高中数学合情推理与演
绎推理专题自测试题 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】
2015年高中数学合情推理与演绎推理专题自测试题
【梳理自测】
一、合情推理
1．(教材习题改编)数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于( )
A．28 B．32
C．33 D．27
2．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式：S＝底×高
2
，可推知扇形面积公式
S
扇
等于( )
A.r2
2
B.
l2
2
C.lr
2
D．不可类比
3．给出下列三个类比结论：
①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n；
②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ；
③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
其中结论正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
4．(教材改编)下面几种推理是合情推理的是________．(填序号)
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n边形内角和是(n－2)·180°.
答案：1.B 2.C 3.B 4.①②④
◆以上题目主要考查了以下内容：
(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体，个别到一般的推理．
(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．
二、演绎推理
∵a＝(1，0)，b＝(0，－1)，∴a·b＝(1，0)·(0，－1)＝1×0＋0×(－1)＝0.
∴a⊥b.
大前提：若两个向量的数量积为零，则这两个向量垂直；
小前提：a·b＝0；
结论：a⊥b．
◆此题主要考查了以下内容：
(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种
推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．
【指点迷津】
1．一个防范
合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．
2．两个要点
(1)应用演绎推理证题时，大前提可省略，解题中应注意过程的规范性．
(2)当大前提和小前提正确时，得到的结论一定正确．
考向一归纳推理
例题1 (1)(2014·山东高考专家原创卷)已知数列：1
1
，
2
1
，
1
2
，
3
1
，
2
2
，
1
3
，
4 1，
3
2
，
2
3
，
1
4
，…，依它的前10项的规律推测这个数列的第2 012
项是________．
(2)(2014·济宁模拟)给出下列命题：
命题1：点(1，1)是直线y＝x与双曲线y＝1
x
的一个交点；
命题2：点(2，4)是直线y＝2x与双曲线y＝8
x
的一个交点；
命题3：点(3，9)是直线y＝3x与双曲线y＝27
x
的一个交点；
……
请观察上面的命题，猜想出命题n(n是正整数)为：________．
【审题视点】 (1)把前10项分组归纳，分析归纳每一组数的变化规律及个数． (2)总结点的变化规律，再看直线和曲线的变化规律，写出此(语言)命题相似的内容． (1)这个数列的前10项按如下规则分组．第一组：1
1
；
第二组：21，12；第三组：31，22，13；第四组：41，32，23，1
4；…；
第n 组：n 1，n －12，n －23，…，n －r ＋1r ，…，1n .由不等式n （n ＋1）
2
＜2 012，
即n(n ＋1)＜4 024，得n≤62(n∈N *)，且当n ＝62时，n （n ＋1）
2
＝1 953，
2 012－1 953＝59，即这个数列的第2 012项是上述分组中的第63组中的
第59个数，即第2 012项是63－59＋159＝5
59
.
(2)点的横坐标是命题“n ”的值，纵坐标为n 2，直线的斜率为n ，曲线的系数为n 3，
总结为点(n ，n 2)是直线y ＝nx 与双曲线y ＝n
3x
的一个交点．
【答案】 (1)559 (2)点(n ，n 2)是直线y ＝nx 与双曲线y ＝n
3
x
的一个交点
【类题通法】 所谓归纳，就是由特殊到一般，因此在归纳时就要分析所给条件之间的变化规律，从而得到一般结论．
变式训练
1．(2014·青岛模拟)观察下列等式：31×2×12＝1－122，31×2×12＋42×3×1
2
2 ＝1－
13×22，
31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－1
4×23
，…，由以上等式推测到一个一般结论为________．
解析：观察等号右侧分母数值的变化与左侧相加项数的关系，项数与分母中2的指数一致，分
母中指数前边系数比项数多1，可得右侧为1－1
（n ＋1）2n ，左侧观察相加的项数与最后一项中2的
指数一致，其他就好确定，从而得到左侧为31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＋…＋n ＋2n （n ＋1）×1
2n
.
答案：31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＋…＋n ＋2n （n ＋1）×12n ＝1－1（n ＋1）2
n (n∈N *
)
考向二 类比推理
例题2 (2014·湖北省八校高三联考)已知△ABC 的顶点A ，B 分别是离心
率为e 的圆锥曲线x 2m ＋y 2
n ＝1的焦点，顶点C 在该曲线上；一同学已正确地
推得：当m ＞n ＞0时有e (sin A ＋sin B )＝sin C ．类似地， 当m ＞0，n ＜0时，有________．
【审题视点】 把椭圆性质和双曲线性质类比结合解三角形推导结论．
当m＞n＞0时，x2
m
＋
y2
n
＝1为椭圆，|AC|＋|BC|＝2m，
由正弦定理知，|AC|
sin B
＝
|BC|
sin A
＝
|AB|
sin C
|AC|＋|BC|
sin B＋sin A
＝
|AB|
sin C
2m
sin A＋sin B ＝
2c
sin C
e＝
c
m
＝
sin C
sin A＋sin B
e(sin A＋sin B)
＝sin C．当m＞0，n＜0时，x2
m
＋
y2
n
＝1为双曲线，||AC|－|BC||＝2m，
由正弦定理知，|AC|
sin B
＝
|BC|
sin A
＝
|AB|
sin C
||AC|－|BC||
|sin B－sin A|
＝
|AB|
sin C
2m
|sin A－sin B|＝
2c
sin C
e＝
c
m
＝
sin C
|sin A－sin B|
e|sin A－sin B|＝sin C.
