高阶线性微分方程常用解法简介 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值 解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根
常系数线性微分方程的解法 摘要：本文对常系数线性方程的各种解法进行分析和综合，举出了每个方法的例题，以便更好的掌握对常系数线性微分方程的求解. 关键词：特征根法；常数变易法；待定系数法 Method for solving the system of differential equation with Constant Coefficients Linear Abstract: Based on the linear equations with constant coefficients of analysis and synthesis method, the method of each sample name, in order to better grasp of the linear differential equation with constant coefficients of the solution. Key Words: Characteristic root ；Variation law ；The undetermined coefficient method 前言：常系数性微分方程因形式简单，应用广泛，解的性质及结构已研究的十分清楚，在常微分方程中占有十分突出的地位。它的求解是我们必须掌握的重要内容之一，只是由于各种教材涉及的解法较多，较杂，我们一般不易掌握，即使掌握了各种解法，在具体应用时应采用哪种方法比较适宜，我们往往感到困难。本文通过对一般教材中涉及的常系数线性微分方程的主要解法进行分析和比较，让我们能更好的解常系数线性微分方程。 1．预备知识 复值函数与复值解 如果对于区间a t b ≤≤中的每一实数t ，有复值()()()z t t i t ?ψ=+与它对应，其中()t ?和()t ψ是在区间a t b ≤≤上定义的实函数，1i =-是虚数单位，我们就说在区间a t b ≤≤上给定了一个复值函数()z t .如果实函数()t ?，()t ψ当t 趋于 0t 时有极限，我们就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限，并且定义
第二讲§4.2 n 阶常系数线性齐次方程的解法(2学时) 教学目的: 本节主要讨论n 阶常系数线性齐次方程的解法。 教学要求: 掌握n 阶常系数线性齐次方程的一些解法，了解复值函数与复值解的有关结论。 教学重点: n 阶常系数齐次线性方程的特征根法和待定系数法 教学难点: 特征根法和待定系数法 教学方法: 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段: 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 上一节我们已详细地讨论线性方程通解的结构问题,但是如何求通解的方法还没有具体给出,事实上,对一般的线性方程是没通用的解法.本节介绍求解常系数齐次线性方程通解的方法,是在线性方程基本理论上化为解一个相应的代数方程,而不必进行积分运算.进而介绍可化为常系数齐次线性方程的解法. 讨论常系数线性方程的解法时,需要涉及到定变量的变值函数及复指数函数的问题.为此首先作一介绍. 一. 复值函数与复值解 1. 复值函数 若)()(t t ψ?和是区间b t a ≤≤上定义的实函数,我们称) 1(),()()(2 -=+=i t i t t z ψ?为区间b t a ≤≤上的复值函数. 若)(),(t t ψ?在b t a ≤≤上连续，则称z(t)在b t a ≤≤上连续. 若)(),(t t ψ?在b t a ≤≤上可微，则称z(t)在b t a ≤≤上可微. 且z(t)的导数为: ,dt d i dt d dt dz ψ?+= 复函数求导法则与实函数相同. 2．复指数函数 ()()(cos sin )i t t z t e e t i t αβαββ+==+， 欧拉公式:cos sin i e i θθθ=+ 3．复值解 定义 定义在区间a t b ≤≤上的实变量复值函数)(t z x =称为方程(4.5)的复值解，如果 ()(1)11()()()()n n n n z p t z p t z p t z f t --'++++= 对于a t b ≤≤恒成立。 对线性方程的复值解有下面的两个结论：
第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数 非齐次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 y py qy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么y C 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使y e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将y e rx 代入方程 y py qy 0 得 (r 2pr q )e rx 0 由此可见 只要r 满足代数方程r 2pr q 0 函数y e rx 就是微分方程的解 特征方程 方程r 2pr q 0叫做微分方程y py qy 0的特征方程 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解 这是因为
