一个是超越函数,则称这个不等式为超越不等式.前者可以划分为有理不等式(整式不等式和分式不等式)和无理不等式;后者包括指数不等式、对数不等式、三角不等式和反三角不等式等. 不等式具有如下的基本性质(本文所用字母除特别声明以外,均表示实数). 定理1 若a>b,b>c,则a>c. 定理2 在a>b,a=b,a<b中有且只有一个成立. 定理3 若a>b,则a+c>b+c. 推论1 可以把不等式中任何一项变为相反的符号后,从一边移到另一边. 推论2 若a>b,c>d,则a+c>b+d. 一般地,若a i>b i,i=1,2,…,n,则 a1+a2+…+a n>b1+b2+…+b n. 推论3 若a≥b,c<d,则a-c>b-d. 定理4若a>b,则当c>0时,ac>bc;当c<0时,ac<bc;当c=0时,ac=bc. 推论1 若a>b>0,c>d>0,则ac>bd. 一般地,若a i>b i>0,i=1,2,…,n,则 a1a2…a n>b1b2…b n. 推论2 若a≥b>0,0<c<d,则a/c>b/d. 推论3 若a>b>0,整数n>1,则a n>b n. 含有绝对值符号的不等式还具有如下的常用性质. 定理5 设a>0,则|x|<a的充要条件是-a<x<a;|x|>a的充要条件是x >a或x<-a. 定理6 |a+b|≤|a|+|b|, 其中等号当且仅当ab≥0时成立. 推论1|a+b|≥||a|-|b||. 推论2 |a1±a2±…±a n|≤|a1|+|a2|+…+|a n|. 2.2 《不等式的基本性质》练习题 一、选择题(每题4分,共32分) 1、如果m <n <0,那么下列结论中错误的是( ) A 、m -9<n -9 B 、-m >-n C 、1 1 n m > D 、1m n > 2、若a -b <0,则下列各式中一定正确的是( ) A 、a >b B 、ab >0 C 、0a b < D 、-a >-b 3、由不等式ax >b 可以推出x <b a ,那么a 的取值范围是( ) A 、a≤0 B 、a <0 C 、a≥0 D 、a >0 4、如果t >0,那么a +t 与a 的大小关系是( ) A 、a +t >a B 、a +t <a C 、a +t≥a D 、不能确定 5、如果34a a <--,则a 必须满足( ) A 、a≠0 B 、a <0 C 、a >0 D 、a 为任意数 6、已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示,则下列式子正确的是( ) a 0b c A 、cb >ab B 、ac >ab C 、cb <ab D 、c +b >a +b 7、有下列说法: (1)若a <b ,则-a >-b ; (2)若xy <0,则x <0,y <0; (3)若x <0,y <0,则xy <0; (4)若a <b ,则2a <a +b ; (5)若a <b ,则11a b >; (6)若1122x y --<, 则x >y 。 其中正确的说法有( ) A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 8、2a 与3a 的大小关系( ) A 、2a <3a B 、2a >3a C 、2a =3a D 、不能确定 二、填空题(每题4分,共32分) 9、若m <n ,比较下列各式的大小: (1)m -3______n -3 (2)-5m______-5n §3.1不等式与不等关系 【教学目标】 1.知识与技能:掌握不等式的基本性质,会用不等式的性质证明简单的不等式;2.过程与方法:通过解决具体问题,学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法; 3.情态与价值:通过讲练结合,培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力. 【教学重点】 掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式; 【教学难点】 利用不等式的性质证明简单的不等式。 【教法】 依据“3+1”课堂教学模式:自主探究,合作交流,展示评价,总结拓展。充分开展小组活动,实现全员参与。 【教学过程】 1.课题导入 在初中,我们已经学习过不等式的一些基本性质。 请同学们回忆初中不等式的的基本性质。 (1)不等式的两边同时加上或减去同一个数,不等号的方向不改变; >?