【答案】e|sin A－sin B|＝sin C
【类题通法】(1)类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象其他属性亦类似的一种推理方法，是由特殊到特殊的推理，其一般
步骤为：
①找出两类事物之间的相似性或一致性；
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题
(猜想)．
(2)熟悉常见的类比对象
①平面与空间的类比
2．(2014·陕西师大附中模拟)若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }
? ????b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也
是等比数列，则d n 的表达式应为( )
A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c n n
B ．d n ＝c 1·c 2·…·c n
n
C ．d n ＝n c n
1＋c n 2＋…＋c n n
n
D ．d n ＝n c 1·c 2·…·c n
解析：选D .若{a n }是等差数列，则 a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n （n －1）
2d ，
∴b n ＝a 1＋（n －1）2d ＝d 2n ＋a 1－d
2
，
即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝ c n
1
·q
1＋2＋…＋(n －1)
＝c n
1
·q n （n －1）2
，∴d n ＝n
c 1·c 2·…·c n ＝c 1·q n －1
2， 即{d n }为等比数列，故选D .
考向三 演绎推理
例题 3 (2014·西安长安一中质检)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n≥2)，a 1＝1
2
.
(1)求证：?
????????
?1S n 成等差数列；
(2)求数列{a n }的通项公式． 【审题视点】 (1)利用
a n ＝S n －S n －1推导??????
???
?1S n 的递推关系，从而求a n .
【典例精讲】 (1)证明：当n≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1
S n －1
＝2，
又1S 1＝1
a 1＝2，故??????
????1S n 是首项为2，公差为2的等差数列．
(2)由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n ，
当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）
＝
1
2n －2n 2
，
对n ＝1不成立，所以a n
＝?????12 （n ＝1），
12n －2n 2
（n≥2）.
【类题通法】 (1)演绎推理的结构
演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的．三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况．这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论．
(2)演绎推理的理论依据
其推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M 的所有元素都具有性质P ，S 是M 的子集，那么S 中所有元素都具有性质P.
变式训练
3．(2013·高考重庆卷)设数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，n ∈N ＋. (1)求{a n }的通项公式及前n 项和S n ；
(2)已知{b n }是等差数列，T n 为其前n 项和，且b 1＝a 2，b 3＝a 1＋a 2＋a 3，求T 20. 解析：(1)由题设知{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n －1
，S n ＝1－3n 1－3＝12
(3n
－
1)．
(2)b 1＝a 2＝3，b 3＝1＋3＋9＝13，b 3－b 1＝10＝2d ，所以公差d ＝5，故T 20＝20×3＋20×19
2
×5＝1 010.
合情推理与演绎推理的方法探究
典型例题 (2013·高考全国新课标卷)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为
S n ，n ＝1，2，3，….若b 1>c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝
c n ＋a n
2
，c n ＋1＝
b n ＋a n
2
，则( )
A ．{S n }为递减数列
B．{S n}为递增数列
C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列
D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列
【方法分析】①题目条件：一系列△A n B n C n的三边大小关系和递推关系．
②解题目标：判断该系列三角形的面积S1，S2，…，S n的单调变化．
③关系探究：(ⅰ)由b1＞c1，b1＋c1＝2a1判断第一个三角形A1B1C1的三边a1，b1，c1的大小关系．
(ⅱ)由递推关系a n＋1、b n＋1、c n＋1推导b2、c2与a1的关系．
(ⅲ)视a1为定值，推导a n、b n与a1的大小关系．
(ⅳ)猜想S n最大值时的条件．
【解题过程】在△A1B1C1中，b1>c1，b1＋c1＝2a1，
∴b1>a1>c1.
在△A2B2C2中，a2＝a1，b2＝c
1
＋a1
2
，c2＝
b
1
＋a1
2
，
b
2
＋c2＝2a1，∴c1 在△A3B3C3中，a3＝a2＝a1，b3＝c 2 ＋a2 2 ＝ c 2 ＋a1 2 ， c 3＝ b 2 ＋a2 2 ＝ b 2 ＋a1 2 ，b3＋c3＝2a1， ∴a1 ∴c1 由归纳知，n越大，两边c n，b n越靠近a1且c n＋b n＝2a1，此时面积S n越来越大，当且仅当c n＝b n ＝a1时△A n B n C n面积最大． 【答案】 B 【回归反思】(1)此题也反映了等差数列的性质．c n，a1，b n成等差数列，且随n增加．c n，b n 逐渐靠近中项，即当a1固定时，另两边逐渐接近a1，直到成为等边三角形达到面积最大． (2)此题也可以用特值到一般的归纳推理．如令a1＝4，c1＝3，b1＝5，依次推出c2，b2等，计算三角形面积得出答案． 真题体验 1．(2013·高考陕西卷)观察下列等式 (1＋1)＝2×1 (2＋1)(2＋2)＝22×1×3 (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 …… 照此规律，第n个等式可为______________________________________________．解析：由前三个式子观察归纳可得结论． 答案：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1) 2．(2012·高考陕西卷)观察下列不等式 1＋1 22 ＜ 3 2 ， 1＋1 22 ＋ 1 32 ＜ 5 3 ， 1＋1 22 ＋ 1 32 ＋ 1 42 ＜ 7 4 ， …… 照此规律，第五个不等式为____________________．解析：观察三个不等式发现： 第一个不等式左边为两式之和，且分母为两个连续整数的平方，右边为2×2－1 2 ； 第二个不等式左边为三式之和，且分母为三个连续整数的平方，右边为2×3－1 3 ； 第三个不等式左边为四式之和，且分母为四个连续整数的平方，右边为2×4－1 4 ； …… 归纳推理知：第五个不等式为1＋1 22 ＋ 1 32 ＋ 1 42 ＋ 1 52 ＋ 1 62 ＜ 11 6 . 答案：1＋1 22 ＋ 1 32 ＋ 1 42 ＋ 1 52 ＋ 1 62 ＜ 11 6 3．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图 所示的三角形数： 将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一 个新数列{b n }，可以推测： (1)b 2 014是数列{a n }中的第________项； (2)b 2k－1 ＝________．