第一单元 线性方程组的表达
一、学习目标
了解线性方程组的表示方法及线性方程组的基本概念
二、内容讲解
线性方程组的一般表示 方程数目为m ,未知量个数为n . 下面举一个例子.
例: 用矩阵形式表示方程组
??
?-=-+=+-1
65443321321x x x x x x
解: 将未知量的系数和常数项按原来的位置写成矩阵
?
?????---=11654143A ,n =3,m =2
系数矩阵
??????--=165143A ,未知数矩阵??????????=321x x x X ,常数矩阵??????-=14b 线性方程组用矩阵表示为b AX =
即?
??
??
?--165143???
??
?????321x x x ???
???-=14
线性方程组三种表示形式
???
???---=11654143A
三、例题讲解
例1 将线性方程组
??????
?=+-=+=++-=--43502515432131
321321x x x x x x x x x x x 改写成矩阵的形式.
解:增广矩阵
???????
??
???----=43
150101215111
54A 系数矩阵??
??????????----=315101151154A 常数矩阵??????
??????=4021b
线性方程组的矩阵表示为???????????
?----315101151154??????????321x x x =??????
??????4021 例2若已知矩阵
??
????????--=500101111231
021A 表示一个线性方程组的增广矩阵,讨论这个线性方程组:(1)有几个未知量?(2)有几个方程?(3)最后一行代表的方程是什么?
解:(1)根据增广矩阵的概念,可知最后一列是常数项,前4列是未知量的系数,故这个方程组有4个未知量.
(2)由增广矩阵的构成可知,增广矩阵的行数就是方程的个数,故有3个方程. (3)最后一行代表的方程是50004321=+++x x x x 即52=x
例3,线性方程组b AX =,矩阵A 是4×6矩阵,矩阵b 是4×1矩阵,问这个方程组有几个未知量?有几个方程?
解:有6个未知量,有4个方程.
四、课堂练习
练习写出下列线性方程组的增广矩阵,并写出矩阵表达形式.
五、课后作业
将下列方程组写成矩阵形式:
(1)?
?
?
?
?
=
-
-
=
+
+
-
=
+
2
4
2
3
3
2
5
2
3
2
1
3
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
;(2)
?
?
?
?
??
?
?
?
-
=
+
-
=
+
+
=
+
+
-
=
+
+
=
+
4
6
5
2
6
5
2
6
5
2
6
5
1
6
5
5
4
5
4
3
4
3
2
3
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
(1)
?
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
-
-
2
3
5
4
2
3
2
1
1
1
2
3
2
1
x
x
x
;(2)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
-
-
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
2
2
2
1
6
5
6
5
1
6
5
1
6
5
1
6
5
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
第二单元消元法
一、学习目标
熟练掌握求线性方程组一般解的消元法,掌握求线性方程组的特解.
二、内容讲解
例:若一个线性方程组的增广矩阵为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
-
=
2
2
2
1
1
1
1
1
2
A
,求方程组的解.
解:从最后一行开始,得
2
2
3
-
=
x,1
3
-
=
x
第二行表示的方程是
2
3
2
=
+x
x,
3
2
2x
x-
=3
)1
(
2=
-
-
=
第一行表示的方程是
1
2
3
2
1
=
-
+x
x
x,2
3
)
1(
2
1
3
2
1
-
=
+
-
=x
x
x
方程组的解为?
?
?
?
?
?
?
-
=
=
-
=
1
3
2
3
3
2
1
x
x
x
归纳:当线性方程组的增广矩阵为阶梯形矩阵时,可以从最后一行开始,用逐步回代的方法求得线性方程组的解.
比较增广矩阵与线性方程组作初等行变换的关系
结论:对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换,不改变线性方程组的解.
消元法:用初等行变换把线性方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵;从阶梯形矩阵的最后一行开始,用逐步回代的方法求解.这种解线性方程组的方法就叫消元法。
问题:若一个线性方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵后,若最后一个非0行:
(1)出现了“0 0 0 0 2 0”行,该方程组有解吗?
(2)出现了“0 0 0 0 0 2”行,该方程组有解吗?
答案(1)有解,因为这个方程代表了方程
2
5
4
3
2
1
=
+
+
+
+x
x
x
x
x,所以0
5
=
x;
(2)无解.
三、例题讲解
例1解线性方程组
解:增广矩阵
它所对应的方程组就是
这种形式的方程组称为阶梯形方程组.用回代的方法求出方程组的解为例2解线性方程组
解:增广矩阵为
因为最后一行表示的方程是
1
3
2
1
=
+
+x
x
x,所以原方程组无解.
例3解线性方程组
解将增广矩阵化成阶梯形矩阵
第二行表示的方程是132432=++-x x x ,
432212321x x x ++-
=
第一行表示的方程是14321=+-+x x x x ,43211x x x x -+-=4323
2123x x --=
原方程组的解为
等号右边的未知量43,x x 称为自由未知量,用一组自由未知量表示其它解的形式称为线性方程组的一般解,含有自由未知量的线性方程组有无穷多解.
将阶梯形矩阵继续化简,化成行简化阶梯形矩阵:
定义:阶梯形矩阵如果具有下列特点,则称为行简化阶梯形矩阵: (1)每行的首非0元素都为1;
(2) 每行的首非0元素所在的列其余元素都为0. 所以上述方程组的一般解为
???
???
?
