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导数专题(经典23题)

23个函数与导函数类型专题

()

f x

x1x

，若x0

>，且x1

≠，

()

x k

f x

x1x

，求k的取值范围.

解析：⑴将不等式化成()(*)

k>=<模式

由

()

x k

f x

x1x

得：

ln ln

x1x k

x1x x1x

+>+

，化简得：

2x x

①

⑵构建含变量的新函数()

g x

构建函数：

()

2x x

g x

（x0

>，且x1

≠）

其导函数由

'''

u u v uv

v v

求得：'()(ln ln)

()

g x x x x x1

=---

即：'()[()()ln]

()

g x x1x1x

=--+

()

222

2x1x1

x1x1

②

⑶确定()

g x的增减性

先求()

g x的极值点，由'()0

g x0

=得：ln

即：ln

③

由基本不等式ln x x1

≤-代入上式得：

≤-

故：

x10

--≥

即：()()

x110

--≥

由于

≤

，即

-≥

，故：0x10

-≥，即0x1

≥

在0

x x1

≥≥时，由于

有界，而ln x0

>无界

故：

ln 22

x 1x 0x 1

--<+

即：在0x x 1≥≥时，'()g x 0≤，()g x 单调递减；那么，在00x x <<时，()g x 单调递增. 满足③式得0x 恰好是0x 1= ⑷ 在(,)x 1∈+∞由增减性化成不等式

在(,)x 1∈+∞区间，由于()h x 为单调递减函数，

故：()lim ()x 1g x g x →+≤ln lim 2x 12x x x 1→+??

= ?-?? 应用不等式：ln x x 1<-得：

ln ()lim lim lim 22x 1x 1x 12x x 2x x 12x 1x 1x 1x 1→+→+→+-??????<== ? ? ?+??--???? 即：()()g x g 11<=，即：()g x 的最大值是()g 1

代入①式得：()k 1g x <-，即：()k 1g 1≤-，即：k 0≤ ④ ⑸ 在(,)x 01∈由增减性化成不等式

在(,)x 01∈区间，由于()g x 为单调递增函数，

故：()lim ()x 0g x g x →+≥ln lim 2x 02x x x 1→+??= ?-?? 由于极限()lim ln x 0

x x 0→+=，故：()g x 0≥，代入①式得：k 1≤ ⑤

⑹ 总结结论

综合④和⑤式得：k 0≤. 故：k 的取值范围是(,]k 0∈-∞

由①式ln 22x x k 1x 1

-，设函数ln ()2

2x x K x 1x 1

当x 1→时，用洛必达法则得：

ln (ln )'(ln )

lim

()

22x 1

x 1

2x x 2x x 2x 112x x 1

x 1→→→+===--，则()K 10= 用数值解如下：

其中，()K x 的最小值是()K 10=，即()()K x K 1>，所以本题结果是k 0≤.

()ln 2f x x ax =-，a 0>，x 0>，()f x 连续，若存在均属于区间[,]13的,αβ，且1βα-≥，使()()f f αβ=，证明：ln ln ln 322

a 53

-≤≤ 解析：⑴ 求出函数()f x 的导函数

函数：()ln 2f x x ax =- ①

其导函数：'()2112ax f x 2ax x x -=-==

② ⑵ 给出函数()f x 的单调区间

由于x 0>，由②式知：'()f x 的符号由()1的符号决定.

当10>，即：x

时，'()f x 0>，函数()f x 单调递增；

当10<，即：x

>时，'()f x 0<，函数()f x 单调递减；

当10=，即：x

=时，'()f x 0=，函数()f x 达到极大值.

⑶ 由区间的增减性给出不等式

由,αβ均属于区间[,]13，且1βα-≥，得到：[,]12α∈，[,]23β∈ 若()()f f αβ=，则,αβ分属于峰值点x

的两侧

即：

α<

，β>

所以：α所在的区间为单调递增区间，β所在的区间为单调递减区间. 故，依据函数单调性，在单调递增区间有：()()()f 1f f 2α≤≤ ③ 在单调递减区间有：()()()f 2f f 3β≥≥ ④ ⑷ 将数据代入不等式

由①式得：()f 1a =-；()ln f 224a =-；()ln f 339a =- 代入③得：()ln a f 24a α-≤≤-，即：ln a 24a -≤-，即：ln 2

a 3

≤

⑤ 代入④式得：ln ()ln 24a f 39a β-≥≥-，即：ln ln 24a 39a -≥-，即：ln ln 32

a 5

-≥

⑥ ⑸ 总结结论

证毕.

由⑶已得：[,]12α∈，[,]23β∈，且：()ln 2f a ααα=-?，()ln 2f a βββ=-? 若：()()f f αβ=，则：ln ln 22a a ααββ-?=-? 即：()ln ln 22a βαβα-=-，故：ln ln 22

a βα

βα

当：2β=，1α=时，ln 2

a 3

当：3β=，2α=时，ln ln 32

a 5

故：a

()ln ()2f x x ax 2a x =-+-.若函数()y f x =的图像与x 轴交于

,A B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，试证明：01x a

. 解析：⑴ 求出函数()f x 导函数

函数()f x 的定义域由ln x 可得：x 0>. 导函数为：'()()1f x 2ax 2a x =

-+-()()1

12x a x

=+- ① ⑵ 确定函数的单调区间

当

1a 0x ->，即(,)1

x 0a ∈时，'()f x 0>，函数()f x 单调递增；当

1a 0x -<，即(,)1

x a ∈+∞时，'()f x 0<，函数()f x 单调递减；当

1a 0x -=，即1

x a

=时，'()f x 0=，函数()f x 达到极大值()1f a . ()ln ()()21111f a 2a a a a a =-?+-?ln 11

1a a

=+- ② ⑶ 分析图像与x 轴的交点，求出a 区间

由于lim ()x f x 0→+∞

<，lim ()x 0

f x 0→+<

若()f x 与x 轴交于,A B 两点，则其极值点必须()1

f 0a >.