(用k表示) 解析：(1)a n ＝1＋2＋…＋n＝ n（n＋1） 2 ， b 1＝ 4×5 2 ＝a 4 ， b 2＝ 5×6 2 ＝a 5 ， b 3＝ 9×（2×5） 2 ＝a 9 ， b 4＝ （2×5）×11 2 ＝a 10 ， b 5＝ 14×（3×5） 2 ＝a 14 ， b 6＝ （3×5）×16 2 ＝a 15 ， …… b 2 014＝ ? ? ? ? ? 2 014 2 ×5 ? ? ? ? ? 2 014 2 ×5＋1 2 ＝a 5 035 . (2)由(1)知 b 2k－1＝ ? ? ? ? ? 2k－1＋1 2 ×5－1 ? ? ? ? ? 2k－1＋1 2 ×5 2 ＝5k（5k－1） 2 . 答案：(1)5 035 (2)5k（5k－1） 2 4．(2013·高考山东卷理)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当xy z 取得最大值时， 2 x ＋ 1 y － 2 z 的最大值为( ) A．0 B．1 C. 9 4 D．3 解析：选B.z＝x2－3xy＋4y2(x>0，y>0，z>0)，∴ xy z ＝ xy x2－3xy＋4y2 ＝ 1 x y ＋ 4y x －3 ≤ 1 4－3 ＝1. 当且仅当x y ＝ 4y x ，即x＝2y时等号成立，此时z＝x2－3xy＋4y2＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，∴ 2 x ＋ 1 y － 2 z ＝ 2 2y ＋1 y － 2 2y2 ＝－ 1 y2 ＋ 2 y ＝－ ? ? ? ? ? 1 y －1 2 ＋1，∴当y＝1时， 2 x ＋ 1 y － 2 z 的最大值为1 ======*以上是由明师教育编辑整理====== 合情推理与演绎推理测试题 本卷共100分，考试时间90分钟 一、选择题 (每小题4分，共40分) 1. 按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式．．． 是 （A ）94H C （B ）114H C （C ）104H C （D ）124H C 2. 四个小动物换座位，开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在1、2、3、4号位置上（如图），第一次前后排动物互换位置，第二次左右列互换座位，……，这样交替进行下去，那么第2010次互换座位后，小兔的位置对应的是（ ） 开始 第一次 第二次 第三次 A.编号1 B.编号2 C.编号3 D.编号4 4. 记集合3124234{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},{,1,2,3,4}10101010 i a a a a T M a T i ==+++∈=，将 M 中的元素按从大到小排列，则第2011个数是（ ） 2345573. 10101010A +++ 2345572.10101010B +++ 2347989.10101010C +++ 2347991.10101010 D +++ 5. 黑白两种颜色的正六边形地面砖如图的规律拼成若干个图案，则第2011个图案中 ， 白 色 地 面 砖 的 块 数 是 ( ) A ．8046 B ．8042 C ．4024 D ．6033 6. 如图.五角星魅力无穷,移动点由A 处按图中数字由小到大的顺序依次运动,当第一次结束回到A 处时,数字为6,按此规律无限运动,则数字2010应在 A. B 处 B. C 处 C. D 处 D. E 处 7. 下面几种推理过程是演绎推理的是 ( ) A.某校高三有8个班,1班有51人,2班有53人,3班有52人,由此推测各班人数 都超过50人； B.由三角形的性质，推测空间四面体的性质； C.平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平 分； D.在数列}{n a 中，)1 (21,11 11--+= =n n n a a a a ，由此归纳出}{n a 的通项公式. 8. 已知0x >，由不等式322211444 22,33,,2222x x x x x x x x x x x x +≥?=+=++≥??=L 可以推出结论：*1(),n a x n n N a x +≥+∈则=（ ） A ．2n B ．3n C ．n 2 D ．n n 9. 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息，设定原信息为}{),2,1,0(1,0,210=∈i a a a a i 传输信息为,12100h a a a h 其中 201100,a h h a a h ⊕=⊕=，⊕运算规则为.011,101,110,000=⊕=⊕=⊕=⊕例如原信 息为111，则传输信息为01111，传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接受信息出错，则下列接受信息一定有误的是 .A 11010 .B 01100 .C 10111 .D 00011 10. 下列推理过程是演绎推理的是（ ） A.两条直线平行，同旁内角互补，由此若,A B 行是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则180A B ??? 第十七章推理与证明 ★知识网络★ 第1讲合情推理和演绎推理 ★知识梳理★ 1.推理 根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理. 从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出的判断,叫结论. 2、合情推理: 根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理。 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类： （1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理 （2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。 3.演绎推理: 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提---已知的一般原理；（2）小前提---所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。 ★重难点突破★ 重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证,明确合情推理与演绎推理的区别与联系 难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律 重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明 1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性 问题1<；…. 对于任意正实数,a b ≤成立的一个条件可以是 ____. 点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故22=+b a 2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征 问题2：已知抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A 、B 两点，则当AB 与抛物线的对称轴垂直时，AB 的长度最短；试将上述命题类比到其他曲线，写出相应的一个真命题为 ． 点拨：圆锥曲线有很多类似性质，“通径”最短是其中之一，答案可以填：过椭圆的焦点作一 直线与椭圆交于A 、B 两点，则当AB 与椭圆的长轴垂直时，AB 的长度最短（22 2||a b AB ≥） 3、运用演绎推理的推理形式(三段论)进行推理 问题3：定义[x]为不超过x 的最大整数，则[-2.1]= 点拨：“大前提”是在],(x -∞找最大整数，所以[-2.1]=-3 ★热点考点题型探析★ 考点1 合情推理 题型1 用归纳推理发现规律 [例1 ] 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。 