2019-2020 北京初中数学竞赛 九年级 比例与相似专题（含答案）
1. 设梯形ABCD ，E 、F 分别在AB 、CD 上，且AD EF BC ∥∥，若3AD =，7BC =，
5AB =，6CD =，梯形AEFD 和梯形EBCF 的周长相等，求EF ．
解析 如图，作平行四边形DABH ，H 在BC 上，则5DH AB ==，4CH =．设DH 与EF 交于G ．
易知梯形AEFD 的周长为DGF △的周长加上6，梯形EBCF 的周长为梯形FGHC 的周长加6，故DGF △的周长=梯形GHCF 的周长，也即DG DF DHC +=△周长的一半即152
． 又
56DG DH DF CD ==，故6154511211DF =?=．4530
46611
DF GF CH CD =?=?=
，3063
31111
EF =+
=． 2. 如图，已知ABC △中，AD 、CE 交于F ，BF 、ED 交于G ，过G 作GMN BC ∥，
交CE 于M ，交AC 于N ，求证：GM MN =．
解析 设AD 与GM 交于K ，AB 与直线NG 交于P ，则
KN CD KM
PK BD GK
==
． 于是1PK PG CD GM MN KN KM KM KM PG PG GM GK GK BD PG ??
=-=-=?=?=?= ???
．
3. 在ABC △中，角平分线AD 与BC 交于D ，AB c =，BC a =，CA b =，求BD 、CD
之长度(用a 、b 、f 表示)． 解析 如图，易知有BD CD a +=，
BD AB c CD AC b ==，故ac BD b c =
+，ab
CD b c
=+． A
D
E
G F
B H
C
A
E
P B
D
C
G K M
N
F
4. 已知：等腰梯形ABCD 中，M 、N 分别是腰AB 、CD 的中点，BD BC =，BD CA
⊥且交于E ，求证：CE MN =． 解析 如图，不妨设1BE CE ==
，则BC BD AC ===
，1AE ED ==
，故2AD =，()1
12
MN AD BC CE =
+==．
5. 在ABC △中，2AC AB =，A ∠的平分线交BC 于D ，过D 分别作AB 、AC 的平行线
交AC 、
AB 于F 、E ，FE 和CB 的延长线交于G ，求证：EF EG =． 解析 如图，由ED AC ∥，及AD 平分BAC ∠，知
1
2
GE BE BE BD AB GF DF AE CD AC =====，故2GF GE =，因此EF EG =．
6. 设D 为ABC △的边BC 的中点，过D 作一直线，交AB 、AC 或其延长线于E 、F ，
又过A 作AG BC ∥，交FE 的延长线于G ，则EG FD GF DE ?=?．
A
B D C
A
D
E
M
N B
C
A
E
F
G
B
解析 由平行知
GE AG AG GF
DE BD CD DF
===
． 于是由第一式与最后一式，转化为乘法，即可得结论．
7. 已知O 是平行四边形ABCD 内的任意一点，过点O 作EF AB ∥，分别交AD 、BC 于
E 、
F ，又过O 作GH BC ∥，分别交AB 、CD 于
G 、
H ；连结BE ，交GH 于P ；连结DG ，交EF 于Q ．如果OP OQ =，求证：平行四边形ABCD 是菱形． 解析 如图，易知OP EO GA BF EF AB ==，OQ GO AE
DH GH AD
==
． 由于AE BF =，GA DH =，故OP AB GA BF AE DH OQ AD ?=?=?=?，于是AB AD =，四边形ABCD 是菱形．
8.
ABC △中，AB AC >．AD 是BAC ∠的角平分线．G 是BC 的中点，过G 作直线平行
于AD 交AB 、AC 或延长线于E 和F ．求证：2
AB AC
BE CF +==．
解析 如图，易知G 比D 靠近B ，E 在AB 上，而F 在CA 延长线上．易知1
2
BG BC =，
而AB BC BD AB AC ?=+，故2BE BG AB AC
AB BD AB
+==
，同理，CF 也是此值．
评注 不用比例线段的方法是：延长EG 一倍至P ，则CP BE =，再证AEF △和FCP △均为等腰三角形．
G A
E B
D
C
F
A E D
Q
G
H P
O
B F C
F A
E
B G D C
9. 凸四边形ABCD 中，ADC ∠，90BCD ∠>?，BE 平行于AD 交AC 延长线于点E ，
AF 平行于BC 交BD 延长线于点F ，连结E 、F ，证明：EF CD ∥． 解析 如图，设AC 、BD 交于O ，则由平行线性质，知FO AO BO CO =
，AO
FO BO CO
=?，同理，BO EO AO DO =
?，故FO DO
EO CO
=
，故EF CD ∥．
10. 如图，在ABC △中．AB AC =，BP 、BQ 为B ∠的三等分角线，交A ∠的平分线AD 于P 、Q ，连结CQ 并延长交AB 于R ，求证：PR QB ∥．
解析 易知ABC △关于AD 对称．
又设QBC QCB θ∠=∠=，则2ABQ RQB θ∠==∠，故RQ RB =，于是由角平分线之性质，知
AR AR AC AB AP
BR RQ CQ BQ PQ
====
，于是PR QB ∥． 11. 梯形ABCD 中，AD BC ∥(AD BC <)，AC 和BD 交于M ，过M 作EF AD ∥，交
AB 、CD 于E 、F ，EC 和FB 交于N ，过N 作GH AD ∥，交AB 、CD 于G 、
H ．求证：
1212
AD BC EF GH
+=+
． A
F D
O
B C
E
A
R
P Q B
D
C
解析
11EM AM DM BM EM BC AC DB DB AD ===-=-，故111EM AD BC =+，同理111
FM AD BC
=+
，故11112EF AD BC ??=+ ???，同理11112GH EF BC ??=+ ???
