有关等腰三角形的分类讨论专题：
1．（1）等腰三角形有两边长为4cm和7cm，则周长为厘米。
（2）等腰三角形有两边长为3cm和7cm，则周长为厘米。
（3）等腰三角形的周长为24cm，一边长为10cm，则其余两边长为厘米。
（4）等腰三角形的周长为24cm，一边长为6cm，则其余两边长为厘米。
总结：等腰三角形涉及到边的问题时，可以按照“腰”和“底边”来分类讨论，但要利用三角形形三边关系来判断三角形是否存在。
巩固：（1）等腰三角形一边长为12cm，且是另一边长的，那么这个三角形的周长是厘米。
（2）如果等腰三角形一腰上的中线把它的周长分成15和6两部分，则底边的长是。
2．在△ABC中，AB=AC，（1）若∠A=30°，则∠B= ，∠C= 。
（2）若∠B=30°，则∠A= ，∠C= 。
（3）若有一个内角是30°，则其余两个内角的度数为。
（4）若有一个内角是120°，则其余两个内角的度数为。
总结：在等腰三角形内角求解的问题中，可以按“顶角”、“底角”来分类讨论，但要利用三角形内角和判断三角形是否存在。
巩固：如果等腰三角形的两个内角的比为4：1，求等腰三角形的顶角的度数。
3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角为度。
总结：等腰三角形中涉及“高”的内角求解问题，可以按照三角形类型分类讨论。
巩固：
（1）等腰三角形有一个内角为40°，则一腰上的高与底边的夹角为度。（2）等腰三角形有一个内角为40°，则一腰上的高与另一腰的夹角为度。
关于等腰三角形中分类讨论问题的探讨所谓分类讨论思想，就是在解答数学题时有时无法用同一种形式去解决，而需要选定一个标准，根据这个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题一一解决，从而使问题得到解决，这就是分类讨论的思想。 对于分类讨论问题，初中教学阶段虽然没有对此方面的教学要求，但是需要用分类讨论的思想去解决的问题却经常遇见，华东师大版七年级下册教材中典型的分类讨论问题是在“等腰三角形”一节中，主要有由于几何图形性质不明确而需分类讨论的问题和几何图形之间的位置关系不明确而需分类讨论的问题。下面举例简要论述这两类问题： 一、当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论 例1、（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，求周长。 （2）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，求周长。 分析：由等腰三角形的性质可知我们在解此题前，必须明确所给的边的定义，在这里哪条边是“腰”，哪条边是“底”不明确，而且还要考虑到三条线段能够构成三角形的前提，因此必须进行分类讨论。 解（1）因为8+8>10，10+10>8，则在这两种情况下都能构成三角形； 当腰长为8时，周长为8+8+10=26； 当腰长为10时，周长为10+10+8=28； 故这个三角形的周长为26cm或28cm。 解（2）当腰长为3时，因为3+3<7，所以此时不能构成三角形； 当腰长为7时，因为7+7>3，所以此时能构成三角形，因此三角形的周 长为：7+7+3=17； 故这个三角形的周长为17cm。 注意：对于此类题目在进行分类讨论时，必须运用三角形的三边关系来验证是否能构成三角形。 二、当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论 例2、等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，求它的各个内角的度数； 分析：题目没有指明“顶角是底角的4倍”，还是“底角是顶角的4倍”因此必须进行分类讨论。
【中考数学必备专题】分类讨论专题：三 角形中的分类讨论 一、单选题(共1道，每道20分) 1.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为（） A.75°或15° B.36°或60° C.75° D.30° 答案：A 解题思路：①当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部， ②当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高在三角形外部， 试题难度：三颗星知识点：分类讨论 二、填空题(共5道，每道20分) 1.（2011四川凉山）已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若
DE=3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值是_______． 答案：或 解题思路：首先根据题意作图，注意分为：E在线段AD上与E在AD的延长线上，然后由菱形的性质可得AD∥BC，则可证得△MAE∽△MCB，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案． 试题难度：三颗星知识点：分类讨论 2.在平面直角坐标系中，若点M（1，3）与点N（x，3）之间的距离是5，则x的值是________. 答案：-4或6 解题思路：点M、N的纵坐标相等，则直线MN在平行于x轴的直线上，根据两点间的距离，可列出等式|x-1|=5，从而解得x的值． 试题难度：三颗星知识点：分类讨论 3.如图，Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝ 2CD．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝______． 答案：80或120 解题思路：本题可以图形的旋转问题转化为点B绕D点逆时针旋转的问