2 3135sin 75sin 15sin 020202= ++；23150sin 90sin 30sin 0 20202=++； 23165sin 105sin 45sin 020202=++；23 180sin 120sin 60sin 020202=++ 【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性,（2）观察角的“共性” [解析]猜想：2 3 )60(sin sin )60(sin 0 2202= +++-ααα 证明：左边=2 00 2 2 00 )60sin cos 60cos (sin sin )60sin cos 60cos (sin ααααα+++- = 2 3 )cos (sin 2322=+αα=右边 【名师指引】（1）先猜后证是一种常见题型 （2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性） [例2 ] (09深圳九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂 巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图 2019-2020年高中数学选修1-2合情推理 教学目标： 结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用 教学重点： 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用 教学过程 一、引入新课 1归纳推理 (一)什么是归纳推理 归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的命题，而结论则是关于该类事物或现象的普遍性命题。归纳推理的结论所断定的知识范围超出了前提所断定的知识范围，因此，归纳推理的前提与结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的。也就是说，其前提真而结论假是可能的，所以，归纳推理乃是一种或然性推理。 拿任何一种草药来说吧，人们为什么会发现它能治好某种疾病呢?原来，这是经过我们先人无数次经验(成功的或失败的)的积累的。由于某一种草无意中治好了某一种病，第二次，第三次，……都治好了这一种病，于是人们就把这几次经验积累起来，做出结论说，“这种草能治好某一种病。”这样，一次次个别经验的认识就上升到对这种草能治某一种病的一般性认识了。这里就有着归纳推理的运用。 (二)归纳推理与演绎推理的区别和联系 归纳推理与演绎推理的主要区别是：首先，从思维运动过程的方向来看，演绎推理是从一般性的知识的前提推出一个特殊性的知识的结论，即从一般过渡到特殊；而归纳推理则是从一些特殊性的知识的前提推出一个一般性的知识的结论，即从特殊过渡到一般。其实，从前提与结论联系的性质来看，演绎推理的结论不超出前提所断定的范围，其前提和结论之间的联系是必然的，即其前提真而结论假是不可能的。一个演绎推理只要前提真实并且推理形式正确，那么，其结论就必然真实。而归纳推理(完全归纳推理除外)的结论却超出了前提所断定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而只具有或然性，即其前提真而结论假是有可能的。也就是说，即使其前提都真也并不能保证结论是必然真实的。 归纳推理与演绎推理虽有上述区别，但它们在人们的认识过程中是紧密的联系着的，两者互相依赖、互为补充，比如说，演绎推理的一般性知识的大前提必须借助于归纳推理从具体的经验中概括出来，从这个意义上我们可以说，没有归纳推理也就没有演绎推理。当然，归纳推理也离不开演绎推理。比如，归纳活动的目的、任务和方向是归纳过程本身所不能解决和提供的，这只有借助于理论思维，依靠人们先前积累的一般性理论知识的指导，而这本身就是一种演绎活动。而且，单靠归纳推理是不能证明必然性的，因此，在归纳推理的过程中，人们常常需要应用演绎推理对某些归纳的前提或者结论加以论证。从这个意义上我们也可以说，没有演绎推理也就不可能有归纳推理。 (三)观察与实验 归纳推理是一种由特殊性知识的前提得出一般性知识的结论的推理。当然，人们在进行归纳推理的时候，总是先要搜集到一定的事实材料，有了个别性的、特殊性的知识作为前提， 高考中的类比推理 大数学家波利亚说过：“类比是某种类型的相似性，是一种更确定的和更概念性的相似。”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面一致性说清楚。类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移。 例1 半径为r 的圆的面积2 )(r r S ?=π，周长r r C ?=π2)(，若将r 看作),0(+∞上的变量，则r r ?=?ππ2)'(2， ①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R 的球，若将R 看作),0(+∞上的变量，请你写出类似于①的式子：_________________，②，②式可用语言叙述为___________. 解：由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式，类似写出恰好成立， ,3 4)(3R R V π=24)(R r S π=. 答案：①)'3 4(3R π.42R π= ②球的体积函数的导数等于球的表面积函数。 点评：主要考查类比意识考查学生分散思维，注意将圆的面积与周长与球的体积与表面积进行类比 例2 在等差数列｛a n ｝中，若a 10=0，则有等式a 1＋a 2＋……＋a n =a 1＋a 2＋……＋a 19－n （n ＜19，n ∈N *）成立。类比上述性质，相应地：在等比数列｛b n ｝中，若b 9=1，则有等式 成立。 分析：这是由一类事物（等差数列）到与其相似的一类事物（等比数列）间的类比。在等差数列｛a n ｝前19项中，其中间一项a 10=0，则a 1＋a 19= a 2＋a 18=……= a n ＋a 20－n = a n ＋1＋a 19－n =2a 10=0，所以a 1＋a 2＋……＋a n ＋……＋a 19=0，即a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1，又∵a 1=－a 19， a 2=－a 18，…，a 19－n =－a n ＋1，∴ a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1= a 1＋a 2＋…＋a 19－n 。相似地，在等比数列｛b n ｝的前17项中，b 9=1为其中间项，则可得b 1b 2…b n = b 1b 2…b 17－n （n ＜17，n ∈N * ）。 例3 在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2= BC 2。”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得到的正确结论是：“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直，则 ________________”。 分析：这是由低维（平面）到高维（空间）之间的类比。三角形中的许多结论都可以类比到三棱锥中（当然必须经过论证其正确性），像直角三角形中的勾股定理类比到三侧面两两垂直的三棱锥中，则有S △ABC 2＋S △ACD 2＋S △ADB 2= S △BCD 2。需要指出的是，勾股定理的证明也可进行类比。如在Rt △ABC 中，过A 作AH ⊥BC 于H ，则由AB 2=BH ·BC ，AC 2=CH ·BC 相加即得AB 2＋AC 2=BC 2；在三侧面两两垂直的三棱锥A —BCD 中，过A 作AH ⊥平面BCD 于H ，类似地由S △ABC 2=S △HBC ·S △BCD ，S △ACD 2=S △HCD ·S △BCD ，S △ADB 2=S △HDB ·S △BCD 相加即得S △ABC 2＋S △ACD 2＋S △ADB 2= S △BCD 2。 第五节合情推理与演绎推理 时间：45分钟分值：75分 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．下列说法正确的是() A．合情推理就是归纳推理 B．合理推理的结论不一定正确，有待证明 C．演绎推理的结论一定正确，不需证明 D．类比推理是从特殊到一般的推理 解析类比推理也是合情推理，因此，A不正确．合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，有待进一步证明，故B正确．演绎推理在大前提，小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确，否则就不正确，故C的说法不正确．类比推理是由特殊到特殊的推理，故D的说法也不正确． 答案 B 2．