，两式相加并整理即得结论．
12. 设a 、b 、c 分别是ABC △的三边的长，且
a a b
b a b c
+=
++，求它的内角A ∠、B ∠． 解析 由条件，得22a ab ac ab b -+=+，即()2b a a c =+，所以
b a c
a b
+=
． 如图，延长CB 至D ，使BD AB =，于是CD a c =+．因此在ABC △与DAC △，AC DC
BC AC
=
，且C ∠为公共角，所以ABC △∽DAC △，BAC D ∠=∠．而BAD D ∠=∠，故22ABC D BAD D BAC ∠=∠+∠=∠=∠．
13. 设凸四边形ABCD ，对角线交于E ，过E 作直线与BC 平行，交AB 、CD 及DA 延长
线于G 、H 、F ．若1GE =，2EH =，求EF ．
A D
E M
F G
N
H
B
C
C
A
B
b
c
a D
D
A F
G
E
H
B
C K
解析 延长DF 与CB 延长线交于K ，则有
FG GE KB FE
BC EH
==
． 设EF x =，则1FG x =-，代人上式，便得12
x
x -=
．故2EF x ==． 14. AP 为等腰三角形ABC 底边BC 上的高，CD 为ACB ∠的平分线，作DE BC ⊥于E ，又作DF DC ⊥与直线BC 交于F ，求证：4
CF
PE =
． 解析 如图，设AB AC m ==，BC n =，则由角平分线性质知
PE AD AC
BP AB AC BC
==
+， 故()
2mn
PE m n =
+．
又取FC 中点G ，连结DG ，1902F C ∠=?-∠，DG FG =，故1
902
FDG C ∠=?-∠，
DGF C ∠=∠，故DG AC ∥，从而
DG BD BC AC AB AC BC ==
+，故mn
DG m n
=+．于是224FC FG DG PE ===．
15. 足球场四周有四盏很高的灯，在长方形的四角，且一样高，求某一运动员任何时刻的
四个影子长之间的关系．跳起来呢?
解析 设运动员P 在矩形球场ABCD 内，如图(a)，过P 作MPN BC ∥，M 在AB 上，N 在CD 上，则22222222AP BP AM BM DN CN PD PC -=-=-=-，或2222AP CP BP DP +=+．
又设灯高为H ，运动员身高为h ，点A 处的灯造成的影子长为PA ′，如图(b)，则
A P h AA H
'='，得
A P h PA H h '=-，同理
B P
C P
D P h
PB PC PD H h '''===-，故四个影子的关系是2222A P C P B P D P '+'='+'．
A
D
F B E
G P C
A M
B
C
N
D P
图(a)
跳起来时，不妨设脚底离地l ，此时点A 处的灯造成的影子长度为A ′A ″，如图(c)，则
h l A P PA H h l +'=
--，l
A P PA H l
"=-，于是
A A A P A P '"='-"h l
l PA H h l H l +??=- ?
---??()()Hh PA H h l H l =---， 同理
B B
C C
D D PB PC PD
'"'"'"
==
()()Hh H h l H l =---，所以A ′2A "+2C C '"=22B B D D '"+'"仍旧成立．
16. 求日高公式． 解析 如图所示，设太阳高度为RD x =，杆AB =A ′B =h 直立在地上，影子的长度分别为BC a =，B ′C ′b =，两杆距离为d ．所谓日高公式就是用a 、b 、d 、h 表示x ，这里假定大地为平面，且AB 、A ′B ′与R 在同一平面上．
易知
CB AB CD RD =，代入得a h a BD x =+，故1x BD a h ??=- ???；同理，B ′1x D b h ??
=- ???
．由
BD B -′D B =B ′d =，代入得()1x a b d h ??--= ???，由此解得1d x h a b ??
=+
?-??．
图(b)
图(c)
A'
h
H
A
P A'A
A''P l
h H
R
x
D
B'A A'
h
h
C
B
初中数学竞赛专题[配方法] 一、内容提要 1. 配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a 2 ±2ab+b 2 写成完全平方式 （a ±b ）2. 有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式. 常用的有以下三种： ①由a 2 +b 2 配上2ab ， ②由 2 ab 配上a 2 +b 2 ， ③由a 2 ±2ab 配上b 2 . 2. 运用配方法解题，初中阶段主要有： ① 用完全平方式来因式分解 例如：把x 4 +4 因式分解. 原式＝x 4 +4＋4x 2 －4x 2 =(x 2 +2)2 －4x 2 ＝…… 这是由a 2 +b 2配上2ab. ② 二次根式化简常用公式：a a =2，这就需要把被开方数 写成完全平方式. 例如：化简6 25-. 我们把5－2 6写成 2－232＋3 ＝2)2(－232＋2)3( ＝（ 2－3） 2 . 这是由2 ab 配上a 2 +b 2 .
③ 求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值.即∵a 2 ≥0， ∴当a=0时， a 2 的值为0是最小值. 例如：求代数式a 2 +2a －2 的最值. ∵a 2 +2a －2= a 2 +2a+1－3=(a+1)2 －3 当a=－1时, a 2 +2a －2有最小值－3. 这是由a 2 ±2ab 配上b 2 ④ 有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需要配方. 例如:：求方程x 2 +y 2 +2x-4y+5=0 的解x, y. 解：方程x 2 +y 2 +2x-4y+1＋4＝0. 配方的可化为 （x+1）2 +(y －2)2 =0. 要使等式成立，必须且只需? ??=-=+0201y x . 解得 ???=-=2 1 y x 此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识和技巧.
