专题突破练25 直线与圆及圆锥曲线
1.(2020全国Ⅱ,理19)已知椭圆C 1:
x 2a
+
y 2b =1(a>b>0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合,C 1的中心
与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ,B 两点,交C 2于C ,D 两点,且|CD|=4
3|AB|. (1)求C 1的离心率;
(2)设M 是C 1与C 2的公共点.若|MF|=5,求C 1与C 2的标准方程. 2.
已知圆O :x 2+y 2=4,点A (√3,0),以线段AB 为直径的圆内切于圆O ,记点B 的轨迹为Γ. (1)求曲线Γ的方程;
(2)直线AB 交圆O 于C ,D 两点,当B 为CD 的中点时,求直线AB 的方程.
3.(2019全国Ⅰ,理19)已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为3
2的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P.
(1)若|AF|+|BF|=4,求l 的方程; (2)若AP
????? =3PB ????? ,求|AB|.
4.(2020山东威海一模,20)已知椭圆x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P(-1,3
2
)是椭圆上
一点,|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若A为椭圆的右顶点,直线AP与y轴交于点H,过点H的另一条直线与椭圆交于M,N两点,且S△HMA
=6S△PHN,求直线MN的方程.
5.(2020重庆名校联盟高三二诊,19)已知椭圆C:x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0),F1,F2为椭圆的左、右焦点,P(1,√2
2
)
为椭圆上一点,且|PF1|=3√2
2
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线l:x=-2,过点F2的直线交椭圆于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l、直线AB于M,N两点,当∠MAN最小时,求直线AB的方程.
6.(2020天津河北一模,19)已知椭圆C :x 2
a +
y 2b =1(a>b>0)的离心率为1
2
,直线x+y-√6=0与圆x 2+y 2=b 2
相切.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)过点P (4,0)的直线l 与椭圆C 交于不同两点A ,B ,线段AB 的中垂线为l 1,若l 1在y 轴上的截距为4
13,求直线l 的方程.
专题突破练25 直线与圆及圆锥曲线
1.解(1)由已知可设C 2的方程为y 2=4cx ,其中c=√a 2-b
2.
不妨设A ,C 在第一象限,由题设得A ,B 的纵坐标分别为b 2a ,-b 2
a ;C ,D 的纵坐标分别为2c ,-2c ,故|AB|=
2b 2a
,|CD|=4c.
由|CD|=4
3|AB|得4c=8b 2
3a ,即3×c
a =2-2(c a )2
,解得c
a =-2(舍去),c
a =1
2.所以C 1的离心率为1
2. (2)由(1)知a=2c ,b=√3c ,故C 1:x 2
4c
2+
y 23c 2
=1. 设M (x 0,y 0),则
x 024c
2+
y 0
23c 2=1,y 02
=4cx 0,故x 024c
2+
4x 03c
=1.
①
由于C 2的准线为x=-c ,所以|MF|=x 0+c ,而|MF|=5,故x 0=5-c ,代入①得(5-c )24c 2
+
4(5-c )3c
=1,即c 2-2c-3=0,
解得c=-1(舍去),c=3.
所以C 1的标准方程为x 2
36+y 2
27=1,C 2的标准方程为y 2=12x. 2.解