观察下式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，则第n个式子是() A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(2n－1)＝n2 B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(2n－1)＝(2n－1)2 C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2 D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2 解析方法1：由已知得第n个式子左边为2n－1项的和且首项为n，以后是各项依次加1，设最后一项为m，则m－n＋1＝2n－1，∴m＝3n－2. 方法2：特值验证法．n＝2时，2n－1＝3,3n－1＝5， 都不是4，故只有3n－2＝4，故选C. 答案 C 3．观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内画上合格的图形为( ) A. B. C. D. 解析 表格中的图形都是矩形、圆、正三角形的不同排列，规律是每一行中只有一个图形是空心的，其他两个都是填充颜色的，第三行中已经有正三角形是空心的了，因此另外一个应该是阴影矩形． 答案 A 4．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1， 外接圆面积为S 2，则S 1S 2 ＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P —ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2 ＝( ) A.18 B.19 C.164 D.127 解析 正四面体的内切球与外接球的半径之比为 ，故V 1V 2＝127. 答案 D 5．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( ) A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2 合情推理与演绎推理的意义 （1)合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推导过程。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。 （2)在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。例如，在研究球体时，我们会自然地联想到圆。由于球与圆在形状上有类似的地方，即都具有完美的对称性，都是到定点的距离等于定长的点的集合，因此我们推测圆的一些特征，球也可能有。 圆的切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于圆的半径，类似地，我们推测可能存在这样的平面，与球只交于一点，该点到球心的距离等于球的半径。平面内不共线的3个点确定一个圆，类似地，我们猜想空间中不共面的4个点确定一个球等。 演绎推理是数学中严格证明的工具，在解决数学问题时起着重要的作用。“三段论”是演绎推理的一般模式，前提和结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的。 例如，三角函数都是周期函数，sinx是三角函数，因此推导证明出该函数是周期函数。又如，这样一道问题“证明函数f(x)=-x+2x在（－0,1)上是增函数”。大前提是增函数的定义，小前提是推导函数f(x)在（－c,1)上满足增函数的定义，进而得出结论。 合情推理从推理形式上看，是由部分到整体、个别到一般、由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理。从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。 就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程。但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理。因此，合情推理与演绎推理是相辅相成的。 高中数学合情推理与演 绎推理专题自测试题 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】 2015年高中数学合情推理与演绎推理专题自测试题 【梳理自测】 一、合情推理 1．(教材习题改编)数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于( ) A．28 B．32 C．33 D．27 2．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式：S＝底×高 2 ，可推知扇形面积公式 S 扇 等于( ) A.r2 2 B. l2 2 C.lr 2 D．不可类比 3．给出下列三个类比结论： ①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n； ②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ； ③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. 其中结论正确的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 4．(教材改编)下面几种推理是合情推理的是________．(填序号) ①由圆的性质类比出球的有关性质； ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°； ③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分； ④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n边形内角和是(n－2)·180°. 答案：1.B 2.C 3.B 4.①②④ ◆以上题目主要考查了以下内容： (1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体，个别到一般的推理． (2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． 合情推理、演绎推理 一、考点梳理：（略） 二、命题预测： 归纳、类比和演绎推理是高考的热点，归纳与类比推理大多数出现在填空题中，为中、抵挡题，主要考察类比、归纳推理的能力；演绎推理大多出现在解答题中，为中、高档题，在知识的交汇点出命题，考察学生的分析问题，解决问题以及逻辑推理能力。预测2012年仍然如此，重点考察逻辑推理能力。 三、题型讲解： 1：与代数式有关的推理问题 例1、观察()()()() ()() 223 3 2 2 44 3 223, a b a b a b a b a b a ab b a b a b a a b ab b -=-+-=-++-=-+++进而猜想n n a b -= 例2、观察1=1，1-4=-（1+2），1-4+9=（1+2+3），1-4+9-16= -（1+2+3+4）…猜想第n 个等式是： 。 练习:观察下列等式：3 321 23+=，33321236++=，33332123410+++=，…，根据上述规律，第五个．．． 等式．． 为 。 。 练习：在计算“”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项： 由此得 … 相加，得 类比上述方法，请你计算“”，其结果为 . 2：与三角函数有关的推理问题 例1、观察下列等式，猜想一个一般性的结论，并证明结论的真假。 2020202020202020202020203 sin 30sin 90sin 150,23 sin 60sin 120sin 18023 sin 45sin 105sin 165, 23 sin 15sin 75sin 1352++= ++=++=++= 练习：观察下列等式： ① cos2α=2 cos 2 α－1； ② cos 4α=8 cos 4 α－8 cos 2 α+1； ③ cos 6α=32 cos 6 α－48 cos 4 α＋18 cos 2 α－1； ④ cos 8α= 128 cos 8α－256cos 6 α＋160 cos 4 α－32 cos 2 α＋1； ⑤ cos 10α=mcos 10α－1280 cos 8α＋1120cos 6 α＋ncos 4 α＋p cos 2 α－1； 可以推测，m －n+p= . 《合情推理—归纳推理》教学设计 （人教A版高中课标教材数学选修1—2第二章2.1第一课时） 2016年10月 《归纳推理》教学设计 一、教学内容分析 本节课内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版选修1—2第二章《推理与证明》2.1《合情推理与演绎推理》的第一课时《归纳推理》，归纳推理为合情推理的一个类型.