2018 年河南省新乡市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）已知集合A={ x| x2﹣x≤0} ，B={ x| a﹣ 1≤ x＜a} ，若 A∩B 只有一个元素，则 a=（）
A．0B．1 C．2D．1 或 2
2．（5 分）设复数 z 满足 iz=| 2+i|+ 2i，则 | z| =（）
A．3B．C．9D．10
3．（ 5 分）点 P（x，y）是如图所示的三角形区域（包括边界）内任意一点，则
的最小值为（）
A．﹣ 2 B．﹣C．﹣D．﹣
4．（ 5 分）“a＞1”是“（x﹣）4（a∈R）的展开式中的常数项大于 1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（ 5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，动点 P 关于 x 轴的对称点为 Q，且 ?=2，则点 P 的轨迹方程为（）
A．x 2+y2．2﹣y2．2．﹣2 =2 B x=2 C x+y =2 D x y =2
6．（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图中的两段圆弧均为半圆，该几何体的体积为（）
A．8﹣πB．8﹣2πC．8﹣π D．8+2π
7．（5 分）若 log2（log3a）=log3（log4b）=log4（log2c）=1，则 a，b， c 的大小关系是（）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a
8．（5 分）该试题已被管理员删除
9．（5 分）设 k∈R，函数 f（x）=sin（ kx+）+k的图象为下面两个图中的一个，则函数 f（x）的图象的对称轴方程为（）
A．x=+（k∈ Z）B．x=kx+（k∈Z） C ． x=﹣（k∈ Z）D． x=kπ﹣（k∈ Z）
10．（ 5 分）抛物线 M ：y2=4x 的准线与 x 轴交于点 A，点 F 为焦点，若抛物线 M 上一点 P 满足 PA⊥PF，则以 F 为圆心且过点 P 的圆被 y 轴所截得的弦长约为（参
考数据：≈2.24）（）
A．B．C．D．
11．（ 5 分）在三棱锥 D﹣ABC中， CD⊥底面 ABC，AE∥CD，△ ABC为正三角形，AB=CD=AE=2，三棱锥 D﹣ABC与三棱锥 E﹣ABC的公共部分为一个三棱锥，则此三棱锥的外接球的表面积为（）
A．πB．6π C．πD．π
12．（ 5 分）△ ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知=acosA ﹣ccosB+，且b=2，则a的最小值为（）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卷中的
横线上．
13．（ 5 分）已知向量，满足|| =2| | =2，与的夹角为120°，则 |﹣
2 | =．
14．（ 5 分）若 2tan α =tan420，°则=．
15．（ 5 分）在一次 53.5 公里的自行车个人赛中，25 名参赛选手的成绩（单位：
分钟）的茎叶图如图所示，若用简单随机抽样方法从中选取 2 人，则这 2 人成绩
的平均数恰为 100 的概率为．
16．（ 5 分）若函数，恰有3个零点，则a的取值范围
为．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．第17～21
题为必考题．每个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题．考生根据要求
作答．（一）必考题：共60 分．
17．（ 12 分）已知 S n为等差数列 { a n} 的前 n 项和，且 a17=33，S7=49．
（1）证明： a1，a5，a41成等比数列；
（2）求数列 { a n?3n} 的前 n 项和 T n．
18．（12 分）已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，
第﹣道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为，每道程
序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，每部手机只有三道程序都通过
才能出厂销售．
（ 1）求审核过程中只通过两道程序的概率；
（ 2）现有 3 部智能手机进人审核，记这 3 部手机可以出厂销售的部数为X，求 X
的分布列及数学期望．