即：ln 1110a a +->，即：ln 11

1a a

>- ③

考虑到基本不等式ln

111a a ≤-及③式得：ln 111

11a a a

-<≤- 即：1111a a -

<-，即：2

>，即：a 1< 结合ln

，即：a 0>得：(,)a 01∈ ④ ⑷ 求出,A B 点以及A 关于极值点的对称点C

,A B 两点分居于极值点两侧，即：A 1x a <

，B 1x a

> 设：A 11x x a =

-，B 21x x a =+，则,12x x 0>，且11

x a <（因x 0>）设：C 11x x a =

于是：()()A B f x f x 0==，即：()11

f x 0a -=

故：()ln()()()()2A 111111

f x x a x 2a x a a a

=---+--

ln()()()2111121112a x a 2x x 2a x a a a a -=---??++--

ln()ln 2

11111ax a 1ax ax 0a

=--+

-+-= ⑤ 将1x 替换成1x -代入()A f x 就得到()C f x ：

()()ln()ln 2

C 111111f x f x 1ax a 1ax ax a a

=+=+-+--- ⑥

⑸ 比较,,A B C 点的函数值，以增减性确定其位置

构造函数：()()()()()1C A 1111

g x f x f x f x f x a a

=-=+--

将⑤⑥式代入上式得：()ln()ln()1111g x 1ax 1ax 2ax =+--- ⑦ 其对1x 的导函数为：

'()111a a g x 2a 1ax 1ax -=--+-221

2a 1a x =--22

1221a x 2a 1a x =?- ⑧ 由于④式(,)a 01∈及11

x a

，所以'()1g x 0>. 即：()1g x 是随1x 的增函数，其最小值是在1x 0=时，即：()()1g x g 0≥ 由⑦式得：()g 00=，故：()()1g x g 00≥=.

当1x 0≠时，()()()1C A g x f x f x 0=->，即：()()()C A B f x f x f x >= 由于C x 和B x 同在单调递减区间，所以由()()C B f x f x >得：C B x x < 即：C 1B 211

x x x x a a

=+<=+，即：12x x <或21x x 0-> ⑨ ⑹ 得出结论

那么，由⑨式得：

()0A B 1x x x 2=

+()12111x x 2a a =-++()21111x x a 2a

=+->

证毕.

知函数()'()()x 121f x f 1e f 0x x 2-=-+

.若()21

f x x ax b 2

≥++，求()a 1b +的最大值.

解析：⑴ 求出函数()f x 的解析式

由于'()f 1和()f 0都是常数，所以设'()f 1A =，()f 0B =，利用待定系数法求出函数()f x 的解析式. 设：()x 121f x Ae Bx x 2-=-+

，则：()A

f 0B e

== 其导函数为：'()x 1f x Ae B x -=-+，则：'()f 1A B 1A =-+= 所以：B 1=，A e =，函数()f x 的解析式为：()x 2

1f x e x x 2

=-+

① ⑵ 化简不等式()2

1f x x ax b 2

≥

++ 即：()x 22

11f x e x x x ax b 22

=-+

≥++，故：()x e a 1x b 0-+-≥ ②

⑶ 构建新函数()g x ，并求其极值点

构建函数()()x g x e a 1x b =-+- ③ 其导函数：'()()x g x e a 1=-+ ④

要使②式得到满足，必须()g x 0≥故当()g x 取得极值时有：'()M g x 0=，由④式得极值点：ln()M x a 1=+ 此时的()g x 由③得：()()()ln()M g x a 1a 1a 1b 0=+-++-≥ ⑤ ⑷ 求()a 1b +的最大值

由⑤式得：()[ln()]b a 11a 1≤+-+，则：()()[ln()]2a 1b a 11a 1+≤+-+ ⑥ 令：y a 1=+，则⑥式右边为：()(ln )2h y y 1y =- （y 0>）

其导函数为：'()(ln )()(ln )21

h y 2y 1y y y 12y y

=-+-=- ⑦

当ln 12y 0->，即：(y 0∈时，'()h y 0>，()h y 单调递增；

当ln 12y 0-<，即：)y ∈+∞时，'()h y 0<，()h y 单调递减；

当ln 12y 0-=，即：y =时，'()h y 0=，()h y 达到极大值.

此时，()h y 的极大值为：(2e

h 12

=-= ⑧ ⑸ 得出结论

将⑧代入⑥式得：()()e a 1b h y 2+≤≤

知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中a 0>.若对任意的

[,)x 0∈+∞，有()2f x kx ≤成立，求实数k 的最小值.

解析：⑴ 利用基本不等式求出a

利用基本不等式x e 1x ≥+或ln y y 1≤-，得：ln()()x a 1x a -+≥-+ 即：ln()()x x a x 1x a 1a -+≥+-+=-，即：()ln()f x x x a 1a =-+≥- 已知()f x 的最小值为0，故1a 0-=，即：a 1=

或者，将[,)x 0∈+∞的端点值代入()f x ，利用最小值为0，求得a 1= ⑵ 用导数法求出a

函数()f x 的导函数为：'()1

f x 1x a

+ ① 当x a 1+<，即x 1a <-时，'()f x 0<，函数()f x 单调递减；当x a 1+>，即x 1a >-时，'()f x 0>，函数()f x 单调递增；当x a 1+=，即x 1a =-时，'()f x 0=，函数()f x 达到极小值. 依题意，()f x 的最小值为0，故当x 1a =-时，()f 1a 0-= 即：()ln()f 1a 1a 1a a 1a 0-=---+=-=，故：a 1= 函数的解析式为：()ln()f x x x 1=-+ ② ⑶ 构建新函数()g x

当[,)x 0∈+∞时，有()2f x kx ≤，即：()ln()2f x x x 1kx =-+≤ 构建函数：()()ln()22g x f x kx x x 1kx =-=-+- ③