题，故可以D点为圆心，DB长为半径画弧，第一次与原三角形交于斜边AB上的一点B?，第二次交直角边AC于B?，此时DB?=DB，DB?=DB=2CD，由等腰三角形的性质求旋转角∠BDB?的度数，在Rt△B?CD中，解直角三角形求∠CDB?，可得旋转角∠BDB?的度数． 试题难度：三颗星知识点：分类讨论 4.腰长为5，一条高为4的等腰三角形的底边长为______． 答案：6或2或4 解题思路：分为①底边上的高，②腰上的高——在内部，③腰上的高——在外部； 试题难度：三颗星知识点：勾股定理 5.已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，O为边BC的中点，把△ABC绕点O顺时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始△ABC的边上，那么m=________, 答案：40或140 解题思路：分为点B落在AB上，点B落在AC上两种情况，根据等腰三角形的性质分别求m的值． ①当△ABC绕O点旋转到△A?B?C?位置时，B?落在AB上， 则OB=OB?，旋转角∠BOB?=m=180°-2∠B=40°， ②当△ABC绕O点旋转到△A?B?C?位置时，B?落在AC上，
直角三角形中的分类讨论预习作业 1、在二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴交于A点和B点（点B 在x轴的正半轴上），与y轴交于C点，在该二次函数的图象上是否存在点P（点P与B，C 不重合），使得△PBC是以BC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请你说明理由。 2、已知一次函数y=2x+4和反比例函数y=的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，在x轴上找点E，使△ACE为直角三角形．求点E的坐标 3、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1,0)，B(3,0)，C(0,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数关系式； (2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标； (3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
直角三角形中的分类讨论 主备：张琳 组长：张琳 审核： 时间： 学习目标：1、能够说出直角三角形分类的原因和依据。 2、能够在坐标系中准确运用分类的方法，利用相似三角形或勾股定理建立方程 求点的坐标。 例题： 如图，四边形AOBC 为矩形，点C 的坐标为（30 ，6），P 为OB 的中 点，在线段AC 上找一点Q ，若△OPQ 为直角三角形，求点Q 的坐标 针对训练： 直线2743+=x y 与抛物线2 17 4132--=x x y 交于A （—2 ，2 ）、B （ 6 ，8 ） 两点。问：在x 轴上是否存在点P ，使△PAB 为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由 （拓展）如图，抛物线21392 2 y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ， 联结BC 、AC ．（1）求AB 和OC 的长； （2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作BC 的平行线交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围； （3）在（2）的条件下，联结CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）．
最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word文本 --------------------- 方便更改 三角形章节复习 全章知识点梳理： 一、三角形基本概念 1. 三角形的概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形的任意两边之和大于第三边。 三角形的任意两边之差小于第三边。（这两个条件满足其中一个即可） 用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。 已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b 解题方法： ①数三角形的个数方法：分类，不要重复或者多余。 ②给出三条线段的长度或者三条线段的比值，要求判断这三条线段能否组成三角形方法：最小边＋较小边＞最大边不用比较三遍，只需比较一遍即可 ③给出多条线段的长度，要求从中选择三条线段能够组成三角形 方法：从所给线段的最大边入手，依次寻找较小边和最小边；直到找完为止，注意不要找重，也不要漏掉。 ④已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围
方法：第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b ⑤给出等腰三角形的两边长度，要求等腰三角形的底边和腰的长 方法：因为不知道这两边哪条边是底边，哪条边是腰，所以要分类讨论，讨论完后要写“综上”，将上面讨论的结果做个总结。 二、三角形的高、中线与角平分线 1. 三角形的高 从△ABC的顶点向它的对边BC所在的直线画垂线，垂足为D，那么线段AD叫做△ABC的边BC上的高。 三角形的三条高的交于一点，这一点叫做“三角形的垂心”。 2. 三角形的中线 连接△ABC的顶点A和它所对的对边BC的中点D，所得的线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。 三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。 三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。 3. 三角形的角平分线 ∠A的平分线与对边BC交于点D，那么线段AD叫做三角形的角平分线。 要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”，其区别是：三角形的角平分线是条线段；角的平分线是条射线。 三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“三角形的内心”。 要求会的题型： ①已知三角形中两条高和其所对的底边中的三个长度，求其中未知的高或者底边的长度方法：利用“等积法”，将三角形的面积用两种方式表达，求出未知量。 三、三角形的稳定性 1. 三角形具有稳定性 2. 四边形及多边形不具有稳定性 要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。 四、与三角形有关的角