函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 x r e y 11=是方程的解 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(121111 =++++=q pr r xe p r e x r x r 所以x r xe y 12=也是方程的解 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数y e ( i )x 、y e (i )x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 函数y e x cos x 、y e x sin x 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解 函数y 1e (i )x 和y 2e (i )x 都是方程的解 而由欧拉公式 得 y 1e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 2e (i )x e x (cos x i sin x ) y 1y 22e x cos x )(21cos 21y y x e x +=βα y 1y 2 2ie x sin x )(21sin 21y y i x e x -=βα 故e x cos x 、y 2e x sin x 也是方程解 可以验证 y 1e x cos x 、y 2e x sin x 是方程的线性无关解 因此方程的通解为 y e x (C 1cos x C 2sin x )
常系数线性微分方程的解法 摘 要：本文主要介绍了常系数线性微分方程的解法.着重讨论利用代数运算和微分运算来求常系数齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的通解. 关键词：复值函数与复值解；欧拉方程；比较系数法；拉普拉斯变换法 The Solution of Linear Differential Equation with Constant Coefficients Abstract ：The solutions of linear differential equation with constant coefficients are introduced in this article. And using the algebraic operation and differential operation to solv the general solution of homogeneous linear differential equation and nonhomogeneous linear differential equation are discussed emphatically. Key Words ：complex flnction and complex answer; euler equation;the method of coefficients comparison; the method of laplace transformation. 前言 为了让我们更多的认识和计算常系数线性微分方程，本文通过对复值函数和复值解以及常系数线性微分方程和欧拉函数的简单介绍，进而简单讨论了常系数线性微分方程的解法,以此来帮助我们解决常系数线性微分方程的解. 1. 预备知识 1.1复值函数与复值解 如果对于区间a t b ≤≤中的每一个实数t ,有复数()()()z t t i t ?ψ=+与它对应,其中 ()t ?和()t ψ是在区间a t b ≤≤上定义的实函数,i =是虚数单位,我们就说在区间 a t b ≤≤上给定了一个复值函数()z t .如果实函数()t ?,()t ψ当t 趋于0t 时有极限,我们 就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限,并且定义 lim ()lim ()lim ()t t t t t t z t t t ?ψ→→→=+. 如果0 0lim ()()t t z t z t →=,我们就称()z t 在0t 连续.显然,()z t 在0t 连续相当于()t ?,()t ψ在0 t 连续.当()z t 在区间a t b ≤≤上每点都连续时,就称()z t 在区间a t b ≤≤上连续.如果极
§12.4 线性微分方程 一、 线性方程 线性方程: 方程)()(x Q y x P dx dy =+叫做一阶线性微分方程. 如果Q (x )≡0 , 则方程称为齐次线性方程, 否则方程称为非齐次线性方程. 方程0)(=+y x P dx dy 叫做对应于非齐次线性方程)()(x Q y x P dx dy =+的齐次线性方程. 下列方程各是什么类型方程？ (1)y dx dy x =-) 2(?021=--y x dx dy 是齐次线性方程. (2) 3x 2+5x -5y '=0?y '=3x 2+5x , 是非齐次线性方程. (3) y '+y cos x =e -sin x , 是非齐次线性方程. (4)y x dx dy +=10, 不是线性方程. (5)0)1(32=++x dx dy y ?0)1(23=+-y x dx dy 或3 2)1(x y dy dx +-, 不是线性方程. 齐次线性方程的解法: 齐次线性方程 0)(=+y x P dx dy 是变量可分离方程. 分离变量后得 dx x P y dy )(-=, 两边积分, 得 1)(||ln C dx x P y +-=? , 或 )( 1)(C dx x P e C Ce y ±=?=-, 这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）. 例1 求方程y dx dy x =-)2(的通解. 解 这是齐次线性方程, 分离变量得 2 -=x dx y dy ,