⑷ 确定()g x 的单调区间和极值

于是由③式得导函数为：

'()()11

g x 12kx x 2k x 1x 1

-=-++ ④ 当x 0=时，由③式得函数()g x 0=；

则x 0=是极值点，同时x 0=也是区间的端点. 当x 0≠时，即：(,)x 0∈+∞

当

12k x 1>+，即1

x 12k <-时，'()g x 0>，函数()g x 单调递增；当

12k x 1<+，即1

x 12k

>-时，'()g x 0<，函数()g x 单调递减；当

12k x 1=+，即m 1

x x 12k

==-时，'()m g x 0=，函数()g x 达到极大值()m g x . 故：()g x 从x 0=开始单调递增，直到m x x =达到()g x 的极大值，再单调递减，所以()g 0是个极小值. ()m g x 是个极大值，也是最大值. ⑸ 求出最大值点m x

将最值点m x x =代入③式得：（m 1

x x 12k

-） ()ln()()2m 111g x 1k 12k 2k 2k =

----()[()]ln()1111k 12k 2k 2k =---+ (

)()ln()1111k 2k 2k 2=--++()()ln()12k 12k

2k 2k 2

-+=+ ()()

ln()12k 12k 2k 4k

+-=

由()g x 的最大值为0得：()()

()ln()m 12k 12k g x 2k 04k

+-=

即：2k 1=，即：1k 2

，此时m 1x 12k =-，即：m 12k 1x 1

==+，即：m x 0= ⑹ 给出结论

由于m x 0=，也是端点，结合⑷的结论，所以：

()g x 在[,)x 0∈+∞区间单调递减，()()m g x g 0=是个极大值，也是最大值.

由m 1x 102k =

-=得出实数k 的最小值为：1k 2

由③式()()ln()22g x f x kx x x 1kx =-=-+-，要求函数()g x 0≤. 由③式可看出x 0=时，()g x 0= 由()g x 0=得：ln()

x x 1k x

-+=

，令ln()

()2

x x 1K x x

-+=

我们只要求出ln()

()2

x x 1K x x

-+=

在极值点的值就好.

用洛必达法则：ln()

lim ()lim

lim

x 0

11x x 1x 1K x 2x

→+→+→+-

-++== lim lim ()

x 0x 0x

x 12x 2x 12→+→++===+

对应于()g x 0=的1k 2=

，即：实数k 的最小值1

k 2

()x 2f x e ax ex =+-，（a R ∈），当a 在一定范围时，曲线()y f x =上存在唯一的点P ，曲线在P 点的切线与曲线只有一个公共点，就是P 点，求P 点的坐标.

解析：⑴ 确定曲线的切线方程

曲线：()x 2f x e ax ex =+- ① 其导函数：'()x f x e 2ax e =+- ②

设P 点的坐标为：(,())P P x f x ，则切线方程为：

()()'()()P P P y x f x f x x x =+

- ③ ⑵ 构建新函数()g x ，并求导

构建函数()()()g x f x y x =-

则：()()()'()()P P P g x f x f x f x x x =--- ④ 其导函数：'()'()'()P g x f x f x =- ⑤

由②得：'()x f x e 2ax e =+-，'()P x P P f x e 2ax e =+-，代入⑤式得：

'()()()()()P P x x x x P P g x e 2ax e 2ax e e 2a x x =+-+=-+- ⑥ ⑶ 分析a 0≥时函数()g x 的单调性和极值

当a 0≥时：

若P x x >，则P x x e e >，P 2ax 2ax ≥，故：'()g x 0>，()g x 单调递增；若P x x <，则P x x e e <，P 2ax 2ax ≤，故：'()g x 0<，()g x 单调递减；若P x x =，则P x x e e =，P 2ax 2ax =，故：'()g x 0=，()g x 达到极小值. 由④式得：()g x 的极小值()P g x 0=.

此时，()g x 的零点与P 点的取值有关，因此P 点的取值不唯一，所以()g x 的零点就不唯一.故当a 0≥

⑷ 分析a 0<时函数()g x 的切线

当a 0<时：

由⑥式，'()g x 0=的情况分两种：

a> ()P x x P e e 02a x x 0

?-=??-=??即：P x x =，此时与⑵的情形相同，P 点的取值不唯一.

b> ()P x x P e e 2a x x 0-=--≠，即：P x x ≠，'()g x 0=

此时，()()P P x x x P e e 12a x x --=--，即：()P P x x x P e 12ae x x --=-- ⑦

曲线P x x y e -=恒过点(,)P x 1，直线()P x P y 12ae x x -=--也恒过点(,)P x 1，当曲线P x x y e -=过点(,)P x 1的切线斜率等于P x 2ae --时，其这个切线就是曲线的切线.

故：曲线P x x y e -=过点(,)P x 1的切线斜率为：()'

P P

x x x x k e 1-===

于是：P x 2ae 1--=，即：P x e 2a =-，即：ln()P x 2a =- ⑸ 得到切点P 的坐标

当a 0<时，ln()P x 2a =-就存在.

由于P x x y e -=在其定义域内是凸函数，所以与其切线的交点是唯一的. 将ln()P x 2a =-代入①式得：

()()ln ()ln()P x 2

2P P P f x e ax ex 2a a 2a e 2a =+-=-+---

得到ln()P x 2a =-和()P f x ，这就是P 点的唯一坐标. ⑹ 结论

切点P 的坐标：ln()P x 2a =-，()()ln ()ln()2P f x 2a a 2a e 2a =-+---

()ax f x e x =-，其中a 0≠. 在函数()y f x =的图象上取定两点

(,())11A x f x ，(,())22B x f x ，且12x x <，而直线AB 的斜率为k .存在(,)012x x x ∈，使

'()0f x k ≥成立，求0x 的取值范围. 解析：⑴ AB 的斜率与()f x 的导函数

由A 、B 两点的坐标得到直线AB 的斜率k ：

()()()()

21ax ax 21212121f x f x e x e x k x x x x ----==

-- ()()()2121ax ax ax ax 212121e e x x e e 1x x x x ----==--- ①

函数()ax f x e x =-的导函数为：'()ax f x ae 1=- ② ⑵ 构建新函数()g x ，并求导

判断'()0f x k ≥是否成立，即判断'()0f x k -是否不小于0.