等腰三角形中的分类讨论问题
关于等腰三角形中分类讨论问题的探讨所谓分类讨论思想，就是在解答数学题时有时无法用同一种形式去解决，而需要选定一个标准，根据这个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题一一解决，从而使问题得到解决，这就是分类讨论的思想。 对于分类讨论问题，初中教学阶段虽然没有对此方面的教学要求，但是需要用分类讨论的思想去解决的问题却经常遇见，华东师大版七年级下册教材中典型的分类讨论问题是在“等腰三角形”一节中，主要有由于几何图形性质不明确而需分类讨论的问题和几何图形之间的位置关系不明确而需分类讨论的问题。下面举例简要论述这两类问题： 一、当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论 例1、（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm 和10cm，求周长。 （2）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，求周长。 分析：由等腰三角形的性质可知我们在解此题前，必须明确所给的边的定义，在这里哪条边是“腰”，哪条边是“底”不明确，而且还要考虑到三条线段能够构成三角形的前提，因此必须进行分类讨论。 解（1）因为8+8>10，10+10>8，则在这两种情况下都能构成三角形； 当腰长为8时，周长为8+8+10=26； 当腰长为10时，周长为10+10+8=28； 故这个三角形的周长为26cm或28cm。 解（2）当腰长为3时，因为3+3<7，所以此时不能构成三角形； 当腰长为7时，因为7+7>3，所以此时能构成三角形，因此三角 形的周长为：7+7+3=17； 故这个三角形的周长为17cm。
注意：对于此类题目在进行分类讨论时，必须运用三角形的三边关系来验证是 否能构成三角形。 二、当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论 例2、等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，求它的各个内角的度数； 分析：题目没有指明“顶角是底角的4倍”，还是“底角是顶角的4倍”因此必 须进行分类讨论。 解：（1）当底角是顶角的4倍时，设顶角为x，则底角为4x， ∴ 4x+4x+x=1800，∴ x=200，∴ 4x=800， 于是三角形的各个内角的度数为：200，800，800。 （2）当顶角是底角的4倍时，设底角为x，则顶角为4x， ∴ x+x+4x=1800，∴ x=300，∴ 4x=1200， 于是三角形的各个内角的度数为：300，300，1200。 故三角形各个内角的度数为200，800，800或300，300，1200。 例3、已知等腰三角形的一个外角等于1500，求它的各个内角。 分析：已知等腰三角形的一个外角等于1500，有两种情况：与一个底角相邻的 外角等于1500；与顶角相邻的外角等于1500。因此需要分类讨论； 解：（1）当顶角的外角等于1500时，则顶角=1800-1500=300， ∴每个底角=（1800-顶角）÷2=750； （2）当底角的外角等于1500时，则每个底角=1800-1500=300； ∴顶角=1800-底角?2=1800-300?2=1200； 故三角形各个内角的度数为300，750，750或1200，300，300。 三、当高的位置关系不确定时，必须分类讨论 例4、等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为250，求这个三角形的各个内角 的度数。 分析：由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”，因此必须进行 分类讨论，另外，还要结合图形，分高在三角形内还是在三角形外。 解：设AB=AC，BD⊥AC； A （1）高与底边的夹角为250时，高一定在△ABC的内部， 如图1，∵∠DBC=250，∴∠C=900-∠DBC=900-250=650， D B C
P y 中考专题复习等腰三角形的分类讨论 一、遇角需讨论 1、已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为( A. 30° B. 75° C. 105° D. 30°或75° 二、遇边需讨论 2、(1一个等腰三角形两边长分别为4和5,则它的周长等于_________。 (2一个等腰三角形的两边长分别为3和7,则它的周长等于。 3、(1如果一个等腰三角形的周长为24,一边长为10,则另两边长为。 (2如果一个等腰三角形的周长为24,一边长为6,则另两边长为。 三、遇中线需讨论 4、若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm 和12cm 两部分,求这个等腰三角形的底和腰的长。
四、遇高需讨论 5、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°,求这个等腰三角形的顶角的度数。 5、为美化环境,计划在某小区内用2 30m 的草皮铺设一块一边长为10m 的等腰三角形绿地,请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。 五、遇中垂线需讨论 7、在ΔABC 中,AB=AC ,AB 的中垂线与AC 所在直线相交所得的锐角为50°,则底角∠B=____________。 六、动点与等腰三角形(重点,考点 类型之一:三角形中已经有一边确定 8、在直角坐标系中,O 为坐标原点,A (1,1;在坐标轴上确定一点P ,使ΔAOP 为等腰三角形,则符合条件的点P 共有( A 、4个 B 、6个 C 、8个 D 、1个 9、已知:O 为坐标原点,四边形OABC 为矩形,A (10,0,C (0,4,点D 是OA 的中点,点P 在BC 上运动,当ΔODP 是腰长为5的等腰三角形时,点P 的坐标为。 10、如图,直线33+=x y 交x 轴于A 点,交y 轴于B 点,过A 、B 两点的抛物线交x 轴于另一点C (3,0.
