圆的方程及求法
【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号）
1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程． 2．初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 主干知识归纳
1．圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 2．圆的方程：
方法规律总结
1．待定系数法求圆的方程
(1) 若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；
(2) 若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值． 2．几何法求圆的方程：
利用圆的有关几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”、“半径， 弦心距，弦长的一半构成
直角三角形”等．
3．求与圆有关的轨迹问题的四种方法
【指点迷津】
【类型一】确定圆的方程
【例1】：求经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上的圆的方程 【解析】： 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，
由题意列出方程组()()??
???=++=-+-=+0
1321122
22
22b a r b a r b a ，解之得?????=-==534
r b a ,
∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25. 答案：(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.
【例2】：已知圆心为C 的圆经过点A (0，－6)，B (1，－5)，且圆心在直线l ：x －y ＋1＝0上，求圆的标准方程．
【解析】：法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则圆心坐标为???
?－D 2，－E
2.
由题意可得??
?
??=--=+-+-+=+--0
205)5(10
6)6(222E D F E D F E ,消去F 得??? D ＋E －10＝0D －E －2＝0，解得???
D ＝6
E ＝4，代入求得
F ＝－12，
所以圆的方程为x 2＋y 2＋6x ＋4y －12＝0，标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25. 法二：因为A (0，－6)，B (1，－5)，所以线段AB 的中点D 的坐标为????12，－11
2，
直线AB 的斜率k AB ＝
1)
6(5----＝1，
因此线段AB 的垂直平分线l 的方程是y ＋11
2＝－???
?x －12，即x ＋y ＋5＝0.
圆心C 的坐标是方程组??? x ＋y ＋5＝0x －y ＋1＝0的解，解得???
x ＝－3
y ＝－2
，所以圆心C 的坐标是(－3，－2)．
圆的半径长r ＝|AC |＝2
2)26()30(+-++＝5，
所以，圆心为C 的圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25. 答案：(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25.
【类型二】与圆有关的轨迹问题
【例1】：已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．
【解析】：(1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.
(2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON (图略)，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.
故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. 答案：(1) (x －1)2＋y 2＝1. (2) x 2＋y 2－x －y －1＝0.
【例2】：已知直角三角形ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)，求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 中点M 的轨迹方程．
【解析】：(1)设顶点C (x ，y )，因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3且x ≠－1. 又k AC ＝
y x ＋1，k BC ＝y
x －3
，且k AC ·k BC ＝－1， 所以y x ＋1·y
x －3
＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.
因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．
(2)设点M (x ，y )，点C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋3
2
(x ≠3且x ≠1)，y ＝y 0＋02
，于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y .
由(1)知，点C 在圆(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)上运动，将x 0，y 0代入该方程得(2x －4)2＋(2y )2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1.
因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(x ≠3且x ≠1)．
答案：(1) x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．(2) (x －2)2＋y 2＝1(x ≠3且x ≠1)．
例3．(2010·山东烟台调研)若圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1关于直线y ＝x －1对称，过点C (－a ，a )的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为( )
A ．y 2－4x ＋4y ＋8＝0
B ．y 2＋2x －2y ＋2＝0
C ．y 2＋4x －4y ＋8＝0
D ．y 2－2x －y －1＝0
【解析】：由圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1关于直线y ＝x －1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y ＝x －1上，故可得a ＝2，即点C (－2,2)，所以过点C (－2,2)且与y 轴相切的圆P 的圆心的轨迹方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝x 2，整理即得y 2＋4x －4y ＋8＝0. 答案：C.
【同步训练】
【一级目标】基础巩固组
一、选择题
1. 已知两点A (9，4)和B (3，6)，则以AB 为直径的圆的方程为( )
A ．(x －6)2＋(y －5)2＝10
B ．(x ＋6)2＋(y ＋5)2＝10
C ．(x －5)2＋(y －6)2＝10
D ．(x ＋5)2＋(y ＋6)2＝10
【解析】：线段AB 的中点坐标(6，5)为圆心坐标，半径=2
1|AB|=10
答案：A.
2. (2014·四川成都外国语学校)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )
A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1
B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1
C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1
D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1
【解析】：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(－1,1)，它关于直线x －y －1＝0对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. 答案：B.
3. 若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )
A ．(－∞，－2)
B ．(－∞，－1)
C ．(1，＋∞)
D ．(2，＋∞)
【解析】：曲线C 的方程可化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，则该方程表示圆心为(－a,2a )，半径等于2的圆．因为圆上的点均在第二象限，所以a ＞2. 答案：D.
4. 方程x 2
＋y 2
＋ax ＋2ay ＋2a 2
＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( )
A ．a ＜－2或a ＞3
2
B ．－3
2 ＜a ＜0
C ．－2＜a ＜0
D ．－2＜a ＜3
2
【解析】：方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2
＋a －1＝0
转化为(x +2a )2
＋(y ＋a )2
＝－43a 2
－a ＋1，所以若方程表示圆，则有－4
3a 2
－a ＋1＞0，
∴3a 2
＋4a －4＜0，∴－2＜a ＜3
2 .
答案：D.
5. 已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为( )
A ．?