2020年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及 答案 一、选择题（满分36分） 1. 满足条件f(x2)=[f(x)]2的二次函数是 A. f(x)=x2 B. f(x)=ax2+5 C. f(x)=x2+x D. －x2+2004 2. 在R上定义的函数y=sinx、y=sin2004、、中，偶函数的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 恰有3个实数解，则a等于 A. 0 B. 0.5 C. 1 D. 4. 实数a、b、c满足a+b>0、b+c>0、c+a>0，f(x)是R上的奇函数，并且是个严格的减函数，即若x1
C. a1，a3，a5的倒数成等差数列 D. 6a1，3a3，2a5的倒数成等比数列 二、填空题（满分64分） 1. 已知，试确定的值。 2. 已知a=1+2+3+4+…+2003+2004，求a被17除的余数。 3. 已知，若ab2≠1，且有，试确定的值。 4. 如图所示，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在等腰直角三角形DEF的斜边DF上，E在△ABC的斜边AB上，如果凸四边形ADCE的面积等于5平方厘米，那么凸四边形ABFD的面积等于多少平方厘米？ 5. 若a，b∈R，且a2+b2=10，试确定a－b的取值范围。 6. a和b是关于x的方程x4+m=9x2的两个根，且满足a+b=4，试确定m的值。 7. 求cos20°cos40°cos60°cos80°的值。 8. 将2004表示为n个彼此不等的正整数的和，求n的最大值。 初赛答案表 选择题：ADCBBA；填空题：1、－0.5 2、1 3、－1 4、10 5、[ ，] 6、49/4 7、1/16 8、62
专题10 最优化 例1. 4 提示：原式=1 12 - 62 -+）（x . 例2. B 提示：由-1≤y ≤1有0≤≤1，则=22 +16+3y 2 =142 +4+3是开口向上，对称轴为7 1 -=x 的抛物线. 例3. 分三种情况讨论：①0≤a +?）（，∴f (a )=2a ，即2a =2132-2+a ，则?? ? ??=--=413 172b a 综上，（a ，b ）=(1，3)或（17-2-， 4 13 ） 例4. （1） 121≤≤x ，y 2 = 21+216143-2+-）（ x .当=4 3时，y 2 取得最大值1，a =1； 当21= x 或=1时，y 2取得最小值21，b =22.故a 2+b 2=2 3. (2) 如图，AB =8，设AC =，则BC =8- ，AD =2，CD =42+x ，BE =4，CE =16)-8(2+x BF =AD =2. 10)24(816)8(4222222=++=+=≥+=+-++EF DF DE CE CD x x 当且仅当D ，C ，E 三点共线时，原式取最小值.此时△EBC ∽△DAC ，有 22 4 ===DA EB CA BC , 从而=AC = 3831=AB .故原式取最小值时，=3 8. (3)如图， 原式= [] 22222 2 2)24()13()32()01(032--0y x y x -+-+-+-+-+）（）（
初中数学竞赛专题选讲 函数的图象 一、内容提要 1. 函数的图象定义：在直角坐标系中，以自变量x 为横坐标和以它的函数y 的对应值为纵 坐标的点的集合，叫做函数y=f(x)的图象. 例如 一次函数y=kx+b (k,b 是常数，k ≠0)的图象是一条直线 ① l 上的任一点p 0(x 0,y 0) 的坐标，适合等式y=kx+b, 即y 0=kx ② 若y 1=kx 1+b ，则点p 1(x 1,y 1) 在直线l 上. 2. 方程的图象：我们把y=kx+b 看作是关于x, y 的 二元 一次方程kx －y+b=0, 那么直线l 就是以这个方程的解为坐标 的点的集合，我们把这条直线叫做二元一次方程的图象. 二元一次方程ax+by+c=0 (a,b,c 是常数，a ≠0,b ≠0) 叫做 直线方程. 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线是以某二元方程的解为坐标的 点的集合，那么这曲线就叫做这个方程的图象. 例如： 二元二次方程y=ax 2+bx+c(a ≠0) (即二次函数)的图象是抛物线； 二元分式方程y= x k (k ≠0) (即反比例函数)的图象是双曲线. 3. 函数的图象能直观地反映自变量x 与函数y 的对应规律. 例如： ① 由图象的最高，最低点可看函数的最大，最小值； ② 由图象的上升，下降反映函数 y 是随x 的增大而增大(或减小)； ③ 函数y=f(x)的图象在横轴的上方，下方或轴上，分别表示y>0,y<0,y=0. 图象所对应 的横坐标就是不等式f(x)>0,f(x)<0 的解集和方程f(x)=0的解. ④ 两个函数图象的交点坐标，就是这两个图象所表示的两个方程(即函数解析式)的公 共解.等等 4. 画函数图象一般是： ①应先确定自变量的取值范围. 要使代数式有意义，并使代数式所表示的实际问题有意义，还要注意是否连续，是否有界. ②一般用描点法，但对一次函数(二元一次方程)的图象，因它是直线(包括射线、线段)，所以可采用两点法.线段一定要画出端点(包括临界点). ③对含有绝对值符号(或其他特殊符号)的解析式 ，应按定义对自变量分区讨论，写成几个解析式. 二、例题 例1. 右图是二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)， 试决定a, b, c 及b 2－4ac 的符号. 解：∵抛物线开口向下， ∴a<0. ∵对称轴在原点右边，∴x=－ a b 2>0且a<0, ∴b>0. ∵抛物线与纵轴的交点在正半轴上， ∴截距c>0. ∵抛物线与横轴有两个交点， ∴b 2－4ac>0. 例2. 已知：抛物线f ：y=－(x －2)2+5. 试写出把f 向左平行移动2个单位后，所得的曲线f 1的方程；以及f 关于x 轴对称的曲线f 2 的方程. 画出f 1和f 2的略图，并求：
试卷编号：2126 2018年北京市中学生数学竞赛初二年级竞赛试题 一、选择题共5小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1.已知√x +1√x =3,则x x 2+2018x +1的值是( )(A)2020(B)12020(C)2025(D)12025 2.在非等腰三角形中,一个内角等于另两个内角的差,且一个内角是另一个内角的2倍.己知该三角形的最小边长等于l cm,则这个三角形的面积是 ( )(A)1cm 2(B)√32cm 2(C)√52 cm 2(D)2cm 23.n 是偶数,若从1开始,前n 个正整数的和的尾数是数字8,则后继的n 个正整数的和的尾数是数字( ) (A)6(B)4(C)2(D)0 4.如图,P (x P ,y P )为反比例函数y =2x 在平面直角坐标系xOy 的第一象限图象上一点,过点P 作x 轴、y 轴的平 行线分别交y =10x 在第一象限的图象于点A 和B ,则△AOB 的面积等于( ) (A)26(B)24(C)22(D)20 5.将数字和为11的自然数按由小到大的顺序排成一个数串,第m 个数是2018,则m 是( ) (A)134 (B)143(C)341(D)413 二、填空题共5小题。 6.295的约数中大于1000000的共有＿＿＿＿＿个. 7.若x ,y 都是自然数,关于x ,y 的方程[2.018x ]+[5.13y ]=24的解(x ,y )共有＿＿＿＿＿个.(其中[x ]表示不大于x 的最大整数)