所以，构建函数：()'()g x f x k =-，若()g x 0≥，则'()0f x k ≥成立. 则：()

()21ax ax ax

e e g x ae

x x -=-

- ③

导函数：'()2ax g x a e = ④ ⑶ 求()g x 在区间端点的函数值

由③式得：

()()211

ax ax ax 121e e g x ae

x x -=--()[()]121ax a x x 2121

e a x x e 1x x -=--+-

()[()]1

21ax a x x 2121

e e a x x 1x x -=----- ⑤

()()212

ax ax ax 221e e g x ae

x x -=--()[()]212ax a x x 2121

e a x x 1e x x -=--+-

()[()]2

12ax a x x 1221

e e a x x 1x x -=---- ⑥ ⑷ 确定()g x 的零点存在

利用基本不等式：x e 1x ≥+，当且仅当x 0=时取等号. 即：x e x 10--≥ ⑦

将⑦式应用于⑤式得：()1g x 0< （21x x 0-≠）将⑦式应用于⑥式得：()2g x 0> （21x x 0-≠）

函数()g x 在(,)12x x 区间是连续的，其导函数也存在. 由④式得：'()2ax g x a

e 0=>，即函数()g x 为单调递增函数.

由()1g x 0<和()2g x 0>以及函数零点存在定理得，函数()g x 必过零点，且是唯一零点.

⑸ 求()g x 在(,)12x x 区间的零点位置

设函数()g x 在(,)12x x 区间的零点位置在3x ，则有()3g x 0= 由③式得：()()213

ax ax ax 321

e e g x ae

0x x -=-=- （a 0≠）

即：ln ()21

ax ax 3211e e x a a x x -=- ⑦ 且：(,)312x x x ∈

⑹ 求()g x 在(,)12x x 区间的0x

由④式'()2ax g x a e 0=>得：函数()g x 为单调递增函数，故：在(,)013x x x ∈区间，()()03g x g x 0<=；在(,)032x x x ∈区间，()()03g x g x 0>=；在03x x =时，()()03g x g x 0==.

故，()0g x 0≥的区间为[,)032x x x ∈，即：[ln ,)()21

ax ax 02211e e x x a a x x -∈-

()ln()f x x

11=++.证明：当0x 2<<时，()9x

f x x 6

证明：⑴ 构建新函数()g x ，并求导

构建函数()ln()9x

g x x

11x 6

=++-

+ ① 导函数'()()

2154

g x x 1x 6=

+++ ② 即：'()()

254

g x x 6=

+ ③

函数()g x 满足()g 00=

，'()g 00=，

现在只要证明，当0x 2

<<时，()g x 0<，则()9x

f x x 6

<+. ⑵ 化掉②式中的根号项.

要保持不等号的方向不变，只有(*)

≤即：(*)

或

(*). （(*)代表某个不含根号的式子）

由于有(*)和

(*)的两种选项，所以采用化掉.

由均值不等式：22211x 2?≤+=+

得：x

≤

+ 代入③式得：'()()()()()

22x 2154x 6542g x 2x 14x 1x 6x 6+

++≤-=-++++ 即：()()'()()()

x 6454x 1g x 4x 1x 6+-??+≤

++()()()()

332

x 66x 14x 1x 6+-?+=

++ ④

⑶ 求函数()g x 的极值点

当()g x 取极值时，'()g x 0=.

故由④式得：()()33x 66x 10+-?+=

，即：x 6+= ⑤

令t =

（1t <<

则⑤式为：3t 56t +=，即：3t 6t 50-+= ⑥ 分解因式法：

()()33t 6t 5t 16t 1-+=---()()2t 1t t 16=-++-

()()2t 1t t 50=-+-=

故有：1t 1=，及()2t t 50+-=

，即：,23t =

由于1t <<

2t =

所以有：1t 1=

，2t =

，即：1x 0=

，3

21x 12??=- ? ???

由于))(=3

311122288??-= ? ??

)(11136

444

-?>

所以2x 3>

⑷ 由单调性证明不等式

由①式()ln()9x

g x x 11x 6

=++-

+得： ()g 00=

，()ln ln 93

g 34142036

?=+-

=-<+ 即：()()g 0g 3>，由于在(,)12x x x ∈区间，()g x 是单调的，故：()()12g x g x > 于是，函数在1x x 0==时达到极大值，然后递减，直到2x x 2=>时达到极小值.

就是说在0x 2<<区间，'()g x 0<，函数()g x 单调递减. 即：()()g x g 00<=，故：()9x

f x x 6

+. 证毕. 本题要点：构建函数()g x ，由两个相邻极值点之间的区间(,)12x x 是单调的，以及两个相邻极值点之间的函数值的大小关系()()g 0g 3>，得出：函数()g x 在这个区间

(,)12x x 为单调递减，由此来证明本题.

a 0>，n 为正整数，抛物线n

a y

x 2

=-+与x 轴正半轴相交于点A .

设抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距为()f n ，求证：当a ≥对所有n 都有：

()()3

f n 1n f n 1n 1

-≥++. 证明：⑴ 先求

A 点的坐标(,)A x 0

将A x x =，A y y 0==代入抛物线n

a y x 2

=-+得：A x =

⑵ 求过A 点的切线方程

抛物线的导数为：'y 2x =- ①

故A 点的切线方程为：'()()A A A y y y x x x =+-

即：()2

A A A A y 02x x x 2x x 2x =+--=-+ ②

⑶ 求切线在y 轴上的截距为()f n

由②式，当x 0=时，()y f n =.