??
?x ±
332＋y 2＝4
3
B ．?
??
?x ±
332＋y 2＝1
3
C ．x 2＋?
???y ±
332＝43
D ．x 2＋?
???y ±
332＝13
【解析】：由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为23π，设圆心(0，a )，半径为r ，则r sin π
3＝
1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝3
3，
即a ＝±
33，故圆C 的方程为x 2＋????y ±3
32＝43
. 答案：C. 二、填空题
6. 经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为________． 【解析】：由??? x ＝1，x ＋y ＝2，得???
x ＝1，
y ＝1，
即所求圆的圆心坐标为(1,1)，又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1. 答案：(x －1)2＋(y －1)2＝1.
7. 已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是________． 【解析】： ∵圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，∴其圆心为(－1,2)，且5－a ＞0，即a ＜5. 又圆关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，∴2＝－2＋b ，∴b ＝4.∴a －b ＝a －4＜1. 答案：(－∞，1).
8. 圆心在直线2x －3y －1＝0上的圆与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，则圆的方程为______________． 【解析】：所求圆与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，故线段AB 的垂直平分线x ＝2过所求圆的圆心，又所求圆的圆心在直线2x －3y －1＝0上，所以两直线的交点坐标即为所求圆的圆心坐标，解之得为(2,1)，进一步可求得半径为2，所以圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝2. 答案：(x －2)2＋(y －1)2＝2. 三、解答题
9. 已知圆的方程是x 2＋y 2＋2(m －1)x －4my ＋5m 2－2m －8＝0， (1)求此圆的圆心与半径；
(2)求证：不论m 为何实数，它们表示圆心在同一条直线上的等圆． 【解析】：(1)配方得：(x ＋m －1)2＋(y －2m )2＝9
∴圆心为(1－m,2m )，半径r ＝3.
(2)证明：由(1)可知，圆的半径为定值3，且???
x ＝1－m
y ＝2m ，
∴2x ＋y ＝2.
∴不论m 为何值，方程表示的圆的圆心在直线2x ＋y －2＝0上，且为等圆．
答案：(1) 圆心为(1－m,2m )，半径r ＝3. (2) 圆心在直线2x ＋y －2＝0上，且为等圆．
10. (2010·辽宁抚顺调研)已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．
【解析】：(1)设AP 中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． ∵P 点在圆x 2＋y 2＝4上，∴(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.
(2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，
所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.
故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.
答案：(1) (x －1)2＋y 2＝1. (2) x 2＋y 2－x －y －1＝0.
【二级目标】能力提升题组
一、选择题
1. 已知二元二次方程Ax 2＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则???
A ＝C ≠0，
D 2＋
E 2
－4F ＞0，
是方程表示圆的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
【解析】：取A ＝C ＝4，D ＝2，E ＝2，F ＝1时，满足???
A ＝C ≠0，
D 2＋
E 2
－4F ＞0，但是4x 2＋4y 2＋2x ＋2y ＋1＝0不表示圆；方程13x 2＋13y 2＋x ＋y ＋1＝0表示圆，其中A ＝13，C ＝1
3，D ＝1，E ＝1，F ＝1，但不满足D 2＋E 2
－4F ＞0.综上可知，选D ． 答案：D.
2. (2010·浙江宁波调研)若直线l ：ax ＋by ＋4＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆C ：x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0，则ab 的最大值为( )
A ．4
B ．2
C ．1
D.1
4
【解析】：由题意知，圆C 的圆心坐标为(－4，－1)．又直线l 始终平分圆C ，所以直线l 必过圆心，故4＝4a ＋b ≥24ab ，故ab ≤1. 答案：C. 二、填空题
3. (2009·扬州调研)若直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是________．
【解析】：∵直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )， ∴ab ＋ab ＝1， ∴ab ＝1
2
，又OA ＝a 2＋b 2，
∴以O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积：S ＝π·OA 2＝(a 2＋b 2)π≥2ab ·π＝π， ∴面积的最小值为π.
答案：π.
【高考链接】
1. （2016年浙江省文科第10题）已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a +2)y 2+4x+8y +5a ＝0表示圆，则圆心坐标
是 ，半径是 【解析】：由题可得a 2=a +2，解得a =－1或a =2
当a =－1时，方程为x 2＋y 2+4x+8y －5＝0表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5 当a =2时，方程不表示圆 答案：(－2，－4)，5.
2. （2009年上海第题）点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4
C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4
D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1
【解析】：设中点M 的坐标为(x ，y )，与之对应的圆上动点Q 的坐标为(x 0，y 0)，显然M 与Q 的对应关系
为：?
??
??
x ＝x 0＋42，y ＝y 0＋(－2)2，
同时Q 满足在圆x 2＋y 2＝4上，即x 20＋y 2
0＝4；
利用M 与Q 的对应关系将x 、y 代入，得中点M 的轨迹方程为：(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.
答案：A.
3. （2015年湖北省第16题）如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B
在A 的上方），且2AB =.
（Ⅰ）圆C 的标准．．
方程为_________； （Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________.