++-=--=432431212321232123x x x x x x (其中43,x x 为自由未知量) 四、课堂作业 练习解线性方程组
五、课后作业
1.已知线性方程组b AX =的增广矩阵经初等行变换化为阶梯形矩阵
??
?
??
??
?
?----0000001251001831203536121 求方程组的解.
2.用消元法解下列线性方程组:
(1)??????
?-=-+-=---=++-=-+15
12432734452873321
3213213
21x x x x x x x x x x x x ;(2)??
?
??=++--=-++-=++-11
3254236
532432143214321x x x x x x x x x x x x
(3)???????=-++-=----=+-+--=-+-1163519491
243932543214214
3214321x x x x x x x x x x x x x x x ;(4)
??
????? ??--=??????? ????????? ??-------161211394223411210551324321x x x x 3.解下列齐次线性方程组: ???
??=++-=+-+-=-+-0
230253034254
32143214321x x x x x x x x x x x x
第三单元 线性方程组解的情况判定
一、学习目标
理解线性方程组有解判定定理,熟练掌握线性方程组解的情况判定方法
二、内容讲解
在这一节里我们关心的问题是,一个线性方程组究竟是有解,还是无解?如果有解,是有一个解,还是有无穷多个解?我们先来讨论齐次线性方程组.先介绍什么叫齐次线性方程组.
称0=AX 为齐次线性方程组,)0(≠=b b AX 为非齐次线性方程组 1.关于齐次线性方程组0=AX 解的情况: (1)0=AX 总有解,至少有一个0解;
(2)0=AX 在什么条件下只有0解?在什么条件下有非0解? 结论:A ——n m ?矩阵
当秩n A <)(时,0=AX 有非0解; 当秩n A =)(时,0=AX 只有0解.
下面结合前面讲过的例子来分析齐次线性方程组解的情况. 例3 解线性方程组
解 增广矩阵化成阶梯形矩阵 线性方程组的一般解为
??
?=-=323
145x x x x (3x 是自由未知量)
结论:A ——n m ?矩阵
当秩n A <)(时,0=AX 有非0解,当秩n A =)(时,0=AX 只有0解. 下面我们要讨论关于线性方程组解的第二个问题: 非齐次线性方程组)0(≠=b b AX 解的情况.
首先看一个问题:非齐次线性方程组)0(≠=b b AX 在什么条件下无解? 我们从以前作过的例子分析. 例2 解线性方程组
解 增广矩阵化成阶梯形矩阵为 A
最后一行表示的方程是 1000321=++x x x ,原方程组无解. 再来看以前解过的一个方程组. 例4 解线性方程组
解
A ???
????
??-→000
0010000252100432
1
第三行表示的方程100004321=+++x x x x 线性方程组无解.
总结线性方程组无解时的特征,观察例4的增广矩阵化成阶梯阵后的形式:
A
???
????
??-→000
0010000252100432
1
特点:A 的秩是3,A 的秩是2,从中归纳出系数矩阵与增广矩阵的秩的特点与解的关系. 2.定理15.1
? ? ?
? ?
? ? ? ? ? - → 1 0 0 0 3 1 3 0 1 1 1 1
线性方程组)0(≠=b b AX 有解的充分必要条件是它的系数矩阵的秩与它的增广矩阵的秩相等,即当秩)(A =秩 (A ).
再来讨论第二个问题:如果有解,解是一个还是无穷多个?看前面讨论的例子.
例1 解线性方程组??????
?=+++-=--+--=++--=-++4
42137432423323524321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x
解:增广矩阵化成阶梯阵
A
?
?
????
??????---→31000302339005451041421
有唯一解.
例3:解线性方程组
解 将增广矩阵化成阶梯形矩阵 有无穷多解,一般解中有两个自由未知量. 3.定理3.2
若线性方程组)0(≠=b b AX 有解,则当秩=)(A 秩n A =)((未知量的个数)时,方程组有唯一解;当秩=)(A 秩n A <)(时,方程组有无穷多解.
三、例题讲解
例1解线性方程组b AX =,其中
解
???????
??-----=25210334322111104321A ???
????
?
?-→000
00100002521
0043
2
1
第三行表示的方程100004321=+++x x x x ,线性方程组无解。 例2解线性方程组 解:增广矩阵
由第二行得1232=-x x ,
)1(21
32x x +=
线性方程组的一般解为??????
?+=+=323121212323x x x x (3x 是自由未知量)方程组有无穷多解.
例3 解线性方程组 解:增广矩阵 化成行简化阶梯形矩阵
线性方程组的一般解为??
?=-=3
23145x x x x (3x 是自由未知量)
例4 判断线性方程组解的情况 解:将增广矩阵化成阶梯形矩阵
这是齐次线性方程组,由于系数矩阵的秩等于未知量的个数,所以方程组只有0解 例5线性方程组
??
?
??=-=-+-=++230221
32321321x x x x x x x x ,是否有解?
解:将增广矩阵化成阶梯形矩阵
由于秩(A )=3≠秩(A )=2,方程组无解. 例6 线性方程组
当b a ,为何值时,方程组无解、有唯一解、有无穷多解? 解:将增广矩阵化成阶梯形矩阵
当a +1≠0,a ≠-1时,秩(A )=秩(A )=3,解唯一; 当a =-1,b ≠1时,秩(A )=3≠秩(A )=2,无解; 当a =-1,b =1时,秩(A )=秩(A )=2,有无穷多解. 四、课堂练习
练习1 判断下列齐次线性方程组解的情况,并求解.