两边积分得 ln|y |=ln|x -2|+lnC , 方程的通解为y =C (x -2). 非齐次线性方程的解法: 将齐次线性方程通解中的常数换成x 的未知函数u (x ), 把 ?=-dx x P e x u y )()( 设想成非齐次线性方程的通解. 代入非齐次线性方程求得 )()()()()()()()()(x Q e x u x P x P e x u e x u dx x P dx x P dx x P =?+?-?'---, 化简得 ?='dx x P e x Q x u )()()(, C dx e x Q x u dx x P +?=?)()()(, 于是非齐次线性方程的通解为 ])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +??=? -, 或 dx e x Q e Ce y dx x P dx x P dx x P ? ??+?=--)()()()(. 非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和. 例2 求方程25)1(1 2+=+-x x y dx dy 的通解. 解 这是一个非齐次线性方程. 先求对应的齐次线性方程 012=+-x y dx dy 的通解. 分离变量得 1 2+=x dx y dy , 两边积分得 ln y =2ln (x +1)+ln C , 齐次线性方程的通解为 y =C (x +1)2. 用常数变易法. 把C 换成u , 即令y =u ?(x +1)2, 代入所给非齐次线性方程, 得
第八章 8.4讲 第四节 二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)
的通解. 2.线性相关、线性无关的概念 设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 2 2 sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若 =21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且 ≠=x y y tan 2 1 常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,
§4.2 常系数线性方程的解法 讨论常系数线性方程的解法时，需要涉及实变量的复值函数及复指数函数的问题，我们在4.2.1中预先给以介绍。 4.2.1 复值函数与复值解 如果对于区间a t b ≤≤中的每一实数t ，有复数()()()z t t i t ?ψ=+与它对应，其中()t ?和 ()t ψ是区间a t b ≤≤上定义的实函数，i 是虚数单位，我们就说在区间a t b ≤≤上给定了 一个复值函数()z t 。如果实函数()t ?，()t ψ当t 趋于0t 时有极限， 我们就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限，并且定义 lim ()lim ()lim ()t t t t t t z t t i t ?ψ→→→=+ 如果0 0lim ()()t t z t z t →=，我们就称()z t 在0t 连续。显然，()z t 在0t 连续相当于()t ?、()t ψ在 0t 连续。当()z t 在区间a t b ≤≤上每一点都连续时，就称()z t 在区间a t b ≤≤上连续。如 果极限0 00 ()() lim t t z t z t t t →--存在，就称()z t 在0t 有导数（可微）。且记此极限为0()dz t dt 或者 0()z t '。显然()z t 在0t 处有导数相当于()t ?、()t ψ在0t 处有导数，且 000()()() dz t d t d t i dt dt dt ?ψ=+ 如果()z t 在区间a t b ≤≤上每点都有导数，就称()z t 在区间a t b ≤≤上有导数。对于高阶导数可以类似地定义。 设12(),()z t z t 是定义在a t b ≤≤上的可微函数，c 是复值常数， 容易验证下列等式成立： []1212()()()()dz t dz t d z t z t dt dt dt +=+ []11()()dz t d cz t c dt dt = []121221()()()()()()dz t dz t d z t z t z t z t dt dt dt ?=?+? 在讨论常系数线性方程时，函数Kt e 将起着重要的作用，这里K 是复值常数，我们现在给出它的定义，并且讨论它的简单性质。 设K i αβ=+是任一复数，这里,αβ是实数，而t 为实变量，我们定义 ()(cos sin )Kt i t t e e e t i t αβαββ+==+
4-11-常系数高阶线性齐次方程的解法
精品资料 4.2 常系数高阶线性方程基本解组求法 (How to Solve higher order Linear ODE with constant coefficients) [教学内容] 1. 介绍常系数高阶齐次线性微分方程特征方程的概念; 2.介绍如何由常系数高阶齐次线性微分方程特征方程的根来获得原微分方程基本解组; 3. 介绍如何说明常系数齐次线性微分方程一组解能否构成基本解组;4. 介绍欧拉方程及其解法. [教学重难点] 重点是知道并会常系数高阶齐次线性微分方程（或欧拉方程）特征方程来获得原微分方程基本解组；难点是如何由特征方程的特征根来写出原微分方程的基本解组. [教学方法] 预习1、2；讲授3 [考核目标] 1. 能写出常系数高阶齐次线性微分方程或欧拉方程的特征方程的形式 2. 能由常系数高阶齐次线性微分方程或欧拉方程的特征方程的特征根写出原微分方程基本解组; 3. 知道试解法以及微分方程复函数解概念以及其与实函数解关系. 1.认识常系数高阶齐次线性微分方程的试解法. 例45. 考察微分方程?Skip Record If...?，由分离变量法可得其通解为?Skip Record If...?. 现考察常系数齐次线性微分方程?Skip Record If...?. 大胆假定方程具有形如?Skip Record If...?的解，将其代入原方程得到，?Skip Record If...?. 注意到?Skip Record If...?，因此?Skip Record If...?是方程的解?Skip Record If...??Skip Record If...?. 我们称代数方程?Skip Record If...?为微分方程?Skip Record If...?的特征方程. ( 如何由常系数齐次线性微分方程来写出其特征方程？) 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2