19．（ 12 分）如图，在四棱锥 E﹣ABCD中，底面为等腰梯形，且底面与侧面 ABE 垂直， AB∥CD， F， G，M 分别为线段 BE，BC，AD 的中点， AE=CD=1，AD=2，AB=3，且 AE⊥ AB．
（1）证明： MF∥平面 CDE；
（2）求 EG与平面 CDE所成角的正弦值．
20．（ 12 分）已知椭圆C：（a＞b＞0）经过（0，），且椭圆C的离心率为．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设斜率存在的直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两点， O 为坐标原点， OP⊥ OQ，
且 l 与圆心为 O 的定圆 W 相切．直线 l'：y=﹣x+n （ n≠ 0）与圆 W 交于 M ， N
两点， G（3，﹣ 3）．求△ GMN 的面积的最大值．
21．（ 12 分）已知函数 f （x）=（x﹣1）（x2+2）e x+2（x2 +x+2）．
（1）证明：曲线 y=f（ x）在点（ 0，f （0））处的切线经过曲线 y=4cos（x﹣ 1）
的一个最高点；
（2）证明： ? k∈（ 0，1）， f（x）＞ x（kx+2）+k 对 x∈R 恒成立．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则
按所做的第一题计分． [ 选修4-4：坐标系与参数方程 ] （10分）
22．（ 10 分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为ρ=2cos（θ0≤θ≤）．
（ 1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出曲线C；
（ 2）若直线（t为参数）与曲线C有公共点，求m的取值范围．
[ 选修4-5：不等式选讲 ] （10分）
23．已知函数 f （x）=| x﹣3| ．
（1）求不等式 f （x） +f（2x）＜ f（ 12）的解集；
（2）若 x1=3x3﹣x2，| x3﹣2| ＞ 4，证明： f（x1） +f（x2）＞ 12．
2018 年河南省新乡市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）已知集合A={ x| x2﹣x≤0} ，B={ x| a﹣ 1≤ x＜a} ，若 A∩B 只有一个元素，则 a=（）
A．0B．1C．2D．1 或 2
【解答】解：集合 A={ x| x2﹣ x≤0} =[ 0，1] ，B={ x| a﹣ 1≤ x＜ a} =[ a﹣1，a），A∩
B只有一个元素，
则 a=2，
故选： C．
2．（5 分）设复数 z 满足 iz=| 2+i|+ 2i，则 | z| =（）
A．3B．C．9D．10
【解答】解：由 iz=| 2+i|+ 2i，
得=，
则 | z| =．
故选： A．
3．（ 5 分）点 P（x，y）是如图所示的三角形区域（包括边界）内任意一点，则
的最小值为（）
A ．﹣ 2
B ．﹣
C ．﹣
D ．﹣
【解答】 解： 的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率，
如图可知 AO 的斜率最小， A （﹣ 3，5），
则 的最小值为：﹣ ．
故选： B ．
4．（ 5 分）“a＞1”是“（x ﹣ ）4（a ∈R ）的展开式中的常数项大于
1”的（
）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解答】解：“（ x ﹣
4
= x 4﹣
k
（﹣ ）
）（ a ∈ R ）的展开式的通项公式为
?
k
= x 4
﹣
2k
?
，
则当 4﹣2k=0，即 k=2 时，展开式中的常数项为
? =6× =a 2，（ a ∈ R ），
若展开式中的常数项大于 1，则 a 2 ＞1，得 a ＞ 1 或 a ＜﹣ 1，
即 “a＞1”是 “（x ﹣ ）4（a ∈R ）的展开式中的常数项大于
1”的充分不必要条
件，
故选： A ．
5．（ 5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，动点 P 关于 x 轴的对称点为 Q ，且 ? =2， 则点 P 的轨迹方程为（
）
2
+y 2
． 2﹣ y 2 ． 2
． ﹣ 2
第 7 页（共 20 页）
【解答】解：设 P（ x， y），Q（x，﹣ y），
则：?=（x，y）?（x，﹣ y）=x2﹣y2=2，
故选： B．
6．（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图中的两段圆弧均为半圆，该几何体的体积为（）
A．8﹣πB．8﹣2πC．8﹣π D．8+2π