系数矩阵是未知量系数组成的矩阵,不含有常数项.这是齐次方程组,只列系数矩阵.
将未知量的系数按在方程组中的次序写成矩阵形式
A =------??
??????2513421212156 由于齐次线性方程组增广矩阵的最后一列都是0,进行初等行变换时这一列不影响矩阵的秩,故最后一列可以不写出,只对系数矩阵进行初等行变换即可.
当系数矩阵化成阶梯形矩阵时,若非0行数(矩阵的秩)等于未知量的个数,则只有0解;若非0行数(矩阵的秩)小于未知量的个数,则有非0解,继续将阶梯形矩阵化成行简化阶梯形矩阵,从中得到齐次线性方程组的一般解. 练习2 当b a ,为何值时,线性方程组
???
??=++-=++=++b
ax x x x x x x x x 321
321321223520
23 ,有唯一解、无穷多解或无解.
五、课后作业
1.判断下列方程组解的情况
(1)?
??????
??-=????? ????????? ?
?-14752332511131112321x x x (2)?
?????? ??-=??????? ????????? ?
?------412131122115322311124321x x x x (3)??????
?=+----=+-+-=++-=---2
62424205836234321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x
(4)??????
?=++-=---=+-=+++0
52350320354035234
321
4
314214321x x x x x x x x x x x x x x
2. 判断下列方程组是否有解?若有解,求出解.
3.判断下列方程组解的情况, 若有解,求出解.
(1)??
?
?
???
??---=
????? ????????? ??---5123533
111222311321x x x
(2)???
??=++--=-++-=++-2
3254236
5324321
43214321x x x x x x x x x x x x
1.(1)唯一解 (2)无解 (3)有无穷多解 (4)有非0解;
2.(1)λ=-3时,有无穷多解,一般解为
???
??+=+=-=6
238
43
421x x x x x (其中4x 是自由未知量);
(2)λ≠-3时,无解.
3.(1)??
?=-=1
32
1x x x (2x 是自由未知量) (2)无解.
习题3 3-1.求下列齐次线性方程组的通解: (1)?? ? ??=--=--=+-087305302z y x z y x z y x . 解 对系数矩阵施行行初等变换,得 ???? ? ??-----?→?????? ??-----=144072021 1873153211A )(000720211阶梯形矩阵B =???? ? ??-?→? ??? ?? ??-?→?0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =????? ? ???→? , 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??? ?=+=+02702 11 z y z x , 即 ??? ??? ?-=-=z y z x 272 11(其中z 是自由未知量), 令1=z ,得到方程组的一个基础解系 T )1,2 7,211(-- =ξ, 所以,方程组的通解为
,)1,2 7,211(T k k -- =ξk 为任意常数. (2)??? ??=+++=+++=++++0 86530543207224321 432154321x x x x x x x x x x x x x . 解 对系数矩阵施行行初等变换,得 ???? ? ??--?→?????? ??=21202014101072211086530543272211A )(7000014101072211阶梯形矩阵B =????? ??-?→? ???? ? ??-?→?70000141010211201 )(100000101001201行最简形矩阵C =???? ? ???→?, 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??==+=++00 025 42431x x x x x x , 即 ??? ??=-=--=025 4 2431x x x x x x (其中43,x x 是自由未知量), 令34(,)T x x =(1,0)T ,(0,1)T ,得到方程组的一个基础解系 T )0,0,1,0,2(1-=ξ,T )0,1,0,1,1(2--=ξ, 所以,方程组的通解为
1.已知向量:112[5,1,3,2,4],34[3,7,17,2,8],T T ααα=--=-- 求1223αα+ 解: ∵ 21{[3,7,17,2,8][15,3,9,6,12]}4T T α=----- 1[12,4,8,8,4][3,1,2,2,1]4 T T =-----=- ∴ 1223[10,2,6,4,8][9,3,6,6,3][19,1,0,10,11]T T T αα+=-+-= 2.设 12[2,5,1,3],[10,1,5,10],T T αα== 3123[4,1,1,1],3()2()5()0T ααααααα=--++-+=并且 求 α 解: ∵ 1236325αααα=+- [6,15,3,9][20,2,10,20][20,5,5,5][6,12,18,24], T T T T =+--= ∴ [1,2,3,4].T α= 3.判断下列命题是否正确,为什么? (1)如果当 120m k k k ====L 时, 11220m m k k k ααα+++=L 成立, 则向量组12,,m αααK 线性相关 解:不正确.如:[][]121,2,3,4T T αα==,虽然 12000,αα+=但12,αα线性无关。 (2) 如果存在m 个不全为零的数12,,,,m k k k L 使 11220,m m k k k ααα+++≠L 则向量组12,,,m αααL 线性无关。 解: 不正确. 如[][]11121,2,2,4,1,2,T T k αα====存在k 使 121220,,.αααα+≠但显然线性相关 (3) 如果向量组12,,,m αααL 线性无关,则其中任何一个向量都 不能由其余向量线性表出. 解: 正确。(反证)如果组中有一个向量可由其余向量线性表示,则向量组 12,,,m αααL 线性相关,与题没矛盾。 (4) 如果向量组123,,ααα线性相关,则3α一定可由12,αα线性表示。 解:不正确。例如:[][][]1230,0,0,0,1,0,0,0,1,T T T ααα===向量组123,,ααα线性相关,但3α不能由12,αα线性表示。 (5) 如果向量β可由向量123,,ααα线性表示,即: 112233,k k k βααα=++则表示系数 123,,k k k 不全为零。 解:不正确。例如:[][][]120,0,0,1,0,0,0,1,0,T T T βαα=== []31230,0,1,000T αβααα==++,表示系数全为0。 (6) 若向量12,αα线性相关,12,ββ线性无关,则1212,,,ααββ线性相关.