本课作为本章节的起始课要了解推理的含义，通过实例进一步了解归纳推理的含义，通过对归纳推理过程的感知，了解推理过程，进而能利用归纳进行简单的推理. 归纳推理是合情推理的一个重要类型，数学发现的过程往往包含有归纳推理的成分，在人类文明、创造活动中，归纳推理也扮演了重要的角色.归纳推理是作为一种思维活动存在的，教学的内容不是学习某一具体知识，而是感悟一系列的思维过程，逐步形成一种“思维习惯”，作为起始课形成习惯是困难的，但体验“过程”是相对容易的，“体验之旅”将成为本节课的主线.归纳推理的过程我们概括为“观察—分析—归纳—猜想”，对于“证明”我们暂不做要求，因此重点感悟归纳推理的过程，证明做适当引导. 归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，这本身就体现了特殊与一般的数学思想，由于猜想结果超出了前提界定的范围，前提与结论之间的联系不是必然的，这又体现了必然与或然的数学思想.本课中的实例在数学史中都是赫赫有名的，“四色猜想”、费马数、哥德巴赫猜想、问题4中的毕达哥拉斯平方数等，这些实例展现了一代代数学家对于数学的好奇心和想象力体现了他们不畏困难，坚持不懈的探索精神，抓住这些内容可以培养学生“勇于探究”的精神，这一精神正是新一轮课程改革强调的学生核心素养中“科学精神”的重要体现。新一轮的课程改革即将到来，作为普通教师也有必要在教学中未雨绸缪，避免大寒索裘.数学思想和数学文化将作为本课的一条暗线穿插于教学内容之中. 本节课的教学重点：了解归纳推理的含义，通过实例，掌握“观察—分析—归纳—猜想”的推理过程. 二、教学目标设置 《合情推理与演绎推理》教案 合情推理 教学要求：结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理，体 会并认识归纳推理在数学发现中的作用? 教学重点：能利用归纳进行简单的推理? 教学难点：用归纳进行推理，作出猜想. 教学过程： 一、新课引入： 1. 哥德巴赫猜想：观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7,……,50=13+37,……,100=3+97，猜测：任一偶数(除去2,它本身是一素数) 可以表示成两个素数之和.1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上 举世闻名的猜想.1973 年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2” . 2. 费马猜想：法国业余数学家之王一费马(1601-1665 )在1640年通过对F。22 1 3 , 1 2 3 4 F! 22 1 5 , F2 22 1 17 , F3 22 1 257 , F4 22 1 65 537 的观察，发现其结果 n 都是素数，于是提出猜想：对所有的自然数n,任何形如F n 221的数都是素数.后来瑞士 5 数学家欧拉，发现F5 221 4 294 967 297 641 6 700 4 1 7不是素数，推翻费马猜想. 3. 四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着 色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的 国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判 断，完成证明. 二、讲授新课： 1. 教学概念： ①概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的 推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.简言之，归纳推理是由部分 到整体、由个别到一般的推理. ②归纳练习：(i)由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？ (ii )由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度，能归纳出什么结论？ (iii )观察等式：1 3 4 22, 1 3 5 9 32, 1 3 5 7 9 16 42，能得出怎样的结 论？ ③讨论：(i)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？ (ii )归纳推理有何作用？(发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段) (iii )归纳推理的结果是否正确？(不一定) 2. 教学例题： a ①出示例题：已知数列a n的第1项31 2，且a n 1 — (n 1,2,L )，试归纳出通项公式. 1 a n (分析思路：试值n=1, 2, 3, 4 T猜想a n宀如何证明：将递推公式变形，再构造新数列) ②思考：证得某命题在n= n 0时成立；又假设在n= k时命题成立，再证明n= k + 1时命题 也成立.由这两步，可以归纳出什么结论？(目的：渗透数学归纳法原理，即基础、递推关 题型一 用归纳推理发现规律 例1： 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。 2 3135sin 75sin 15sin 020202= ++；23150sin 90sin 30sin 020202=++； 23165sin 105sin 45sin 020202=++；2 3 180sin 120sin 60sin 020202=++. 解析：猜想：23 )60(sin sin )60(sin 02202=+++-ααα 证明：左边=2002200)60sin cos 60cos (sin sin )60sin cos 60cos (sin ααααα+++- =2 3 )cos (sin 2322=+αα=右边 注；注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性,（2）观察角的“共 性” （1）先猜后证是一种常见题型 （2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性） 题型二 用类比推理猜想新的命题 例2：已知正三角形内切圆的半径是高的1 3 ，把这个结论推广到空间正四面体， 类似的结论是______. 解析：原问题的解法为等面积法，即h r ar ah S 3 1 21321=??==，类比问题的解 法应为等体积法， h r Sr Sh V 41 31431=??==即正四面体的内切球的半径是高 4 1 注：（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比 （2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；圆锥曲线间的类比等 （3）在平面和空间的类比中，三角形对应三棱锥（即四面体），长度对应面积；面积对应体积； 点对应线；线对应面；圆对应球；梯形对应棱台等。 （4）找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等 题型三 利用“三段论”进行推理 数学1-1 合情推理练习题 一、选择题 1．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数 目的点可以排成一个正三角形(如图)，则第七个三角形数是( ) A ．27 B ．28 C ．29 D ．30 2．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于( ) 1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1111 1234×9＋5＝11111 12345×9＋6＝111111 …… A ．1111110 B ．1111111 C ．1111112 D ．1111113 3．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如： 他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将 其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形 数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( ) A ．289 B ．1024 C ．