专题复习《三角形中的分类讨论》教学反思 2014年11月25日星期二下午，跃龙集团数学集团公开课放在黄坛中学进行，而我也有幸参与其中，上了一堂专题复习《三角形中的分类讨论》。下面就来谈谈上完这节课后我的一些感想。 1、设计好开场白 好的开始时成功的一半，如果老师开场白说的好，既拉近师生之间的距离，又可以调节紧张的课堂气氛，消除师生之间的陌生感，利于学生思维活跃、学习主动。我是这样设计开场白的,出示一张图片（上面是一堆杂乱的1元、5角、1角的硬币）,问：“你看到这张图片的第一反应是什么？”“哪位同学可以想个方法用最快的速度数出这里有多少钱？”从生活中的例子出发，既可以迅速调动学生的学习热情也可以让学生明白分类讨论的必要性。 2、思路明确，设计反复 我设计的思路主要是由情境创设知道什么是分类讨论，为什么要分类？由例题讲解归纳怎么分类（分类的标准），由练习巩固提高。分类讨论在整个初中数学学习当中起到了非常重要的作用，因为我现在担任的是初二的数学教学工作，所以我把切入口放在在三角形的分类讨论中。在查看了大量的题组后，我把三角形中的分类归纳为三角形中边的分类、角的分类、高位置的分类这几种常见题型。而且在整个备课过程中反复修改题目，设计方案。 3、教学中注重提问与学生沟通交流 课堂提问是教师在教学过程中实现师生互动的重要表现形式。良好的课堂问，不仅能够调动学生的学习热情，拓展学生的思维活动，培养学生的学习能力，而且是学生主体地位和教师主导作用的集中体现。所提的问题要简明扼要，有科学性，面向全体学生，设计的问题要难易适中，提问时要激发学生的热情。例如，出了一个例题后，我会问学生“你有什么想法？”“你是怎么考虑的?”对于学生的回答，要及时给出反馈，表扬。 专题复习课不是简单做做题，应该引导学生归纳知识，思考解决问题的方法。能够在碰到问题时，如何分析和解决问题。上完课后我还是有些遗憾，比如由于技术问题，PPT的显示出现了字迹交错的现象，比如总结的时候略显仓促，比如因时间问题最后的综合应用求坐标问题留在了课后解决……而这些都促使我以后上课前更要注重相关问题的解决。通过这次上集团公开课，我自己又学习和锻炼了很多，也非常感谢每位老师对我的帮忙。
D C B A D C B A C B A C B A C B C P 《相似三角形中分类讨论思想的运用》 一、温故知新： 1. 已知△ABC 的三边长分别是4、6、8，△DEF 的一条边为24，如果△DEF 与△ABC 相似，则相似比为 2.两个相似三角形的面积之比是9：25，其中一个三角形一边上的高是6，那么另一个三角形对应边上的高为 3.已知线段AB=2,P 是线段AB 的黄金分割点，则AP 的长为 问题：什么是分类讨论？为什么要分类？ 二、新知学习： 题组一: 1.例1.如图所示，在ABC ?中，AB=6,AC=4,P 是AC 的中点，过P 点的直线交AB 于点Q ，若使APQ ?与ABC ?相似，则AQ 的长为 2.变式一：如图所示， 在ABC ?中，P 是AC 上一点，过P 点的直线截ABC ?交AB 于点Q ，使截得的三角形与原三角形相似，则满足这样的直线有 条. 3. 变式二：如图所示，在ABC ?中，P 是AC 上一点，过P 点的直线截ABC ?，使截得的三角形与原三角形相似，则满足这样的直线最多有 条. 探究：如果ABC ?是直角三角形，点P 直角边上或点P 在斜边上上述结论还成立吗？等腰三角形呢？ 题组二: 1.例2: 己知菱形ABCD 的边长是3，点E 在直线AD 上，DE ＝1，联结BE 与对角 线AC 相交于点M ，则MC AM = C B C B C B
2.变式一: 等腰ABC 中，AB=AC=10,BC=16,点P 在BC 边上，若PA 与腰垂直，则BP= . 3. 变式二: 在△ABC 中∠B=25°，AD 是BC 边上的高，并且AD 2=BD ·DC,则∠BCA= . 题组三 1.在矩形ABCD 中，AB=4，AD=5，P 是射线BC 上的一个动点，作PE ⊥AP ，PE 交射线DC 于点E ，射线AE 交射线BC 于点F ，设BP=x ，CE=y ．求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（点P 与点B 、C 都不重合）， 2．已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E 是射线BC 上的动点（点E 与点B 不重合），M 是线段DE 的中点．联结BD ，交线段AM 于点N ，如果以A 、N 、D 为顶点的三角形与△BME 相似，求线段BE 的长． 三、课后反思： 1. 相似三角形中有哪些几何情境需要分类讨论？分类的原则是什么？ 2. 请积累你运用分类讨论思想解决的数学问题. A C D A C D
关于等腰三角形中分类讨论问题的探讨 所谓分类讨论思想，就是在解答数学题时有时无法用同一种形式去解决，而需要选定一个标准，根据这个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题一一解决，从而使问题得到解决，这就是分类讨论的思想。 对于分类讨论问题，初中教学阶段虽然没有对此方面的教学要求，但是需要用分类讨论的思想去解决的问题却经常遇见，华东师大版七年级下册教材中典型的分类讨论问题是在“等腰三角形” 一节中，主要有由于几何图形性质不明确而需分类讨论的问题和几何图形之间的位置关系不明确而需分类讨论的问题。下面举例简要论述这两类问题： 、当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论 例1、（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm,求周长。 （2）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm,求周长。 分析：由等腰三角形的性质可知我们在解此题前，必须明确所给的边的定义，在这里哪条边是“腰”，哪条边是“底”不明确，而且还要考虑到三条线段能够构成三角形的前提，因此必须进行分类讨论。 解（1）因为8+8>10，10+10>8，则在这两种情况下都能构成三角形； 当腰长为8 时，周长为8+8+10=26； 当腰长为10 时，周长为10+10+8=28； 故这个三角形的周长为26cm或28cn。 解（2）当腰长为3 时，因为3+3<7，所以此时不能构成三角形； 当腰长为7 时，因为7+7>3，所以此时能构成三角形，因此三角形的周 长为：7+7+3=17； 故这个三角形的周长为17cm。 注意：对于此类题目在进行分类讨论时，必须运用三角形的三边关系来验证是否能构成三角形。 二、当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论例2、等腰三角形的一个角是另一个角的4 倍，求它的各个内角的度数；分析：题目没有指明“顶角是底角的4 倍”，还是“底角是顶角的4 倍”因此必须进行分类讨论。