故：()2

2n A f n 2x 2a === ③ ⑷ 分析待证不等式

()()33f n 1n f n 1n 1-≥++，即：()()33f n 12n 11f n 1n 1+-+-≥++，即：()32111f n 1n 1

≥-++，即：()3

f n 1n 1≤++，即：()3f n 12n 2+≥+，即：()3f n 2n 1≥+

将③式代入上式得：n 3a 2n 1≥+

，即：a ≥④

⑸ 数值分析

由④式

当n 1=时，a 3≥；

当

n 2=时，2a 17≥

，即a

≥

当n 3=时，3a 55≥，即a ≥（2553025=，3174913=）因为a 1>，对④式两边求对数得：ln ln()31

2n 1n

≥

+ ⑤ ⑹ 构建新函数()g n 构建函数：()ln()31

g n 2n 1n

+，求()g n 的最大值. 求导得：ln()'()2

332

6n n 2n 12n 1g n n

?-++=

当'()g n 0=时，即：

ln()3336n 2n 12n 1

=++，

即：ln()33332n 12n 1

=++ ⑥

令3t 2n 1=+，则t 1>. 代入⑥式得：ln 3

3t t

= ⑦ ⑺ 求3t 2n 1=+的最大值

虽然解方程⑦比较困难，但得到其取值范围还是可以的. 由⑦式得：ln 3

t 33t

<，即：33t e 327<<= 即：3t 2n 127=+<，即：3n 13<

代入④式

a ≥ a ≥=⑧ ⑻ 证明结论

满足⑧式，就满足④式，由⑷得证.

证毕.

ln ()x

x 1f x e +=

，'()f x 为()f x 的导数.设()()'()2g x x x f x =+，

证明：对任意x 0>，()2g x 1e -<+ 解析：⑴ 求函数()g x 的解析式

函数ln ()x

x 1f x e

的导函数为：

'()(ln )(ln )x x

2x x 1111f x e e x 1x 1x x e e

-+=--[] ① 函数()()'()2g x x x f x =+得：

()()(ln )(ln )x x x 1x 1x 1

g x x 11x x x x e e

++=

--=-- ② ⑵ 构造新函数()h x

由基本不等式x e 1x ≥+（仅当x 0=时取等号）得:x

1x 1e

+≤

代入②式得：()ln g x 1x x x <-- （x 0>）令：()ln h x 1x x x =-- ③ 则上式为：()()g x h x < ④ ⑶ 分析()h x 的单调性，并求其极值

由③式得()h x 导函数为：'()(ln )h x 2x =-+ ⑤ 当2x e ->，即ln 2x 0+>时，'()h x 0<，()h x 单调递减；当2x e -<，即ln 2x 0+<时，'()h x 0>，()h x 单调递增；当2x e -=，即ln 2x 0+=时，'()h x 0=，()h x 达到最大值.

()h x 的最大值是在2m x x e -==，由③式得：

()(ln )222m h x 1e e e ---=--()2221e 2e 1e ---=---=+ ⑥ ⑷ 证明结论

故由④式和⑥式：()()()2m g x h x h x 1e -<≤=+

证毕.

,a b 是实数，函数()3f x x ax =+，()2g x x bx =+，'()f x 和'()g x 是()f x 、()g x 的导函数. 设a 0<，且a b ≠，若在以,a b 为端点的开区间I 上

'()'()f x g x 0≥恒成立，求a b -的最大值M .

解析：⑴ 构建新函数()h x

函数()f x 的导数为：'()2f x 3x a =+ ①

导数经典专题整理版

导数在研究函数中的应用知识点一、导数的几何意义函数()y f x =在0x x =处导数()0f x '是曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的，即_______________;相应地，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线方程是例1.(1)曲线x e x y +=sin 在点)1,0(处的切线方程为（） A.033=+-y x B.022=+-y x C.012=+-y x D.013=+-y x （2）若曲线x x y ln =上点P 处的切线平行于直线012=+-y x ，则点P 的坐标是（） A.),(e e B.)2ln 2,2( C.)0,1( D.),0(e 【变式】（1）曲线21x y xe x =++在点)1,0(处的切线方程为（） A.13+=x y B.12+=x y C.13-=x y D.12-=x y （2）若曲线x ax y ln 2-=在点),1(a 处的切线平行于x 轴，则a 的值为（） A.1 B.2 C.21 D.2 1- 知识点二、导数与函数的单调性（1）如果函数)(x f y =在定义域内的某个区间(,)a b 内，使得'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内为且该区间为函数)(x f 的单调_______区间； (2)如果函数)(x f y =在定义域内的某个区间(,)a b 内，使得'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内为，且该区间为函数)(x f 的单调_______区间.

例1.（1）函数x e x x f )3()(2-=的单调递增区间为（） A.)0,(-∞ B.),0(+∞ C.)1,3(- D.),1()3,(+∞--∞和（2）函数x x y ln 2 12-=的单调递减区间为（） A.(]1,1- B.(]1,0 C.[)+∞,1 D.),0(+∞ 例2.求下列函数的单调区间，并画出函数)(x f y =的大致图像. （1）3)(x x f = （2）x x x f 3)(3+= (3)1331)(23+--=x x x x f （4）x x x x f 33 1)(23++-= 知识点三、导数与函数的极值函数)(x f y =在定义域内的某个区间(,)a b 内,若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数)(x f '异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是（熟练掌握求函数极值的步骤以及一些注意点）例1.（1）求函数133 1)(23+--=x x x x f 的极值（2）求函数x x x f ln 2)(2-=的极值

高考数学导数及其应用的典型例题

第二部分导数、微分及其导数的应用知识汇总一、求导数方法 1.利用定义求导数 2.导数的四则运算法则 3.复合函数的求导法则若)(u f y =与)(x u φ=均可导，则[])(x f y φ=也可导，且dx du du dy dx dy ? = 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数，且)(y φ单调、可导，则 )(1)(y x f φ'= '，即dy dx dx dy 1 = 5.隐函数求导法求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx dy 。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导（注意其中变量y 是x 的函数），然后解出 dx dy 即可。 6.对数求导法对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题： (1)幂指数函数y=)()(x v x u ；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如 y= 3 4 )3(52)2)(1(---++x x x x x ,3 ) 2)(53() 32)(1(--+-=x x x x y ,5 5 2 2 5 +-=x x y 等等。 7.由参数方程所确定函数的求导法则设由参数方程 ? ? ?==)() (t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x)，其中)(),(t t ?φ