±>± 即若a b a c b c (2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数,不等号的方向不改变; 即若,0 >>?> a b c ac bc (3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数,不等号的方向改变。 即若,0 a b c ac bc >< 2.讲授新课 1、不等式的基本性质: 师:同学们能证明以上的不等式的基本性质吗? 证明: 1)∵(a+c)-(b+c) =a-b>0, ∴a +c >b +c 2)()()0a c b c a b +-+=-> , ∴a c b c +>+. 实际上,我们还有,a b b c a c >>?>,(证明:∵a >b ,b >c , ∴a -b >0,b -c >0. 根据两个正数的和仍是正数,得 (a -b)+(b -c)>0, 即a -c >0, ∴a >c . 于是,我们就得到了不等式的基本性质: (1),a b b c a c >>?>(2)a b a c b c >?+>+(3),0a b c ac bc >>?>(4),0a b c ac bc ><2、探索研究 思考,利用上述不等式的性质,证明不等式的下列性质: (1),a b c d a c b d >>?+>+; (2)0,0a b c d ac bd >>>>?>; (3)0,,1n n a b n N n a b >>∈>?>>。证明: 1)∵a >b , ∴a +c >b +c . ①∵c >d , ∴b +c >b +d . ②由①、②得 a +c > b +d .2)bd a c b d bc b d c bc ac c b a >?? ??>?>>>?>>0,0, 2.2不等式的基本性质 1.理解并掌握不等式的基本性质;(重 点) 2.能够运用不等式的基本性质解决问 题.(难点) 一、情境导入 小刚的爸爸今年32岁,小刚今年9岁, 小刚说:“再过24年,我就比爸爸年龄大 了”.小刚的说法对吗?为什么? 二、合作探究 探究点一:不等式的基本性质 【类型一】根据不等式的基本性质判 断大小 已知a<b,用不等号填空: (1)a+3________b+3; (2)- a 4________- b 4; (3)3-a________3-b. 解析:(1)两边都加3,a+3<b+3,(2) 两边都除以-4,- a 4>- b 4,(3)两边都乘-1, -a>-b,两边都加3,3-a>3-b.故答案 为:<,>,>. 方法总结:不等式的基本性质是不等式 变形的重要依据,关键要注意不等号的方 向.性质1和性质2类似于等式的性质,但 性质3中,当不等式两边乘或除以同一个负 数时,不等号的方向要改变. 【类型二】判断变形是否正确 已知a>b,则下列不等式中,错 误的是() A.3a>3b B.- a 3<- b 3 C.4a-3>4b-3 D.(c-1)2a>(c- 1)2b 解析:A.在不等式a>b的两边同时乘 以3,不等式仍成立,即3a>3b,故本选项 正确;B.在不等式a>b的两边同时除以-3, 不等号方向改变,即- a 3<- b 3,故本选项正 确;C.在不等式a>b的两边同时先乘以4、 再减去3,不等式号方向不变,即4a-3> 4b-3,故本选项正确;D.当c-1=0,即c =1时,该不等式不成立,故本选项错误; 故选D. 方法总结:“0”是很特殊的一个数,因 此,解答不等式的问题时,应密切关注“0” 存在与否,以防掉进“0”的陷阱.不等式的 基本性质:(1)不等式两边加(或减)同一个数 (或式子),不等号的方向不变;(2)不等式两 边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不 变;(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数, 不等号的方向改变. 探究点二:不等式性质的运用 【类型一】把不等式化成“x>a”或 “ x<a”的形式 把下列不等式化成“x>a”或 “x<a”的形式. (1)2x-2<0; (2)3x-9<6x; (3) 1 2x-2> 3 2x-5. 解析:根据不等式的基本性质,把含未 知数的项放到不等式的左边,常数项放到不 等式的右边,然后把系数化为1. 解:(1)根据不等式的基本性质1,两边 都加上2得2x<2.根据不等式的基本性质2, 不等式和基本不等式 一.知识梳理 1.