1225 D ．1378 4．下面类比推理中恰当的是( ) A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ” B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ” C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“a ＋b c ＝a c ＋b c (c ≠0)” D ．“(ab )n ＝a n b n ”类比推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ” 5．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2 ，可推知扇形面积公式S 扇等于( ) A.r 22 B.l 22 C.lr 2 D ．不可类比 6．下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适( ) A ．三角形 B ．梯形 C ．平行四边形 D ．矩形 7．观察右图图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( ) A. B ．△ C ．? D ．○ 8．下列推理正确的是( ) A ．把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则有log a (x ＋y )＝log a x ＋log a y B ．把a (b ＋c )与sin(x ＋y )类比，则有sin(x ＋y )＝sin x ＋sin y C ．把a (b ＋c )与a x ＋y 类比，则有a x ＋ y ＝a x ＋a y D ．把a (b ＋c )与a ·(b ＋c )类比，则有a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c 9．我们把1,4,9,16,25，…这些数称作正方形数，这是因为这些数 目的点子可以排成一个正方形(如下图)，则第n 个正方形数是( ) 合情推理与演绎推理 目标要求：1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发展中的作用.2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异． 考查角度[合情推理] 1．(2014·课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市； 丙说：我们三人去过同一城市． 由此可判断乙去过的城市为________． 解：由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙没去过C 城市，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A. 【答案】 A 2．(2013·陕西高考)观察下列等式： (1＋1)＝2×1， (2＋1)(2＋2)＝22×1×3， (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5， …… 照此规律，第n个等式可为________． 解：从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一 致，其中左边连乘式中第二个加数从1开始，逐项加1递增，右边连乘式中从第二个乘数开始，组成以1为首项，2为公差的等差数列，项数与第几等式保持一致，则照此规律，第n 个等式可为(n ＋1)(n ＋ 2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)． 【答案】 (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1) 3．(2013·湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种 多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ， 正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ， 六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ， …… 可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________. 解：由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，…，可以推测：当k 为偶数 时，N (n ，k )＝? ????k 2－1n 2－? ?? ??k 2－2n ，于是N (n ，24)＝11n 2－10n .故N (10,24)＝11×102－10×10＝1 000. 【答案】 1 000 [命题规律预测] 合情推理、演绎推理 一、考点 二、命题预测： 归纳、类比和演绎推理是高考的热点，归纳与类比推理大多数出现在填空题中，为中、抵挡题，主要考察类比、归纳推理的能力；演绎推理大多出现在解答题中，为中、高档题，在知识的交汇点出命题，考察学生的分析问题，解决问题以及逻辑推理能力。预测2012年仍然如此，重点考察逻辑推理能力。 三、题型讲解： 1：与代数式有关的推理问题 例1、观察()()()() ()() 223 3 2 2 44 3 223, a b a b a b a b a b a ab b a b a b a a b ab b -=-+-=-++-=-+++进而猜想n n a b -= 例2、观察1=1，1-4=-（1+2），1-4+9=（1+2+3），1-4+9-16= -（1+2+3+4）…猜想第n 个等式是： 。 练习:观察下列等式：3 321 23+=，33321236++=，33332123410+++=，…，根据上述规律，第五个．．． 等式．． 为 。 解析：第i 个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1+2+...+（i+1）的平方所以第五个．．． 等式．． 为3333332 12345621+++++=。 练习：在计算“1223(1)n n ?+?+???++”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项： 1 (1)[(1)(2)(1)(1)],3 k k k k k k k k +=++--+由此得 112(123012),3?=??-??123(234123),3?=??-?? (1) (1)[(1)(2)(1)(1)].3 n n n n n n n n +=++--+ 相加，得1 1223(1)(1)(2).3 n n n n n ?+?+???++= ++ 类比上述方法，请你计算“123234(1)(2)n n n ??+??+???+++”，其结果为 . 答案：1 (1)(2)(3) 4 n n n n +++ 2：与三角函数有关的推理问题 例1、观察下列等式，猜想一个一般性的结论，并证明结论的真假。 第五节合情推理与演绎推理 [备考方向要明了] 考什么怎么考 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行 简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用． 2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模 式，并能运用它们进行一些简单推理． 3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. 1.合情推理的考查常单独命题，以选择 题、填空题的形式考查，如2012年江西 T6，陕西T11，湖南T16等． 2.对演绎推理的考查则渗透在解答题 中，侧重于对推理形式的考查. [归纳·知识整合] 1．合情推理 (1)归纳推理： ①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理． ②特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理． (2)类比推理 ①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理． ②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理． [探究] 1.归纳推理的结论一定正确吗？ 提示：不一定，结论是否真实，还需要经过严格的逻辑证明和实践检验． 2．