【解析】:试题分析：设点C 的坐标为00(,)x y ，则由圆C 与x 轴相切于点(1,0)T 知，点C 的横坐标为1， 即01x =，半径0r y =.又因为2AB =，所以2
2
2
011y +=
，即0y r =
，所以圆C 的标准方程为
22(1)(2x y -+=，令0x =
得：1)B .设圆C 在点B
处的切线方程为1)kx y -=，
则圆心C
到其距离为：d =
=，解之得1k =.即圆C 在点B 处的切线方程为
x 1)y =+，于是令0y =
可得x 1=，即圆C 在点B 处的切线在x
轴上的截距为1--
故应填2
2
(1)(2x y -+=
和1--
答案：
（Ⅰ）2
2
(1)(2x y -+=
；（Ⅱ）1--
江苏省泰兴市第三中学2015届高考数学一轮复习 圆的方程教案 教学目标：掌握圆的标准方程，并根据圆的标准方程写出圆心坐标和圆的半径．会用代定系数法求圆的基 本量a 、b 、r ． 重点难点：根据圆的标准方程写出圆心坐标和圆的半径．会用代定系数法求圆的基本量a 、b 、r ． 引入新课 问题1. 圆是最完美的曲线.它是平面内___________________________________________的点的集合？ 问题2．在前面我们学习了直线的方程，只要给出适当的条件就可以写出直线的方程．那么，一个圆能不能用方程表示出来呢？ 问题3．要求一个圆的方程需要哪些条件？如何求得呢？ 建构教学 1．圆的标准方程的推导过程： 2． 圆的标准方程：_________________________________________________________． 3． 点P 圆O 的位置关系的判断： 例题剖析 例1 求圆心是)32(- ，C ，且经过原点的圆的标准方程． 例2 已知隧道的截面是半径为m 4的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为m 7.2，高为m 3的货车能不能驶入这个隧道？ 思考：假设货车的最大宽度为m a 那么货车要驶入该隧道，限高为多少？ 例3 （1）已知圆的直径的两个端点是)21 ( -，A ，)87( ，B ．求该圆的标准方程． （2）已知圆的直径的两个端点是)(11y x A ，，)(22y x B ，．求该圆的标准方程．
例4 （1）求过点)11(- ，A ，)11( -，B ，且圆心C 在直线02=-+y x 上的圆的标准方程． （2）求上述圆C 关于直线210x y -+=的对称的圆1C 课堂小结 圆的标准方程推导；根据圆的方程写出圆心坐标和半径；用代定系数法求圆的标准方程． 数学（理）即时反馈作业 编号：010 圆的标准方程 1、点(2,3)-关于直线1y x =+的对称点为______________ 2、直线l ：2y ax =+和(1,3),(3,1)A B 两点，当直线l 与线段AB 相交时，实数a 的取值范围是 ___________ 3、如图，已知(4,0)A 、(0,4)B ，从点(2,0)P 射出的光线经直线 AB 反向后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是____________ 4、经过点(5,2)且在x 轴的截距等于y 轴上截距的2倍的直线方程为___________ 5、直线cos 10x y α++=的倾斜角的范围是______________ 6、写出满足下列条件的圆的标准方程： （1）圆心在原点，半径为6： ； （2）经过点)36( ，P ，圆心为)22(- ，C ： ； （3）经过点)22(- ，P ，圆心为)03( ，C ： ； （4）与两坐标轴都相切，且圆心在直线0532=+-y x 上： ； （5）经过点)53( ，A 和)73( -，B ，且圆心在x 轴上： ． 7、在圆)0()()(2 22>=-+-r r b y a x 中，若满足 条件时，圆过原点； 满足 条件时，圆心在y 轴；满足 条件时，圆与x 轴相切； 满足 条件时，圆与两坐标轴都相切； 8、已知点)11( ，P 在圆4)()(22=++-a y a x 的内部，则实数a 的取值范围是_________ 9．求以点)51( -，C 为圆心，并与y 轴相切的圆的标准方程． 10．已知点)54( -，A 和)16(- ，B ，求以线段AB 为直径的圆的标准方程． 11．已知半径为5的圆过点)34( -， P ，且圆心在直线012=+-y x 上，求圆的标准方程． 12．求过两点)40( ， A 和)64( ， B ，且圆心在直线022=--y x 上的圆的标准方程． 13．求圆1)1()1(2 2=-++y x 关于直线03=+-y x 对称的圆的方程 14、已知动点M 到定点)0,8(的距离等于M 到)0,2(的距离的2倍，求动点）（y x M ,中x,y 之间的等量关系，并说明M 的轨迹是什么图形。 中国书法艺术说课教案
高考数学一轮复习 AB 小练习 第十五章解析几何第三节圆的 标准方程和一般方程 A 组 1．若圆x 2 ＋y 2 －2kx ＋2y ＋2＝0(k >0)与两坐标轴无公共点，那么实数k 的取值范围为________． 解析：圆的方程为(x －k )2＋(y ＋1)2＝k 2－1，圆心坐标为(k ，－1)，半径r ＝k 2 －1，若 圆与两坐标无公共点，即??? k 2－1<|k | k 2 －1<1 ，解得1 7.5 圆的方程 ●知识梳理 1.圆的方程 （1）圆的标准方程 圆心为（a ，b ），半径为r 的圆的标准方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2. 说明：方程中有三个参量a 、b 、r ，因此三个独立条件可以确定一个圆. （2）圆的一般方程 二次方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0.（*） 将（*）式配方得 （x +2D ）2+（y +2 E ）2=4422 F E D -+. 当D 2+E 2－4F ＞0时，方程（*）表示圆心（－ 2D ，－2 E ），半径r = 21F E D 422-+的圆，把方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0 （D 2+E 2－4F ＞0）叫做圆的一般方程. 说明：（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点： a.x 2、y 2项系数相等且不为零. b.没有xy 项. （2）当D 2+E 2－4F =0时，方程（*）表示点（－2D ，－2 E ），当D 2+E 2－4 F ＜0时，方程（*）不表示任何图形. （3）据条件列出关于D 、E 、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程. （3）圆的参数方程 ①圆心在O （0，0），半径为r 的圆的参数方程为 x =r cos θ， y =r sin θ ②圆心在O 1（a ，b ），半径为r 的圆的参数方程为 x =a +r cos θ， y =b +r sin θ 说明：在①中消去θ得x 2+y 2=r 2，在②中消去θ得（x －a ）2+（y －b ）2=r 2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程. 2.