线性代数公式大全——最新修订 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素,展开后有!n 项,可分解为2n 行列式; 2. 代数余子式的性质: ①、ij A 和ij a 的大小无关; ②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A ; 3. 代数余子式和余子式的关系:(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D : 将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1)2 1(1) n n D D -=-; 将D 顺时针或逆时针旋转90o ,所得行列式为2D ,则(1)2 2(1)n n D D -=-; 将D 主对角线翻转后(转置),所得行列式为3D ,则3D D =; 将D 主副角线翻转后,所得行列式为4D ,则4D D =; 5. 行列式的重要公式: ①、主对角行列式:主对角元素的乘积; ②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -; ③、上、下三角行列式( = ◥◣):主对角元素的乘积; ④、 ◤和 ◢:副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -; ⑤、拉普拉斯展开式: A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值; 6. 对于n 阶行列式A ,恒有:1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑,其中k S 为k 阶主子式; 7. 证明0A =的方法: ①、A A =-; ②、反证法; ③、构造齐次方程组0Ax =,证明其有非零解; ④、利用秩,证明()r A n <; ⑤、证明0是其特征值; 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵: ?0A ≠(是非奇异矩阵); ?()r A n =(是满秩矩阵) ?A 的行(列)向量组线性无关; ?齐次方程组0Ax =有非零解; ?n b R ?∈,Ax b =总有唯一解; ?A 与E 等价; ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积;
第三章 线性方程组 §3.1 线性方程组的矩阵消元解法 例3.1 求解线性方程组 ??? ??=+-=+-=-+4 5342622321 321321x x x x x x x x x 解方程组通常采用消元法,比如将第2个方程乘2-加到第1个方程,可消去1x 得到09632=-x x ,将此方程两边除以3,约简可得03232=-x x 。 除了消元和约简,有时还要交换两个方程的位置。这些变形运算实际上仅在变量的系数之间进行,所以只需将所有的系数和常数项列成一个矩阵,做初等行变换即可。显然消元、约简和交换方程位置分别相当于矩阵的消去变换、倍缩变换和换行变换。比如上面对本例的两个具体变形相当于以下矩阵初等行变换: ????? ??---411534216122→????? ??---411534210960→???? ? ??---411534210320 其中第一个变换是第2行乘2-加到第1行,第二个变换是以31乘第1行。矩阵的初等变换可以使解方程组的过程显得紧凑、快捷、简洁。 下面我们运用初等变换的标准程序(参看§2.4)来解例3.1的线性方程组: ????? ??---4115342]1[6122 →? ?? ?? ??----111990342 109]6[0 ?→?* ????? ??---11]5.5[0005 .110310 1→? ???? ? ?210030101001 其中,主元都用“[ ]”号作了标记。消元与换行可同步进行(如带“*”号的第二 步),换行的目的是为了使主元呈左上到右下排列。最后一个矩阵对应方程组 ?? ? ??=++=++=++2 003001 00321x x x 实际上已得到方程组的解是11=x ,32=x ,23=x 。写成列向量 ()T x 2,3,1=,叫做解向量。显然解向量可以从最后一个矩阵右侧的常数列 直接读出,无需写出对应的方程组。 第二章曾经把一般的线性方程组(2.2)写成矩阵形式b Ax =,比如例 3.1 的线性方程组,写成矩阵形式是??? ? ? ??=????? ??---436115421122x 。
线性代数公式 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素,展开后有!n 项,可分解为2n 行列式; 2. 代数余子式的性质: ①、ij A 和ij a 的大小无关; ②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A ; 3. 代数余子式和余子式的关系:(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D : 将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1)2 1(1) n n D D -=-; 将D 顺时针或逆时针旋转90 ,所得行列式为2D ,则(1)2 2(1)n n D D -=-; 将D 主对角线翻转后(转置),所得行列式为3D ,则3D D =; 将D 主副角线翻转后,所得行列式为4D ,则4D D =; 5. 行列式的重要公式: ①、主对角行列式:主对角元素的乘积; ②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -; ③、上、下三角行列式( = ◥◣):主对角元素的乘积; ④、 ◤和 ◢:副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -; ⑤、拉普拉斯展开式: A O A C A B C B O B ==、(1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值; 6. 对于n 阶行列式A ,恒有:1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑,其中k S 为k 阶主子式; 7. 证明0A =的方法: ①、A A =-; ②、反证法; ③、构造齐次方程组0Ax =,证明其有非零解; ④、利用秩,证明()r A n <; ⑤、证明0是其特征值; 2、矩阵 8. A 是n 阶可逆矩阵: ?0A ≠(是非奇异矩阵); ?()r A n =(是满秩矩阵) ?A 的行(列)向量组线性无关; ?齐次方程组0Ax =有非零解; ?n b R ?∈,Ax b =总有唯一解;
线性代数公式必记 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素,展开后有!n 项,可分解为2n 行列式; 2. 代数余子式的性质: ①、ij A 和ij a 的大小无关; ②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A ; 3. 代数余子式和余子式的关系:(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D : 将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1)2 1(1) n n D D -=-; 将D 顺时针或逆时针旋转90 ,所得行列式为2D ,则(1)2 2(1)n n D D -=-; 将D 主对角线翻转后(转置),所得行列式为3D ,则3D D =; 将D 主副角线翻转后,所得行列式为4D ,则4D D =; 5. 行列式的重要公式: ①、主对角行列式:主对角元素的乘积; ②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -; ③、上、下三角行列式( = ◥◣):主对角元素的乘积; ④、 ◤和 ◢:副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -; ⑤、拉普拉斯展开式: A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值; 6. 对于n 阶行列式A ,恒有:1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑,其中k S 为k 阶主子式; 7. 证明0A =的方法: ①、A A =-; ②、反证法; ③、构造齐次方程组0Ax =,证明其有非零解; ④、利用秩,证明()r A n <; ⑤、证明0是其特征值; 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵: ?0A ≠(是非奇异矩阵); ?()r A n =(是满秩矩阵) ?A 的行(列)向量组线性无关; ?齐次方程组0Ax =有非零解; ?n b R ?∈,Ax b =总有唯一解;