初中数学等腰三角形的分类讨论 等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在具体处理问题时往往又会出现错误，因此，同学们在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论。那么在什么情况下应该分类讨论呢？本文分以下几种情形讲述。 一、遇角需讨论 例1. 已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（ ） A. 30° B. 75° C. 105° D. 30°或75° 简析：75°角可能是顶角，也可能是底角。当75°是底角时，则顶角的度数为 180°－75°×2=30°；当75°角是顶角时，则顶角的度数就等于75°。所以这个等腰三角形的顶角为30°或75°。故应选D 。 说明：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解。 二、遇边需讨论 例2. 已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________。 简析：已知条件中并没有指明5和6谁是腰长谁是底边的长，因此应由三角形的三边关系进行分类讨论。当5是等腰三角形的腰长时，这个等腰三角形的底边长就是6，则此时等腰三角形的周长等于16；当6是腰长时，这个三角形的底边长就是5，则此时周长等于17。故这个等腰三角形的周长等于16或17。 说明：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论。 三、遇中线需讨论 例3. 若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm 和12cm 两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。 简析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm ，哪一部分是12cm ，因此，应有两种情形。 若设这个等腰三角形的腰长是x cm ，底边长为y cm ，可得???????=+=+,1221,921y x x x 或???????=+=+.92 1,1221y x x x 解得???==,9, 6y x 或???==.5, 8y x 即当腰长是6cm 时，底边长是9cm ；当腰长是8cm 时，底边长是5cm 。 说明：这里求出来的解应满足三角形三边关系定理。
挖掘三角形中的分类讨论 泸州市蓝田中学罗宏 三角形这部分内容，说简单也简单，说难也难。难易取决于平时学习中是否认真思考、认真积累。下面以三角形中学生考虑不全面的问题以例题的方式呈现给大家。 一、腰与底不确定时分类讨论 1．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边长为．3cm 2．在下图三角形的边上取一点，使得该点与三角形的两顶点构成一个等腰三角形． 剖析：从边的角度进行分类 （1）以AC为边进行分类，如下图所示 （2）以BC为边进行分类，如下图所示 （3）以AB为边进行分类，如下图所示 3．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D为射线AC上一点，且△ABD为等腰三角形，则△ABD的周长为．
B 剖析： AB 等腰三角形△ABD 的边，并未交代是腰还是底，因此得对AB 进行分类讨论． 当AB 为底时，周长为 80 3 ； 当AB 为腰，A 为顶角顶点时，周长为20 当AB 为腰，B 为顶角顶点时，周长为32． 二、顶角与底角不确定时分类讨论 4．等腰三角形的一个内角为30°，另外两个内角分别为 ．（75°、75°或120°、30°） 5．等腰三角形的一个内角为100°，另外两个内角分别为 ．（40°、40°） 6．在下图三角形的边上取一点，使得该点与三角形的两顶点构成一个等腰三角形． 剖析：从角的角度分类 （1）对∠A 进行讨论 （2）对∠B 进行讨论
（3）对∠C进行讨论 三、涉及等腰三角形腰上中线时分类讨论 7．等腰三角形底边为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为2cm，则其周长为（11cm 或19cm） 8．等腰三角形底边为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则其周长为（21cm）四、涉及高时分类讨论 9．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个等腰三角形的顶角的度数为． C 剖析：三角形的高受三角形的形状的影响，因此对三角形的高应从在三角形内部和三角形外部两种情况进行讨论． 当高在三角形内部时，顶角为45°；当高在三角形外部时，顶角为135°． 10．在△ABC中，AB=10，AC=17，BC边上的高AD=8，则BC= ．（21或9） 剖析：当AD在△ABC的内部时，BD=6，CD=15，∴BC=BD+CD=21． B C
初中数学等腰三角形的分类讨论 等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在具体处理问题时往往又会出现错误，因此，在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论。那么在什么情况下应该分类讨论呢？本文分以下几种情形讲述。 一. 遇角需讨论 例1. 已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（ ） A. 30° B. 75° C. 105° D. 30°或75° 简析：75°角可能是顶角，也可能是底角。当75°是底角时，则顶角的度数为 180°－75°×2=30°；当75°角是顶角时，则顶角的度数就等于75°。所以这个等腰三角形的顶角为30°或75°。故应选D 。 说明：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解。 二. 