8.D为锐角△ABC内一点,满足AD=DC,∠ADC= 2∠DBC,AB=12,BC=10,如图,则△BDC的面积等 于＿＿＿＿＿. 9.已知x1,x2,···,x n中每一个x i(i=1,2,···,n)的数值只能取?2,0,l中的一个,且满足 x1+x2+···+x n=?17,x21+x22+···+x2n=37.则(x31+x32+···+x3n)2的值为＿＿＿＿＿. 10.在1～n这n个正整数中,正约数个数最多的那些数叫做这n个正整数中的“旺数”,比如, 正整数1～20中,正约数个数最多的数是l2,18,20,所以12,18,20都是正整数1～20中的“旺数”.在正整数1～100中的所有“旺数”的最小公倍数是＿＿＿＿＿. 三、解答题共3小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 11.正整数a,b,c,d满足a2?ab+b2=c2?cd+d2.求证:a+b+c+d是合数. 12.三个斜边彼此不等的等腰直角三角形ADC,DPE和 BEC.如图所示,其中AD=CD,DP=EP,BE=CE; ∠ADC=∠DPE=∠BEC=90?,求证:P是线段AB的中 点. 13.求证:在十进制表示中,数29的某个正整数幂的末三位数字是001.
九年级数学（上）竞赛试题 一. 选择题(每小题3分,共36分) 1．一元二次方程的解是 A ． B ．1203x x ==， C ．12 10,3 x x == D ． 2．顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是 A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形 3. 若一个几何体的主视图、左视图、俯视图分别是三角形、三角形、圆，则这个几何 体可能是 A ．球 B ．圆柱 C ．圆锥 D ．棱锥 4. 在同一时刻，身高1.6m 的小强，在太阳光线下影长是1.2m ，旗杆的影长是15m ， 则旗杆高为 A 、22m B 、20m C 、18m D 、16m 5. 下列说法不正确的是 A ．对角线互相垂直的矩形是正方形 B ．对角线相等的菱形是正方形 C ．有一个角是直角的平行四边形是正方形 D ．一组邻边相等的矩形是正方形 6. 直角三角形的两条直角边分别是6和8，则这三角形斜边上的高是 A ．4.8 B ．5 C ．3 D ．10 7. 若点（3,4）是反比例函数221m m y x +-=图像上一点 ，则此函数图像必经过点 A ．(3,-4) B ．(2,-6) C ．(4,-3) D ．（2，6） 8. 二次三项式2 43x x -+配方的结果是（ ） A ．2(2)7x -+ B ．2 (2)1x -- C ．2(2)7x ++ D ． 2(2)1x +- 9．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=3．若点E 是边CD 的中点，连接AE ，过点B 作BF ⊥AE 交AE 于点F ，则BF 的长为（ ） 第9题图 A ． 3√10 2 B ． 3√105 C ．√10 5 D ．3√55 10. 函数x k y =的图象经过（1，-1），则函数2-=kx y 的图象是 11．如图，矩形ABCD ，R 是CD 的中点，点M 在BC 边上运动，E 、F 分别是AM 、MR 的中点，则EF 的长随着M 点的运动 A ．变短 B ．变长 C ．不变 D ．无法确定 12．如图，点A 在双曲线6 y x = 上，且OA ＝4，过A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，OA 的垂直平分线交OC 于B ，则△ABC 的周长为 A ．47 B ．5 C ．27 D ．22 二：填空题.(每小题3分,共12分) 13.如图，△ABC 中，∠C=090，AD 平分∠BAC ，BC=10，BD=6，则点D 到AB 的距离是 。 14.如图，△OPQ 是边长为2的等边三角形，若反比例函数的图象过点P ，则此反比例函数的解析式是 。 2 30x x -=0x =1 3x = 2 2 2 2 -2 -2 -2 -2 O O O O y y y y x x x x A ． B ． C ． D ． A B C R D M E F 第11题图
初中数学竞赛专题选讲 完全平方数和完全平方式 一、内容提要 一定义 1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数. 例如0，1，0.36，25 4，121都是完全平方数. 在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方. 2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式. 如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的. 例如： 在有理数范围 m 2, (a+b －2)2, 4x 2－12x+9, 144都是完全平方式. 在实数范围 （a+3）2, x 2+22x+2, 3也都是完全平方式. 二. 整数集合里，完全平方数的性质和判定 1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数. 2. 若n 是完全平方数，且能被质数p 整除, 则它也能被p 2整除.. 若整数m 能被q 整除，但不能被q 2整除, 则m 不是完全平方数. 例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数. 又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数. 三. 完全平方式的性质和判定 在实数范围内 如果 ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式，则b 2－4ac=0且a>0； 如果 b 2－4ac=0且a>0；则ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式. 在有理数范围内 当b 2－4ac=0且a 是有理数的平方时，ax 2+bx+c 是完全平方式. 四. 完全平方式和完全平方数的关系 1. 完全平方式（ax+b ）2 中 当a, b 都是有理数时, x 取任何有理数，其值都是完全平方数； 当a, b 中有一个无理数时，则x 只有一些特殊值能使其值为完全平方数. 2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数. 例如： n 2+9, 当n=4时，其值是完全平方数. 所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别. 五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系 1. 在整系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中 ① 若b 2－4ac 是完全平方数，则方程有有理数根； ② 若方程有有理数根，则b 2－4ac 是完全平方数. 2. 在整系数方程x 2+px+q=0中 ① 若p 2－4q 是整数的平方，则方程有两个整数根； ② 若方程有两个整数根，则p 2－4q 是整数的平方.