二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件 若上述二元二次方程表示圆，则有A =C ≠0，B =0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分. 在A =C ≠0，B =0时，二元二次方程化为x 2+y 2+A D x +A E y +A F =0， 仅当（ A D ）2+（A E ）2－4·A F ＞0，即D 2+E 2－4AF ＞0时表示圆. 故Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是：①A =C ≠0，②B =0，③D 2+E 2－4AF ＞0. ●点击双基 1.方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是 A.－1 第七章直线和圆的方程 知识结构 第一节直线的倾斜角和斜率 学习目标 1．了解直线的方程、方程的直线的定义； 2．掌握直线的倾斜角、直线的斜率的定义及其取值范围； 3．掌握过两点的直线的斜率公式，会运用公式求出有关直线的斜率和倾斜角． 重点难点 本节重点：正确地理解斜率的概念，熟练地掌握已知直线上两点求直线斜率的公式，这是学好直线这部分内容的关键． 本节难点：正确理解直线倾斜角定义中的几个条件，如直线与x轴相交与不相交，按逆时针方向旋转、最小正角等．求倾斜角时，要特别注意其取值范围是 高考中，由于本节内容是解析几何成果中最基础的部分，一般是隐含在综合题中进行考查． 典型例题 【分析】 【解】 【点评】 【分析】 【解】 【点评】 【解法一】 代数方法：套两点斜率公式． 【解法二】 【点评】 “解析几何的特点之一是数形结合，数无形时少直观，形无数时难入微．”在学习数学时，应该记住华罗庚的这段话．教材上还涉及证明三点共线的练习题，怎样证明三点共线呢？请看下面例4． 【分析】 证明三点共线，可以用代数方法、几何方法，可以用直接证法、间接证法，你能想出至少一个方法吗？下面是同学们讨论出的几种证法供参考． 【证法一】 【证法二】 【证法三】 第二节直线的方程 学习目标 掌握直线方程的点斜式、两点式、参数式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程式． 重点难点 本节重点：直线方程的点斜式和一般式，点斜式是推导直线方程其他形式的基础，一般式是直线方程统一的表述形式．本节难点：灵活运用直线方程的各种形式解题． 在高考中几乎每年都要考查这部分内容，题型以选择题、填空题居多． 典型例题 【分析】 关键是确定直线方程中的待定系数． 圆的方程(学案)B 一、知识梳理 1.圆的方程 （1）圆的标准方程 圆心为（a ，b ），半径为r 的圆的标准方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2. 说明：方程中有三个参量a 、b 、r ，因此三个独立条件可以确定一个圆. （2）圆的一般方程 二次方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0.（*） 将（*）式配方得 （x +2D ）2+（y +2 E ）2=4422 F E D -+. 当D 2+E 2－4F ＞0时，方程（*）表示圆心（－ 2D ，－2 E ），半径r = 21 F E D 422-+的圆，把方程x 2+y 2+Dx +Ey + F =0（D 2+E 2－4F ＞0）叫做圆的一般方程. 说明：（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：（A x 2+B y 2+Cxy+Dx +Ey +F =0） a.x 2、y 2项系数相等且不为零. b.没有xy 项. （2）当D 2+E 2－4F =0时，方程（*）表示点（－ 2D ，－2 E ），当D 2+E 2－4 F ＜0时，方程（*）不表示任何图形. （3）据条件列出关于D 、E 、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程. （3）圆的参数方程（4-4选讲内容） ①圆心在O （0，0），半径为r 的圆的参数方程为 x =r cos θ， y =r sin θ ②圆心在O 1（a ，b ），半径为r 的圆的参数方程为 x =a +r cos θ， y =b +r sin θ 说明：在①中消去θ得x 2+y 2=r 2，在②中消去θ得（x －a ）2+（y －b ）2=r 2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程. 2.二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件 若上述二元二次方程表示圆，则有A =C ≠0，B =0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分. 在A =C ≠0，B =0时，二元二次方程化为x 2+y 2+A D x +A E y +A F =0， 仅当（ A D ）2+（A E ）2－4·A F ＞0，即D 2+E 2－4AF ＞0时表示圆. （θ为参数） . ① （θ为参数） . ② 圆的方程 自主梳理 1．圆的定义 在平面内，到___定点_____的距离等于____定长____的点的___集合_____叫圆． 2．确定一个圆最基本的要素是___.圆心_____和__半径______． 3．圆的标准方程 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2 (r >0)，其中___(a ，b)_____为圆心，__ r __为半径． 4．圆的一般方程 x 2＋y 2 ＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，若化为标准式，即为? ????x ＋D 22＋? ?? ??y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4． 由于r 2 相当于D 2＋E 2－4F 4 ． 所以①当D 2 ＋E 2 －4F >0时，圆心为? ????－D 2 ，－E 2，半径r ＝D 2＋E 2－4F 2． ②当D 2＋E 2 －4F ＝0时，表示一个点? ????－D 2 ，－E 2． ③当D 2＋E 2 －4F <0时，这样的圆不存在． 5．确定圆的方程的方法和步骤 （1）确定圆的方程必须有三个独立条件 不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a 、b 、r 或D 、E 、F )的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值． （2）确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组； (3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F 代入标准方程或一般方程 6．