【解答】解：由三视图可知几何体是正方体，挖去两个半圆柱后的几何体．
如图：
几何体的体积为： 2× 2× 2﹣ 12π×2=8﹣2π．
故选： B．
7．（5 分）若 log2（log3a）=log3（log4b）=log4（log2c）=1，则 a，b， c 的大小关系是（）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a
【解答】解：由 log2（log3a）=1，可得 log3a=2，lga=2lg3，故 a=32=9，
由log3（log4b）=1，可得 log4b=3，lgb=3lg4，故 b=43=64，
由log4（log2c）=1，可得 log2c=4，lgc=4lg2，故 c=24=16，
∴b＞ c＞a．
故选： D．
8．（5 分）该试题已被管理员删除
9．（5 分）设 k∈R，函数 f（x）=sin（ kx+）+k的图象为下面两个图中的一个，则函数 f（x）的图象的对称轴方程为（）
A．x=+（k∈ Z）B．x=kx+（k∈Z） C ． x=﹣（k∈ Z）D． x=kπ﹣（k∈ Z）
【解答】解：设 k∈ R，由于函数 f（x）=sin（kx+）+k的最大值为1+k，最小值为 k﹣1，
在（ 1）中，由最大值为1+k=3，最小值为 k﹣1=1，可得 k=2，
∴f（x）=sin（ 2x+ ） +2．
令 2x+ =kπ+，可得x= ?kπ+，k∈Z，故函数f（x）的图象的对称轴方程为x= ?kπ+ ，k∈Z，
联系图象（ 1），满足条件．
在第（ 2）个图中， 1+k=2，1﹣k=0，故有 k=1，
故f（x）=sin（x+ ） +1．
令 x+ =kπ+，可得x=kπ+，k∈ Z，
则函数 f（x）的图象的对称轴方程为x=kπ+，k∈ Z，
联系图象（ 2），不满足条件，
故选： A．
10．（ 5 分）抛物线 M ：y2=4x 的准线与 x 轴交于点 A，点 F 为焦点，若抛物线 M 上一点 P 满足 PA⊥PF，则以 F 为圆心且过点 P 的圆被 y 轴所截得的弦长约为（参
考数据：≈2.24）（）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意，A（﹣1，0），F（1，0），
点 P 在以 AF 为直径的圆 x2+y2=1 上．
设点 P 的横坐标为 m，联立圆与抛物线的方程得x2+4x﹣1=0，
∵m＞0，∴ m=﹣2+ ，
∴点 P 的横坐标为﹣ 2+ ，
∴ | PF| =m+1=﹣1+，
∴圆 F 的方程为（ x﹣ 1）2+y2（﹣）2，
=1
令 x=0，可得 y=±，
∴ | EF| =2=2=，
故选： D．
11．（ 5 分）在三棱锥 D﹣ABC中， CD⊥底面 ABC，AE∥CD，△ ABC为正三角形，AB=CD=AE=2，三棱锥 D﹣ABC与三棱锥 E﹣ABC的公共部分为一个三棱锥，则此三棱锥的外接球的表面积为（）
A．πB．6π C．πD．π
【解答】解：如下图所示：
三棱锥 D﹣ ABC与三棱锥 E﹣ ABC的公共部分为三棱
锥F﹣ABC，
底面 ABC是边长为 2 的等边三角形，外接圆半径为，内切圆半径为，高为 1，
设三棱锥的外接球的半径为R，则，
解得： R=
故此三棱锥的外接球的表面积2π，
S=4πR
=
故选： A．
12．（ 5 分）△ ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知=acosA ﹣ccosB+，且b=2，则a的最小值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵= acosA﹣ccosB+，且b=2，
∴= acosA﹣ccosB+，可得：2cosC=5acosA﹣ccosB，即：bcosC=5acosA ﹣ccosB，
∴sinBcosC+sinCcosB=5sinAcosA，可得： sin（ B+C）=sinA=5sinAcosA，
∵ A 为三角形内角， sinA＞0，可得： cosA= ，
∴由余弦定理可得： a===，
∴可得：当 c= 时， a 的最小值为．
故选： A．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卷中的
横线上．
13．（ 5 分）已知向量，满足|| =2| | =2，与的夹角为120°，则|﹣2 | =．
【解答】解：∵ | | =2| | =2，与的夹角为120°，
∴，，
∴ |﹣2 |2=，
∴ |﹣2 | =．
故答案为：．
14．（ 5 分）若 2tan α =tan420，°则=﹣3．
【解答】解：∵ 2tan α=tan420°=tan60°=，∴ tan α=，
则===﹣ 3，
故答案为：．
