北师版八年级数学上册
1.3勾股定理的应用
能力提升卷
一、选择题（共10小题，3*10=30）
1．如图，小红想用一条彩带缠绕一个圆柱，正好从A点绕四圈到正上方B点，已知圆柱底面周长是12 cm，高是20 cm，那么所需彩带最短是()
A．13 cm B．24 cm C．25 cm D．52 cm
2．如图，长方体的长为9，宽为4，高为12，点B与点C的距离为1，一只蚂蚁如果要沿长方体的侧面从点A爬行到点B，需要爬行的最短距离是()
A．12B．13 C．15 D．17
3．一有盖长方体笔盒长、宽、高分别为12 cm，6 cm，4 cm，则它能容纳的最长的笔的长度为( ) A．12 cm B．13 cm C．14 cm D．15 cm
4．如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm，30 cm，10 cm，A和B是这个台阶的两个相对的点，A点处有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A 点出发，沿着台阶爬到B点，至少需爬()
A．13 cm B．40 cm
C．130 cm D．169 cm
5．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，
条边长分别为5里、12里、13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝500米，则该沙田的面积为()
A．7.5平方千米B．15平方千米
C．75平方千米D．750平方千米
6. 国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口点A处出发先往东走8 km，又往北走2 km，遇到障碍后又往西走3 km，再折向北走到6 km处往东拐，仅走了1 km，就找到了宝藏，则门口点A到藏宝点的直线距离是( )
A．20 km B．14 km C．11 km D．10 km
7．如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，将长方形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在BC边上的点F处，若AE＝5，BF＝3，则CD的长是()
A．7 B．8 C．9 D．10
8．如图，长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深为AE＝40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼铒，G在水面线EF上，且EG＝60 cm；一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内到G处吃鱼铒，则小虫爬行的最短路线长为( )
A．40 cm B．60 cm C．80 cm D．100 cm
9．如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点，则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为( )
A． 5 B．2 5 C．3 5 D．4 5
侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要( )
A．11cm B．234cm C．（8+210）cm D．（7+35）cm
二．填空题（共8小题，3*8=24）
11．如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为________cm(杯壁厚度不计)．
12. 如图，有一个长、宽各为2 m，高为3 m且封闭的长方体纸盒，一只昆虫要从顶点A爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路程为________.
13．小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1 m，当他把绳子下端拉开5 m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为_______m.
14．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B离地面0.6米，当秋千荡到AB1的位置时，下端B1距静止位置的水平距离EB1等于2.4米，距地面1.4米，则秋千AB的长是________．
15．小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1m，当他把绳子下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为________米．
16．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为________。
17．一架长25m的云梯，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端7m，如果梯子的顶端沿墙下滑了4m，那么梯足将滑动________．
18．如图，已知长方体的三条棱AB、BC、BD分别为4，5，2，蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是________．
三．解答题（共7小题，46分）
19．(6分) 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险．某日早晨8：00甲先出发，他以6 km/h的速度向正东行走.1 h后乙出发，他以5 km/h的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙二人相距多远？
20．(6分) 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝3，DC＝1，点P是AB上的动点，求PC＋PD的最小值。
21．(6分) 印度数学家什迦逻(1141年～1225年)曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题．
22．(6分)如图，长方体的高为3 cm，底面是正方形，边长为2 cm.现有绳子从D出发，沿长方体表面到达B′点，问：绳子最短是多少厘米？
23．(6分)如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC＝400 m，BD＝200 m，CD＝800 m，牧童从A处把牛牵到河边饮水后回家，问在何处饮水能使所走的总路程最短？最短路程是多少？
24．(8分)如图，把一块等腰直角三角形零件(△ABC，其中∠ACB＝90°)放置在一凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，已知∠ADE＝∠BED＝90°，测得AD＝6 cm，BE＝8 cm，求该三角形零件的面积．
25．(8分) 如图，有一个长方体纸盒，小明所在的数学合作小组研究长方体的底面A点到长方体与A 相对的B点的表面最短距离．若长方体的长为12 cm，宽为9 cm，高为5 cm，请你帮助该小组求出A点到B点的表面最短距离(结果精确到1 cm.参考数据：21.592≈466，18.442≈340，19.242≈370)．
参考答案
1-5 DBCCA 6-10DCDCB
11. 20
12. 5 m
13. 12
14. 4米
15. 12
16. 2.2米
17. 8m
18. 61
19. 解：设甲、乙二人相距x km.