点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种． 圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 ，点M (x 0，y 0)， (1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2__＝__r 2 ； (2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2_>___r 2 ； (3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2___<_r 2 . 自我检测 1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是______．x 2 ＋(y －2)2 ＝1 2．圆x 2 －2x ＋y 2 －3＝0的圆心到直线x ＋3y －3＝0的距离为___1_____． 3．点P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2 ＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( ) A ．x －y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．2x －y －5＝0 4．已知点(0,0)在圆：x 2＋y 2＋ax ＋ay ＋2a 2 ＋a －1＝0外，则a 的取值范围是 _______(－1－73，－1)∪(12，－1＋7 3)____． 5．过圆x 2＋y 2 ＝4外一点P (4,2)作圆的切线，切点为A 、B ，则△APB 的外接圆方程为____(x －2)2＋(y －1)2 ＝5____． 6．已知圆的方程为0862 2=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的两条弦分别为AC 和BD ， 圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系 [典例] (2021·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k(k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB|＝8. (1)求l 的方程； (2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． [解] (1)由题意得F(1,0)，l 的方程为y ＝k(x －1)(k ＞0)． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由??? y ＝k x －1，y2＝4x 得k2x2－(2k2＋4)x ＋k2＝0. Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝2k2＋4k2 . 所以|AB|＝|AF|＋|BF| ＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝4k2＋4k2 . 由题设知4k2＋4k2 ＝8， 解得k ＝1或k ＝－1(舍去)． 因此l 的方程为y ＝x －1. (2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)， 所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)， 即y ＝－x ＋5. 设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)， 则? ?? y0＝－x0＋5， x0＋12＝y0－x0＋122＋16. 解得??? x0＝3，y0＝2或??? x0＝11，y0＝－6. 因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144. [方法技巧] 1．确定圆的方程必须有3个独立条件 不论是圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a ，b ，r 或D ，E ，F)的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a ，b ，r(或D ，E ，F)的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值，从而确定圆的方程． 2．几何法在圆中的应用 高中数学一轮复习基础讲解圆的方程 1．圆的定义及方程 2．点与圆的位置关系 点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2 专题六、解析几何（一） 直线和圆 1.直线方程：0=+++=c by ax t kx y 或 2.点关于特殊直线的对称点坐标： （1）点),(00y x A 关于直线方程x y = 的对称点),(n m A '坐标为：0y m =，0x n =； （2） 点),(00y x A 关于直线方程b x y +=的对称点),(n m A '坐标为：b y m -=0，b x n +=0； （3）点),(00y x A 关于直线方程x y -=的对称点),(n m A '坐标为：0y m -=，0x n -=； （4）点),(00y x A 关于直线方程b x y +-=的对称点),(n m A '坐标为：b y m +-=0，b x n +-=0； 3.圆的方程：()()2 2 2 x a y b r -+-=或() 2 2 2 2 040x y Dx Ey F D E F ++++=+->， 无xy 。 4.直线与圆相交： （1）利用垂径定理和勾股定理求弦长: 弦长公式：222d r l -=（d 为圆心到直线的距离），该公式只适合于圆的弦长。 若直线方程和圆的方程联立后，化简为：02 =++c bx ax ，其判别式为?，则 弦长公式（万能公式）：12l x =-= a k a c a k ? +=--+=2 2214b 1）（ 注意：不需要单独把直线和圆的两个交点的坐标求出来来求弦长，只要设出它们的坐标即可， 再利用直线方程和圆的联立方程求解就可达到目标。这是一种“设而不求”的技巧，它可以简化运算，降低思考难度，在解析几何中具有十分广泛的应用。 5.圆的切线方程： （1）点在圆外： 如定点()00,P x y ，圆：()()2 2 2 x a y b r -+-=，[()()2 2 2 00x a y b r -+->] 第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=-；第二步：通过d r =，求出k ，从而得到切线方程，这里的切线方程的有两条。特别注意：当k 不存在时，要单独讨论。 （2）点在圆上： 若点P ()00x y ，在圆()()2 2 2 x a y b r -+-=上，利用点法向量式方程求法，则切线方程为： ?=--+--0)(()((0000b y y y a x x x ））()()()()200x a x a y b y b r --+--=。 