对称性 一、有关对称性的常用结论
（一）函数图象自身的对称关系（加法） 1、轴对称
(1))(x f -=)(x f ?函数)(x f y =图象关于y 轴对称；
(2) 函数)(x f y =图象关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+?()(2)f x f a x =-
?()(2)f x f a x -=+；
（3）若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =的
图象关于直线对称。 2、中心对称
（1）)(x f -=－)(x f ?函数)(x f y =图象关于原点对称；.
（2）函数)(x f y =图象关于(,0)a 对称?)()(x a f x a f --=+?()(2)f x f a x =--
?)2()(x a f x f +=-；
（3）函数)(x f y =图象关于),(b a 成中心对称?b x a f x a f 2)()(=++-
（4）若函数)(x f y = 定义域为R ，且满足条件c x b f x a f =-++)()(（c b a ,,为常数），
则函数)(x f y =的图象关于点
对称。 （二）两个函数图象之间的对称关系（减法）
1.若函数)(x f y =定义域为R ，则两函数)(x a f y +=与)(x b f y -=的图象关于直线
对称。
推论1：函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线0=x 对
称。
推论2：函数)(a x f y -=与函数)(x a f y -=的图象关于直线a x =对称。
2.若函数)(x f y =定义域为R ，则两函数)(x a f y +=与)(x b f c y --=的图象关于点
对称。 推论：函数)(x a f y +=与函数)(x b f y --=图象关于点)0,2
(
a
b -对称。
类型一：双对称问题
1. 设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)1()1(x f x f -=+，当01≤≤-x 时，
2
a b x -=
)2
,2(
c
a b -2
b
a x +=
)2
,2(c
b a +
x x f 2
1
)(-=，则=)6.8(f ___________
解：因为f(x)是定义在R 上的偶函数，所以)(0x f y x ==是的对称轴；又因为
(1)(1)f x f x +=-，所以1x =也是()y f x =的对称轴，故)(x f y =是以2为周期的周期
函数，所以3.0)6.0()6.0()6.08()6.8(=-==+=f f f f 。
2.（2005年广东卷I ）设函数)2()2(),()(x f x f x f +=-∞+-∞上满足在，
)7()7(x f x f +=-，且在闭区间［0，7］上只有0)3()1(==f f 。
（1）试判断函数)(x f y =的奇偶性； 非奇非偶函数
（2）试求方程0)(=x f 在闭区间［－2005，2005］上根的个数并证明你的结论。
802 310,110+=+=m a n a m n
3.设
是定义在R 上的奇函数，且
的图象关于直线
对称，则：
_____________
解：函数
的图像既关于原点对称，又关于直线对称，所以周期是2，又，
图像关
于
对
称，所
以
，
所以
类型二：对称轴和对称中心的判断
1. 函数)1(+=x f y 为偶函数，则函数)(x f 的图像的对称轴方程为
2. 函数)2(-=x f y 为奇函数，则函数)(x f y =的图像的对称中心为 （-2，0）
3.函数y=f(x+1)与函数y=f(3-x)的图象关于 __________对称
解：由命题1知，两函数图象关于31
12
x -==, 即关于直线x=1对称。 4.函数()121x
f x x
-=
+，该函数图象的对称中心是 . 【分析】本例的函数是等次分式函数，自然想到分离法，化归为反比例函数变换所得. 【解法】函数()321f x x =-+
+，该函数可由反比例函数3
y x
=向左平移1个单位，
再向下平移2个单位所得.
因为反比例函数3
y x =的对称中心是()0,0,O 自然也进行相应地平移， 所以函数()121x
f x x
-=+图象的对称中心是()1,2.--
类型三：求值
1.已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1
，若f (a )＝2
3，则f (－a )＝________.
2.设函数f (x )＝（x ＋1）2＋sin x
x 2＋1
的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________．
解析：f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1.设g (x )＝2x ＋sin x x 2＋1，则g (－x )＝－2x －sin x
x 2＋1
＝
－g (x )，
所以g (x )是R 上的奇函数．所以若g (x )的最大值是W ，则g (x )的最小值是－W .所以函数f (x )的最大值是1＋W ，最小值是1－W ，即M ＝1＋W ，m ＝1－W ，所以M ＋m ＝2.
答案：2 3.()()311f x x =-+，则()()()()()43056f f f f f -+-+++++=L L ．
解析 ()()311f x x =-+是由3y x =平移得到的， 由于3y x =是奇函数，图象关于原点对称，
因此()f x 的对称中心为()1,1，()()22f x f x +-=， 所以()()()()()43056f f f f f -+-+++++L L
52111=?+=，
故答案为11
三次函数的图形都是对称图形
对于任意三次函数3
2
()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，它的图像有唯一的对称中心
(,())33b b f a a
-
- (2012年四川)设函数
()cos 2x x
f x -=，{}n a 是公差为
8
π
的等差数列，()()()1255,a a a f f f π+++=L 则()2
313a a a f -????=
A.0
B.
2116π C.218π D.213
16
π 解析
()cos 2sin ,22
2x x x x f x πππ???
?-=-+-+ ? ??
?
?
?
=
把奇函数()sin 2x x h x +=的图象向右平移
2
π
个单位，再向上平移π个单位就是()
x f 的图象了，所以
()cos 2sin 22
2x x x x f x πππ???
?-=-+-+ ? ??
?
?
?
=的图象关于
,2ππ??
???
对称. 又因为{}n a 是公差为
8
π
的等差数列，所以2a 和4a 、1a 和5a 都关于直线3x a =对称， 所以()()22,a f a 与()()44,a f a 、()()11,a f a 与()()55,a f a 都关于,2
ππ??
???
对称.
又因为已知条件()()()1255,a a a f f f π+++=L
所以32
a π
=
，
()3f a π=，1328
4
a a ππ=-?=，53328
4
a a ππ
=+?=
.
所以()()
2
2
2
2313
33153132cos cos .24416a a a a a a a f πππππ?
?---=--?=?? ????
?=