可导，且)(t φ'≠0，则y=f(x)可导，且 dt dx dt dy t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法二、求导数公式 1.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αα αααα)1()2()1()() ( (2) x n x e e =) () ( (3) ()()ln x n x n a a a = (4) () (sin ) sin 2n x x n π? ?=+? ??? (5) ??? ? ??+=2cos )(cos )(πn x x n (6) () 1 (1)!ln()(1) ()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1 )() (!)1()1(++-=+n n n n b ax a n b ax

导数经典练习题及答案

1．设函数f(x)在0x 处可导，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 等于 A ．)('0x f B ．)('0x f - C ．0'()f x - D ．0'()f x -- 2．若13)()2(lim 000 =?-?+→?x x f x x f x ，则)('0x f 等于 A ．32 B ．2 3 C ．3 D ．2 3．若函数f(x)的导数为f ′(x)=-sinx ，则函数图像在点（4，f （4））处的切线的倾斜角为 A ．90° B ．0° C ．锐角 D ．钝角 4．对任意x ，有34)('x x f =，f(1)=-1，则此函数为 A ．4)(x x f = B ．2)(4-=x x f C ．1)(4+=x x f D ．2)(4+=x x f 5．设f(x)在0x 处可导，下列式子中与)('0x f 相等的是（1）x x x f x f x ??--→?2)2()(lim 000 ；（2）x x x f x x f x ??--?+→?) ()(lim 000；（3）x x x f x x f x ??+-?+→?)()2(lim 000 （4）x x x f x x f x ??--?+→?)2()(lim 000. A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（2）（3） D ．（1）（2）（3）（4） 6．若函数f(x)在点0x 处的导数存在，则它所对应的曲线在点))(,(00x f x 处的切线程是___. 7．已知曲线x x y 1+ =，则==1|'x y _____________. 8．设3)('0-=x f ，则=---→h h x f h x f h ) 3()(lim 000 _____________. 9．在抛物线2x y =上依次取两点，它们的横坐标分别为11=x ，32=x ，若抛物

关于导数的29个典型习题

关于导数的29个典型习题习题1设函数在0=x 的某邻域内1 C 类(有一阶连续导数)，且.0)0(,0)0(≠'≠f f 若)0()2()(f h f b h f a -+在 0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定b a ,的值。解由题设知 0)0()1()]0()2()([lim 0 =-+=-+→f b a f h f b h f a h . .01,0)0(=-+∴≠b a f 由洛比达法则知 ).0()2(1 ) 2(2)(lim )0()2()(lim 000f b a h f b h f a h f h bf h af h h '+='+'=-+=→→洛,0)0(≠'f 故.02=+b a 联立可解出.1,2-==b a 习题2 设,0,00,)()(?????=≠-=-x x x e x g x f x 其中)(x g 有二阶连续导数，且1)0(,1)0(-='=g g .(1) 求);(x f '(2) 讨论 )(x f '在),(+∞-∞上的连续性. 解 (1) 当0≠x 时，用公式有 ,)1()()()(])([)(2 2x e x x g x g x x e x g e x g x x f x x x ---++-'=+-+'=' 当0=x 时，用定义求导数，有 .21)0()(lim )0(2 0-''=-='-→g x e x g f x x 二次洛 ???? ?=-''≠++-'='∴-.0,2 1)0(0,)1()()()(2x g x x e x x g x g x x f x (2) 因在0=x 处有 ).0(2 1)0(2)(lim 2)1()()()(lim )(lim 000f g e x g x e x e x g x g x x g x f x x x x x x '=-''=-''=+-+'-''+'='-→--→→洛而)(x f '在0≠x 处连续，故).,()(+∞-∞∈'C x f 习题3 证明：若022=++++c y b x a y x （圆），其中c b a ,,为定数),04(22>-+c b a 则 =+x d y d dx dy 222 3 2])(1[定数。证求导，,022='++'+y b a y y x 即.22b y a x y ++-=' 再导一次，,02222 =''+'+''+y b y y y 即 .2)1(22b y y y +'--='' )(.42 1...1)2(21...)1(22 22 3 2定数c b a y b y y y -+-=='++-=='''+∴

导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案

导数及其应用【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。【知识梳理】一、导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。说明：

（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。（2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤：（1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）；（2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。二、导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a ' =; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间：一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，

导数经典题

1．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如:若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线px y 22=p (＞)0，弦AB 过焦点，△ABQ 为其阿基米德三角形，则△ABQ 的面积的最小值为 A ．22 p B ．2p C ．22p D ．24p 【答案】B 2．已知 x x x f -=3 )(，如果过点),2(m 可作曲线)(x f y =的三条切线，则m 的取值范围是 A. 6在点(,())a f a 处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为54，则a =( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．18 【答案】B 试题分析：因为，2()(0)f x x x =>，所以，'()2(0)f x x x =>曲线2()(0)f x x x =>在点(,())a f a 处的切线斜率为2a (0)a >，2()f a a =，所以，切线方程为220ax y a --=，其纵、横截距分别为2,2 a a -，从而215422 a a ??=，a =6，选B. 考点：导数的几何意义，直线方程，三角形面积公式. 5．已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若()f x 满足：(1)[()()]0'-->x f x f x ， 22(2)()--=x f x f x e ，则下列判断一定正确的是（） A ．(1)(0)f ef C ．3(3)(0)>f e f D ．4 (4)(0)x 时，()()()[]()()()()0001>-'?>-'?>-'---x f e x f e x f x f x f x f x x x ，令 ()()()()()0>-'='?=---x f e x f e x F x f e x F x x x ，所以()x F 在区间[)+∞∈,1x 上单调递增，所以()()23F F >，即()()2323f e f e -->；又22(2)()--=x f x f x e ，则()()2 20-=e f f ，于是()()033f f e >-，即3(3)(0)>f e f .