九年级数学竞赛试题 1．当x________时，二次根式x –2有意义． 2．若最简二次根式4a+3b 与 b+1 2a+5是同类二次根式，则a ＝ ． 3．已知2是一元二次方程x 2–3kx +2＝0的根，则k 的值是___________． 4．设x 1、x 2是方程2x 2－4x －1＝0的两实数根，则x 1+x 2＝________． 5．若关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0没有实数根，则m 的取值范围是__________． 6．已知：在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10cm ，sin A ＝45 ，则BC 的长为 cm ． 7．如图，电灯P 在横杆AB 的上方，AB 在灯光下的影子为CD ， AB ∥CD ，AB ＝2m ，CD ＝6m ，点P 到CD 的距离是3m ，则P 到 AB 的距离是 m ． 8．已知D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，若要使△ABC 与△ADE 相似，则只需添加一个条件：___________即可（只需填写一个）． 9、当x ___________ . 10 、0x ≤=当__________． 二、精心选一选 11、方程x(x+1) = 3(x+1)的解为 （ ） A 、x= －1 B 、x=3 C 、x 1=－1,x 2=3 D 、以上均不对 12、在同一时刻物高与影长成比例，若高为1.5米的测杆的影长为2.5。那么，影长为30米的旗杆高为 （ ）米。 A 、20 B 、18 C 、16 D 、15 13、在一次初三学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计共握手253次。若设参加此会的学生为x 名，据题意可列方程为 （ ） A 、x(x+1)=253 B 、x(x －1)=253 C 、2x(x －1)=253 D 、x(x －1)=253×2 14、“从一个布袋中闭上眼随机摸出一球恰是黄球的概率为15”的意思是 （ ） A 、摸球5次就一定有1次摸出黄球。 B 、摸球5次就一定有4次不能摸中黄球 C 、布袋中一定有一个黄球和4个别的颜色的球 D 、如果摸球次数很多，那么平均每摸球5次便有1次摸中黄球 15．下列计算准确的是 （ ） A ．2+3＝ 5 B ．32－22＝1 C ．2×3＝ 6 D ．24÷6＝4 16.18 2 1 - 92的值是( ) A ．112 B ．272 C ．92 D ．0 第7题 A B C D P
初中数学竞赛专题选讲(初三.1) 一元二次方程的根 一 、内容提要 1.一元二次方程 ax 2 +bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的. 根公式是：x=a ac b b 242-±－. (b 2－4a c ≥0) 2.根的判别式 ①实系数方程 ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是： b 2－4a c ≥0. ②有理系数方程 ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是： b 2－4a c 是完全平方式?方程有有理数根. ③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根?p 2－4q 是整数的平方数. 3.设 x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么 ①ax 12 +bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)； ②x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=a ac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)； ③ 韦达定理：x 1+x 2= a b － , x 1x 2= a c (a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4.方程整数根的其他条件 整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数. 特殊的例子有： C=0?x 1=0 ， a+b+c=0?x 1=1 ， a －b+c=0?x 1=－1. 二、例题 例1.已知：a, b, c 是实数，且a=b+c+1.
求证：两个方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等 的实数根. 证明 （用反证法） 设 两个方程都没有两个不相等的实数根， 那么△1≤0和△2≤0. 即?? ? ??++=≤-≤ ③ ② ①－1040412c b a c a b 由①得b ≥41，b+1 ≥45代入③，得 a －c=b+1≥4 5 ， 4c ≤4a －5 ④ ②＋④：a 2－4a+5≤0， 即（a －2）2+1≤0，这是不能成立的. 既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一个是大于0. ∴方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根. 本题也可用直接证法：当△1＋△2＞0时，则△1和△2中至少有一个是正数. 例2.已知首项系数不相等的两个方程： （a －1）x 2－(a 2+2)x+(a 2+2a)=0和 (b －1)x 2－(b 2+2)x+(b 2+2b)=0 (其中a,b 为正整数) 有一个公共根. 求a, b 的值. 解：用因式分解法求得： 方程①的两个根是 a 和 12-+a a ； 方程②两根是b 和1 2 -+b b . 由已知a>1, b>1且a ≠b. ∴公共根是a= 12-+b b 或b=1 2-+a a .