线性代数公式大全 1、行列式 1. n 行列式共有2 n 个元素,展开后有!n 项,可分解为2n 行列式; 2. 代数余子式的性质: ①、ij A 和ij a 的大小无关; ②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A ; 3. 代数余子式和余子式的关系:(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 行列式的重要公式: ①、主对角行列式:主对角元素的乘积; ②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -; ③、上、下三角行列式( = ◥◣):主对角元素的乘积; ④、 ◤和 ◢:副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -; ⑤、拉普拉斯展开式:A O A C A B C B O B ==、(1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值; 5. 对于n 阶行列式A ,恒有:1(1) n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑,其中k S 为k 阶主子式; 6. 证明0A =的方法: ①、A A =-; ②、反证法; ③、构造齐次方程组0Ax =,证明其有非零解; ④、利用秩,证明()r A n <; ⑤、证明0是其特征值; 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵: ?0A ≠(是非奇异矩阵); ?()r A n =(是满秩矩阵) ?A 的行(列)向量组线性无关; ?齐次方程组0Ax =有非零解; ?n b R ?∈,Ax b =总有唯一解;
?A 与E 等价; ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积; ?A 的特征值全不为0; ?T A A 是正定矩阵; ?A 的行(列)向量组是n R 的一组基; ?A 是n R 中某两组基的过渡矩阵; 2. 对于n 阶矩阵A :* * AA A A A E == 无条件恒成立; 3. 1* *1 11**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== * * * 1 1 1 ()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---=== 4. 矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和; 5. 关于分块矩阵的重要结论,其中均A 、B 可逆: 若12 s A A A A ?? ? ?= ? ?? ? ,则: Ⅰ、12s A A A A = ; Ⅱ、1 1112 1s A A A A ----?? ? ?= ? ? ?? ? ; ②、1 11A O A O O B O B ---?? ?? = ? ????? ;(主对角分块) ③、1 11O A O B B O A O ---?? ??= ? ? ???? ;(副对角分块) ④、1 1111A C A A CB O B O B -----?? -?? = ? ????? ;(拉普拉斯) ⑤、1 111 1A O A O C B B CA B -----?? ?? = ? ?-???? ;(拉普拉斯) 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个m n ?矩阵A ,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:r m n E O F O O ???= ???; 等价类:所有与A 等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵; 对于同型矩阵A 、B ,若()()r A r B A B = ? ; 2. 行最简形矩阵:
习题 3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵 1.用初等行变换化矩阵 1021 2031 3043 A - ?? ?? =?? ?? ?? 为行最简形. 2.用初等变换求方阵 321 315 323 A ?? ?? =?? ?? ?? 的逆矩阵. 3.设 412 221 311 A - ?? ?? =?? ?? - ?? , 3 22 31 - ?? ?? ?? ?? - ?? 1 B=,求X使AX B =. 4.设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B. (1) 证明B可逆(2)求1 AB-.
习题 3-2 矩阵的秩 1.求矩阵的秩: (1)310211211344A ????=--????-?? (2)11121212221 2n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ??????=??????01,2,,i i a b i n ≠????=?? 2.设12312323k A k k -????=--????-?? 问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3)()3R A =.
3. 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系是 . .()()a R A R B = .()()b R A R B <; .()()1c R B R A >-; .()()()1 d R A R B R A ≥≥- 4. 矩阵???? ??????-------815073*********的秩R= . a.1; b . 2; c . 3; d . 4. 5. 设n (n ≥3)阶方阵????? ???????=111 a a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = . a . 1; b . n -11; c . –1; d . 1 1-n . 6.设A 为n 阶方阵,且2 A A =,试证: ()()R A R A E n +-=
习题3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵 1.用初等行变换化矩阵 1021 2031 3043 A - ?? ?? =?? ?? ?? 为行最简形. 2.用初等变换求方阵 321 315 323 A ?? ?? =?? ?? ?? 的逆矩阵. 3.设 412 221 311 A - ?? ?? =?? ?? - ?? , 3 22 31 - ?? ?? ?? ?? - ?? 1 B=,求X使AX B =. 4.设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B. (1) 证明B可逆 (2)求1 AB-.