高二数学导数及其应用练习题及答案

（数学选修1-1）第一章导数及其应用 [提高训练C 组]及答案一、选择题 1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（） 3．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 4．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（） A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题 1．若函数()()2 f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________；

2．函数x x y sin 2+=的单调增区间为。 3．设函数())(0)f x ??π=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则?=__________ 4．设3 2 1()252 f x x x x =- -+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围为。 5．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ?? ? ?+?? 的前n 项和的公式是三、解答题 1．求函数3(1cos 2)y x =+的导数。 2．求函数y = 3．已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2 3 x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。 4．已知23()log x ax b f x x ++=,(0,)x ∈+∞，是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[)1,+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由. （数学选修1-1）第一章导数及其应用 [提高训练C 组] 一、选择题 1．A ' ' ()sin ,()sin f x x f αα==

导数及其应用经典题型总结

《导数及其应用》经典题型总结一、知识网络结构题型一求函数的导数及导数的几何意义考点一导数的概念，物理意义的应用例 1．(1)设函数()f x 在 2x =处可导，且(2)f '=，求 0(2)(2) lim 2h f h f h h →+--； (2)已知()(1)(2) (2008)f x x x x x =+++，求(0)f '. 考点二导数的几何意义的应用例2: 已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a 、b 、c 的值例3：已知曲线y=.3 43 13+x (1)求曲线在（2，4）处的切线方程;(2)求曲线过点（2，4）的切线方程. 题型二函数单调性的应用考点一利用导函数的信息判断f(x)的大致形状例1 如果函数y ＝f(x)的图象如图，那么导函数y ＝f(x)的图象可能是( ) 考点二求函数的单调区间及逆向应用例1 求函数522 4 +-=x x y 的单调区间.（不含参函数求单调区间）例2 已知函数f (x )＝1 2x 2＋a ln x (a ∈R ，a ≠0)，求f (x )的单调区间．（含参函数求单调区间）练习：求函数x a x x f + =)(的单调区间。例3 若函数f(x)＝x 3 －ax 2 ＋1在(0,2)内单调递减，求实数a 的取值范围．（单调性的逆向应用）练习1：已知函数0],1,0(,2)(3 >∈-=a x x ax x f ，若)(x f 在]1,0(上是增函数，求a 的取值范围。 2. 设a>0,函数ax x x f -=3 )(在（1，+∞）上是单调递增函数，求实数a 的取值范围。导数导数的概念导数的运算导数的应用导数的几何意义、物理意义函数的单调性函数的极值函数的最值常见函数的导数导数的运算法则

导数练习题(含答案).

3 B 10 3 C 16 3 D 13 = 2 导数概念及其几何意义、导数的运算一、选择题： 1 已知 f ( x ) = ax 3 + 3x 2 + 2 ，若 f '(-1) = 4 ，则 a 的值等于 A 19 3 2 已知直线 y = kx + 1 与曲线 y = x 3 + ax + b 切于点（1，3），则 b 的值为 A 3 B -3 C 5 D -5 3 函数 y （x + 2a ）(x-a ) 的导数为 A 2( x 2 - a 2 ) B 3(x 2 + a 2 ) C 3(x 2 - a 2 ) D 2( x 2 + a 2 ) 1 4 4 曲线 y = x 3 + x 在点 (1, ) 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 3 3 A 1 2 1 2 B C D 9 9 3 3 5 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的导数为 f '( x ), f '(0) > 0 ，对于任意实数 x ，有 f ( x ) ≥ 0 ，则最小值为 f (1) f '(0) 的 A 3 B 5 2 C 2 D 3 2 6 已知函数 f ( x ) 在 x = 1 处的导数为 3，则 f ( x ) 的解析式可能为 A C f ( x ) = ( x -1)2 + 3(x - 1) f ( x ) = 2( x - 1)2 B f ( x ) = 2( x - 1) D f ( x ) = x - 1 7 下列求导数运算正确的是 A 1 1 ( x + )' = 1 + x x 2 B (log x )' = 2 1 x ln 2 C (3x )' = 3x ? log e D ( x 2 cos x )' = -2 x sin x 3 8 曲线 y = A π 6 1 3 x 3 - x 2 + 5 在 x = 1 处的切线的倾斜角为 3π π π B C D 4 4 3 9 曲线 y = x 3 - 3x 2 + 1 在点 (1,-1) 处的切线方程为 A y = 3x - 4 B y = -3x + 2 C y = -4 x + 3 D y = 4 x - 5 10 设函数 y = x sin x + cos x 的图像上的点 ( x , y ) 处的切线斜率为 k ，若 k = g ( x ) ，则函数 k = g ( x ) 的图

导数复习经典例题分类(含答案)

导数解答题题型分类之拓展篇（一）编制:王平审阅：朱成 2014-05-31 题型一：最常见的关于函数的单调区间；极值；最值；不等式恒成立；经验1：此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令0)('=x f 得到几个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知；经验2：不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）；题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值（请同学们参考例5）；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值；题型特征（)()(x g x f >恒成立0)()()(>-=?x g x f x h 恒成立）；参考例4；例1.已知函数321()23 f x x bx x a =-++，2x =是)(x f 的一个极值点．（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若当[1, 3]x ∈时，22()3 f x a ->恒成立，求a 的取值范围．例2.设2 2(),1 x f x x =+()52(0)g x ax a a =+->。（1）求()f x 在[0,1]x ∈上的值域；（2）若对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈,使得01()()g x f x =成立,求a 的取值范围。例3.已知函数32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 的切线斜率为3-， 326()(1)3(0)2 t g x x x t x t -=+-++> （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域；（Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。例4.已知定义在R 上的函数32()2f x ax ax b =-+）（0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围. 例5.已知函数23)(a x x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为5102，函数33)()(22 +-=a bx x f x g ．（1）若函数)(x g 在1=x 处有极值，求)(x g 的解析式；（2）若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数，且)(42x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立，求实数 m 的取值范围．题型二：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与x 轴即方程根的个数问题；经验1：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种：第一种：转化为恒成立问题即0)(0)(''≤≥x f x f 或在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（看是否在0的同侧），如果是同侧则不必分类讨论；若在0的两侧，则必须分类讨论，要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变！有时分离变量解不出来，则必须用另外的方法；第二种：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；参考08年高考题；第三种方法：利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置；可参考第二次市统考试卷；特别说明：做题时一定要看清楚“在（a,b ）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b ）”，要