线性方程组解的结构（解法） 一、齐次线性方程组的解法 【定义】 r (A )= r
第四讲 常系数线性微分方程组的解法（4课时） 一、目的与要求: 理解常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念, 掌 握常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程： 1 新课引入 由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组. 但是对于一般的方程组(3.8)，如何求出基本解组，至今尚无一般方法. 然而对于常系数线性齐次方程组 dY AY dx = (3.20) 其中A 是n n ?实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决. 本节将介绍前一种方法，因为它比较直观. 由线性代数知识可知，对于任一n n ?矩阵A ，恒存在非奇异的n n ?矩阵T ，使矩阵 1T AT -成为约当标准型. 为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换 Y TZ = (3.21) 其中()(,1,2, ,),ij T t i j n == det 0T ≠,将方程组(3.20)化为 1dZ T ATZ dx -= (3.22) 我们知道，约当标准型1 T AT -的形式与矩阵A 的特征方程 11121212221 2 det()0n n n n nn a a a a a a A E a a a λλλλ ---= =-
的根的情况有关. 上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵 A 的特征根. 下面分两种情况讨论. (一) 矩阵A 的特征根均是单根的情形. 设特征根为12,, ,,n λλλ这时 12 1 00 n T AT λλλ-????? ?=?????? 方程组(3.20)变为 11122 200n n n dz dx z dz z dx z dz dx λλλ?????????????? ????????= ???????????????? ?????? (3.23) 易见方程组(3.23)有n 个解 1110(),00x Z x e λ????????=???????? 220010(), ,()0001n x x n Z x e Z x e λλ???? ?????? ?? ????==???????????????? 把这n 个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的n 个解 12()i i i i x x i i ni t t Y x e e T t λλ?? ????==?????? (1,2,,)i n =
二阶常系数非齐次微分方程典型例题 例1：y′′?5y′+6y=e?x 解：通过特征根方程可知，y′′?5y′+6y=0的通解为： y=C1e2x+C2e3x 观察通解特征，设特解y?=k e?x y?′=?k e?x ,y?′′=k e?x 代入原方程得：12ke?x=e?x, k=1 12 答案：y=C1e2x+C2e3x+1 12 e?x 例2：y′′?5y′+6y=2e3x 解：通过特征根方程可知，y′′?5y′+6y=0的通解为： y=C1e2x+C2e3x 观察通解特征，设特解y?=k xe3x y?′=k(1+3x)e3x ,y?′′=k(6+9x)e3x 代入原方程得：k e3x=2e3x ,k=2 答案：y=C1e2x+C2e3x+2xe?x 例3：y′′?5y′+6y=2x+4cos3x?e x 解：通过特征根方程可知，y′′?5y′+6y=0的通解为： y=C1e2x+C2e3x 观察通解特征，设特解y?=ax+b+ccos(3x)+dsin(3x)+ke x y?′=a?3csin3x+3dcos3x+ke x ,y?′′=?9ccos3x?9dsin3x+ke x 代入原方程得：a=1 3,b=5 18 ,c=?2 39 ,d=?10 39 ,k=?1 2 . 答案：y=C1e2x+C2e3x+1 3x+5 18 ?2 39 cos(3x)?10 39 sin(3x)?1 2 e x 例4：y′′?2y′+y=2e3x 解：通过特征根方程可知，y′′?2y′+y=0的通解为： y=C1e x+C2xe x 观察通解特征，设特解y?=k e3x y?′=3k e3x ,y?′′=9k e3x 代入原方程得：k=1 2 答案：y=C1e x+C2xe x+1 2 e x 例5：y′′?2y′+y=2e x 解：通过特征根方程可知，y′′?2y′+y=0的通解为： y=C1e x+C2xe x 观察通解特征，设特解y?=k x2e x
齐次线性方程组的基础解系及其应用 齐次线性方程组一般表示成AX=0的形式，其主要结论有： （1）齐次线性方程组AX=0一定有解，解惟一的含义是只有零解，有非零解的含义是解不惟一（当然有无穷多解）。有非零解的充要条件是R(A)
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