习题 3-2 矩阵的秩 1.求矩阵的秩: (1)310211211344A ?? ??=--?? ??-?? (2)111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ?? ?? ??=???? ?? L L L L L L L 01,2,,i i a b i n ≠? ? ??=?? L 2.设12312323k A k k -?? ??=--?? ??-?? 问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3) ()3R A =.
3. 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系是 . .()()a R A R B = .()()b R A R B <; .()()1c R B R A >-; .()()() 1.d R A R B R A ≥≥- 4. 矩阵???? ??????-------815073*********的秩R= . a.1; b . 2; c . 3; d . 4. 5. 设n (n ≥3)阶方阵????? ???????=111ΛΛΛΛΛΛΛΛa a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = . a . 1; b . n -11; c . –1; d . 1 1-n . 6.设A 为n 阶方阵,且2A A =,试证: ()()R A R A E n +-=
第3章 线性代数方程组 3.1.1 矩阵秩的定义 定义1 矩阵A 的k 阶子式 在n m ?矩阵A 中任取k 行,k 列()()n m k ,m in 1≤≤,位于这k 行,k 列交叉点处的元素按原来次序组成的行列式,称为A 的一个k 阶子式。 定义2矩阵A 的秩 设在矩阵A 中有一个不等于零的r 阶子式D ,且所有的r +1阶子式(如果有的话)全等于零,那么D 称为矩阵A 的最高阶非零子式,数r 称为矩阵A 的秩,记为)(A rank ,简记为()A r 。 定义3 满秩阵 设A 为n 阶方阵,若()A r =A ,则称A 为满秩阵。 3.1.2 矩阵秩的性质 (1)()();A r A r T = (2)()(),A r A r =λ其中0≠λ; (3)()0=A r 等价于0=A ; (4)()()n m A r n m ,m in ≤?; (5)设A ,B 为同阶矩阵,则 ()()()B r A r B A r +≤+ (1) 设A 为n m ?矩阵,B 为s n ?矩阵,则 ()()()() ()()()n B r A r AB r B r A r AB r -+≥≤,min 特别当AB =0时,()()n B r A r ≤+成立。 (7)()()()()()()B r A r B D A r B r A r B C A r B r A r B A r +≥?? ????+≥??????+=??????0000 3.1.3 矩阵秩的有关结论 (1)初等变换不改变矩阵的秩,即 若A ∽B,则()()B r A r =
(2)矩阵乘上一个可逆阵不改变原矩阵的秩,即当A 可逆时,有 ()()B r AB r =;()()B r BA r = (3) 设A 为n 阶方阵,则其转置伴随阵的秩为 () ()()()?? ? ??-≤-===2 011 *n A r n A r n A r n A r (4)设A 为方阵,则()n A r A =?≠0。 3.1.4 矩阵秩的求法 (1)用定义求矩阵的秩。 (2)用初等变换法求矩阵的秩。 (3)用性质求矩阵的秩。 (4)用有关结论求矩阵的秩。 (5)用齐次线性方称组的基础解系讨论矩阵的秩。 3.1.5 系数矩阵可逆的线性代数方程组的求解 问题:求b Ax =的解,其中0≠A 。 方法(1) 克莱娒法则 ()n i A D x i i ,2,1== ,其中i D 为右端列b 取代A 的第i 列所构成的行列式。 方法(2)逆矩阵法 b A x 1 1 --=,其中A A A *1 =-或用()()1-?→?A I I A 行求1 -A 。 方法(3) G 法 将增广矩阵()b A 经过行初等变换化为行梯形阵,回代求解。 方法(3)G -J 法 将增广矩阵()b A 经过行初等变换化为行标准形后得解。 3.1.6 齐次线性方程组 0=?x A n m (1)齐次线性方程组有解的条件 0=x 为0=Ax 的平凡解。 当()n A r =时,0=Ax 只有零解。 ()n A r 时,0=Ax 有含()A r n -个参数的无穷多组解。 注0=Ax 有非零解()n A r ?。 (2)齐次线性方程组解的求法
第三章 习题与答案 习题 A 1.求向量123(4,1,3,2),(1,2,3,2),(16,9,1 ,3)T T T =--=-=-ααα的线性组合12335.+-ααα 解 12341161293535331223?????? ? ? ? ? ? ?+-=+- ? ? ?-- ? ? ?-??????ααα1251613109491512561037???????? ? ? ? ? ? ? ? ?=+-= ? ? ? ?--- ? ? ? ?--???????? . 2.从以下方程中求向量α 1233()2()5()-++=+αααααα, 其中123(2,5,1,3),(10,1,5,10),(4,1 ,1,1).T T T ===-ααα 解 由方程得1233322550-++--=αααααα, 1232104651112 632532515118310124???????? ? ? ? ? ? ? ? ?=+-=+-= ? ? ? ?- ? ? ? ?????????αααα 故12 34?? ? ?= ? ??? α,即(1,2,3,4)T =α. 3.求证:向量组12i s α,α,,α,α 中的任一向量i α可以由这个向量组线性表出. 证 120010(1,2,,)i i s i s =+++++= ααααα 4.证明: 包含零向量的向量组线性相关. 证 设向量组为1211α,α,,α,0,α,,αi i s -+ ,则有 12110α0αα00α0α0,0i i s k k -++++++++=≠ 而0,0,,0,,0,,0k 不全为0,故向量组线性相关. 5.设有m 个向量12α,α,,αm ,证明: 若αα()i j i j =≠,则向量组12α,α,,αm 线性相关. 证 显然有1210α0αα0α()α0α0,0i i j m k k k +++++++-++=≠ , 而0,,0,,0,,0,,0,,0k k - 不全为0.故向量组线性相关. 6.判断下列向量组的线性相关性