遇边需讨论 例2. 已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________。 简析：已知条件中并没有指明5和6谁是腰长谁是底边的长，因此应由三角形的三边关系进行分类讨论。当5是等腰三角形的腰长时，这个等腰三角形的底边长就是6，则此时等腰三角形的周长等于16；当6是腰长时，这个三角形的底边长就是5，则此时周长等于17。故这个等腰三角形的周长等于16或17。 说明：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论。 三. 遇中线需讨论 例3. 若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm 和12cm 两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。 简析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm ，哪一部分是12cm ，因此，应有两种情形。 若设这个等腰三角形的腰长是x cm ，底边长为y cm ，可得???????=+=+,1221,921y x x x 或???????=+=+.92 1,1221y x x x 解
等腰三角形分类讨论专题复习 日期：第页姓名： 一、等腰三角形的分类 1、边分类 2、角分类 3、外角分类 4、一腰上的高与另一腰的夹角 5、一腰上的中线分三角形的周长为两部分' 6、一腰上的中垂线与另一腰的夹角 # 思考：在A B C三边所在的直线上找一点D，使得A B D为等腰三角形，画图说明点D所在的位置 B B B
B B B 二、练习姓名： 1、如果一个等腰三角形的一个外角等于100°，则该等腰三角形的底角的度数是． 2、已知等腰三角形的一边等于3，一边等于6，那么它的周长等于 3、已知等腰三角形的一边等于5，周长为12，则一边等于 4、已知△ABC的周长为24，AB＝AC，AD⊥BC于D，若△ABD的周长为20，则AD的长为 & 5、等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，这两部分之差是3cm，求这个等腰三角形的腰长 6、在等腰三角形中，AB的长是BC的2倍，周长为40，则AB的长为 7、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30o，则顶角的度数为 8、等腰三角形中，两条边的长分别为4和9，则它的周长是． > 9、若一个等腰三角形有一个角为100o，则另两个角为 10、一等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm和18cm两部分，求这个等腰三角形的底边长 11、一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30o，求这个三角形的三个内角的度数
% 12、(1)等腰三角形的顶角和一个底角的度数的比是4:1，则这个三角形三个内角的度数分别为________，_______，______________. (2)在等腰三角形ABC中，AB的长是AC的2倍，三角形的周长是40，则AB的长等于_______________. 13、等腰三角形一腰上的中垂线与另一腰的夹角为50o，求底角为 14、若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。、 15、在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角 ∠B=____________ 16、等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，求它的各个内角的度数； … 17、在三角形ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为400，求底角B的度数。
等腰三角形有关角度问题 等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在具体处理问题 时往往又会出现错误，因此，同学们在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论。 例1. 已知等腰三角形的一个内角为75 °则其顶角为（） A. 30 ° B. 75 ° C. 105 ° D. 30 °或75 ° 简析：75 °角可能是顶角，也可能是底角。当75 °是底角时，则顶角的度数为 180。刁5 ° 1=30 °;当75。角是顶角时，则顶角的度数就等于75。。所以这个 等腰三角形的顶角为30°或75°。故应选D。 说明：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解。 变式1:已知等腰三角形的一个外角为100 °，则其顶角为 _______ 。 简析：（1 ）若外角与顶角相邻，则其顶角为80°; （2）若外角与底角相邻，则其顶角为20°。 变式2:如果等腰三角形中一个角是另一个角的两倍，那么它的底角是________________ 度简析：（1）若底角是顶角的2倍，则其底角为72°; （2）若顶角是底角的2 倍，则其底角为45°。 例2．等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45° ，求这个等腰三角形的顶角的度数。 简析：依题意可画出图1 和图2两种情形。图1 中顶角为45°，图2中顶角为135°。
B C 图1 等腰三角形有关边的计算问题
例题：已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于 ___________ 。 简析：已知条件中并没有指明5 和6 谁是腰长谁是底边的长，因此应由三角形的三边关系进行分类讨论。当5 是等腰三角形的腰长时，这个等腰三角形的底边长就是6 ，则此时等腰三角形的周长等于16；当6 是腰长时，这个三角形的底边长就是5 ，则此时周长等于17 。故这个等腰三角形的周长等于16 或17 。 说明：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪条是底哪条是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论。 变式1 ：等腰三角形的一边长为6，周长为14 ，那么它的腰长为________ 。 简析：当底边为6 时，则腰长为4 ； 当腰长为6 时，则底边为2 ； 变式2 ：等腰三角形的一边长为2，周长为8，那么它的腰长为 _________ 。 简析：当底边为2 时，则腰长为3 ； 当腰长为2 时，则底边为4 ，但此时不能构成三角形，所以腰长只为3. 说明：求出来的解应满足三角形三边关系 例2 . 若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm 和12cm 两部分，求这个等腰三角形的底 和腰的长。 简析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm ，哪一部分是12cm ，因此，应有两种情形。若