15．（ 5 分）在一次 53.5 公里的自行车个人赛中，25 名参赛选手的成绩（单位：
分钟）的茎叶图如图所示，若用简单随机抽样方法从中选取 2 人，则这 2 人成绩
的平均数恰为 100 的概率为．
【解答】解：根据题意知，从25 人中选取 2 人，基本事件数为=300，
其中这 2 人成绩的平均数恰为100 的基本事件为：
（100，100），（ 95，105），（ 95，105），
（95，105），（94，106），（93， 107）共 6
个，所以，所求的概率为 P= = ．
故答案为：．
16．（ 5 分）若函数，恰有3个零点，则a的取值范围为（﹣ 1， 0）∪ [ 1，4）．
【解答】解：函数，
则x＞0 时， f ′（x）=3x2﹣3，在（ 0，﹣ 1）上单调递减，在（ 1，+∞）上单调递增， x=1 时，函数取得极小值：﹣ a﹣ 1；
x=0 时， f （0）=1﹣a；
当x＜0 时， f ′（x）=3x2+6x，在（﹣∞，﹣ 2）上单调递增，在（﹣ 2，0）上单调递减，
x=﹣ 2 时，函数取得极大值： 4﹣a；x=0 时， f（0）=﹣a
∵f（x）有三个不同的零点，只能是 x≤0 时由两个零点，右侧一个零点；或者左侧一个零点右侧两个零点．
∴或，解得﹣1＜a＜0或1≤a＜4．
故答案为：（﹣ 1，0）∪ [ 1， 4）．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．第 17～21题为必考题．每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题．考生根据要求作答．（一）必考题：共 60 分．
17．（ 12 分）已知 S n为等差数列 { a n} 的前 n 项和，且 a17=33，S7=49．
（1）证明： a1，a5，a41成等比数列；
（2）求数列 { a n?3n} 的前 n 项和 T n．
【解答】（1）明：等差数列 { a n} 的首 a1，公差 d，由于 a17=33，S7=49，
：，
解得： a1=1，d=2，
所以： a n．
=2n 1
： a1=1， a5=9，a41=81，
即：=a1?a41．
所以： a1， a5，a41成等比数列．
（ 2）解：由（ 1）得： a n n（
2n ）n，
?3 =1?3
：+?+（2n 1）?3n①，
： 3+?+（2n 1） ?3n+1②
① ②得：（ 2n 1）?3n+1，
整理得：．
故数列的前 n 和：
18．（12 分）已知某智能手机制作完成之后需要依次通三道格的核程序，
第道核、第二道核、第三道核通的概率分，每道程
序是相互独立的，且一旦核不通就停止核，每部手机只有三道程序都通
才能出厂售．
（ 1）求核程中只通两道程序的概率；
（ 2）有 3 部智能手机人核， 3 部手机可以出厂售的部数X，求 X 的分布列及数学期望．
【解答】解：（ 1 ）“ 核程中只通两道程序” 事件 A ，
．
（ 2）每部智能手机可以出厂售的概率．由意可得X 可
取0，1，2，3，
则X ～ B.，
．所以 X 的分布列为：
X0123
P
故（或）．
19．（ 12 分）如图，在四棱锥 E﹣ABCD中，底面为等腰梯形，且底面与侧面ABE 垂直， AB∥CD， F， G，M 分别为线段BE，BC，AD 的中点， AE=CD=1，AD=2，AB=3，且 AE⊥ AB．
（1）证明： MF∥平面 CDE；
（2）求 EG与平面 CDE所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：∵ F，G，M 分别为线段 BE，BC，AD 的中点，
∴MG∥CD， FG∥CE，
又MG∩FG=G，MG? 平面 MFG，FG? 平面 MFG，CD? 平面 CDE，CE? 平面 CDE，∴平面 MFG∥平面 CDE，
又MF? 平面 MFG，
∴MF∥平面 CDE．
（2）解：∵底面 ABCD⊥侧面 ABE，AE⊥AB，平面 ABCD∩ABE=AB，
∴ AE⊥平面 ABCD，
以 A 为原点，建立如图所示的空间坐标系如图所示：
则 E（1，0，0），C（0，2，），D（0，1，）， G（0，，），
∴=（0，1，0），=（﹣ 1，1，），=（﹣ 1，，），
设 =（x，y，z）为平面 CDE的法向量，则，
∴，令 z=1 得 =（，0，1），
∴ cos＜，＞===﹣．
∴ EG与平面 CDE所成角的正弦值为 | cos＜，＞| =．
20．（ 12 分）已知椭圆C：（a＞b＞0）经过（0，），且椭圆C的离心率为．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设斜率存在的直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两点， O 为坐标原点， OP⊥ OQ，且 l 与圆心为 O 的定圆 W 相切．直线 l'：y=﹣x+n （ n≠ 0）与圆 W 交于 M ， N