2011年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛参考解答 一、选择题（满分40分，每小题8分，将答案写在下面相应的空格中） 1．二次三项式x 2+ax +b 的根是实数，其中a 、b 是自然数，且ab =22011，则这样的二次三项式共有 个． 答：1341． 我们发现，实际上，数a 和b 是2的非负整数指数的幂，即，a =2k ，b =22011–k ，则判 别式Δ=a 2– 4b =22k – 422011–k =22k – 22013–k ≥0，得2k ≥2013–k ，因此k ≥ 3 2013 =671，但k ≤2011，所以k 能够取2011–671+1=1341个不同的整数值．每个k 恰对应一个所求的二次三项式，所以这样的二次三项式共有1341个. 2．如右图，在半径为1 的圆O 中内接有锐角三角形ABC ， H 是△ABC 的垂心，角平分线AL 垂直于OH ，则BC = ． 解：易知，圆心O 及垂心H 都在锐角三角形ABC 的内部，延长AO 交圆于N ，连接AH 并延长至H 1与BC 相交，连接CN ，在Rt △CAN 和Rt △AH 1B 中，∠ANC =∠ABC ，于是有∠CAN =∠BAH 1，再由 AL 是△ABC 的角平分线，得∠1=∠2． 由条件AP ⊥OH ，得AH=AO=1． 连接BO 交圆于M ，连接AM 、CM 、CH ，可知AMCH 为平行四边形， 所以CM=AH=AO =1，BM =2，因为△MBC 是直角三角形，由勾股定理得 BC == 3．已知定义在R 上的函数f (x )=x 2和g (x )=2x +2m ，若F (x )=f (g (x )) – g (f (x )) 的最小值为1 4，则m = ． 答：1 4 -． 解：由f (x )=x 2和g (x )=2x +2m ，得 F (x )= f (g (x )) – g (f (x ))=(2x +2m )2–(2x 2+2m ) =2x 2+8mx +4m 2–2m ， F (x )=2x 2+8mx +4m 2–2m 的最小值为其图像顶点的纵坐标 () 2 222242(42)84284242 m m m m m m m m ??--=--=--?．
初中数学竞赛辅导讲座19讲(全套) 第一讲 有 理 数 一、有理数的概念及分类。 二、有理数的计算： 1、善于观察数字特征； 2、灵活运用运算法则； 3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆 法等）。 三、例题示范 1、数轴与大小 例1、 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3， 那么满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于多少？满足条件的点B 有多少个？ 例2、 将99 98,19991998,9897,19981997----这四个数按由小到大的顺序，用“<”连结起来。 提示1：四个数都加上1不改变大小顺序； 提示2：先考虑其相反数的大小顺序； 提示3：考虑其倒数的大小顺序。 例3、 观察图中的数轴，用字母a 、b 、c 依次表示点A 、B 、C 对应的数。试确定三个数c a b ab 1,1,1-的大小关系。 分析：由点B 在A 右边，知b-a >0，而A 、B 都在原点左边，故ab >0,又c >1>0,故要比较c a b ab 1,1,1-的大小关系，只要比较分母的大小关系。 例4、 在有理数a 与b(b >a)之间找出无数个有理数。 提示：P=n a b a -+（n 为大于是 的自然数） 注：P 的表示方法不是唯一的。 2、符号和括号 在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。 例5、 在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“ —”并依次运算，所得可能的最小非 负数是多少？ 提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0 注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。 3、算对与算巧 例6、 计算 -1-2-3-…-2000-2001-2002 提示：1、逆序相加法。2、求和公式：S=(首项+末项)?项数÷2。 例7、 计算 1+2-3-4+5+6-7-8+9+…-2000+2001+2002
初中数学竞赛专题选讲 三点共线 一、内容提要 1. 要证明A ，B ，C 三点在同一直线上， A 。 B 。 C 。 常用方法有：①连结AB ，BC 证明∠ABC 是平角 ②连结AB ，AC 证明AB ，AC 重合 ③连结AB ，BC ，AC 证明 AB ＋BC ＝AC ④连结并延长AB 证明延长线经过点C 2. 证明三点共线常用的定理有： ① 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行 ② 经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 ③ 三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半 ④ 梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半 ⑤ 两圆相切，切点在连心线上 ⑥ 轴对称图形中，若对应线段（或延长线）相交，则交点在对称轴上 二、例题 例1.已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点P 是形内的任一点，PM ⊥AB ， PN ⊥CD 求证：M ，N ，P 三点在同一直线上 证明：过点P 作EF ∥AB ， ∵AB ∥CD ，∴EF ∥CD ∠1＋∠2＝180 ，∠3＋∠4＝180 ∵PM ⊥AB ，PN ⊥CD ∴∠1＝90 ，∠3＝90 ∴∠1＋∠3＝180 ∴ M ，N ，P 三点在同一直线上 例2.求证：平行四边形一组对边的中点和两条对角线的交点，三点在同一直 线上 已知：平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是AD 和BC 的中点，O 是AC 和 BD 的交点 求证：M ，O ，N 三点在同一直线上 证明一：连结MO ，NO ∵MO ，NO 分别是△DAB 和△CAB 的中位线 ∴MO ∥AB ，NO ∥AB 根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行
∴ M ，O ，N 三点在同一直线上 证明二：连结MO 并延长交BC 于N ， ∵MO 是△DAB 的中位线 ∴MO ∥AB 在△CAB 中 ∵AO ＝OC ，ON ，∥AB ∴BN ，＝N ，C ，即N ，是BC 的中点 ∵N 也是BC 的中点， ∴点N ，和点N 重合 ∴ M ，O ，N 三点在同一直线上 例3.已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＋∠B ＝90 ，M ，N 分别是AB 和CD 的中点，BC ，AD 的延长线相交于P 求证：M ，N ，P 三点在同一直线上 证明：∵∠A ＋∠B ＝90 ， ∠APB ＝Rt ∠ 连结PM ，PN 根据直角三角形斜边中线性质 PM ＝MA ＝MB ，PN ＝DN ＝DC ∴∠MPB ＝∠B ，∠NPC ＝∠B ∴PM 和PN 重合 ∴M ，N ，P 三点在同一直线上 例4.在平面直角坐标系中，点A 关于横轴的对称点为B ，关于纵轴的对称 点是C ，求证B 和C 是关于原点O 解：连结OA ，OB ，OC ∵A ，B 关于X 轴对称， ∴OA ＝OB ，∠AOX ＝∠BOX 同理OC ＝OA ，∠AOY ＝∠COY ∴∠COY ＋∠BOX ＝90 X ∴B ，O ，C 三点在同一直线上 ∵OB ＝OC ∴ B 和C 是关于原点O 的对称点 例5.已知：⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B O 1 和⊙O 2于E ，F 。 求证：AE ，AF 和⊙O 1和⊙O 2的直径成比例 ,