等腰三角形中的分类讨论 小组合作：在下图三角形的边上找出一点，使得该点与三角形的两顶点构成一个等腰三角形。 一、遇角需讨论 1、已知等腰三角形的一个内角为80°则其顶角为 。 2、等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，则其顶角为____________。 二、遇边需讨论 1、一个等腰三角形两边长分别为3和5，则它的周长等于 。 变式：一个等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长等于 。 2、如图，线段AB 的一个端点A 在直线m 上，以AB 为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线m 上，这样的等腰三角形能画多少个？ 三、遇中线需讨论 1、等腰三角形底边为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为2cm ，则其周长为 。 变式：等腰三角形底边为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm ，则其周长为 。 四、遇高需讨论 1、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为30°，则这个等腰三角形的顶角度数是___________。 五、 遇中垂线需讨论 1、在△ABC 中，AB=AC ，AB 边的垂直平分线与AC 所在的直线相交所成的锐角为40°，则底角∠B 的度数为_________ A B C D
六、遇动点动角需讨论 1、已知C 、D 两点为线段AB 的中垂线上的两动点，且∠ACB=500，∠ADB=800，求∠CAD 的度数。 2、如图,将含有30°的两个全等的直角三角形△ABD 与△AMF 如图拼在一起,将△ABD 绕点A 顺时针旋转得△AB 1D 1,AD 1交FM 于点K,设旋转角为α（α为锐角）,当△AFK 为等腰三角形时,旋转角α的度数多 少？ 2、如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ，点E 为BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点E 作射线EF 交AC 于点F, 使∠AEF=∠B=β. （1）判断∠BAE 与∠CEF 的大小关系，并说明理由； （2当△AEF 为等腰三角形时，求∠BEA 的大小. （3）请探究，若将第（2）问中“等腰三角形”改为“直角三角形”，∠BAE=α，求α与β之间的数量关系。 课后思考题：如图，已知△ABC 中，BC>AB>AC ，∠ACB=400，如果D 、E 是直线AB 上的两动点，且AD=AC 、BC=BE ，求∠DCE 的度数。 A B C 备用图 C B A
1 P D C x y 中考专题复习---等腰三角形的分类讨论（基础） 一、遇角需讨论 1、已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为_________。 二、遇边需讨论 2、（1）一个等腰三角形两边长分别为4和5，则它的周长等于_________。 （2）一个等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长等于 。 3、（1）如果一个等腰三角形的周长为24，一边长为10，则另两边长为 。 （2）如果一个等腰三角形的周长为24，一边长为6，则另两边长为 。 三、遇中线需讨论 4、若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm 和12cm 两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。 四、遇高需讨论 5、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数。 6、为美化环境，计划在某小区内用2 30m 的草皮铺设一块一边长为10m 的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。 五、 遇中垂线需讨论 7、在ΔABC 中，AB=AC ，AB 的中垂线与AC 所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____。 六、动点与等腰三角形（重点，考点）类型之一：三角形中已经有一边确定 8、在直角坐标系中，O 为坐标原点，A （1,1）；在坐标轴上确定一点P ，使ΔAOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有________个 9、已知：O 为坐标原点，四边形OABC 为矩形，A （10，0），C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 上运动，当ΔODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为 。
2 10、如图，直线33+=x y 交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线交x 轴于另一点C （3,0）. ⑴ 求抛物线的解析式; ⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由. 11、在如图的直角坐标系中，已知点A （1，0）；B （0，－2），将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°至AC ． ⑴ 求点C 的坐标； ⑵ 若抛物线22 12++-=ax x y 经过点C ． ①求抛物线的解析式； ②在抛物线上是否存在点P （点C 除外）使△ABP 是以AB 为直角边的等腰直角三角 形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