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 一、填空题 1、 设???? ?? ? ??=n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a A 2 1 2221 212111,其中),,2,1(,0,0n i b a i i =≠≠,则=)(A R ____ 2、 设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且=)(A R n -1,则线性方程组AX =0 的通解为________ 3、 设四阶方阵的秩为2,其伴随矩阵的秩为_______ 4、 设?????? ? ??=---112 11 22 221 21n n n n n n a a a a a a a a a A ,??????? ??=n x x x X 21,???? ??? ??=111 B ,其中 ),,2,1,,(n j i j i a a j i =≠≠,则线性方程组B AX =的解是________ 5、 已知????? ? ?=10 0210 002 P ,??? ? ? ? ?=20 0020 001A ,则=-1001)(AP P ________ 6、 设A ,B 均为n 阶矩阵AB =0,且A +B=E,则=+)()(B R A R _________ 7、 设矩阵n m A ?的秩为r ,P 为m 阶可逆矩阵,则)(PA R =________ 8、 矩阵??? ?? ??--34031302 1201 的行最简形矩阵为___________ 9、 矩阵??? ? ? ? ?----17 4 03430 1320的行最简形矩阵为__________ 10、 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ,则)(______)(B R A R 从矩阵A 中增加一行得到矩阵B ,则)(______)(B R A R
概率论公式大全(2010版) 1.随机事件及其概率 吸收律:A AB A A A A =?=??Ω=Ω?)( A B A A A A A =???=??=Ω?)( )(AB A B A B A -==- 反演律:B A B A =? B A AB ?= n i i n i i A A 11=== n i i n i i A A 11=== 2.概率的定义及其计算 )(1)(A P A P -= 若B A ? )()()(A P B P A B P -=-? 对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=- 加法公式:对任意两个事件A , B , 有 )()()()(AB P B P A P B A P -+=? )()()(B P A P B A P +≤? )()1()()()()(2111111n n n n k j i k j i n j i j i n i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++- =∑∑∑ 3.条件概率 ()=A B P ) ()(A P AB P 乘法公式 ())0)(()()(>=A P A B P A P AB P
()() ) 0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P 全概率公式 ∑==n i i AB P A P 1)()( )()(1i n i i B A P B P ?=∑= Bayes 公式 )(A B P k )()(A P AB P k = ∑==n i i i k k B A P B P B A P B P 1 ) ()()()( 4.随机变量及其分布 分布函数计算 ) ()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤< 5.离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k (2) 二项分布 ),(p n B 若P ( A ) = p n k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1()( =-==- *Possion 定理 0lim >=∞ →λn n np 有 ,2,1,0!)1(l i m ==---∞→k k e p p C k k n n k n k n n λλ (3) Poisson 分布 )(λP ,2,1,0,!)(===-k k e k X P k λλ
线性代数第三章习题解 1. 计算下列行列式: 1) 4 321; 2) 2 2b b a a ; 3) 7 04 0- 解: 1) 26432414 321-=-=?-?=; 2) )(222 2a b ab b a ab b b a a -=-=; 3) 0)4(0707 40=-?-?=-. 2. 计算下列三阶行列式: 1) 241130 4 21--; 2) 320001753-; 3) b a c a c b c b a 解: 1) 将行列式按第一列展开 2) 将行列式按第二行展开 3) 3. 计算下列行列式: 1) 0 00 0000005 5 4433 2222211111b a b a b a e d c b a e d c b a ; 2) x y y x y x y x D n 0 0000 000 00 =; 3) f e d c b a 00000000 解: 1) 将行列式按第一列展开后, 得到的各子式再按第二列展开, 这样展开后的后三列构成的任何三阶子式都至少包括一行0, 因此后三列任何三阶子式均为0, 整个行列式的值D =0. 2) 将行列式按第一列展开得 3) 先对第一列展开, 然后对第二列展开, 得 4. 利用行列式的性质计算下列行列式
1) 2 60 5 232112131412 -; 2) ef cf bf de cd bd ae ac ab ---; 3) 2 2 2 2 2222 2 2222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 解: 下面都将所求行列式的值设为D . 1) 因为第1行加到第2行以后, 第2行将和第4行相等, 因此行列式的值D =0; 2) 首先从第1,2,3行分别提取公因子a ,d ,f , 再从第1,2,3列提取公因子b ,c ,e , 得 3) 将第2,3,4列都展开, 并统统减去第1列, 得 再将第3列减去2倍的第2列, 第4列减去3倍的第2列, 得 5. 把下列行列式化为上三角形行列式, 并计算其值 1) 1 5 2 3 21353140422 -----; 2) 2 1 6 4 72954 1732152----- 解: 1) 2) 6. 计算下列n 阶行列式 1) 12125 4 3 1432321-n n n 2) a b b b a b a 解: 1) 设此行列式的值为D , 将第2,3,…,n 列均加于第一列, 则第一列的所有元素均为 )1(2 1 321+= ++++n n n , 将此公因式提出, 因此有 再令第n 行减去第n -1行, 第n -1行减去第n -2行, …, 第2行减去第1行, 可得 2) 此题和第3题的2)一样, 因此有n n n b a D 1 )1(+-+= 7. 证明下列行列式 1) ))()((1 11 a c c b b a ab ca bc c b a ---=
