第七章 耦合电感与理想
变压器
7-1 图题7-1所示电路，求
1()
u t 和
2()
u t 。
答案
解：
111()
()10sin 10cos(90)()di t u t L t t V dt ?==-=+
12()() 2.5sin 2.5cos(90)()
di t u t M t t V dt
?==-=+
7-2 图题7-2所示电路，
11L H
=，
22L H
=，0.5M H =，121R R K ==Ω
，
()100cos 200s u t tV
π=。
求()i t 和耦合系数K 。
解：因
0.354K =
==，故得
1222L L L M H
=+-=
121002000400m m U I R R j L j ωπ?
?
=
=
+++
42.332.14()mA ?
=∠-
()42.3cos(20032.14)i t t mA π?
∴=-
7-3 耦合电感
16L H
=，
24L H
=，3M H =。求它们作串联、并联时的各等效电感。
答案
解：两电感串联时：
a)顺接：
12216()
L L L M H =++=
b)反接：1224()
L L L M H =+-=
两电感并联时：
a)同名端同侧：2121215/4()
2L L M L H L L M -==+-
b)同名端异侧：2121215/16()
2L L M L H L L M -==++
7-4 图题7-4所示为变压器电路，已知12220
u =V 。今测得
345612u u V
==。求两种不
同连接法时伏特计的读数。
图 题 7-4 答案
解：
12)2200a U V
?
?
=∠设 得
3412U V
?
=
5612U V
?
=-
34560U U U V
?
?
?
=+= 所以电压表的读数为0V 。
34)12b U V ?
=-Q ,
5612U V
?
=-，由图（b ）所示
345624U U U V
???
=+=- 所以电压表的读数为24V 。
7-5 图题7-5所示示电路，10/rad s ω=。（1）0.5K =，求1I ?
、2I
?
；（2）1K =，
再求
1
I ?
、
2
I ?
；
答案
解：(1)0.5K =Q
12
0.5M K L L H
∴==
12120.51000.5(10)0
j I j I j I j I ωωωω??
???
-=???-++=?
解得
111.381.87I A
?
?=∠
2436.9I A
?
?=∠-
2
2160L L P I R W
==
（2）1K =Q
121M K L L H
∴==
列方程组:
1212101010010(1010)0j I j I j I j I ?????-=???-++=? 解得 121010100I j A I A ???=-=∠
221000L L P I R W
==
7-6 图示电路,0.1K =,1000/rad s ω=。求2I
?
。
解：0.1
K=
Q
12
0.2
M K L L H
∴==
200()
j M j
ω=Ω
V
j
K
j
K
U
OC
45
2
10
200
1
1
100
∠
=
?
+
=
203980
o
Z j
=+
由图7-6(b),得
2
3.4430.625
1
oc
o
U
I mA
K Z
?
?
?
==∠-
+
7-7 图题7-7所示电路,
()120cos1000
s
u t tV
=，
求i1(t)。
答案
解:
()120cos1000
s
u t tV
=
Q
1000
ω
∴=
22
22
1
L
L
M
Z
R R j L
j C
ω
ω
ω
=
+++
3.98K =Ω
121
120
29.214.13.9851s L U I mA
R j L Z K j K ω?
?
?=
==∠-++++
1()29.2cos(100014.1)i t t mA
?∴=-
7-8 图题7-8所示电路,求a 、b 端的等效电感。
答案
解: Q 图7-8(a)等效为图7-8(b)
6(4)
142()
6(4)L mH ?-∴=+
=+-
7-9 图题7-9所示电路,()cos u t tV ω=,()cos i t tA ω=。求两个电源发出的功率。
答案
解: 设变压器两边的电压相量分别是1
U
?
、2
U
?
,电流相量分别为1
I
?
、2
U
?
、2
I
?
。则有
21
22/2
U U V
??
==
12
22/2
I I A
??
==
W
I
U
P1
2
2
2
1
1
1
1
=
?
=
=
W
I
U
P1
2
2
2
1
1
1
1
-
=
?
-
=
-
=
7-10 图题7-10所示电路,为使R获得最大功率,求n及此最大功率。
答案
解：设理想变压器两端电压分别为1
U
?
、2
U
?
，电流为1
I
?
、2
I
?
，方向如图所示：列方程组得：
121
122
21211.50.5100.5 1.51U U I
U U I U nU I I n ???
????
????
-=-??-+=-???=???=-??
2121(1.5/0.5)1011.50.5/)0
n U I n U I n ????
?
-+=???--=??
2220323n
U n n ?
?=
-+
22
22
/P U R U ==Q
dP
dn =1(1n =-舍去）
∴P=25W
7-11 图题7-11所示电路,欲使10Ω电阻获得最大功率，n 应为何值？最大功率多大？
答案
解：根据图（b ）求开路电压
oc U ?
因为
20I ?=,
1500I n V
?
?=∠
∴
1500oc U nU n V
?
?
?==∠
根据图（c ）求
o
Z ，得
250o Z n =Ω
根据最大功率传输定理要使10Ω电阻获得最大功率max
P
o Z R
= 2
5010n =
5
n =
max 12.54oc
U P W R ?
=
=
7-12 图题7-12所示电路，求5Ω电阻的功率。
答案
解：
5Ω电阻在图（b ）中等效为：
Ω==
5)
51()51(132
2'3R R
25Ω电阻在图（b ）中等效为：
Ω
=?=125)51(2'
2R
1123
20()
U I A R R R ?
?
??
?
=
=∠++
W P 205*225==Ω
7-13 图题7-13所示电路，非线性电路的伏安特性为2
()0.5[()]u t i t V =()4cos s i t tA
ω=。
求电压表的读数（电压表的内阻抗认为无穷大）。
答案
解：因为电压表内阻为无穷大，所以理想变压器开路。
()()
s i t i t =
因为2
()0.5[()]s u t i t =
28cos t
ω= 4cos24t ω=+
故22
1
4424 4.92U V
=+?==有效
7-14 图题7-14所示电路,Z 可变，求Z 为何值能获得最大功率
max P ,
max
P =？
答案
解：a 、b 两端的开路电压
V j j j j U oc 202*402*220202*22020-=-=-∠-+?∠=?
由a 、b 两端的左端看的等效阻抗
Ω
=++-+-=
222)
2(*2)2(2)2(*20j j j j Z
当o
Z Z =时，有max P 且2*4202R 042max ==U oc
P
7-15 图7-15（a ）示电路，今欲使R 获得的功率最大，则次级匝数
2
N 应如何改变？若
将图（a ）电路中的电流源改为电压源，如图（b ），则2
N 有如何改变？
答案
解：
2222112
1222
)I N a P I R R I R
n N ===Q
2P N ∴↑→↓
2222
21112
2
2)/n U N U b P U R R N R ===Q
2P N ∴↑→↑