演绎推理 (1)模式：三段论 ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断． (2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理． [探究] 2.演绎推理所获得的结论一定可靠吗？ 提示：不一定，只有前提是正确的，推理形式是正确的，结论才一定是真实的，错误的前提则可能导致错误的结论． [自测·牛刀小试] 1．下面几种推理是合情推理的是() ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，五边形的内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n－2)·180°. A．①②B．①③ C．①②④D．②④ 解析：选C①是类比推理，②④是归纳推理，③是非合情推理． 2．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 013的末四位数字为() A．3 125 B．5 625 C．0 625 D．8 125 解析：选A55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，，58＝390 625，59＝1 953 125，可得59与55的后四位数字相同，…，由此可归纳出5m＋4k与5m(k∈N*，m＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 013＝4×502＋5，所以52 013与55后四位数字相同为3 125. 3．给出下列三个类比结论． ①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n； ②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. 其中结论正确的个数是() A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选B①②不正确，③正确． 4．(教材习题改编)有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线；已知直线b?平面α，直线a?平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”，结论显然是错误的，这是因为() A．大前提错误B．小前提错误 C．推理形式错误D．非以上错误 解析：选A大前提是错误的，直线平行于平面，则不一定平行于平面内所有直线，还 13.2 合情推理与演绎推理 一、填空题 1．下列表述正确的是________． ①归纳推理是由部分到整体的推理 ②归纳推理是由一般到一般的推理 ③演绎推理是由一般到特殊的推理 ④类比推理是由特殊到一般的推理 ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理 解析 归纳推理是由个别到一般的推理，故②错． 答案 ①③⑤ 2．已知数列{a n }满足a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)(n ∈N *)，定义使a 1·a 2·a 3·…·a k 为整数的数k (k ∈N *)叫做幸运数，则k ∈[1,2 011]内所有的幸运数的和为________． 解析 a 1·a 2·a 3·…·a k ＝lg 3lg 2·lg 4lg 3·lg 5 lg 4 ·…·k ＋k ＋ ＝ k ＋lg 2 ＝log 2(k ＋2)为整数，所以k ＝2t －2(t ∈N *)，又k ∈[1,2 011]， 所以k ＝2,22,23，…，210，和为2(210－1)＝2 046. 答案 2 046 3．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则 g (－x )＝________. 解析 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )． 答案 －g (x ) 4．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________． 解析 ∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为1∶8. 答案 1∶8 5.设等差数列{n a }的前n 项和为n S ,则484S S S ,-,1281612S S S S -,-成等差数列.类 庖丁巧解牛 知识·巧学 一、合情推理 1.推理的概念 根据一个或几个已知的事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫推理.推理一般由两部分组成:前提和结论. 2.合情推理 当前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理.合情推理中，当前提为真时，结论可能为真，也可能为假.归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理.一般来说,由合情推理所获得的结论,仅仅是一种猜想,未必可靠,例如费马猜想就被大数学家欧拉推翻了. 方法点拨合情推理是指“合乎情理”的推理.数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向，其推理过程为 3.归纳推理 根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，或者由个别事实概括出一半结论的推理，叫做归纳推理(简称归纳).归纳推理是从部分到整体，从个别到一般的推理.应用归纳推理获得的新结论,一般只能作为猜想,虽然猜想是否正确还有待严格的证明,但是这个猜想可以为我们的研究提供一种方向. 归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围. 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需要经过逻辑证明和实践检验.因此，它不能作为数学证明的工具. 归纳推理是一种具有创造性的推理.通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题. 方法点拨归纳推理的前提与结论只具有或然性联系，其结论不一定正确.结论的正确性还需要理论证明或实践检验.其一般步骤为:通过观察个别情况发现某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题. 4.类比推理 根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性和其中一类对象的某些已知特征，推测另一类事物具有与这些类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比).类比推理是由特殊到特殊的推理.运用类比推理常常是先要寻找合适的类比对象,我们可以从不同角度出发确定类比对象,基本原则是根据当前的实际,选择适当的类比对象. 方法点拨类比推理的一般步骤为:找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想). 二、演绎推理 1.演绎推理 根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理，叫做演绎推理.演绎推理的特征是:当前提为真时，结论必然为真.演绎推理是由一般到特殊的推理.数学中的证明主要是通过演绎推理来进行的.常见的演绎推理包括:假言推理、三段论推理、关系推理、完全归纳推理等，演绎推理的一般形式是三段论推理. 2.假言推理 如果一个推理的规则能用符号表示为“如果p q，p真，则q真”，那么这种推理规则高中数学-合情推理与演绎推理测试题
(整理)合情推理和演绎推理》.
2019-2020年高中数学选修1-2合情推理
苏教版数学高二-2.1素材 《合情推理与演绎证明》文字素材1
6-5第五节 合情推理与演绎推理练习题(2015年高考总复习)
合情推理与演绎推理的意义
高中数学合情推理与演绎推理专题自测试题修订稿
合情推理演绎推理专题练习及答案
高中数学《合情推理—归纳推理》公开课优秀教学设计
《合情推理与演绎推理》教案完美版
合情推理与演绎推理题型整理总结
高中数学选修1-1 合情推理练习题
合情推理与演绎推理
(完整版)合情推理演绎推理专题练习及答案
合情推理与演绎推理
高中数学合情推理与演绎推理
最新人教版高中数学选修1-2《合情推理与演绎推理》教材梳理
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