实数大小的比较方法 (1)作差法:a>b ?a-b>0,a>>?><=?=a 2a 0b 01b a a 11a b b b 作商法当时 2.不等式的性质 (1)性质1:如果a>b,那么bb. (2)性质2:如果a>b,b>c,那么a>c. (2)性质3:如果a>b,那么a+c>b+c. 推论:如果a>b,c>d,那么a+c>b+d. (4)性质4:如果a>b,c>0,那么ac>bc;,如果a>b,c<0,那么ac 7.1 不等式及其基本性质-教案 池州市第十六中学汪重 一、教学背景 (一)教材分析 不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式,它不仅是现阶段学生学习的重点内容,而且也是学生后续学习的基础。它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型,在现实生活中有着广泛的应用,所以对不等式及其性质的学习有着重要的实际意义,同时也是进一步学习解不等式及应用不等关系解决实际问题的依据。因此本节课内容在这一章占有重要地位。 (二)学情分析 学生在学习了有理数的大小比较、等式及其基本性质的基础上,积累了一定的经验,本节课主要采用类比等式的方法进行不等式的探究教学,这样不仅有利于学生掌握不等式的基本性质,而且可以使学生体会知识之间的内在联系,整体上把握知识,发展学生辩证思维的能力。本节课的教学指导思想是从学生实际认知水平及知识结构出发,让学生自主获取知识。 二、教学目标 (一)知识与技能目标 1.了解不等式的概念,探索并掌握不等式的基本性质; 2.理解不等式与等式性质的联系与区别。 (二)过程与方法目标 通过对比不等式的性质和等式的性质,培养学生的求异思维,提高学生的辨别能力. (三)情感、态度与价值观目标 1.通过学生对不等式性质的探索,培养学生的钻研精神,同时还加强了同学间的合作与交流; 2.通过具体情景的创设,使学生在生活中发现数学,感受数学在生活中的重要应用,激发学生对数学学习的热情。 三、教学重点与难点 重点:不等式的概念及其基本性质。 难点:不等式的基本性质的掌握和应用,特别是不等式基本性质3的理解与应用。 四、教学方法分析及学习方法指导 1.类推探究法。即与等式的基本性质类似地探究不等式的基本性质。 2.采用的是“启发、引导、合作探究”的教学方法。根据学生的认知规律,创设符合学生实际的情境,引导学生自主探索,积极参与课堂活动,培养学生的探究能力。 教学方式:多媒体教学 五、教学过程 (一)创设问题情境,引入新课 (设计说明:通过创设情景,从“等”过渡到“不等”,培养学生的观察能力,激发学生的学习兴趣。) 在古代,我们的祖先就懂得了翘翘板的工作原理,并且根据这一原理设计出了一些简单机械,并把它们用到了生活实践当中。由此可见,不等关系处处可见。从今天起,我们开始学习一类新的数学知识:不等式。 问题1:用适当的式子表示下列关系: (1)2x与3的和不大于-6; (2)x的5倍与1的差不小于x的3倍; (3)a与b的差是负数; (4)x的2倍与y的值不相等。 (分析:引导学生分析时将表示不等关系的词语找出来,可以让学生的思维发展从感性的认识开始强化,加深对不等关系的理解,逐步螺旋上升为理性认知。学习列不等关系式,训练学生数学语言与数学符号的转化,培养学生的符号感。问题1中让学生掌握用适当的式子表示不等关系,并让学生了解不小于与不大于的含义。)问题2:雷电的温度大约是28000℃,比太阳表面温度的4.5倍还要高。设太阳表面温度为t℃,那么t应该满足怎样的关系式? (分析:通过列举生活中常见的一些实例,让学生体会到“数学来源于生活,并应用于生活”。现实世界中有各种各样的数量关系存在,不等关系就是其中的一种,感受到建立不等关系的数学模型的必要性及其现实意义。) (二)探究新知不等关系与基本不等式同步练习题
七年级下册不等式及其基本性质讲义
不等关系与不等式经典教案
不等式的基本性质知识点
不等关系与不等式-教学设计
七年级下册不等式及其基本性质讲义
不等关系与基本不等式同步练习题
不等式及其基本性质测试题
不等关系与不等式的基本性质j
5第五讲 不等关系与基本不等式(教师版) - 副本 - 副本
不等关系与不等式的性质
2.1.1 不等式的基本性质(含答案)
不等式及其基本性质
(完整word版)《不等式的基本性质》练习题
【高中数学】必修5 《不等关系与不等式》优质课教案
《不等式的基本性质》教案 北师大版
不等关系与绝对值不等式及习题
不等式及其基本性质-教案