三角形的分类讨论问题 一、等腰三角形中的分类讨论问题 ①腰长和底边长不能确定（最后的结果需要验证，要确保三条边能构成三角形）； ②顶角或底角不能确定； ③由高及腰上中垂线，中线等引发的分类讨论； ④几何图形中由于位置不明确而需分类讨论的问题。 二、直角三角形中的分类讨论问题 ①斜边和直角边未确定 ②直角顶点的位置没有确定 ③几何图形中由于位置不明确而需分类讨论的问题。 三、全等三角形中的分类讨论 关于全等三角形的分类讨论，往往两个三角形中的一条或两条甚至三条边的长度是在变化的，根据全等三角形的定义，要分类讨论对应边或对应角。 例题1.已知矩形ABCD ，AB=10，BC=4,E 为AB 的中点，F 为CD 上一点，若△EFB 为等腰三角形，求DF 的长。 例题2.如图①，已知直线4+2=x y 与x 轴、y 轴分别是交于点A ，C ，以OA ，OC 为边在第一象限内作长方形OABC. （1）求点A ，C 的坐标 （2）将△ABC 对折，使得点A 与点C 重合，折痕交AB 于点D ，求直线CD 的解析式（图②） （3）在坐标平面内，是否存在点P （除点B 外）使得△APC 与△ABC 全等？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由。 习题练习 1.等腰三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，这个等腰三角形的周长为____________________。 2.已知等腰三角形的一个外角等于1500 ，这个等腰三角形的顶角为_________________。 3.等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为250，求这个三角形的各个内角的度数____________。 4.在△ABC 中，AB=AC ，AB 边上的与AC 所在中垂线的直线相交所得的锐角为400，∠B=_______。 5.等腰三角形底边为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm ，腰长为___________。
P C x y 中考专题复习----等腰三角形的分类讨论（提高） 一、遇角需讨论 1、已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为________。 二、遇边需讨论 2、（1）一个等腰三角形两边长分别为4和5，则它的周长等于_________。 （2）一个等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长等于 。 3、（1）如果一个等腰三角形的周长为24，一边长为10，则另两边长为 。 （2）如果一个等腰三角形的周长为24，一边长为6，则另两边长为 。 三、遇中线需讨论 4、若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm 和12cm 两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。 四、遇高需讨论 5、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数。 6、为美化环境，计划在某小区内用2 30m 的草皮铺设一块一边长为10m 的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。 五、 遇中垂线需讨论 7、在ΔABC 中，AB=AC ，AB 的中垂线与AC 所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____________。 六、动点与等腰三角形（重点，考点） 类型之一：三角形中已经有一边确定 8、在直角坐标系中，O 为坐标原点，A （1,1）；在坐标轴上确定一点P ，使ΔAOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（ ） A 、4个 B 、6个 C 、8个 D 、1个 9、已知：O 为坐标原点，四边形OABC 为矩形，A （10，0），C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 上运动，当ΔODP 是腰长为5的等腰三角 形时，点P 的坐标为 。
等腰三角形问题中的分类讨论思想教学设计 西安市远东第一中学罗天马 年级:七年级所属学科: 数学 学情分析 | 教学目标 | 教学过程 | 小结 | 反思 学情分析: 课本上已经在七下第五章《生活中的轴对称》第3小节第1课时完成了对等腰三角形性质的学习,但是学生对等腰三角形性质的应用和等腰三角形与高线、中线、垂直平分线等知识相结合的一些综合题型并没有明确的认识,无法熟练运用所学知识解决问题。这节课将对不同等腰三角形与这些知识的结合加以补充，使学生对等腰三角形的分类讨论思想有明确和深刻的认识。 教学目标： 1．通过自学、讨论学习，解决等腰三角形的遇边、遇角的讨论问题。2．深入学习分类讨论的思想，学会将等腰三角形分成锐角和钝角三角形进行分类、讨论。 3.经历、体验、探索等腰三角形性质的过程，渗透从一般到特殊、类比的数学思想，培养学生归纳和初步的分类讨论能力。 教学重点: 学会将等腰三角形分成锐角和钝角三深入学习分类讨论的思想，
角形进行分类、讨论。 教学难点: 学会将等腰三角形分成锐角和钝角三角形进行分类、讨论。 教学过程： 一、自主学习、合作交流 本环节是考查学生对等腰三角形性质的基本应用能力,通过对等腰三角形边和角的位置进行分类讨论,让学生明白等腰三角形需要讨论的原因是边和角位置的不确定性。只有确定了边和角的位置，才能确定正确答案。 （一）遇边讨论 （1）已知等腰三角形的一边等于4，另一边等于9，则它的周长为 （2）若一个等腰三角形两边的长为4cm、6cm，则该等腰三角形的周长为 注意：在讨论边的位置关系的同时还应提醒学生考虑三边关系，确认能否围成三角形，中等生和学困生容易忽略这个问题。（二）遇角讨论 （3）已知等腰三角形的一个内角为75°，则该等腰三角形顶角的度数为。 （4）如果等腰三角形的两个内角的度数之比为1：4，那么这个三角形三个内角各是多少度？