由题意知，甲、乙所走的方向构成了一个直角，
甲走的路程是6×2＝12(km)，
乙走的路程是5×1＝5(km)，
根据勾股定理，得x2＝52＋122＝169，
所以x＝13.
答：甲、乙二人相距13 km.
20. 解：如图，过点C作CO⊥AB于点O，延长CO到C′，使
OC＝OC，连接DC′，交AB于点P′，连接CP′，
此时DP′＋CP′＝DP′＋P′C′＝DC′的值即为PC＋PD的最小值．
连接BC′，由对称性可知∠C′BP′＝∠CBP′＝45°，所以∠CBC′＝90°.因为AB⊥CC′，OC＝OC′，所以BC′＝BC＝3＋1＝4，
根据勾股定理可得DC′＝5.
21. 解：如图，由题意知，AC＝2，AD＝0.5，
在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝22－0.52＝3.75.
设湖水深BD为x尺，则BC为(x＋0.5)尺．
在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD2＋CD2＝BC2，
即x2＋3.75＝(x＋0.5)2，
答：湖水深3.5尺
22. 解：如图①，连接DB′，在Rt △DD′B′中，
由勾股定理得DB′2＝32＋42＝25.
如图②，连接DB′，在Rt △DC′B′中，
由勾股定理得DB′2＝22＋52＝29.
因为29＞25，所以第一种情况绳子最短．
此时B′D ＝5 cm. 故绳子最短是5 cm.
23. 解：如图，作点A 关于直线CD 的对称点A ′，连接A ′B 交CD 于点M ，连接AM ，则AM ＝A ′M ，所以在点M 处饮水所走的总路程最短，最短路程为A ′B 的长．过点A ′作A ′H ⊥BD 交BD 的延长线于点H.
在Rt △A ′HB 中，A ′H ＝CD ＝800 m ，BH ＝BD ＋DH ＝BD ＋AC ＝200＋400＝600(m)，
由勾股定理，得A ′B 2＝A ′H 2＋BH 2＝8002＋6002＝1 000 000，
故A ′B ＝1 000 m ，所以最短路程为1 000 m.
24. 解：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，
∴∠ACD ＋∠BCE ＝90°，
∵∠ADC ＝90°，∴∠ACD ＋∠DAC ＝90°，
∴∠DAC ＝∠BCE ，
由AAS 可证△ADC ≌△CEB ，∴DC ＝BE ＝8 cm ，
∵AC 2＝AD 2＋DC 2，∴BC ＝AC ＝10 cm ，
∴该零件的面积为12
×10×10＝50 (cm 2) 25. 解：将四边形ACDF 与四边形FDBG 在同一平面上展开，如图①所示，连接AB ，在Rt △ACB 中，
将四边形ACDF与四边形DCEB在同一平面上展开，如图②所示，连接AB，在Rt△AEB中，
根据勾股定理，得AB2＝BE2＋AE2＝52＋(12＋9)2＝466；
将四边形AHGF与四边形FDBG在同一平面上展开，如图③所示，连接AB，在Rt△ADB中，根据勾股定理，得AB2＝AD2＋BD2＝(5＋12)2＋92＝370.
因为340＜370＜466，所以A点到B点的表面最短距离是如图①所示的情况．此时AB≈18 cm.故A 点到B点的表面最短距离约为18 cm.