点在圆上时，过点的切线方程的只有一条。 由（1）（2）分析可知：过一定点求某圆的切线方程，要先判断点与圆的位置关系。 （3）若点P ()00x y ，在圆()()2 2 2x a y b r -+-=外，即()()2 2 200x a y b r -+->， 过点P ()00x y ，的两条切线与圆相交于A 、B 两点，则AB 两点的直线方程为： 200))(())((r b y b y a x a x =--+--。 6.两圆公共弦所在直线方程： 圆1C ：2 2 1110x y D x E y F ++++=，圆2C ：2 2 2220x y D x E y F ++++=， 则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程。 7.圆的对称问题： （1）圆自身关于直线对称：圆心在这条直线上。 （2）圆C 1关于直线对称的圆C 2：两圆圆心关于直线对称，且半径相等。 （3）圆自身关于点P 对称：点P 就是圆心。 圆的方程 教学目标：1.掌握圆的标准方程和一般方程； 2.理解圆的一般方程与标准方程的联系；会熟练地互化。 3.会根据条件准确的求圆的方程 教学重点：利用圆的方程解决一些问题 教学难点：能准确的利用圆的方程解决问题 知识梳理： 1. 关于圆的知识：平面内到的距离等于的点的集合 ．．．．称为圆。 我们把定点称为，定长称为。确定了圆的位置, 确定了圆的大小。 在平面直角坐标系中，已知：圆心为) a A, 半径长为r，圆上的任意一点) (b , x M应该满 (y , MA= 足的关系式？r 2.圆的标准方程是__________________________，其中圆心________，半径为_____。 题型一：由圆的的标准方程写出圆心和半径： 练习：⑴根据条件写圆的方程： ①圆心)1 ,2(-，半径为2 ②圆心)3,0(，半径为3 ③圆心)0 ,0(，半径为r （2）：由圆的标准方程写出下列圆的圆心坐标和半径。 1 2 圆心坐标 半径 6)1()4(22=-+-y x __________ __________ 4)4()1(22=++-y x __________ __________ 9)2(22=++y x ___________ ___________ 8)3(22=-+y x __________ __________ 222)3(-=+y x __________ __________ 222)(a y a x =+- ___________ ___________ 总结： 特别地，当)0,0(),(=b a 时，圆的方程变为___________ 题型二：由圆心和半径写出圆的的标准方程： (1) 圆心在)1,2(A ，半径长为4； __________________________ (2) 圆心在)4,3(-A ，半径长为5； __________________________ (3) 圆心在)2,3(--A ，半径长为5； __________________________ (4)已知 )3,6(),9,4(21P P ，求以线段21P P 为直径的圆的方程 例1已知圆心在)4,3(--C ，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点)0,1(1-P 、)1,1(2-P 、)4,3(3-P 和圆的位置关系。 例1. 判断下列各点是否在以)3,2(-A 为圆心，半径为5的圆上？ 高三数学复习圆的方程 5．圆的方程 一、内容归纳 1. 知识精讲. ①圆的方程 (1)标准式：(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)，其中r为圆的半径，(a，b)为圆心。 (2)一般式：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)，其中圆心为(-，-)，半径为， (3)直径式：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0，其中点(x1， y1)，(x2，y2)是圆的一条直径的两个端点。（用向量法证之）（4）半圆方程：等 (5)圆系方程： i)过圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0和直线l：Ax+By+C=0的交点的 圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0 ii)过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2： x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆的方程为 x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)该方 程不包括圆C2； （时为一条直线方程，相交两圆时为公共弦方程；两等圆 时则为两圆的对称轴方程） (6) 圆的参数方程 圆心在(0,0),半径为r的圆的参数方程为为参数 圆心在(a,b),半径为r的圆的参数方程为为参数 ②圆的一般方程与二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的 关系； 二元二次方程表示圆的充要条件A=C≠0，B=0 ，D2+E2-4AF0。 二、问题讨论 例1、根据下列条件，求圆的方程。 (1)和圆x2+y2=4相外切于点P(-1，)，且半径为4； (2)经过坐标原点和点P(1，1)，并且圆心在直线2x+3y+1=0上； (3)已知一圆过P(4，-2)、Q(-1，3)两点，且在y轴上截得 的线段长为4，求圆的方程。 解：(1)设圆心Q的坐标为(a，b) ∵⊙O与⊙Q相外切于P ∴O、P、Q共线，且λ==-=- 由定比分点公式求得a=-3， b=3 ∴所求圆的方程为(x+3)2+(y-3)2=16 (2)显然，所求圆的圆心在OP的垂直平分线上，OP的垂直平分线方程为： = 即x+y-1=0 解方程组 x+y-1=0 2x+3y+1=0 得圆心C的坐标为(4，-3)。又圆的半径 §9.3圆的方程 圆的定义与方程 概念方法微思考 1．二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是什么？ 提示 ???? ? A ＝C ≠0， B ＝0， D 2＋ E 2－4A F >0. 2．点与圆的位置关系有几种？如何判断？ 提示 点和圆的位置关系有三种． 已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)， (1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2. (2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2. (3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2 第3节圆的方程 最新考纲掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程 . 知识梳理 1.