精编导数及其应用高考题精选含答案

导数及其应用高考题精选 1.（2010·海南高考·理科T3）曲线y x 在点1,1 处的切线方程为（） x 2 （A）y2x1（B）y2x1（C）y2x 3（D）y 2x2 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选A.因为y 2 2，所以，在点 1,1 处的切线斜率 2) (x 2 22 ，所以，切线方程为 y1 2(x 1) ，即 y2x1 ，故选A. ky x1 (12) 2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为y 1x3 81x 234，则使该生产厂 3 家获得最大年利润的年产量为（） (A)13万件(B)11 万件 (C)9万件(D)7万件【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值. 【规范解答】选C，y' x2 81,令y0得x 9或x 9（舍去），当x 9 时y' 0；

当x9时y'0，故当x 9时函数有极大值，也是最大值，故选C. 3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=x 2,y= x 3围成的封闭图形面积为（）（A）1 (B) 1 (C) 1 (D) 7 12 4 3 12 【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的

面积,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【思路点拨】先求出曲线y=x2,y=x3的交点坐标，再利用定积分求面积. 【规范解答】选A,由题意得:曲线y=x2,y=x3的交点坐标为(0,0) ，(1,1)，故所求封闭图形的面积为1（x2-x3)dx= 1 1 1 0 1- 1= 故选A. 3 4 12 4 4.（2010·辽宁高考理科·Ｔ10）已知点P在曲线y= x 上，为曲线在点 e 1 P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（） (A)[0, )(B)[ , )( ,3 ](D)[ 3 ,) 4 4 2 2 4 4 【命题立意】本题考查了导数的几何意义，考查了基本等式，函数的值域，直线的倾斜角与斜率。【思路点拨】先求导数的值域，即tan的范围，再根据正切函数的性质求的范围。【规范解答】选 D. 5.（2010·湖南高考理科·Ｔ4） 4 1 dx等于（）2x A、2ln2 B、2ln2 C、ln2 D、ln2 【命题立意】考查积分的概念和基本运算. 【思路点拨】记住1 的原函数. x 1 4 【规范解答】选D. dx=(lnx+c)|42=(ln4+c)-(ln2+c)=ln2. 2 x 【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数.

导数测试题(含答案)

导数单元测试题班级姓名一、选择题 1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( ) A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44 2．函数f(x)＝2x2－1在区间(1,1＋Δx)上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A．4 B．4＋2Δx C．4＋2(Δx)2 D．4x 3．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( ) A．不存在B．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直D．与x轴相交但不垂直 4．曲线y＝－1 x 在点(1，－1)处的切线方程为( ) A．y＝x－2 B．y＝x C．y＝x＋2 D．y＝－x－2 5．下列点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为π 4 的是( ) A．(0,0) B．(2,4) C．(1 4 ， 1 16 ) D．( 1 2 ， 1 4 ) 6．已知函数f(x)＝1 x ，则f′(－3)＝( ) A．4 B.1 9 C．－ 1 4 D．－ 1 9 7．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( ) A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) 8．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取极值”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有( ) A．1个B．2个 C．3个D．4个 10．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( ) A．f(2)，f(3) B．f(3)，f(5) C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3) 11．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( ) A．－10 B．－71 C．－15 D．－22 12．一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒运动的距离为s＝ 1 4 t4－ 5 3 t3＋2t2，那么速度为零的时刻是( ) A．1秒末 B．0秒 C．4秒末 D．0,1,4秒末二、填空题 13．设函数y＝f(x)＝ax2＋2x，若f′(1)＝4，则a＝________. 14．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则 b a ＝________. 15．函数y＝x e x的最小值为________． 16．有一长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2. 三、解答题 17．求下列函数的导数：(1)y＝3x2＋x cos x； (2)y＝ x 1＋x ； (3)y＝lg x－e x. 18．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10，求： (1)它们的交点； (2)抛物线在交点处的切线方程． 19．已知函数f(x)＝ 1 3 x3－4x＋4.(1)求函数的极值； (2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．

高中数学导数经典100题

题401：省峨山彝族自治县第一中学2018届高三2月份月考理科已知函数()ln f x ax x =+，其中a 为常数，e 为自然对数的底数．（1）若()f x 在区间(0,]e 上的最大值为3-，求a 的值；（2）当1a =-时，判断方程ln 1|()|2x f x x = +是否有实根？若无实根请说明理由，若有实根请给出根的个数．题402：2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷-（理六）已知()ln()f x x m mx =+- （1）求()f x 的单调区间；（2）设1m >，12,x x 为函数()f x 的两个零点，求证：120x x +< 题403：省实验中学2018届高三上学期第六次月考数学（文）已知函数2()ln (0)f x x a x a =-> （1）讨论函数()f x 在(,)a +∞上的单调性；（2）证明：322ln x x x x -≥且322ln 16200x x x x --+> 题404：西北师大附中2017届高三校第二次诊断考试试题数学(理科) 已知函数21()ln (1)..2 f x a x x a x a R =+-+∈ (1)求函数()f x 的单调区间; (2)若()0f x ≥对定义域的任意x 恒成立,数a 的取值围; (3)证明:对于任意正整数,,m n 不等式 111...ln(1)ln(2)ln()() n m m m n m m n +++>++++恒成立.

题405：一中2017-2018学年度高三年级第五次月考数学（理）试已知函数3()ln(1)ln(1)(3)()f x x x k x x k R =++---∈ （1）当3k =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程；（2）若()0f x >对(0,1)x ∈恒成立，求k 的取值围. 题406：第一中学2018届高三上学期期末考试数学（理）已知函数()ln 1,a f x x a R x =+-∈ （1）若函数()f x 的最小值为0，求a 的值；（2）证明：(ln 1)sin 0x e x x +-> 题407：2017—2018学年度衡中七调理科数学已知函数1()x f x e a -=+，函数()ln ,g x ax x a R =+∈ （1）求函数()y g x =的单调区间；（2）若不等式()()1f x g x ≥+在区间[1,)+∞恒成立，数a 的取值围（3）若(1,)x ∈+∞，求证不等式12ln 1x e x x -->-+