2014年北京市中学生数学竞赛（初二）试题 一、选择题（每小题5分，共25分） 1.若5=+b a ，则ab b ab a b b a a 32 2 4 224+++++=（ ） A ．5 B. 253 C. 52 D. 2 5 5 2.已知一个面积为S 且边长为1的正六边形，其六条最短的对角线两两相交的交点构成一个面积为A 的小正六边形的顶点. 则 S A =（ ） A ．41 B. 31 C. 22 D. 2 3 3.在数29 998，29 999，30 000，30 001中，可以表示为三个连续自然数两两乘积之和的是（ ） A ．30 001 B. 30 000 C. 29 999 D. 29 998 4.已知A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）是反比例函数x y 1 = 在平面直角坐标系xOy 的第一象限上图象的两点，满足2721=+y y ，3 5 12=-x x . 则=?AOB S （ ） A ．11102 B. 12112 C. 13122 D. 14 132 5.有2 015个整数，任取其中2 014个相加，其和恰可取到1，2，…，2 014这2 014个不同的整数值. 则这2 015个整数之和为（ ） A ．1 004 B. 1 005 C. 1 006 D. 1 008 二、填空题（每小题7分，共35分） 1.在1～10 000的自然数中，既不是完全平方数也不是完全立方数的整数有 个. 2. =?+++] 2015[]2014[] 2016[]2015[]2014[]2013[ （][x 表示不超过实 数x 的最大整数）. 3.在四边形ABCD 中，已知BC=8，CD=12，AD=10，∠A=∠B=60°.则AB= . 4.已知M 是连续的15个自然数1，2，…，15的最小公倍数.若M 的约数中恰被这15个自然数中的14个数整除，称其为M 的“好数”.则M 的好数有 个. 5.设由1～8的自然数写成的数列为1a ，2a ，…，8a .则
九年级数学测验二 满分：120分 时间：150分钟 一、填空题（共9小题，每小题3分，满分27分） 1.实数x 、y 满足等式22 92|3|0x y xy x y xy -++-=，则x y -的取值范围为 。 2.关于x 的方程1 1 3267 a a x x a +=-++无解，则实数a 的可能取值有 。 3. 已知111Rt A B C ?的直角边长分别为1a 、1b ，斜边长为1x ，222Rt A B C ?的直角边长分别为2a 、2b ，斜边长为2x ；请以111Rt A B C ?与222Rt A B C ?的直角边长构造出Rt ABC ?的直角边： ，使得其斜边长为 12x x 4.在ABC ?中，P 为其内部一点，请你构造出一对全等三角形，使得以下结论分别成立： 当 时，ABC ?为以BC 为底边的等腰三角形； 当 时，ABC ?为以AC 为底边的等腰三角形，且P 为它外接圆的圆心； 当 时，ABC ?为等边三角形。 5.在四边形ABCD 中，P 、Q 、R 、S 分别为AB 、BC 、CD 、DA 四边中点，记四边形ABCD 的对角线长度之和为 1l ，四边形PQRS 的对角线长度之和为2l ，令1 2 l k l = ，则k 的取值范围为 。 6.已知函数2 1y ax ax a =++-与直线0x ay a ++=只有一个交点，那么这个交点的坐标为 。 7.给出三个关于x 的方程：2 2 2 20,20,20ax bx c bx cx a cx ax b ++=++=++=， 若2 2 0a b ac bc -+-≠，且这三个方程有相同的根，则这个根为 ； 若0abc ≠，则前两个方程均有实根的概率为 ； 若0ab >，在这三个方程中恰有某个方程存在唯一实根，则它们共有 个不相等的实根。 8. 已知某梯形的边长与对角线可构成三组长度相等的线段，那么最短边 与最长边之比为 。 9.如图，给出反比例函数3 k y x =，这里1k >；在x 轴正半轴上依次排列 2010个点122010,,,A A A L ，点n A 的坐标为(,0)(1,2,,2010)n x n =L ， 1(1,2,,2009)n n x x d n +=+=L ，1(1)x d k =-；过点n A 作x 轴的垂线交反比例函数于点n P ，记12n n n P P P ++?的 面积为(1,2,,2008)n S n =L ，那么122008S S S +++=L 。 二、选择题（共9小题，每小题3分，满分27分） 10.若22221a ab b ++= ，那么a 、b （ ） A.一个为无理数、一个为有理数 B.均为分数 C 均为无限不循环小数 D.不是实数 11.下列整式中哪个不能在实数范围内因式分解？（ ） A. 3 2 333k k k -+- B. 3 2 331k k k ++- C. 3 2 332k k k +-+ D. 3 2 332k k k -++ 12.如图，在无限单位正方形网格中，任意找三个正方形顶点构成一个角，以下特殊角中不可能得到的有（ ）个：①22.5? ②30? ③36? ④45? A.4 B.3 C.2 D.1 13.将一个多边形中所有的点连结成线段后，边长及对角线长共有n 种取值，那么在这些线段构成的角中，最小的角是（ ）度。 A. 180(2)n n -或180(1)1n n -+ B. 90n 或18021n + C. 180n 或360 21 n + D. 180(1)n n -或180(21)21n n -+ 14.如图，一开口向下的抛物线与x 轴负半轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点Q （0，-3），其顶点为P ，若 ~PAB BAQ ??，则抛物线的方程为（ ） A. 2143 333y x x =- -- B. 2123363y x x =-- - C. 2323y x x =-- D. 2 343y x x =-- 15.如图，在半径为r 的O e 中，有内接矩形ABCD ，AB 中点E 与圆上逆时针排列的三点 F 、G 、H 构成边长为a 的菱形，若2GDH EFG ∠=∠，则DG 的长为（ ） A. 2242r a -2242r a + B. 242r ra -242r ra +C. 2 42ra a -2 42ra a + D. 22a r r -或2 2a r r + 16. 如图，在直角坐标系中，直线340x y a ++=与y 轴、反比例函数k y x =和x 轴 依次交于A 、B 、C 、D 四点，若2BC AB CD =+，且2AC BD ?=，则 a k =（ ）
初中数学竞赛专题选讲（初三.5） 对称式 一、内容提要 一.定义 1. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z 任意交换两个后，代数式的值不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式. 例如： 代数式x+y ， xy ， x 3+y 3+z 3－3xyz, x 5+y 5+xy, y x 11+， xyz x z xyz z y xyz y x +++++. 都是对称式. 其中x+y 和xy 叫做含两个变量的基本对称式. 2. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z 循环变换后代数式的值不变，则称这个代数式为轮换对称式，简称轮换式. 例如：代数式 a 2(b －c)+b 2(c －a)+c 2(a －b), 2x 2y+2y 2z+2z 2x, abc c b a 1111-++， （xy+yz+zx ）( )111z y x ++， 2 22222222111b a c a c b c b a -++-++-+. 都是轮换式. 显然，对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称式. 二.性质 1. 含两个变量x 和y 的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示.这将在下一讲介绍. 2. 对称式中，如果含有某种形式的一式，则必含有，该式由两个变量交换后的一切同型式，且系数相等. 例如：在含x, y, z 的齐二次对称多项式中， 如果含有x 2项，则必同时有y 2, z 2两项；如含有xy 项，则必同时有yz, zx 两项，且它们的系数，都分别相等. 故可以表示为： m(x 2+y 2+z 2)+n(xy+yz+zx) 其中m, n 是常数. 3. 轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含有，该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式，且系数相等.