圆的定义和圆的方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 方程标准 (x－a)2＋(y－b)2 ＝r2(r＞0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0) 充要条件：D2＋E2－4F＞0 圆心坐标： ? ? ? ? ? － D 2，－ E 2 半径r＝ 1 2D 2＋E2－4F 2.点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|＞r?M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?M在圆外； (2)|MC|＝r?M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圆上； (3)|MC|＜r?M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?M在圆内. [微点提醒] 1.圆心在坐标原点半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r 2. 2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 基础自测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.() (2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆.() (3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆.() (4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.() 解析(2)当a＝0时，x2＋y2＝a2表示点(0，0)；当a＜0时，表示半径为|a|的圆. 第二节圆的方程 高考试题 考点一求圆的方程 1.(2009年辽宁卷,理4)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为( ) (A)(x+1)2+(y-1)2=2 (B)(x-1)2+(y+1)2=2 (C)(x-1)2+(y-1)2=2 (D)(x+1)2+(y+1)2=2 解析:由题意可设圆心坐标为(a,-a), 解得a=1,故圆心坐标为(1,-1), 半径 所以圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2. 答案:B 2.(2010年广东卷,理12)已知圆心在x轴上,y轴左侧,且与直线x+y=0相切,则圆O的方程是. 解析:设圆心坐标为(a,0),且a<0,由题意得 ∴a=-2. ∴圆的方程为(x+2)2+y2=2. 答案:(x+2)2+y2=2 3.(2010年新课标全国卷,理15)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆的方程为. 解析:由题意知A、B两点在圆上, ∴直线AB的垂直平分线x=3过圆心. 又圆C与直线y=x-1相切于点B(2,1), ∴k BC=-1. ∴直线BC的方程为y-1=-(x-2), 即y=-x+3. y=-x+3与x=3联立得圆心C的坐标为(3,0), ∴ ∴圆C的方程为(x-3)2+y2=2. 答案:(x-3)2+y2=2 考点二直线与圆的位置关系的判定与应用 1.(2013年天津卷,理4)已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的1 2 ,则其体积缩小到原来的 1 8 ; ②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等; ③直线x+y+1=0与圆x2+y2=1 2 相切. 其中真命题的序号为( ) 圆的方程及求法 【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号） 1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程． 2．初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 主干知识归纳 1．圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 2．圆的方程： 方法规律总结 1．待定系数法求圆的方程 (1) 若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值； (2) 若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值． 2．几何法求圆的方程： 利用圆的有关几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”、“半径， 弦心距，弦长的一半构成 直角三角形”等． 3．求与圆有关的轨迹问题的四种方法 【指点迷津】 【类型一】确定圆的方程 【例1】：求经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上的圆的方程 【解析】： 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意列出方程组()()?? ???=++=-+-=+0 1321122 22 22b a r b a r b a ，解之得?????=-==534 r b a , ∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25. 答案：(x －4)2＋(y ＋3)2＝25. 【例2】：已知圆心为C 的圆经过点A (0，－6)，B (1，－5)，且圆心在直线l ：x －y ＋1＝0上，求圆的标准方程． 【解析】：法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则圆心坐标为??? ?－D 2，－E 2. 长沙市高考数学一轮复习：47 圆的方程（II）卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共12题；共24分) 1. （2分）过点A（1，－1）、B（－1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是（） A . B . C . D . 2. （2分）能够把圆O：x2+y2=9的周长和面积同时分为相等的两部分的函数f（x）称为圆O的“亲和函数”，下列函数： ①f（x）=4x3+x2 ，②f（x）=ln，③f（x）=，④f（x）=tan是圆O的“亲和函数”的是（） A . ①③ B . ②③ C . ②④ D . ①④ 3. （2分）圆的圆心坐标和半径分别为（） A . B . C . D . 4. （2分） (2019高二上·丽水期中) 圆的半径为（） A . B . C . D . 5. （2分）以双曲线的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是（） A . B . C . D . 