中考数学压轴题及答案40例（3）
9.已知，在Rt △OAB 中，∠OAB ＝900，∠BOA ＝300，AB ＝2。若以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B 在第一象限内。将Rt △OAB 沿OB 折叠后，点A 落在第一象限内的点C 处。
（1）求点C 的坐标；
（2）若抛物线bx ax y +=2（a ≠0）经过C 、A 两点，求此抛物线的解析式；
（3）若抛物线的对称轴与OB 交于点D ，点P 为线段DB 上一点，过P 作y 轴的平行线，交抛物线于点M 。问：是否存在这样的点P ，使得四边形CDPM 为等腰梯形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
注：抛物线c bx ax y ++=2
（a ≠0）的顶点坐标为??
?
? ??--a b ac ，a b 4422，对称轴公式为a b x 2-=
解: （1）过点C 作CH ⊥x 轴，垂足为H
∵在Rt △OAB 中，∠OAB ＝900，∠BOA ＝300，AB
∴OB ＝4，OA ＝32
由折叠知，∠COB ＝300，OC ＝OA ＝32
∴∠COH ＝600，OH ＝3，CH ＝3 ∴C 点坐标为（3，3）
（2）∵抛物线bx ax y +=2（a ≠0）经过C （3，3）、A （32，0）两点
∴()()
?????+=+=b a b a 3232033322 解得：???=-=321b a ∴此抛物线的解析式为：x x y 322+-=
（3）
存在。因为x x y 322+-=的顶点坐标为（3，3）即为点C
MP ⊥x 轴，设垂足为N ，PN ＝t ，因为∠BOA ＝300，所以ON ＝3t ∴P （3t ，t ）
作PQ ⊥CD ，垂足为Q ，ME ⊥CD ，垂足为E
把t x ?=3代入x x y 322+-=得：t t y 632+-=
∴ M （3t ，t t 632+-），E （3，t t 632+-）
同理：Q （3，t ），D （3，1）
要使四边形CDPM 为等腰梯形，只需CE ＝QD
即()16332-=+--t t t ，解得：341=
t ，12=t （舍） ∴ P 点坐标为（334，3
4） ∴ 存在满足条件的点P ，使得四边形CDPM 为等腰梯形，此时P 点的坐为（
334，3
4）
10.如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A
点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中
C 点的横坐标为2．
（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；
（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平
行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；
（3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，
使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是
平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F
点坐标；如果不存在，请说明理由．
解：（1）令y=0，解得11x =-或23x =
∴A （-1，0）B （3，0）；
将C 点的横坐标x=2代入223y x x =--得y=-3，∴C （2，-3）
∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1
（2）设P 点的横坐标为x （-1≤x ≤2）
则P 、E 的坐标分别为：P （x ，-x-1），
E （2(,23)x x x --
∵P 点在E 点的上方，PE=22(1)(23)2x x x x x -----=-++ ∴当12x =时，PE 的最大值=94
（3）存在4个这样的点F ，分别是1234(1
,0),(3,0),(47),(47)F F F F -+- 11.如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；
（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．
解：（1）抛物线的对称轴5522a x a -=-= （2）(30)A -， (54)B ， (04)C ，
把点A 坐标代入254y ax ax =-+中，解得16
a =- 215466
y x x ∴=-++
（3）存在符合条件的点P 共有3个．以下分三类情形探索．
设抛物线对称轴与x 轴交于N ，与CB 交于M ．
过点B 作BQ x ⊥轴于Q ，易得4BQ =，8AQ =， 5.5AN =，52
BM =
① 以AB 为腰且顶角为角A 的PAB △有1个：1P AB △．
222228480AB AQ BQ ∴=+=+=
在1Rt ANP △中，222221119980(5.5)2
PN AP AN AB AN =-=-=-= 1519922P ??∴- ? ??
?， ②以AB 为腰且顶角为角B 的PAB △有1个：2P AB △．
在2Rt BMP △中，222222252958042
MP BP BM AB BM =-=-=-= 25829522P ??-∴ ? ???
，
③以AB 为底，顶角为角P 的PAB △有1个，即3P AB △．
画AB 的垂直平分线交抛物线对称轴于3P ，此时平分线必过等腰ABC △的顶点C ．
过点3P 作3P K 垂直y 轴，垂足为K ，显然3
Rt Rt PCK BAQ △∽△． 312
P K BQ CK AQ ∴==． 3 2.5P K =Q 5CK ∴= 于是1OK =
3(2.51)P ∴-，
12.如图，对称轴为直线
72
x =的抛物线经过点A （6，0）和B （0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
①当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？ ②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）由抛物线的对称轴是72x =，可设解析式为27()2
y a x k =-+． 把A 、B 两点坐标代入上式，得
227(6)0,27(0) 4.2
a k a k ?-+=????-+=?? 解之，得225,.36a k ==- 故抛物线解析式为22725()326y x =--，顶点为725(,).26
- （2）∵点(,)E x y 在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合
22725()326
y x =--， ∴y<0，即 －y>0,－y 表示点E 到OA 的距离．
∵OA 是OEAF Y 的对角线，
∴2172264()2522OAE S S OA y y ==???=-=--+V ．
因为抛物线与x 轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量x 的 取值范围是1＜x ＜6．
① 根据题意，当S = 24时，即274()25242x --+=． 化简，得27
1().24
x -= 解之，得123, 4.x x == 故所求的点E 有两个，分别为E 1（3，－4），E 2（4，－4）． 点E 1（3，－4）满足OE = AE ，所以OEAF Y 是菱形；
点E 2（4，－4）不满足OE = AE ，所以OEAF Y 不是菱形．
② 当OA ⊥EF ，且OA = EF 时，OEAF Y 是正方形，此时点E 的 坐标只能是（3，－3）．
而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E ， 使OEAF Y 为正方形．