两点， G（3，﹣ 3）．求△ GMN 的面积的最大值．
【解答】解：（1）椭圆 C：（a＞b＞0）经过（0，），则b=，
椭圆 C 的离心率为=，解得a2=1，
∴椭圆 C 的方程为 x2+4y2=1；
（ 2）设 P（x1， y1）， Q（ x2，y2），l 的方程为 y=kx+m，
由，可得（ 1+k2）x2+8kmx+4m2﹣1=0，
则 x1+x2=﹣，x1x2=，△ 4（﹣4m2+4k2+1）＞0，
∵OP⊥OQ，
∴? =x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（ kx2+m）=（1+k2） x1x2+km（x1+x2）+m2，=[ （1+k2）（4m2﹣ 1）﹣ 8k2m2+m2（ 1+4k2）]
=0，整理可得 5m2=k2+1，
∴ O 到 l 的距离 d==，
∴直线 l 恒与定圆 x2+y2=相切，即圆 W 的方程为 x2+y2 =，
又 O 到直线 l ′距离的d′=＜，即 n2＜，且 n≠0，
∴ | MN| =2，
∵ G 到直线 l ′距离为的，
∴ S GMN×
2?=≤ （﹣
+
）
=
，当且仅
△
=
当﹣=，
即 n2=时取等号，
∴△ GMN 的面积的最大值为
21．（ 12 分）已知函数 f （x）=（x﹣1）（x2+2）e x+2（x2 +x+2）．
（1）证明：曲线 y=f（ x）在点（ 0，f （0））处的切线经过曲线 y=4cos（x﹣ 1）的一个最高点；
（2）证明： ? k∈（ 0，1）， f（x）＞ x（kx+2）+k 对 x∈R 恒成立．
【解答】证明（ 1）f ′（x）=2x（ x﹣1）e x+x（x2 +2） e x+4x+2
∵f （′ 0） =2，f （0）=2，
∴曲线 y=f（ x）在点（ 0，f（0））处的切线方程为y=2x+2．
∵曲线 y=4cos（ x﹣1）的一个最高点为A（1，4）在直线 y=2x+2 上，
∴原命题得证
（2）要证 ? k∈（ 0， 1），f （x）＞ x（kx+2）+k 对 x∈R 恒成
立，只需证（ x﹣1）（x2+2） e x+2（x2+2）＞ kx2+k．
即证（ x﹣1）e x+2，
设 h（x） =（ x﹣ 1） e x，h′（x）═ xe x，
可得 x＞0 时， h′（x）＞ 0，x＜0 时， h′（x）＜ 0，
∴ h（ x）在（﹣∞， 0）递减，在（ 0， +∞）递增，∴ h（x）≥ h（0）=1，而，：? k∈（ 0，1），∴．
∴ ? k∈（ 0，1）， f（x）＞ x（ kx+2）+k 对 x∈R 恒成立．
（二）选考题：共10 分．请考生在第22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[ 选修4-4：坐标系与参数方程 ] （10分）
22．（ 10 分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为ρ=2cos（θ0≤θ≤）．
（ 1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出曲线C；
（ 2）若直线（t为参数）与曲线C有公共点，求m的取值范围．
【解答】解：（1）曲线 C 的极坐标方程为ρ=2cos（θ0≤θ≤），2
∴ρ=2ρ cos，θ
∴x2+y2=2x，
化为标准形式是（ x﹣ 1）2+y2=1，
又 0≤θ≤，
∴曲线 C 表示圆（ x﹣ 1）2+y2=1 的，且x≥ 1，y≥ 0；
∴曲线 C 如图所示；
（ 2）由直线（t为参数），得y=x+m；
当直线 y=x+m 过点（ 2，0）时，求得 m=﹣2；
当直线 y=x+m 过点（ 1，1）时，求得 m=0；
由数形结合求得m 的取值范围是 [ ﹣2，0] ．
[ 选修4-5：不等式选讲 ] （10分）
23．已知函数 f （x）=| x﹣3| ．
（1）求不等式 f （x） +f（2x）＜ f（ 12）的解集；
（2）若 x1=3x3﹣x2，| x3﹣2| ＞ 4，证明： f（x1） +f（x2）＞ 12．
【解答】解：（1）由 f （x）+f（2x）＜ f（12）得 | x﹣3|+| 2x﹣ 3| ＜9，
故或或，
解得：﹣ 1＜ x＜5
故不等式的解集是（﹣ 1，5）；
（2）证明：∵ x1 =3x3﹣x2，∴ x1+x2=3x3，
∴f（x1） +f （x2）=| x1﹣3|+| x2﹣3| ≥ | x1﹣3+x2﹣3| =| 3x3﹣ 6| =3| x3﹣2| ，又 | x3﹣ 2| ＞4，