B A 第21届“迎春杯”数学科普活动日 北京市初中一年级解题能力展示初赛试卷 注意事项 1．本试卷共十二道题，共1页. 2．请把每道题的答案填写在下表中的相应位置上.祝你成功！ 问题一.计算:212)56 15 4213301120912731(3??-+-+ -的值为多少? 问题二.已知多项式5)2()3(3223-++++-x x x b x x x a 是关于x 的二次多项式,当2=x 时,多项式的值为-17,那么当2-=x 时,多项式的值为多少? 问题三.下面是一个按照某种规律排列的数阵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 … … … … … … … … … 根据你猜想的规律,2005应该排在 :① 多少行? ② 在该行上从左向右数的第几个数? 问题四.已知:有理数x 、y 、z 、满足xy ＜0，yz ＞0，并且3=x ，2=y ，21=+z . 求z y x ++的值. 问题五.现有规格一样的一些圆环,已知圆环的内直径为6厘米,外直径为8厘米.如果将100个这样的圆环一个接一个地环套环连成一条链子,那么这条链子拉直后的长度为多少米? 问题六.右图是某地区的路线示意图,问从A 点到B 点最近的路线共有多少条?
问题七.如果整数m 、n 满足n m =64,那么n m +的所有可能的值共有多少个? 问题八.已知:+-+-+-=222222654321S (222) 200320022001+-+. 求S 被2005除得的余数. 问题九.如图,在△ABC 中,DC =2BD ,AF =FD . 如果△ABC 的面积等于a , 问题十.某中学生“暑期社会调查团”共17人到外地考察，事先预算住宿费平均每天每人不超过x 元.到达某县城后找到A 、B 两处招待所.“A 招待所”有甲级床位8个、乙级床位11个；“B 招待所”有甲级床位10个、乙级床位4个、丙级床位6个.已知甲、乙、丙三级床位每天每人分别为14元、8元、5元.如果全团集中住在一个招待所里一天,按预算只能住“B 招待所”,那么整数x 的值为多少? 问题十一.甲、乙、丙三个容器中，各有一定量的酒精.如果先把甲容器中的酒精的3 1 倒 入乙容器，再把乙容器中的酒精的31倒入丙容器,最后把丙容器中的酒精的3 1 倒入甲容器,那 么三个容器中各有酒精3 1 千克.问甲容器中原来有酒精多少千克? 问题十二.三轮摩托车(前面一个轮,后面并排两个轮)的三个轮胎从新安装到报废所行驶的千米数不同.安装在前轮上的轮胎行驶24000千米后报废；安装在左后轮和右后轮上的轮胎分别只能行驶15000千米和10000千米.为了使某摩托车行驶尽可能多的路程,采用行驶一定路程后将2个轮胎对调的方法,如果最多可对调2次,那么该摩托车用三条新轮胎最多可以行驶多少千米? 参考答案及评分标准
2017年九年级数学竟赛试卷 （本卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（每小题5分，共35分） 1．已知ABC △的三边长为a ，b ，c ，且满足方程a 2x 2—（c 2—a 2—b 2）x+b 2=0， 则方程根的情况是（ ）。 A 、有两相等实根 B 、有两相异实根 C 、无实根 D 、不能确定 2．已知a ＋b 1=a 2 ＋2b ≠0，则b a 的值为 ( ) (A )－1 (B ) 2 (C ) l (D )不能确定 3．已知1x B -2-x A 2-x -x 43x 2+=+，其中为常数，则4A －B 的值为( ) (A )7 (B ) 13 (C ) 9 (D )5 4．在一个多边形中，除了二个内角外，其内角之和为2002°，则这个多边 形的边数为 ( ) (A )12 (B )12或13 (C )14 (D )14或15 5．已知abc ≠0，而且a b b c c a p c a b +++===，那么直线y=px+p 一定通 过（ ）。 A 、第一、二象限 B 、第二、三象限 C 、第三、四象限 D 、 第一、四象限 6．已知一次函数y =kx －k ，若y 随x 的减小而减小，则该函数的图象经过 ( ) (A )第一、二、三象限 (B )第一、二、四象限 (C )第一、三、四象限 (D )第二、三、四象限 7、如图8-4，矩形ABCD 的长AD ＝9cm ，宽AB ＝3cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长和折痕EF 的长分别为 （ ） A. 4cm cm 10 B. 5cm cm 10 C. 4cm cm 32 D. 5cm cm 32 二、填空题（每小题6分，共36分） 7．已知a 是质数，b 是奇数，且a 2+b=2009，则a+b= 。 图8-4