6. （2分）方程表示圆的充要条件是 A . B . 或 C . D . 7. （2分）若点P（a，b）在圆C：x2+y2=1的外部，则直线ax+by+1=0与圆C的位置关系是（） A . 相切 B . 相离 C . 相交 D . 以上均有可能 8. （2分）圆心在第一象限且和直线3x+4y=5及坐标轴都相切的半径较大圆的方程为（） A . （x﹣）2+（y﹣）2= B . （x+）2+（y+）2= C . （x﹣）2+（y﹣）2= D . （x+）2+（y+）2= 9. （2分）圆心为，半径为5的圆的标准方程为（） A . B . C . D . 10. （2分）设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0 圆的方程 ●知识梳理 1.圆的方程 （1）圆的标准方程 圆心为（a ，b ），半径为r 的圆的标准方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2. 说明：方程中有三个参量a 、b 、r ，因此三个独立条件可以确定一个圆. （2）圆的一般方程 二次方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0.（*） 将（*）式配方得 （x +2D ）2+（y +2 E ）2=4422 F E D -+. 当D 2+E 2－4F ＞0时，方程（*）表示圆心（－ 2D ，－2 E ），半径r =21F E D 422-+的圆，把方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0（D 2+E 2－4F ＞0）叫做圆的一般方程. 说明：（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点： 、y 2项系数相等且不为零. b.没有xy 项. （2）当D 2+E 2－4F =0时，方程（*）表示点（－2D ，－2 E ），当D 2+E 2－4F ＜0时， 方程（*）不表示任何图形. （3）据条件列出关于D 、E 、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程. （3）圆的参数方程 ①圆心在O （0，0），半径为r 的圆的参数方程为 x =r cos θ， y =r sin θ ②圆心在O 1（a ，b ），半径为r 的圆的参数方程为 x =a +r cos θ， y =b +r sin θ 说明：在①中消去θ得x 2+y 2=r 2，在②中消去θ得（x －a ）2+（y －b ）2=r 2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程. 2.二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件 若上述二元二次方程表示圆，则有A =C ≠0，B =0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分. 在A =C ≠0，B =0时，二元二次方程化为x 2+y 2+A D x +A E y +A F =0， 仅当（A D ）2+（A E ）2－4·A F ＞0，即D 2+E 2－4AF ＞0时表示圆. 故Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是：①A =C ≠0，②B =0，③D 2+E 2－4AF ＞0. ●点击双基 1.方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是 （θ为参数） . ① （θ为参数） . ② 高三（上）数学（88） 一轮复习------圆的方程 班 姓名 1、若圆M 的方程为064222 =--++y x y x , 则圆心和半径分别是（ ） A.11),2,1(- B.11),2,1(- C.11),2,1(- D.11),2,1(- 2、若方程052422 =++-+k y x y x 表示圆， 则实数k 的取值范围是（ ） A.R B.)1,(-∞ C.]1,(-∞ D.),1[+∞ 3、若点)1,2(+a a 在圆5)1(22 =-+y x 的内部， 则实数a 的取值范围是（ ） A.)1,1(- B.)1,0( C.)51 ,1(- D.)1,5 1(- 4、圆心在y 轴上且通过点)1,3(的圆与x 轴相切， 则该圆的方程是（ ） A.01022=++y y x B.01022=-+y y x C.01022=++x y x D.01022 =-+x y x 5、若动点P 与定点)0,1(),0,1(B A -的连线的斜率 之积为1-，则点P 的轨迹方程是（ ） A.122=+y x B.)0(122≠=+x y x C.)1(12 2 ±≠=+x y x D.2 1x y -= 6、方程2)1(11||--=-y x 所表示的曲线 是（ ） A.一个圆 B.两个圆 C.半个圆 D.两个半圆 7、已知圆C 与直线x y =及04=--y x 都相 切，圆心在直线x y -=上，则圆C 的标准方程为（ ） A.2)1()1(2 2=-++y x B.2)1()1(2 2=+++y x C.2)1()1(2 2=-+-y x D.2)1()1(2 2=++-y x 8、已知两定点)0,2(-A ，)0,1(B ，若动点P 满足 ||2||PB PA =，则点P 的轨迹所包围的图形 的面积为（ ） A.π B.π4 C.π8 D.π9 9、已知点M 是直线0243=-+y x 上的动点， 点N 为圆1)1()1(22=+++y x 上的动点，则 ||MN 的最小值是（ ） A. 59 B.1 C.54 D.5 13 10、能够把圆9:2 2 =+y x O 的周长和面积同时 分为相等的两部分的函数)(x f 称为圆O 的“亲和函数”，下列函数不是圆O 的“亲和函数”的是（ ） A.x x x f +=3 4)( B.x x x f +-=55ln )( C.2)(x x e e x f -+= D.5 tan )(x x f = 11、经过三点)0,4(A ，)2,0(B ，)3,1(C 的圆的标 准方程为 ． 12、已知圆C 的方程为08622 =--+y x y x ， 则圆C 的半径为 ，过点)5,3(的最短弦的长度为 ． 13、若圆的方程为022 22 =++++k y kx y x ， 则当圆面积最大时，直线2)1(+-=x k y 的倾斜角=α ． 14、已知圆C 过点)1,1(P ，且与圆++2 )2(:x M )0()2(2 2>=+r r y 关于直线0 2=++y x 对称，则圆C 的方程为 ，若Q 为圆C 上的一个动点，则MQ ?的最小值为 ． 15、设点)1,(0x M ，若在圆1:2 2 =+y x O 上存 在点N ，使得 45=∠OMN ，则0x 的取值范围是 ． 16、已知O R ,),sin 22,cos 22(∈++=ααα 为坐标原点，向量满足=+．求动点Q 的轨迹方程．年高考第一轮复习数学圆的方程
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