1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素,展开后有!n 项,可分解为2n 行列式; 2. 代数余子式的性质: ①、ij A 和ij a 的大小无关; ②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A ; 3. 代数余子式和余子式的关系:(1)(1) i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D : 将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1) 2 1(1)n n D D -=-; 将D 顺时针或逆时针旋转90 ,所得行列式为2D ,则(1) 2 2(1) n n D D -=-; 将D 主对角线翻转后(转置),所得行列式为3D ,则3D D =; 将D 主副角线翻转后,所得行列式为4D ,则4D D =; 5. 行列式的重要公式: ①、主对角行列式:主对角元素的乘积; ②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1) 2 (1) n n -? -; ③、上、下三角行列式( = ◥◣):主对角元素的乘积; ④、 ◤和 ◢:副对角元素的乘积(1) 2 (1)n n -? -; ⑤、拉普拉斯展开式: A O A C A B C B O B ==、 (1) m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值; 6. 对于n 阶行列式A ,恒有:1 (1) n n k n k k k E A S λλλ -=-=+ -∑,其中k S 为k 阶主子式; 7. 证明0A =的方法: ①、A A =-; ②、反证法; ③、构造齐次方程组0 Ax =,证明其有非零解; ④、利用秩,证明()r A n <; ⑤、证明0是其特征值; 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵: ?0A ≠(是非奇异矩阵); ?()r A n =(是满秩矩阵) ?A 的行(列)向量组线性无关; ? 齐次方程组0 Ax =有非零解; ?n b R ?∈,Ax b =总有唯一解; ?A 与E 等价; ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积; ?A 的特征值全不为0;
(1)设n 阶方阵A 的秩rS 时,向量组(Ⅱ)必线性相关; (C )当rS 时,向量组(Ⅰ)必线性相关; 7. 已知一个向量组为???? ? ???????--=????????????-=????????????=????????????=????????????=1311,4152,2312,1021,120154321ααααα,求该向量组的秩及该向量组的一个最大线性无关组, 并把其余列向量用该最大无关组线性表示.. 8. 当λ取何值时,非齐次线性方程组12312321231x x x x x x x x x λλλλλ?++=?++=??++=? (1) 有唯一解;(2)无解;(3)有无 穷多解,并求通解.
1. n 行列式共有2 n 个元素,展开后有!n 项,可分解为2n 行列式; 2. 代数余子式的性质: ①、ij A 和ij a 的大小无关; ②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A ; 3. 代数余子式和余子式的关系:(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D : 将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1)2 1 (1)n n D D -=-; 将D 顺时针或逆时针旋转90,所得行列式为2 D ,则(1)2 2 (1) n n D D -=-; 将D 主对角线翻转后(转置),所得行列式为3 D ,则3 D D =; 将D 主副角线翻转后,所得行列式为4 D ,则4 D D =; 5. 行列式的重要公式: ①、主对角行列式:主对角元素的乘积; ②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -; ③、上、下三角行列式( = ◥◣):主对角元素的乘积; ④、 ◤和 ◢:副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -; ⑤、拉普拉斯展开式 : A O A C A B C B O B = =、 (1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值; 6. 对于n 阶行列式A ,恒有:1 (1) n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑,其中k S 为k 阶主子 式; 7. 证明0A =的方法: ①、A A =-; ②、反证法;
1、行列式 1. 代数余子式和余子式的关系:(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 逆序数计算 2. 行列式的重要公式: (1)、主对角行列式:主对角元素的乘积; (2)、上、下三角行列式( = ◥◣):主对角元素的乘积; 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵: ?0A ≠(是非奇异矩阵); ?()r A n =(是满秩矩阵) ?A 的行(列)向量组线性无关; ?齐次方程组0Ax =有非零解; ?n b R ?∈,Ax b =总有唯一解; ?A 与E 等价; 2. 对于n 阶矩阵A :**AA A A A E == 无条件恒成立; 3. 1**111**()()()()()()----===T T T T A A A A A A *** 111()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---=== 4. 矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和; 5. 方阵行列式性质。(1)||||;(2)||||;(3)|||||===T n A A A A AB A B λλ 注意:矩阵乘法不满足交换律。 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个m n ?矩阵A ,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:r m n E O F O O ??? = ???; 等价类:所有与A 等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵; 对于同型矩阵A 、B ,若()()r A r B A B = ? ; 2. 行最简形矩阵: ①、只能通过初等行变换获得; ②、每行首个非0元素必须为1; ③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0; 3. 初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换) ①、若(,)(,)r A E E X ,则A 可逆,且1X A -=; ②、对矩阵(,)A B 做初等行变化,当A 变为E 时,B 就变成1A B -,即:1(,)(,)c A B E A B - ~ ; ③、求解线形方程组:对于n 个未知数n 个方程Ax b =,如果(,)(,)r A b E x ,则A 可逆,且1x A b -=; 4. 矩阵秩的基本性质: ①、0()min(,)m n r A m n ?≤≤; ②、()()T r A r A =; ③、若A B ,则()()r A r B =; ④、若P 、Q 可逆,则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===;(可逆矩阵不影响矩阵的秩) ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+; ⑥、()()()r A B r A r B +≤+; ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤;